CN105071890A - 一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理领域，针对现有卡尔曼估计时钟同步方法存在的缺陷提供一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法。本发明首先建立无线传感器网络的拓扑模型，将网络节点分作多个层级，后续的时钟同步方法只在相邻层级间进行，通过逐级同步从而最终达到全局时钟同步；然后，建立网络节点的时钟模型以及节点间的传输模型；最后，采用H∞估计滤波器对相邻层级的节点对进行相对时钟参数的估计，达到相邻层级的时钟同步，进而达到全局时钟同步。本发明H∞估计具有很强的鲁棒性；同时H∞时钟同步方法中，不需要时钟模型的噪声以及传输延时自相关矩阵等先验信息。

Description

一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及基于信号处理方法实现时钟同步的方法，具体为一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法。

背景技术

时钟同步技术是无线传感器网络的重要组成部分，为网络中节点的本地时钟提供一个统一的时间尺度。由于所有的硬件时钟都是不完美的，所以传感器节点的本地时钟彼此间存在一定偏差。对于需要协同工作的传感器节点来说，统一的时间尺度是必要的。此外，传感器网络的一些特殊应用，如传感器节点的数据融合，休眠唤醒节能机制，基于TDMA调度机制的MAC协议以及移动节点的定位等，对网络中时钟的同步都提出了新的需求。

从网络拓扑结构的角度来分类，无线传感器网络中的时钟同步技术可以分为单跳网络时钟同步与多跳网络时钟同步。目前，单跳同步技术的研究已经趋于成熟，时钟同步精度已经能满足大部分应用场合的要求，而关于多跳同步技术的研究则要相对薄弱，具体困难表现在过大的同步开销和随着跳数的增加而造成的累积误差。另一方面，从时钟参数的估计方式来划分，时钟同步技术可以分为两类；一类是通过假设节点间传输延时的概率密度分布(如高斯分布，指数分布等)，然后利用极大似然估计、贝叶斯估计等参数估计的方法来实现时钟参数的估计；另一类则是通过引入信号处理方法来进行时钟参数的估计，此类方法不用事先假设延时的概率分布，能适应不同的传输环境，如文献《Trackinglow-precisionclockswithtime-varyingdriftsusingkalmanfiltering》(IEEE/ACMTransactionsOnNetworking,Vol.20,No.1,2012,HayangKim,XiaoliMa,BenjaminRussellHamilton)就属此类方法。该文献中将卡尔曼滤波算法引入了时钟同步中来估计不同节点间的相对时钟参数，具有收敛速度快、精度高的优点；此外，由于此方法能同时估计时钟漂移和时钟抖动，使得时钟同步操作的周期大大延长，降低了时钟同步的资源消耗。然而，受限于卡尔曼滤波本身固有的局限，如卡尔曼算法要求时钟模型与延时噪声的自相关矩阵已知，这使得一旦时钟模型或者延时模型发生变化，卡尔曼估计算法的表现会出现恶化，甚至会出现发散的情况。

发明内容

本发明的目的在于针对背景技术中的卡尔曼估计时钟同步方法存在的缺陷提出了一种具有高度鲁棒的自适应时钟同步方法。本发明首先建立无线传感器网络的拓扑模型，将网络节点分作多个层级，后续的时钟同步方法只在相邻层级间进行，通过逐级同步从而最终达到全局时钟同步；然后，建立网络节点的时钟模型以及节点间的传输模型；最后，采用H∞估计滤波器对相邻层级的节点对进行相对时钟参数的估计，达到相邻层级的时钟同步，进而达到全局时钟同步。

本发明的技术方案为：一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法因此，包括以下步骤：

步骤1：建立无线传感器网络的层级拓扑模型，将传感器网络依次分为层级1,2,…,N；其中，层级1仅包含一个节点、即作为参考节点，相邻层级间进行逐级时钟同步；

步骤2：建立网络节点的时钟模型，设网络中的节点i以周期τ₀对其晶振所产生的模拟时钟c_i(t)进行采样，则得到离散时钟c_i(l)：

c_i(l)＝lτ₀+θ_i(l-1)+[β_i(l)-1]τ₀，

其中，为时变时钟漂移，ξ_i为常数、表示节点晶振的归一化频率，B'(l)为标准维纳过程，p_i为描述晶振相位噪声的一个参数，通过晶振的RMS周期抖动J_PER与中心频率f₀计算得到：

为时变时钟偏移，为初始时钟偏差；

定义时钟信息向量x_i(l)＝[β_i(l)θ_i(l)]^T，则得到节点i的时钟的演化模型：

$x_i\left(l\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\τ}}_0& 1\end{array}\right]x_i(l-1)+\left[\begin{array}{c}{u}_i\left(l\right)\\ {\mathrm{\τ}}_0{u}_i\left(l\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\τ}}_0\end{array}\right],$

其中， $u_i\left(l\right)=\sqrt{p_i}\[B^{\′}\left(l\right)-B^{\′}(l-1)\];$

设定每Δ个时钟周期进行一次时钟同步，则l_k＝Δk，得到时钟模型方程：

x_i(l_k)＝Ax_i(l_k-1)+w_i(l_k)+b，

其中， $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\Δ\τ}}_0& 1\end{array}\right],w_i\left(l_k\right)=\left[\begin{array}{c}\sqrt{p_i}\[B^{\′}\left(l_k\right)-B^{\′}\left(l_{k-1}\right)\]\\ \underset{\∂=l_{k-1}+1}{\overset{l_k}{\Σ}}(l_k-\∂+1){\mathrm{\τ}}_0{u}_i(\∂)\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\Δ\τ}}_0\end{array}\right];$ w_i(l_k)理解为是时钟模型的过程噪声，其为零均值的，且其自相关矩阵为：

$Q_1=E\left\{w_i\left(l_k\right)w_i^T\left(l_k\right)\right\}=2p_i\left[\begin{array}{cc}1& \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0\\ \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0& \frac{\mathrm{\Δ}(\mathrm{\Δ}+1)}{2}{\mathrm{\τ}}_0^2\end{array}\right];$

步骤3：建立节点间的传输模型，采用发送者-接收者传输方式，设定节点i将时钟同步于节点h；首先在时刻t，节点i发送一条时间戳消息给节点h，并记录下发送时刻T_1,t；节点h接受到该消息并记录下接受时刻T_2,t，然后在T_3,t时刻对节点i发送一条包含有T_2,t和T_3,t信息的时间戳消息；节点i接收到该消息并记录下接收时刻T_4,t；得到节点i的时间戳信息表示为{T_1,t,T_2,t,T_3,t,T_4,t}，以上时间戳交换过程表示为:

T_2,t-θ_h(t)＝T_1,t-θ_i(t)+d_i,h+X_t，

T_3,t-θ_h(t)＝T_4,t-θ_i(t)-d_i,h-Y_t，

其中，d_i,h表示节点i与节点h间的传输延时中的固定延时部分，X_t与Y_t表示传输延时中的随机部分；设并设对t采样得到离散观测方程:

Z_l＝[0-2][x_i(l)-x_h(l)]+V_l；

步骤4：进行相邻层级间的点对点时钟同步，将网络中节点标识为S_m,n，其中m∈{1,…,N}表示节点所属的层级，n表示该节点在其所在层级中的编号，根据时钟模型方程和时钟观测方程得节点与节点间的相对时钟模型及观测模型方程组:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(l_k\right)=Ax\left(l_{k-1}\right)+w\left(l_k\right)\\ Z_{l_k}=Cx\left(l_k\right)+V_{l_k}\end{array}\right.,$

其中， $x\left(l_k\right)=x_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-x_{m,n_1}\left(l_k\right),w\left(l_k\right)=w_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-w_{m,n_1}\left(l_k\right),$ C＝[0-2]；设过程噪声w(l_k)的自相关矩阵为Q，则当m＝1时Q＝Q₁，当m≠1时Q＝2Q₁；

采用H∞估计器对向量x(l_k)进行迭代估计，设置初始值与P₀以及鲁棒系数在迭代过程j＝0,1,2,…中始终满足H∞估计器的存在条件：

$P_j^{-1}+C^{T}C-{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2>0,$

其中，I₂表示2阶单位矩阵，'＞0'表示矩阵正定，且

$P_{j+1}={\mathrm{AP}}_j{A}^T+{\mathrm{QQ}}^T-{\mathrm{AP}}_j\left[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\right]R_j^{-1}\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j{A}^T$

其中， $R_j=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j\left[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\right];$

计算相对时钟信息向量x的估计为：

${\hat{x}}_{j+1}=A{\hat{x}}_j+K_j(Z_{j+1}-CA{\hat{x}}_j)$

其中， $K_j=\frac{P_{j+1}{C}^T}{(1+{\mathrm{CP}}_{j+1}{C}^T)}.$

本发明提供一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法，首先建立无线传感器网络的拓扑模型，然后建立网络节点的时钟模型以及节点间的传输模型；最后采用H∞估计滤波器对相邻层级的节点对进行相对时钟参数的估计，达到相邻层级的时钟同步，进而达到全局时钟同步。本发明中H∞估计算法是通过最小化目标误差函数的H∞范数得到的，使得H∞估计具有很强的鲁棒性；在多跳网络中，误差累积对高鲁棒性的H∞时钟同步方法所带来的影响极小；同时高鲁棒性的H∞时钟同步方法中，不需要卡尔曼时钟同步方法中必要的时钟模型的噪声以及传输延时自相关矩阵等先验信息。

附图说明

图1为本发明中相邻网络节点间H∞估计器的工作流程示意图。

图2为实施例中层级式无线传感器网络布局的示例图。

图3为本发明提供H∞时钟同步算法与卡尔曼算法在高斯白噪声条件下的比较图。

图4为本发明提供H∞时钟同步算法与卡尔曼算法在高斯色噪声条件下的比较图。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步详细说明。

本发明提供一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法，首先建立无线传感器网络的拓扑模型，将网络节点分作多个层级，后续的时钟同步算法只在相邻层级间进行，通过逐级同步从而最终达到全局时钟同步；然后，建立网络节点的时钟模型以及节点间的传输模型；最后，采用H∞估计滤波器对相邻层级的节点对进行相对时钟参数的估计，达到相邻层级的时钟同步，进而达到全局时钟同步。其详细推到步骤为：

步骤1：建立无线传感器网路偶的层级拓扑模型，将传感器网络依次分为层级1,2,…,N。其中层级1只有一个节点(即参考节点)，将网络中的节点标识为S_m,n，其中m∈{1,…,N}表示节点所属的层级，n表示该节点在其所在层级中的编号；层级m+1中的节点同步于它所相邻的上一层级m中的某一节点。

步骤2：建立网络节点的时钟模型。设节点i装备如下晶振：

ρ_i(t)＝cosΦ_i(t)⑴

这里为瞬时相位，式中的f₀为晶振的中心频率，Δf_i是由于硬件不理想所造成的频率偏移，Φ_i(0)为初始相位，为随机相位噪声，其中的B(t)代表标准维纳过程，p_i为描述晶振相位噪声的一个参数，可以通过晶振的RMS周期抖动J_PER(此参数在晶振手册中可查)计算得到：

据此，该晶振所产生的模拟时钟可以表示为：

若假设时钟可能够用时变时钟漂移和时变时钟偏差以下式表示：

$c_i\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}{\mathrm{\β}}_i\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}+{\mathrm{\θ}}_i^0---\left(3\right)$

对上式以周期τ₀进行采样可以得到：

在(4)中的θ_i(l)和β_i(l)为累积时钟偏差和瞬时时钟漂移。联合(2)、(3)式并微分之后可以得到：

${\mathrm{\β}}_i\left(t\right)={\mathrm{\ξ}}_i+\sqrt{p_i}{B}^{\′}\left(t\right)---\left(5\right)$

对上式进行采样之后可得显然B'(l)是为高斯白噪声。据此，可以将β_i(l)用一下递归公式给出：

β_i(l)＝β_i(l-1)+u_i(l)⑹

这里是零均值高斯噪声，它的方差为根据(4)中θ_i(l)的定义，结合式(6)，同样可以将θ_i(l)用递归的形式表示：

θ_i(l)＝θ_i(l-1)+τ₀β_i(l-1)+τ₀u_i(l)-τ₀⑺

如果定义时钟信息向量x_i(l)＝[β_i(l)θ_i(l)]^T，那么结合式(6)、(7)可以得到网络中节点的时钟的演化模型：

$x_i\left(l\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\τ}}_0& 1\end{array}\right]x_i(l-1)+\left[\begin{array}{c}{u}_i\left(l\right)\\ {\mathrm{\τ}}_0{u}_i\left(l\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\τ}}_0\end{array}\right]---\left(8\right)$

这里需要一提的是，由于认为参考节点具有理想时钟，所以参考节点的时钟信息向量为 ${\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]}^T.$

出于资源节省的考虑，实际的无线传感器网路中的时钟同步操作并不是时时都在进行的，而是每Δ个时钟周期进行一次。设l_k＝Δk，那么根据式(8)可以得到：

x_i(l_k)＝Ax_i(l_k-1)+w_i(l_k)+b⑼

这里： $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\Δ\τ}}_0& 1\end{array}\right],w_i\left(l_k\right)=\left[\begin{array}{c}\sqrt{p_i}\[B^{\′}\left(l_k\right)-B^{\′}\left(l_{k-1}\right)\]\\ \underset{\∂=l_{k-1}+1}{\overset{l_k}{\Σ}}(l_k-\∂+1){\mathrm{\τ}}_0{u}_i(\∂)\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\Δ\τ}}_0\end{array}\right].$ 其中，w_i(l_k)可以理解为是时钟模型的过程干扰，显然它是零均值的，且它的自相关矩阵为：

$Q_1=E\left\{w_i\left(l_k\right)w_i^T\left(l_k\right)\right\}=2p_i\left[\begin{array}{cc}1& \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0\\ \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0& \frac{\mathrm{\Δ}(\mathrm{\Δ}+1)}{2}{\mathrm{\τ}}_0^2\end{array}\right]---\left(10\right)$

步骤3：建立节点间的传输模型。这里采用发送者-接收者传输方式，假设节点i需要将时钟同步于节点h。首先，在时刻t，节点i发送一条时间戳消息给节点h，并记录下发送时刻T_1,t，节点h接受到该消息并记录下接受时刻T_2,t，然后在T_3,t时刻对节点i发送一条包含有T_2,t和T_3,t信息的时间戳消息，节点i接收到该消息并记录下接收时刻T_4,t。由于整个信息交换过程耗时极短，可以认为在这个时间内节点i与节点h的时钟参数不变，至此，可以将节点i所得到的时间戳信息表示为{T_1,t,T_2,t,T_3,t,T_4,t}。以上时间戳交换过程可以表示为:

T_2,t-θ_h(t)＝T_1,t-θ_i(t)+d_i,h+X_t⑾

T_3,t-θ_h(t)＝T_4,t-θ_i(t)-d_i,h-Y_t⑿

其中d_i,h表示节点i与节点h间的传输延时中的固定延时部分，X_t与Y_t表示传输延时中的随机部分。将式(11)、(12)相加，并设 $V_t\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{X}_t-Y_t,Z_t\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}(T_{2,t}+T_{3,t})-(T_{1,t}+T_{4,t}),$ 那么在对下标t采样之后可得离散观测方程:

Z_l＝[0-2][x_i(l)-x_h(l)]+V_l⒀

步骤4：进行相邻层级间的点对点时钟同步，这里将网络中的节点标识为S_m,n，其中m∈{1,…,N}表示节点所属的层级，n表示该节点在其所在层级中的编号，例如参考节点将被记作S_1,1。在本发明中，层级2中的所有节点均同步于参考节点S_1,1，层级3中的节点同步于层级2中的节点，依次类推，直至达到全局时钟同步。现考虑两节点与节点之间的时钟同步。根据式(9)中的时钟模型方程以及式(13)中的时钟观测方程可得节点与节点间的相对时钟模型及观测模型方程组:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(l_k\right)=Ax\left(l_{k-1}\right)+w\left(l_k\right)\\ Z_{l_k}=Cx\left(l_k\right)+V_{l_k}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 $x\left(l_k\right)=x_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-x_{m,n_1}\left(l_k\right),w\left(l_k\right)=w_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-w_{m,n_1}\left(l_k\right),C=\[\begin{array}{cc}0& -2\end{array}\].$ 设过程噪声w(l_k)的自相关矩阵为Q，则当m＝1时有Q＝Q₁，当m≠1时Q＝2Q₁。现在引入H∞估计器对向量x(l_k)进行迭代估计，首先需要设置初值与P₀以及鲁棒系数(在满足式(15)的情况下尽量小)。在迭代过程j＝0,1,2,…中必须始终满足H∞估计器的存在条件：

$P_j^{-1}+C^{T}C-{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2>0---\left(15\right)$

其中I₂表示2阶单位矩阵，'＞0'表示矩阵正定，且

$P_{j+1}={\mathrm{AP}}_j{A}^T+{\mathrm{QQ}}^T-{\mathrm{AP}}_j\left[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\right]R_j^{-1}\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j{A}^T---\left(16\right)$

这里: $R_j=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j\[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\].$ 现在，相对时钟信息向量x的估计可由下式给出：

${\hat{x}}_{j+1}=A{\hat{x}}_j+K_j(Z_{j+1}-CA{\hat{x}}_j)---\left(17\right)$

这里 $K_j=\frac{P_{j+1}{C}^T}{(1+{\mathrm{CP}}_{j+1}{C}^T)}.$

本实施例中具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法，具体过程为：

(1)初始化：各节点传感器进行初始化准备，设定H∞估计器的初值P₀＝P_init。同时，还需要设置鲁棒系数

(2)进行节点间数据交换：在第j次迭代时刻l_j，根据拓扑层级设置，网路中的每个节点(除参考节点)同它的上一层级中的特定节点进行信息时间戳信息交换并据式(13)得到该节点在时刻l_j的观测值Z_j；

(3)自适应H∞估计：各节点根据本节点得到的观测值Z_j以及所存储的上一次迭代所得的本地估计值和P_j-1，先按照式(16)计算得到P_j，若P_j满足是(15)的存在条件，再根据式(17)计算本次迭代的本地估计向量

(4)估计时钟向量交换：高层级(距离参考节点更近的层级)的节点将其所得的本地估计向量传给它所连接的所有下一层级的节点，低层级节点将该估计向量与本地估计向量相加即可得到全局估计向量，即本节点时钟相对于参考节点时钟的全局时钟偏差与全局时钟漂移此时，根据式(4)，节点可计算得到标准时钟：

$c_0\left(l\right)=c_{local}\left(l\right)-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{glob}\left(l_j\right)-{\widehat{\mathrm{\β}}}_{glob}\left(l_j\right)(l-l_j){\mathrm{\τ}}_0,$ 其中c_local(l)表示该节点的本地时钟；

(5)每Δ个时钟周期跳到2，进行下一次迭代，即下一次时钟同步。

如图1所示为相邻两网络节点间的H∞估计器运行流程，从图中可以看出，H∞估计器并不需要关于观测噪声V的任何先验知识，从另一方面解释，即H∞估计器对不同的噪声具有较强的鲁棒性。

如图2所示为本实施例中分层级无线传感器网络的拓扑示例，当对这个网络进行集中式全局时钟同步时，选节点1作为参考节点，节点2、3、4、5作为第一层级，这四个节点的时钟直接同步于参考节点1，剩余的节点6至25则作为第二层级，分别同步于对应的第一层级中的节点。由于第二层级的节点是通过第一层级间接同步于参考节点，因而它们的同步误差为两级同步误差之和，即存在噪声累积现象，但在本发明方法中，由于H∞估计器本身固有的对噪声的鲁棒性，使得该噪声累积现象对于全局的时钟同步误差的影响极小。

如图3所示为在观测噪声为高斯白噪声的条件下，本发明方法与现有卡尔曼估计方法的估计性能比较，可以看出，本发明方法不管是时钟偏差还是时钟漂移的估计精度都要明显高于卡尔曼估计方法。

如图4所示为在观测噪声为高斯色噪声的条件下，本发明方法与现有卡尔曼估计方法的估计性能比较。对比附图3可以看出，虽然在色噪声条件下两种方法的性能都有变差，但是本发明方法所受的影响明显较卡尔曼估计方法小，具体表现在两种方法收敛速度差距的缩小以及稳态精度差距的增大上。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，本说明书中所公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换；所公开的所有特征、或所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以任何方式组合。

Claims (1)

1.一种具有高度鲁棒性的自适应时钟同步方法，包括以下步骤：

步骤1：建立无线传感器网络的层级拓扑模型，将传感器网络依次分为层级1,2,…,N；其中，层级1仅包含一个节点、即作为参考节点，相邻层级间进行逐级时钟同步；

步骤2：建立网络节点的时钟模型，设网络中的节点i以周期τ₀对其晶振所产生的模拟时钟c_i(t)进行采样，则得到离散时钟c_i(l)：

c_i(l)＝lτ₀+θ_i(l-1)+[β_i(l)-1]τ₀，

其中，为时变时钟漂移，ξ_i为常数、表示节点晶振的归一化频率，B(l)为标准维纳过程，p_i为描述晶振相位噪声的一个参数，通过晶振的RMS周期抖动J_PER与中心频率f₀计算得到：

为时变时钟偏移，为初始时钟偏差；

定义时钟信息向量x_i(l)＝[β_i(l)θ_i(l)]^T，则得到节点i的时钟的演化模型：

$x_i\left(l\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\τ}}_0& 1\end{array}\right]x_i(l-1)+\left[\begin{array}{c}{u}_i\left(l\right)\\ {\mathrm{\τ}}_0{u}_i\left(l\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\τ}}_0\end{array}\right],$

其中， $u_i\left(l\right)=\sqrt{p_i}\[B^{\′}\left(l\right)-B^{\′}(l-1)\];$

设定每Δ个时钟周期进行一次时钟同步，则l_k＝Δk，得到时钟模型方程：

x_i(l_k)＝Ax_i(l_k-1)+w_i(l_k)+b，

其中， $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ {\mathrm{\Δ\τ}}_0& 1\end{array}\right],w_i\left(l_k\right)\left[\begin{array}{c}\sqrt{p_i}\[B^{\′}\left(l_k\right)-B^{\′}\left(l_{k-1}\right)\]\\ \underset{\∂=l_{k-1}+1}{\overset{l_k}{\Σ}}\left(l_k-\∂+1\right){\mathrm{\τ}}_0{u}_i(\∂)\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ -{\mathrm{\Δ\τ}}_0\end{array}\right];$ w_i(l_k)理解为是时钟模型的过程噪声，其为零均值的，且其自相关矩阵为：

$Q_1=E\left\{w_i\left(l_k\right)w_i^T\left(l_k\right)\right\}=2p_i\left[\begin{array}{cc}1& \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0\\ \frac{\mathrm{\Δ}+1}{2}{\mathrm{\τ}}_0& \frac{\mathrm{\Δ}(\mathrm{\Δ}+1)}{2}{\mathrm{\τ}}_0^2\end{array}\right];$

步骤3：建立节点间的传输模型，采用发送者-接收者传输方式，设定节点i将时钟同步于节点h；首先在时刻t，节点i发送一条时间戳消息给节点h，并记录下发送时刻T_1,t；节点h接受到该消息并记录下接受时刻T_2,t，然后在T_3,t时刻对节点i发送一条包含有T_2,t和T_3,t信息的时间戳消息；节点i接收到该消息并记录下接收时刻T_4,t；得到节点i的时间戳信息表示为{T_1,t,T_2,t,T_3,t,T_4,t}，以上时间戳交换过程表示为:

T_2,t-θ_h(t)＝T_1,t-θ_i(t)+d_i,h+X_t，

T_3,t-θ_h(t)＝T_4,t-θ_i(t)-d_i,h-Y_t，

其中，d_i,h表示节点i与节点h间的传输延时中的固定延时部分，X_t与Y_t表示传输延时中的随机部分；设并设 $V_t\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{X}_t-Y_t,Z_t\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}(T_{2,t}+T_{3,t})-(T_{1,t}+T_{4,t}),$ 对t采样得到离散观测方程:

$Z_l=\left[\begin{array}{cc}0& -2\end{array}\right]\[x_i\left(l\right)-x_h\left(l\right)\]+V;$

步骤4：进行相邻层级间的点对点时钟同步，将网络中节点标识为S_m,n，其中m∈{1,…,N}表示节点所属的层级，n表示该节点在其所在层级中的编号，根据时钟模型方程和时钟观测方程得节点与节点间的相对时钟模型及观测模型方程组:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(l_k\right)=Ax\left(l_{k-1}\right)+w\left(l_k\right)\\ Z_{l_k}=Cx\left(l_k\right)+V_{l_k}\end{array}\right.,$

其中， $x\left(l_k\right)=x_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-x_{m,n_1}\left(l_k\right),w\left(l_k\right)=w_{m+1,n_2}\left(l_k\right)-w_{m,n_1}\left(l_k\right),$ C＝[0-2]；设过程噪声w(l_k)的自相关矩阵为Q，则当m＝1时Q＝Q₁，当m≠1时Q＝2Q₁；

采用H∞估计器对向量x(l_k)进行迭代估计，设置初始值与P₀以及鲁棒系数在迭代过程j＝0,1,2,…中始终满足H∞估计器的存在条件：

$P_j^{-1}+C^{T}C-{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2>0,$

其中，I₂表示2阶单位矩阵，'＞0'表示矩阵正定，且

$P_{j+1}={\mathrm{AP}}_j{A}^T+{\mathrm{QQ}}^T-{\mathrm{AP}}_j\left[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\right]R_j^{-1}\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j{A}^T$

其中， $R_j=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -{\mathrm{\γ}}_f^2{I}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}C\\ I_2\end{array}\right]P_j\left[\begin{array}{cc}{C}^T& I_2^T\end{array}\right];$

计算相对时钟信息向量x的估计为：

${\hat{x}}_{j+1}=A{\hat{x}}_j+K_j(Z_{j+1}-CA{\hat{x}}_j)$

其中， $K_j=\frac{P_{j+1}{C}^T}{(1+{\mathrm{CP}}_{j+1}{C}^T)}.$