CN102044082B - 一种加工板材制件号料的计算展开法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种加工板材制件号料的计算法展开，包括以下步骤：（a）、用草图进行分析，根据图样确定几何元素间的方位关系；（b）、建立形体坐标系；（c）、建立展开坐标系；（d）、列展开计算式；（e）、根据步骤（d）中计算式计算出各参数值；（f）、按照步骤（e）中计算出的各参数值绘制展开图。本发明的一种加工板材制件号料的计算法展开，具有如下优越性：有较强的规律性；本计算法展开没有繁锁的中间绘图操作，减少了对场地、设备等的依赖，可不用规、少用尺就能绘出展开图，从而减少了操作者的劳动强度；计算式具有通用性；有较强的应变力；精度高；可行性较强；有较好的实用性。

Description

一种加工板材制件号料的计算展开法

技术领域

本发明涉及以板材为原材料的冷作制件的基础工艺加工领域，尤其涉及一种加工板材制件号料的计算法展开。 

背景技术

加工以板材为原材料的制件，如容器、管线等设备的关键工序是在平面上绘制形体的表面图形，称之为“表面展开图”，绘制展开图的过程称作表面展开，常简称为展开，展开广泛应用于化工、运输、机械制作、产品加工等生产领域，是铆工、钣金工、白铁工、钳工等冷作工种工程技术人员的基本操作技能，在各种书籍中，都将展开的方法分为作图法和计算法展开两种，但目前尚无计算法展开方面真正意义上的技术，在展开领域虽然也有“计算展开”称谓的书籍，但其实质也不过是为绘制展开图所计算的“线段实长”，最终仍离不开使用尺规操作去绘制展开图，并不是“一步到位”的计算展开，制件的精度难以保证，而且所涉及的只是较简单的形体。 

发明内容

本发明的目的是提供一种规律性较强，可行性较强，实用性较强，精度高的加工板材制件号料的计算法展开。 

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种加工板材制件号料的计算法展开，包括以下步骤： 

（a）、用草图进行分析，根据图样确定几何元素间的方位关系；

（b）、建立形体坐标系，通过形体坐标系来确定形体上几何元素位置的基准，将空间的几何元素投影与坐标一一对应表达出来；

（c）、建立展开坐标系，将展开坐标系的原点0_Z设在展开基准点上，yz 轴设在展开基准线上且指向表面内侧，xz轴指向展开方向；

（d）、列展开计算式，根据表面二底周上的两点M（x_M，y_M，h_M）和N（x_N，y_N，h_N），计算展开半径L＝ ，计算相邻控制点间距△S ² ＝（x_M－x_M’）² +(y_M－y_M’)² +(h_M－h_M’)²，计算展开角Σ＝Σ’±θi =Σ’±Cos^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}，根据展开半径起点Nz（x_Nz，y_Nz）和终点Mz（x_Mz，y_Mz）列展开坐标x_Mz＝x_NZ±LsinΣ, y_Mz =y _Nz±LcosΣ，计算展开图的面积A=Σ

 ( LL’Sinθi)；

式中：Σ’为前一展开角，θi为被展开子三角形顶角，L’为前一展开半径，M’（x_M’，y_M’，h_M’）是与点M（x_M, y_M, h_M）在同一底周上的前一控制点，θi 前符号，与展开基准点在同一底周上的顶角取“+θi”号，在另一底周上的顶角则取“－θi”；

（e）、根据步骤（d）中计算式计算出各参数值；

（f）、按照步骤（e）中计算出的各参数值绘制展开图。

所述步骤（b）中形体坐标系包括主体坐标系0－xyh和辅助坐标系S′—x′y′。 

所述步骤（d）中展开角计算包括一般型表面展开角计算、锥面展开角计算和柱面展开角计算。

所述一般型表面展开角Σ＝Σ’±θi =Σ’±Cos^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}。 

所述锥面展开角Σ=Σ’+θi=Σ’+Cos^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}。 

所述柱面展开角θs＝Cos ^-1 {(L_D ²+L²－△S_X ²)÷(2L_D·L)} 

式中：θs为柱面素线L上的上一个顶角，L_D 为展开半径，L为柱面素线长L＝

，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，△S_X为下底周上间距。

所述柱面展开角θ_X＝Cos ^－1｛（L²＋△S_X ²－L_D ²）÷（2L·△S_X）｝ 

式中：θ_X为柱面素线L上的下一个底角，△S_X 为展开半径，L为柱面素线长L＝

，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，L_D为子平行四边形对角线。

本发明的一种加工板材制件号料的计算法展开，具有如下优越性： 

1、有较强的规律性。展开过程由：草图分析——建立坐标系——列计算式——计算、填表——绘展开图五个步骤组成，极易掌握；

2、计算是核心，展开图是结果，与现行的作图法展开相比，本计算法展开没有繁锁的中间绘图操作，减少了对场地、设备等的依赖，可不用规、少用尺就能绘出展开图，从而减少了操作者的劳动强度；

3、计算式具有通用性，通过改变计算式的参数，便可求出不同形状、不同尺寸表面的展开图，而用作图法展开时，只要改变一个参数就得重新操作，所以，作图法展开只有对应性，没有通用性；

4、有较强的应变力，能对各种形状复杂的表面，如各种斜表面、螺旋面等进行展开；

5、精度高，布图位置的绝对误差和展开图尺寸的绝对误差都小于1mm；

6、可行性较强，计算所涉及的数学知识点不多，仅仅用到至高中前的少部分数学知识点，用时边学都可以，用小比例制模型与实形有同等效果（不同于作图法展开的操作与展开图的一一对应关系），故可通过小比例薄纸板制型检验计算的准确性，从而可弥补其直观性不足之处，计算工具可以是便携式计算器，可在现场计算且不受干扰，比较方便；

7、有较好的实用性，本计算法展开做到了“简化、省略、突出”六个字，草图分析、省去设备、精度高，用普遍的方法去针对一般表面展开，因此，应变能力强，从展开的角度，对一般型表面展开难度较大，能对一般型表面展开，对特殊表面展开会迎刃而解，在考虑板料的厚度时，现行的作图法展开的“板厚处理”只能解决因板厚而产生的成型后组装时尺寸干涉问题，本计算法展开提出的“板端处理”不仅能解决尺寸干涉，还可解决如焊接坡口等工艺要求的同时落料问题，更有实用价值，在展开计算的同时，还能同时计算出用料的准确面积，为合理排料，计划用料提供支持，这是用作图法展开所做不到的；

8、本计算法展开，可以为具有展开计算功能的便携式计算器开发、展开计算软件的开发及自动展开落料机械的开发等提供支持；

9、应用本计算法展开的同时，尚可促进操作者技术素质的提高，本计算法展开也是初等数学与实际应用的结合，可为中学数学教学、乃至美术课教学提供素材。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。 

图1a、图1b、图1c是本发明加工板材制件号料的计算法展开的简化草图。 

图2a、图2b、图2c是图1a、图1b、图1c的分析草图。 

图3是本发明加工板材制件号料的计算法展开空间几何元素投影与坐标示意图。 

图4是本发明加工板材制件号料的计算法展开的单一表面展开实施例1斜四棱锥S－ABCD的分析草图。 

图5是在图4上建立的计划草图。 

图6是本发明加工板材制件号料的计算法展开的柱面开展角计算的展开示意图。 

图7是本发明加工板材制件号料的计算法展开的以下底角θ _X为展开角的柱面展开坐标系示意图。 

图8是本发明加工板材制件号料的计算法展开的以θ_S为展开角的柱面展开坐标系示意图。 

图9是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例1的示意展开图图。 

图10是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例1绘制的展开图。 

图11a、11b是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例2所给表面分析草图。 

图12是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例2的计划草图。 

图13是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例2的示意展开图。 

图14是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例2绘制的展开图。 

图15a、15b是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例3所给表面分析草图。 

图16是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例3辅助坐标系示意图。 

图17是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例3绘制的展开图。 

图18是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例4的展开计划草图。 

图19是本发明加工板材制件号料的计算法展开单一表面展开实施例4绘制的展开图。 

图20a、图20b是本发明加工板材制件号料的计算法展开截表面展开和求截断面实施例分析草图。 

图21是本发明加工板材制件号料的计算法展开截斜圆台展开图。 

图22是本发明加工板材制件号料的计算法展开截表面展开断面图。 

图23是本发明加工板材制件号料的计算法展开相贯表面展开实施例分析草图。 

图24是本发明加工板材制件号料的计算法展开相贯表面展开实施例主表面展开图。 

图25是本发明加工板材制件号料的计算法展开相贯表面展开实施例支表面展开图。 

具体实施方式

如图1a、1b、1c、图2a、2b、2c、图3、图4、图5、图6图7和图8所示，本发明加工板材制件号料的计算法展开，主要包括草图分析、建立形体坐标系、建立展开坐标系、列展开计算式、计算参数值和绘制展开图六个步骤，其六个步骤的详细过程为：a、对草图进行分析，从所给图样上找出列计算式所用的几何元素间的关系，只要绘图所要用到的主要轮廓和重要图线，如轮廓线、中心线和重要的点，如中心点、顶点即可，本计算法展开所绘制的草图，是以正立投影上的轮廓为主体，在水平投影面上只绘出形体底周轮廓、中心线及其重要点，如锥顶点、上底面中心投影等，图2a、图2b、图2c 是图1a、图1b、图1c的分析草图。 

 b、建立形体坐标系，该形体坐标系包括两个部分，主体坐标系和辅助坐标系，主体坐标系是由两个对应的平面坐标系组成：水平面坐标系0—xy和正立面坐标系0—xh，主体坐标系的原点0一般设在形体下底面的形心上（但不限定），水平坐标系即是在形体下底面上建立的平面坐标系，二平面坐标系的x轴平行且指向一致，h轴与y轴共线但指向相反或者依情况两平面坐标系的x轴可共用，辅助坐标系为S′—x′y′，辅助坐标系是设立在形体另一底面上的平面坐标系，如果该底面有形心，其原点S′最好设在所在底面的形心上，y′轴y轴平行且指向一致，x′轴与x轴通常是异面直线，因为上底面垂直0－xh坐标面，故S′－ x′y′坐标面在0－xh坐标面上的投影为一直线—x′轴，上底面的形状要通过向视图来表达，在向视图上x′轴应平行上底面的投影，y′轴取为指向图面外侧；上底面对下底面倾角，是在正立投影面上x′轴与x轴的夹角δ，x′轴指向应取向x轴正向一侧，角δ值有正负之分，辅助坐标系的原点S′（x _s，y _s，h_s）是联系辅助坐标与主体坐标的点，形体坐标轴的建立应尽量与投影轴对应，以便于将图样上给出的尺寸移至所建坐标系上，通过如此建立的主坐标系，就可将空间的几何元素投影与坐标一一对应地表达出来，图3就可表达出空间二点A（x _A，y _A，h_A）和B（x _B，y _B，h_B）的连线在二平面坐标系上的位置：投影Ly：h=（x－x _A ）tanθ＋h_A或＝（x－x _B）tanθ＋h_B ，投影L_h  ：y＝（x－x _A）tanλ+ y _A或＝（x－x _B）tanλ＋y _B ，θ、λ为直线投影在正立坐标面y和水平坐标面h上的方向角，tanθ=

或=；tanλ＝

或＝）。 

 c、建立展开坐标系，展开坐标系是为计算表面的展开图而设立的平面直角坐标系0_Z－x_Zy _Z ，展开坐标系的原点0_Z 设在展开基准点上，y_Z 轴设在展开基准线上且指向表面内侧，x_Z 轴指向展开方向，如图5上的S－x_Zy_Z 是在图4的斜四棱锥S－ABCD的展开计划草图上建立的展开坐标系，锥顶点S为展开基准点，线段SA为展开基准线，d、列展开计算式，根据表面二底周（包含锥顶）上的两点M（x_M，y_M，h_M）和N（x_N，y_N，h_N），计算展开半径L：L＝

，计算相邻控制点的间距△S：△S ² ＝（x_M－x_M’）² +(y_M－y_M’)² +(h_M－h_M’)²，式中M’（x_M’，y_M’，h_M’）是与点M（x_M, y_M, h _M）在同一底周上的前一控制点，如果M、M’同是下底周上的点，则（h_M－h_M’）＝0；如果M、M’是同一下底圆周上的二点，△S＝2RSin

，ω, ω’分别为点M和M’的位置角；对圆周上的等分控制点ω－ω’＝△ω为常数；计算展开角，展开角包括一般型表面展开角Σ、锥面展开角Σ和柱面展开角θ_S 或θ_X，一般型表面展开角Σ＝Σ’±θi=Σ’±Cos ^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}，式中Σ’为前一展开角，θi为被展开子三角形顶角，L’为前一展开半径，θi 前符号与展开基准点在同一底周上的顶角取“+θi”号，这时式中△S为另一底周上的相邻控制点间距，在另一底周上的顶角则取“－θi”，此时的△S是与展开基准点在同一底周上的“间距”；锥面展开角为Σ=Σ’+θi；柱面展开角为θ_S 或θ_X，如图6所示，θs＝Cos ^-1 {(L_D ²+L²－△S_X ²)÷(2L_D·L)}，式中，L＝

为柱面素线长，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，L_D 为子平行四边形对角线，△S_X 为下底周上“间距”，θs为展开半径柱面素线L上的上一个顶角，θ_X＝Cos ^－1｛（L²＋△S_X ²－L_D ²）÷（2L·△S_X）｝，式中，θ_X为柱面素线L上的下一个底角，△S_X 为展开半径，L为柱面素线长L＝

，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，L_D为下底周上间距；列展开坐标，该展开坐标分为一般型表面展开坐标、锥面展开坐标和柱面展开坐标，一般型表面展开坐标为：底周D_Z （x_Z，y_Z），设J_Z ’（ x_Z，y_Z）为展开基点的展开坐标，底周有上底周和下底周区别，展开基点是在另一底周上的点x_Z＝x_JZ’±LSinΣ, y_Z=y_JZ’±LCosΣ，式中：“±”符号应与计算展开角时θ _i 的符号相同，展开半径L上的截点M_Z （x_MZ，y_MZ），或相贯点，x_MZ＝x_JZ’±q_JLSinΣ, y_MZ =y_JZ’±q_JLCosΣ，式中q_J 是以展开基点J（x_J，y_J，h_J）为基准点的截比系数，M_Z 的计算式是在底周展开计算式D_Z的基础上而得，是由其式中的（LSinΣ）和（LCosΣ）两项乘以q_J 而得；锥面展开坐标，底周展开坐标D_Z （x_DZ，y_DZ），x_DZ＝LSinΣ ，y_DZ＝LCosΣ，因锥顶点S（x_S，y_S，h_S）为共用的展开基准点，展开基点J_Z为：x_SZ＝0，y_SZ＝0）， 素线上一点M（x_M，y_M，h_M）展开坐标M_Z（x_Z，y_Z），x_MZ＝q_S·LSinΣ，y_MZ＝q_S·LCosΣ，式中：q_S =

或= 

或＝

。 

D（x_D，y_D，h_D）为锥底周上的素线端点；柱面展开坐标，柱面素线上的两个角θ _S和θ _X都可作为独立的展开角，因此，同一个下底周就有两种展开形式，如图7所设展开坐标系并以θ _X （下底角）为展开角，△S_X为展开半径，下底周D_Z(x_DZ, y_DZ)，x_DZ＝x_DZ’＋△S_X  Sinθ _X ，y_DZ＝y_DZ’＋△S_X  Cosθ _X ，D_Z’ (x_DZ’, y_DZ’)为前一点（展开基点）展开坐标，上底周n_Z(x_nZ, y_nZ)，x_nZ=x_DZ，因各素线皆平行，y_nZ＝y_DZ＋L，素线L上一点M_Z（x_MZ, y_MZ），x_MZ＝x_DZ ，y_MZ＝y_DZ＋q_D·L 如图8所设坐标系并以θ_S为展开角，以L_D为展开半径，下底周D_Z（x_DZ , y_DZ），x_DZ＝x_nz’＋L_D Sinθ _S ，y_DZ＝y_nz’＋L_D Cosθ _S ，上底周n_z（x_nz，y_nz），x_nz＝x_DZ，y_nz＝y_DZ-L，素线L上一点M（x_MZ，y_MZ）， x_MZ＝x_DZ ，y_MZ＝y_DZ-q _D·L；计算展开图面积A，展开图的面积是全部展开子三角形面积（A _i ）之和，A＝ΣA _i ，而每个展开子三角形的三个边和其中的一个角θ _i 都是已求得量，故展开图的面积可于展开计算的同时求之，A＝ΣA _i = Σ(

L·L’·Sinθ _i )，对柱面A＝Σ（L·L_D·Sinθ _S）或柱面A=Σ（L·△S_X·Sinθ _X）；程序式计算，本计算法展开的计算工具的首选是具有程序计算功能的便携式计算器，因此，每次展开计算前都要编写计算程序。 

 e、根据d步骤中的计算式计算出各参数值，并列表填写各参数值，控制点的位置参数，有两种方式：（1）控制点N的两个坐标值N（xN，yN）为下底周上的点，h＝0；如果是辅助坐标系上的控制点n（x’，y’）其坐标值（x’， y’） 是在辅助坐标系上的坐标，要通过计算式转换为主坐标系上的坐标值，（二）、控制点位置角ω或α，ω为下底圆周上的位置角，α为辅助坐标系上上底圆周上的位置角，计算中设置的显示值此显示值是后续计算的指令，是记录的（外存）待用量，此项指令是为弥补计算工具内存空间的不足而设置的程序计算中的输入值，为减少操作量和提高计算精度，应在编写程序时尽量利用内存空间，填表，本计算法展开的计算记录是采用表格形式，表格上的项目分：必备项目：控制点的位置参数为计算时输入的指令，应予先填入；展开坐标：是绘制展开图用的目的项目，包括：底周展开坐标，展开图的轮廓，相贯孔展开坐标，外存项目：此部分内容是计算的中间显示，是后续计算所待用的输入项目，供分析、判定项目  依据这种项目的数据，可分析、判定计算式的可信度、对数据应作的处理（如取舍）或标记等等，这也是由编程者自定的，选定项目：此种项目是由计算的目的而定，如展开图的用料（含面积、重量）、截交线投影或截断面形状坐标、相贯线投影等。 

 f、绘制展开图，首先，展开图尺寸确定，展开图的长宽尺寸是由已计算出的x _Z和y_Z坐标差的最大值分别确定，如果展开图的尺寸超出展开纸的幅面可采用两种方法处理，一是先将展开纸拼接成所需要的尺寸，二是先将展开图的坐标值按素线划分成展开纸能容纳的较小部分，待绘完并下好展开板料的各部分图形后再进行拼接（此时划分展开图的素线即是板缝线），自然，两种方法都应注意拼接的精度，其次，布图，按展开计划先将展开坐标系布置在展开纸上，之后即可描点绘制，布图时也应根据展开图的轮廓线坐标来调整展开坐标系的布置，以做到最大程度地合理用料，因本计算法展开是先计算出了展开图的坐标，故布图的绝对误差可控制在1㎜之内，最后，绘图，按所计算出的展开坐标值找出各点的位置并将相应点连线，即可获得被展表面的展开图，本计算法展开绘制展开图时是不用规少用尺的操作，其展开图的精度取决于计算精度、绘制误差和展开纸精度三个方面，展开图的绝对误差可限定在1㎜之内。 

 下面对不同表面的计算法展开进行举例说明： 

单一表面的展开，实施例1

展开图4所给表面并计算展开图的面积。

第一步，分析  

1、所给为斜四棱锥面，属简单型的单一表面

2、被展表面有四个子侧面，如果以棱SA为展开基准线(锥顶S为当然的展开基准点)也即是板缝线，展开计划草图如图5，图9为图5的展开图示意图，是由四个连续的下底三角形组成，且共用一个顶点S，其展开图是绕S点顺时针展开：A→B→C→D→A的‘扇形’，不难看出，任意一棱——素线，如SC展开半径为L_C＝

，（h_C＝0），其展开角∑＝∑’＋θ _C＝θ’＋Cos ^－1｛（L_C ²＋L_B ²－△S²）÷（2L_C·L_B）｝，式中△S＝BC为相邻控制点间距，L_B为前一展开半径L’，对本例——锥面，各顶角θ _i 都应取“＋”号，因此，C点的展开坐标C_Z（x_CZ，y_CZ）为x_CZ＝x_SZ＋L_C Sin∑，y_CZ＝y_SZ＋L_C Cos∑，因锥顶为展开基准点，也是各展开半径Li的共用展开基点，x_SZ＝y_SZ＝0 。

     1－2列计算式   

设控制点N（x_N，y_N），x_N→X，y_N→Y，1、展开半径L_N，L_N ＝

 →A，2、相邻控制点间距△S，设N’（x_N’，y_N’）为前一控制点，△S＝→C ，3、展开角∑，设前一展开角∑’已存于D和展开半径L’已存于B中，θ _N=Cos ^-1{(L_N ²+L_N’²－△S²)÷(2L_N·L_N’)}=Cos ^-1{(A²+B²－C²)÷(2AB)} →C，∑=∑’+θ _N=D+C →D ，4、展开坐标：底周D_Z（x_DZ，y_DZ），x_DZ＝L_N Sin∑＝ASinD ， y_DZ＝L_N Cos∑＝AcosD ，5、用料面积A，A＝∑A’＋

L_N·L_N’·Sinθ _N=（A·BSinC÷200）M+，A→B(程序中设置)。

 1－3计算  填表

表1 四棱锥面展开坐标

xN /yN	15/10	-15/10	-15/-10	15/-10	15/10
						△S	0	30	20	30	20
xDZ	0	26.51	34.71	47.02	46.48
						yDZ	53.39	39.34	21.10	-6.26	-26.26
A（Cm2）	0	7.075	11.107	17.153	21.870

表中面积单位为“Cm²”（后续同）。

1－4绘展开图，如图10所示。 

单一表面的展开，实施例2 

绘图11a和11b所给表面的展开图，使板缝在对称面上，且计算展开图面积。

2－1分析   

1、所给为斜圆锥面属锥面，是简单型的单一表面,建立如图上所示的坐标系0－xyh。底周上任一点N与锥顶S的连线SA，都是表面的素线；

2、以N点的位置角ω为参数，则x_N＝RCosω ，y_N＝RSinω；

3、底周上的相邻控制点间距△S＝NN’＝2RSin （

）。（ω’——前一控制点N’的位置角）可作为求底周三角形顶角θ _N＝∠NSN’的参数，θ _N =Cos ^-1［{L_N ²+L_N’²－（2RSin

）²}÷（2L_NL_N’）］，如果底周上取12个等分控制点，则ω－ω’＝ △ω＝30^o ,即

=15^o ；

4、例中又要求板缝在对称面（其位置角ω₀＝tan ^-1

）上，所以有两条素线可任选为展开基准线，不过板缝线则只能在另一条素线上；

因为有对称面只需计算其一侧的展开，决定取ω₀＝tan ^-1

= tan ^-1(-15÷10)＝tan ^-1－1.5为展开基准线位置角，即板缝设在对称面的长素线上。展开计划草图如图12，图13为示意展开图。

2－2列计算式   

设控制点位置角为ω_N（——对x轴），对展开基准线位置角，

ω＝ω_o+ω_N =tan ^-1－1.5+ω_N →X ，

1、展开半径L_N    L_N＝

 

                    ＝

→A；

2、展开角∑    设L_N’ →B，ω’ →Y

      θ _N=Cos ^-1{(L_N ²+L_N’²－(2RSin

)²)÷(2L_NL_N’)}

        =Cos ^-1[{A²+B²－(30Sin{(X－Y) ÷2} )² }÷(2AB) →D ；

∑=∑’+θ _N=M+D → M ；

3、展开坐标 底图D_Z（x_DZ，y_DZ）  x_DZ＝L_N Sin∑=ASinM ，

                        y_DZ＝L_N Cos∑=ACosM ；

4、展开图面积A（Cm²）  A=∑A’+

L_N·L_N’·Sinθ _N ，

                          =C+ABSinD÷200 →C ；

 A→B,X→Y(程序设置)。

2－3计算  填表 

                表2斜圆锥展开坐标、展开图面积

 

ωN  o	0	30	60	90	120	150	180
								AN （Cm2）	0	1.557	3.111	4.710	6.432	8.111	10.297
xDZ	0	7.76	15.52	23.28	30.84	37.67	43.01
								yDZ	40.11	40.27	40.48	40.10	38.33	34.63	29.00

 2－4  绘展开图，如图14所示；

展开图面积 A＝2A₁₈₀＝2×10.297＝20.594（Cm²）。

 单一表面的展开，实施例3 

绘图15a和15b所给表面的展开图并计算面积。

3－1分析 

1、所给表面为斜圆柱面，属柱面一种，为简单型表面，柱面形状的特点是：一具有两个平行且全等的底面，二各素线与轴心线等长（L＝）且平行，因此而具有展开上的特点：a需在上底面上建立辅助坐标系0’-x’y’，如图16，b展开子三角形有上、下底三角形两种，且任意相邻两个上、下底三角形组成平行四边形，C同一素线的上、下二端点位置角相等，α_n=ω_N，有x_nz＝x_NZ ，d各素线都平行于展开基准线——y_Z轴，因此，每个子三角形在素线边上的两个角都可以作为展开角，（分别称为上、下底角θ _S 和θ _X），并且是各自独立的展开角，如图5－3，显然，θ _S 角对应的展开半径是L_D，θ _X 角对应的展开半径是△S，且其展开基点分别是n’和N’；

2、因此，有两种形式的展开坐标计算式，展开坐标之C柱面展开”一节，本例以相邻控制点间距△S为展开半径，θ _X为展开角，展开基准点设在下底周，ω＝0^o的素线端点上，取等分间隔角△ω＝30^o ，展开图的示意图为图6；

3、因展开基准线不在对称面上（展开图不对称）所以要在全底周上取控制点ω［0^o ，360^o］；

4、子平行四边形对角线是N与n’二点间的距离，设N点位置角为ω_N则n’点位置角α＝ω－Δω。

3－2列计算式     

设ω→X，α’＝ω’=X－30⁰  →C ；

1、对角线L_D   L_D＝

           ＝

           ＝

→A；

2、展开半径△S    △S＝2R·Sin(△ω÷2)=20Sin15⁰ →B ；

3、素线长LL＝

＝

＝

→C ；

４、展开角θ _X       θ _X =Cos ^-1{(L²+△S²－L_d ²) ÷(2·△S·L)}

                     =Cos ^-1{(C²+B²－A²)÷(2CB)} →A ；

5、展开图面积A    A=∑A_N+L·△S·Sinθ _X=M+CBSinA÷100 →M ；

6、展开坐标  设展开基点展开坐标 X_Z’(x_XZ’，y_XZ’)已分别内存：x_XZ’→D，y_XZ’→Y；

                    下底周X_Z （x _XZ，y _XZ）

                       x_XZ =x_XZ’+△S·Sinθ _X=D+BSinA →D ，

                       y_XZ = y_XZ’+△S·Cosθ _X =Y+BCosA →Y ，

                    上底周S_Z（x_SZ，y_SZ）

                       x_SZ = x_XZ =D  ，

                       y_SZ = y_XZ +L=Y+C  。

3－3计算  填表 

表3  斜圆柱面展开坐标与展开图面积

ω o	0	30	60	90	120	150	180	210	240
										A （Cm2）	0	1.588	3.145	4.704	6.298	7.922	9.544	11.132	12.689
xXZ，xSZ	(0)	5.05	10.00	14.96	20.03	25.19	30.35	35.40	40.35
										yXZ	(0)	1.14	2.65	4.13	5.19	5.54	5.09	3.95	2.44
ySZ	31.45	32.58	34.10	35.58	36.64	36.99	36.54	35.40	33.89

续表3

270	300	330	360
				14.248	15.842	17.466	19.087
45.31	50.37	55.54	60.69
				0.95	－0.10	－0.45	0
32.40	31.34	30.99	31.45

展开图面积为19.087Cm²。

3－4  绘展开图，如图17。 

单一表面的展开，实施例4 

绘制图1a、图1b、图1c所给表面的展开图。

4－1分析   

1、所给表面是长方形——长方形端口的棱面，属一般型单一表面——有两个底面。因此，划分展开子三角形时，必然是上、下底三角形同时存在。在展开时，上底三角形与下底三角形的计算是不同的：a展开基点不同，上、下底三角形展开半径的展开基点分别是在下和上底周上，b控制点的所在底周不同，展开上、下底三角形的控制点分别是在上和下底周上，c展开子三角形的顶角θ对展开角大小的影响相反，与展开基准点设在同一底周上的顶角θ使展开角增大——应取“+θ”；而与展开基准点不在同一底周上的顶角θ，使展开角减小——应取“－θ”，d 展开上、下底周三角形分别获得同名底周的展开图线等等，因此，对一般型表面的展开，合理地、规律性地划分表面更显重要。正因展开上、下底周三角形各有特点，应将上、下底子三角形的展开计算程序式分别设置在两个程序运算区上为好；

2、展开子三角形的划分，所给表面的上和下底周都是四边形——四个顶点应是当然的控制点，四个子侧面的前后两侧上都是由两个三角形组成，是给定了的，只有左右两个子侧面为梯形，需将其划分为展开子三角形。按顺时针的展开方向，前侧面上的两子三角形先是上底 △n₂N₂n₃，后下底△n₂N₂N₃的排序，得到展开计划草图18的划分方法，只有后侧面上的两个子三角形排序与之相反，图上各边上的箭头为展开方向顺序的示意；

3、计算时的“零底三角形”过渡，从展开计划草图18上可看出，展开子三角形的排序上出现了两个下底△n₄N₃N₄和△n₄N₄N₁相邻现象，使计算时两个运算区交替展开上和下底三角形的规律性发生改变！为了不影响整体运算规律，运算时采用了一种方法——“零底三角形过渡”，即在两个下底△n₄N₃N₄和△n₄N₄N₁ 之间，假设“插入”一个上底△N₄n₄n₄’，其底边n₄n₄’=0，即△S_S=0——“零上底”之含义，从而可使运算自始至终地在两个运算区上交替进行。自然，应有“△S_S=0”操作，见表4中P₁ ^*一栏；

4、上底周上控制点n(x_n’，y_n’)的坐标转化，x_n’、y_n’是辅助坐标系上的坐标值，应转化为主坐标系上的坐标，其关系式为：x_n=x_S+x_n’·Cosδ，y_n=y_S+y_n’,h_n=h_S+x_n’Sinδ，式中δ=（-40^o）——上底面倾角；

5、本例展开基准线设在n ₁ N ₁ 上，N₁点为展开基准点，是在下底周上，建立展开坐标系N₁ —x_Zy_Z，如图18上的示意。如此，首先展开的就是上底△N₁n₁n₂，其运算区设在P₁区，自然，展开角θ ₁——与展开基准点N₁在同一底周（下底周）上的顶角，应取“+θ”；下底三角形设在P₂运算区上运算，顶角取“－θ”。

4－2  列计算式 

上底周展开P₁区。以上底周控制点n(x_n’，y_n’) 为参数：

1、控制点n(x_n，y_n，h_n)  设x_n ’→A，y_n’ →B,

h_n=h_S+x_n’·Sinδ=20+ASin-40 →C ，

x_n =x_S+x_n’·Cosδ=8+ACos-40 →A ,

y_n =y_S+y_n’=－10+B →B ；

   2、展开半径Ls   展开基点N’(x_N’, y_N’)在下底周展开时已内存：x_N’→X，y_N’→Y ，L_S =

=

→D ；

3、相邻控制点间距ΔS_S 由判断并记录表4中；

4、展开角∑  设前一展开半径L_X’ →X, ΔS_S→Y,∑=∑’+θ _S =∑’+Cos ^-1{(L_S ²+L_X’²－ΔS_S ²) ÷(2L_S·L_X’)}=Cos ^-1{(D²+X²－Y²) ÷(2DX)}M+；

5、展开坐标S_Z（x_SZ，y_SZ）设展开基点N的展开坐标X_Z’(x_XZ’， y_XZ’)存入：x_XZ’→ X，y_XZ’ →Y

          x_SZ=x_XZ’+L_S Sin∑=X+DsinM ，

          y_SZ=y_XZ’+L_S Cos∑=Y+DCosM ，

    二式中取“+”号应与展开角取“+θ _S”符号一致，

上底的一个子三角形（在P₁区）展开运算结束后，各量仍内存于：x_n→A, y_n →B, 

h_n→C,L_S→D及∑→M，可为后续下底三角形的展开所用；

    下底周展开在P₂区，以下底周控制点N（x_N，y_N）为参数：

    1、展开半径L_X：设x_N→X，y_N→Y

      L_X==

→A ，

式中n’(x_n’， y_n’， h_n’)为展开基点，其上标“’”应区别于在辅助坐标系上的坐标的含义；

2、相邻控制点间距_△S_X   由判定得值并记录于表4中；

3、展开角∑  设_△S_X→B，∑=∑’－θ _X=∑’－Cos ^-1{(L_X ²+L_S’²－_△S_X ²)÷(2L_X·L_S’)}=Cos ^-1{(A²+D²－B²) ÷(2AD)}M－ ；

    4、展开坐标X_Z（x_XZ，y_XZ）  将展开基点n’的展开坐标n_Z’(x_nz’， y_nz’)输入:x_nz’→C, y_nz’→D 

x_XZ =x_nz’－L_X Sin∑=C－AsinM ，

y_XZ =y_nz’－L_X Cos∑=D－ACosM 。

4－3  计算 填表  见表4 

表4，长方形——长方形端口表面展开坐标

运算区	P1	P2	P1	P2	P1	P2	P1	P2	P1*	P2	P1
												xN/yN	17/-10	17/-10	—	17/10	—	-17/10	—	-17/-10	—	17/-10	—
xn’/yn’	8/-6	—	8/6	—	-8/6	—	-8/-6	—	-8/-6	—	8/6
												L	16.279	16.279	—	20.615	—	34.413	—	32.004	—	29.950	—
ΔS	—	—	12	20	16	34	12	20	0.001	34	16
												xZ	(0)	(0)	11.155	18.592	20.126	49.400	21.737	52.084	21.737	41.796	27.197
yZ	(16.279)	(0)	11.856	-7.371	25.104	7.012	36.996	26.832	36.997	59.368	52.037

4－4  绘展开图，如图19所示。 

 本发明加工板材制件号料的计算法展开，还可以进行截表面计算展开和相贯表面计算展开。 

一、截表面计算展开：截表面计算展开是单一表面被截平面截割后的去或留部分，如圆台面可视为圆锥面的截表面，截交线是截平面与被截表面的交线，截交线为平面图线。 

截断面是闭合表面的截交线所围成的平面图形，在生产实践中，有时也会遇到求截断面问题，如管道中的翻门，容器上的孔盖等。 

直线与截平面的交点称为截点，所以截交线也是表面素线截点的集合，如果截平面垂直投影面，则截平面在该投影面上的投影为直线，因此，求截点也就是求二直线的交点。 

本计算法展开中，通过引入的“截比系数”可以由求出的线段上一点的一个坐标值，很便捷地求得该点的其它坐标值及该点的展开坐标。 

1、截比系数计算  按截比系数的定义和相似比，以q_X代表截比系数（下标“X”代表下基准点），对空间线段SX上的M点有： 

1）基本计算式

q_X＝或＝

或＝

 ；

q_s＝或＝

或＝

 ；

q_X＝1－q_S  ；

2）导出式

导出式a  x_M=(x_S－x_X)q_X+x_X或=(x_X－x_S)q_S+x_S   ,

             y_M=(y_S－y_X)q_X+y_X或=(y_X－y_S)q_S+y_S  ,

             h_M=(h_S－h_X)q_X+h_X或=(h_X－h_S)q_S+h_S ，

    导出式b  L_MX=q_X·L ，

L_MS=q_S·L ，

式中：L＝XS＝ ，

截比系数q为不名数，对于线段上的点，0≤q≤1，q_X＜0时，点在线段XS外的点X一侧；q_X＞1时，点在线段XS外的点S一侧，故q值还可用于对点的位置判定，

如果线段的一个端点在下底周上，如点X ，坐标h_X=0，则有q_S＝

的简化式，计算时较便捷故多用高度坐标计算q 。

2、截点 

1）  三角形一边上的高  对于ΔABC的任意一边，如BC上的高h＝BC÷（1÷tan∠B＋1÷tan∠C），（导出从略）是由一边和其上的二角计算该边上的高的计算式；

如果边BC是x轴上的投影长，则∠B是边AB的方向角，－(∠C)是AC边方向角，A点就是二直线交点，其高为h ，这便是由二直线方程求其交点（——截点，相贯点）几何意义的内涵；

2）  截点M（x_M，y_M，h_M）  素线SN：h=(x－x_N)tanΦ，截面投影KO’：h=(x－x_K)tanθ，二式中：N（x_N，y_N，0）——素线SN在底周上的端点；

Φ——素线SN方向角，

x _K——截面在x轴上的截距，

θ——截面的倾角，投影的方向角，

可解得： h _M=(x_K－x_N) ÷(1÷tanΦ－1÷tanθ) ，

         x _M＝(x _S－x _N)q_N＋x _N ，(q_N＝

——截比系数)

         y_M＝(y_S－y_N)q_N＋y_N。

3、截断面   截断面是在截平面上的图形，为了求得截断面，在截平面上建立辅助坐标系0’—x’y’，其原点0’是h轴上的截点，y’轴∥y轴，这样截点M（x_M，y_M，h_M）在0’—x’y’上的坐标：M(x_M’，y_M’):  x_M’=x_M÷Cosθ ， y_M’=y_M ； 

M’(x_M’，y_M’)点的集合便是截交线——截断面图；

以上是当截平面垂直投影面V时，截交线投影和截断面（实形）的计算，截平面为任意方位时，截交线投影和截断面的计算从略。

4、截表面展开和求截断面实施例 

展开图20a、图20b所给的截斜圆台面并绘其截断面图。

1－1分析 

    1、求截表面的展开是在被截表面整体展开的基础上进行的，其关键是求截点、截比系数，求截比系数时选素线的哪一端点为基准点，应便于展开计算，锥面的展开是以锥顶点为展开基准点的，也是各素线展开的共用展开基点，所以截比系数的基准点选在锥顶点为好；

2、此例尚需求截断面，通过截比系数去求截点时，应注意截点坐标与截比系数基准点的关系；

3、决定将展开基准线设在截面的最短素线上，依截平面的倾斜方向，最短素线位置角应是ω＝0^o ，但此素线不在斜圆锥面的对称面上，故应在底圆的整周上取控制点，取间隔角Δω＝30^o 。

1－2  列计算式 

1、展开计算

1）展开半径L   设底周上控制点N其位置角ω→X，

       L＝

＝

        ＝

→A ，

2）相邻控制点间距ΔS  前一位置角已存 ω’=Y ,

       ΔS＝2RSin

=30Sin{(X－Y) ÷2 }→C ，

3）展开角∑  前一展开半径L’已存：L’=B

       ∑=∑’+Cos ^-1{(L²+L’²－ΔS ²) ÷(2L·L’)}

=Cos ^-1{(A²+B²－C²) ÷(2AB)} M+ ，

4）展开坐标   

下底周X_Z（x_XZ，y_XZ）

                   x_XZ＝LSin∑=ASinM→B ,

                   y_XZ =LCos∑=ACosM→C ；

2、截交线展开

1）素线方向角Φ  tanΦ＝h_S÷(x_S－RCosω)

＝40÷(10－15CosX) →D ，

        2)截交线方向角θ  tanθ＝（h_P－h_K）÷(x_P－x_K)=30÷(－20) →Y ，

3)截点高h_M  h_M=(x_K-x_N)÷(1÷tanΦ－1÷tanθ)

=(20－15CosX)÷(1÷D－1÷Y) →D ，

        4)截比系数q_S   q_S＝（h_S-h_M）÷h_S=(40－D) ÷40 →D ，

5)截点展开坐标M_Z（x_MZ，y_MZ）

x_MZ=q_S·LSin∑=DB ，

y_MZ=q_S·LCos∑=DC ，

        3、截断面

1）截点M（x_M，y_M，h_M） 由qS求取但不用求h_M ，

x_M=(x_N－x_S)q_S+x_S=(15CosX－10)D+10 →B ，

y_M =(y_N－y_S)q_S+y_S=(15SinX+15)D－15 →C ，

2)截断面M’(x_M’, y_M’)

        x_M’=x_M÷Cosθ=B÷Costan ^-1Y

        y_M’=y_M=C

             L=A→B, ω=X→Y 。

1－3 计算 填表  见表 5 

表5 截斜圆锥台表面展开坐标及截断面坐标

ω o	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
														xXZ	0	7.39	15.08	22.79	29.86	35.50	39.19	40.88	41.09	40.61	40.12	39.94	39.87
yXZ	43.01	45.39	46.50	45.61	42.40	37.07	30.24	22.66	14.90	7.15	-0.60	-8.36	-16.13
														xMZ	0	5.20	8.61	10.36	11.27	11.92	12.64	13.72	15.51	18.46	22.93	28.12	30.67
yMZ	33.09	31.95	26.57	20.73	16.00	12.44	9.75	7.61	5.62	3.25	-0.34	-5.89	-12.41
														xM’	24.96	21.82	15.45	9.83	6.12	4.12	3.49	4.12	6.12	9.83	15.45	21.82	24.96
yM’	-3.46	0.84	0.99	-1.36	-4.44	-7.45	-10.16	-12.48	-14.24	-15	-13.85	-9.72	-3.46

1－4  绘展开图和断面图，如图21为截斜圆台展开图 ，图22为断面图。 

二、相贯表面展开实施例 

绘图23所给水壶的展开图。

1－1分析  

1、所给为斜圆锥（台）面——圆锥（台）面相贯表面，属待求相贯线的全贯表面。建立如图所示的主、辅坐标系（x’轴与x轴共线）。坐标面0－xh为对称面，故只需计算其一侧，取α＝0⁰-180⁰一侧；

2、主表面——圆锥（台）面，为圆底，故可用求相贯点的通式求相贯点并将三个坐标值内存待用。为展开方便，应予先求各自的锥顶；

3、以斜圆锥(台)面为支表面，在底圆周r=12上以位置角α为参数取控制点，并设间隔角Δα＝30⁰，其展开角Σ为各子三角形顶角之和；

4、因主表面为圆锥（台）面，展开半径L＝为常数，展开角θ是各展开半径对展开基准线的夹角，即θ＝

·ω（只有圆锥面才有此关系式），ω＝tan ^-1

(因x_O＝0，y_O＝0)——相贯点位置角；

5、两个锥面在相贯区内皆有下底周、相贯线和上底圆三条曲线要展开，后两条曲线可通过各自对锥顶——展开基点的截比系数q_S进行展开计算；

6、展开基准线分别取在α＝0⁰和对应的相贯素线上，这样支、主表面的板缝就分别在α＝180⁰和ω=180⁰的素线上。主表面非相贯区的展开另行计算，本例只将结果记于表6中，其余计算从略。

1－2  列计算式 

  1、准备计算

主表面：

1）锥顶S  由（R－R_S）÷R=h _S ÷h_S1得：

h_s1=R·h_S÷(R－R_S)=24×40÷（24－14）＝96，故S₁（0，0，96），

2）轴线倾角Φ、Ψ   tanΦ＝

=0，tanΨ＝

＝0  ，

3）形状系数Δ  Δ＝

＝

＝

 ；

支表面：

1）锥顶S₂与主表面相似，可得：h_S2=60,x_S2=46.5，故S₂（46.5，0，60），

2) 控制点i(x _i ,y _i ,O)  设α→X，δ＝0⁰，

x _i =x₂+rCosα·Cosδ=12+12CosX →A，

y _i =y₂+rSinα=12SinX→B ，

h _i =0  ；

3）相贯直线（素线）方向角θ、λ

tanθ=h_S2÷(x_S2－x _i )=60÷(46.5－A) →C，

tanλ=(y_S2-y _i )÷(x_S2－x _i )=－B÷(46.5－A) →Y；

4）相贯直线截距h_K、y_K    

h_K=h _i -x _i tanθ=－AC，

y_K=y _i －x _i tanλ=B-AY；

2、相贯点M（x_M，y_M，h_M） 

1) 各系数 

 a₁=1-tanθtanΦ=1,  a₂=tanλ-tanθtanΨ=tanλ=Y，a₃=Δ·tanθ=C÷4 ，

a=a₁ ²+a₂ ²－a₃ ²=1+Y²－(C÷4)²=→D, 

c₁=h_K tanΦ=0，   c₂=h_K tanΨ-y_K=-(B-A·Y)，    c₃=R-Δ·h_K=24+A·C÷4 ，

c=c₁ ²+c₂ ²-c₃ ²=(B-A·Y)²-(24+A·C÷4)²

b=a₁c₁+a₂c₂-a₃c₃=-Y(B-A·Y)-(C÷4)(24+A·C÷4) →X；

2)相贯点

   x_M＝(b+)÷a *={X+

}÷D →D ，

   y_M=(x_M－x _i )tanλ+y _i =(D-A)Y+B →Y，

   h_M=(x_M－x _i )tanθ+h _i =(D－A) C →C，

   * 式中只取“＋

”，因是在x轴正向一侧相贯；

3、展开

支表面      

1） 展开半径L₂    L₂＝

＝

 →A；

2） 展开角Σ   设前一展开半径L₂’→B, 间隔角Δα→X，

Σ＝Σ’+Cos ^-1{(L₂ ²+L₂’²-(2rSin

)²)÷(2L₂·L₂’)}

    =Cos ^-1{(A²+B²－(24Sin(X÷2)) ²)÷(2AB) }M+；

3） 展开坐标

下底周X_Z（x_XZ，y_XZ）

x_XZ＝L₂ SinΣ=A·SinM →B ，

y_XZ＝L₂ CosΣ=A·CosM →A ，

相贯线M_Z（x_MZ，y_MZ） 截比系数q_S2＝（h_S2－h_M）÷h_S2=(60－C)÷60 →X，

x_MZ=q_S2·L₂·SinΣ=XB, 

y_MZ=q_S2·L₂·CosΣ=XA，

上底周S_Z(x_SZ,y_SZ)       截比系数q_S’=(h_S2－h₁)÷h_S2=(60－40)÷60 →X，

                                   x_SZ=q_S’·L₂·SinΣ=XB ,

                                   y_SZ=q_S’·L₂·CosΣ=XA ；

主表面（相贯孔） 

1）展开半径L₁  L₁＝

＝

→A ，

2）展开角θ   相贯点位置角ω＝tan ^-1

=tan ^-1(Y÷D) →D，

                              θ＝＝24D÷A →Y ；

3)  展开坐标  

下底周X_Z（_XxZ，y_XZ） 

 x_XZ＝L₁·Sinθ=ASinY  →B ，

y_XZ＝L₁·Cosθ=ACosY →A ，

相贯孔K_Z(x_KZ, y_KZ)    截比系数q_S1=(h_S1－h_M)÷h_S1=(96－C)÷96 →C ，

x_KZ=q_S1·L₁·Sinθ=C·B  , 

y_KZ=q_S1·L₁·Cosθ=C·A ，

上底周S_Z（x_SZ，y_SZ）  截比系数q_S’=( h_S1－h₁)÷h_S1=(96－40)÷96 →C ，

x_SZ=q_S’·L₁·Sinθ=C·B  ，

y_SZ =q_S’·L₁·Cosθ=C·A 。

1－3  计算  填表  如表6和表7 

表6  圆锥面（壶体表面）展开坐标

ω O	0	30	60	90	120	150	180
								xXZ	0	12.53	24.86	36.79	48.13	58.69	68.31
yXZ	98.95	98.16	95.78	91.86	86.46	79.67	71.59
								xSZ	0	7.31	14.50	21.46	28.08	34.24	39.85
ySZ	57.72	57.26	55.87	53.58	50.44	46.47	41.76

表7支表面（壶口）、主表面（壶体）展开坐标

1－4  绘展开图  如图17－2为主表面(壶体表面)展开图，图17－3 为支表面（斜圆台——壶嘴面）展开图。 

本发明引出的概念附录： 

附录1：

1、［展开图］形体表面的平面图形称为展开图；

2、［展开］绘制展开图的工艺过程称为表面展开，或简称为展开；

3、［控制点］在表面底周上取定的用于控制底周轮廓的有限个点称为控制点，底周中心线上的点、多边形底周上的各顶点为当然的控制点；

4、［展开子三角形］用于划分被展表面的三角形称为展开子三角形，也简称子三角形，展开子三角形的三个顶点分别在被展表面的二底周上，（锥面的锥顶是各展开子三角形的公用顶点），可展表面的展开子三角的三个边中有一个边是同一底周上两相邻控制点的连线，而另二边中至少有一边应是表面的素线，各展开子三角形应依序布满被展表面，并且不能重叠；

5、［底周三角形］是按位置对展开子三角形的划分，在表面底周上的子三角形的一边称为底边，底边按所在底周冠名，有上、下底周等之区分，因此，底周三角形有相应的底周三角形之别，如上底三角形、下底三角形，对锥面，各子三角形都是同一底周三角形；

6、[直线的方位量]在坐标系中，用以确定直线位置的量称为直线的方位量，包括：一、直线位置量——直线上的一点N（x_N, y_N，h_N），二、直线方向量——直线在坐标面V和H上与x轴正向的夹角分别用θ和λ表示；

7、［位置角］在坐标面0－xy（或0’——x’y’）上的任意一点M（x，y）［或M’(x’， y’)］所确定的有向线段 OM （或O’M’）与x轴（或x’轴）正向的夹角ω（或α）称做点M（或M’）的位置角，其ω=tan-1 (或α＝tan-1 )；

8、［截点］（截）平面与直线的交点称为截点；

9、［截比系数］取线段的一个端点为基准点，线段上的一点和另一端点分别与基准点的两个同名坐标差的比值称为点的截比系数，用q表示；

10、［相贯点］直线与表面的交点称为相贯点，其直线称做相贯直线；

11、［展开基准线］在被展开的表面上选定的一条作为展开基准的素线叫做展开基准线，展开基准线一般选在板缝素线上（对不对称表面），或表面对称面的素线上；

12、［展开基准点］在展开基准线上选定的一个作为展开基准的端点，叫做展开基准点,锥面的顶点应是当然的展开基准点；

13、［展开坐标］被展表面上的点M（x_M，y_M，h_M）在展开坐标系上的坐标叫做展开坐标,以MZ（x_MZ, y_MZ,）标注；

14、［展开半径］在展开坐标系上，用于求展开子三角形顶点展开坐标的子三角形的一个边长叫做展开半径，常以L表示，是相应的两端点间的距离；

15、［相邻控制点间距］在被展开表面同一底周上的相邻两控制点间的距离称为相邻控制点间距，它是子三角形在表面对应底周上的边，以ΔS表示；

16、［展开角］当前展开半径与展开坐标轴yZ的夹角称为展开角，展开角是含即将展开的子三角形之前全部已展开的子三角形顶角的代数和，以Σ表示，Σ＝Σ’± θi，θi——当前子三角形顶角,θi＝Cos-1{(a2+b2－c2)÷(2ab)}，式中a、b、c为子三角形相应边，其中一边为展开半径，一边为前一展开半径，一边为相邻控制点间距，由所处情况而定，θi的符号确定：与展开基准点在同一底周上的顶角取“＋θi”，否则取“－θi”，对各种柱面，由于各素线皆平行于展开基准线，故每个子三角形素线上的两个角θX和θS都可独立的作为展开角，如果以θX为展开角，则展开半径是ΔS；以θS为展开角时，展开半径为LD——子平行四边形对角线；

17、［展开方向］展开被展表面上子三角形的先后顺序方向称做展开方向，展开方向只有顺时针和逆时针两种，在水平投影面H上确定，通常取顺时针为展开方向。展开方向由展开坐标轴xZ的指向指示；

18、［展开计划草图］展示展开子三角形的排序、展开坐标系的建立、展开方向的确定等的图形称为展开计划草图，展开计划草图是操作者对展开过程构思的记录，是计算、绘制展开图的依据；

19、［展开基点］在展开坐标系上，展开半径的起点叫做展开基点；

20、［主表面］在相贯的二单一表面中所选定的一个表面称为主表面，主表面是获取相贯点的表面,应将径向尺寸较大的相贯单一表面做为主表面，以取得完整的相贯线；

21、［相贯素线］主表面上的过相贯点的素线叫做相贯素线；

22、［支表面］在相贯的二单一表面中所选定的一个表面称为支表面,相贯表面展开时，控制点是选在支表面的底周上，过控制点的支表面素线是相贯直线；

23、［展开坐标系］为计算表面的展开图所专设的平面直角坐标系oz——x_Zy_Z称为展开坐标系；

24、［迹点］线段或其延长线与投影面（坐标面）的交点称为线段的迹点；

25、［迹线］有界表面或其延伸面与投影面（坐标面）的交线称为该面的迹线；

26、［辅助线］过相贯直线上一点，或与主表面锥面锥顶的连线，或与柱面主表面轴心线平行的直线称为辅助线；

27、［辅助平面］由辅助线和相贯直线所确定的平面称为辅助平面；

28、［迹线分布图］所选定的全部辅助平面的迹线在主表面底周上的分布图称为迹线分布图；

29、［棱上相贯点］在主表面棱上的相贯点称为棱上相贯点。

 附录2： 

1、图样上带单向箭头的尺寸线表示：a半径、b有向尺寸；

2、带右上标“’”字母表示：a辅助坐标系上的坐标，b前一展开半径或前一展开基点的展开坐标；

3、符号“→□”标注在计算式、或字母后表示将计算结果或字母所表示的数据存储于“□”空间，“□”为程序计算的存储地址代号；

4、为保持展开图的清晰将展开坐标轴置于图的外侧；

5、在展开计划草图上（水平投影面上），（xz）、（yz）表示展开坐标轴的位置；

6、在展开图上的双向坐标轴xz表示按对称绘制的展开图，即取±xz 坐标值所绘制，而所对应的xz坐标不变；

7、本说明书中除展开图、迹线分布图（图19－2）外，所绘各图均为草图，不计比例；

8、长方型尺寸标注用“a×b”形式，“a”为尺寸线所指示的边长。

Claims (7)

1.一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于，包括以下步骤：

（a）、用草图进行分析，根据图样确定几何元素间的方位关系；

（b）、建立形体坐标系，通过形体坐标系来确定形体上几何元素位置的基准，将空间的几何元素投影与坐标一一对应表达出来；

（c）、建立展开坐标系，将展开坐标系的原点0_Z设在展开基准点上，yz 轴设在展开基准线上且指向表面内侧，xz轴指向展开方向；

（d）、列展开计算式，根据表面二底周上的两点M（x_M，y_M，h_M）和N（x_N，y_N，h_N），计算展开半径L＝ ，计算相邻控制点间距△S ² ＝（x_M－x_M’）² +(y_M－y_M’)² +(h_M－h_M’)²，计算展开角Σ＝Σ’±θi =Σ’±Cos^-1 {(L²+L^’2－△S² )÷(2L·L’)}，根据展开半径起点Nz（x_Nz，y_Nz）和终点Mz（x_Mz，y_Mz）列展开坐标x_Mz＝x_NZ±LsinΣ, y_Mz =y_NZ±LcosΣ，计算展开图的面积A=Σ

 ( L·L’·Sinθi)；

式中：Σ’为前一展开角，θi为被展开子三角形顶角，L’为前一展开半径，M’（x_M’，y_M’，h_M’）是与点M（x_M, y_M, h_M）在同一底周上的前一控制点，θi 前符号，与展开基准点在同一底周上的顶角取“+θi”号，在另一底周上的顶角则取“－θi”；

（e）、根据步骤（d）中计算式计算出各参数值；

（f）、按照步骤（e）中计算出的各参数值绘制展开图。

2.根据权利要求1所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述步骤（b）中形体坐标系包括主体坐标系0－xyh和辅助坐标系S′—x′y′。

3.根据权利要求1所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述步骤（d）中展开角计算包括一般型表面展开角计算、锥面展开角计算和柱面展开角计算。

4.根据权利要求3所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述一般型表面展开角Σ＝Σ’±θi =Σ’±Cos^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}。

5.根据权利要求3所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述锥面展开角Σ=Σ’+θi=Σ’+Cos^-1 {(L²+L’²－△S² )÷(2L·L’)}。

6.根据权利要求3所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述柱面展开角θs＝Cos ^-1 {(L_D ²+L²－△S_X ²)÷(2L_D·L)}

式中：θs为柱面素线L_D上的上一个顶角， L为展开半径，L_D为柱面素线长L_D＝

，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，

△S_X为下底周上间距。

7.根据权利要求3所述一种加工板材制件号料的计算展开法，其特征在于：所述柱面展开角θ_X＝Cos ^－1｛（L²＋△S_X ²－L_D ²）÷（2L·△S_X）｝

式中：θ_X为柱面素线△S_X上的下一个底角，L为展开半径，△S_X为柱面素线长△S_X＝，S（x_S，y_S，h_S）为柱面轴心线的上端点，L_D为子平行四边形△S_X对边的对角线。

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