CN102347789A - 一种基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法，特征是将两发送天线情形下的最大化多播传输速率问题的求解转化为针对单瓶颈用户、两瓶颈用户和三瓶颈用户三种假设情形的搜索，并采用线性代数方法直接进行闭式计算，同时在搜索过程中通过持续压缩最优解区间以辅助排除非瓶颈用户，实现低复杂度剪枝搜索。与现有的SDR随机化方法相比，本发明方法不仅可以获得更高的多播传输速率，同时还具有更低的运算复杂度，适合用户数较多的多播场景，便于在诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统中实施。

Description

一种基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法

技术领域

本发明属于多输入多输出(MIMO)宽带无线和移动通信技术领域，具体涉及单用户组两发送天线多播场景下的波束赋形方法，适用于诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统。

背景技术

当基站端发送公共信息给一组用户时，多播比单播技术能更有效地利用无线频谱资源，因此引起了业界广泛关注。假设基站已知所有用户的信道信息，MIMO多播技术的目标在于寻找有效的策略以保证多播用户的服务质量，其中的一个关键问题是在发送信号功率受限的情况下，如何在基站端采用发送波束赋形方法以获得最大多播传输速率。《国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》(IEEE Transactions onSignal Processing，vol.54，no.6，pp.2239-2251，June 2006)刊载的“物理层多播波束赋形”(Transmit beamforming for physical-layer multicasting)一文中，证明了当用户数目大于发送天线数目时，此问题一般来说属于非确定性多项式难题(NP-hard)，并提出了一种基于半定松弛法(SDR)的次优求解方法，其主要思想是松弛原优化问题的非凸约束条件，将原优化问题转换成一个凸优化问题，从而可采用凸优化分析工具进行求解。然而，经过松弛后得到的凸优化问题与原问题并非完全等效，其有效解构成原问题的性能上界，并且一般不可及，因此还需要结合随机化处理(Randomization)来真正获得波束赋形向量。

由理论分析可知，现有的SDR结合随机化处理方法(以下简称为SDR随机化方法)存在如下缺陷：首先SDR自身基于凸优化的内点法，随着用户数目的增加，其运算复杂度将显著增大，一般难以在实时通信系统中实现；而且随着用户数目的增加，SDR随机化方法搜索空间逐步变得复杂，从而导致其性能损失也逐渐增加。综合而言，SDR随机化方法难以有效应用于新型宽带无线和移动通信系统中，迫切需要设计具有高性能低复杂度特征的多播波束赋形方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于剪枝搜索的多播波束赋形方法，以适用于两发送天线多播场景，并改善现有SDR随机化方法在获取波束赋形向量过程中所存在的运算量较大、性能较差，无法有效应用于实际通信系统的问题。

本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法，设基站配置2根发送天线，多播用户组含K个用户，且用户k配置N_k根接收天线，对应的信道矩阵并在基站端已知，波束赋形向量w∈￡²；其特征在于：将原最大化多播传输速率问题的求解转化为对多播用户组中性能瓶颈用户的搜索与计算，并在搜索过程中通过持续压缩最优解区间以辅助排除非瓶颈用户；具体操作步骤为：

第一步：参数初始化，依次包含以下步骤：

(11)令多播用户集合为S＝{1，2，L，K}，初始化最优解区间，令其上界为UB＝-∞，下界为LB＝+∞；

(1.2)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，K，令其信道自相关矩阵为 $H_k^{*}{H}_k=\left[\begin{array}{cc}{a}_k& c_k\\ c_k^{*}& b_k\end{array}\right],$ 依椭圆空间向量计算式

计算与该用户对应的椭圆空间向量g_k，其中(·)^*，(·)^T分别表示共轭转置和转置操作，Re(·)，Im(·)分别表示取实部和取虚部操作；

(1.3)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，K，依信道范数计算式

计算与该用户对应的信道范数h_k，其中‖·‖_F表示弗罗贝尼乌斯范数；

第二步：单瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(2.1)依单瓶颈用户选择式

计算并从多播用户集合S中选择出候选用户i；

(2.2)计算候选用户i对应的候选向量

并依单用户信噪比计算式λ＝h_i+‖g_i‖计算该用户瓶颈信噪比λ；

(2.3)依最差用户信噪比计算式计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(2.4)判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若该式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，并转至第五步；若该式不成立，则分别更新最优解区间的上界UB＝λ和下界LB＝snr_，转至第三步；

第三步：两瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(3.1)依次从多播用户集合S中选取两瓶颈候选用户组合(i，j)，i≠j，针对该用户组合构造两用户椭圆空间矩阵G_ij＝[g_i g_j]以及两用户信道范数向量h_ij＝[h_i h_j]^T；

(3.2)依两用户二阶多项式系数计算式

计算二阶多项式系数a，依两用户一阶多项式系数计算式

计算一阶多项式系数b，依两用户常系数计算式

计算常系数c，其中(·)^-1表示矩阵求逆操作，1表示元素全为1的列向量；

(3.3)判断多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.4)依两用户信噪比计算式

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，并根据两用户向量加权系数计算式

计算与两用户椭圆空间向量g_i，g_j分别对应的加权系数α，β；

3.5)判断两用户综合逻辑关系式

是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.6)按照两用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j计算候选向量x，并且更新最优解区间的上界UB＝λ；

(3.7)依最差用户信噪比计算式计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(3.8)判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若该式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，并转至第五步；若该式不成立，则按最大化下界计算式LB＝max(LB，snr_)更新最优解区间的下界LB；

(3.9)判断已搜索用户组合数是否达到两用户组合最大值

若该条件成立，则转至第四步，否则转至步骤(3.1)重复上述步骤；

第四步：三瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(4.1)依次从多播用户集合S中选取三瓶颈候选用户组合(i，j，k)，i≠j≠k，针对该用户组合构造三用户椭圆空间矩阵G_ijk＝[g_i g_j g_k]以及三用户信道范数向量h_ijk＝[h_i h_j h_k]^T；

(4.2)依三用户二阶多项式系数计算式

1计算二阶多项式系数a，依三用户一阶多项式系数计算式

计算一阶多项式系数b，依三用户常系数计算式

计算常系数c；

(4.3)判断多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(4.8)；

(4.4)按照三用户信噪比计算式

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，并根据三用户向量加权系数计算式计算与三用户椭圆空间向量g_i，g_j，g_k分别对应的加权系数α，β，γ；

(4.5)判断三用户综合逻辑关系式sign(α)＝sign(β)＝sign(γ)&λ∈[LB，UB]是否成立，若该式不成立，则转至步骤(4.8)；

(4.6)按照三用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j+γg_k计算候选向量x，并依最差用户信噪比计算式

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(4.7)判断加权系数符号关系式α＞0&β＞0&γ＞0是否成立，若该式成立，则继续判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若信噪比关系式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，转至第5步；若信噪比关系式不成立，则更新上界UB＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式成立，则更新下界LB＝λ并记录对应的可行候选向量x_rcd＝x及可行瓶颈信噪比λ_rcd＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式亦不成立，则若最小信噪比满足关系式snr_≥LB，更新下界LB＝snr_；

(4.8)判断已搜索用户组合数是否达到三用户组合最大值

若该条件成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，否则转至步骤(4.1)重复上述步骤；

第五步：计算并输出最优波束赋形向量，即根据已获取的最优候选向量x_opt，依最优候选向量计算式x_opt＝[cos(2θ_opt)sin(2θ_opt)cos(φ_opt)sin(2θ_opt)sin(φ_opt)]^T计算两个角度参数θ_opt，φ_opt，再依最优波束赋形向量计算式计算并输出最优波束赋形向量w_opt。

不同于现有的SDR随机化方法，本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法一方面通过将两发送天线情形下的最大化多播传输速率问题归结为对单瓶颈用户、两瓶颈用户及三瓶颈用户三种假设情况的搜索与计算，直接利用线性代数理论进行闭式求解而无需借助凸优化分析工具；另一方面，本发明方法在瓶颈用户搜索与计算过程中，持续压缩最优解区间的上下界，从而有效地减少搜索范围，实现剪枝搜索策略，进一步降低获得最优波束赋形向量的计算复杂度，因此本发明方法的性能及运算复杂度均优于现有的SDR随机化方法，适用于诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统。

附图说明

图1为用户k的MIMO下行链路信号处理过程示意图。

图2为采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法获取波束赋形向量的流程原理框图。

图3为将本发明方法应用在实施例2时与采用SDR随机化方法的平均多播速率比较曲线。

图4为将本发明方法应用在实施例2时与采用SDR随机化方法的最优瓶颈信噪比误差累积分布函数曲线。

图5为将本发明方法应用在实施例2时与采用SDR随机化方法在Matlab仿真平台的运行时间对比曲线。

具体实施方式

实施例1：具有2根发送天线，8个用户的MIMO多播波束赋形方法

图1给出了用户k的MIMO下行链路信号处理过程示意图。在基站端的信源发送步骤A1中，信源符号为s且满足功率为1(E[|s|²]＝1)，经过功率分配步骤A2后，发送功率为P，在波束赋形步骤A3中计算波束赋形向量w，并进行信号的发送波束赋形，发送信号为

到用户k信道；经过信道传输步骤A4，使发送信号经用户k的信道矩阵H_k传输，再经过噪声叠加步骤A5，叠加循环对称复高斯噪声z_k，z_k∈CN(0，I)；最后在用户k接收端的信号接收步骤A6中用户k的接收信号为 $y_k=\sqrt{P}{H}_k\mathrm{ws}+z_k.$

本实施例中设基站配置发送天线数M＝2，发送功率P＝1，多播用户组用户数K＝8，且均为单天线用户，即接收天线数N_k＝1，k＝1，...，8。每个用户信道的噪声方差均为1。基站端已知各用户信道矩阵

$\left[\begin{array}{c}{H}_1\\ H_2\\ M\\ H_8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-0.6088+0.2730i& -0.0351+1.4193i\\ -0.3415+0.0372i& 0.6711-1.0369i\\ -0.1655-1.1636i& -0.9925+0.3681i\\ -0.8345+1.1187i& 0.6054+0.1182i\\ 0.8893+1.1192i& -0.2178+0.5183i\\ 0.7937+0.2627i& 0.2853-0.668i\\ 1.2001-0.3983i& -1.1365+0.3106i\\ -0.4018-0.8932i& -1.7266-0.2004i\end{array}\right]$

图2给出了采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法获取波束赋形向量的流程原理框图。具体操作步骤如下：

1.参数初始化步骤B1，依次包含以下步骤：

(11)令多播用户集合为S＝{1，2，L，8}，初始化最优解区间，令其上界为UB＝-∞，下界为LB＝+∞；

(1.2)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，8，令其信道自相关矩阵为 $H_k^{*}{H}_k=\left[\begin{array}{cc}{a}_k& c_k\\ c_k^{*}& b_k\end{array}\right],$ 依椭圆空间向量计算式

计算获得所有用户对应的椭圆空间向量g_k，k＝1，...，8

$\left[\begin{array}{c}{g}_1^T\\ g_2^T\\ M\\ g_8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-0.7852& 0.4088& 0.8545\\ -0.7038& -0.2678& -0.3291\\ 0.1290& -0.2730& 1.2126\\ 0.7837& -0.3730& 0.7760\\ 0.8638& 0.3864& -0.7047\\ 0.0851& 0.0507& 0.6058\\ 0.1054& -1.4876& 0.0799\\ -1.0310& 0.8728& 1.4616\end{array}\right]$

(1.3)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，8，依信道范数计算式

计算获得所有用户对应的信道范数h_k，k＝1，...，8

$\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ M\\ h_g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.2304\\ 0.8218\\ 1.2496\\ 1.1642\\ 1.1798\\ 0.6138\\ 1.4934\\ 1.9902\end{array}\right]$

2.单瓶颈用户搜索与计算步骤B2，依次包含以下步骤：

(2.1)依单瓶颈用户选择式

计算并从多播用户集合S中选择出候选用户i＝6；

(2.2)计算获得候选用户i对应的候选向量 $x=\frac{g_6}{\left|\right|g_6\left|\right|}=\left[\begin{array}{c}0.1386\\ 0.0826\\ 0.9869\end{array}\right],$ 并依单用户信噪比计算式λ＝h₆+‖g₆‖计算获得该用户瓶颈信噪比λ＝1.2277；

(2.3)依最差用户信噪比计算式

计算获得多播用户组中的最小信噪比snr_＝0.3773；

(2.4)判断可知，信噪比关系式λ≤snr_并不成立，故无法输出最优候选向量及最优瓶颈信噪比并转至第5步，而是选择分别更新最优解区间的上界UB＝λ和下界LB＝snr_，转至第3步；

3.两瓶颈用户搜索与计算步骤B3，依次包含以下步骤：

(3.1)依次从多播用户集合S中选取两瓶颈候选用户组合(i，j)，i≠j，针对该用户组合构造两用户椭圆空间矩阵G_ij＝[g_i g_j]以及两用户信道范数向量h_ij＝[h_i，h_j]^T；

(3.2)依两用户二阶多项式系数计算式计算出该用户组合的二阶多项式系数a，依两用户一阶多项式系数计算式

计算出该用户组合的一阶多项式系数b，依常系数计算式

计算出该用户组合的常系数c；

(3.3)判断该用户组合的多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.4)依据两用户信噪比计算式

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，同时根据两用户向量加权系数计算式

计算与两用户椭圆空间向量g_i，g_j分别对应的加权系数α，β；

(3.5)判断两用户综合逻辑关系式

是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.6)按照两用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j计算候选向量x，并且更新最优解区间的上界UB＝λ；

(3.7)依最差用户信噪比计算式

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(3.8)判断信噪比关系式λ≤snr_，发现该式始终不成立，于是按最大化下界计算式LB＝max(LB，snr_)更新最优解区间的下界LB；

(3.9)转至步骤(3.1)重复上述步骤，经搜索用户组合数达到两用户组合最大值

后尚未找到最优解，故无法输出最优候选向量及最优瓶颈信噪比，并转至第5步，而是选择转至第4步；

4.三瓶颈用户搜索与计算步骤B4，依次包含以下步骤：

(4.1)依次从多播用户集合S中选取三瓶颈候选用户组合(i，j，k)，i≠j≠k，针对该用户组合构造三用户椭圆空间矩阵G_ijk＝[g_i g_j g_k]以及三用户信道范数向量h_ijk＝[h_i h_j h_k]^T；

(4.2)依三用户二阶多项式系数关系式

计算出该用户组合的二阶多项式系数a，依三用户一阶多项式系数关系式

计算出该用户组合的一阶多项式系数b，依三用户常系数关系式

计算出该用户组合的常系数c；

(4.3)判断该用户组合的多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(4.8)；

(4.4)按照三用户信噪比计算式

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，并根据三用户向量加权系数计算式

计算与三用户椭圆空间向量g_i，g_j，g_k分别对应的加权系数α，β，γ；

(4.5)判断三用户综合逻辑关系式sign(α)＝sign(β)＝sign(γ)&λ∈[LB，UB]是否成立，若该式不成立，则转至步骤(4.8)；

(4.6)按照三用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j+γg_k计算候选向量x，并依最差用户信噪比计算式

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(4.7)判断加权系数符号关系式α＞0&β＞0&γ＞0是否成立，若该式成立，则继续判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若信噪比关系式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，转至第五步；若信噪比关系式不成立，则更新上界UB＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式成立，则更新下界LB＝λ并记录对应的可行候选向量x_rcd＝x及可行瓶颈信噪比λ_rcd＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式亦不成立，则若最小信噪比满足关系式snr_≥LB，更新下界LB＝snr_；

(4.8)转至步骤(4.1)重复上述步骤，经搜索用户组合数达到三用户组合最大值

后，输出最优候选矢量x_opt及最优信噪比λ_opt

$x_{\mathrm{opt}}=\left[\begin{array}{c}0.2330\\ -0.9123\\ 0.3366\end{array}\right],{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{opt}}=0.7914$

5.计算并输出波束赋形向量步骤B5，根据已获取的最优候选向量x_opt，依最优候选向量计算式x_opt＝[cos(2θ_opt)sin(2θ_opt)cos(φ_opt)sin(2θ_opt)sin(φ_opt)]^T及依最优波束赋形向量计算式

计算并输出最优波束赋形向量 $w_{\mathrm{opt}}=\left[\begin{array}{c}0.7852\\ -0.5810+0.2144i\end{array}\right].$

采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法所得到的最优波束赋形向量能够达到的最优瓶颈信噪比为λ_opt＝0.7914，对应的多播传输速率为R_opt＝0.8411bps/Hz。而采用《国际电气与电子工程师协会-信号处理汇刊》(IEEETransactions on Signal Processing，vol.54，no.6，pp.2239-2251，June 2006)刊载的“物理层多播波束赋形”(Transmit beamforming for physical-layer multicasting)一文中提出的SDR随机化方法(其中RandA，RandB，RandC各100次，共300次)，其所获得的SDR波束赋形向量为：

$w_{\mathrm{sdr}}=\left[\begin{array}{c}0.5178+0.3073i\\ 0.1230+0.7889i\end{array}\right]$

可以计算出，w_sdr所对应的SDR瓶颈信噪比为snr_sdr＝0.6073，相应的SDR多播传输速率为R_sdr＝0.6846bps/Hz。

从而可以看出，本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法较SDR随机化方法有0.16bps/Hz的性能增益，因此采用本发明方法的性能要优于SDR随机化方法。

实施例2：具有2根发送天线的MIMO多播波束赋形方法

本实施例以2根发送天线以及可变用户数为例，比较采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法和SDR随机化方法的性能。

本实施例中，基站配置发送天线数M＝2，发送功率P＝1，多播用户组用户数目满足K∈[2，24]，且均为单天线用户，即接收天线数N_k＝1，k＝1，...，K。每个用户信道的噪声方差均为1。基站端已知各用户信道矩阵均为标准独立同分布瑞利信道。

针对每一个固定的用户数目K，我们采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法和采用SDR随机化方法相对比，共进行1000次蒙特卡洛(Monte Carlo)仿真实验，以比较它们之间的性能差异。

图3给出了本实施例中采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法和采用SDR随机化方法所获得的平均多播速率的对比曲线。从图3中可以看出，在用户数目较少时(如K≤6)，采用SDR随机化方法所达到的平均多播速率曲线C2，与采用本发明方法所达到的平均多播速率曲线C1基本重合。然而，随着用户数目增大，采用本发明方法时的性能增益逐渐增大。

图4给出了固定用户数目为K＝24，进行1000次蒙特卡洛(Monte Carlo)仿真实验时，采用本发明方法和采用SDR随机化方法所获得的最优瓶颈信噪比误差累积分布函数曲线D1。可以看出，在一些情况下采用本发明方法比采用SDR随机化方法有2dB的信噪比增益。

图5给出了采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法和采用SDR随机化方法在Matlab仿真平台的运行时间对比曲线。可以看出，采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法的运行时间曲线E1低于采用SDR随机化方法的运行时间曲线E2，而且随着用户数目的增加，两种方法运行时间差值基本保持不变。

由此可见，采用本发明基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法不仅在性能上优于采用SDR随机化方法，同时在运算复杂度方面也有较大的优势，特别是在多播用户数目较多的场景中，因此适合在诸如802.11n、TD-HSPA+、TD-LTE及TD-LTE-Advanced等新一代宽带无线和移动通信系统中实施。

Claims (1)

1.一种基于剪枝搜索的两天线多播波束赋形方法，设基站配置2根发送天线，多播用户组含K个用户，且用户k配置N_k根接收天线，对应的信道矩阵 

并在基站端已知，波束赋形向量w∈￡²；其特征在于：将原最大化多播传输速率问题的求解转化为对多播用户组中性能瓶颈用户的搜索与计算，并在搜索过程中通过持续压缩最优解区间以辅助排除非瓶颈用户；具体操作步骤为：

第一步：参数初始化，依次包含以下步骤：

(11)令多播用户集合为S＝{1，2，L，K}，初始化最优解区间，令其上界为UB＝-∞，下界为LB＝+∞；

(1.2)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，K，令其信道自相关矩阵为 

依椭圆空间向量计算式

计算与该用户对应的椭圆空间向量g_k，其中(·)^*，(·)^T分别表示共轭转置和转置操作，Re(·)，Im(·)分别表示取实部和取虚部操作；

(1.3)依次从多播用户集合S中选择用户k＝1，...，K，依信道范数计算式 

计算与该用户对应的信道范数h_k，其中||·||_F表示弗罗贝尼乌斯范数；

第二步：单瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(2.1)依单瓶颈用户选择式 

计算并从多播用户集合S中选择出候选用户i；

(2.2)计算候选用户i对应的候选向量 

并依单用户信噪比计算式λ＝h_i+||g_i||计算该用户瓶颈信噪比λ；

(2.3)依最差用户信噪比计算式 

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(2.4)判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若该式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，并转至第五步；若该式不成立，则分别更新最优解区间的上界UB＝λ和下界LB＝snr_，转至第三步；

第三步：两瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(3.1)依次从多播用户集合S中选取两瓶颈候选用户组合(i，j)，i≠j，针对该用户组合构造两用户椭圆空间矩阵G_ij＝[g_ig_j]以及两用户信道范数向量h_ij＝[h_ih_j]^T；

(3.2)依两用户二阶多项式系数计算式 

计算二阶多项式系数a，依两用户一阶多项式系数计算式 

计算一阶多项式系数b，依两用户 常系数计算式 

计算常系数c，其中(·)^-1表示矩阵求逆操作，1表示元素全为1的列向量；

(3.3)判断多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.4)依两用户信噪比计算式 

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，并根据两用户向量加权系数计算式 

计算与两用户椭圆空间向量g_i，g_j分别对应的加权系数α，β；

(3.5)判断两用户综合逻辑关系式 

是否成立，若该式成立，则转至步骤(3.9)；

(3.6)按照两用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j计算候选向量x，并且更新最优解区间的上界UB＝λ；

(3.7)依最差用户信噪比计算式 

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(3.8)判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若该式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，并转至第五步；若该式不成立，则按最大化下界计算式LB＝max(LB，snr_)更新最优解区间的下界LB；

(3.9)判断已搜索用户组合数是否达到两用户组合最大值 

若该条件成立，则转至第四步，否则转至步骤(3.1)重复上述步骤；

第四步：三瓶颈用户搜索与计算，依次包含以下步骤：

(4.1)依次从多播用户集合S中选取三瓶颈候选用户组合(i，j，k)，i≠j≠k，针对该用户组合构造三用户椭圆空间矩阵G_ijk＝[g_ig_jg_k]以及三用户信道范数向量h_ijk＝[h_ih_jh_k]^T；

(4.2)依三用户二阶多项式系数计算式 

计算二阶多项式系数a，依三用户一阶多项式系数计算式 

计算一阶多项式系数b，依三用户常系数计算式 

计算常系数c；

(4.3)判断多项式系数关系式b²-ac＜0是否成立，若该式成立，则转至步骤(4.8)；

(4.4)按照三用户信噪比计算式 

计算该用户组合的瓶颈信噪比λ，并根据三用户向量加权系数计算式 

计算与三用户椭圆空间向量g_i，g_j，g_k分别对应的加权系数α，β，γ； 

(4.5)判断三用户综合逻辑关系式sign(α)＝sign(β)＝sign(γ)&λ∈[LB，UB]是否成立，若该式不成立，则转至步骤(4.8)；

(4.6)按照三用户候选向量计算式x＝αg_i+βg_j+γg_k计算候选向量x，并依最差用户信噪比计算式 

计算多播用户组中的最小信噪比snr_；

(4.7)判断加权系数符号关系式α＞0&β＞0&γ＞0是否成立，若该式成立，则继续判断信噪比关系式λ≤snr_是否成立，若信噪比关系式成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，转至第5步；若信噪比关系式不成立，则更新上界UB＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式成立，则更新下界LB＝λ并记录对应的可行候选向量x_rcd＝x及可行瓶颈信噪比λ_rcd＝λ；若加权系数符号关系式不成立且信噪比关系式亦不成立，则若最小信噪比满足关系式snr_≥LB，更新下界LB＝snr_；

(4.8)判断已搜索用户组合数是否达到三用户组合最大值 

若该条件成立，则输出最优候选向量x_opt＝x及最优瓶颈信噪比λ_opt＝λ，否则转至步骤(4.1)重复上述步骤；

第五步：计算并输出最优波束赋形向量，即根据已获取的最优候选向量x_opt，依最优候选向量计算式x_opt＝[cos(2θ_opt)sin(2θ_opt)cos(φ_opt)sin(2θ_opt)sin(φ_opt)]^T计算两个角度参数θ_opt，φ_opt，再依最优波束赋形向量计算式

计算并输出最优波束赋形向量w_opt。 

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