CN101893652A - 一种基于电压矢量空间变换的谐波和无功电流检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明针对i_p-i_q算法不能在非理想电网电压条件下准确获取基波正序有功电流的问题，提出一种基于空间电压矢量变换的谐波和无功电流检测方法，该方法将电流和电压均在i_p-i_q算法通道上进行坐标变换，获取三相基波正序电压的相位信息。定义一个p-q坐标系，在该坐标系下利用电流矢量在电压矢量及其法线上的投影来定义正确的正序有功分量和正序无功分量，然后，以此为参考量利用改进的i_p-i_q算法准确的求出了负载电流中的基波正序有功、基波正序无功分量、基波负序有功分量和基波负序无功分量，并把以上四种基波电流量的检测推广到任意次谐波电流量的检测，形成非理想电压下的电流检测体系，进而为各种不同的补偿需求提供合理的参考指令电流。

Description

一种基于电压矢量空间变换的谐波和无功电流检测方法

技术领域

本发明涉及一种基于电压矢量空间变换的谐波和无功电流检测方法。

技术背景

配电网中整流器、变频调速装置、电弧炉以及各种电力电子设备的应用不断增加，这些负荷的非线性、冲击性和不平衡性的用电特征，对供电质量造成了严重的污染，已成为影响电能质量的主要原因。它们将产生的大量谐波和无功注入电网，电网的电压已被污染成畸变、不对称的非理想电压源，严重影响电网安全和用电设备的使用寿命。因此，准确检测出这些畸变、不对称电网下的电流的各种成分，包括基波正序电流有功分量、基波正序电流无功分量、基波负序电流有功分量和基波负序电流无功分量，对评价电网电能质量、实现谐波和无功电流的补偿，具有重要意义。

有源电力滤波器(Active Power Filter，APF)、STATCOM等装置因为其具有动态补偿谐波和无功电流、响应快、受电网阻抗影响小、不容易与电网阻抗发生谐振、实时跟踪电网频率变化、补偿性能不受电网频率变化的影响等优点，成为谐波治理和无功补偿的重要手段，而谐波和无功电流的检测算法的准确性、实时性是谐波治理和无功补偿装置最基础、最关键的问题。

目前，谐波和无功电流检测主要有基于瞬时无功理论的p-q算法及其改进的i_p-i_q算法和基于DFT这三类算法。DFT算法仅能检测出谐波电流，且计算复杂。p-q算法仅能在三相电压正弦且对称时准确检测基波无功电流，i_p-i_q算法在电网电压存在畸变情况下能够准确的检测出负载电流中的基波正序分量，却无法准确获取基波正序电流的有功和无功分量。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于电压矢量空间变换的谐波和无功电流检测方法，本基于电压矢量空间变换的谐波和无功电流检测方法应用于电压发生畸变了的电网电压条件下谐波和无功电流的检测与综合评价，可以作为电能质量的监控，也可以作为有源电力滤波器、STATCOM等谐波和无功补偿装置的指令电流。

本发明的技术解决方案如下：

一种基于空间电压矢量变换的谐波和无功电流检测方法，包括以下步骤：

步骤1：在三相三线制系统中将三相负载电流i_la，i_lb，i_lc和三相电压u_sa，u_sb，u_sc按对称分量法分解

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+})+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-})]\\ i_{\mathrm{lb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ i_{\mathrm{lc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)]\end{array}\right.,$

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sa}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+})+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-})]\\ u_{\mathrm{sb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ u_{\mathrm{sc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)]\end{array}\right.,$

其中，ω为电网基波角频率，I、U分别表示电流和电压的有效值；上标+、-、0分别表示正序、负序和零序分量；下标n表示谐波次数；θ_i、θ_u分别表示电流和电压初相角，l表示负载、s表示电源；

步骤2：引入p-q坐标系的定义：

构造正余弦矩阵为

$C^{-}=C=\left[\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\\ -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

并且 $C_{2/3}=\sqrt{2/3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \sqrt{3}/2& -\sqrt{3}/2\end{array}\right],$ $C_{3/2}=C_{2/3}^T;$

其中ωt+γ为通过锁相环PLL检测到的a相电网电压相位，初相角γ∈[0，2π]；引入一个正交的p-q坐标系，如图3所示；

图3中，

和

分别为其在p-q坐标系下矢量i和u的p，q坐标。

在p-q坐标系下，电流矢量i在电压矢量u上的投影i_u为瞬时正序有功电流矢量，电流合成矢量i在电压合成矢量u法线方向上的投影

为瞬时正序无功电流矢量，三相电流和三相电压变换到p-q坐标系的公式为：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p\left(u_p\right)\\ i_q\left(u_q\right)\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{i}_a\left(e_a\right)\\ i_b\left(e_b\right)\\ i_c\left(e_c\right)\end{array}\right];$

步骤3：计算基波正序有功电流及指令电流：

根据p-q坐标系的定义，将三相电流、电压分别变换到旋转坐标系中，得到p-q坐标系下正序电流的p、q坐标分量i_p、i_q以及正序电压的p、q坐标分量u_p、u_q如下：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p\\ i_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}\\ i_{\mathrm{lb}}\\ i_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right];$

$\left[\begin{array}{c}{u}_p\\ u_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{la}}\\ u_{\mathrm{lb}}\\ u_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right];$

将转换后的i_p、i_q和u_p、u_q进行低通滤波处理后可分别得到直流电流分量

和直流电压分量

如下：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{i_p}\\ \stackrel{\‾}{i_q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_l^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{il}}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_l^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{il}}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{u}}_p\\ {\stackrel{\‾}{u}}_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{U}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{U}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right];$

由于

和

只包含基波正序因子，根据上文对正序有功和无功电流的定义，求出瞬时基波正序有功电流矢量i_u在p-q坐标系下的坐标i′_p和i′_q：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ul}}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{il}}^{+})\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ul}}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ul}}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{il}}^{+})\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ul}}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

其中 ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ul}}^{+}-\mathrm{\γ}={\tan }^{-1}(-{\stackrel{\‾}{u}}_q/{\stackrel{\‾}{u}}_p);$

将i′_p、i′_q反变换，计算出三相电流的基波正序有功分量

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right];$

需要补偿的谐波、基波负序、基波无功分量之和，即指令电流

为：

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{ca}}^{*}=i_a-i_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{cb}}^{*}=i_b-i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cc}}^{*}=i_c-i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right.,$

将矢量i向矢量u上法线方向上的投影，求得基波正序瞬时无功电流矢量

在p-q坐标系下的坐标，然后进行反变换得到三相电流的基波正序无功分量：

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{*+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{*+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{*+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{*\′}\\ i_q^{*\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right].$

将图2中PLL检测到的基波角频率k倍频，按照上文计算基波正序有功和无功电流分量以及基波负序有功和无功电流分量的步骤，该算法还可以检测出任意k次谐波的正、负序有功和无功电流分量。

有益效果：

本发明针对i_p-i_q算法不能在任意电源电压条件下准确获取基波正序有功电流的问题，提出一种在幅值畸变和相位不对称电网电压下的电流检测方法。该方法将电流和电压均在i_p-i_q算法通道上进行坐标变换，获取三相基波正序电压的相位信息。首先，定义一个p-q坐标，在该坐标系下利用电流矢量在电压矢量及其法线上的投影来定义正确的正序有功电流分量和正序无功电流分量，然后，以此为参考量利用改进的i_p-i_q算法准确的求出了负载电流中的基波正序有功、基波正序无功分量、基波负序有功分量和基波负序无功分量，并把以上四种基波电流量的检测推广到任意次谐波电流量的检测，形成非理想电压下的电流检测体系，进而为各种不同的补偿需求提供合理的参考指令电流，以及可以作为对电网电流进行综合评价，形成一个快捷、方便、物理意义明确的三相三线制电网电流检测分析体系。

本法通过对电网电压进行v_p-v_q变换和低通滤波后，有效地消除了电网电压畸变和不对称对谐波和无功电流检测带来的不利影响。经过变换得到的是基波正序电压和电流量，坐标系变换下的电压、电流向量关系明确，物理概念清晰。用此方法计算提取出来的是基波正序有功电流分量，将

作为指令电流，就能使有源电力滤波器起到同时补偿谐波和无功电流，又补偿不平衡引起的负序分量的目的，起到综合补偿的效果。

改进的算法基于瞬时无功功率理论，在计算过程中各变量具有明确的物理意义。相对于传统的p-q算法和ip-iq算法，改进算法通过在计算过程中引入了基波正序电压的相位信息，为基波正序有功电流的计算提供了准确的参考信息，而在计算量上并没有很大的改变。相对于基于频域的检测算法以及自适应算法，改进算法简单易行，具有较快的动态响应，并能够针对不同的补偿目的，输出不同的检测结果和指令电流，从而形成了一个完整的谐波电流检测体系，对各种复杂电网条件下谐波的检测和治理具有指导意义。

附图说明

图1为并联有源电力滤波器拓扑结构；

图2为本发明谐波和无功电流检测方法示意图；

图3为本发明引入的p-q坐标。

具体实施方式

以下将结合图和具体实施过程对本发明做进一步详细说明。

实施例1：

在三相三线制系统中，设相对应的三相负载电流为i_la，i_lb，i_lc三相电压为u_sa，u_sb，，u_sc则可按对称分量法将它们分解为：

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+})+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-})]\\ i_{\mathrm{lb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ i_{\mathrm{lc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)\end{array}\right.---\left(1\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sa}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+})+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-})]\\ u_{\mathrm{sb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ u_{\mathrm{sc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)]\end{array}\right.---\left(2\right)$

以上两式中，ω为电网基波角频率，I、U分别表示电流和电压的有效值；上标+、-、0分别表示正序、负序分量和零序分量；下标n表示谐波次数；θ_i、θ_u分别表示电流和电压初相角，l表示负载、s表示电源，如la表示负载端的a相电流或电压。

为了表示一般性，设通过PLL检测到的a相电网电压相位为ωt+γ，为了一般性，设初相角γ∈[0，2π]，则构造正余弦矩阵为

$C^{-}=C=\left[\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\\ -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\end{array}\right]---\left(3\right)$

并且

$C_{2/3}=\sqrt{2/3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \sqrt{3}/2& -\sqrt{3}/2\end{array}\right]{,C}_{3/2}=C_{2/3}^T---\left(4\right)$

将三相电流、电压分别都与矩阵C₃₂和C依次相乘，变换到旋转坐标系中，得到p-q坐标系下正序电流的p、q坐标i_p、i_q如下：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p\\ i_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}\\ i_{\mathrm{lb}}\\ i_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right]---\left(5\right)$

$\left[\begin{array}{c}{u}_p\\ u_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{la}}\\ u_{\mathrm{lb}}\\ u_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right]---\left(6\right)$

经过低通滤波器LPF处理后就可以得到直流坐标分量

和

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{i_p}\\ \stackrel{\‾}{i_q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{u}}_p\\ {\stackrel{\‾}{u}}_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{U}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{U}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right]---\left(8\right)$

将上式按照i_p-i_q算法的步骤进行反变换，便可得出基波正序电流i_af、i_bf、i_cf为：

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}\\ i_{\mathrm{bf}}\\ i_{\mathrm{cf}}\end{array}\right]C_{3/2}{C}^{-}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{i_p}\\ \stackrel{\‾}{i_q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-2\mathrm{\π}/3)\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}+2\mathrm{\π}/3)\end{array}\right]---\left(9\right)$

如果按照传统的i_p-i_q方法，采用切断i_p-i_q计算中的

通道的方法来求取基波正序的有功电流分量，结果分别用i′_af、i′_bf、i′_cf表示，那么

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{\′}\\ i_{\mathrm{bf}}^{\′}\\ i_{\mathrm{cf}}^{\′}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{i_p}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ}-2\mathrm{\π}/3)\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ}+2\mathrm{\π}/3)\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right]---\left(10\right)$

从结果可以看出：i′_af、i′_bf、i′_cf的初相位并不是在任何情况下都等于(2)式中的基波正序电压的相位，这是由于当电网电压不对称且存在幅值畸变时，由锁相环(PLL)检测到的A相电网电压的相角ωt+γ是A相电网电压各次谐波分量和基波正、负序分量综合作用的结果，并不是基波正序电压的相位。因此，根据(10)式所求得的i′_af、i′_bf、i′_cf并不是负载电流的基波正序有功分量，在通过断开

支路求取基波正序无功分量时同样存在这样的问题。这表明，按照传统的i_p-i_q算法，采用切断

或

通道的方法不能准确求取基波正序有功或无功电流。

为了准确表达基波正序有功分量、基波正序无功分量、基波负序有功分量和基波负序无功分量电流，引入一个正交坐标p-q，在此坐标上通过将电流矢量向电压矢量投影，正序有功分量为电流分量在电压方向的投影，推导出三相基波正序有功电流分量；在p-q坐标系下将合成矢量i向合成矢量u的法线方向上的投影，进而求得基波正序瞬时无功电流矢量

在p-q坐标系下的坐标

然后按照和(1)式同样的步骤进行反变换，即可得出基波正序无功电流分量

将

的合成矢量I,投影到由

合成矢量U上，得到矢量i′，在p-q坐标系下的、q坐标分量分别为：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+})\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+})\sin ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中可以由下式求得：

${\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ}={\tan }^{-1}(-{\stackrel{\‾}{u}}_q/{\stackrel{\‾}{u}}_p)---\left(12\right)$

(1)三相电流的基波正序有功分量把i_p、i_q反变换，即可计算出三相电流的基波正序有功分量

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right]---\left(13\right)$

将三相负载电流减去它的基波正序有功就得到需要补偿的谐波、基波负序、基波无功分量之和，也就是指令电流

即：

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{ca}}^{*}=i_a-i_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{cb}}^{*}=i_b-i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cc}}^{*}=i_c-i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right.---\left(14\right)$

(2)三相电流的基波正序无功分量

按照同样的方法，只需要将合成矢量i向合成矢量u上法线方向上的投影，进而求得基波正序瞬时无功电流矢量

在p-q坐标系下的坐标，然后按照和(13)式同样的步骤进行反变换即可

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{*+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{*+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{*+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{*\′}\\ {i*}_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right]---\left(15\right)$

将式(1)中三相负载电流的基波正序分量按照与三相基波正序电压的相同的相位进行三角变换，并分别用

和

表示，可得

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{a1}^{+}=\sqrt{2}[I_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})+I_1^{+}\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})]\\ i_{b1}^{+}=\sqrt{2}[I_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-2\mathrm{\π}/3)\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})+I_1^{+}\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-2\mathrm{\π}/3)\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})]\\ i_{c1}^{+}=\sqrt{2}[I_1^{+}\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}+2\mathrm{\π}/3)\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})+I_1^{+}\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}+2\mathrm{\π}/3)\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})]\end{array}\right.---\left(16\right)$

将式(15)和式(16)比较，可知根据式(15)所得电流分量为三相基波正序无功电流分量。

从上述求解过程可以看出，通过对电网电压进行v_p-v_q变换后，有效地消除了电网电压畸变和不对称对谐波和无功电流检测带来的不利影响。经过变换得到的是基波正序电压和电流量，坐标系变换下的电压、电流向量关系明确，物理概念清晰。用此方法计算提取出来的是基波正序有功电流分量，将

作为指令电流，就能使有源电力滤波器起到同时补偿谐波和无功电流，又补偿不平衡引起的负序分量的目的，起到综合补偿的效果。

Claims (1)

1.一种基于空间电压矢量变换的谐波和无功电流检测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：在三相三线制系统中将三相负载电流i_la，i_lb，i_lc和三相电压u_sa，u_sb，u_sc按对称分量法分解

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+})+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-})]\\ i_{\mathrm{lb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ i_{\mathrm{lc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[I_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+I_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)]\end{array}\right.,$

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sa}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+})+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-})]\\ u_{\mathrm{sb}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+2\mathrm{\π}/3)]\\ u_{\mathrm{sc}}=\sqrt{2}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[U_n^{+}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}+2\mathrm{\π}/3)+U_n^0\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^0)+U_n^{-}\sin (\mathrm{n\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}-2\mathrm{\π}/3)]\end{array}\right.,$

其中，ω为电网基波角频率，I、U分别表示电流和电压的有效值；上标+、-、0分别表示正序、负序和零序分量；下标n表示谐波次数；θ_i、θ_u分别表示电流和电压初相角，l表示负载、s表示电源；

步骤2：引入p-q坐标系的定义：

构造正余弦矩阵为

$C^{-}=C=\left[\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\\ -\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})& -\sin (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

并且 $C_{2/3}=\sqrt{2/3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \sqrt{3}/2& -\sqrt{3}/2\end{array}\right],$ $C_{3/2}=C_{2/3}^T;$

其中ωt+γ为通过锁相环PLL检测到的a相电网电压相位，初相角γ∈[0，2π]；

引入一个正交的p-q坐标系，在p-q坐标系下，电流矢量i在电压矢量u上的投影i_u为瞬时正序有功电流矢量，电流合成矢量i在电压合成矢量u法线方向上的投影

为瞬时正序无功电流矢量，三相电流和三相电压变换到p-q坐标系的公式为：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p\left(u_p\right)\\ i_q\left(u_q\right)\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{i}_a\left(e_a\right)\\ i_b\left(e_b\right)\\ i_c\left(e_c\right)\end{array}\right];$

步骤3：计算基波正序有功电流及指令电流：

根据p-q坐标系的定义，将三相电流、电压分别变换到旋转坐标系中，得到p-q坐标系下正序电流的p、q坐标分量i_p、i_q以及正序电压的p、q坐标分量u_p、u_q如下：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p\\ i_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{la}}\\ i_{\mathrm{lb}}\\ i_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{in}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right];$

$\left[\begin{array}{c}{u}_p\\ u_q\end{array}\right]={\mathrm{CC}}_{2/3}\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{la}}\\ u_{\mathrm{lb}}\\ u_{\mathrm{lc}}\end{array}\right]=\sqrt{3}\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\cos [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\cos [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\\ -\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{+}\sin [(n-1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{+}-\mathrm{\γ}]-\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{U}_n^{-}\sin [(n+1)\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{un}}^{-}+\mathrm{\γ}]\end{array}\right];$

将转换后的i_p、i_q和u_p、u_q进行低通滤波处理后可分别得到直流电流分量和直流电压分量

如下：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{i_p}\\ \stackrel{\‾}{i_q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{u}}_p\\ {\stackrel{\‾}{u}}_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{U}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{U}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right];$

由于

和

只包含基波正序因子，根据上文对正序有功和无功电流的定义，求出瞬时基波正序有功电流矢量i_u在p-q坐标系下的坐标i_p和i_q：

$\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+})\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\\ -\sqrt{3}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{i1}^{+})\sin ({\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ})\end{array}\right],$

其中 ${\mathrm{\θ}}_{u1}^{+}-\mathrm{\γ}=\mathrm{ta}{n}^{-1}(-{\stackrel{\‾}{u}}_q/{\stackrel{\‾}{u}}_p);$

将i_p、i_q反变换，计算出三相电流的基波正序有功分量

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{\′}\\ i_q^{\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\sin (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right];$

需要补偿的谐波、基波负序、基波无功分量之和，即指令电流

为：

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{ca}}^{*}=i_a-i_{\mathrm{af}}^{+}\\ i_{\mathrm{cb}}^{*}=i_b-i_{\mathrm{bf}}^{+}\\ i_{\mathrm{cc}}^{*}=i_c-i_{\mathrm{cf}}^{+}\end{array}\right.,$

将矢量i向矢量u上法线方向上的投影，求得基波正序瞬时无功电流矢量

在p-q坐标系下的坐标，然后进行反变换得到三相电流的基波正序无功分量：

$\left[\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{af}}^{*+}\\ i_{\mathrm{bf}}^{*+}\\ i_{\mathrm{cf}}^{*+}\end{array}\right]=C_{3/2}{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_p^{*\′}\\ i_q^{*\′}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\\ \sqrt{2}{I}_1^{+}\sin ({\mathrm{\θ}}_{i1}^{+}-{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\cos (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3+{\mathrm{\θ}}_{u1}^{+})\end{array}\right].$

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