CN101916044A - 一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜。前表面平面与后表面自由曲面通过侧面圆柱面相连接，前表面平面垂直于激光光束传播方向，后表面自由曲面用于偏折激光光束；第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面、第四自由曲面、第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面和第八自由曲面通过圆柱面相连接，激光光束经第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面和第四自由曲面偏折，在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的内环，激光光束经第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面和第八自由曲面偏折，在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的外环。本发明结构紧凑、简单；整形效果好，能量利用率高。

Description

一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜

技术领域

本发明涉及光刻技术领域，尤其涉及一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜。

背景技术

随着半导体技术的发展和芯片集成度的提高，光刻工艺不断向前发展并一再突破分辨率极限，如何进一步提高投影光刻系统的分辨率和焦深，提高投影光刻机的性能成了关注的热点。缩短曝光波长、增大投影物镜的数值孔径、减小工艺因子都可达到提高分辨率的目的，但同时又制约了焦深的增大。采用分辨率增强技术是解决上述问题的主要途径之一。

离轴照明是近年来投影光刻系统中常采用的一种分辨率增强技术。常见的离轴照明模式有环形均匀照明、偶极均匀照明、四极均匀照明等。实现离轴照明最简单的方法是，将一个形状和尺寸与预定的照明模式一致的光阑置于光学积分器的后表面，透过光阑的光束在目标面上便形成预定的离轴照明模式。由于存在对光束的阻挡，该方法能量利用率较低。另一种方法是采用光学衍射元件(DOE)来实现离轴照明。光束经光学衍射元件作用后直接在目标面产生所需的离轴照明模式，因而大大提高了能量利用率。然而，衍射光学元件存在一定的衍射效率，且衍射效率与DOE加工工艺有一定的制约，因此，想通过衍射光学元件进一步提高能量利用率是十分困难的。

美国专利US20090135392A1提出了一种用于曝光装置中实现离轴照明的空间光束调制单元。该种空间光束调制单元由依次放置于光束传播方向上的两个空间光束调制器组成，每个空间光束调制器由相同数量的反射镜以二维阵列的方式构成。控制单元通过控制两个空间光束调制器上每个反射镜的倾斜角，来实现相应的离轴照明模式。由于两个空间光束调制器上的每个反射镜的倾斜角都需要通过控制单元单独控制，这势必增加了系统的复杂程度。同时，当相邻的反射镜之间有相对倾斜时，在反射镜之间必然存在缝隙，导致部分光束进入缝隙，从而降低了系统的能量利用率。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的不足，提供一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜。

用于双四极均匀照明的自由曲面透镜包括前表面平面、后表面自由曲面和侧面圆柱面，前表面平面与后表面自由曲面通过侧面圆柱面相连接，前表面平面垂直于激光光束传播方向，后表面自由曲面用于偏折激光光束；后表面自由曲面包括第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面、第四自由曲面、第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面、第八自由曲面和圆柱面，第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面、第四自由曲面、第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面和第八自由曲面通过圆柱面相连接，后表面自由曲面关于坐标平面平面xOz和坐标平面yOz对称；激光光束经第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面和第四自由曲面偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的内环，激光光束经第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面和第八自由曲面偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的外环；

其中，后表面自由曲面的面型由如下公式确定：

第一自由曲面、第二自由曲面、第三自由曲面和第四自由曲面的面型确定公式为

其中

第五自由曲面、第六自由曲面、第七自由曲面和第八自由曲面的面型确定公式为

其中

$R_1=\sqrt{-\frac{{w_0}^2}{2}\ln \{1-\frac{[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)}{[({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}\}},$

R_max为激光光束在前表面平面位置处截面的最大半径，r_max1和r_min1、r_max2和r_min2分别为目标面上双四极均匀照明光斑的内环区域和外环区域的最大外径和最小内径，w₀为前表面平面上光斑强度为中心强度的1/e处的半径，θ_max和θ_min为目标面照明区域内位于第一象限的双四极光斑的直线边界与x轴正向的夹角，(t_x，t_y，t_z)为目标面照明区域内点T的直角坐标，(θ，

ρ)为后表面自由曲面上点P的球坐标，θ的取值范围为[0，π/2]，

的取值范围为[0，π/2)，ρ_θ和分别为矢径ρ关于θ和

的偏导数，n_I为自由曲面透镜的折射率，n_O为介质的折射率，且n_O＜n_I，π为圆周率。

本发明与现有技术相比具有的有益效果是：

1)本发明提出的用于双四极均匀照明的自由曲面透镜具有较高的能量利用率，用于光刻系统有助于提高光刻系统整体的能量利用率；

2)本发明提出的用于双四极均匀照明的自由曲面透镜适用于从紫外到红外波段的激光光束整形；

3)本发明提出的用于双四极均匀照明的自由曲面透镜适用于入射激光光束的强度分布和目标面照明区域的光斑强度分布均可用表达式表示的光束整形场合；

附图说明

图1(a)为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的俯视图；

图1(b)为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的透视图；

图1(c)为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的前视图；

图1(d)为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的左视图；

图2为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的设计原理图；

图3为本发明的自由曲面透镜的内环区域的能量映射关系图；

图4为本发明的自由曲面透镜的外环区域的能量映射关系图；

图5(a)为用于单四极均匀照明的自由曲面透镜的俯视图；

图5(b)为用于单四极均匀照明的自由曲面透镜的透视图；

图5(c)为用于单四极均匀照明的自由曲面透镜的前视图；

图5(d)为用于单四极均匀照明的自由曲面透镜的左视图；

图6(a)为双四极均匀照明的模拟效果图；

图6(b)为单四极均匀照明的模拟效果图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施例作进一步地详细阐述。

如图1所示，用于双四极均匀照明的自由曲面透镜包括前表面平面S1、后表面自由曲面S2和侧面圆柱面S3，前表面平面S1与后表面自由曲面S2通过侧面圆柱面S3相连接，前表面平面S1垂直于激光光束传播方向，后表面自由曲面S2用于偏折激光光束；后表面自由曲面S2包括第一自由曲面S2.1、第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3、第四自由曲面S2.4、第五自由曲面S2.5、第六自由曲面S2.6、第七自由曲面S2.7、第八自由曲面S2.8和圆柱面S2.9，

第一自由曲面S2.1、第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3、第四自由曲面S2.4、第五自由曲面S2.5、第六自由曲面S2.6、第七自由曲面S2.7和第八自由曲面S2.8通过圆柱面S2.9相连接，后表面自由曲面S2关于坐标平面平面xOz和坐标平面yOz对称；激光光束经第一自由曲面S2.1、第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3和第四自由曲面S2.4偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的内环，激光光束经第五自由曲面S2.5、第六自由曲面S2.6、第七自由曲面S2.7和第八自由曲面S2.8偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的外环；

其中，后表面自由曲面S2的面型由如下公式确定：

第一自由曲面S2.1、第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3和第四自由曲面S2.4的面型确定公式为

其中

第五自由曲面S2.5、第六自由曲面S2.6、第七自由曲面S2.7和第八自由曲面S2.8的面型确定公式为

其中

$R_1=\sqrt{-\frac{{w_0}^2}{2}\ln \{1-\frac{[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)}{[({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}\}},$

R_max为激光光束在前表面平面S1位置处截面的最大半径，r_max1和r_min1、r_max2和r_min2分别为目标面上双四极均匀照明光斑的内环区域和外环区域的最大外径和最小内径，w₀为前表面平面S1上光斑强度为中心强度的1/e处的半径，θ_max和θ_min为目标面照明区域内位于第一象限的双四极光斑的直线边界与x轴正向的夹角，(t_x，t_y，t_z)为目标面照明区域内点T的直角坐标，(θ，

ρ)为后表面自由曲面S2上点P的球坐标，θ的取值范围为[0，π/2]，

的取值范围为[0，π/2)，ρ_θ和

分别为矢径ρ关于θ和

的偏导数，n_I为自由曲面透镜的折射率，n_O为介质的折射率，且n_O＜n_I，π为圆周率。

下面将结合具体的示例，来详细描述本发明的用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的实现过程，双四极均匀照明的参数如表1所示。

表1

如图2所示，图2为用于双四极均匀照明的自由曲面透镜的设计原理图。取激光光束传播的方向为z轴的正向，透镜后表面自由曲面S2与z轴的交点为点B(0，0，h)。为便于对实施例的描述，使前表面平面S1位于坐标平面xOy内，激光光束采用基模高斯光束，该基模高斯光束经扩束系统扩束后在平面S1上的振幅分布满足下式

$E(x,y)=\exp (-\frac{x^2+y^2}{{w_0}^2})$

根据上述振幅分布，求得激光光束在平面S1上的强度分布

$I_1(x,y)=\exp (-2\frac{x^2+y^2}{{w_0}^2})$

在实施例中，取w₀＝3mm，h＝10mm，目标面与z轴交点的纵坐标t_z＝500mm，光束在透镜前表面平面S1上的分布区域为一个半径为R_max＝6.5mm的圆形区域。

需明确的是，所需整形的激光光束不限于基模高斯光束，振幅E(x，y)或者光强I₁(x，y)可用函数表达式表示且具有光轴旋转对称性质的激光光束均适用。自由曲面透镜前表面S1可以是平面、球面或锥面，为便于设计，实施例中前表面S1取为平面。

在图2中，入射激光光束中一条任意光线R_i垂直前表面平面S1入射，在前表面平面S1和后表面自由曲面S2之间传播一定距离后入射至后表面自由曲面S2上的任意点P(p_x，p_y，p_z)，再经后表面自由曲面S2折射，出射光线入射至目标面照明区域上的点T(t_x，t_y，t_z)。因此，只要根据目标面的具体照明要求，为入射激光光束的每一条光线在后表面自由曲面S2上确定相应的点P的坐标及曲面在点P处的斜率，即可实现预定的整形要求。

设后表面自由曲面S2在直角坐标系下的参数方程为

或写成向量方程

其中，

为点P对应的位置矢量，(θ，

ρ(θ，

))为后表面自由曲面S2上点P的球坐标，θ为位置矢量

在x-y平面上的投影与x轴的夹角，

为位置矢量

与z轴的夹角，ρ(θ，

)为位置矢量

的模，且ρ(θ，)为θ和

的函数。因此，位置矢量

又可以表示为

$\stackrel{\→}{P}=\mathrm{\ρ}\×{\stackrel{\→}{I}}_p$

其中，

为位置矢量

的单位向量，

由于空间曲面上一点处的法矢等于曲面上经过此点的两条曲线切矢的叉乘，因此，后表面自由曲面S2在点P处的的单位法矢可表示为

其中，

分别为位置矢量

在θ和

方向上的切矢，且

${\stackrel{\→}{P}}_{\mathrm{\θ}}=d(\mathrm{\ρ}\×{\stackrel{\→}{I}}_p)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\θ}}\×{\stackrel{\→}{I}}_p+\mathrm{\ρ}\×{\stackrel{\→}{I}}_{p_{\mathrm{\θ}}},$

和分别为单位向量

在θ和

方向上的导数，ρ_θ和

分别为点P的矢径ρ在θ和

方向上的导数，表示后表面自由曲面S2在点P处的曲面斜率。

激光光束具有极好的方向性，在较短的传播距离内激光光束可视为平行光，由于前表面平面S1垂直于激光光束的传播方向，前表面平面S1对激光光束的偏折可以忽略，因此入射至后表面自由曲面S2的激光光束的单位方向向量可取为在图2中，从后表面自由曲面S2上点P处出射并入射至目标面照明区域上点T的出射光线的单位方向向量为

$\stackrel{\→}{O}=(O_x,O_y,O_z)$

设点T对应的位置矢量为

则单位向量

可表示为

根据后表面自由曲面S2上点P处的入射光线的单位方向向量

和出射光线的单位方向向量

由折射定律可得

$n_O\×\stackrel{\→}{O}-n_I\×\stackrel{\→}{I}=[{n_O}^2+{n_I}^2-2\×n_O\×n_I\×(\stackrel{\→}{O}\·\stackrel{\→}{I})]\×\stackrel{\→}{N}$

根据该折射关系式和后表面自由曲面S2在点P处的的单位法矢

的表达式，可求得后表面自由曲面S2上激光光束入射点P的球坐标、目标面照明区域上折射光线入射点T的直角坐标、后表面自由曲面S2上激光光束入射点P处的曲面斜率这三者之间的对应关系

其中

再经整理，可得ρ_θ和

满足的关系式

令

则

得到一个常微分方程组，初始条件：ρ(0，0)＝h。

由于上述常微分方程组含有参数t_x、t_y和t_z，在数值求解该常微分方程组之前还需构建出后表面自由曲面S2上的点T和目标面照明区域的点P之间的坐标关系。

参照图3和图4所示的本发明的自由曲面透镜的能量映射关系，半径为R_max＝6.5mm的圆形区域内的激光光束经整形后在目标面上形成内环内径为r_min1、外径为r_max1，外环内径为r_min2、外径为r_max2的双四极均匀照明区域，根据能量守恒

${\∫}_0^{R_{\max }}\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×2\mathrm{\πr}\×\mathrm{dr}=4\×E\×({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×[{\∫}_{r_{\min 1}}^{r_{\max 1}}r\×\mathrm{dr}+{\∫}_{r_{\min 2}}^{r_{\max 2}}r\×\mathrm{dr}]$

求得目标面照明区域的照度为

$E=\frac{{{\mathrm{\πw}}_0}^2[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]}{4({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })[({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}$

假设目标面上内环照明区域对应入射激光光束截面上半径为R₁的圆形区域，根据能量守恒

${\∫}_0^{R_1}\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×2\mathrm{\πr}\×\mathrm{dr}=2\×{\∫}_{r_{\min 1}}^{r_{\max 1}}E\×({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×r\×\mathrm{dr}$

求得

$R_1=\sqrt{-\frac{{w_0}^2}{2}\ln \{1-\frac{[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)}{[({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}\}}$

参照图3所示的本发明的自由曲面透镜的内环能量映射关系，假设半径为r的圆形区域内的激光光束经整形后在目标面上形成内径为r_min1、外径为r₁的四极均匀照明区域，也即是在光束截面上半径为r的圆环对应照明区域半径为r₁的圆环，根据能量守恒

${\∫}_0^r\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×2\mathrm{\πr}\×\mathrm{dr}=4\×{\∫}_{r_{\min 1}}^{r_1}E\×({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×r\×\mathrm{dr}$

求得r和r₁的关系式

$r_1=\sqrt{\frac{[1-\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})][({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}{1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})}+{r_{\min 1}}^2}$

由于整形之前的激光光束和整形之后的激光光束在其截面上的强度分布均关于平面xOz和平面yOz对称，因此可取位于第一象限的区域进行分析。假设入射激光光束截面内角θ所在的区域对应于目标面照明区域角(θ₁-θ_min)所在的区域，根据能量守恒

${\∫}_0^{R_1}\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×\mathrm{\θ}\×r\×\mathrm{dr}={\∫}_{r_{\min 1}}^{r_{\max 1}}E\×({\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×r\×\mathrm{dr}$

求得θ和θ₁的关系式

${\mathrm{\θ}}_1={\mathrm{\θ}}_{\min }+\frac{2\mathrm{\θ}({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })[1-\exp (-\frac{{2R}_1^2}{{w_0}^2})][({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}{\mathrm{\π}({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]}$

进而求得目标面照明区域上点T的坐标

t_x＝r₁×cosθ₁

t_y＝r₁×sinθ₁

而

从而构建出点T和点P之间的坐标关系。

参照图4所示的本发明的自由曲面透镜的外环能量映射关系，假设内径为R₁、外径为r的环形区域内的激光光束经整形后在目标面上形成内径为r_min2、外径为r₁的四极均匀照明区域，也即是在光束截面上半径为r的圆环对应照明区域半径为r₁的圆环，根据能量守恒

${\∫}_{R_1}^r\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×2\mathrm{\πr}\×\mathrm{dr}=4\×{\∫}_{r_{\min 2}}^{r_1}E\×({\mathrm{\θ}}_{\max }-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×r\×\mathrm{dr}$

求得r和r₁的关系式

$r_1=\sqrt{\frac{[\exp (-\frac{{2R}_1^2}{{w_0}^2})-\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})][({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}{1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})}}+{r_{\min 2}}^2$

由于整形之前的激光光束和整形之后的激光光束在其截面上的强度分布均关于平面xOz和平面yOz对称，因此可取位于第一象限的区域进行分析。假设入射激光光束截面内角θ所在的区域对应于目标面照明区域角(θ₁-θ_min)所在的区域，根据能量守恒

${\∫}_{R_1}^{R_{\max }}\exp (-\frac{{2r}^2}{{w_0}^2})\×\mathrm{\θ}\×r\×\mathrm{dr}={\∫}_{r_{\min 2}}^{r_{\max 2}}E\×({\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_{\min })\×r\×\mathrm{dr}$

求得θ和θ₁的关系式

进而求得目标面照明区域上点T的坐标

t_x＝r₁×cosθ₁

t_y＝r₁×sinθ₁

而

从而构建出点T和点P之间的坐标关系。

根据所构建出的点T和点P之间的坐标关系，利用四阶龙格-库塔法对常微分方程组进行求解。由于后表面自由曲面S2关于平面xOz和平面yOz对称，可选取位于

的第一自由曲面S2.1和第五自由曲面S2.5作为求解对象。首先对θ的取值区域按照取定的步长进行离散化，在每个离散化值θ_i处将θ_i视为常数，将作为变量，然后根据初始条件ρ(0，0)＝h利用利用四阶龙格-库塔法编程求解常微分方程所求得的数据即为第一自由曲面S2.1和第五自由曲面S2.5的面型，最后将第一自由曲面S2.1和第五自由曲面S2.5进行平面xOz和平面yOz对称即可得到第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3、第四自由曲面S2.4、第六自由曲面S2.6、第七自由曲面S2.7、第八自由曲面S2.8。

目标面照明区域双四极均匀照明模拟效果图参见图6(a)，整形过程能量传输效率为90.73％，目标面照明区域照度均匀性为85.38％。

当r_max1＝r_min1＝r_min2时，目标面照明区域双四极均匀照明演变成单四极均匀照明，此时的自由曲面透镜的结构示意图如图5所示，采用第一自由曲面S2.1、第二自由曲面S2.2、第三自由曲面S2.3和第四自由曲面S2.4构成整张后表面自由曲面S2。目标面照明区域四极均匀照明模拟效果图参见图6(b)，整形过程能量传输效率为90.64％，目标面照明区域照度均匀性为85.13％。

由图1和图5可知，本发明提出的自由曲面透镜只包含一个镜片，结构紧凑、简单。由模拟结果可知，本发明提出的用于双四极均匀照明的自由曲面透镜具有极好的整形效果。光能利用率是在自由曲面透镜各表面未镀增透膜的情况下模拟所得，当给自由曲面透镜的前表面平面S1和后表面自由曲面S2均镀上增透膜时，光能利用率将更高。

在此需明确的是，用于单四极均匀照明的自由曲面透镜属于用于双四极均匀照明的自由曲面透镜在r_max1＝r_min1＝r_min2时的一种特例，因此用于单四极均匀照明的自由曲面透镜包含于用于双四极均匀照明的自由曲面透镜，理应在本发明的权利要求范围内。

用于单四极均匀照明的自由曲面透镜和用于双四极均匀照明的自由曲面透镜可用于光刻曝光系统，有助于降低光刻曝光系统结构的复杂程度，提高光刻曝光系统的光能利用率。

Claims (1)

1.一种用于双四极均匀照明的自由曲面透镜，其特征在于包括前表面平面(S1)、后表面自由曲面(S2)和侧面圆柱面(S3)，前表面平面(S1)与后表面自由曲面(S2)通过侧面圆柱面(S3)相连接，前表面平面(S1)垂直于激光光束传播方向，后表面自由曲面(S2)用于偏折激光光束；后表面自由曲面(S2)包括第一自由曲面(S2.1)、第二自由曲面(S2.2)、第三自由曲面(S2.3)、第四自由曲面(S2.4)、第五自由曲面(S2.5)、第六自由曲面(S2.6)、第七自由曲面(S2.7)、第八自由曲面(S2.8)和圆柱面(S2.9)，第一自由曲面(S2.1)、第二自由曲面(S2.2)、第三自由曲面(S2.3)、第四自由曲面(S2.4)、第五自由曲面(S2.5)、第六自由曲面(S2.6)、第七自由曲面(S2.7)和第八自由曲面(S2.8)通过圆柱面(S2.9)相连接，后表面自由曲面(S2)关于坐标平面平面xOz和坐标平面yOz对称；激光光束经第一自由曲面(S2.1)、第二自由曲面(S2.2)、第三自由曲面(S2.3)和第四自由曲面(S2.4)偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的内环，激光光束经第五自由曲面(S2.5)、第六自由曲面(S2.6)、第七自由曲面(S2.7)和第八自由曲面(S2.8)偏折，激光光束在目标面上的照明区域对应双四极均匀照明中的外环；

其中，后表面自由曲面(S2)的面型由如下公式确定：

第一自由曲面(S2.1)、第二自由曲面(S2.2)、第三自由曲面(S2.3)和第四自由曲面(S2.4)的面型确定公式为

其中

第五自由曲面(S2.5)、第六自由曲面(S2.6)、第七自由曲面(S2.7)和第八自由曲面(S2.8)的面型确定公式为

其中

$R_1=\sqrt{-\frac{{w_0}^2}{2}\ln \{1-\frac{[1-\exp (-\frac{{{2R}_{\max }}^2}{{w_0}^2})]({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)}{[({r_{\max 1}}^2-{r_{\min 1}}^2)+({r_{\max 2}}^2-{r_{\min 2}}^2)]}\}},$

R_max为激光光束在前表面平面(S1)位置处截面的最大半径，r_max1和r_min1、r_max2和r_min2分别为目标面上双四极均匀照明光斑的内环区域和外环区域的最大外径和最小内径，w₀为前表面平面(S1)上光斑强度为中心强度的1/e处的半径，θ_max和θ_min为目标面照明区域内位于第一象限的双四极光斑的直线边界与x轴正向的夹角，(t_x，t_y，t_z)为目标面照明区域内点T的直角坐标，(θ，

ρ)为后表面自由曲面(S2)上点P的球坐标，θ的取值范围为[0，π/2]，

的取值范围为[0，π/2)，ρ_θ和

分别为矢径ρ关于θ和

的偏导数，n_I为自由曲面透镜的折射率，n_O为介质的折射率，且n_O＜n_I，π为圆周率。

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