CN102279419A - 一种基于遗传算法提高缝洞型油藏自动历史拟合效率的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于遗传算法的油藏辅助自动历史拟合方法，属于油藏数值模拟领域。本方法以油、气、水拟合评价值的均值作为适应度，使用单目标遗传算法进行运算；设置档案记录遗传算法运算全过程产生的油、气、水拟合评价值的Pareto解。该算法既可得到比多目标遗传算法更优的结果，同时又为用户提供了一组解，而不是一个解，从而提高了油藏自动历史拟合的效率。另外，本发明提出了一种新的油藏历史拟合评价函数，有效地提高了油藏自动历史拟合效率。

Description

一种基于遗传算法提高缝洞型油藏自动历史拟合效率的方法

技术领域

本发明属于地球物理学中物探开发领域，具体涉及一种基于遗传算法的油藏辅助自动历史拟合方法。

背景技术

历史拟合是油藏数值模拟研究中一个十分重要的环节，目的是寻找一组油藏参数使模拟器的输出与油藏实际产量相匹配，通常是使实际测量值与模拟器计算值之差的平方最小化。使用计算机技术来实现历史拟合的过程称为自动历史拟合。

历史拟合是油藏数值模拟研究中一个十分重要的环节，它是预测油田开发动态的基础。所谓历史拟合，就是先用所录取的地层静态参数来计算油藏开发过程中主要动态指标变化的历史，把计算的结果与所观测到的油藏或油井的主要动态指标例如压力、产量、气油比、含水等进行对比，如果发现两者之间有较大的差异，而使用的数学模型又正确无误，则说明模拟时所用的静态参数不符合油藏的实际情况。这时，就必须根据底层静态参数与压力、产量、气油比、含水等动态参数的相关关系，对所使用的油层静态参数作相应的修改，然后用修改后的油层参数再次进行计算并进行对比。如果仍有差异，则再次进行修改。这样进行下去，直到计算结果与实测动态参数相当接近，达到允许的误差范围为止。用计算机程序来实现这个过程就称为“自动历史拟合”。

历史拟合问题是通过调整敏感参数(如孔隙度、渗透率等)，使得数值模拟计算的量如压力、油气比、含水等都接近实际测量值。实质上是一个最优化问题。

需要拟合的模型可以写为：

U＝U(t，a)

其中U为目标拟合量，如压力、油气比、含水等；a为m个被估参数，a＝(a₁，a₂，…，a_m)^T，如渗透率、孔隙度等；t是时间。

问题是求目标函数

$f\left(a\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left[\frac{U_i-U(t_i,a_i)}{{\mathrm{\σ}}_i}\right]}^2,i=\mathrm{1,2}...,N$

的极小值。其中，U_i是在t_i时刻油田实际测量的压力、含水、油气比等目标拟合量。σ_i是在t_i时刻的测量标准差。即寻找参数a^*使计算值U＝U(t_i，a_i ^*)与实际测量值U_i的误差平方和达到极小值。

这个目标函数f(a)的值就称为“拟合评价值”。

遗传算法借鉴了自然选择的生物进化论思想，是一种模拟生物进化过程的随机算法。

在一定地域中，一个物种的全体成员构成一个种群。

对遗传算法而言，种群是要解决问题的一组潜在解。种群的开始，一般使用随机的方法产生。算法中“种群”中成员数目的多少称为“种群规模”，“最大演化代数”指算法中控制种群繁殖的最大代数。

成员个体对环境的适应程度叫做适应度。算法依据适应度评价个体的优劣。

为了使这个种群能够按生物进化的规律产生他们的后代，算法中设置了“选择”、“交叉”，“变异”的操作。“选择”一般指从种群中选出一定数量的个体，这些个体参与“交叉”的操作。“交叉”可以理解为父代产生子代的方式(如，用两个父代个体的均值作为新的后代)。“变异”可以理解为个体的基因发生了突变。

关于Pareto对于多目标优化问题：

Min     y＝f(x)＝(f₁(x)，…，f_n(x))

where   x＝(x₁，…，x_m)∈X

        y＝(y₁，…，y_n)∈Y

Pareto支配的定义为：

变量a∈X支配b∈X(记做：

)当且仅当

$\&Exists;j\&Element;\{1,...,n\}:f_j\left(a\right)<f_i\left(b\right)$

Pareto最优解定义为

多目标问题的一个矢量解u是Pareto最优解，当且仅当不存在另一个矢量解v使得f(v)Pareto支配f(u)。所有的Pareto最优解称为Pareto最优解集。

以最优控制理论为基础来解决油藏自动历史拟合问题始于上世纪70年代。以最优控制理论为基础的自动历史拟合的实现方法根据所使用数学方法的不同可分为两类，一类是传统优化算法，如Gauss-Newton、Levenberg-Marquardt、PCG、BFGS、LBFGS，另一类是现代优化算法，如演化算法、集合卡尔曼滤波和响应面模型。

油藏自动历史拟合总体上仍停留在理论研究和小规模应用的水平。

使用传统优化方法实现自动历史拟合存在的问题主要有：

1，对于众多参数，如何快速准确计算每一个参数的梯度的问题；

2，计算机辅助自动历史拟合工具不知道调整哪些参数，还需要人工干预；

3，实际使用中网络规模往往很大，算法需要具备高效的并行能力；

4，历史拟合的多解性。

而使用现代优化算法实现自动历史拟合主要存在的问题是：如何有效地降低算法调用模拟器的次数，提高效率，以在可接受的时间内完成拟合运算。

另外，目前各种油藏自动历史拟合算法中使用的拟合评价函数主要有三种形式：

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_i\frac{{(y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right))}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}---\left(1\right)$

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}|y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right)|---\left(2\right)$

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right))}^2---\left(3\right)$

其中，

是由模型参数x模拟计算的结果，

为井的历史生产数据，是测量数据的方差，ωi为用户定义的权重。

这三种定义中都直接使用了绝对误差作为评价标准，这样定义拟合评价函数直观且计算简单，但存在很大的缺点，分析如下：

例1，假设生产井a每天的产量为1吨，一次模拟计算出的产量每天均为1.2吨；另一口生产井b每天产量为10吨，模拟计算的产量每天均为10.2吨，两口井要拟合的历史都是10天。拟合情况如图1所示。

如果使用上述的(2)式作为评价函数，井a和井b的评价值是相等的。但是很明显，产量为1吨时相差0.2吨和产量为10吨时相差0.2吨的意义是不同的，也就是说，b井的拟合情况要比a井的拟合情况好很多。也就是说，两井的拟合绝对误差和相等，但拟合效果有很大差别。因此，拟合评价函数应该考虑误差的相对大小。

例2，假设生产井c的实际产量为每天1吨，需要拟合的生产历史为10天。现有这样两种模拟结果：第一次模拟计算得到的产量每天均为1.2吨；第二次模拟计算得到的产量中除一个时间点为10吨以外，其他时间点全部为1.1吨(实际的拟合中经常出现这种个别拟合点偏离较大的情况)，如图2所示。

如果使用上述的(2)式作为评价函数，则第一次模拟的评价值为2，第二次模拟的评价值为9.9。对于这种情况，油藏工程师一般认为在评价的时候不应该有这么大的差距，即个别偏离较大点对整体拟合评价的影响应该被弱化。因此，拟合评价函数应该具有减小个别误差较大点对总体拟合评价的功能。

由上面的两个例子可以看出，简单的使用测量值和模拟值的绝对误差作为目标函数是不合理的。因此，要设计一个能合理评价拟合结果优劣的评价函数就必须考虑两种情况：1，不能简单地以绝对误差作为评价标准；2，能消除个别偏离较大点对整体评价的影响，至少要降低这种影响。

相对误差的定义是：

$E_r=\frac{|a^{\text{'}}-a|}{a}---\left(4\right)$

其中a为标准值，a′为示值。

使用相对误差能避免第一种情况的发生，即能体现出误差的相对大小。但实际拟合中的情况一般都非常复杂，考虑下面的一种情况：

例3，假设井d的实测产量与两次的模拟计算产量如表1所示，这两次模拟计算值除在第6时间点上有差别外其他时间点均相等，如图3所示。

如果使用(4)式作为评价函数，模拟值1的评价值为10.9275，模拟值2的评价值为1.9275。显然，这种拟合评价方法不能合理地反映这两次拟合程度的差别。

时间	测量值	模拟值1	模拟值2
				1	1	1.2	1.2
2	0.8	1	1
				3	0.6	0.7	0.7
4	0.3	0.3	0.3
				5	0.2	0.25	0.25
6	0.001	0.1	0.01
				7	0.01	0.1	0.1
8	1.2	1.1	1.1
				9	1	1.2	1.2
10	0.8	0.9	0.9

表1

发明内容

本发明的目的在于解决上述现有技术中存在的难题，提供一种基于遗传算法的油藏辅助自动历史拟合方法，提高拟合评价函数对拟合情况的判别能力，提高油藏历史拟合效率，实现油藏历史拟合自动化，提升油藏数值模拟的应用水平，使油藏数值模拟更好地为生产服务，提高油田效益。说明：通过自动历史拟合可以确定油藏工程中的未知参数，有了这些参数可以指导油藏措施的制定。

遗传算法是一种与梯度无关的现代优化算法，以其思想简单、便于实现、高健壮性、高鲁棒性等特点被广泛地应用在人工智能、智能控制、优化和搜索、机器学习等领域。

使用遗传算法实现油藏自动历史拟合有两个优点：第一，不需要计算参数的梯度；第二，与特定模拟器无关，只需要如压力、相饱和度这样的模拟器输出的数据。油藏自动历史拟合问题实质上是一个多目标优化问题，需要用多目标遗传算法进行运算。

通过多次实例计算发现：以油、气、水三相的拟合评价值的均值作为适应度，使用单目标遗传算法得到的拟合结果，比使用多目标遗传算法产生的Pareto解均值的误差要小。

本发明是通过以下技术方案实现的：

一种基于遗传算法的油藏自动历史拟合方法，所述拟合方法以油藏参数油、气、水拟合评价值的均值作为适应度，使用单目标遗传算法进行运算；设置非劣解Pareto档案记录遗传算法运算全过程产生的油、气、水拟合评价值的Pareto解；

所述历史拟合方法包括以下步骤：

(1)设置并收集油藏工程参数步骤：设置油藏自动历史拟合需要的文件：地质模型数据的位置，模拟输出文件的位置；并设置渗透率、孔隙度的取值范围、拟合最小误差等参数；

(2)拟合参数设置步骤：设置拟合过程的演化代数、种群规模、变异系数；

(3)初始化种群步骤：根据步骤(1)、(2)参数，生成遗传算法的初始种群；

(4)根据当前个体生成模拟器输入文件：将步骤(3)生成的种群个体对应生成油藏数值模拟器的输入文件，并调用模拟器进行模拟操作；

(5)生成并收集模拟器输出文件中的产量数据；

(6)使用拟合评价函数对拟合结果进行评价过程；

(7)判断当前个体是否为Pareto解，是则记入Pareto档案；

(8)判断误差，如果误差达到要求转到(11)，否则转到(9)；

(9)如果当前代中的个体全部评价完成转到(10)，否则转到(4)；

(10)使用选择、交叉、变异算子产生新一代种群；

本步骤中使用了锦标赛选择算子，这种选择方式是随机地从种群中挑选一定数目(Tour)的个体，然后将最好的个体选作父个体。重复这个过程完成个体的选择。锦标赛选作的参数为竞赛规模Tour一般取2。专利中使用了PNX(Parent Centric Normal Crossover)交叉算子，算法首先产生一个随机数ω∈[0，1]，如果ω＜0.5，使用

如果ω≥0.5，使用

这个选择确定下来后子代每个分量都用同一个公式产生。

$y_j^{\left(1\right)}=N(x_j^{\left(1\right)},|x_j^{\left(2\right)}-x_j^{\left(1\right)}|/\mathrm{\&eta;}),$ $y_j^{\left(2\right)}=N(x_j^{\left(2\right)},|x_j^{\left(2\right)}-x_j^{\left(1\right)}|/\mathrm{\&eta;})$

其中，N(μ，σ)是均值为μ，标准差为σ的高斯分布产生的随机数；是第i个父体的第j个分量；η为可变参数由用户指定，η值越大所产生的子代越向父代集中，专利中设置为3。专利中使用了随机变异算子，从参数的取值区间中随机均匀选择一个数值来代替需要变异的个体。

(11)结束并输出结果。

所述方法中的步骤(7)的存储介质采用计算机，用于存储拟合过程后产生的数据并且计算拟合评价值。

在所述步骤(2)中，演化代数设置为50，种群规模设置为30，变异系数设置为0.005；

误差要求为小于0.1。

本发明中，所述拟合评价函数可采用现有技术中的拟合函数，为

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_i\frac{{(y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right))}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}---\left(1\right)$

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}|y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right)|---\left(2\right)$

$F=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(y_i^{\mathrm{obs}}-y_i^{\mathrm{calc}}\left(x\right))}^2---\left(3\right)$

中的一种。

优选的，本发明采用的拟合评价函数为

$F=\frac{1}{N\&times;K}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)}{\mathrm{Max}(y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}+\mathrm{\&xi;},y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)+\mathrm{\&xi;})}\right)$

其中，N为生产井数，K为井的实测数据个数，

为第i口井的第j时刻的实测生产数据，

是由模型参数x模拟计算的第i口井的第j时刻的模拟产量，为了保证除数不为0，ξ取一个极小的正实数。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：(1)本发明提供的拟合评价函数能更好地对拟合结果进行评价，从而提高了拟合效率；(2)本发明提供的单目标遗传算法与Pareto档案相结合的算法不仅保证了拟合能得到更优的拟合结果，而且为用户提供了一组可选的可能解，从而提高了油藏自动历史拟合的效率。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步详细描述：

图1-1是现有技术中例1中的a井的拟合曲线。

图1-2是现有技术中例1中的b井的拟合曲线。

图2是现有技术中例2中的c井的两次拟合的拟合曲线。

图3-1是现有技术中例3中的d井第一次拟合的拟合曲线。

图3-2是现有技术中例3中的d井第二次拟合的拟合曲线。

图4是本发明提出的评价函数与相对误差的函数图像。

图5是本发明提出的单目标遗传算法与Pareto档案相结合的油藏自动历史拟合方法流程图。

图6是本发明实施例中的系统活动图。

图7是本发明实施例中全区产水拟合曲线。

图8-1是本发明实施例中井TPRO1的油产量拟合情况图。

图8-2是本发明实施例中井TPRO1的气产量拟合情况图。

图8-3是本发明实施例中井TPRO1的水产量拟合情况图。

图8-4是本发明实施例中井TPRO1的液产量拟合情况图。

图9-1是本发明实施例中井TPRO2的油产量拟合情况图。

图9-2是本发明实施例中井TPRO2的气产量拟合情况图。

图9-3是本发明实施例中井TPRO2的水产量拟合情况图。

图9-4是本发明实施例中井TPRO2的液产量拟合情况图。

图10-1是本发明实施例中井TPRO3的油产量拟合情况图。

图10-2是本发明实施例中井TPRO3的气产量拟合情况图。

图10-3是本发明实施例中井TPRO3的水产量拟合情况图。

图10-4是本发明实施例中井TPRO3的液产量拟合情况图。

图11-1是本发明实施例中井TPRO4的油产量拟合情况图。

图11-2是本发明实施例中井TPRO4的气产量拟合情况图。

图11-3是本发明实施例中井TPRO4的水产量拟合情况图。

图11-4是本发明实施例中井TPRO4的液产量拟合情况图。

具体实施方式

一种基于遗传算法的油藏辅助自动历史拟合方法，所述方法以油、气、水拟合评价值的均值作为适应度，使用单目标遗传算法进行运算；设置Pareto档案记录遗传算法运算全过程产生的油、气、水拟合评价值的Pareto解。这种方式既得到了比多目标遗传算法更优的结果，同时又为用户提供了一组Pareto解，而不是一个解。

如图5所示，所述方法的流程如下：

(1)初始化种群；

(2)根据当前个体生成模拟器输入文件，并调用油藏数值模拟器进行模拟运算；

(3)模拟运算完成后，读取模拟器输出文件中的产量数据并分别计算油、气、水的拟合评价值，判断当前个体是否为Pareto解，是则记入Pareto档案；

(4)以油、气、水拟合评价值的均值作为适应度，如果达到终止条件则转到(7)，否则转到(5)；

(5)如果当前代中的个体全部评价完成则转到(6)，否则转到(2)；

(6)使用选择、交叉、变异算子产生新一代种群；

(7)结束并输出结果。

所述方法使用计算机技术来存储拟合过程中产生的大量数据并且计算拟合评价值。所述方法是通过软件系统来实现的，如图6所示，具体的软件系统流程如下：

(1)工程设置：设置油藏自动历史拟合需要的文件、参数；

(2)计算实例设置：设置拟合运算的演化代数、种群规模、变异系数；

(3)初始化种群；

(4)根据当前个体生成模拟器输入文件，并调用模拟器进行模拟运算；

(5)模拟运算完成后读取模拟器输出文件中的产量数据；

(6)使用拟合评价函数对拟合结果进行评价；

(7)判断当前个体是否为Pareto解，是则记入Pareto档案；

(8)判断误差，如果误差达到要求转到(11)，否则转到(9)；

(9)如果当前代中的个体全部评价完成转到(10)，否则转到(4)；

(10)使用选择、交叉、变异算子产生新一代种群；

(11)结束并输出结果。

所述方法中使用的拟合评价函数为：

$F=\frac{1}{N\&times;K}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)}{\mathrm{Max}(y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}+\mathrm{\&xi;},y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)+\mathrm{\&xi;})}\right)---\left(5\right)$

其中，N为生产井数，K为井的实测数据个数，

为第i口井的第j时刻的实测生产数据，是由模型参数x模拟计算的第i口井的第j时刻的模拟产量，ξ为一个很小的正实数。

所述拟合评价函数中用

来代替如果使用

应该证明两者在同一区间具有相同的单调性，证明如下：

1.当a≥a′时，

$\frac{|a^{\text{'}}-a|}{\mathrm{Max}(a^{\text{'}},a)}=\frac{|a^{\text{'}}-a|}{a}---\left(6\right)$

2.当a＜a′时，

$\frac{|a^{\text{'}}-a|}{a}=\frac{a^{\text{'}}}{a}-1=y---\left(7\right)$

$\frac{|a^{\text{'}}-a|}{\mathrm{Max}(a^{\text{'}},a)}=1-\frac{a}{a^{\text{'}}}=y^{\text{'}}---\left(8\right)$

令

(7)式变为y＝x-1，x＞1；(8)式为

由函数图像(如图4所示)可知

与在相同的区间具有相同的单调性。即：可以使用

作为评价函数。

使用(5)式(ξ取0.0001)对前述的3个例子中的拟合进行评价：a井的拟合评价值为0.1667，b井的拟合评价值为0.0196，很好地体现了两次拟合结果的差异；c井两次拟合的评价分别为0.1667和0.1718，有效地消除了个别偏离较大点对整体评价的影响；d井两次拟合的评价分别为0.2959和0.2861，比使用相对误差更合理地评价了两次拟合的差别。

为了验证本发明的拟合评价函数在历史拟合问题上的有效性，以(2)式的均值和(5)式为拟合评价函数分别进行了10次油藏自动历史拟合模拟实验。实验数据如表2所示，从实验数据看出本发明的拟合评价函数获得了更好的拟合效果。

表2

在具体实施中，使用本发明提出的方法在一个一注四采的地址模型(21×20×4)上做了历史拟合运算。算法种群规模为20，繁衍代数为20，变异概率取0.005。拟合结果是：全区累积产水拟合绝对误差为19.12吨，相对误差1.51％，拟合效果如图7所示。从结果可知本发明可得到较好的效果。

在拟合结果中，最优值(f_o＝0.0341，f_g＝0.2366，f_w＝0.1352)对应的全区累积产水拟合绝对误差为19.12吨，相对误差1.51％。单井拟合结果见表3。

井名	绝对误差(吨)	相对误差(％)
			PR01	5.75	2.12
PR02	1.73	1.38
			PR03	15.93	3.87
PR04	7.21	1.56

表3

运算产生的Pareto解集如表4所示：

序号	油	气	水
				1	0.0341	0.2366	0.1352
2	0.0322	0.237	0.1352
				3	0.0287	0.2438	0.1308
4	0.0334	0.2348	0.1358
				5	0.0353	0.2107	0.1567
6	0.0345	0.2247	0.1478
				7	0.0334	0.2447	0.1258
8	0.0352	0.2586	0.1196
				9	0.0324	0.2424	0.1294
10	0.0338	0.2308	0.147
				11	0.0336	0.2332	0.145
12	0.0317	0.2549	0.1304
				13	0.0321	0.2746	0.1213

表4

第一个Pareto解(f_o＝0.0341，f_g＝0.2366，f_w＝0.1352)的拟合情况如图8-图11所示。从油、气、水的拟合曲线可知本发明得到了较好的效果。

上述技术方案只是本发明的一种实施方式，对于本领域内的技术人员而言，在本发明公开了应用方法和原理的基础上，很容易做出各种类型的改进或变形，而不仅限于本发明上述具体实施方式所描述的方法，因此前面描述的方式只是优选地，而并不具有限制性的意义。

Claims (3)

1.一种基于遗传算法的油藏自动历史拟合方法，其特征在于，所述拟合方法以油藏参数油、气、水拟合评价值的均值作为适应度，使用单目标遗传算法进行运算；设置非劣解Pareto档案记录遗传算法运算全过程产生的油、气、水拟合评价值的Pareto解；

所述历史拟合方法包括以下步骤：

(1)设置并收集油藏工程参数步骤：设置油藏自动历史拟合需要的文件：地质模型数据的位置，模拟输出文件的位置；并设置渗透率、孔隙度的取值范围、拟合最小误差等参数；

(2)拟合参数设置步骤：设置拟合过程的演化代数、种群规模、变异系数；

(3)初始化种群步骤：根据步骤(1)、(2)参数，生成遗传算法的初始种群；

(4)根据当前个体生成模拟器输入文件：将步骤(3)生成的种群个体对应生成油藏数值模拟器的输入文件，并调用模拟器进行模拟操作；

(5)生成并收集模拟器输出文件中的产量数据；

(6)使用拟合评价函数对拟合结果进行评价过程；

(7)判断当前个体是否为Pareto解，是则记入Pareto档案；

(8)判断误差，如果误差达到要求转到(11)，否则转到(9)；

(9)如果当前代中的个体全部评价完成转到(10)，否则转到(4)；

(10)使用选择、交叉、变异算子产生新一代种群；

(11)结束并输出结果。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述方法中的步骤(7)的存储介质采用计算机，用于存储拟合过程后产生的数据并且计算拟合评价值。

3.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于，所述拟合评价函数为：

$F=\frac{1}{N\&times;K}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)}{\mathrm{Max}(y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{obs}}+\mathrm{\&xi;},y_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{calc}}\left(x\right)+\mathrm{\&xi;})}\right)$

其中，N为生产井数，K为井的实测数据个数，

为第i口井的第j时刻的实测生产数据，

是由模型参数x模拟计算的第i口井的第j时刻的模拟产量，为了保证除数不为0，ξ取一个极小的正实数。

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