CN102128975B - 电压稳定在线监测相量数据测量装置及相量测量方法 - Google Patents

Abstract

一种电压稳定在线监测相量数据测量装置及相量测量方法，包括同步时钟单元、采集模块、开入单元、双口RAM传输模块、数据管理单元和开出单元；以精确的GPS同步时钟信号作为采样过程的基准，使各个采样通道的相量之间存在确定统一的相位关系，DSP处理器用于数据采集、相量计算，基于嵌入式实时操作系统和图形用户界面的ARM9负责数据管理及通信，其具有处理能力强、实时性高、易于升级等特点，提高了测量装置的可靠性、网络通信能力和可扩充性；根据上位机指令准确可靠地执行跳闸、合闸操作；DSP处理器采用基于αβ坐标系的相量测量算法，具有计算速度快、适应性强、准确性高的优点，能够精确计算电网电压/电流信号相量信息，在信号频率波动较大时有效避免频谱泄露问题，保证了非工频输入情况和动态过程的测量精度。

Description

电压稳定在线监测相量数据测量装置及相量测量方法

技术领域

本发明涉及电力系统稳压装置，尤其是一种电压稳定在线监测相量数据测量装置及相量测量的方法。

背景技术

随着现代电力系统的发展，系统的规模不断扩大，网络的结构日趋复杂，环境和经济因素的制约使电力系统的运行情况更加接近极限条件。近年来，电压失稳事故在全世界的不同电力系统中均有发生，且造成了系统的大停电事故，严重影响了社会经济生活。其直接原因是因为线路短路后，线路保护装置切除部分线路，从而导致原来线路的潮流发生大范围转移引起无功不足，发电机动态无功能力不够，引起电压急剧下降，加之没有解决电压稳定的有效措施，导致电网电压崩溃。因而，电压稳定直接关系着整个电力系统的安全稳定运行。为此，电力系统电压稳定性研究引起了世界各国电力工业界和学术界的广泛关注，并进行了大量的研究，包括电压稳定性的机理和影响因素、电压稳定性的分析、电压稳定的预防和校正措施。电压稳定的研究最终目的是开发和应用有效的控制策略来防止电压崩溃，低压减载是解决电力系统电压稳定性的一种有效的预防和校正控制措施，在电力系统中得到了比较广泛的应用研究。

目前运用较多的低压减载装置，当电力系统出现无功电源缺额时，会引起电压下降，装置自动根据电压降低值切除部分电力负荷，以确保系统内无功的平衡，使电网电压恢复正常；当系统电压下降较快时，可根据dU/dt加速切负荷，尽早制止系统电压下降，避免发生电压崩溃事故，并使电压恢复到允许的运行范围内。但这些装置主要存在如下不足：

（1）根据现有的低压减载装置的参数整定原理和应用情况可知，这些装置的动作条件指标和切负荷量的确定都是离线整定的，没有实现在线动态调整。由于电力系统是一个非线性时变系统，它的状态时刻在改变，因此对于减载装置来说，当整定值比故障发生后实际所需的切负荷量小时,低压减载装置的动作并不能阻止系统的电压崩溃，当整定值比故障发生后实际所需的切负荷量大时,系统局部地区母线又容易发生过电压的情况，这可能导致严重后果；

（2）现有的低压减载装置的动作条件仅仅在于判断电压是否降低到设定的电压阈值，没有从电压稳定指标的角度来考虑装置动作条件。这种装置可能造成两种不利影响：如果电压阈值设定太高，那么可能会引起误切；如果电压阈值设定较低，则可能会使电压面临失稳；

（3）此类装置虽有du/dt自动闭锁功能，但只有在装设点三相电压同时快速下滑时才能有效闭锁，不能准确有效的切除电力负荷。

目前尚缺少仅采用变电站本地实测相量信息就能达到高精度测量、快速检测、有效切负荷的实时在线电压稳定数据测量的电能质量监测装置。

发明内容

本发明的目的是提供一种准确性更高、实时性更强的电压稳定在线监测相量数据测量装置。

本发明是通过以下技术方案来实现：一种电压稳定在线监测相量数据测量装置,其特征在于：包括同步时钟单元、采集模块、开入单元、双口RAM传输模块、数据管理单元和开出单元；

所述同步时钟单元由GPS模块、ARM7同步采样脉冲调理模块和232通讯模块构成，其中，GPS模块输出等间隔同步采样脉冲信号和时钟报文信号，ARM7同步采样脉冲调理模块接收等间隔同步采样脉冲信号，并发出A/D同步采样信号，实现数据的同步采样；232通讯模块接收时钟报文信号，并为各模块或单元提供授时报文信号；

所述采集模块由至少一个采集单元组成，采集单元包括信号调理电路、A/D采集模块和DSP处理器，信号调理电路接收模拟三相电压和三相电流信号，并对输入信号调整并输出调整后的信号到A/D采集模块，A/D采集模块根据A/D同步采样信号进行同步采样，并对采样信号进行A/D转换后输出数字信号到DSP处理器，DSP处理器根据接收的等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对输入的数字量数据进行处理后传输到数据管理单元；

开入单元由开入信号调理电路、光耦隔离和开入DSP处理器组成，所述开入信号调理电路用于接收和调整开入信号，并将开入信号经光耦隔离传输到开入DSP处理器，开入DSP处理器根据等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对接收到的开入信号进行处理后传输到数据管理单元；

数据管理单元由ARM9数据管理单元组成，ARM9数据管理单元根据授时报文信号接收所述双口RAM传输模块输出的信号，该ARM9数据管理单元通过以太网与上位机通信；

开出单元由开出DSP处理器、继电器、防火花保护电路组成，开出DSP处理器接收并处理所述上位机通过ARM9数据管理单元、双口RAM传输模块传来的控制信号，开出DSP处理器输出处理后的控制信号到继电器，继电器通过防火花保护电路投切电力负载。

同步时钟单元主要完成系统时钟的获取和发布以及等间隔同步采样脉冲的产生。GPS模块中的GPS接收器守时精度较高，内部选用高精度恒温晶体振荡器，在外部时间基准异常的情况下，每天时钟走时误差不超过0.6ms，能够满足相量测量装置同步单元的守时要求。同时，GPS模块的秒脉冲输入到ARM7同步采样脉冲调理模块，其下降沿误差在1μs以内，然后ARM7同步采样脉冲调理模块再根据这个秒脉冲通过软件方式产生A/D采集模块信号采集所需要的触发脉冲，可靠而精确地实现各数据量的同步采样，并可利用GPS提供的秒脉冲上升沿来消除累积误差。同时GPS模块还输出脉冲信号到DSP处理器，控制DSP处理器同步接收A/D采集模块输出的数字信号。GPS模块还通过输出串行信号标定秒脉冲下降沿时刻的时间，经由232通讯模块给DSP处理器和ARM9数据管理单元传送授时报文信号。

采集单元主要采用电压互感器、电流互感器实时在线采集线路节点的电压、电流信号，采集到的信号为模拟信号，信号调理电路对采集到的信号进行放大、缓冲或定标模拟信号等，使其适合于模/数转换器(ADC)的输入，A/D采集模块根据接收到的A/D同步采样信号信号采集输入的电压、电流信号，并对输入的信号进行模数转换后输出数字信号到DSP处理器，DSP处理器根据接收到的脉冲信号采集A/D采集模块输出的数字信号，并对接收到的数字信号进行处理，计算出相量数据、频率、功率等电力数据，然后把输出的处理信号标定时间，通过双口RAM传输模块将带有时标的处理信号传输到ARM9数据管理单元；

采集模块能够根据实际需求，设置多个采集单元，对各处线路进行数据采集，数据采集量大，监控范围广。

开入单元主要完成开关量的采集。开关量的实时采集由A/D同步采样信号触发，以实现开关量与各电力信号模拟量的同步采集。开入单元能够采集多路开关量信号，开关量信号经由开入单元和双口RAM传输模块传输到ARM9数据管理单元；

ARM9数据管理单元的主要功能是对采集得到的相量数据、开关量状态、频率、功率等信息以文件的形式实时发送到上位机，并接收上位机发出的切负荷在线指令。ARM9数据管理单元根据接收到的切负荷指令通过双口RAM传输模块，将切负荷指令传输到开出DSP处理器，开出DSP处理器控制继电器切负荷，切负荷的时候由防火花保护电路进行切除保护防止产生电火花。

基于电压稳定在线监测相量数据测量装置，所述DSP处理器根据采集得到的三相电压和电流数据，提出基于αβ坐标系的相量计算方法，对数据进行处理，实际计算电网电压/电流信号相量幅值；

其按以下步骤进行：

（1）首先，根据线性插值法确定信号频率相对于工频50Hz的偏移量；

设正弦输入信号为：

其中f₀为工频50Hz,Δf为信号频率相对于工频的偏移量；

以T_s=1/Nf₀为采样间隔对x(t)进行采样，得到采样序列x(n)，其中N为数据窗大小，如果有x(n₁)·x(n₁+1)<0，说明在x(n₁)和x(n₁+1)之间存在一个过零点，利用线性插值有，

$\frac{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}{1}=\frac{0-x\left(n_1\right)}{{\mathrm{\&Delta;n}}_1}---\left(1\right)$

${\mathrm{\&Delta;n}}_1=-x\left(n_1\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}(0<{\mathrm{\&Delta;n}}_1<1)---\left(2\right)$

其中，Δn₁为过零点与采样点x(n₁)之间的距离，Δn₁·T_s为相距时间；

同理，可以求得信号下一个过零点与采样点x(n₂)之间的距离：

${\mathrm{\&Delta;n}}_2=-x\left(n_2\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_2+1)-x\left(n_2\right)}---\left(3\right)$

考虑特殊情况，如果x(n)=0则对应Δn=0；

综上，输入信号的实际周期及频率可由下式得到，

T＇=2[(n₂+Δn₂)-(n₁+Δn₁)]·T_s

$f^{\&prime;}=\frac{1}{T^{\&prime;}}---\left(4\right)$

则信号频率f相对于工频f₀的偏移量为：

Δf=f-f₀                    （5）

（2）其次，进行传统DFT(离散傅里叶变换)计算相角误差分析，得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差；

包括，对正弦输入信号x(t)以T_s=1/Nf₀为采用间隔进行采样，得

$x\left(n\right)=x\left(t\right){|}_{t=\mathrm{nTs}}=\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{n\&pi;}(f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}+\mathrm{\&phi;})---\left(6\right)$

上式通过欧拉方程可表示为：

对x(n)加矩形窗d(n)得，

x_d(n)=x(n)d(n)（8）

式中0≤n≤N-1时d(n)=1；否则，d(n)=0；

矩形窗函数d(n)的离散傅里叶变换为，

$D\left(e^{\mathrm{j\&omega;}}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{-\mathrm{jn\&omega;}}=e^{-\mathrm{j\&omega;}\frac{N-1}{2}}\frac{\sin (\mathrm{\&omega;N}/2)}{\sin (\mathrm{\&omega;}/2)}---\left(9\right)$

对x_d(n)进行DFT并将（9）式代入，得：

为了便于分析幅值和相角，（10）式也可以表示为;

在（11）式中，

可由相量

表示，根据向量加法可以得到相量

的相角为：

由（11）、（12）式，可以得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差为：

（3）再次，构建虚拟αβ坐标系求解信号相量相角；

其中（10）式可以表示为：

其中，

$A=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)},$

$B=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{-j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}$

现虚构αβ坐标系，将待求解的信号相量

作为α相，并假设一初相超前α相90°的信号相量为β相，相量表示如下：

该坐标系下正序分量即为α相的正序分量，可由序分量计算公式而得

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}=\frac{1}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\stackrel{.}{x_{\mathrm{\&beta;}}})---\left(17\right)$

将（15）、（16）代入

由于1+e^-jπ=0，因此（18）可简化如下

由（13）、（19）式，在频率偏差固定的情况下，引入αβ坐标系后求解信号相角，可将误差表达式中的第二项，即动态变化项化解为零，只剩下第一项即固定偏差，通过补偿该固定偏差可得到精准的信号相角；

不过，由于β相起始点的选取是通过将α相起始点前移N/4个点，因此在存在频率偏移时，N/4个点所对应的相角并非π/2，因此在α相表达式不变的情况下，β相的选取做如下修正：

根据（18）的推导过程，可得正序分量结果如下：

考虑到πΔf/2f₀是一个很小的变量，可将（21）不同于（18）的部分作如下简化：

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=1+(\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=2-(1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(22\right)$

$=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=1+\cos (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})-j\sin (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(23\right)$

$=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

当频率偏差不大时，可做如如下的进一步简化，

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;2$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(24\right)$

将（24）代入（21）中，可得正序分量表达式如下

由此可得，通过本算法得到的DFT相角计算误差为

由（26）可以看出，在信号存在频率偏差的情况下，通过构建αβ坐标系，引入虚拟的β相与原信号相量一同进行DFT求解，可将误差表达式中的动态变化部分大幅减小，再由固定补偿的方式可得到高精度的相角计算结果；

当采样点N取为4的倍数时，相量的DFT表达式为

$\stackrel{\&CenterDot;}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

根据之前的推导，可得αβ坐标系下的相量表达式为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&alpha;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&beta;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}---\left(27\right)$

由序分量法可得正序分量结果如下

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}$

$=\frac{1}{2}(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\left(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}\right))$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-j(k+\frac{N}{4})\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})\text{---}\left(28\right)$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=\frac{N}{4}}{\overset{N+\frac{N}{4}-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})$

由（28）可知，将采样数据窗扩宽至5/4个周期再根据不同的权重进行DFT计算可有效减小相角误差中的动态部分，再由固定补偿的方式得到高精度的相角计算结果；

（4）最后，求解得到相量幅值；

将之前通过线性插值法得到的频率偏移量代入（10）中可得相量幅值，考虑到计算量过大，做如下简化：

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}\&ap;N[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}],$

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin (\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N})}\&ap;\frac{\mathrm{N\&Delta;f}}{2f_0}[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}]$

由此可得相量幅值：

其中，

和X_m分别为传统DFT所得相量相角和幅值。

电压稳定在线监测相量数据测量装置，以及再次技术上提出的基于αβ坐标系的相量计算方法，具有以下优点：

1、当现场输入大于单套装置最大采集量时，可同时采用多套相同的装置。GPS模块授时单元有多路GPS信号输出，可同时触发多套装置，保持时间同步。多套装置能够将采集的数据通过以太网通信方式将数据传送到主站数据中心。以太网交换机是起通信枢纽作用，各采集装置上送的数据均统一汇集在以太网交换机上，通过以太网接口传送到主站数据中心。

2、以精确的GPS同步时钟信号作为采样过程的基准，使各个采样通道的相量之间存在确定统一的相位关系，采用16位同步A/D以10kHz的速率转换数据，使得装置的测量精度可达到0.5%；开关量分辨率为0.1ms；频率的测量分辨率达到0.005Hz。

3、采用DSP处理器和ARM9组成双CPU系统，DSP处理器用于数据采集、相量计算，基于嵌入式实时操作系统和图形用户界面的ARM9负责数据管理及通信，其具有处理能力强、实时性高、易于升级等特点，极大提高了测量装置的可靠性、网络通信能力和可扩充性。

4、具有高速的内部数据总线和对外以太网通信接口，采用100M以太网技术和多线程技术实现量测量数据的高速传输，可实现大量实时数据的测量、存贮和对外发送。

5、同时是具有自适应紧急切负荷的执行机构，可根据上位在线分析单元指令准确可靠地执行跳闸、合闸操作。

6、DSP处理器采用基于αβ坐标系的相量测量算法，具有计算速度快、适应性强、准确性高的优点，能够精确计算电网电压/电流信号相量信息，在信号频率波动较大时有效避免频谱泄露问题，保证了非工频输入情况和动态过程的测量精度。

附图说明

图1为本发明的原理方框图；

图2为开出单元的结构框图；

图3为ARM数据管理单元结构图；

图4为本发明提出的相量测量算法流程图；

图5为相量图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。

参见图1，一种电压稳定在线监测相量数据测量装置,包括同步时钟单元、采集模块、开入单元、双口RAM传输模块、数据管理单元和开出单元；其中，

同步时钟单元由GPS模块、ARM7同步采样脉冲调理模块和232通讯模块构成，其中，ARM7同步采样脉冲调理模块采用LPC2132芯片的ARM7处理器。GPS模块输出等间隔同步采样脉冲信号和时钟报文信号，ARM7同步采样脉冲调理模块接收等间隔同步采样脉冲信号，并发出A/D同步采样信号，实现数据的同步采样；232通讯模块接收时钟报文信号，并为各模块或单元提供授时报文信号；

采集模块由6个并列的采集单元组成，可以完成对电网36个点的同步测量。采集单元包括信号调理电路、A/D采集模块和DSP处理器，其中，DSP处理模块采用TMS320C6747芯片的DSP处理器。信号调理电路接收模拟三相电压和三相电流信号，并对输入信号调整后输出调整后的信号到A/D采集模块，A/D采集模块根据A/D同步采样信号进行同步采样，并对采样信号进行A/D转换后输出数字信号到DSP处理器，DSP处理器根据接收的等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对输入的数字量数据进行处理后传输到数据管理单元。实际应用中，可以根据采集的信号量的大小，增加并列的采集单元的数目。

开入单元由开入信号调理电路、光耦隔离和开入DSP处理器组成，所述开入信号调理电路用于接收和调整开入信号，并将开入信号经光耦隔离传输到开入DSP处理器，开入DSP处理器根据等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对接收到的开入信号进行处理后传输到数据管理单元；

数据管理单元由ARM9数据管理单元组成，该ARM9数据管理单元采用三星S3C2440A芯片的ARM9处理器。ARM9数据管理单元根据授时报文信号接收所述双口RAM传输模块输出的信号，该ARM9数据管理单元通过以太网与上位机通信；

开出单元由开出DSP处理器、继电器、防火花保护电路组成，开出DSP处理器接收并处理所述上位机通过ARM9数据管理单元、双口RAM传输模块传来的控制信号，开出DSP处理器输出处理后的控制信号到继电器，继电器通过防火花保护电路投切电力负载。

如图2所示，开出单元中开出6路信号，在开出DSP处理器和继电器之间的电路上设置有正反逻辑组合电路，正反逻辑组合电路能够开出逻辑组合的信号，如果开为0，闭为1，则开出的6路信号就各有2种情况，即0或1。

DSP处理器实时计算三相基波电压相量、三相基波电流相量、基波正序电压相量、基波正序电流相量、线路有功功率、线路无功功率以及系统频率。测量得到的数据在标定时间信息后每20ms，ARM9数据管理单元通过以太网上传一次实时数据，上位机根据接收到的上传数据实现实时在线计算基本线路电压稳定指标，并用该指标来识别和判断该电力系统的薄弱环节和电压稳定性，在基本线路电压稳定指标接近阀值时启动削负荷或发电量的紧急保护控制方案以避免电压崩溃。本发明同时是具有自适应紧急切负荷的执行机构，可根据上位机下发的指令操作继电器，进而控制断路器，实现切负荷处理。由于无计算量，程序运行速度快，可实现快速采集开入量和准确可靠的操作继电器。本发明有望在电压稳定性在线辨识与控制的理论与工程实践方面取得突破性的成果，且相关成果的推广应用对于我国电力系统的电压稳定性研究具有重大意义。

如图3所示，ARM9数据管理单元由总线控制模块、ARM9核心模块和以太网驱动模块构成。ARM9数据管理单元主要完成对双口RAM上的实时数据量和开入量数据读取、数据统一管理、以太网数据发送。

如图4所示，基于电压稳定在线监测相量数据测量装置，所述DSP处理器根据采集得到的三相电压和电流数据，提出基于αβ坐标系的相量计算方法，对数据进行处理，实际计算电网电压/电流信号相量幅值；

其按以下步骤进行：

（1）首先，根据线性插值法确定信号频率相对于工频50Hz的偏移量；

设正弦输入信号为：

其中f₀为工频50Hz,Δf为信号频率相对于工频的偏移量；

以T_s=1/Nf₀为采样间隔对x(t)进行采样，得到采样序列x(n)，其中N为数据窗大小，如果有x(n₁)·x(n₁+1)<0，说明在x(n₁)和x(n₁+1)之间存在一个过零点，利用线性插值有，

$\frac{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}{1}=\frac{0-x\left(n_1\right)}{{\mathrm{\&Delta;n}}_1}---\left(1\right)$

${\mathrm{\&Delta;n}}_1=-x\left(n_1\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}(0<{\mathrm{\&Delta;n}}_1<1)---\left(2\right)$

其中，Δn₁为过零点与采样点x(n₁)之间的距离，Δn₁·T_s为相距时间；

同理，可以求得信号下一个过零点与采样点x(n₂)之间的距离：

${\mathrm{\&Delta;n}}_2=-x\left(n_2\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_2+1)-x\left(n_2\right)}---\left(3\right)$

考虑特殊情况，如果x(n)=0则对应Δn=0；

综上，输入信号的实际周期及频率可由下式得到，

T＇=2[(n₂+Δn₂)-(n₁+Δn₁)]·T_s

$f^{\&prime;}=\frac{1}{T^{\&prime;}}---\left(4\right)$

则信号频率f相对于工频f₀的偏移量为：

Δf=f-f₀             （5）

（2）其次，进行传统DFT(离散傅里叶变换)计算相角误差分析，得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差；

包括，对正弦输入信号x(t)以T_s=1/Nf₀为采用间隔进行采样，得

$x\left(n\right)=x\left(t\right){|}_{t=\mathrm{nTs}}=\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{n\&pi;}(f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}+\mathrm{\&phi;})---\left(6\right)$

上式通过欧拉方程可表示为：

对x(n)加矩形窗d(n)得，

x_d(n)=x(n)d(n)          （8）

式中0≤n≤N-1时d(n)=1；否则，d(n)=0；

矩形窗函数d(n)的离散傅里叶变换为，

$D\left(e^{\mathrm{j\&omega;}}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{-\mathrm{jn\&omega;}}=e^{-\mathrm{j\&omega;}\frac{N-1}{2}}\frac{\sin (\mathrm{\&omega;N}/2)}{\sin (\mathrm{\&omega;}/2)}---\left(9\right)$

对x_d(n)进行DFT并将（9）式代入，得：

为了便于分析幅值和相角，（10）式也可以表示为;

在（11）式中，

可由相量

表示，根据向量加法可以得到相量

的相角为：

由（11）、（12）式，可以得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差为：

（3）再次，构建虚拟αβ坐标系求解信号相量相角；

其中（10）式可以表示为：

其中，

$A=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)},$

$B=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{-j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}$

现虚构αβ坐标系，将待求解的信号相量

作为α相，并假设一初相超前α相90°的信号相量为β相，相量表示如下：

该坐标系下正序分量即为α相的正序分量，可由序分量计算公式而得

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}=\frac{1}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\stackrel{.}{x_{\mathrm{\&beta;}}})---\left(17\right)$

将（15）、（16）代入

由于1+e^-jπ=0，因此（18）可简化如下

由（13）、（19）式，在频率偏差固定的情况下，引入αβ坐标系后求解信号相角，可将误差表达式中的第二项，即动态变化项化解为零，只剩下第一项即固定偏差，通过补偿该固定偏差可得到精准的信号相角；

不过，由于β相起始点的选取是通过将α相起始点前移N/4个点，因此在存在频率偏移时，N/4个点所对应的相角并非π/2，因此在α相表达式不变的情况下，β相的选取做如下修正：

根据（18）的推导过程，可得正序分量结果如下：

考虑到πΔf/2f₀是一个很小的变量，可将（21）不同于（18）的部分作如下简化：

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=1+(\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=2-(1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(22\right)$

$=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=1+\cos (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})-j\sin (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(23\right)$

$=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

当频率偏差不大时，可做如如下的进一步简化，

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;2$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(24\right)$

将（24）代入（21）中，可得正序分量表达式如下

由此可得，通过本算法得到的DFT相角计算误差为

由（26）可以看出，在信号存在频率偏差的情况下，通过构建αβ坐标系，引入虚拟的β相与原信号相量一同进行DFT求解，可将误差表达式中的动态变化部分大幅减小，再由固定补偿的方式可得到高精度的相角计算结果；

当采样点N取为4的倍数时，相量的DFT表达式为

$\stackrel{\&CenterDot;}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

根据之前的推导，可得αβ坐标系下的相量表达式为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&alpha;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&beta;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}---\left(27\right)$

由序分量法可得正序分量结果如下

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}$

$=\frac{1}{2}(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\left(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}\right))$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-j(k+\frac{N}{4})\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})\text{---}\left(28\right)$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=\frac{N}{4}}{\overset{N+\frac{N}{4}-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})$

由（28）可知，将采样数据窗扩宽至5/4个周期再根据不同的权重进行DFT计算可有效减小相角误差中的动态部分，再由固定补偿的方式得到高精度的相角计算结果；

（4）最后，求解得到相量幅值；

将之前通过线性插值法得到的频率偏移量代入（10）中可得相量幅值，考虑到计算量过大，做如下简化：

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}\&ap;N[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}],$

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin (\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N})}\&ap;\frac{\mathrm{N\&Delta;f}}{2f_0}[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}]$

由此可得相量幅值：

其中，

和X_m分别为传统DFT所得相量相角和幅值。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (2)

1.一种电压稳定在线监测相量数据测量装置,其特征在于：包括同步时钟单元、采集模块、开入单元、双口RAM传输模块、数据管理单元和开出单元；

所述同步时钟单元由GPS模块、ARM7同步采样脉冲调理模块和232通讯模块构成，其中，GPS模块输出等间隔同步采样脉冲信号和时钟报文信号，ARM7同步采样脉冲调理模块接收等间隔同步采样脉冲信号，并发出A/D同步采样信号，实现数据的同步采样；232通讯模块接收时钟报文信号，并为各模块/单元提供授时报文信号；

所述采集模块由至少一个采集单元组成，采集单元包括信号调理电路、A/D采集模块和DSP处理器，信号调理电路接收模拟三相电压和三相电流信号，并对输入信号调整并输出调整后的信号到A/D采集模块，A/D采集模块根据A/D同步采样信号进行同步采样，并对采样信号进行A/D转换后输出数字信号到DSP处理器，DSP处理器根据接收的等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对输入的数字量数据进行计算、处理后传输到数据管理单元；

开入单元由开入信号调理电路、光耦隔离和开入DSP处理器组成，所述开入信号调理电路用于接收和调整开入信号，并将开入信号经光耦隔离传输到开入DSP处理器，开入DSP处理器根据等间隔同步采样脉冲信号和授时报文信号，对接收到的开入信号进行处理后传输到数据管理单元；

数据管理单元由ARM9数据管理单元组成，ARM9数据管理单元根据授时报文信号接收所述双口RAM传输模块输出的信号，该ARM9数据管理单元通过以太网与上位机通信；

开出单元由开出DSP处理器、继电器、防火花保护电路组成，开出DSP处理器接收并处理所述上位机通过ARM9数据管理单元、双口RAM传输模块传来的控制信号，开出DSP处理器输出处理后的控制信号到继电器，继电器通过防火花保护电路投切电力负载。

2.一种电压稳定在线监测相量数据测量方法，基于如权利要求1所述的相量数据测量装置，其特征在于，所述DSP处理器根据采集得到的三相电压和三相电流数据，提出基于αβ坐标系的相量计算方法，对数据进行处理，实际计算电网电压/电流信号相量；

该基于αβ坐标系的相量计算方法按以下步骤进行：

（1）首先，根据线性插值法确定信号频率相对于工频50Hz的偏移量；

设正弦输入信号为：

其中f₀为工频50Hz,Δf为信号频率相对于工频的偏移量；

以T_s=1/Nf₀为采样间隔对x(t)进行采样，得到采样序列x(n)，其中N为数据窗大小，如果有x(n₁)·x(n₁+1)<0，说明在x(n₁)和x(n₁+1)之间存在一个过零点，利用线性插值有，

$\frac{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}{1}=\frac{0-x\left(n_1\right)}{{\mathrm{\&Delta;n}}_1}---\left(1\right)$

${\mathrm{\&Delta;n}}_1=-x\left(n_1\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_1+1)-x\left(n_1\right)}(0<{\mathrm{\&Delta;n}}_1<1)---\left(2\right)$

其中，Δn₁为过零点与采样点x(n₁)之间的距离，Δn₁·T_s为相距时间；

同理，可以求得信号下一个过零点与采样点x(n₂)之间的距离：

${\mathrm{\&Delta;n}}_2=-x\left(n_2\right)\&CenterDot;\frac{1}{x(n_2+1)-x\left(n_2\right)}---\left(3\right)$

考虑特殊情况，如果x(n)=0则对应Δn=0；

综上，输入信号的实际周期及频率可由下式得到，

T＇=2[(n₂+Δn₂)-(n₁+Δn₁)]·T_s

$f^{\&prime;}=\frac{1}{T^{\&prime;}}---\left(4\right)$

则信号频率f相对于工频f₀的偏移量为：

Δf=f-f₀          （5）

（2）其次，进行传统DFT(离散傅里叶变换)计算相角误差分析，得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差；

包括，对正弦输入信号x(t)以T_s=1/Nf₀为采用间隔进行采样，得

$x\left(n\right)=x\left(t\right){|}_{t=\mathrm{nTs}}=\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{n\&pi;}(f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}+\mathrm{\&phi;})---\left(6\right)$

上式通过欧拉方程可表示为：

对x(n)加矩形窗d(n)得，

x_d(n)=x(n)d(n)           （8）

式中0≤n≤N-1时d(n)=1；否则，d(n)=0；

矩形窗函数d(n)的离散傅里叶变换为，

$D\left(e^{\mathrm{j\&omega;}}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{-\mathrm{jn\&omega;}}=e^{-\mathrm{j\&omega;}\frac{N-1}{2}}\frac{\sin (\mathrm{\&omega;N}/2)}{\sin (\mathrm{\&omega;}/2)}---\left(9\right)$

对x_d(n)进行DFT并将（9）式代入，得：

为了便于分析幅值和相角，（10）式也可以表示为;

在（11）式中，

可由相量表示，根据向量加法可以得到相量

的相角为：

由（11）、（12）式，可以得到在频率偏移固定时，直接使用DFT算法产生的相角误差为：

（3）再次，构建虚拟αβ坐标系求解信号相量相角；

其中（10）式可以表示为：

其中，

$A=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)},$

$B=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{N\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}{e}^{-j\left(\frac{(N-1)\mathrm{\&pi;}(2f_0+\mathrm{\&Delta;f})}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}$

现虚构αβ坐标系，将待求解的信号相量

作为α相，并假设一初相超前α相90°的信号相量为β相，相量表示如下：

该坐标系下正序分量即为α相的正序分量，可由序分量计算公式而得

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}=\frac{1}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\stackrel{.}{x_{\mathrm{\&beta;}}})---\left(17\right)$

将（15）、（16）代入

由于1+e^-jπ=0，因此（18）可简化如下

由（13）、（19）式，在频率偏差固定的情况下，引入αβ坐标系后求解信号相角，可将误差表达式中的第二项，即动态变化项化解为零，只剩下第一项即固定偏差，通过补偿该固定偏差可得到精准的信号相角；

不过，由于β相起始点的选取是通过将α相起始点前移N/4个点，因此在存在频率偏移时，N/4个点所对应的相角并非π/2，因此在α相表达式不变的情况下，β相的选取做如下修正：

根据（18）的推导过程，可得正序分量结果如下：

考虑到πΔf/2f₀是一个很小的变量，可将（21）不同于（18）的部分作如下简化：

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=1+(\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=2-(1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(22\right)$

$=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=1+\cos (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})-j\sin (\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{2f}_0})$

$=1-\cos \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(23\right)$

$=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}$

当频率偏差不大时，可做如如下的进一步简化，

$1+e^{j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}}=2-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;2$

$1+e^{-j(\mathrm{\&pi;}+\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0})}=2{\sin }^2\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{4f_0}+j\sin \frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}\&ap;j\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{2f_0}---\left(24\right)$

将（24）代入（21）中，可得正序分量表达式如下

由此可得，通过本算法得到的DFT相角计算误差为

由（26）可以看出，在信号存在频率偏差的情况下，通过构建αβ坐标系，引入虚拟的β相与原信号相量一同进行DFT求解，可将误差表达式中的动态变化部分大幅减小，再由固定补偿的方式可得到高精度的相角计算结果；

当采样点N取为4的倍数时，相量的DFT表达式为

$\stackrel{\&CenterDot;}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

根据之前的推导，可得αβ坐标系下的相量表达式为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&alpha;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{\&beta;}}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}---\left(27\right)$

由序分量法可得正序分量结果如下

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_{+}}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_{\mathrm{\&alpha;}+}}$

$=\frac{1}{2}(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+e^{-j\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}}\left(\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}\right))$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{k+\frac{N}{4}}{e}^{-j(k+\frac{N}{4})\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})\text{---}\left(28\right)$

$=\frac{1}{N}(\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}+\underset{k=\frac{N}{4}}{\overset{N+\frac{N}{4}-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_k{e}^{-\mathrm{jk}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}})$

由（28）可知，将采样数据窗扩宽至5/4个周期再根据不同的权重进行DFT计算可有效减小相角误差中的动态部分，再由固定补偿的方式得到高精度的相角计算结果；

（4）最后，求解得到相量幅值；

将之前通过线性插值法得到的频率偏移量代入（10）中可得相量幅值，考虑到计算量过大，做如下简化：

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}\right)}\&ap;N[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}],$

$\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{f_0}\right)}{\sin (\frac{\mathrm{\&pi;\&Delta;f}}{{\mathrm{Nf}}_0}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N})}\&ap;\frac{\mathrm{N\&Delta;f}}{2f_0}[1-\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;f\&pi;}\right)}^2}{6f_0^2}]$

由此可得相量幅值：

其中，

和X_m分别为传统DFT所得相量相角和幅值。

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