CN102176217A - 一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，包括以下步骤：步骤一、信号分析和特征提取：通过实验测取车刀加工过程中的振动信号和相应磨损量数据，利用正交小波基函数对振动信号进行小波包分解和重构，使得耦合在一起的多载波振动信号分解为多个单载波振动信号，计算特征频带信号时域特征；与刀具磨损量进行相关分析，提取刀具磨损量显著指标，确定刀具失效阈值；步骤二、利用步骤一中的刀具磨损状态显著指标建立logistic回归模型，对正在运行的刀具进行可靠性评估指标和失效寿命预测。本发明将设备运行状态信息引入到性能评估和可靠性分析当中，能更准确地反映出设备的动态运行特性。

Description

一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及机械设备可靠性评估和剩余有效寿命预测应用研究方面，特别涉及一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法。

背景技术

数控机床是当代机械制造业的主流设备，提高其设计可靠性、故障诊断的准确性和排故维修的有效性一直受到人们的高度重视。所以，加强数控设备监测及维修，提高设备的可靠性，降低数控机床故障发生率已是一个必须要解决的重要问题。

刀具系统作为数控装备的一个重要部件，其可靠性必然会影响到整个装备系统的加工效率和稳定性。对刀具寿命的精确估计和适时更换不仅可以降低生产成本，带来显著的经济效益，还可以保证工件表面加工质量。

对于数控车床加工刀具，在ISO3685、ISO8688、ANSI/ASME B94.55M、GB/T16461等标准中对其失效定义和寿命估计都是以磨损区域某点的值作为基准，最常用的指标是后刀面磨损量，这些数据都需要通过直接法测量。但是直接法存在价格昂贵、间断测量、干扰加工等缺点，因此以振动信号为主要研究对象估计刀具磨损状态的间接法得到了很大发展。实际加工过程中引起刀具振动的原因很多，除切削过程中的摩擦力变化、积屑瘤的时生时灭、金属材料内部的硬度不均匀、刀具磨损及其他因素。刀具从锋利到磨钝的过程中，其振动信号的幅值和分布都会发生变化，所以对振动信号分析的主要目的在于通过相应的信号处理方法提取刀具磨损的显著特征，并将这些特征与可靠性评估模型结合起来对刀具运行性能进行评估。

传统的基于样本寿命统计基础上的可靠性分析方法得到的是设备的整体可靠性估计，对于正在运行的单台或小批量设备来说，这些统计数据意义不大，人们更关心的是当前所用设备的寿命裕度和可靠性。设备退化信息能够实时反映设备的运行性能、精度，准确判定设备的时间、动态特性，揭示产品失效与性能退化之间的关系。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺陷，本发明的目的在于提供一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，将设备状态信息引入到可靠性评估当中，更能反映设备的时间动态特性，且不需要估计特征指标的退化轨迹和分布函数，适合机床类退化失效型设备的服役性能评估。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，包括以下步骤：

步骤一、信号分析和特征提取：通过实验测取车刀加工过程中的振动信号和相应磨损量数据，利用正交小波基函数对振动信号进行小波包分解和重构，使得耦合在一起的多载波振动信号分解为两个或两个以上的单载波振动信号，计算特征频带信号时域特征；与刀具磨损量进行相关分析，提取刀具磨损量显著指标，确定刀具失效阈值；

步骤二、利用步骤一中的刀具磨损状态显著指标建立logistic回归模型，对正在运行的刀具进行可靠性评估指标和失效寿命预测。

步骤一中所述的信号分析和特征提取包括以下步骤：

一、小波包分解和重构

假设一个能量有限信号的尺寸空间为通过小包变换，

被二进地分解成多个子空间。其迭代公式为：

其中，j(j≤0)为分解层次，

表示正交分解，

三个闭包空间分别对应的小波函数为ψ_n(t)，ψ_2n(t)和ψ_2n+1(t)，并满足双尺度方程：

${\mathrm{\ψ}}_{2n}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}h\left(k\right){\mathrm{\ψ}}_n(2t-k)$

${\mathrm{\ψ}}_{2n+1}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}g\left(k\right){\mathrm{\ψ}}_n(2t-k)$

当n＝0时，

为尺度函数，ψ₁(t)＝ψ(t)母小波函数，h(k)和g(k)为离散正交镜像滤波器系数；

在子空间

上的信号可由小波包函数

重构得到：

$s_j^n\left(t\right)=\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}{D}_k^{j,n}{\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)k\∈Z$

式中

为小波包系数，可由下式求得：

$D_k^{j,n}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}f\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)\mathrm{dt}$

因为小波函数ψ_j，k(t)是

上的正交基函数，则

的能量为：

$E_n=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\left|D_k^{j,n}\right|}^2$

其归一化能量为：

$P_n=E_n/\left(\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\right)$

小波能量熵可反映信号能量在不同频带上的能量变化信息，其定义为：

$I=-\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\log E_n;$

二、时域指标提取

车刀从锋利到磨钝的过程中，其振动信号的幅值和分布都会发生变化，这个过程可以通过某些时域指标反映出来，本方法共提取了11个时域指标，其名称和简写分别为：均值(x_m)、峰值(x_p)、方根幅值(x_ra)、均方根值(x_rms)、标准差(x_std)、偏斜度指标(x_ske)、峭度指标(x_k)、峰值指标(x_c)、裕度指标(x_ma)、波形指标(x_sha)和脉冲指标(x_i)。前4个参数揭示振动信号的幅值和能量变化，后7个参数反映揭示了信号的时间序列分布情况；

三、利用相关分析选择显著指标

虽然以上特征从不同方面表征了刀具磨损状态，但表征的程度不同，选取其中的显著特征，剔除不相关或冗余特征，可以提高评估的准确性。本方法采用相关分析的选取特征，两个同维向量X和Y的相关系数C(X，Y)可由下式计算求得：

$C(X,Y)=\frac{(X-\stackrel{\‾}{X})(Y-\stackrel{\‾}{Y})}{\sqrt{\left((X-\stackrel{\‾}{X}){(X-\stackrel{\‾}{X})}^{\′}(Y-\stackrel{\‾}{Y}){(Y-\stackrel{\‾}{Y})}^{\′}\right)}}$

式中

和分别为X和Y的平均值。C值的范围在-1到+1之间，当C＞0表示正相关，C＜0表示负相关。C＝0表示不相关；C的绝对值越大，表示相关程度越高；将一、二中所提取的能量E_n、能量熵I和时域指标与刀具磨损量数据，以相关系数大于C＞0.6为标准，选择刀具磨损状态显著指标。

步骤二所述的可靠性评估指标和失效寿命预测，其具体步骤如下：

对应于时刻t_i，刀具磨损状态显著指标可表示为一个k+1维向量X_i＝(1，x_1i，x_2i，...，x_ki)′，刀具状态为y_i(正常时y_i＝1，否则y_i＝0)。则刀具的可靠性函数可以用一个Logistic回归模型表示：

$R\left(t_i\right|X_i)=P(y_i=1|X_i)=\frac{\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}{1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}$

式中B＝(β₀，β₁，...，β_k)为模型参数向量且β₀＞0。Logistic或logit回归模型为

$\mathrm{Logit}\left(y\right)=\ln \frac{R\left(t_i\right|X_i)}{1-R\left(t_i\right|X_i)}={\mathrm{BX}}_i$

因为logistic回归模型是一个非线性模型，其模型参数可以通过Nelder-Mead法求解其极大似然函数得到。其对数似然函数为

$\ln \left[L\left(B\right)\right]=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[y_i{\mathrm{BX}}_i-\ln (1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right))]$

在确定模型参数后，模型的可靠度R(t_j)和95％置信区间FIR_0.95为

$R\left(t_j\right)=P(y_j=1|X_j)=\frac{\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}{1+\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}=\frac{\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}{1+\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}$

${\mathrm{FIR}}_{0.95}=\left[\frac{\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\frac{\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\right]$

将刀具的运行状态特征向量代入上面的公式中，即可求出刀具可靠度和95％置信区间。

本发明在线测取车刀加工过程中的振动信号和刀具磨损数据，利用小波包分解、时域统计和相关分析，提取刀具磨损的显著特征指标；结合刀具状态信息，建立Logistic可靠性评估模型，准确地估计出了实际使用刀具的可靠度指标和失效时间。该方法将设备运行状态信息引入到性能评估和可靠性分析当中，能更准确地反映出设备的动态运行特性。

附图说明

图1为本发明实测刀具振动信号频谱。

图2为本发明实测刀具振动信号在不同采样时刻的归一化小波能量谱谱；其中图2(a)本发明实测刀具振动信号t＝83min时的归一化小波能量谱谱；图2(b)本发明实测刀具振动信号t＝89min时的归一化小波能量谱谱；图2(c)本发明实测刀具振动信号t＝97min时的归一化小波能量谱谱；图2(d)本发明实测刀具振动信号t＝101min时的归一化小波能量谱谱。

图3为本发明实测刀具振动信号频带能量变化过程；其中图3(a)为本发明实测刀具振动信号第7频带能量变化；图3(b)为本发明实测刀具振动信号第9频带能量变化。

图4为本发明实测刀具振动信号能量、能量熵和时域指标与刀具磨损量数据间的平均相关系数。

图5为本发明所估计的刀具可靠性指标。

具体实施方式

附图是本发明的具体实施实例。

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明。

一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，包括以下步骤：

1.信号分析和特征提取：通过实验测取车刀加工过程中的振动信号和相应磨损量数据，利用正交小波基函数对振动信号进行小波包分解和重构，使得耦合在一起的多载波振动信号分解为多个单载波振动信号；

1)小波包分解和重构

假设一个能量有限信号的尺寸空间为通过小包变换，

被二进地分解成多个子空间。其迭代公式为：

$U_{j+1}^n=U_j^{2n}\⊕U_j^{2n+1}j\∈Z,n{\∈Z}_{+}---\left(1\right)$

其中，j(j≤0)为分解层次，

表示正交分解，

三个闭包空间分别对应的小波函数为ψ_n(t)，ψ_2n(t)和ψ_2n+1(t)，并满足双尺度方程：

${\mathrm{\ψ}}_{2n}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}h\left(k\right){\mathrm{\ψ}}_n(2t-k)$

(2)

${\mathrm{\ψ}}_{2n+1}\left(t\right)=\sqrt{2}\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}g\left(k\right){\mathrm{\ψ}}_n(2t-k)$

当n＝0时，为尺度函数，ψ₁(t)＝ψ(t)母小波函数，h(k)和g(k)为离散正交镜像滤波器系数。

在子空间

上的信号可由小波包函数

重构得到：

$s_j^n\left(t\right)=\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}{D}_k^{j,n}{\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)k\∈Z---\left(3\right)$

式中

为小波包系数，可由下式求得。

$D_k^{j,n}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}f\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(4\right)$

因为小波函数ψ_i，j(t)是

上的正交基函数，则的能量为：

$E_n=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\left|D_k^{j,n}\right|}^2---\left(5\right)$

其归一化能量为：

$P_n=E_n/\left(\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\right)---\left(6\right)$

小波能量熵可反映信号能量在不同频带上的能量变化信息，其定义为：

$I=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\log E_n---\left(7\right)$

2)时域指标提取

车刀从锋利到磨钝的过程中，其振动信号的幅值和分布都会发生变化，这个过程可以通过某些时域指标反映出来，本方法共提取了11个时域指标，其名称和简写分别为：均值(x_m)、峰值(x_p)、方根幅值(x_ra)、均方根值(x_rms)、标准差(x_std)、偏斜度指标(x_ske)、峭度指标(x_k)、峰值指标(x_c)、裕度指标(x_ma)、波形指标(x_sha)和脉冲指标(x_i)。前4个参数揭示振动信号的幅值和能量变化，后7个参数反映揭示了信号的时间序列分布情况，各特征的数学描述见表1，表中x(n)为信号序列，n＝1，2，...，N，N为采样点数。

表1时域特征参数

3)利用相关分析选择显著指标

虽然以上特征从不同方面表征了刀具磨损状态，但表征的程度不同，选取其中的显著特征，剔除不相关或冗余特征，可以提高评估的准确性。本方法采用相关分析的选取特征，两个同维向量X和Y的相关系数C(X，Y)可由下式计算求得：

$C(X,Y)=\frac{(X-\stackrel{\‾}{X})(Y-\stackrel{\‾}{X})}{\sqrt{\left((X-\stackrel{\‾}{X}){(X-\stackrel{\‾}{X})}^{\′}(Y-\stackrel{\‾}{Y}){(Y-\stackrel{\‾}{Y})}^{\′}\right)}}---\left(8\right)$

式中和

分别为X和Y的平均值。C值的范围在-1到+1之间，当C＞0表示正相关，C＜0表示负相关。C＝0表示不相关。C的绝对值越大，表示相关程度越高。将1)、2)中所提取的能量E_n、能量熵I和时域指标与刀具磨损量数据，以相关系数大于C＞0.6为标准，选择刀具磨损状态显著指标。

2.利用步骤2中所得到的刀具磨损状态显著指标建立logistic回归模型，对正在运行的刀具进行可靠性评估指标和失效寿命预测。其具体步骤如下：对应于时刻t_i，刀具磨损状态显著指标可表示为一个k+1维向量X_i＝(1，x_1i，x_2i，...，x_ki)′，刀具状态为y_i(正常时y_i＝1，否则y_i＝0)。则刀具的可靠性函数可以用一个Logistic回归模型表示：

$R\left(t_i\right|X_i)=P(y_i=1|X_i)=\frac{\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}{1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}---\left(9\right)$

式中B＝(β₀，β₁，…，β_k)为模型参数向量且β₀＞0。Logistic或logit回归模型为

$\mathrm{Logit}\left(y\right)=\ln \frac{R\left(t_i\right|X_i)}{1-R\left(t_i\right|X_i)}={\mathrm{BX}}_i---\left(10\right)$

因为logistic回归模型是一个非线性模型，其模型参数可以通过Nelder-Mead法求解其极大似然函数得到。其对数似然函数为

$\ln \left[L\left(B\right)\right]=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[y_i{\mathrm{BX}}_i-\ln (1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right))]---\left(11\right)$

因为logistic回归模型是一个非线性模型，其模型参数可以通过Nelder-Mead法求解其极大似然函数得到。

在确定模型参数后，模型的可靠度R(t_j)和95％置信区间FIR_0.95为

$R\left(t_j\right)=P(y_j=1|X_j)=\frac{\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}{1+\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}=\frac{\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}{1+\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}---\left(12\right)$

${\mathrm{FIR}}_{0.95}=\left[\frac{\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\frac{\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\right]---\left(13\right)$

将刀具的运行状态特征向量代入上面的公式中，即可求出刀具可靠度和95％置信区间。Logistic回归模型是基于二分类事件建立的，即只考虑刀具正常或失效与否，所以可靠度的失效阈值定为50％，当可靠度低于50％，认为刀具失效，即可确定其寿命。

参照图1所示，刀具加工振动信号的幅值是一个宽频信号，没有明显的特征频率，信号的能量主要集中于2000～4000Hz、7000～10000Hz两个频带之间。图1中横坐标表示时间，单位为min；纵坐标表示由振动幅值转化成的电压值，单位为mv。

参照图2所示，刀具在不同采样时刻的归一化小波能量谱变化很大。从图中可以看出信号能量主要集中在频带7-10之间，且频带9上的能量最大，随着加工时间的增大，信号的能量逐渐从高频向低频转移，即从第8-9频带向3-7频带转移，而第11频带以上的信号能量变化不大。图2(a)-(d)中横坐标均表示频带，纵坐标表示归一化能量。

参照图3所示，为了更加清楚地观察各频带能量变化的情况，做出了第5把刀具第7频带和第9频带能量随时间变化过程，如图3所示，从时间t＝83～101min，第7频带能量比从0.02增加到0.08，而第9频带能量比从0.51降到0.38，趋势都很明显。图3(a)、(b)中横坐标均表示时间，单位为min，纵坐标表示归一化能量。

参照图4所示，对刀具振动信号能量、能量熵和时域指标与刀具磨损量数据间的平均相关分析，并对所得到的相关系数进行平均以消除单一刀具计算可能带来的随机性。图中横坐标表示指标序号；纵坐标表示相关系数。

参照图5所示，将刀具的运行状态特征向量代入模型中，并利用所建立的评估模型求出刀具可靠度和95％置信区间，如图中细线所示，对其进行了拟和平滑处理，如图中粗线所示。图中横坐标均表示时间，单位为min，纵坐标表示可靠度。

为了验证以上方法的正确性，以友嘉精机FTC-20型数控车床为试验平台，针对CNMG120408-HM刀具，利用MZDH0670系列视频显微系统测量刀具磨损量VB，装置自带可调节LED环形光源和测微尺，最高分辨率为0.01mm。振动信号采用PCB352C34型加速度传感器和LMS数据采集系统获取。加工工件材料为45号钢，加工工况为：进给速度f＝0.15mm/rev，切削速度v_c＝200m/min，进给深度a_p＝2mm。

实验总共测取了12把刀具振动信号和磨损量变化数据。假设所有刀具的磨损机理相同且振动特性相同，不失一般性，以第5把刀具为例，对其振动信号进行分析。图1为刀具加工到83min时刀具的振动信号频谱，信号采样频率为32768Hz，由图中可以看出信号的能量主要集中于2000～4000Hz、7000～10000Hz两个频带之间。

利用db10小波对原始信号进行4层分解小波包分解，得到16个频带，图2为刀具在不同采样时刻的归一化小波能量谱。从图中可以看出信号能量主要集中在频带7-10之间，且频带9上的能量最大，随着加工时间的增大，信号的能量逐渐从高频向低频转移，即从第8-9频带向3-7频带转移，而第11频带以上的信号能量变化不大。

为了更加清楚地观察各频带能量变化的情况，做出了第5把刀具第7频带和第9频带能量随时间变化过程，如图3所示，从时间t＝83～101min，第7频带能量比从0.02增加到0.08，而第9频带能量比从0.51降到0.38，趋势都很明显。

对其他9把刀具也采用同样的分析步骤，可以得到类似的结论，这也证明了我们之前的假设。对各频带能量变化与刀具磨损量进行相关分析，并对所得到的相关系数进行平均以消除单一刀具计算可能带来的随机性。如图4表示，发现第4、7、9频带能量及小波能量熵变化与磨损量变化的相关程度较高，都达到了0.6以上，其中第7、9频带相关系数达到了0.7以上。为了提取更多显著性特征，对小波包分解所得到的第7、9频带信号进行了时域特征参数计算，其变化量与刀具磨损量变化间的平均相关系数如图4所示。图中，第7频带上4个参数x_m7，x_ra7，x_rms7和x_std7的相关系数都大于0.6。综合小波包能量分析和时域指标分析结果，确定以相关系数大于0.6的8个指标作为Logistic可靠性模型输入向量X＝(x_m7x_ra7x_rms7x_std7P₄P₇P₉I)′。

将前11把刀具的特征向量X作为模型的自变量，刀具状态y作为应变量，共得到131个样本，进行logistic建模。由信息测量指标Akaike信息标准(AIC)、Schwarts标准(SC)、贝叶斯信息标准(BIC)确定的最优子集模型为

$\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y\right)=\ln \left(\frac{{\hat{p}}_i}{1-{\hat{p}}_i}\right)=-7.39-17.53P7+32.19P9+3.11I---\left(14\right)$

为了检验所建模型的有效性，将第12把刀具的11个状态特征向量代入模型中，并利用公式(12)和(13)求出刀具可靠度和95％置信区间。如图5中细线所示，由于数据的离散性和随机性，随着时间的增长，刀具的可靠性指标曲线呈现出不连续和非单调的下降趋势。采用单变量Logistic回归模型对其进行了拟和平滑处理，如图中粗线所示。Logistic回归模型是基于二分类事件建立的，即只考虑刀具正常或失效与否，所以可靠度的失效阈值定为50％，当可靠度低于50％，认为刀具失效，即VB＞V_t。在实验中，第12把刀具的实际失效时刻为98.6min(VB＝0.607mm)，由平滑曲线估计的失效时间为100min，估计误差为1.42％。

Claims (3)

1.一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤一、信号分析和特征提取：通过实验测取车刀加工过程中的振动信号和相应磨损量数据，利用正交小波基函数对振动信号进行小波包分解和重构，使得耦合在一起的多载波振动信号分解为两个或两个以上的单载波振动信号，计算特征频带信号时域特征；与刀具磨损量进行相关分析，提取刀具磨损量显著指标，确定刀具失效阈值；步骤二、利用步骤一中的刀具磨损状态显著指标建立logistic回归模型，对正在运行的刀具进行可靠性评估指标和失效寿命预测。

2.根据权利要求1所述的一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，其特征在于，步骤一中所述的信号分析和特征提取包括以下步骤：

一、小波包分解和重构

假设一个能量有限信号的尺寸空间为通过小包变换，被二进地分解成多个子空间。其迭代公式为：

其中，j(j≤0)为分解层次，

表示正交分解，

三个闭包空间分别对应的小波函数为ψ_n(t)，ψ_2n(t)和ψ_2n+1(t)，并满足双尺度方程：

当n＝0时，

为尺度函数，ψ₁(t)＝ψ(t)母小波函数，h(k)和g(k)为离散正交镜像滤波器系数。

在子空间上的信号可由小波包函数

重构得到：

$s_j^n\left(t\right)=\underset{k\∈Z}{\mathrm{\Σ}}{D}_k^{j,n}{\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)k\∈Z$

式中为小波包系数，可由下式求得：

$D_k^{j,n}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}f\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_k^{j,n}\left(t\right)\mathrm{dt}$

因为小波函数ψ_j，k(t)是

上的正交基函数，则

的能量为：

$E_n=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\left|D_k^{j,n}\right|}^2$

其归一化能量为：

$P_n=E_n/\left(\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\right)$

小波能量熵可反映信号能量在不同频带上的能量变化信息，其定义为：

$I=-\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{E}_n\log E_n;$

二、时域指标提取

车刀从锋利到磨钝的过程中，其振动信号的幅值和分布都会发生变化，这个过程可以通过某些时域指标反映出来，本方法共提取了11个时域指标，其名称和简写分别为：均值(x_m)、峰值(x_p)、方根幅值(x_ra)、均方根值(x_rms)、标准差(x_std)、偏斜度指标(x_ske)、峭度指标(x_k)、峰值指标(x_c)、裕度指标(x_ma)、波形指标(x_sha)和脉冲指标(x_i)。前4个参数揭示振动信号的幅值和能量变化，后7个参数反映揭示了信号的时间序列分布情况；

三、利用相关分析选择显著指标

采用相关分析的选取特征，两个同维向量X和Y的相关系数C(X，Y)可由下式计算求得：

$C(X,Y)=\frac{(X-\stackrel{\‾}{X})(Y-\stackrel{\‾}{Y})}{\sqrt{\left((X-\stackrel{\‾}{X}){(X-\stackrel{\‾}{X})}^{\′}(Y-\stackrel{\‾}{Y}){(Y-\stackrel{\‾}{Y})}^{\′}\right)}}$

式中

和

分别为X和Y的平均值。C值的范围在-1到+1之间，当C＞0表示正相关，C＜0表示负相关。C＝0表示不相关。C的绝对值越大，表示相关程度越高。将一、二中所提取的能量E_n、能量熵I和时域指标与刀具磨损量数据，以相关系数大于C＞0.6为标准，选择刀具磨损状态显著指标。

3.根据权利要求1所述的一种基于Logistic模型的数控机床刀具可靠性评估方法，其特征在于：步骤二所述的可靠性评估指标和失效寿命预测，其具体步骤如下：

对应于时刻t_i，刀具磨损状态显著指标可表示为一个k+1维向量X_i＝(1，x_1i，x_2i，...，x_ki)′，刀具状态为y_i(正常时y_i＝1，否则y_i＝0)。则刀具的可靠性函数可以用一个Logistic回归模型表示：

$R\left(t_i\right|X_i)=P(y_i=1|X_i)=\frac{\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}{1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right)}$

式中B＝(β₀，β₁，…，β_k)为模型参数向量且β₀＞0。Logistic或logit回归模型为

$\mathrm{Logit}\left(y\right)=\ln \frac{R\left(t_i\right|X_i)}{1-R\left(t_i\right|X_i)}={\mathrm{BX}}_i$

因为logistic回归模型是一个非线性模型，其模型参数可以通过Nelder-Mead法求解其极大似然函数得到；其对数似然函数为

$\ln \left[L\left(B\right)\right]=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[y_i{\mathrm{BX}}_i-\ln (1+\exp \left({\mathrm{BX}}_i\right))]$

在确定模型参数后，模型的可靠度R(t_j)和95％置信区间FIR_0.95为

$R\left(t_j\right)=P(y_j=1|X_j)=\frac{\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}{1+\exp \left(\mathrm{lo}\hat{g}\mathrm{it}\left(y_j\right)\right)}=\frac{\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}{1+\exp \left(\hat{B}{X}_j\right)}$

${\mathrm{FIR}}_{0.95}=\left[\frac{\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j-1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\frac{\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}{1+\exp (\hat{B}{X}_j+1.96\sqrt{\mathrm{Var}\left(\hat{B}{X}_j\right)})}\right]$

将刀具的运行状态特征向量代入上面的公式中，即可求出刀具可靠度和95％置信区间。

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