CN102071924B - 一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法，将陀螺测斜仪伸入井眼内，建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b和地理坐标系OX_iY_iZ_i，考虑地球自转和仪器运动，利用陀螺敏感到的角速度在仪器坐标系上的分量公式，求出井斜角I、方位角A和工具面角T。本发明的方法可静态单点测量也可连续测量，测量速度快，短时间内无需漂移修正，既可用于井眼轨迹复测，套管定向开窗侧钻，还可在有磁性干扰环境下的套管井内配合其他测井方法，指示测量仪器的方位；本发明采用惯性传感器与仪器直接固联，利用数学平台来完成油井方位的实时连续测量，与采用机械框架结构的陀螺测斜仪相比测量范围宽，测量时不受任何角度上的限制，并能保证精度高，功耗低等优点。

Description

一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法

技术领域

本发明涉及一种石油测井、地质勘探方法，尤其涉及一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法。

背景技术

目前，在石油测井施工使用的测斜仪主要是磁通门式的测斜仪。它采用三轴正交角速度计测量地球重力加速度，三轴正交磁通门测量地磁场矢量。虽然这种测斜仪传感器性能可靠，但要求磁通门周围不能有任何铁磁物质。而老井有套管，无法给测斜仪提供良好的无磁环境，因此利用磁通门测量老井的井眼轨迹无法实现。

采用机械框架结构的陀螺测斜仪利用悬挂的悬锤提供垂直基准，当井轴倾斜时悬锤与井轴夹角即为倾斜角。其在测量前要求进行初始对准，在测量时偏心活动框架平面要跟踪倾斜方位角，因此框架平面会转动而陀螺将保持原方向不变，此时框架与陀螺的相对转角就是要求的方位角。而由于这种测量方法全是由机械结构采用机电式测量，其精度必将受到机械构件运动精度的极大限制；同时井眼的方位角的精度受到了井斜角的限制，只有当井斜角大于一定角度(一般＞5°)时，才能保证方位角的精度。

发明内容

针对现有技术存在的上述不足，本发明的目的是提供一种利用数学平台来实现全方位测量，不受任何角度上的限制，并能够保证测量精度，大大缩短测量时间的陀螺测斜仪全方位测量方法。

本发明提供的一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法，该方法包括如下步骤：

(1)、将装有两个双自由度挠性陀螺和三个石英加速度计的陀螺测斜仪固定在载体上，并随载体伸入井眼内；

(2)建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b和地理坐标系OX_iY_iZ_i：

在陀螺测斜仪上建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b，纵轴OZ_b为仪器探管轴向，指向探管上端；OX_b和OY_b在水平平面内，其中OX_b轴指向仪器的前端，OY_b指向仪器左端；仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b为符合右手定则的正交坐标系；

地理坐标系OX_iY_iZ_i中，OX_i指向惯性真北，OY_i指向惯性真西，OZ_i为地垂线指向天，地理坐标系OX_iY_iZ_i为符合右手定则的正交坐标系；

(3)定义井斜角I、方位角A和工具面角T：

井斜角I是仪器坐标系OZ_b轴与地理坐标系OZ_i轴之间的夹角；

方位角A是探管轴向OZ_b轴和地理坐标系OZ_i所在平面OZ_bZ_i与地理坐标系指北轴OX_i和OZ_i轴所在平面OX_iZ_i之间的夹角，顺时针，从北向东转角为正；

工具面角T是探管以OZ_b为轴，顺时针自旋转，从探管轴线OZ_b轴所在的地垂平面OZ_bZ_i转到由仪器坐标系OZ_b轴和OX_b轴所在的平面OX_bZ_b之间的夹角，顺时针为正；

(4)将测斜仪的仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b看作地理坐标系OX_iY_iZ_i经过三次坐标旋转得到：

第一次旋转是以OZ_i为旋转轴，将OX_i轴顺时针向东转动一个方位角A，转动后的坐标系为OX₁Y₁Z₁，OZ₁轴与OZ_i轴重合；

第二次旋转是以OY_i为旋转轴，将OZ₁轴转动一个井斜角I到OZ₂，转动后的坐标系为OX₂Y₂Z₂，OY₂轴与OY₁轴重合；

第三次旋转是以OZ₂为旋转轴，转动一个工具面角T，最后转动后的坐标系为OX_bY_bZ_b，OZ_b轴与OZ₂轴重合；

与三次坐标系旋转相联系的三个旋转矩阵为：

$C_n^1=\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$C_1^2=\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right],$

$C_2^b=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

可得旋转矩阵为：

$C_n^b=C_2^b{C}_1^2{C}_n^1,(z-y-z)$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos A\cos I\cos T-\sin A\sin T& \sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T& -\sin I\cos T\\ -\cos A\cos I\sin T-\cos T\sin A& -\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T& \sin I\sin T\\ \cos A\sin I& \sin A\sin I& \cos I\end{array}\right]$

(1)

(5)陀螺敏感的地球自转角速度ω_e和重力加速度g在地理坐标系上的投影分别为：

${\mathrm{\ω}}_e=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eN}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eW}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]={\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right];$

(2)

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{eN}}\\ A_{\mathrm{eW}}\\ A_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]=g\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right];$

(3)

上式中：ω_eN为北向地球自转角速度分量；ω_eW为西向地球自转角速度分量；ω_eU为天向地球自转角速度分量；L为当地纬度；A_eN为北向地球重力加速度；A_eW为西向地球重力加速度；A_eU为天向地球重力加速度；

陀螺敏感的仪器相对地理系的转动速度，该转动速度在仪器坐标系上的投影为：

$C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right];---\left(4\right)$

其中： $C_1^b=C_2^b{C}_1^2;$ dI＝ω_xcosT+ω_ysinT-ω_ecosLcosA；

$\mathrm{dA}=\frac{1}{\sin I}({\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\cos I-{\mathrm{\ω}}_x\sin T+{\mathrm{\ω}}_y\cos T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L;$

将(1)、(2)、(3)和(4)联立可得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right]+C_n^b{\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_e\cos L(\sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\cos T+\mathrm{dI}\sin T-\mathrm{dA}\sin I\cos T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L(-\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T)+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\sin T+\mathrm{dI}\cos T+\mathrm{dA}\sin I\sin T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\sin I+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\cos I+\mathrm{dAcisU}+\mathrm{dT}\end{array}\right]$ ；

上述中：ω_x，ω_y和ω_z为陀螺测量值；

(6)、计算井斜角I、方位角A和工具面角T

工具面角T：

$T=a\tan \frac{-a_y}{a_x};$

上式中：-a_y和a_x为Y轴、X轴的加速度计测量值；

井斜角I：I＝I₀+dIΔt；

方位角A：A＝A₀+dAΔt；

上式中：I₀为井斜角初始值，A₀为方位角初始值，Δt为A/D转换采样时间间隔；

(7)、将井斜角I、方位角A和工具面角T输入井上计算机，由井上计算机显示或打印。

与现有技术相比，本发明的陀螺测斜仪全方位测量方法具有以下的有益效果：

1、本发明的方法可静态单点测量也可连续测量，测量速度快，短时间内无需漂移修正，既可用于井眼轨迹复测，套管定向开窗侧钻，还可在有磁性干扰环境下的套管井内配合其他测井方法，指示测量仪器的方位，确定诸如磨损、水泥胶结等情况的方位；在各向异性地层中进行射孔作业时，采用陀螺仪定向，避免盲目射孔，增加射孔出油率。

2、本发明采用惯性传感器与仪器直接固联，利用数学平台来完成油井方位的实时连续测量，与采用机械框架结构的陀螺测斜仪相比测量范围宽，测量时不受任何角度上的限制，并能保证精度高，功耗低等优点。

3、本发明的方法实现了全方位的测量的同时，也保证了测量精度。

具体实施方式

一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法，包括如下步骤：

(1)、将装有两个双自由度挠性陀螺和三个石英加速度计的陀螺测斜仪固定在载体上，并随载体伸入井眼内。

(2)建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b和地理坐标系OX_iY_iZ_i：

在陀螺测斜仪上建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b，纵轴OZ_b为仪器探管轴向，指向探管上端；OX_b和OY_b在水平平面内，其中OX_b轴指向仪器的前端，OY_b指向仪器左端；仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b为符合右手定则的正交坐标系；

地理坐标系OX_iY_iZ_i中，OX_i指向惯性真北，OY_i指向惯性真西，OZ_i为地垂线指向天，地理坐标系OX_iY_iZ_i为符合右手定则的正交坐标系。

(3)定义井斜角I、方位角A和工具面角T：

井斜角I是仪器坐标系OZ_b轴与地理坐标系OZ_i轴之间的夹角；

方位角A是探管轴向OZ_b轴和地理坐标系OZ_i所在平面OZ_bZ_i与地理坐标系指北轴OX_i和OZ_i轴所在平面OX_iZ_i之间的夹角，顺时针，从北向东转角为正；

工具面角T是探管以OZ_b为轴，顺时针自旋转，从探管轴线OZ_b轴所在的地垂平面OZ_bZ_i转到由仪器坐标系OZ_b轴和OX_b轴所在的平面OX_bZ_b之间的夹角，顺时针为正。

(4)将测斜仪的仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b看作地理坐标系OX_iY_iZ_i经过三次坐标旋转得到：

第一次旋转是以OZ_i为旋转轴，将OX_i轴顺时针向东转动一个方位角A，转动后的坐标系为OX₁Y₁Z₁，OZ₁轴与OZ_i轴重合；

第二次旋转是以OY_i为旋转轴，将OZ₁轴转动一个井斜角I到OZ₂，转动后的坐标系为OX₂Y₂Z₂，OY₂轴与OY₁轴重合；

第三次旋转是以OZ₂为旋转轴，转动一个工具面角T，最后转动后的坐标系为OX_bY_bZ_b，OZ_b轴与OZ₂轴重合；

上面的第三次旋转为自转，只改变工具面角T，不改变方位角A和井斜角I；而第二次旋转，它只改变探管的井斜角I，而方位角A不变，工具面角T为零。可见经三次旋转，其方位角A即由第一次旋转角所决定；井斜角I则由第二次旋转角所决定；第三次旋转角则为工具面角T。

测斜仪采用三个加速度计和两个双轴的挠性陀螺组成传感器测量模块IMU，而一般测斜仪采用二个加速度计和一个挠性陀螺。前者可以进行全方位姿态参数测量，倾斜角测量范围为0～180度，后者只能在倾斜角从0度到约80度范围内进行姿态参数测量。

与三次坐标系旋转相联系的三个旋转矩阵为：

$C_n^1=\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$C_1^2=\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right],$

$C_2^b=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

可得旋转矩阵为：

$C_n^b=C_2^b{C}_1^2{C}_n^1,(z-y-z)$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos A\cos I\cos T-\sin A\sin T& \sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T& -\sin I\cos T\\ -\cos A\cos I\sin T-\cos T\sin A& -\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T& \sin I\sin T\\ \cos A\sin I& \sin A\sin I& \cos I\end{array}\right]$

(1)。

(5)陀螺敏感的地球自转角速度ω_e和重力加速度g在地理坐标系上的投影分别为：

${\mathrm{\ω}}_e=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eN}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eW}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]={\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right];$

(2)

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{eN}}\\ A_{\mathrm{eW}}\\ A_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]=g\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right];$

(3)

上式中：ω_eN为北向地球自转角速度分量；ω_eW为西向地球自转角速度分量；ω_eU为天向地球自转角速度分量；L为当地纬度；A_eN为北向地球重力加速度；A_eW为西向地球重力加速度；A_eU为天向地球重力加速度；

陀螺敏感的仪器相对地理系的转动速度，该转动速度在仪器坐标系上的投影为：

$C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right];---\left(4\right)$

其中： $C_1^b=C_2^b{C}_1^2;$ dI＝ω_xcosT+ω_ysinT-ω_ecosLcosA；

$\mathrm{dA}=\frac{1}{\sin I}({\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\cos I-{\mathrm{\ω}}_x\sin T+{\mathrm{\ω}}_y\cos T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L;$

将(1)、(2)、(3)和(4)联立可得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right]+C_n^b{\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_e\cos L(\sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\cos T+\mathrm{dI}\sin T-\mathrm{dA}\sin I\cos T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L(-\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T)+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\sin T+\mathrm{dI}\cos T+\mathrm{dA}\sin I\sin T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\sin I+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\cos I+\mathrm{dAcisU}+\mathrm{dT}\end{array}\right]$

；

上述中：ω_x，ω_y和ω_z为陀螺测量值。

(6)、计算井斜角I、方位角A和工具面角T

工具面角T：

$T=a\tan \frac{-a_y}{a_x};$

上式中：-a_y和a_x为Y轴、X轴的加速度计测量值；

井斜角I：I＝I₀+dIΔt；

方位角A：A＝A₀+dAΔt；

上式中：I₀为井斜角初始值，A₀为方位角初始值，Δt为A/D转换采样时间间隔。

(7)、将井斜角I、方位角A和工具面角T输入井上计算机，由井上计算机显示或打印。通过井上计算机显示或打印出来的井斜角I、方位角A和工具面角T便可知晓所打井眼的轨迹。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种陀螺测斜仪全方位连续测量方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

(1)、将装有两个双自由度挠性陀螺和三个石英加速度计的陀螺测斜仪固定在载体上，并随载体伸入井眼内；

(2)建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b和地理坐标系OX_iY_iZ_i：

在陀螺测斜仪上建立仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b，纵轴OZ_b为仪器探管轴向，指向探管上端；OX_b和OY_b在水平平面内，其中OX_b轴指向仪器的前端，OY_b指向仪器左端；仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b为符合右手定则的正交坐标系；

地理坐标系OX_iY_iZ_i中，OX_i指向惯性真北，OY_i指向惯性真西，OZ_i为地垂线指向天，地理坐标系OX_iY_iZ_i为符合右手定则的正交坐标系；

(3)定义井斜角I、方位角A和工具面角T：

井斜角I是仪器坐标系OZ_b轴与地理坐标系OZ_i轴之间的夹角；

方位角A是探管轴向OZ_b轴和地理坐标系OZ_i所在平面OZ_bZ_i与地理坐标系指北轴OX_i和OZ_i轴所在平面OX_iZ_i之间的夹角，顺时针，从北向东转角为正；

工具面角T是探管以OZ_b为轴，顺时针自旋转，从探管轴线OZ_b轴所在的地垂平面OZ_bZ_i转到由仪器坐标系OZ_b轴和OX_b轴所在的平面OX_bZ_b之间的夹角，顺时针为正；

(4)将测斜仪的仪器坐标系OX_bOY_bOZ_b看作地理坐标系OX_iY_iZ_i经过三次坐标旋转得到：

第一次旋转是以OZ_i为旋转轴，将OX_i轴顺时针向东转动一个方位角A，转动后的坐标系为OX₁Y₁Z₁，OZ₁轴与OZ_i轴重合；

第二次旋转是以OY_i为旋转轴，将OZ₁轴转动一个井斜角I到OZ₂，转动后的坐标系为OX₂Y₂Z₂，OY₂轴与OY₁轴重合；

第三次旋转是以OZ₂为旋转轴，转动一个工具面角T，最后转动后的坐标系为OX_bY_bZ_b，OZ_b轴与OZ₂轴重合；

与三次坐标系旋转相联系的三个旋转矩阵为：

$C_n^1=\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$C_1^2=\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right],$

$C_2^b=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

可得旋转矩阵为：

$C_n^b=C_2^b{C}_1^2{C}_n^1,(z-y-z)$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos T& \sin T& 0\\ -\sin T& \cos T& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos I& 0& -\sin I\\ 0& 1& 0\\ \sin I& 0& \cos I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos A& \sin A& 0\\ -\sin A& \cos A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

$=\left[\begin{array}{ccc}\cos A\cos I\cos T-\sin A\sin T& \sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T& -\sin I\cos T\\ -\cos A\cos I\sin T-\cos T\sin A& -\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T& \sin I\sin T\\ \cos A\sin I& \sin A\sin I& \cos I\end{array}\right]$

(1)

(5)陀螺敏感的地球自转角速度ω_e和重力加速度g在地理坐标系上的投影分别为：

${\mathrm{\ω}}_e=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eN}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eW}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]={\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right];$

(2)

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{eN}}\\ A_{\mathrm{eW}}\\ A_{\mathrm{eU}}\end{array}\right]=g\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right];$

(3)

上式中：ω_eN为北向地球自转角速度分量；ω_eW为西向地球自转角速度分量；ω_eU为天向地球自转角速度分量；L为当地纬度；A_eN为北向地球重力加速度；A_eW为西向地球重力加速度；A_eU为天向地球重力加速度；

陀螺敏感的仪器相对地理系的转动速度，该转动速度在仪器坐标系上的投影为：

$C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right];---\left(4\right)$

其中： $C_1^b=C_2^b{C}_1^2;$ dI＝ω_xcosT+ω_ysinT-ω_ecosLcosA；

$\mathrm{dA}=\frac{1}{\sin I}({\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\cos I-{\mathrm{\ω}}_x\sin T+{\mathrm{\ω}}_y\cos T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L;$

将(1)、(2)、(3)和(4)联立可得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_x\\ {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=C_n^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dA}\end{array}\right]+C_1^b\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{dI}\\ 0\end{array}\right]+C_2^b\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{dT}\end{array}\right]+C_n^b{\mathrm{\ω}}_e\left[\begin{array}{c}\cos L\\ 0\\ \sin L\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_e\cos L(\sin A\cos I\cos T+\cos A\sin T)-{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\cos T+\mathrm{dI}\sin T-\mathrm{dA}\sin I\cos T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L(-\sin A\cos I\sin T+\cos A\cos T)+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\sin I\sin T+\mathrm{dI}\cos T+\mathrm{dA}\sin I\sin T\\ {\mathrm{\ω}}_e\cos L\sin A\sin I+{\mathrm{\ω}}_e\sin L\cos I+\mathrm{dAcisU}+\mathrm{dT}\end{array}\right]$

；

上述中：ω_x，ω_y和ω_z为陀螺测量值；

(6)、计算井斜角I、方位角A和工具面角T

工具面角T：

$T=a\tan \frac{-a_y}{a_x};$

上式中：-a_y和a_x为Y轴、X轴的加速度计测量值；

井斜角I：I＝I₀+dIΔt；

方位角A：A＝A₀+dAΔt；

上式中：I₀为井斜角初始值，A₀为方位角初始值，Δt为A/D转换采样时间间隔；

(7)、将井斜角I、方位角A和工具面角T输入井上计算机，由井上计算机显示或打印。