CN102563008A - 直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线设计方法，运用函数最佳逼近理论来设计直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线，包括以下步骤：根据齿轮副使用工况确定齿轮副的基本参数，如模数、齿数、齿顶圆、齿根圆、分度圆齿厚、齿形半角等；根据所确定的基本参数，将外齿轮齿廓设计成左右对称的直线；在外齿轮直线齿廓上取一系列离散点；通过齿廓法线法计算出与直线齿轮共轭的内齿圈齿廓的一系列离散点；在平方度量意义下选择多项式对内齿圈齿廓散点作最佳逼近，得到内齿圈齿廓曲线的表达式；最后给出误差估计；本发明的有益效果是：齿廓曲线表达式构造简单，意义直观，能方便地分析齿轮副传动特性，如齿轮副的接触应力、滑动率的计算等。

Description

直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线设计方法

技术领域

本发明属于机械传动技术领域，具体涉及一种直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线设计方法。

背景技术

直线共轭内啮合齿轮副，其外齿轮齿廓为简单的左右对称的直线，内齿圈齿廓为与外齿轮齿廓共轭的曲线，外齿轮和内齿圈均为圆柱齿轮，此传动方式最突出的优点是：滑动系数小、噪音低。

但相对于渐开线齿轮副传动，直线共轭内啮合齿轮副是一种特殊的齿轮传动方式，目前还缺乏系统的分析研究和完善的设计方法，尤其是齿廓曲线的设计有待深入研究。

从现有研究文献可知，与直线外齿轮共轭的内齿圈齿廓曲线设计方法有两种，一种是利用坐标变换，建立了形如：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1\cos ({\mathrm{\φ}}_1-{\mathrm{\φ}}_2)-y_1\sin ({\mathrm{\φ}}_1-{\mathrm{\φ}}_2)-a\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=x_1\sin ({\mathrm{\φ}}_1-{\mathrm{\φ}}_2)+y_1\cos ({\mathrm{\φ}}_1-{\mathrm{\φ}}_2)-a\cos {\mathrm{\φ}}_2\end{array}\right.$

的参数方程，参考文献如下：

崔建昆，秦山，闻斌。直线共轭内啮合齿轮副特性分析[J]。机械传动，2004，28(6)。

崔建昆，秦山，闻斌。QX型直线共轭内啮合齿轮泵研制[J]。流体机械，2004，32(12)。

王全先，南昀。直线齿廓内齿轮传动副的齿形设计及运动仿真[J]。机械传动，2007，31(4)。

丛小青，刘梦仙，乌骏。直线-共轭内啮合齿轮泵的设计方法[J]。排灌机械，2008，1(26)。

张远深，胡晓函，刘玉波等。直线共轭齿廓内啮合齿轮泵的研究[J]。机械设计与制造，2010，(6)。

另一种是利用复数矢量法，建立了形如：

的齿廓曲线方程，参考文献如下：

徐学忠，宋天麟。直线共轭齿廓齿轮副的滑动系数研究[J]。淮阴师范学院学报(自然科学版)，2007，6(3)。

上述两种形式的齿廓曲线方程优点是方程中包含有反映齿轮特性的参数，如a代表中心距，φ₁，φ₂分别代表了两齿轮的转角等，但有明显的缺点：方程构造复杂、计算繁琐、意义不直观。而计算简单在实用上是极其重要的。

另外，与本发明相似的有另一种直线共轭内啮合齿轮传动方式，其内齿轮齿廓为直线，外齿轮齿廓为与内齿轮直线齿廓共轭的曲线。这种齿轮传动可用圆弧齿廓代替外齿轮齿廓，已有相关的研究文献，如：

中国专利文献号CN 101943245A于2011年1月12日公开了一种以啮合传动误差最小为目标函数，用圆弧齿廓代替外齿轮齿廓的优化设计方法。

程友联。直线齿廓内齿轮传动设计法[J]。海军工程学院学报，1999，(3)。导出了用圆弧齿廓代替理论齿廓的通用技术公式。

但用圆弧齿廓代替理论齿廓只有在齿轮较多的情况下才有较高的精度，当齿数较少时误差较大，因此这种方法的使用范围受到限制。

发明内容

俄国数学家切比雪夫在设计机械时提出了最佳一致逼近的设想，后来，德国数学家魏尔斯特拉斯证明了：可以用代数多项式以任意给定的精度逼近任何连续函数。因此，理论上可以用构造简单、计算方便的多项式以任意给定的精度逼近任何形式的齿廓曲线。

为此目的，本发明专利特征是包括以下步骤：

步骤一、根据齿轮的使用工况及要求的使用寿命确定齿轮基本参数，如模数、齿数、齿顶圆、齿根圆、分度圆齿厚、齿形半角等。

步骤二、根据步骤一所确定的齿轮基本参数即可得到外齿轮齿廓，将外齿轮直线齿廓表示为(y轴右边齿廓与左边对称)：

y＝ax+b

的形式。

式中：a代表直线斜率，b代表截距

步骤三、将步骤二所得直线齿廓方程离散化，即在直线齿廓上取一系列离散点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)；

步骤四、运用齿廓法线法求出与直线齿廓共轭的齿廓曲线的一系列离散点(x₁′，y₁′)，(x₂′，y₂′)，…，(x_n′，y_n′)；

步骤五、因多项式构造简单，计算方便，又可以以任意给定的精度逼近任意连续函数，故选择多项式为函数逼近类；

步骤六、使用不同的度量会产生不同的逼近理论，本发明选择平方度量空间；

步骤七、编制计算机程序；

步骤八、给出精度要求，计算出多项式的具体表达式；

步骤九、给出误差估计。

本发明的有益效果是：本发明的内齿圈齿廓采用代数多项式为逼近函数类，齿廓曲线表达式构造简单，意义直观，能方便地分析齿轮副传动特性，如齿轮副的接触应力、滑动率的计算等。

附图说明

图1是本发明外齿轮齿廓示意图。

图2是本发明内齿轮齿廓示意图。

图3是本发明计算结果的数据。

图4是本发明误差结果的数据。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

如图1至图4所示，步骤一、根据齿轮副使用工况及寿命要求，取齿轮模数m＝5，外、内齿轮齿数分别为Z₁＝13，Z₂＝17。见图1，外齿轮齿顶圆d_a＝73，齿根圆d_f＝53，分度圆齿厚s＝5.41，齿形半角β＝26°。

步骤二、根据步骤一所确定的齿轮基本参数，由齿形半角β＝26°可计算得直线斜率a＝tan(90°-26°)＝2.05，由分度圆齿厚s＝5.41，分度圆直径d＝mz₁＝65，计算得截距b＝37.9283，即可得到外齿轮y轴左边齿廓方程为(y轴右边齿廓与左边对称)：

y＝2.05x+37.9283

步骤三、将步骤二所得直线齿廓方程离散化，即在直线齿廓上取一系列离散点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，本实施例假如取五十个离散点(-5.6，26.4483)，(-5.5，26.6533)…，(-0.7，36.4933)；

步骤四、运用齿廓法线法求出与直线齿廓共轭的齿廓曲线的一系列离散点(-6.1026，36.3908)，(-5.9750，36.6002)…，(-1.1576，45.6879)；

步骤五、在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可有不同的选择，其中最常用的有形如：

的代数多项式和形如：

$y=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(a_k\cos \mathrm{kx}+b_k\sin \mathrm{kx})+a_0$

的三角多项式，此外，还有由代数多项式的比构成的有理分式，样条函数等都是很有用的逼近函数类。在众多的逼近函数类中具体选择哪一种？这主要取决于被逼近函数本事的特点，或者说取决于事物本事的性质。显然，齿轮齿廓是一条连续光滑非周期性的曲线，而三角多项式更适合于用来逼近周期函数，又考虑到代数多项式本身具有构造简单，计算方便的优点，因此，本发明选择代数多项式作为函数逼近类。

步骤六、使用不同的度量会产生不同的逼近理论，本发明选择平方度量空间，在此度量空间下使得：

${\left|\right|f-y^{*}\left|\right|}_2^2=\inf {\left|\right|f-y_n\left|\right|}_2^2$

y^*为f在y_n中的逼近函数。

步骤七、根据以上数据及数学方法，编制计算机程序。

步骤八、根据机械加工特点及传动精度要求，假设逼近的误差在微米级范围内就认为具有足够的精确度，同时，为了使逼近函数不过于复杂，要求其次数不超过4，分别计算出2，3，4次多项式如下：

二次：y＝0.0638x²+2.3275x+48.2601

三次：y＝0.0085x³+0.1535x²+2.6084x+48.5088

四次：y＝0.002x⁴+0.0369x³+0.2933x²+2.8851x+48.6905

步骤九、计算步骤八所得三个多项式的数值及误差，具体数值如图3所示，误差如图4所示，计算得二次逼近平均误差为0.0199，三次逼近平均误差为0.006，四次逼近平均误差为0.002，由图4可看出，四次逼近无论是平均精度还是局部精度已足够。

以上所述的具体实施例，仅为本发明较佳的实施例而已，举凡依本发明申请专利范围所做的等同设计，均应为本发明的技术所涵盖。

Claims (1)

1.直线共轭内啮合齿轮副齿廓曲线设计方法，所述直线共轭内啮合齿轮副由外齿轮和内齿圈组成，其特征是，所述外齿轮齿廓为左右对称的直线，所述设计方法包括以下步骤：

步骤一、根据齿轮副使用工况及寿命要求，确定齿轮基本参数，分别为齿轮模数m，外、内齿轮齿数分别为Z₁，Z₂，外齿轮齿顶圆d_a，齿根圆d_f，分度圆齿厚s，齿形半角β；

步骤二、根据步骤一所确定的齿轮基本参数，由齿形半角β＝26°可计算得直线斜率a＝tan(90°-β)，由分度圆齿厚s，分度圆直径d＝mz₁，计算得截距b，即可得到外齿轮y轴左边齿廓方程为：

y＝ax+b；

步骤三、将步骤二所得直线齿廓方程离散化，即在直线齿廓上取一系列离散点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)；

步骤四、运用齿廓法线法求出与直线齿廓共轭的齿廓曲线的一系列离散点(x₁′，y₁′)，(x₂′，y₂′)，…，(x_n′，y_n′)；

步骤五、内齿圈齿廓选择代数多项式为逼近函数类，其形式如下：

$y=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{x}^i$

式中：a_i(i＝0，1，2，…)为实数。

步骤六、选择平方度量空间，在此度量空间下使得：

${\left|\right|f-y^{*}\left|\right|}_2^2=\inf {\left|\right|f-y_n\left|\right|}_2^2$

y^*为f在y_n中的逼近函数。

步骤七、根据以上数据及数学方法，编制计算机程序。

步骤八、给出精度要求，计算出多项式的具体表达式；

步骤九、给出误差估计。

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