CN102288158B - 基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法 - Google Patents

基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法，其基本技术思想是构建一个新椭球，使得中央子午线的方向与线路延伸方向基本一致，沿线路中线延伸方向的投影变形接近于零，具体包括以下步骤：(1)构建“法截面子午线椭球E4”；(2)E0椭球到E4椭球空间直角坐标的转换；（3）E4椭球空间直角坐标到大地坐标的换算；（4）E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的换算；（5）E4椭球高斯投影变形值的计算；（6）E4椭球高斯投影变形值与投影变形限值的比较验证。该方法可有效控制长大线路的高斯长度投影变形，大大减少投影分带的数量，特别适合东西向、非南非北向的长大线路工程。

Description

基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法
技术领域
本发明属于测绘科学与技术领域，具体涉及长大线路工程（高速铁路、客运专线、高速公路、输油管路、电力线路）中建立工程独立坐标系的基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法。
背景技术
椭球面是一个凸起的不可展平的曲面，如果将这个曲面上的元素（距离、方向、角度、图形）投影到平面上，必然同原来的对应元素（距离、方向、角度、图形）产生差异，这一差异称之为投影变形。投影变形包括长度变形、方向变形、角度变形、面积变形。在地图投影中，投影变形是不可避免的，但是可以根据需要来掌握和控制它，使得某种变形减弱或为零，而其它变形最小。
长度投影变形主要有两项构成，一项为高程归化改正，一项为高斯投影变形。将地面观测值先归算到参考椭球面（或大地水准面）上，在变换过程中长度发生的变形，叫做高程归化改正。然后再从参考椭球面归化到高斯平面上，在变换过程中长度发生的变形，叫做高斯投影变形。控制长度投影变形就是控制高程归化改正和高斯投影变形的综合变形影响。
为控制长度投影变形，目前使用的椭球膨胀法、椭球平移法、椭球变形法和移动中央子午线法中，其中：椭球膨胀法、椭球平移法、椭球变形法主要控制高程归化改正，主要原因是使得椭球面与测区平均高程面（投影面）尽量接近，但对控制高斯投影变形的贡献微小，主要原因是横向坐标值变化较小，带边缘横向坐标值的数量值较大；移动中央子午线法主要控制高斯投影变形，横向坐标值的数量值较小。上述四种方法都只能处理东西跨度不大于90Km（1/4万）、40km（1/10万）的投影分带区域。原因在于其理论基础是高斯投影，且其定向均采用与国家参考椭球大致相同的指向，亦即在满足“两个平行条件”的假定下，进行椭球的定位定向。用这些方法，东西向、非南北向长大线路的困难在于频繁换带，而且不能保证坐标的单值性。椭球膨胀法、椭球平移法、椭球变形法的变换效果是通过膨胀、平移或平移并同时膨胀，使得椭球面尽量贴近测区投影面，即平均高程面，解决了高程归化改正，未能解决椭球面向平面映射的高斯投影变形，也未能扩大投影带的宽度。
对于长大线路工程（高速铁路、客运专线、高速公路、输油管路、电力线路）测量控制范围来说，呈现为直伸线形范围，可用宽度不大、长度很长的长方形圈定，在东西跨度较大的工程范围内，利用上述四种方法高斯投影难以克服其东西跨度较大带来的长度投影变形，且不能减少投影分带的数量。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法，以控制长度投影变形，并减少投影分带数量。
为实现上述目的，本发明采取的技术方案是：
一种基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法，基本技术思想是构建一个新椭球，使得中央子午线的方向与线路延伸方向基本一致，即中央子午线由南北向的子午圈上转到非南非北向的任意法截线上，长条形状的测区纵向集中在中央子午线附近，沿线路中线延伸方向的投影变形接近于零，而距法截线最远的点其垂直线路方向的横向距离亦不很大，按照高斯投影理论，可以有效地控制高斯投影变形，而且在相当长的纵向范围内，可避免频繁换带，具体包括以下步骤：
(1)构建“法截面子午线椭球E4”
以国家大地坐标系参考椭球E0上位置基准点的法截线为中央子午线，以法截线椭圆的中心为原点，法截线椭圆的短轴为z轴，法截线椭圆的长轴为x轴，以法截线椭圆的法线方向且过原点的方向为y轴，构成右手坐标系，法截线椭圆绕其z轴进行旋转，构成旋转椭球面，即法截面子午线E4椭球，分三步完成：
Figure 158764DEST_PATH_IMAGE001
选择或求定E4椭球的几何参数，其计算公式为：
Figure 13588DEST_PATH_IMAGE002
，
式中：为E0椭球的长半径，
Figure 2906DEST_PATH_IMAGE005
为E0椭球的第二偏心率平方，
Figure 763052DEST_PATH_IMAGE006
为E4椭球的长半径，
Figure 30085DEST_PATH_IMAGE007
为E4椭球的第二偏心率平方，
Figure 228985DEST_PATH_IMAGE008
为E0椭球位置基准点的大地纬度，
Figure 897864DEST_PATH_IMAGE009
为E0椭球法截线的方位角；
Figure 828911DEST_PATH_IMAGE010
确定E4椭球中心位置，其计算公式为：
Figure 583240DEST_PATH_IMAGE011
式中：
Figure 320252DEST_PATH_IMAGE012
为E4椭球中心在E0椭球参心空间直角坐标系中的坐标，
Figure 781321DEST_PATH_IMAGE013
为E0椭球位置基准点的卯酉圈曲率半径； 
Figure 211165DEST_PATH_IMAGE014
确定椭球短轴的指向，其计算公式为：
Figure 309068DEST_PATH_IMAGE017
式中：
Figure 644234DEST_PATH_IMAGE018
为E0椭球位置基准点的大地经度，
Figure 373156DEST_PATH_IMAGE019
分别为E4椭球三个坐标轴在E0椭球参心空间直角坐标系中的方向向量；
(2) E0椭球到E4椭球空间直角坐标的转换
E4椭球的空间直角坐标各分量的代数式为：
Figure 887631DEST_PATH_IMAGE021
Figure 659278DEST_PATH_IMAGE022
式中：
Figure 609916DEST_PATH_IMAGE023
分别为E4椭球的参心空间直角坐标，
Figure 492422DEST_PATH_IMAGE024
为某一测点在E0椭球的卯酉圈曲率半径，
Figure 782589DEST_PATH_IMAGE025
为某一测点在E0椭球的大地纬度，
Figure 725137DEST_PATH_IMAGE026
为某一测点在E0椭球的大地经度，为某一测点在E0椭球的大地高；
（3）E4椭球空间直角坐标到大地坐标的换算
在同一个“法截面子午线椭球”下，由空间直角坐标换算为大地坐标可以采用两种方法，一种是迭代法，一种是直接解法，其中：
迭代法的公式为：
经度
Figure 583688DEST_PATH_IMAGE028
，纬度
Figure 940399DEST_PATH_IMAGE030
若，则终止迭代，取
Figure 89937DEST_PATH_IMAGE032
直接解法的公式为：
两种方法大地高的计算一致，其公式如下：
Figure 373468DEST_PATH_IMAGE034
式中：
Figure 785995DEST_PATH_IMAGE035
为E4椭球的大地纬度、大地经度和大地高；
（4）E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的换算
“法截面子午线椭球高斯投影”的定义为：以位置基准点所在的法截面与椭球面的交线即法截线作为中央子午线，并以该中央子午线为基准进行与高斯投影一致的投影，属于等角横轴切椭圆柱投影，进行投影时，椭球参数采用E4椭球的几何参数，实现E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的变换，其计算公式为：
Figure 813994DEST_PATH_IMAGE036
Figure 933259DEST_PATH_IMAGE037
式中：–E4椭球投影后高斯平面直角坐标， - E4椭球纬度对应的中央子午线上的弧长，
Figure 890534DEST_PATH_IMAGE041
–E4椭球卯酉圈曲率半径，–大地纬度，经差，
Figure 575910DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure 945712DEST_PATH_IMAGE044
–E4椭球第二偏心率；
（5）E4椭球高斯投影变形值的计算
按照高斯投影理论，E4椭球高斯投影长度变形公式为：
Figure 836307DEST_PATH_IMAGE045
式中：
Figure 571045DEST_PATH_IMAGE046
E4椭球平均曲率半径，
Figure 179881DEST_PATH_IMAGE047
测点间边长，
Figure 353374DEST_PATH_IMAGE048
测点平均高程；
（6）E4椭球高斯投影变形值与投影变形限值的比较验证
将线路中线上采集的每一个测点按照步骤（1）至（5）进行高斯投影变形值的计算，当E4椭球高斯投影变形值均小于投影变形限值，则E4椭球下的空间直角坐标、大地坐标和平面坐标作为规划、勘测、设计、施工测量工作的基础依据；否则，需要重新调整E0椭球位置基准点的大地纬度和法截线的方位角，按照步骤（1）至（5）重新计算，直至满足投影变形限值为止。
本发明提供的基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法，与现有技术相比具有以下有益效果：
1.“法截面子午线椭球高斯投影”可以有效控制长大线路的高斯长度投影变形。从验证结果看，投影变形最大值、最小值、平均值、取绝对值的平均值等几个指标均大大减小。测区最左端距中央子午线最大距离、测区最右端距中央子午线最大距离、平均距中央子午线最大距离、宽度等几个指标均大大减小。
2.“法截面子午线椭球高斯投影”可以大大减少投影分带的数量。
3.“法截面子午线椭球高斯投影”允许线路长度为中国区域内1000km-7000km。
4.“法截面子午线椭球高斯投影”特别适合东西向、非南非北向的长大线路工程。
附图说明
图1为E0椭球和E4椭球高斯投影横向坐标值比较图
图中：细虚线为按E0椭球高斯投影后计算的横向坐标值，粗实线为按 E4椭球高斯投影后计算的横向坐标值。
图2为E0椭球和E4椭球投影变形值比较图
图中：细虚线为按E0椭球高斯投影后计算的投影变形值，粗实线为按 E4椭球高斯投影后计算的投影变形值，粗点划线为按 E4椭球并沿法截面方向进行一定旋转，进而高斯投影后计算的投影变形值。
具体实施方式
根据“新建库尔勒至格尔木（格尔木-茫崖段）铁路控制测量成果报告”的内容，正线方案长约500公里。测区地理位置位于东经：86°00′～95°30′；北纬：36°00′～42°00′。线路海拔高程最大为3163.6m，最小为2797.8m，平均为2940.4m。
坐标系统采用BJ54国家大地坐标系基本椭球参数，按高斯窄带投影的方法建立工程独立坐标系，要求边长投影变形不大于25mm/km。高程基准采用1985国家高程基准。
（1）构建“法截面子午线椭球E4”
以国家大地坐标系参考椭球E0上位置基准点的法截线为中央子午线，以法截线椭圆的中心为原点，法截线椭圆的短轴为z轴，法截线椭圆的长轴为x轴，以法截线椭圆的法线方向且过原点的方向为y轴，构成右手坐标系，法截线椭圆绕其z轴进行旋转，构成旋转椭球面，即法截面子午线E4椭球，分三步完成：
选择或求定E4椭球的几何参数，其计算公式为：
Figure 269694DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure 365826DEST_PATH_IMAGE003
式中：
Figure 77430DEST_PATH_IMAGE004
为E0椭球的长半径，
Figure 942618DEST_PATH_IMAGE005
为E0椭球的第二偏心率平方，为E4椭球的长半径，
Figure 602586DEST_PATH_IMAGE007
为E4椭球的第二偏心率平方，
Figure 852302DEST_PATH_IMAGE008
为E0椭球位置基准点的大地纬度，
Figure 837576DEST_PATH_IMAGE009
为E0椭球法截线的方位角。
E0椭球几何参数：
Figure 85017DEST_PATH_IMAGE004
=6378245m，
Figure 155742DEST_PATH_IMAGE005
=0.006693421622966，E0椭球位置基准点的大地纬度
Figure 209148DEST_PATH_IMAGE008
=36°21′20.61322324″，E0椭球法截线的方位角=-62°00′00″，经计算得到E4椭球的长半径
Figure 464342DEST_PATH_IMAGE006
=6378219.466m， E4椭球的第二偏心率平方
Figure 756783DEST_PATH_IMAGE007
=0.0033201967460270。
Figure 613880DEST_PATH_IMAGE010
确定E4椭球中心位置，其计算公式为：
Figure 308167DEST_PATH_IMAGE011
式中：
Figure 897411DEST_PATH_IMAGE012
为E4椭球中心在E0椭球参心空间直角坐标系中的坐标，
Figure 942727DEST_PATH_IMAGE013
为E0椭球位置基准点的卯酉圈曲率半径。 
经计算得，E0椭球位置基准点的卯酉圈曲率半径=6385759.463m，E4椭球中心在E0椭球参心空间直角坐标系中的坐标为:
Figure 886730DEST_PATH_IMAGE049
=0.000m，
Figure 974771DEST_PATH_IMAGE050
=18017.199m，
Figure 179488DEST_PATH_IMAGE051
=-60.499m。
Figure 378388DEST_PATH_IMAGE014
确定椭球短轴的指向，其计算公式为：
Figure 781687DEST_PATH_IMAGE015
Figure 40630DEST_PATH_IMAGE016
Figure 732643DEST_PATH_IMAGE017
式中：为E0椭球位置基准点的大地经度，
Figure 993040DEST_PATH_IMAGE019
分别为E4椭球三个坐标轴在E0椭球参心空间直角坐标系中的方向向量。
E0椭球位置基准点的大地经度=94°53′47.52314658″。
经计算，三个方向向量组成的转换矩阵参数为：
-0.7986984796635600 0.6017314505517530 0.0000000000000000
-0.4230818130814470 -0.5615707814035740 0.7110837059822790
0.4278814298644330 0.5679414748815770 0.7031073624180780
(2) E0椭球到E4椭球空间直角坐标的转换
以下的转换过程，可以实现从E0椭球的参心空间直角坐标转换到E4椭球的参心空间直角坐标。
E4椭球的空间直角坐标各分量的代数式为
Figure 877316DEST_PATH_IMAGE021
Figure 520787DEST_PATH_IMAGE052
式中：
Figure 855954DEST_PATH_IMAGE023
分别为E4椭球的参心空间直角坐标，
Figure 522559DEST_PATH_IMAGE024
为某一测点在E0椭球的卯酉圈曲率半径，
Figure 601373DEST_PATH_IMAGE025
为某一测点在E0椭球的大地纬度，
Figure 99350DEST_PATH_IMAGE026
为某一测点在E0椭球的大地经度，为某一测点在E0椭球的大地高。
挑选一部分测点，这些测点在E0椭球的参心空间直角坐标为：
点号 X(m) Y(m) Z(m)
AHK5+000.00 -442083.392 5122390.530 3761957.075
AHK6+000.00 -442090.179 5122984.366 3761152.978
AHK8+000.00 -440845.064 5123745.805 3760267.768
AK0+100.00 -438970.910 5124016.058 3760119.760
AK2+000 -437096.703 5124285.861 3759971.415
AK6+000 -433625.997 5123712.916 3761145.978
AK100+000.00 -344165.869 5114258.327 3783052.023
AK200+000.00 -258776.302 5092873.081 3818303.804
AK300+000.00 -174917.786 5062650.451 3862698.756
AK400+000.00 -100233.799 5028174.707 3909784.354
AK492+900.00 -20768.136 5008052.426 3936567.651
这些测点在E0椭球的大地坐标为：
Figure 759319DEST_PATH_IMAGE053
经计算得，E4椭球的参心空间直角坐标为：
点号 x(m) y(m) z(m)
AHK5+000.00 3435394.817 3536.168 5365057.976
AHK6+000.00 3435757.568 2633.779 5364826.970
AHK8+000.00 3435221.278 1049.932 5365169.786
AK0+100.00 3433887.014 0.000 5366021.124
AK2+000 3432552.436 -1049.942 5366871.992
AK6+000 3429435.630 -1361.373 5368857.488
AK100+000.00 3352294.838 -18323.874 5417168.464
AK200+000.00 3271226.145 -17374.350 5466345.292
AK300+000.00 3186062.569 -4312.691 5516276.527
AK400+000.00 3105667.443 16932.244 5561758.443
AK492+900.00 3030090.129 13657.020 5603163.580
（3）E4椭球空间直角坐标到大地坐标的换算
在同一个“法截面子午线椭球”下，由空间直角坐标换算为大地坐标可以采用两种方法，一种是迭代法，一种是直接解法。
迭代法的公式为：
经度
Figure 641824DEST_PATH_IMAGE054
，纬度
Figure 994308DEST_PATH_IMAGE055
Figure 936856DEST_PATH_IMAGE056
若
Figure 312474DEST_PATH_IMAGE057
，则终止迭代，取
Figure 733091DEST_PATH_IMAGE058
。
直接解法的公式为：
Figure 205661DEST_PATH_IMAGE059
两种方法大地高的计算一致，其公式如下
Figure 53531DEST_PATH_IMAGE060
式中：为E4椭球的大地纬度、大地经度和大地高。
本实施过程采用直接解法，经计算得：
Figure 137823DEST_PATH_IMAGE062
（4）E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的换算
“法截面子午线椭球高斯投影”的定义为：以位置基准点所在的法截面与椭球面的交线即法截线作为中央子午线，并以该中央子午线为基准进行与高斯投影一致的投影，属于等角横轴切椭圆柱投影。
进行投影时，椭球参数采用E4椭球的几何参数，实现E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的变换。其计算公式为：
Figure 464899DEST_PATH_IMAGE063
Figure 749250DEST_PATH_IMAGE064
式中：–E4椭球投影后高斯平面直角坐标， 
Figure 861880DEST_PATH_IMAGE039
- E4椭球纬度
Figure 43462DEST_PATH_IMAGE040
对应的中央子午线上的弧长，
Figure 498714DEST_PATH_IMAGE041
–E4椭球卯酉圈曲率半径，
Figure 336220DEST_PATH_IMAGE042
–大地纬度，经差，
Figure 902331DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 938420DEST_PATH_IMAGE044
–E4椭球第二偏心率。
点号 x’(m) y’ (m) dh(m)
AHK5+000.00 6383299.318 3536.169 -0.002
AHK6+000.00 6382869.257 2633.779 0.000
AHK8+000.00 6383505.755 1049.932 0.000
AK0+100.00 6385088.486 0.000 0.000
AK2+000 6386671.229 -1049.942 0.000
AK6+000 6390366.723 -1361.373 0.002
AK100+000.00 6481387.741 -18323.923 0.405
AK200+000.00 6576207.188 -17374.391 0.839
AK300+000.00 6674929.999 -4312.691 0.337
AK400+000.00 6767299.709 16932.289 -1.825
AK492+900.00 6853476.712 13657.044 -1.758
（5）E4椭球高斯投影变形值的计算
按照高斯投影理论，E4椭球高斯投影长度变形公式为：
Figure 564573DEST_PATH_IMAGE067
式中：
Figure 889376DEST_PATH_IMAGE068
-投影长度变形,
Figure 993598DEST_PATH_IMAGE046
E4椭球平均曲率半径，
Figure 149773DEST_PATH_IMAGE047
测点间边长，
Figure 946827DEST_PATH_IMAGE048
测点平均高程
点号
Figure 493346DEST_PATH_IMAGE068
(mm/km)
AHK5+000.00 13.0
AHK6+000.00 12.4
AHK8+000.00 9.3
AK0+100.00 9.3
AK2+000 9.3
AK6+000 6.9
AK100+000.00 21.0
AK200+000.00 1.0
AK300+000.00 -23.5
AK400+000.00 2.3
AK492+900.00 -23.6
（6）E4椭球高斯投影变形值与投影变形限值的比较验证
将线路中线上采集的每一个测点按照步骤（1）至（5）进行高斯投影变形值的计算，当E4椭球高斯投影变形值均小于投影变形限值，则E4椭球下的空间直角坐标、大地坐标和平面坐标作为规划、勘测、设计、施工测量工作的基础依据。否则，需要重新调整E0椭球位置基准点的大地纬度和法截线的方位角，按照步骤（1）至（5）重新计算，直至满足投影变形限值为止。
1.如果按照“高斯投影”的方法，中央子午线经度=93°，取投影面海拔高程H=0m，则投影变形最大为231.8mm，最小为-406. 0mm，平均为-267.3mm。取绝对值的平均值为346.1mm。测区最左端距中央子午线最大距离为-241.5km，测区最右端距中央子午线最大距离为173.7km。平均-38.8km，宽度415.2km。
2.如果按照“高斯投影与椭球膨胀法结合”的方法，取投影面海拔高程H=2830m，则投影变形最大为676.299mm，最小为-15.833mm，平均为177.023,mm。取绝对值的平均值为346.1mm。测区最左端距中央子午线最大距离为-241.5km，测区最右端距中央子午线最大距离为173.7km。平均-38.8km，宽度415.2km。
全线共分20个带。
3.如果按照“法截面子午线高斯投影”的方法，取投影面海拔高程H=2915m，则投影变形最大为22.4mm，最小为-39mm，平均为-1.4mm。取绝对值的平均值为23.7mm。测区最左端距中央子午线最大距离为-18.6km，测区最右端距中央子午线最大距离为26.8km。平均3.99km，宽度45.47km。
全线共分1个带。既大大减少了分带的数量，又使得投影变形的绝对值普遍减小，改善的效果是明显的。
4.基准点在E4椭球下的纬度B40= 57°28'11.94321"，基准点到E4椭球下的极点的纬度为90°- B40= 90°- 57°28'11.94321"=22°32'48.05679"，所对应的线路长度约为2200km。
5.提取线路中线上的点坐标，分别按E0、E4椭球高斯投影后横向坐标值，绘制图形如图1。细虚线为按E0椭球高斯投影后计算的横向坐标值，粗实线为按 E4椭球高斯投影后计算的横向坐标值，从图中可以看出粗实线比较均衡地分布于零水平线附近，表明E4椭球高斯投影后的横向坐标值大大减小。
6.提取线路中线上的点坐标，分别按E0、E4椭球高斯投影后计算投影变形值，绘制图形如图2。细虚线为按E0椭球高斯投影后计算的投影变形值，粗实线为按 E4椭球高斯投影后计算的投影变形值，粗点划线为按 E4椭球并沿法截面方向进行一定旋转，进而高斯投影后计算的投影变形值。实际上粗点划线是对粗实线进行微调，是对粗实线投影变形值的优化。从图中可以看出粗实线比较均衡地分布于零水平线附近，表明E4椭球高斯投影后的投影变形值大大减小。
（7）转向角比较验证
如果按照E0椭球“高斯投影与椭球膨胀法结合”的方法，取投影面海拔高程H=2830m，各点高斯坐标、各点之间的方位角如表1。如果按照E4椭球“法截面子午线椭球高斯投影”的方法，取投影面海拔高程H=2915m，各点高斯坐标、各点之间的方位角如表2。在同一个点上，E0椭球“高斯窄带投影”平面与E4椭球“法截面子午线椭球高斯投影”平面连续三个点的中间点的转向角之间的转向角、转向角之差列入表3。
从表3可以看出，转向角之差最大绝对值为44.83430秒，对应的距离为87km，对应里程长度为92km，平均每公里0.5秒。转向角之差最小绝对值为0.19163秒，对应的距离为1.899km，对应里程长度为1.9km和4.0km，平均每公里0.1秒。此例说明E4椭球“法截面子午线椭球高斯投影”确实具有保角的性质。
表1 E0椭球高斯坐标、各点之间的方位角
Figure 666839DEST_PATH_IMAGE069
表2 E4椭球高斯坐标、各点之间的方位角
Figure 677520DEST_PATH_IMAGE070
表3 E0椭球与E4椭球高斯平面转向角与转角之差
Figure 645476DEST_PATH_IMAGE071

Claims (1)

1.一种基于法截面子午线椭球控制高斯投影变形的方法，其特征在于，该方法的基本技术思想是构建一个新椭球，使得中央子午线的方向与线路延伸方向基本一致，即中央子午线由南北向的子午圈上转到非南非北向的任意法截线上，长条形状的测区纵向集中在中央子午线附近，沿线路中线延伸方向的投影变形接近于零，具体包括以下步骤：
(1) 构建“法截面子午线椭球E4”
以国家大地坐标系参考椭球E0上位置基准点的法截线为中央子午线，以法截线椭圆的中心为原点，法截线椭圆的短轴为z轴，法截线椭圆的长轴为x轴，以法截线椭圆的法线方向且过原点的方向为y轴，构成右手坐标系，法截线椭圆绕其z轴进行旋转，构成旋转椭球面，即法截面子午线E4椭球，分三步完成：
Figure 747100DEST_PATH_IMAGE001
选择或求定E4椭球的几何参数，其计算公式为：
Figure 775099DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure 891435DEST_PATH_IMAGE003
式中：
Figure 81108DEST_PATH_IMAGE004
为E0椭球的长半径，
Figure 980931DEST_PATH_IMAGE005
为E0椭球的第二偏心率平方，
Figure 484725DEST_PATH_IMAGE006
为E4椭球的长半径，为E4椭球的第二偏心率平方，
Figure 146967DEST_PATH_IMAGE008
为E0椭球位置基准点的大地纬度，
Figure 471769DEST_PATH_IMAGE009
为E0椭球法截线的方位角；
Figure 841571DEST_PATH_IMAGE010
确定E4椭球中心位置，其计算公式为：
Figure 732166DEST_PATH_IMAGE011
式中：
Figure 466904DEST_PATH_IMAGE012
为E4椭球中心在E0椭球参心空间直角坐标系中的坐标，
Figure 75740DEST_PATH_IMAGE013
为E0椭球位置基准点的卯酉圈曲率半径； 
Figure 249232DEST_PATH_IMAGE014
确定椭球短轴的指向，其计算公式为：
Figure 259914DEST_PATH_IMAGE015
Figure 261685DEST_PATH_IMAGE017
式中：
Figure 973289DEST_PATH_IMAGE018
为E0椭球位置基准点的大地经度，
Figure 776160DEST_PATH_IMAGE019
分别为E4椭球三个坐标轴在E0椭球参心空间直角坐标系中的方向向量；
所述的法截线椭圆的定义为：过位置基准点的正法截面与椭球面的交线是一个空间上的平面椭圆曲线，其主轴方向、椭圆中心、两个半轴长度、偏心率与E0椭球子午面椭圆不同，该法截线是空间平面椭圆曲线的一部分，其作为法截面子午线椭球高斯投影面中央子午线的一段，其法截线长度亦即该法截线的子午线弧长；
(2) E0椭球到E4椭球空间直角坐标的转换
E4椭球的空间直角坐标各分量的代数式为：
Figure 915017DEST_PATH_IMAGE020
Figure 748161DEST_PATH_IMAGE022
式中：
Figure 671117DEST_PATH_IMAGE023
分别为E4椭球的参心空间直角坐标，为某一测点在E0椭球的卯酉圈曲率半径，
Figure 51600DEST_PATH_IMAGE025
为某一测点在E0椭球的大地纬度，
Figure 105007DEST_PATH_IMAGE026
为某一测点在E0椭球的大地经度，
Figure 882470DEST_PATH_IMAGE027
为某一测点在E0椭球的大地高；
（3）E4椭球空间直角坐标到大地坐标的换算
在同一个“法截面子午线椭球”下，由空间直角坐标换算为大地坐标可以采用两种方法，一种是迭代法，一种是直接解法，其中：
迭代法的公式为：
经度
Figure 363130DEST_PATH_IMAGE028
，纬度
Figure 655571DEST_PATH_IMAGE029
Figure 453281DEST_PATH_IMAGE030
若
Figure 147568DEST_PATH_IMAGE031
，则终止迭代，取
Figure 799129DEST_PATH_IMAGE032
直接解法的公式为：
两种方法大地高的计算一致，其公式如下：
Figure 177338DEST_PATH_IMAGE034
式中：
Figure 726131DEST_PATH_IMAGE035
为E4椭球的大地纬度、大地经度和大地高；
（4）E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的换算
“法截面子午线椭球高斯投影”的定义为：以位置基准点所在的法截面与椭球面的交线即法截线作为中央子午线，并以该中央子午线为基准进行与高斯投影一致的投影，属于等角横轴切椭圆柱投影，进行投影时，椭球参数采用E4椭球的几何参数，实现E4椭球大地坐标到高斯平面坐标的变换，其计算公式为：
Figure 814173DEST_PATH_IMAGE036
Figure 81206DEST_PATH_IMAGE037
式中：–E4椭球投影后高斯平面直角坐标， 
Figure 621089DEST_PATH_IMAGE039
- E4椭球纬度
Figure 880032DEST_PATH_IMAGE040
对应的中央子午线上的弧长，
Figure 634361DEST_PATH_IMAGE041
–E4椭球卯酉圈曲率半径，
Figure 309056DEST_PATH_IMAGE042
–大地纬度，经差，
Figure 832441DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure 262286DEST_PATH_IMAGE044
–E4椭球第二偏心率；
（5）E4椭球高斯投影变形值的计算
按照高斯投影理论，E4椭球高斯投影长度变形公式为：
式中：
Figure 716718DEST_PATH_IMAGE046
E4椭球平均曲率半径，
Figure 360189DEST_PATH_IMAGE047
测点间边长，测点平均高程；
（6）E4椭球高斯投影变形值与投影变形限值的比较验证
将线路中线上采集的每一个测点按照步骤（1）至（5）进行高斯投影变形值的计算，当E4椭球高斯投影变形值均小于投影变形限值，则E4椭球下的空间直角坐标、大地坐标和平面坐标作为规划、勘测、设计、施工测量工作的基础依据；否则，需要重新调整E0椭球位置基准点的大地纬度和法截线的方位角，按照步骤（1）至（5）重新计算，直至满足投影变形限值为止。
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