CN102075263A - 基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，主要解决复杂电磁环境下，现有频谱感知算法存在的检测性能差、计算复杂度大的问题。其实现步骤是：(1)对接收信号进行采样；(2)将采样后的接收信号序列平均分段，计算各分段序列的能量；(3)计算各分段序列能量的最大似然比λ_j；(4)计算各分段序列能量的最大似然比λ_j的检验统计量Λ_K；(5)确定判决门限的上限和下限；(6)确定最佳截尾门限；(7)将检验统计量Λ_K与判决门限的上限和下限，以及最佳截尾门限进行比较和判决，得到输出结果。本发明具有计算复杂度低，频谱检测时间短的优点，可用于提高复杂电磁环境中认知无线电网络的频谱感知性能。

Description

基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域，涉及认知无线电技术，是一种频谱感知方法，适合用于高复杂性、低信噪比和高动态特性的无线通信信道。

背景技术

随着无线和移动通信的迅速发展，日益增长的对无线频谱的需求和有限的频谱资源之间的矛盾已经成为当前无线通信行业的突出矛盾。尽管如此，美国联盟通信委员会FCC的频谱策略任务工作报告显示大多数频谱在大多数时候都是空闲的，0～3GHz频段的频谱利用率为30％，而3～4GHz和4～5GHz的频谱利用率仅为0.5％和0.3％。为了改善频谱利用率低下的现状，J.Mitola等人提出了认知无线电的概念。其主要思想是允许非授权用户能够感知、识别甚至接入当前空闲的专用频段，从而大幅提高频谱利用率。为了达到充分利用频谱并且尽量保护授权用户的目的，非授权用户必须准确地感知其周围的频谱占用情况，以尽量减小对授权用户正常通信的干扰。由于电波传输过程中的多径衰落和大量存在的噪声干扰都会影响了授权用户的频谱感知性能，因此复杂恶劣电磁环境下的频谱感知研究受到国内外学者的广泛关注。

现有的频谱感知算法主要有：能量检测法、匹配滤波法和循环特征谱检测法等。尽管匹配滤波法的检测性能比较好，但由于要依赖先验信息，难以应用到诸如短波通信系统这种干扰信号多、调制方式多样的系统中，而且计算复杂度高，严重制约了它们的实际应用；循环特征谱法不需要提供先验信息，但由于计算复杂度比较高，直接限制了频谱感知速度和检测效率；能量检测法因其不依赖先验信息、计算复杂低和检测速度快等优点而倍受青睐。然而，能量检测法在复杂恶劣电磁环境下特别是低信噪比条件下的检测性能比较差，频谱感知时间较长。为了降低所需采样点数和缩短感知时间，近年来一些基于序贯似然比检验SPRT的检测算法被提出并应用到认知无线电中。序贯似然比检验是A.Wald在1947年提出的，最初是用于第二次世界大战期间美国军火生产中的质量检验工作，为了保证在一定时间内有足够证据停止检验并作出判决，A.Wald又设计了截尾型的序贯检验方法SPRT。由于SPRT是最优的检验法，且所需平均样本容量ASN最小，至今已经广泛应用于各个领域，如产品的质量检验、模型变点检测、辐射监控等等。

如图1所示：假设在一个窄带认知无线电系统中存在一个主要用户，它允许感知用户在频谱空闲情况下使用该频段，从而提高频谱利用率。因此，即使在存在大量干扰信号和阴影效应情况下，感知用户必须能够实时、准确地检测主要用户信号的存在与否，才能避免对主要用户造成有害干扰。感知方法的研究可以看作是二元假设检验问题：

H₀∶x_i＝w_i&H₁∶x_i＝s_i+w_i(1)

式中，H₀和H₁分别代表主要用户信号不存在和存在的情况，s_i和w_i分别表示接收到的主要信号序列和干扰噪声序列，1≤i≤N，N为序列长度。为便于频谱感知的技术研究和性能分析，通常假设：1)、噪声w_i是均值为0，方差为

的复高斯随机序列，即

2)、接收信号s_i的平均功率为P，且信号s_i和噪声w_i相互独立；3)、感知用户通过测量能够得到本地干扰噪声方差

和接收信号平均功率P。

根据二元假设检验模型和能量检测算法原理，将检测统计量T(x)与判决门限γ进行比较：

式中，N表示接收信号序列长度。在H₀和H₁情况下，检测统计量T(x)分别服从自由度为2N的卡方分布和非中心卡方分布，即：

式中，为感知节点的接收信噪比。在获得相同检测性能情况下，相比于能量检测算法，序贯检验算法能够大大降低所需要的平均容量样本ASN，从而有效缩短频谱感知时间。然而，接收信号能量服从具有复杂概率密度分布函数的卡方分布

将该分布函数直接用于计算序贯检验的最大似然比非常困难，频谱感知的计算复杂度较高，导致后续研究工作无法继续进行，因此，需要进一步探讨在复杂电磁环境下，适用于无线通信的更为有效可靠的频谱感知方法。

发明内容

本发明的发明目的是针对复杂电磁环境下现有频谱感知算法存在的检测性能差、计算复杂度高、需要先验信息的问题，提出了一种基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，以降低频谱感知的计算复杂度，缩短感知时间，保障复杂电磁环境中特别是低信噪比条件下认知无线电网络的频谱感知性能。

实现本发明目的的技术方案是：通过对接收信号序列进行分段处理和能量计算，引入中心极限定理，使得序贯检验的最大似然比函数趋近标准正态分布，从而简化最大似然比的计算过程，具体步骤如下：

(1)对接收信号x进行采样，得到采样后的接收信号序列x_i，i＝1，2，…，N，N为接收信号序列x_i的总长度；

(2)确定最佳分段间隔N₁，将接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂的分段序列，即

计算各分段序列的能量：

式中，k＝1，2，…，N₁，j＝1，2，…，N₂；

(3)利用序贯检验算法，求得各分段序列能量y_j的最大似然比λ_i；

(4)计算最大似然比λ_j的检验统计量：

式中，j＝1，2，…，K，K＝1，2，…，N₂；

(5)通过公式：确定判决门限的上限A和下限B，式中，α和β分别为频谱系统检测所需达到的虚警概率和漏检概率；

(6)根据截尾型序贯检验方法，推导得到最佳截尾门限C的表达式：

$C=-0.25N_2\mathrm{\ρ}-\frac{0.25-\mathrm{\ρ}{N}_1+{\mathrm{\ρ}}^2(N_1+N_1^2)}{N_2(N_1{\mathrm{\ρ}}^2+1.5\mathrm{\ρ})}\ln \left(\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-1}\right),$

式中，ρ为感知节点的接收信噪比；

(7)将检验统计量Λ_K与判决门限的上限A和下限B进行比较并做出判决：

若B＜Λ_K＜A始终成立，则将检验统计量Λ_K与最佳截尾门限C进行比较并做出判决：

式中，H₁和H₀分别代表主要用户信号存在和不存在的情况，由此得到输出结果。

本发明由于通过对接收信号进行分段能量求和处理，并引入中心极限定理，使得序贯检测的最大似然比分布函数服从高斯分布，从而大大简化后续计算和理论推导过程。在达到相同检测性能情况下，相比于现有的能量检测算法，能够降低40％～60％的平均容量样本，大大缩短频谱感知时间，从而保证了复杂电磁环境下目标信号的快速、有效感知。

附图说明

图1是现有认知无线电系统中的频谱感知模型；

图2是本发明的实现流程框图；

图3是本发明的分段能量处理子流程图；

图4是在不同信噪比条件下，本发明的分段序列能量的累积分布函数CDF与正态分布函数曲线对比图；

图5是在不同分段间隔下，本发明的分段序列能量的累积分布函数CDF与正态分布函数曲线对比图；

图6是本发明对平均容量样本ASN随分段间隔变化的性能曲线图；

图7是本发明与现有能量检测方法的性能对比曲线图。

具体实施方式

参照图2，本发明基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，包括以下步骤：

步骤1，对接收信号x进行采样，得到采样后的接收信号序列x_i，i＝1，2，…，N，N为接收信号序列x_i的总长度。

步骤2，确定最佳分段间隔N₁，将接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂的分段序列，即N₂＝N/N₁，计算各分段序列的能量。

参照图3，本步骤的具体实现如下：

2a)根据中心极限定理，选取初始分段间隔N₀＞10；

2b)根据初始分段间隔N₀，将总长度为N的接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂′的分段序列，即有N＝N₀N₂′；

2c)在初始分段间隔N₀＞10的前提下，调整N₀的大小，使得N₂′最大，此时N₀的取值即为最佳的分段间隔N₁；

2d)根据最佳分段间隔N₁，将接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂的分段序列，即N₂＝N，计算各分段序列的能量：

式中，k＝1，2，…，N₁，j＝1，2，…，N₂。

步骤3，利用序贯检验算法，求得各分段序列能量y_j的最大似然比λ_j。

3a)根据中心极限定理，当分段间隔足够大时，接收信号的各分段序列的能量y_j逼近正态分布过程，由此得到各分段序列能量y_j的概率密度函数表达式：

$\left\{\begin{array}{c}f\left(y_j\right|H_1)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}}\exp [-\frac{{(y_j-(N_1+\mathrm{\ρ}/2)({\mathrm{\σ}}_w^2+P))}^2}{2(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}]\\ f\left(y_j\right|H_0)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}{N}_1{\mathrm{\σ}}_w^4}}\exp [-\frac{{(y_j-N_1{\mathrm{\σ}}_w^2)}^2}{2N_1{\mathrm{\σ}}_w^4}]\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，f(y_j|H₁)与f(y_j|H₀)分别表示主要用户信号存在和不存在的情况下各分段序列能量y_j的概率密度函数，P为接收信号序列x_i的平均功率，为干扰噪声的方差；

3b)根据f(y_j|H₁)和f(y_j|H₀)的表达式，计算得到各分段序列能量yj的最大似然比：

${\mathrm{\λ}}_j=\ln \frac{f\left(y_j\right|H_1)}{f\left(y_j\right|H_0)}$

$=\ln \left\{\frac{\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}}\exp [-\frac{{(y-(N_1+\mathrm{\ρ}/2)({\mathrm{\σ}}_w^2+P))}^2}{2(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}]}{\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}{N}_1{\mathrm{\σ}}_w^4}}\exp [-\frac{{(y-N_1{\mathrm{\σ}}_w^2)}^2}{2N_1{\mathrm{\σ}}_w^4}]}\right\}.---\left(5\right)$

$=\ln \left(\frac{1}{1+\mathrm{\ρ}}\sqrt{\frac{N_1}{N_1+\mathrm{\ρ}}}\right)+\frac{{(y_j-N_1{\mathrm{\σ}}_w^2)}^2}{2N_1{\mathrm{\σ}}_w^4}-\frac{{(y_j-(N_1+\mathrm{\ρ}/2)({\mathrm{\σ}}_w^2+P))}^2}{2(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}$

本步骤的计算不限于序贯检验算法。

步骤4，根据各分段序列能量y_j的最大似然比λ_j，计算λ_j的检验统计量：

式中，1≤K≤N₂。

步骤5，根据序贯检验算法，利用该算法中的门限公式：

确定判决门限的上限A和下限B，式中，α和β分别为频谱系统检测所需达到的虚警概率和漏检概率。

步骤6，根据截尾型序贯检验方法，推导最佳截尾门限C的表达式。

6a)描述截尾型序贯检验算法的误检概率α(N₂)和漏检概率β(N₂)的不等式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\left(N_2\right)\≤\mathrm{\α}+\frac{\mathrm{expB}-1}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{C}{\overset{A}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_0)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}\\ \mathrm{\β}\left(N_2\right)\≤\mathrm{\β}+\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{B}{\overset{C}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_1)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}\end{array}\right.,---\left(6\right)$

式中，α和β分别为频谱系统检测所需达到的虚警概率和漏检概率，exp表示以常数e为底的指数，常数e的取值为2.71828，A为判决门限的上限，B为判决门限的下限，C为最佳截尾门限，

和

分别表示主要用户信号不存在和存在的情况下检验统计量

的概率密度函数；

6b)为了获得最佳的检测性能，必须迫使α(N₂)+β(N₂)取到最小值，因此定义积分求和表达式G(C)为：

$G\left(C\right)=\frac{\mathrm{expB}-1}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{C}{\overset{A}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_0)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}+\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{B}{\overset{C}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_1)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2};---\left(7\right)$

6c)对G(C)求导得到G′(C)，令G′(C)＝0，近似得到低信噪比，即ρ＝1情况下的最佳截尾门限C：

$C=-0.25N_2\mathrm{\ρ}-\frac{0.25-\mathrm{\ρ}{N}_1{+\mathrm{\ρ}}^2(N_1+N_1^2)}{N_2(N_1{\mathrm{\ρ}}^2+1.5\mathrm{\ρ})}\ln \left(\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-1}\right).---\left(8\right)$

步骤7，将检验统计量Λ_K与判决门限的上限A和下限B，以及最佳截尾门限C进行比较并做出判决，按如下步骤进行：

7a)将检验统计量Λ_K与判决门限的上限A和下限B进行比较并做出判决，其描述为：

式中，λ_i为各分段序列能量y_j的最大似然比，j＝1，2，…，K，K＝1，2，…，N₂；

7b)若B＜Λ_K＜A始终成立，则将导致无法做出判决，为保证在有限采样信号点内得到检验结果，采用截尾型序贯检验算法，将检验统计量Λ_K与最佳截尾门限C进行比较并做出判决，即：

7c)输出判决结果。

本发明的效果可以通过以下理论推导分析和仿真进一步说明：

(A)在给定虚警概率α和漏检概率β情况下，能量检测法所需要的最小采样点数为：

$N_{\min }={\mathrm{\ρ}}^{-2}{[Q^{-1}\left(\mathrm{\α}\right)-Q^{-1}(1-\mathrm{\β})\sqrt{2\mathrm{\ρ}+1}]}^2---\left(11\right)$

式中，

为感知节点的接收信噪比，

表示其逆函数。由此可见，在ρ＝1的低信噪比情况下，所需最小采样点数N_min与信噪比的平方ρ²成反比。因此，在复杂电磁环境下随着信噪比的恶化，达到相同检测性能所需信号采样点数和检测时间将会急剧增加；

(B)推导可得，在主要用户信号不存在和存在的情况下，本发明所提方法的平均容量样本ASN分别为：

${\mathrm{ASN}}_{H_0}=-\frac{\mathrm{\αA}+(1-\mathrm{\α})B}{0.5{\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}/N^{\′}}---\left(12\right)$

${\mathrm{ASN}}_{H_1}=\frac{(1-\mathrm{\β})A+\mathrm{\βB}}{0.5{\mathrm{\ρ}}^2+0.5\mathrm{\ρ}/N^{\′}}---\left(13\right)$

进一步分析可得，在ρ＝1低信噪比情况下的认知无线电网络中，本发明的平均容量样本取决于所需达到的系统误检概率α和漏检概率β，且与分段间隔N′成正比，与感知节点的接收信噪比ρ成反比。由此可见，为了减少所提算法的平均容量样本和缩短频谱感知时间，应该尽量选取较小的分段间隔N′，但前提是N′必须满足中心极限定理条件。

C.仿真内容

(C1)在典型信噪比和不同分段间隔条件下，对分段序列能量的累积分布函数CDF与标准正态分布函数逼近程度进行仿真。

选取N＝2×10⁵，N′＝20，ρ＝-5，-10，-15dB，得到不同信噪比条件下，本发明的分段序列能量的累积分布函数CDF与正态分布函数曲线对比，如图4所示；选取N＝2×10⁵，ρ＝-5dB，N′20，40，100，得到不同分段间隔下，本发明的分段序列能量的累积分布函数CDF与正态分布函数曲线对比图，如图5所示。

由图4和图5可以看出，在ρ＝1的低信噪比和分段间隔N′＞10足够大的条件下，标准正态分布过程能够很好地描述接收信号分段序列能量的分布情况，验证了本文所提序贯检验方法的正确性；

(C2)用本发明对不同分段间隔下的平均容量样本ASN进行仿真，仿真的性能曲线如图6所示。

从图6中可以看出：在主要用户信号存在和不存在的情况下，平均容量样本仿真值都随着分段间隔的增加而逐渐增加，从而验证了其与理论推导的一致性。此外，无论是ρ＝-10dB还是ρ＝-15dB条件下，相比于存在信号的H₁情况，不存在信号的H₀情况下的平均容量样本仿真值更加接近理论值，这是因为H₀情况下接收信号的分段序列能量更加逼近正态分布；

(C3)用现有能量检测方法和本发明对频谱感知性能进行对比仿真，即在虚警概率α＝1％和漏检概率β＝5％达到相同检测性能的情况下，将能量检测算法所需的最小容量样本与本发明所提序贯检验方法的平均容量样本进行比较，其性能曲线如图7所示。

从图7中可以看出，虽然当信噪比较高时，所提序贯检验方法与能量检测方法的检测性能差不多，但是在ρ＜-5dB的较低信噪比的情况下，本发明明显优于能量检测方法。例如：当ρ＝-15dB时，能量检测法的最小容量样本值为16180，而在H₀和H₁条件下所提方法的平均容量样本值分别为8798和6169，相比于能量检测方法分别降低了45.6％和61.9％。此外，随着信噪比的降低，本发明所提方法的优势越来越明显，这一特征表明本发明所提方法能够大大缩短检测时间，适用于低信噪比条件下目标信号的快速频谱感知。

综上，本发明所提的基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法通过对接收信号序列进行分段处理和能量计算，并引入中心极限定理，使得序贯检验的最大似然比函数趋近标准正态分布，有效降低了频谱感知的计算复杂度，在达到相同检测性能情况下，相比于现有的能量检测算法，本发明所提算法能够降低40％～60％的平均容量样本，大大缩短频谱感知时间，从而保证了复杂电磁环境中特别是低信噪比情况下目标信号快速、有效的频谱感知。

Claims (4)

1.一种基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，包括如下步骤：

(1)对接收信号x进行采样，得到采样后的接收信号序列x_i，i＝1，2，…，N，N为接收信号序列x_i的总长度；

(2)确定最佳分段间隔N₁，将接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂的分段序列，即N₂＝N/N₁，计算各分段序列的能量：

式中，k＝1，2，…，N₁，j＝1，2，…，N₂；

(3)利用序贯检验算法，求得各分段序列能量y_i的最大似然比λ_j；

(4)计算最大似然比λ_i的检验统计量：

式中，j＝1，2，…，K，K＝1，2，…，N₂；

(5)通过公式：

确定判决门限的上限A和下限B，式中，α和β分别为频谱系统检测所需达到的虚警概率和漏检概率；

(6)根据截尾型序贯检验方法，推导得到最佳截尾门限C的表达式：

$C=-0.25N_2\mathrm{\ρ}-\frac{0.25-\mathrm{\ρ}{N}_1+{\mathrm{\ρ}}^2(N_1+N_1^2)}{N_2(N_1{\mathrm{\ρ}}^2+1.5\mathrm{\ρ})}\ln \left(\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-1}\right),$

式中，ρ为感知节点的接收信噪比；

(7)将检验统计量Λ_K与判决门限的上限A和下限B进行比较并做出判决：

若B＜Λ_K＜A始终成立，则将检验统计量Λ_K与最佳截尾门限C进行比较并做出判决：

式中，H₁和H₀分别代表主要用户信号存在和不存在的情况，由此得到输出结果。

2.根据权利要求1所述的基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，其特征在于步骤(2)所述的确定最佳分段间隔N₁，按如下步骤进行：

(2a)根据中心极限定理，选取初始分段间隔N₀＞10；

(2b)根据初始分段间隔N₀，将总长度为N的接收信号序列x_i平均分成总段数为N₂′的分段序列，即有N＝N₀N₂′；

(2c)在初始分段间隔N₀＞10的前提下，调整N₀的大小，使得N₂′最大，此时N₀的取值即为最佳的分段间隔N₁。

3.根据权利要求1所述的基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，其特征在于步骤(3)所述的利用序贯检验算法，求得各分段序列能量y_i的最大似然比λ_j，按如下步骤进行：

(3a)根据中心极限定理，当分段间隔足够大时，接收信号的各分段序列的能量y_i逼近正态分布过程，由此得到各分段序列能量y_i的概率密度函数表达式：

$\left\{\begin{array}{c}f\left(y_j\right|H_1)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}}\exp [-\frac{{(y_j-(N_1+\mathrm{\ρ}/2)({\mathrm{\σ}}_w^2+P))}^2}{2(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}]\\ f\left(y_j\right|H_0)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}{N}_1{\mathrm{\σ}}_w^4}}\exp [-\frac{{(y_j-N_1{\mathrm{\σ}}_w^2)}^2}{2N_1{\mathrm{\σ}}_w^4}]\end{array}\right.,$

式中，f(y_i|H₁)与f(y_i|H₀)分别表示主要用户信号存在和不存在的情况下各分段序列能量y_i的概率密度函数，P为接收信号序列x_i的平均功率，

为干扰噪声的方差；

(3b)根据f(y_i|H₁)和f(y_i|H₀)的表达式，计算得到各分段序列能量yi的最大似然比：

${\mathrm{\λ}}_j=\ln \left(\frac{1}{1+\mathrm{\ρ}}\sqrt{\frac{N_1}{N_1+\mathrm{\ρ}}}\right)+\frac{{(y_j-N_1{\mathrm{\σ}}_w^2)}^2}{2N_1{\mathrm{\σ}}_w^4}-\frac{{(y_j-(N_1+\mathrm{\ρ}/2)({\mathrm{\σ}}_w^2+P))}^2}{2(N_1+\mathrm{\ρ}){({\mathrm{\σ}}_w^2+P)}^2}.$

4.根据权利要求1所述的基于分段能量处理的截尾型序贯检验方法，其特征在于步骤(6)所述的推导最佳截尾门限C的表达式，按如下步骤进行：

(6a)描述截尾型序贯检验算法的误检概率α(N₂)和漏检概率β(N₂)的不等式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\left(N_2\right)\≤\mathrm{\α}+\frac{\mathrm{expB}-1}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{C}{\overset{A}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_0)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}\\ \mathrm{\β}\left(N_2\right)\≤\mathrm{\β}+\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{B}{\overset{C}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_1)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}\end{array}\right.,$

式中，

为所有分段序列的检验统计量，

和

分别表示主要用户信号存在和不存在的情况下

的概率密度函数；

(6b)定义积分求和表达式G(C)为：

$G\left(C\right)=\frac{\mathrm{expB}-1}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{C}{\overset{A}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_0)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2}+\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-\mathrm{expA}}\underset{B}{\overset{C}{\∫}}f\left({\mathrm{\Λ}}_{N_2}\right|H_1)d{\mathrm{\Λ}}_{N_2};$

(6c)对G(C)求导得到G′(C)，令G′(C)＝0，近似得到低信噪比，即ρ＝1情况下的最佳截尾门限C：

$C=-0.25N_2\mathrm{\ρ}-\frac{0.25-\mathrm{\ρ}{N}_1{+\mathrm{\ρ}}^2(N_1+N_1^2)}{N_2(N_1{\mathrm{\ρ}}^2+1.5\mathrm{\ρ})}\ln \left(\frac{\mathrm{expB}(1-\mathrm{expA})}{\mathrm{expB}-1}\right).$

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