CN102508211B - 基于双频改正法估计电离层总电子含量的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于双频改正法估计电离层总电子含量的方法，主要解决了现有方法估计电离层总电子含量精度低、多次迭代估计、运算量大的问题。其实现过程是：首先对雷达接收到的数据进行滤波，滤出带宽相同的下边带信号和上边带信号；再分别对上边带信号和下边带信号进行零内插处理；然后分别对零内插后的上边带信号和下边带信号进行脉冲压缩，上边带信号和下边带信号的载频不同，经过电离层后上边带信号与下边带信号的脉压时延不同，根据两个脉压的时延差估计电离层总电子含量。本发明具有估计电离层总电子含量精度高、迭代估计次数少和运算量小的优点，可用于天基雷达系统、卫星通信等以减少电离层的影响。

Description

基于双频改正法估计电离层总电子含量的方法

技术领域

本发明属于数据处理技术领域，具体说是一种估计电离层总电子含量的方法，用于天基雷达系统、卫星通信等以减少电离层的影响。

背景技术

电离层总电子含量TEC是描述电离层的一个重要参量，电离层是地球大气电离的部分，它是由太阳高能电磁辐射、宇宙射线和沉降粒子作用于地球高层大气，使大气分子发生电离，产生大量的自由电子、离子和中性分子；这些电离的分子无规则分布在整个大气中，含有大量的不规则体结构和随机起伏的介质；这些电离的分子对穿过电离层的信号有严重影响。

对天基雷达，电离层是重要的工作环境，雷达电波在电离层区域产生折射或反射等一系列传播效应，严重影响雷达的性能，电离层对作为天基雷达载体的航天器，特别是低轨道航天器，又会产生轨道姿态的离子阻力效应、充电效应和空间高压系统的电流泄露效应等，危及航天器的安全，影响雷达的工作性能。

电离层中存在各种尺度的电子密度不规则体结构，导致电离层TEC的时空变化和雷达信号发生闪烁，电离层不规则体具有宽广的尺度谱，其产生机理与电子密度梯度不稳定性、大地电场引起的双流不稳定性及中性大气重力相关，并与太阳及地磁活动有一定联系。不规则体可导致信号的极化起伏，它归因于小尺度不规则体的闪烁；雷达系统测距、成像等性能的提高在相当大的程度上依赖于所使用频段范围内电离层的平稳性。

电离层是介电常数随机起伏的色散介质，随机起伏的尺度、形状、空间取向及其分布以及起伏的方差、相关函数和功率谱等统计特性，决定了穿过其间的无线电信号的统计特性，使得雷达信号幅度、相位、到达角和极化状态等发生闪烁；随着技术的发展，设计工作向低频段发展，电离层对于较低频率的电磁波的折射、色散、衰减等效应会导致信号的传播延迟、相位失真、幅度衰落和分辨率降低。

国内外提出了很多方法来估计电离层总电子含量，以减少电离层对雷达信号的影响；卡普曼1931年提出的Chapman模型，以及后来的Bent模型、国际参考电离层模型等，都是在一些非常理想条件下得出的，估计TEC的精度不高，计算过程复杂。Arlen D.Schmidt在1999年提出双频改正法，首先对雷达接收到的数据进行滤波，滤出两个边带信号，由于两个边带信号的载频不同，延迟就不同，假设两个边带信号是沿同一路径到达雷达的，即TEC相同，利用两个边带信号的时延差就可以估计出TEC；双频改正法是一种估计TEC较好的方法，但存在的不足是估计误差较大、精度不高、有时需要进行多次迭代估计而造成运算量大。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提出一种基于双频改正法估计电离层总电子含量的方法，以提高估计TEC的精度、减少迭代估计的次数从而降低运算量。

为实现上述目的，本发明包括如下步骤：

(A)对雷达接收到的带宽为B₁的数据x(n)进行滤波，滤出带宽都为B的下边带信号x₁(n)和上边带信号x₂(n)，其中x₁(n)和x₂(n)的脉冲宽度均为t_p，采样频率均为f_s，长度均为N，载频频率分别为f₁和f₂；

(B)对滤出的两个边带信号x₁(n)和x₂(n)分别进行系数为L的零内插，得到内插后的信号分别为s₁(n)和s₂(n)，其中s₁(n)、s₂(n)的载频频率分别为f₁和f₂，采样频率均为f_LS＝L·f_s；

(C)将内插后的信号s₁(n)、s₂(n)分别进行脉冲压缩，得到脉压结果y₁(n)和y₂(n)，其中y₁(n)、y₂(n)载频频率分别为f₁和f₂；

(D)计算脉压y₁(n)与y₂(n)的时延差Δτ：

$\mathrm{\Δ\τ}=\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\π}\right)}^2}\·(\frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2})\·N_t---1)$

式中，b＝1.591×10³m³/s²，c为真空中的光速，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率，N_t为理论电离层总电子含量；

(E)利用y₁(n)与y₂(n)的时延差Δτ，根据公式(2)估计电离层总电子含量；

$N_t\_\mathrm{estimate}=\frac{2{\mathrm{\π}}^2}{b}\·\frac{f_1^2{f}_2^2}{f_2^2-f_1^2}\·c\·\mathrm{\Δ\τ}---2)$

式中，N_t_estimate是估计的电离层总电子含量，b＝1.591×10³m³/s²，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率，c为真空中的光速；

(F)根据时延差Δτ与1/f_LS的大小，判断双频改正法估计电离层总电子含量是否结束；如果时延差Δτ＜＝1/f_LS，整个估计电离层总电子含量的流程结束；如果时延差Δτ＞1/f_LS，重复步骤(A)～(D)，再次迭代估计电离层总电子含量，直到满足时延差Δτ＜＝1/f_LS。

本发明由于利用零内插改进双频改正法估计电离层总电子含量，因而与现有技术相比具有以下优点：

1)克服了双频改正法估计电离层总电子含量精度不高的问题，提高了双频改正法估计电离层总电子含量的精度。

2)克服了双频改正法多次迭代估计、运算量大的问题，降低了双频改正法估计电离层总电子含量的运算量。

附图说明

图1是本发明利用双频改正法估计电离层总电子含量的流程图；

图2是本发明中进行L倍零内插的实现框图；

图3是在电离层总电子含量为10TECU，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量的仿真图；

图4是图3中估计电离层总电子含量误差对脉压的影响结果图；

图5是电离层总电子含量为26TECU，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量的仿真图；

图6是图5中估计电离层总电子含量误差对脉压的影响结果图。

具体实施方式

为了清楚本发明的具体实施方式，首先简单介绍本发明中用到的术语：

电离层总电子含量：total electron content，简称TEC，沿传播路径电子密度的积分，是衡量电离层对雷达信号影响的一个重要参数。

TECU：电离层总电子含量的单位，1 TECU＝1×10¹⁶e^-/m²。

参考图1，用本发明方法估计电离层总电子含量的具体实施方式如下：

步骤1，对雷达接受到的数据进行滤波，滤出两个边带信号。

对雷达接收到的带宽为B₁的数据x(n)进行滤波，滤出带宽都为B的下边带信号x₁(n)和上边带信号x₂(n)，其中x₁(n)和x₂(n)的脉冲宽度均为t_p，采样频率均为f_s，长度均为N，载频频率分别为f₁和f₂，本文中的滤波采用线性相位滤波，滤波器的设计方法见课本数字信号处理；

步骤2，确定零内插系数L。

内插系数L的确定是利用双频改正法估计TEC时，如果估计的TEC误差造成二次相位小于π/4rad，即可认为TEC误差对雷达的测量精度没有影响，根据TEC误差可就算两个脉压的时延差Δτ_m，然后根据Δτ_m就算内插系数L，按如下步骤计算零内插系数L：

(2a)利用下式计算出电离层总电子含量的误差N_t_error：

$N_t\_\mathrm{error}<\frac{{\mathrm{\&pi;}}^{2}c}{b}\&CenterDot;\frac{f_c}{B_F^2}=1.86\&times;{10}^6\&CenterDot;\frac{f_c^3}{B_1^2}---3)$

式中，c为真空中的光速，b＝1.591×10³m³/s²，f_c为载频频率，B_F＝B₁/f_c为部分带宽，B₁为信号带宽；

(2b)估计由电离层总电子含量误差N_t_error造成的时延差Δτ_m：

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m<\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;(\frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2})\&CenterDot;N_t\_\mathrm{error}---4)$

式中，b＝1.591×10³m³/s²，c为真空中的光速，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率；

(2c)计算零内插系数L的取值范围：

式中，f_s为信号的采样频率，表示向右取整，L等于取值范围内的最大整数。

步骤3，分别对滤波后的两个边带信号x₁(n)、x₂(n)进行L倍零内插。

参考图2，信号x₁(n)的L倍零内插是在相邻的采样点之间插入L-1个零点，信号x₁(n)为L倍零内插公式为：

式中，s₁(n)是信号x₁(n)进行L倍零内插后的信号，信号s₁(n)的采样频率和长度均为信号x₁(n)的L倍，即信号s₁(n)的采样频率为f_LS＝L·f_s，长度为LN；

信号x₂(n)的L倍零内插是在相邻的采样点之间插入L-1个零点，信号x₂(n)为L倍零内插公式为：

式中，s₂(n)是信号x₂(n)进行L倍零内插后的信号，信号s₂(n)的采样频率和点数均为信号x₂(n)的L倍，即信号s₂(n)的采样频率为f_LS＝L·f_s，点数为LN。

步骤4，对零内插后的信号s₁(n)与s₂(n)进行脉冲压缩。

4(a)计算匹配滤波函数的离散傅里叶变换。

信号s₁(n)、s₂(n)的匹配滤波函数的离散傅里叶变换分别为H₁(k)和H₂(k)，计算公式为：

$H_1\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_1\left(n\right)e^{\frac{-j2\mathrm{\&pi;nk}}{N_1}},k=\mathrm{0,1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N_1-1---8)$

$H_2\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_2\left(n\right)e^{\frac{-j2\mathrm{\&pi;nk}}{N_1}},k=\mathrm{0,1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N_1-1---9)$

式中，H₁(k)和H₂(k)的点数均为N₁，其中h₁(n)与h₂(n)的计算公式为：

$h_1\left(n\right)=\exp (j2\mathrm{\&pi;}{f}_1\&CenterDot;n+\frac{1}{2}\mathrm{j\&mu;}\&CenterDot;n^2),n=\mathrm{0,1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,M-1---10)$

$h_2\left(n\right)=\exp (j2\mathrm{\&pi;}{f}_2\&CenterDot;n+\frac{1}{2}\mathrm{j\&mu;}\&CenterDot;n^2),n=\mathrm{0,1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,M-1---11)$

式中，f₁、f₂分别是信号s₁(n)与s₂(n)的载频频率，μ＝2πB/t_p为调频斜率，B为信号带宽，t_p为脉冲宽度，h₁(n)与h₂(n)的点数均为M＝f_LS·t_p，f_LS为采样频率；

4(b)计算信号s₁(n)与s₂(n)的离散傅里叶变换：

定义s₁(n)、s₂(n)离散傅里叶变换分别为S₁(k)和S₂(k)，计算公式为：

$S_1\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_1\left(n\right)e^{\frac{-j2\mathrm{\&pi;nk}}{N_1}},k=\mathrm{0,1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N_1-1---12)$

$S_2\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_2\left(n\right)e^{\frac{-j2\mathrm{\&pi;nk}}{N_1}},k=\mathrm{0,1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N_1-1---13)$

式中，S₁(k)和S₂(k)的点数均为N₁＝M+LN-1；

4(c)计算脉压结果，用s₁(n)、s₂(n)的离散傅里叶变换点乘相应的匹配滤波函数的离散傅里叶变换分别得到脉压结果y₁(n)与y₂(n)，公式为：

y₁(n)＝IFFT[S₁(k)H₁(k)]      14)

y₂(n)＝IFFT[S₂(k)H₂(k)]      15)

式中，IFFT表示快速傅里叶逆变换。

步骤5，根据两个脉压y₁(n)与y₂(n)的延迟差Δτ，利用双频改正法估计电离层总电子含量。

由于脉压y₁(n)与y₂(n)的载频不同，所以经过电离层污染后的时延不同，脉压y₁(n)、y₂(n)经过电离层后的时延分别为Δτ₁和Δτ₂，计算公式如下：

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_1=\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{N_t}{f_1^2}---16)$

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_2=\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{N_t}{f_2^2}---17)$

式中，b＝1.591×10³m³/s²，c为真空中光速，N_t为理论的TEC。

脉压y₁(n)与y₂(n)的时延差Δτ为：

$\mathrm{\&Delta;\&tau;}=\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_1-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&tau;}}_2=\frac{2n}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;(\frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2})\&CenterDot;N_t---18)$

利用时延差Δτ估计电离层总电子含量的公式为：

$N_t\_\mathrm{estimate}=\frac{2{\mathrm{\&pi;}}^2}{b}\&CenterDot;\frac{f_1^2{f}_2^2}{f_2^2-f_1^2}\&CenterDot;c\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&tau;}---19)$

利用时延差Δτ估计电离层总电子含量的误差为：

N_t_error＝|N_t_estimate-N_t|           20)

步骤6，根据时延差Δτ与1/f_LS的大小，判断双频改正法估计电离层总电子含量是否结束。

如果时延差Δτ＜＝1/f_LS，整个估计电离层总电子含量的流程结束；如果时延差Δτ＞1/f_LS，重复步骤(1)～(5)，再次迭代估计电离层总电子含量，直到满足时延差Δτ＜＝1/f_LS。

本发明的优点可通过仿真实例进一步说明：

1、仿真参数

本仿真采用的是线性调频信号，雷达接收到的数据x(n)的参数为：带宽B₁＝105MHz、载频频率f_c＝400MHz；滤波器滤出的两个边带信号x₁(n)、x₂(n)参数为：带宽B＝5MHz，t_p＝100us，采样频率f_s＝10MHz，载频分别为f₁＝350MHz、f₂＝450MHz。

零内插系数L的确定，将B₁＝105MHz，f_c＝400MHz代入式(7)中得到，N_t_error＜1.0797TECU    21)

将式(21)代入式(4)得，

Δτ_m＝9.3554e-9s         22)

将式(22)代入式(5)得，

L＜＝11             23)

根据以上分析，零内插系数取L＝11。

2、仿真内容及结果

仿真1.用电离层总电子含量10TECU造成两个脉压的时延差估计电离层总电子含量，在时延差Δτ＝0.1μs的条件下，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量，仿真结果如图3所示，其中图3(a)是用现有方法估计的仿真图，其仿真估计的电离层总电子含量为11.541TECU，估计误差为1.541TECU；图3(b)是用本发明方法估计的仿真图，其仿真估计的电离层总电子含量为9.4428TECU，估计误差为0.5572TECU；用现有方法和本发明方法估计误差对脉压的影响结果如图4所示，其中图4(a)是现有方法估计误差对脉压的影响结果图，图4(b)是本发明方法估计误差对脉压的影响结果图，从图4(a)和图4(b)的对比中可以看出，现有方法估计误差大，本发明方法估计误差小。

仿真2.用电离层总电子含量16TECU造成两个脉压的时延差估计电离层总电子含量，在时延差Δτ＝0.16μs的条件下，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量，其中用现有方法第一次估计电离层总电子含量为23.082TECU，估计误差为7.082TECU，再次用现有方法对电离层总电子含量为7.082TECU进行估计，估计的电离层总电子含量为11.541TECU，估计误差为4.459TECU；用本发明方法第一次估计的电离层总电子含量为16.787TECU，估计误差为0.787TECU，再次用本发明方法对电离层总电子含量为0.787TECU进行估计，估计的电离层总电子含量为1.0492TECU，估计误差为0.2622TECU。

仿真3.用电离层总电子含量21TECU造成两个脉压的时延差估计电离层总电子含量，在时延差Δτ＝0.21μs的条件下，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量，其中用现有方法估计电离层总电子含量为23.082TECU，估计误差为3.082TECU；用本发明方法估计的电离层总电子含量为20.774TECU，估计误差为0.226TECU。

仿真4.用电离层总电子含量26TECU造成两个脉压的时延差估计电离层总电子含量，在时延差Δτ＝0.26μs的条件下，用现有方法和本发明方法估计电离层总电子含量，仿真结果如图5所示，其中图5(a)是用现有方法第一次估计电离层总电子含量的仿真图，其仿真估计的电离层总电子含量为34.624TECU，估计误差为8.624TECU；再次用现有方法估计对电离层总电子含量为8.624TECU进行估计，仿真图如图5(b)所示，其仿真估计的电离层总电子含量为11.541TECU，估计误差为2.917TECU；图5(c)用本发明方法估计电离层总电子含量的仿真图，其仿真估计的电离层总电子含量为26.545TECU，估计误差为0.545TECU；用现有方法和本发明方法估计误差对脉压的影响结果如图6所示，其中图6(a)是现有方法估计误差为2.917TECU对脉压的影响结果图，图6(b)是本发明估计误差为0.545TECU对脉压的影响结果图，从图6(a)和图6(b)的对比中可以看出，现有方法估计误差大，本发明方法估计误差小。

仿真1、仿真2、仿真3和仿真4得到的仿真数据见表1和表2，其中表1为现有方法估计电离层总电子含量的仿真数据，表2为本发明方法估计电离层总电子含量的仿真数据。

表1 现有方法估计电离层总电子含量的仿真数据

理论TEC/TECU	10	16	21	26
					第一次Nt_estimate/TECU	11.541	23.082	23.082	34.624
第一次Nt_error/TECU	1.541	7.082	2.082	8.624
					第二次Nt_estimate/TECU		11.541		11.541
第二次Nt_error/TECU		4.459		2.917

表2 本发明方法估计电离层总电子含量的仿真数据

理论TEC/TECU	10	16	21	26
					第一次Nt_estimate/TECU	9.4428	16.787	20.774	26.545
第一次Nt_error/TECU	0.5572	0.787	0.226	0.545
					第二次Nt_estimate/TECU		1.0492
第二次Nt_error/TECU		0.2622

从表1可以看出，利用现有方法估计电离层总电子含量，估计误差都大于1TECU，当电离层总电子含量为26TECU，需要进行两次估计；

从表2可以看出，利用本发明方法估计电离层总电子含量，估计误差都小于1TECU，当电离层总电子含量为26TECU，只需进行一次估计；

从以上分析可以得出，利用本发明方法估计电离层总电子含量，具有估计精度高、迭代次数少和运算量小的优点。

Claims (3)

1.一种基于双频改正法估计电离层总电子含量的方法，包括如下步骤：

(A)对雷达接收到的带宽为B₁的数据x(n)进行滤波，滤出带宽都为B的下边带信号x₁(n)和上边带信号x₂(n)，其中x₁(n)和x₂(n)的脉冲宽度均为t_p，采样频率均为f_s，长度均为N，载频频率分别为f₁和f₂；

(B)对滤出的两个边带信号x₁(n)和x₂(n)分别进行系数为L的零内插，得到内插后的信号分别为s₁(n)和s₂(n)，其中s₁(n)、s₂(n)的载频频率分别为f₁和f₂，采样频率均为f_LS=L·f_s；

(C)将内插后的信号s₁(n)、s₂(n)分别进行脉冲压缩，得到脉压结果y₁(n)和y₂(n)，其中y₁(n)、y₂(n)载频频率分别为f₁和f₂；

(D)计算脉压y₁(n)与y₂(n)的时延差Δτ：

$\mathrm{\&Delta;\&tau;}=\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;(\frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2})\&CenterDot;N_t---\left(1\right)$

式中，b＝1.591×10³m³/s²，c为真空中的光速，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率，N_t为理论电离层总电子含量；

(E)利用y₁(n)与y₂(n)的时延差Δτ，根据公式(2)估计电离层总电子含量；

$N_t\_\mathrm{estimate}=\frac{{2\mathrm{\&pi;}}^2}{b}\&CenterDot;\frac{f_1^2{f}_2^2}{f_2^2-f_1^2}\&CenterDot;c\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&tau;}---\left(2\right)$

式中，N_t_estimate是估计的电离层总电子含量，b＝1.591×10³m³/s²，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率，c为真空中的光速；

(F)根据时延差Δτ与1/f_LS的大小，判断双频改正法估计电离层总电子含量是否结束；如果时延差Δτ＜＝1/f_LS，整个估计电离层总电子含量的流程结束；如果时延差Δτ＞1/f_LS，重复步骤(A)～(E)，再次迭代估计电离层总电子含量，直到满足时延差Δτ＜＝1/f_LS。

2.根据权利要求1所述的方法，步骤(B)中的零内插系数L，按如下步骤确定：(B1)利用下式计算出电离层总电子含量的误差N_t_error：

$N_t\_\mathrm{error}<\frac{{\mathrm{\&pi;}}^{2}c}{b}\&CenterDot;\frac{f_c}{B_F^2}=1.86\&times;{10}^6\&CenterDot;\frac{f_c^3}{B_1^2}---\left(3\right)$

式中，c为真空中的光速，b＝1.591×10³m³/s²，f_c为雷达接收到的数据x(n)的载频频率，B_F＝B₁/f_c为部分带宽，B₁为信号带宽；

(B2)估计由电离层总电子含量误差N_t_error造成的时延差Δτ_m：

${\mathrm{\&Delta;\&tau;}}_m<\frac{2b}{c{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^2}\&CenterDot;(\frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2})\&CenterDot;N_t\_\mathrm{error}---\left(4\right)$

式中，b＝1.591×10³m³/s²，c为真空中的光速，f₁为脉压y₁(n)的载频频率，f₂为脉压y₂(n)的载频频率；

(B3)计算零内插系数L的取值范围：

式中，f_s为信号的采样频率，

表示向右取整，L等于取值范围内的最大整数。

3.根据权利要求1所述的方法，其中步骤C所述的将内插后的信号s₁(n)、s₂(n)分别进行脉冲压缩，是按以下公式计算的：

y₁(n)＝IFFT[S₁(k)H₁(k)]  (14)

y₂(n)＝IFFT[S₂(k)H₂(k)]  (15)

式中，S₁(k)、S₂(k)分别是零内插后信号s₁(n)和信号s₂(n)的频谱，H₁(k)、H₂(k)分别是零内插后信号s₁(n)和信号s₂(n)匹配滤波函数的频谱，IFFT表示快速傅里叶逆变换，y₁(n)、y₂(n)分别是信号s₁(n)和s₂(n)的脉压结果。

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