CN102507084B - 一种尾流立管的时域涡激升力确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种尾流立管的时域涡激升力确定方法。本发明考虑了上游立管涡街对尾流立管涡激升力幅值和尾流立管涡旋脱落频率的影响，并采用迭代方法计算时域的涡激升力，从而建立了一个尾流立管的流固耦合时域涡激升力计算方法，解决了尾流立管的时域涡激升力的计算问题，为尾流立管的涡激振动与疲劳设计分析提供了时域分析的途径和依据。

Description

一种尾流立管的时域涡激升力确定方法

技术领域

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种尾流立管的时域涡激升力确定方法。

背景技术

涡激升力是圆柱体受到的垂直于流体流动方向的一种交变流体荷载，是由圆柱体尾流处的涡旋泄放引起的。对于弹性圆柱体而言，涡激升力将使圆柱体产生垂直于流体流动方向的振动。而对于刚性圆柱体，涡激升力并不引起圆柱体振动。这就是说，不论圆柱体是否振动，涡激升力始终是存在的。

涡激升力的交变频率等于涡旋泄放的频率，而涡旋泄放的频率取决于流体流经圆柱体的速度大小，涡激升力的大小取决于流体流经圆柱体的速度。因此，对于刚性圆柱体来说，涡激升力的大小和频率仅仅与流体的流动速度有关。而对于弹性圆柱体，由于圆柱体本身的振动，不仅使得流体流经圆柱体的速度发生变化，而且使得流体在圆柱体的扰动下产生粘性阻力和附加质量力。因此，对于弹性圆柱体的涡激升力计算不能仅仅考虑流场的流速一个因素(传统涡激升力计算方法的缺点)，而应考虑圆柱体振动的速度和加速度。

对于顺流向排列的两根立管，从上游立管脱落的涡旋在尾流处形成涡街，从而对尾流立管产生干扰。同时，尾流立管自身的涡旋泄放也受到上游立管涡街的影响而改变其频率和强度。因此，尾流立管的横流向涡激振动强度远远大于孤立的单根立管。这个现象已被国内外的专家学者注意到，并开展了相应的研究。图1是本发明发明人的研究结果，其中幅度大的曲线为尾流立管的涡激升力时程，虚线是单根立管的涡激升力时程，幅度小的曲线是上游立管的涡激升力时程。从图中可以明显地看出，尾流立管的涡激升力远远大于单个孤独立管和上游立管。这将使尾流立管产生大幅度的横流向振动，从而引起较大的疲劳损伤。但是，现有技术尚没有尾流立管涡激升力的计算方法。现行的立管涡激振动与疲劳设计均采用单根立管的涡激升力计算方法，因此，计算结果偏于不安全。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的缺陷，提供一种尾流立管的时域涡激升力确定方法，为尾流立管的涡激振动与疲劳设计分析提供了时域分析的途径和依据。

本发明的技术方案如下：一种尾流立管的时域涡激升力确定方法，建立的涡激升力时域模型如下：

$\mathrm{FL}=\frac{C_L\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{\·}{u})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-q})}\cos ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{s}t+\mathrm{\π})-\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}\stackrel{\·}{v}\left|\stackrel{\·}{v}\right|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}\stackrel{\·\·}{v}$

式中：FL--涡激升力；

C_L--升力系数；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--尾流立管横流向振动速度；

--尾流立管涡旋泄放频率，其中，St为斯特罗哈数，

为尾流立管顺流向振动速度；

t--时间；

--尾流立管横流向振动加速度；

q，b--由试验确定的系数；

针对尾流立管顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度，采用迭代方法对上式进行计算，得到尾流立管的时域涡激升力。

进一步，如上所述的尾流立管的时域涡激升力确定方法，其中，所述的采用迭代方法进行计算的具体步骤如下：

1)给定尾流立管顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度及计算时间的初值：

t_j＝t₀＝0， ${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算给定流速下的约化速度：

$V_r=\frac{U}{f_{n}D}$

式中：V_r--约化速度；

U--流体流速；

f_n--尾流立管的固有频率；

D--尾流立管直径；

3)当V_r＜5或V_r＞7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

当5≤V_r≤7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

在以上两个公式中，

FD--脉动拖曳力；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流体流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--考虑尾流干涉的涡旋泄放频率，

其中，St为斯特罗哈数；

t--时间；

ü--深水立管顺流向振动加速度；

p，b--由试验确定的系数；

4)将步骤3)中计算得到的脉动拖曳力

代入尾流立管的顺流向振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)}+k{u}_j^{(i+1)}=F{D}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管顺流向振动的速度

和加速度

5)如果

ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)},$ ${\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤3)～5)的计算；

如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}\≤\mathrm{\ϵ},$ 则令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(n\right)},$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(0\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(0\right)}$

n为第j时间步内计算脉动拖曳力的总迭代次数；

对于第1个时间步，即j＝0，

否则，

其中，m为第j-1时间步内计算涡激升力的总迭代次数；

6)将

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的涡激升力：

${\mathrm{FL}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_L\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-q})}\cos ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})-\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|{\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}\right|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}$

7)将步骤6)中计算得到的涡激升力

代入尾流立管的横流向涡激振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{v}}_j^{(i+1)}+k{v}_j^{(i+1)}=F{L}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管横流向振动速度

和加速度

8)如果ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{(i+1)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤6)～8)的计算；

如果

则开始下一个时间步的计算，令：

t_j＝t_j+1＝t_j+Δt， ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(m\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(m\right)}$

m为第j时间步内计算涡激升力的总迭代次数；

重复步骤3)～8)的计算，直至计算时长满足需要。

本发明的有益效果如下：本发明考虑了上游立管涡街对尾流立管涡激升力幅值和尾流立管涡旋脱落频率的影响，并采用迭代方法计算时域的涡激升力，从而建立了一个尾流立管的流固耦合时域涡激升力计算方法，解决了尾流立管的时域涡激升力的计算问题，为尾流立管的涡激振动与疲劳设计分析提供了时域分析的途径和依据。

附图说明

图1为顺流向排列两根立管涡激升力时程示意图；

图2为本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细描述。

顺流向排列的两根立管在定常流动流体的作用下将产生涡激振动，下游立管由于受到上游立管尾流的作用，其横流向振动的频率和幅值与孤立的单根立管有较大的区别。而现有技术只有单根立管的涡激升力计算方法，没有尾流立管的涡激升力计算方法。因此，本发明提出了尾流立管的涡激升力计算方法。

本发明考虑了上游立管的涡街对尾流立管涡旋泄放的影响，考虑了上下游立管之间的距离，提出了基于下述模型的尾流立管时域涡激升力计算方法：

$\mathrm{FL}=\frac{C_L\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{\·}{u})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-q})}\cos ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{s}t+\mathrm{\π})-\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}\stackrel{\·}{v}\left|\stackrel{\·}{v}\right|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}\stackrel{\·\·}{v}---\left(1\right)$

式中：FL--涡激升力；

C_L--升力系数；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--尾流立管横流向振动速度；

--尾流立管涡旋泄放频率，

其中，St为斯特罗哈数，

为尾流立管顺流向振动速度；

t--时间；

--尾流立管横流向振动加速度；

q，b--由试验确定的系数。

公式(1)中的第一项为涡旋泄放引起的升力，其中的(1-λ^-q)^-1是考虑上游立管涡街对涡激升力幅值的影响，这是本发明的关键，它取决于两立管的间距；第二项为圆柱体振动速度引起的粘性阻力，第三项为圆柱体振动加速度引起的附加质量力。

尾流立管涡旋泄放频率的计算公式中(1-λ^-b)^-1是考虑上游立管涡街对尾流立管涡旋泄放频率的影响。

由于公式(1)包含尾流立管的顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度，因此，必须采用迭代方法计算，如图2所示，具体计算步骤如下：

1)给定尾流立管顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度及计算时间的初值(公知技术)：

t_j＝t₀＝0， ${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算给定流速(流速是设计或分析给定的条件，为已知值)下的约化速度(公知技术)：

$V_r=\frac{U}{f_{n}D}$

式中：V_r--约化速度；

U--流体流速，单位m/s；

f_n--深水立管的固有频率，单位Hz；

D--深水立管直径，单位m；

3)当V_r＜5或V_r＞7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

当5≤V_r≤7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

在以上两个公式中，

FD--脉动拖曳力；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流体流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--考虑尾流干涉的涡旋泄放频率，其中，St为斯特罗哈数；

t--时间；

ü--深水立管顺流向振动加速度；

p，b--由试验确定的系数；采用水池或水槽试验，也可采用计算流体力学方法计算得到，相关试验为公知技术；

4)将步骤3)中计算得到的脉动拖曳力

代入尾流立管的顺流向振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)}+k{u}_j^{(i+1)}=F{D}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管顺流向振动的速度

和加速度

(公知技术)；

5)如果ε为预先设定的计算精度(根据需要确定，如ε＝1×10^-5)，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)},$ ${\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤3)～5)的计算；

如果

则计算第j时间步内第i次迭代的涡激升力，令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(n\right)},$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(0\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(0\right)}$

n为第j时间步内计算脉动拖曳力的总迭代次数；

对于第1个时间步，即j＝0，

否则，

其中，m为第j-1时间步内计算涡激升力的总迭代次数；

上式中各参数的含义与公式(1)中对应参数的含义相同。

7)将步骤6)中计算得到的涡激升力代入尾流立管的横流向涡激振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{v}}_j^{(i+1)}+k{v}_j^{(i+1)}=F{L}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管横流向振动速度

和加速度

(公知技术)；

8)如果

ε为预先设定的计算精度(根据需要确定，如ε＝1×10^-5)，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{(i+1)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤6)～8)的计算；

如果

则开始下一个时间步(j+1步)的计算，令：

t_j＝t_j+1＝t_j+Δt， ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(m\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(m\right)}$

m为第j时间步内计算涡激升力的总迭代次数；Δt一般取0.02秒；

重复步骤3)～8)的计算，直至计算时长满足需要(时长根据需要设定，如100秒)。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (1)

1.一种尾流立管的时域涡激升力确定方法，其特征在于：建立的涡激升力时域模型如下：

$\mathrm{FL}=\frac{C_L\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{\·}{u})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-q})}\cos ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{s}t+\mathrm{\π})-\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}\stackrel{\·}{v}\left|\stackrel{\·}{v}\right|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}\stackrel{\·\·}{v}$

式中：FL--涡激升力；

C_L--升力系数；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--尾流立管横流向振动速度；

--尾流立管涡旋泄放频率，

其中，St为斯特罗哈数，

为尾流立管顺流向振动速度；

t--时间；

--尾流立管横流向振动加速度；

q，b--由试验确定的系数；

针对尾流立管顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度，采用迭代方法对上式进行计算，得到尾流立管的时域涡激升力，所述的采用迭代方法进行计算的具体步骤如下：

1)给定尾流立管顺流向振动速度、横流向振动速度和加速度及计算时间的初值：

t_j＝t₀＝0， ${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_0^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算给定流速下的约化速度：

$V_r=\frac{U}{f_{n}D}$

式中：V_r--约化速度；

U--流体流速；

f_n--尾流立管的固有频率；

D--尾流立管直径；

3)当V_r＜5或V_r＞7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρ}{D\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

当5≤V_r≤7时，将t_j，

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的脉动拖曳力：

${\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_D\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-p})}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})+$

$\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})|U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρ}{D\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}$

在以上两个公式中，

FD--脉动拖曳力；

C_D--拖曳力系数；

ρ--流体密度；

λ--上下游立管轴线之间的距离L与直径之比L/D；

D--尾流立管直径；

U--流体流速；

--尾流立管顺流向振动速度；

--考虑尾流干涉的涡旋泄放频率，

其中，St为斯特罗哈数；

t--时间；

ü--深水立管顺流向振动加速度；

p，b--由试验确定的系数；

4)将步骤3)中计算得到的脉动拖曳力

代入尾流立管的顺流向振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)}+k{u}_j^{(i+1)}={\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的顺流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管顺流向振动的速度

和加速度

5)如果ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤3)～5)的计算；

如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{\·\·}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{\·}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}\≤\mathrm{\ϵ},$ 则令：

${\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(n\right)},$ ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(0\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(0\right)}$

n为第j时间步内计算脉动拖曳力的总迭代次数；

对于第1个时间步，即j＝0，

否则，

其中，m为第j-1时间步内计算涡激升力的总迭代次数；

6)将

代入下式计算第j时间步内第i次迭代的涡激升力：

${\mathrm{FL}}_j^{\left(i\right)}=\frac{C_L\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{\·}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2}{2(1-{\mathrm{\λ}}^{-q})}\cos ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_s{t}_j+\mathrm{\π})-\frac{1}{2}{C}_D\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|{\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}\right|-\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}\mathrm{\ρD}{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}$

7)将步骤6)中计算得到的涡激升力

代入尾流立管的横流向涡激振动方程式：

$m{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{\·}{v}}_j^{(i+1)}+k{v}_j^{(i+1)}={\mathrm{FD}}_j^{\left(i\right)}$

式中：m-尾流立管的质量；

c-尾流立管的阻尼系数；

k-尾流立管的弯曲刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的横流向振动加速度；

计算第j时间步内第i+1次迭代的尾流立管横流向振动速度和加速度

8)如果

ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_0^{(i+1)},{\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{(i-1)}$

然后，重复步骤6)～8)的计算；

如果

则开始下一个时间步的计算，令：

t_j＝t_j+1＝t_j+Δt， ${\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{\·}{v}}_j^{\left(m\right)},$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_0^{\left(0\right)}={\stackrel{\·\·}{v}}_j^{\left(m\right)}$

m为第j时间步内计算涡激升力的总迭代次数；

重复步骤3)～8)的计算，直至计算时长满足需要。

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