CN102201033A - 航空多转子耦合系统动力学的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种航空多转子耦合系统动力学的分析方法，属于转子动力学领域。该方法借助有限元法解决问题的思想，首先将航空多转子耦合系统在耦合部件处分开，形成独立的转子；然后将每一根转子作为一个单元，并将耦合部件的耦合力作为耦合部件所在单元的外力，得出每个单元的动力学微分方程；对各个耦合部件的耦合力进行分析，获得耦合矩阵以及耦合力的方程；最后联立每个单元的动力学微分方程、每个单元耦合力的方程，便得到了航空多转子耦合系统动力学微分方程，求解后即得出航空多转子耦合系统动力学特性。该方法思路清晰，表达式简单、规范，适用于航空多转子耦合系统动力学的分析，可以较准确的描述耦合部件，提高计算结果的精度。

Description

航空多转子耦合系统动力学的分析方法

技术领域

本发明涉及转子动力学领域，具体是一种航空多转子耦合系统动力学的分析方法。

背景技术

航空发动机对飞机的性能以及飞机研制的成败和进度有着决定性影响，对国防和国民经济有重要意义。航空发动机是一个知识高度密集型的高科技装备，需要解决的各种科学难题非常多，其中航空发动机振动问题一直是人们关注的焦点。造成航空发动机振动过大的原因有很多，最基本的一个原因是航空发动机附件传动系统结构设计不合理。航空发动机附件传动系统是一种典型的航空多转子耦合系统，它不仅给航空发动机的燃油泵、滑油泵及发电机提供动力，还要为飞机的正常工作提供动力。航空发动机附件传动系统的动力学特性直接影响着航空发动机以及整个飞机的可靠性，如果航空发动机附件传动系统出现故障，将会造成航空发动机停车等严重事故，所以航空发动机附件传动系统的动力学分析具有重要的现实意义。

目前，已发表的学术论文及著作上还没有出现与本发明相近似的分析方法，通过对专利库的检索并未找到与本发明相近的专利。通过查阅相关文献发现，目前，针对航空多转子耦合系统的分析多采用传递矩阵法和有限元法，传递矩阵法矩阵阶数不随自由度的增加而增大，特别适合链式系统，其不足是在考虑支承系统等转子周围结构时分析困难。航空多转子耦合系统是一种多分支、多转子、齿轮耦合系统，并且存在斜交轴，不适合用传递矩阵法进行动力学分析。有限元法虽不受结构复杂的限制，但其依赖商用有限元软件，自由度数特别大，耗费计算机时。因此，为了对航空多转子耦合系统进行有效的动力学分析，迫切需要建立一种新的航空多转子耦合系统动力学的分析方法。

发明内容

为了克服现有航空多转子耦合系统动力学分析方法中存在的在考虑支承系统等转子周围结构时分析困难、计算耗时等不足，本发明提供了一种新的航空多转子耦合系统动力学的分析方法。该方法借助有限元法解决问题的思想。首先将复杂的航空多转子耦合系统在耦合部件(齿轮、中介轴承、联轴器)处分开，形成独立的转子；然后将每一根转子作为一个单元，并将耦合部件的耦合力作为耦合部件所在单元的外力，对每个单元进行动力学分析，得出每个单元的动力学微分方程；对各个耦合部件的耦合力进行分析，获得耦合矩阵以及耦合力的方程；最后联立每个单元的动力学微分方程、每个单元耦合力的方程，便得到了航空多转子耦合系统动力学微分方程，求解后即得出航空多转子耦合系统动力学特性。

本发明为了实现上述目的，所采用的技术方案为：一种航空多转子耦合系统动力学的分析方法，包括如下步骤：

步骤一：建立航空多转子耦合系统动力学模型；

首先将航空多转子耦合系统在耦合部件处分开形成N个单元，所述耦合部件为齿轮、中介轴承、联轴器；

采用集总参数法对每个单元进行离散化处理，离散化后的第i个单元包括M_i个轴承的等效弹簧和由N_i-1个无质量的弹性轴段联接的N_i个节点；所述轴承的等效弹簧的刚度k_e由内外圈与滚动体的接触刚度k_e1、外圈的支承刚度k_e2和航空多转子耦合系统吊挂刚度k_e3串联组成，即

其中k_ei(i＝1，2，3)由实验获得：

k_ei＝F_i/δ_i    (i＝1，2，3)

式中，F_i为实验外加载荷，单位为N，δ_i为相对变形，单位为m；

相邻单元之间通过耦合部件的等效弹簧连接；所述耦合部件的等效弹簧的刚度k_e由实验获得：

k_e＝F/δ

式中，F为实验外加载荷，单位为N，δ为相对变形，单位为m；

步骤二：对步骤一建立的动力学模型中的单元进行动力学分析，得出每个单元的动力学微分方程；

为每个单元建立局部坐标系O_ix_iy_iz_i，i＝1，2，...，N，原点O_i在单元轴线上，z_i沿轴线方向；考虑到弯扭耦合的情况，第i个单元的第j个节点有5个独立的自由度：

x_i，j——节点质心沿x_i坐标轴的位移，

θ_y，i，j——节点轴线绕y_i坐标轴的偏角，

y_i，j——节点质心点沿y_i坐标轴的位移，

θ_x，i，j——节点轴线绕x_i坐标轴的偏角，

——节点绕z_i坐标轴的转角，

上述表达中，i＝1，2，...，N，j＝1，2，...N_i；

将耦合部件的耦合力作为耦合部件所在单元的外力，由达朗贝尔(D′Alembert)原理可得第i个单元的动力学微分方程：

[M]_i{ü}_i+[K]_i{u}_i+{P_m}_i＝{P}_i

式中：{u}_i为第i个单元的位移矢量，其表达式为

[M]_i为第i个单元的质量矩阵，为对角矩阵，其表达式为

其中，m_i，j为第i个单元中第j个节点的集总质量，J_y，i，j、J_x，i，j分别为第i个单元中第j个节点绕y_i轴、x_i轴的直径转动惯量，J_z，i，j为第i个单元中第j个节点的极转动惯量；对第i个单元用集总参数法进行离散化处理过程中，可得到m_i，j、J_y，i，j、J_x，i，j、J_z，i，j；

[K]_i为第i个单元的刚度矩阵，为5×N_i阶方阵，根据达朗贝尔(D′Alembert)原理可得出[K]_i；

{P_m}_i为第i个单元所受到的耦合力，其值是所有单元的位移矢量{u}_k，k＝1，2，...，N的函数：

${\left\{P_m\right\}}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left[H\right]}_{i,k}{\left\{u\right\}}_k$

式中，[H]_i，k是{P_m}_i对应于{u}_k的耦合矩阵；

{P}_i为第i个单元受到的外载荷，其表达式为：

{P}_i＝{P_G}_i+{P_F}_i+{P_T}_i

其中，{P_G}_i为第i个单元的节点重力，{P_F}_i为第i个单元不平衡质量引起的离心力，{P_T}_i为第i个单元受到的扭矩；

步骤三：联立步骤二中每个单元的动力学微分方程及耦合力方程，得到航空多转子耦合系统动力学微分方程，求解后即得出航空多转子耦合系统动力学特性。

本发明所提供的航空多转子耦合系统动力学的分析方法，其优点在于：思路清晰，表达式简单、规范，适用于航空多转子耦合系统动力学的分析，可以较准确的描述耦合部件，提高计算结果的精度。

附图说明

图1：航空多转子耦合系统运动简图

图2：航空多转子耦合系统动力学模型

图3：第1个单元的动力学模型

图中的附图标记为，1.轴承，2.齿轮，3.轴，4.第1个单元，5.第2个单元，6.第3个单元，7.等效弹簧，8.无质量的弹性轴段，9.节点。

具体实施方式

现结合附图和实施例对该发明做进一步说明，航空多转子耦合系统动力学的分析方法包括如下步骤：

步骤一：建立航空多转子耦合系统动力学模型；

图1，为航空多转子耦合系统运动简图，航空多转子耦合系统中包含4个齿轮2、7个轴承1、3个轴3，航空多转子耦合系统的几何参数、材料、工况均为已知；首先将航空多转子耦合系统在耦合部件处分开形成3个单元，这里所述耦合部件为齿轮2；采用集总参数法对每个单元进行离散化处理，参阅图2，离散化后的第1个单元4包括2个轴承1的等效弹簧7和由3个无质量的弹性轴段8联接的4个节点9，第2个单元5包括3个轴承1的等效弹簧7和由4个无质量的弹性轴段8联接5个节点9，第3个单元6包括2个轴承1的等效弹簧7和由3个无质量的弹性轴段8联接4个节点9；第1单元和第2单元、第2单元和第3单元之间通过耦合部件的等效弹簧7连接；等效弹簧7的刚度值由实验获得，轴承1的等效弹簧7的刚度值均为3.25×10⁷N/m，第1单元和第2单元之间耦合部件的等效弹簧7的刚度值为0.97×10⁹N/m，第2单元和第3单元之间耦合部件的等效弹簧7的刚度值为1.13×10⁹N/m；

步骤二：对步骤一建立的动力学模型中的单元进行动力学分析，得出每个单元的动力学微分方程；

为每个单元建立局部坐标系O_ix_iy_iz_i，i＝1，2，3，原点O_i在单元轴线上，z_i沿轴线方向，参阅图3，第1个单元4的局部坐标系为O_ix₁y₁z₁，原点O₁在单元轴线上，z₁沿轴线方向；考虑到弯扭耦合的情况，第i个单元的第j个节点9具有5个独立的自由度：

x_i，j——节点9质心沿x_i坐标轴的位移，

θ_y，i，j——节点9轴线绕y_i坐标轴的偏角，

y_i，j——节点9质心沿y_i坐标轴的位移，

θ_x，i，j——节点9轴线绕x_i坐标轴的偏角，

——节点9绕z_i坐标轴的转角，

上述表达中，i＝1，2，3，j＝1，2，...N_i；

下面以第1个单元4为例，求出第1个单元4的动力学微分方程；

将耦合部件的耦合力作为第1个单元4的外力，由达朗贝尔(D′Alembert)原理可得第1个单元4的动力学微分方程：

[M]₁{ü}₁+[K]₁{u}₁+{P_m}₁＝{p}₁

式中：{u}₁为第1个单元4的位移矢量，其表达式为

[M]₁为第1个单元4的质量矩阵，该矩阵在用集总参数法进行离散化处理后，便可得到，其值为

[K]₁为第1个单元4的刚度矩阵，为20阶方阵，以达朗贝尔(D′Alembert)原理求动力学微分方程时，可得出[K]₁，其值为

{p_M}₁为第1个单元4所受到的耦合力，其值是所有单元的位移矢量的函数，表达式为

${\left\{P_m\right\}}_1=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\left[H\right]}_{1,k}{\left\{u\right\}}_k$

参阅图2，航空多转子耦合系统动力学模型，只有第2个单元5与第1个单元4耦合，因此[H]_1，3为零矩阵，只需求解耦合矩阵[H]_1，2和[H]_1，1，耦合部件为齿轮2，求解步骤如下：

齿轮2因振动产生的沿啮合线方向的相对位移为

式中，α为齿轮2的分度圆压力角，r_b，1，3为第1个单元4上齿轮2的基圆半径，r_b，2，4为第2个单元5上齿轮2的基圆半径；

在不考虑啮合阻尼的情况下，根据力的平衡关系有

${\left\{P_m\right\}}_1=k_{12}\·{\mathrm{\λ}}_{12}\·\left[\begin{array}{c}\sin \mathrm{\α}\\ 0\\ \cos \mathrm{\α}\\ 0\\ -r_{b,\mathrm{1,3}}\end{array}\right]$

式中，k₁₂为齿轮2的啮合刚度，k₁₂＝0.97×10⁹N/m，将λ₁₂的表达式带入上式，化简可得

{P_m}₁＝[H]_1，1{u}₁+[H]_1，2{u}₂

其中，[H]_1，1为20×20的矩阵，[H]_1，2为20×25的矩阵，具体数值为

{P}₁为第1个单元4受到的外载荷，其表达式为

{P}₁＝{P_G}₁+{P_F}₁+{P_T}₁

其中，{P_G}₁为第1个单元4的节点9的重力，{P_F}₁为第1个单元4不平衡质量引起的离心力，{P_T}₁为第1个单元4受到的扭矩；根据已知的航空多转子耦合系统的几何参数、材料、工况，此实例不计重力，{P}₁的具体数值为：

{P}₁＝[0 0 23.1sin(100πt)0 0 0 0 0 0 0 23.1cos(100πt)0 0 0 0 0 0 0 0 11.6]^T

这样就求出了第1个单元4的动力学微分方程以及耦合力方程，同理可以求出第2个单元5和第3个单元6的动力学微分方程以及耦合力方程；

步骤三：联立步骤二中每个单元的动力学微分方程、每个单元耦合力的方程，便得到了航空多转子耦合系统动力学微分方程，求解后即得出航空多转子耦合系统动力学特性；航空多转子耦合系统系统的前10阶固有频率如下：

第1阶：283.59rad/s，

第2阶：690.78rad/s，

第3阶：1635.0rad/s，

第4阶：3397.9rad/s，

第5阶：3891.8rad/s，

第6阶：5468.7rad/s，

第7阶：5539.7rad/s，

第8阶：5666.4rad/s，

第9阶：5983.3rad/s，

第10阶：6267.6rad/s。

Claims (1)

1.一种航空多转子耦合系统动力学的分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：建立航空多转子耦合系统动力学模型；

首先将航空多转子耦合系统在耦合部件处分开形成N个单元，所述耦合部件为齿轮、中介轴承、联轴器；

采用集总参数法对每个单元进行离散化处理，离散化后的第i个单元包括M_i个轴承的等效弹簧和由N_i-1个无质量的弹性轴段联接的N_i个节点；所述轴承的等效弹簧的刚度k_e由内外圈与滚动体的接触刚度k_e1、外圈的支承刚度k_e2和航空多转子耦合系统吊挂刚度k_e3串联组成，即其中k_ei(i＝1，2，3)由实验获得：

k_ei＝F_i/δ_i(i＝1，2，3)

式中，F_i为实验外加载荷，单位为N，δ_i为相对变形，单位为m；

相邻单元之间通过耦合部件的等效弹簧连接；所述耦合部件的等效弹簧的刚度k_e由实验获得：

k_e＝F/δ

式中，F为实验外加载荷，单位为N，δ为相对变形，单位为m；

步骤二：对步骤一建立的动力学模型中的单元进行动力学分析，得出每个单元的动力学微分方程；

为每个单元建立局部坐标系O_ix_iy_iz_i，i＝1，2，…，N，原点O_i在单元轴线上，z_i沿轴线方向；考虑到弯扭耦合的情况，第i个单元的第j个节点有5个独立的自由度：

x_i，j——节点质心沿x_i坐标轴的位移，

θ_y，i，j——节点轴线绕y_i坐标轴的偏角，

y_i，j——节点质心点沿y_i坐标轴的位移，

θ_x，i，j——节点轴线绕x_i坐标轴的偏角，

——节点绕z_i坐标轴的转角，

上述表达中，i＝1，2，…，N，j＝1，2，…N_i；

将耦合部件的耦合力作为耦合部件所在单元的外力，由达朗贝尔(D’Alembert)原理可得第i个单元的动力学微分方程：

[M]_i{ü}_i+[K]_i{u}_i+{P_m}_i＝{P}_i

式中：{u}_i为第i个单元的位移矢量，其表达式为

[M]_i为第i个单元的质量矩阵，为对角矩阵，其表达式为

其中，m_i，j为第i个单元中第j个节点的集总质量，J_y，i，j、J_x，i，j分别为第i个单元中第j个节点绕y_i轴、x_i轴的直径转动惯量，J_z，i，j为第i个单元中第j个节点的极转动惯量；对第i个单元用集总参数法进行离散化处理过程中，可得到m_i，j、J_y，i，j、J_x，i，j、J_z，i，j；

[K]_i为第i个单元的刚度矩阵，为5×N_i阶方阵，根据达朗贝尔(D，Alembert)原理可得出[K]_i；

{P_m}_i为第i个单元所受到的耦合力，其值是所有单元的位移矢量{u}_k，k＝1，2，…，N的函数：

${\left\{P_m\right\}}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left[H\right]}_{i,k}{\left\{u\right\}}_k$

式中，[H]_i，k是{P_m}_i对应于{u}_k的耦合矩阵；

{P}_i为第i个单元受到的外载荷，其表达式为：

{P}_i＝{P_G}_i+{P_F}_i+{P_T}_i

其中，{P_G}_i为第i个单元的节点重力，{P_F}_i为第i个单元不平衡质量引起的离心力，{P_T}_i为第i个单元受到的扭矩；

步骤三：联立步骤二中每个单元的动力学微分方程及耦合力方程，得到航空多转子耦合系统动力学微分方程，求解后即得出航空多转子耦合系统动力学特性。

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