CN101872617A - 一种数字音频秘密分享及恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种数字音频秘密分享和恢复方法，该数字音频秘密分享方法包括如下步骤：选取n个掩盖音频，并将其低位去除；每次取秘密音频的1个字节的信息，设值为A_L；按一定的规则重新排列取出的秘密音频数据，生成序列E；按顺序取出序列E中k个数据，依次构成k维向量，共生成j个β向量；定义一个k-1阶多项式，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成j个多项式f_j(x)，计算出f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)；将其按顺序分别嵌入n个掩盖音频的低位部分。本发明相对于现有技术，首先选取n个适合的掩盖音频，其次将待隐藏的秘密音频经过一定的分享运算，将分享运算后的秘密音频分别存储在n个掩盖音频中，只需要获取其中k个份额音频即能完全恢复原本的秘密音频文件。

Description

一种数字音频秘密分享及恢复方法

技术领域

本发明涉及音频信息隐藏技术领域，特别是涉及一种数字音频秘密分享及恢复方法。

背景技术

音频信息隐藏技术是保障网络通信安全的重要部分，它着眼于被隐藏信息本身的不可探测性，利用音频信息隐藏技术，在保证音频作品不会有明显的失真的前提下，可在音频文件中嵌入秘密音频信息以达到隐蔽通信的目的。

王俊杰，张晓明.音频信息隐藏技术在网络通信中的应用研究[J].北京石油化工学院学报，2005，13(4)：54～60介绍了几种音频信息隐藏方法，包括空间域方法和变换域方法，空间域方法最常用的包括：最不重要位法、相位编码方法、回声隐藏方法和扩展频谱方法；变换域方法最常用的包括：离散傅立叶变换域(DFT)方法、离散余弦变换域(DCT)方法和离散小波变换域(DWT)方法，这几种方法虽采用不同的技术，但存在同一个问题，即只是将待隐藏的秘密音频信息整体存储在相应的掩盖音频中，而没有分享的步骤。如其中的最不重要位法即将每一个采样值的最不重要位(多数情况下为最低位)用代表秘密音频信息的二进制位替换，以达到在掩盖音频中嵌入秘密音频信息的目的。因为缺乏分享的步骤，则必须整个嵌入秘密音频的掩盖音频完全不存在缺失的情况下才能完全恢复原本的秘密音频文件。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明的主要目的在于提供一种数字音频秘密分享和恢复方法，只需要获取其中部分嵌入秘密音频的掩盖音频即能完全恢复原本的秘密音频文件。

为实现上述目的，本发明提供了一种数字音频秘密分享方法的实施例，将秘密音频隐藏到掩盖音频中，该数字音频秘密分享方法包括如下步骤：

(1)选取n个掩盖音频，并将该n个掩盖音频的低位去除；

(2)每次取待隐藏的秘密音频的1个字节的信息，设值为A_L，1≤L≤M，其中M为待隐藏的秘密音频的总字节数；

(3)按一定的规则重新排列取出的秘密音频数据，生成序列E，其中的元素设为{e_i}，所述规则为：判断A_L是否小于250，若A_L＜250，则直接将A_L存入序列E；若A_L≥250，则依次将250和A_L-250存入序列E；其中1≤i≤M+(A_L≥250的数量)。

(4)按顺序取出序列E中k个数据，其中k的大小可自行选定，只需满足：2≤k≤n，依次构成k维向量β＝[e₁，e₂，...e_k]，若最后不足k个数据，以0补齐，生成j个β向量；

(5)定义一个k-1阶多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)mod251，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成j个多项式f_j(x)，计算出f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)；

(6)将f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)按顺序分别嵌入n个掩盖音频的低位部分，直到第j个多项式的n个值嵌入掩盖音频。

当第j个多项式的n个值嵌入掩盖音频后，可将原秘密音频文件销毁。

其中，选取的掩盖音频最好为WAVE格式，选取掩盖音频后，即将掩盖音频的低位去除，其方法为：若掩盖音频的采样精度为l，则将掩盖音频采样精度的低l/2位去除，以全0或全1填充。此时选取的掩盖音频的大小m₁，m₂，...，m_n，必需满足条件：

δ为预留的很小的空间。

使用上述数字音频秘密分享方法隐藏秘密音频后，本发明还提供一种对隐藏的秘密音频进行恢复的数字音频秘密恢复方法，该掩盖音频嵌入秘密音频后形成份额音频，使用至少k个份额音频(即k个或k个以上份额音频)可恢复出原隐藏的秘密音频文件，其中2≤k≤n，该数字音频秘密恢复方法包括如下步骤：

(1)从k个份额音频中按顺序取出存储在相应位置的值f_j(x)，其中1≤x≤n；

(2)利用k对值(x_i，f_j(x_i))，其中1≤i≤k，1≤x_i≤n，通过拉格朗日插值多项式公式计算得到多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)，直到每个份额音频中存储的所有j个值f_j(x_i)都被处理，得到j个多项式f_j(x)，其中拉格朗日插值多项式公式为：(i≠j)，而y_j＝f_j(x_i)；

(3)将j个多项式f_j(x)的系数[a₀，a₁，...a_k-1]取出并依次排列，去除末尾的0值，得到序列E，其中的元素为{e_i}；

(4)按顺序取出序列E中的元素{e_i}，若e_i＜250，则将e_i直接存入序列S；若e_i＝250，则直接读取下一个元素e_i+1，并将数据250+e_i+1存入序列S，直到序列E中所有的元素处理完毕；

(5)序列S为原隐藏的秘密音频文件。

本发明相对于现有技术，首先选取n个适合的掩盖音频，其次将待隐藏的秘密音频经过一定的分享运算，将分享运算后的秘密音频分别存储在n个掩盖音频中，只需要获取其中k个份额音频即能完全恢复原本的秘密音频文件，而k的值可以在2≤k≤n的范围内任意选择，当k值选择较小时，则只需要获取较少的份额音频数量即可恢复原本的秘密音频文件；当k值选择较大时，则需要获取较多的份额音频数量才能恢复原本的秘密音频文件；当k值选择为n时，则需要获取所有的份额音频才能恢复原本的秘密音频文件。另外，在音频文件网络通信中，由于待隐藏的秘密音频文件经过分享运算，更不容易被对方解密。

附图说明

图1为本发明的数字音频秘密分享方法的实施例的流程图

图2为本发明的掩盖音频去除低位的示意图

图3为本发明的秘密音频处理过程示意图

图4为本发明的秘密音频处理结果存入掩盖音频示意图

图5为本发明的数字音频秘密恢复方法的实施例的流程图

图6为本发明的从份额音频中取出存储值示意图

图7为本发明的秘密音频恢复过程示意图

具体实施方式

下面结合附图，详细说明本发明的具体实施方式。

下面结合图1～图4具体说明本发明的数字音频秘密分享方法。图1为本发明的数字音频秘密分享方法的实施例的流程图。该数字音频秘密分享方法包括如下步骤：

S11、选取n个掩盖音频，选取的掩盖音频最好为WAVE格式，若为其它格式，可将其转化为WAVE格式；

S12、将掩盖音频的低位去除，其方法为：若掩盖音频的采样精度为l，则将掩盖音频采样精度的低l/2位去除，以全0或全1填充。此时选取的掩盖音频的大小m₁，m₂，...，m_n，必需满足条件：

(i＝1，2，...，n)，δ为预留的很小的空间；当然，也可以将掩盖音频采样精度的低l/3位去除，而此时选取的掩盖音频的大小必需满足条件：

(i＝1，2，...，n)。也就是说，掩盖音频的低位部分去除的大小可根据需要自行选择，但以去除低位部分后的掩盖音频仍具有清晰的听觉意义为限，以避免暴露掩盖音频；

图2为本发明的掩盖音频去除低位的示意图。根据掩盖音频的采样精度，采样精度高的为高位部分，采样精度低的为低位部分，可根据需要将一定大小的低位部分去除，并用全0或全1填充，如将掩盖音频采样精度的低l/2位去除，以全0或全1填充。

S13、每次取待隐藏的秘密音频的1个字节的信息，设值为A_L，1≤L≤M，其中M为待隐藏的秘密音频的总字节数，则A_L∈[0，255]；

S14、按一定的规则重新排列取出的秘密音频数据，生成序列E，其中的元素设为{e_i}，该规则为：判断A_L是否小于250，若A_L＜250，则直接将A_L存入序列E；若A_L≥250，则依次将250和A_L-250存入序列E；

S15、按顺序取出序列E中k个数据，其中k可根据需要自行选择，但需满足条件2≤k≤n，依次构成k维向量β＝[e₁，e₂，...e_k]，若最后不足k个数据，以0补齐，生成j个β向量；

S16、定义一个k-1阶多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)mod251，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成j个多项式f_j(x)，计算出f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)；

图3为本发明的秘密音频处理过程示意图，可具体解释S13～S16。首先，每次取待隐藏的秘密音频的1个字节的信息，记为A_L，1≤L≤M，M为待隐藏的秘密音频的总字节数，生成A₁，A₂，A₃...A_M，其中A_L∈[0，255]；其次，按S14中列举的规则对A₁，A₂，A₃...A_M进行运算和重排列生成序列E，记为{e_i}，因为当A_L≥250时，将A_L拆分为250和A_L-250两个数，则序列E中的元素数量为M+amount(A_L≥250)，amount(A_L≥250)表示A_L的值大于或等于250的数量，因此序列E包括：

；接着，将所有序列E中的元素进行排列，构成k维β向量，若最后不足k个数据，以0补齐，共生成j个β向量，分别为β₁＝[e₁，e₂，...e_k]，β₂＝[e_k+1，e_k+2，...e_2k]，...β_j＝[e_(j-1)k+1，e_(j-1)k+2，...e_jk]；然后，定义一个k-1阶多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)mod251，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成j个多项式f_j(x)，即将β₁中的元素作为多项式f₁(x)的系数，β₂中的元素作为多项式f₂(x)的系数，...β_j中的元素作为多项式f_j(x)的系数；最后，计算出f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)，构成一个n*j的二维向量，即共包含n*j个值。

S17、将f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)按顺序分别嵌入n个掩盖音频的低位部分，直到第j个多项式的n个值嵌入掩盖音频。

图4为本发明的秘密音频处理结果存入掩盖音频示意图，可具体解释S17。即首先将f₁(1)，f₁(2)，...f₁(n)依次存入掩盖音频1，掩盖音频2....掩盖音频n的低位部分，然后将f₂(1)，f₂(2)，...f₂(n)依次存入掩盖音频1，掩盖音频2....掩盖音频n的低位部分，直到f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)依次存入掩盖音频1，掩盖音频2....掩盖音频n的低位部分，分存完毕。

通过以上步骤将待隐藏的秘密音频完全嵌入到掩盖音频中后，此时可将原秘密音频损毁。

使用上述数字音频秘密分享方法隐藏秘密音频后，本发明还提供一种对隐藏的秘密音频进行恢复的数字音频秘密恢复方法，该掩盖音频嵌入秘密音频后形成份额音频，使用至少k个份额音频(即k个或k个以上)可恢复出原隐藏的秘密音频文件，其中2≤k≤n，下面结合图5～图7具体说明本发明的数字音频秘密恢复方法。

图5为本发明的数字音频秘密恢复方法的实施例的流程图，具体包含如下步骤：

S51、从k个份额音频中按顺序取出存储在相应位置的值f_j(x)，其中1≤x≤n；

图6为本发明的从份额音频中取出存储值示意图，可具体解释S51。有k个份额音频，包括份额音频x₁，份额音频x₂，...份额音频x_k，1≤x_k≤n，每个份额音频都包含了高位部分和低位部分，其中高位部分为原掩盖音频的高位部分，而低位部分则为隐藏的秘密音频，即依次从份额音频x₁，份额音频x₂，...份额音频x_k的低位部分取出f₁(x₁)，f₁(x₂)...f₁(x_k)排在第一行，接着从份额音频x₁，份额音频x₂，...份额音频x_k的低位部分取出f₂(x₁)，f₂(x₂)...f₂(x_k)排在第二行，直到取出f_j(x₁)，f_j(x₂)...f_j(x_k)排在第j行。

S52、利用k对值(x_i，f_j(x_i))，其中1≤i≤k，1≤x_i≤n，通过拉格朗日插值多项式公式计算得到多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)，直到每个份额音频中存储的所有j个值f_j(x_i)都被处理，得到j个多项式f_j(x)，其中拉格朗日插值多项式公式为：(i≠j)，其中y_j＝f_j(x_i)。例如若多项式为p(x)＝a₀+a₁x+a₂x²，现在有p(x₀)＝y₀，p(x₁)＝y₁，p(x₂)＝y₂，则可以确定p(x)：

$p\left(x\right)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{y}_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{y}_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{y}_2;$

S53、将j个多项式f_j(x)的系数[a₀，a₁，...a_k-1]取出并依次排列，去除末尾的0值，得到序列E，其中的元素为{e_i}；

S54、按顺序取出序列E中的元素{e_i}，若e_i＜250，则将e_i直接存入序列S；若e_i＝250，则直接读取下一个元素e_i+1，并将数据250+e_i+1存入序列S，直到序列E中所有的元素处理完毕；

S55、序列S为原隐藏的秘密音频文件。

图7为本发明的秘密音频恢复过程示意图，可具体解释S52～S55。首先，利用[x₁，f₁(x₁)]，[x₂，f₁(x₂)]...[x_k，f₁(x_k)]这k对值和拉格朗日插值多项式公式

(i≠j)，其中y_j＝f_j(x_j)，计算出多项式f₁(x)，以此类推，共得到j个多项式f_j(x)；其次，分别取出f_j(x)的系数，即将f₁(x)的系数a₀，a₁，...a_k-1排在第一行，将f₂(x)的系数排在第二行，...，将f_j(x)的系数排在第j行，共有jk个元素；再次，按第一行、第二行...第j行的顺序读取并依次排列，此时共有jk个值，去除末尾的0值，生成序列E，其元素为{e_i}，包括

，即取出末尾0值后剩下M+amount(A_L≥250)个值；最后，按顺序取出序列E中的元素{e_i}，若e_i＜250，则将e_i直接存入序列S，若e_i＝250，则直接读取下一个元素e_i+1，并将数据250+e_i+1存入序列S，由此恢复出原秘密音频文件s₁，s₂，...s_M，共M个字节。

当然，上面仅列举了利用k个份额音频恢复秘密音频的方法，当份额音频数大于k个时，也可利用相同的方法进行恢复。

实施例1

若待存储的秘密音频的总字节数M为20，待掩盖的秘密音频的每个字节的值如下所示：

3	10	15	17	20	36	39	69	70	55
										46	78	90	19	99	160	25	254	253	254

选取n＝6个WAVE格式的掩盖音频，使得取得k＝3个份额音频时即可恢复原本的秘密音频文件。

利用本发明的数字音频秘密分享方法将20个字节的秘密音频嵌入到6个掩盖音频中，实现方法如下：

将秘密音频的每个字节小于250的值直接存入序列E，大于或等于250的，则分为250和e_i-250存入序列E，因为待隐藏的秘密音频有3个字节的值大于250，则此时序列E中有23个元素。

处理后序列E的结果如下：

因k＝3，则可构成8个三维向量β，最后一个元素用0补齐，构成的向量结果如下：

β₁＝[3，10，15]，β₂＝[17，20，36]，β₃＝[39，69，70]，β₄＝[55，46，78]，β₅＝[90，19，99]，β₆＝[169，25，250]，β₇＝[4，250，3]，β₈＝[250，4，0]。

定义一个2阶多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²)mod251，1≤j≤8，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成8个多项式f_j(x)，结果如下：

f₁(x)＝(3+10x+15x²)mod251；

f₂(x)＝(17+20x+36x²)mod251

f₃(x)＝(39+69x+70x²)mod251

f₄(x)＝(55+46x+78x²)mod251

f₅(x)＝(90+19x+99x²)mod251

f₆(x)＝(169+25x+250x²)mod251

f₇(x)＝(4+250x+3x²)mod251

f₈(x)＝(250+4x+0x²)mod251

将f₁(1)，f₁(2)...f₁(6)的计算结果分别嵌入掩盖音频1，掩盖音频2直到掩盖音频6的低位部分，接着将f₂(1)，f₂(2)...f₂(6)的计算结果分别嵌入掩盖音频1，掩盖音频2直到掩盖音频6的低位部分，...，将f₈(1)，f₈(2)...f₈(6)的计算结果分别嵌入掩盖音频1，掩盖音频2直到掩盖音频6的低位部分，即：

掩盖音频1	掩盖音频2	掩盖音频3	掩盖音频4	掩盖音频5	掩盖音频6
						f1(1)	f1(2)	f1(3)	f1(4)	f1(5)	f1(6)
f2(1)	f2(2)	f2(3)	f2(4)	f2(5)	f2(6)
						f3(1)	f3(2)	f3(3)	f3(4)	f3(5)	f3(6)
f4(1)	f4(2)	f4(3)	f4(4)	f4(5)	f4(6)
						f5(1)	f5(2)	f5(3)	f5(4)	f5(5)	f5(6)
f6(1)	f6(2)	f6(3)	f6(4)	f6(5)	f6(6)
						f7(1)	f7(2)	f7(3)	f7(4)	f7(5)	f7(6)
f8(1)	f8(2)	f8(3)	f8(4)	f8(5)	f8(6)

代入后计算结果为：

掩盖音频1	掩盖音频2	掩盖音频3	掩盖音频4	掩盖音频5	掩盖音频6
						28	83	168	32	177	101
73	201	150	171	13	178
						178	206	123	180	126	212
179	208	142	232	227	127
						208	22	34	244	150	3
193	215	235	2	18	32
						6	14	28	48	74	106
3	7	11	15	19	23

存储完毕，可将原秘密音频文件销毁。

下面介绍使用k＝3个份额音频将原隐藏的秘密音频恢复的方法，假设剩下份额音频1、2和3，结果如下：

掩盖音频1	掩盖音频2	掩盖音频3
			28	83	168
73	201	150
			178	206	123
179	208	142
			208	22	34
193	215	235
			6	14	28
3	7	11

利用已知值y₀＝f₁(1)＝28、y₁＝f₁(2)＝83、y₂＝f₁(3)＝168，x₀＝1，x₁＝2，x₂＝3，通过公式：

${f\left(x\right)}_1=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{y}_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{y}_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{y}_2,$ 代入计算得到： $\frac{(x-2)(x-3)}{2}28+\frac{(x-1)(x-3)}{-1}83+\frac{(x-1)(x-2)}{2}168=3+10x+15x^2,$ 便可恢复多项式f₁(x)＝3+10x+15x²，依次类推，恢复出8个多项式：

f₁(x)＝(3+10x+15x²)；

f₂(x)＝(17+20x+36x²)；

f₃(x)＝(39+69x+70x²)；

f₄(x)＝(55+46x+78x²)；

f₅(x)＝(90+19x+99x²)；

f₆(x)＝(169+25x+250x²)；

f₇(x)＝(4+250x+3x²)；

f₈(x)＝(250+4x+0x²)。

将这8个多项式的系数取出并依次排列，去除队列末尾0值，得到序列E，结果如下：

按顺序取出序列E中的元素{e_i}，若e_i＜250，则将e_i直接存入序列S；若e_i＝250，则直接读取下一个元素e_i+1，并将数据250+e_i+1存入序列S，结果如下：

3	10	15	17	20	36	39	69	70	55
										46	78	90	19	99	160	25	254	253	254

根据以上方法全部恢复出原隐藏的20个字节的秘密音频文件。

以上介绍了数字音频秘密分享方法，将秘密音频隐藏到掩盖音频中，同时介绍了将隐藏的秘密音频进行恢复的数字音频秘密恢复方法。但本发明并不限定于以上实施例，任何未脱离本发明技术方案，即仅仅对其进行本领域普通技术人员所知悉的改进或变更，均属于本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种数字音频秘密分享方法，将秘密音频隐藏到掩盖音频中，其特征在于，所述数字音频秘密分享方法包括如下步骤：

选取n个掩盖音频，并将所述掩盖音频的低位去除；

每次取待隐藏的秘密音频的1个字节的信息，设值为A_L，1≤L≤M，其中M为待隐藏的秘密音频的总字节数；

按一定的规则重新排列取出的秘密音频数据，生成序列E，其中的元素设为{e_i}，所述规则为：判断A_L是否小于250，若A_L＜250，则直接将A_L存入序列E；若A_L≥250，则依次将250和A_L-250存入序列E；

按顺序取出序列E中k个数据，其中2≤k≤n，依次构成k维向量β＝[e₁，e₂，...e_k]，若最后不足k个数据，以0补齐，生成j个β向量；定义一个k-1阶多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)mod251，将β中的各个元素分别作为多项式的系数，构成j个多项式f_j(x)，计算出f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)；

将f_j(1)，f_j(2)，...f_j(n)按顺序分别嵌入n个掩盖音频的低位部分，直到第j个多项式的n个值嵌入掩盖音频。

2.根据权利要求1所述的数字音频秘密分享方法，其特征在于：所述选取的掩盖音频为WAVE格式。

3.根据权利要求2所述的数字音频秘密分享方法，其特征在于：所述将掩盖音频的低位去除即：若掩盖音频的采样精度为l，则将掩盖音频采样精度的低l/2位去除，以全0或全1填充。

4.根据权利要求3所述的数字音频秘密分享方法，其特征在于：若选取的掩盖音频的大小为m₁，m₂，...，m_n，则其大小必需满足条件：

δ为预留的很小的空间。

5.根据权利要求1～4任一所述的数字音频秘密分享方法，其特征在于，所述序列E中的元素{e_i}，其中1≤i≤M+(A_L≥250的数量)。

6.根据权利要求5所述的数字音频秘密分享方法，其特征在于，当第j个多项式的n个值嵌入掩盖音频后，可将原秘密音频文件销毁。

7.一种对权利要求1所述的数字音频秘密分享方法隐藏的秘密音频进行恢复的数字音频秘密恢复方法，所述掩盖音频嵌入秘密音频后形成份额音频，使用至少k个份额音频可恢复出原隐藏的秘密音频文件，其特征在于，所述数字音频秘密恢复方法包括如下步骤：

从k个份额音频中按顺序取出存储在相应位置的值f_j(x)，其中1≤x≤n；

利用k对值(x_i，f_j(x_i))，其中1≤i≤k，1≤x_i≤n，通过拉格朗日插值多项式公式计算得到多项式f_j(x)＝(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_k-1x^k-1)，直到每个份额音频中存储的所有j个值f_j(x_i)都被处理，得到j个多项式f_j(x)；

将j个多项式f_j(x)的系数[a₀，a₁，...a_k-1]取出并依次排列，去除末尾的0值，得到序列E，其中的元素为{e_i}；

按顺序取出序列E中的元素{e_i}，若e_i＜250，则将e_i直接存入序列S；若e_i＝250，则直接读取下一个元素e_i+1，并将数据250+e_i+1存入序列S，直到序列E中所有的元素处理完毕；

序列S为原隐藏的秘密音频文件。

8.根据权利要求7所述的数字音频秘密恢复方法，其特征在于，所述拉格朗日插值多项式公式为：

其中y_j＝f_j(x_i)。

Images