CN101846573A - 一种测试不完整球形超导转子转动惯量的方法 - Google Patents

Abstract

一种测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，首先在不完整球形超导转子的中心管内底面定向添加增重片，增大转子在+Z轴方向的不平衡分量，控制转子总的不平衡量的方位靠近+Z轴。采用侧向吹气的气浮装置，实现不完整球形转子的连续稳定气浮。通过测定转子添加增重片后的不平衡量方位角

、θ，计算得到转子添加增重片后不平衡量的大小和方位。控制添加增重片后的超导转子连续稳定气浮并绕摆动轴l摆动，测定出相应的摆动周期，计算得到超导转子本身绕摆动轴l的转动惯量。令添加增重片后的超导转子绕多个不同的摆动轴摆动，测定摆动周期，得到超导转子本身绕上述摆动轴的转动惯量，将上述转动惯量代入关系式I₁＝I_xcos²α+I_ycos²β+I_zcos²γ，得到转子本身绕X、Y、Z轴的转动惯量I_x、I_y和I_z。

Description

一种测试不完整球形超导转子转动惯量的方法

技术领域

本发明涉及一种不完整球形超导转子转动惯量的测试方法。

背景技术

转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量，是转子的一个重要的动力学参数。转子绕任意轴l的转动惯量I_l可由下式计算得到[刘建锋，袁赣南，郭秋芬，陈笑.磁悬浮陀螺转子转动惯量数学模型的分析，船舶工程，2004，vol26(5)：67-70]：

I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_zcos²γ                                      (1)

其中，cosα，cosβ，cosγ为转子在坐标系OXYZ中摆动轴l的方向余弦，I_x、I_y和I_z为转子绕X、Y、Z轴的转动惯量，如图1所示。

一种高精度的不完整球形超导转子，其质量在80～120克，工作在1.8～4.2K的极低温环境中，无机械接触地超导磁悬浮，自由地高速旋转。该转子由单一的高纯超导金属铌材料制成，其外型面和中心管内壁面均为高精度的工作面，具有高的加工精度和表面光洁度，并且金属纯铌的熔点高(2400℃以上)、硬度低(与纯铜类似)，容易变形和划伤。

图2和图3为该超导转子的结构：一个不完整的空心薄壁球体，在薄壁球壳正中穿有一个中心管1，其回转轴线过转子外球面球心O；管的一端开口，一端封闭，在转子外表面形成一个端面2和一个孔口3。中心管1的中部有四个对称分布的窗口4。四个窗口的对称中心线7与转子球心O在同一个平面内，并且该平面垂直于中心管1的回转轴线，中心管窗口的棱边8都是向心的。

在超导转子上设定如下直角坐标系：坐标系的原点O设定在转子外球面球心，Z轴平行中心管1的回转轴线，正方向指向转子端面2，X轴、Y轴分别通过中心管四个窗口的对称中心线7。在转子的内腔面上有一个圆柱面6，其回转轴线为Z轴，在XOY平面上下对称分布。转子球壳5的壁厚不均匀，在XOY平面最厚，向两侧逐渐减薄，接近中心管1时又逐渐变厚，壁厚在0.5～3.5mm之间变化。超导转子设计的质心在外球面球心O处，使转子在任意位置都是平衡的。

在转子加工、处理等过程中不可避免地存在多种误差，根据转子名义尺寸和结构计算得到的转动惯量理论计算值与实际值往往不符合，有时还相差较大。转子实际转动惯量值与理论计算值产生偏差的来源有：(1)由转子材料、组织不均匀等形成的偏差，如由于材料加工、热处理、焊接等造成的密度不均匀、组织缺陷、组织微结构不一致等；(2)由转子加工误差形成的偏差，如转子加工处理过程中存在的尺寸公差、形位公差、表面粗糙度等。为了准确掌握转子的动力学特性和仪器性能参数，就需要实际测定转子的转动惯量参数。

带有机械轴的转子的转动惯量测定已经有比较成熟的技术和装置，可以测量的转子质量从几克到几十吨。常规转动惯量测定技术往往需要对转子进行机械装卡，从而对转子的加工精度造成一定的破坏。

球形转子气体稳定悬浮的基本原理是：首先气浮装置的球腔和待测球体的外球面具有好的球度，且直径差值小，通过气孔吹气在气浮装置的球腔和待测球体的外球面之间形成一个厚度均匀、对称分布的气膜；这样，待测球体受到的气膜压力均指向球体外球面的球心，形成的合力为一个垂直向上的力，用以抵消重力；其余方向的力相互抵消为零，从而实现待测球体的稳定气浮。

传统气浮摆动法[贺晓霞，高钟毓，孙新民，李树文.球形转子不平衡量的一种自动测量方法.机械工程学报，2004，40(2)：50-54]常用于完整球形转子的平衡测定，转子的平衡精度采用偏心距指标衡量，偏心距是一个向量，其大小定义为单位质量的转子质心偏离形心的距离，单位为米，其方向从转子外球面球心指向转子质心。采用底吹气的气浮装置将待测转子稳定浮起，在外界干扰很小的条件下，待测球体的质心自然垂直向下达到稳定状态，由此确定测球体的不平衡量方位；已知转子绕某摆动轴的转动惯量参数，通过测定转子绕该摆动轴的摆动周期，由下式计算得到转子的不平衡量大小：

$\left|\stackrel{\→}{e}\right|=\frac{I}{\mathrm{mg}}{\left[\frac{2\mathrm{\π}{K}_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)}{T}\right]}^2$

其中， $K_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)=\frac{1}{\sqrt{2}\·\mathrm{\π}}\underset{-{\mathrm{\η}}_m}{\overset{+{\mathrm{\η}}_m}{\∫}}\frac{\mathrm{d\η}}{\sqrt{\cos \mathrm{\η}-\cos {\mathrm{\η}}_m}},$

：转子偏心距，从几何中心指向质心；

为偏心距的大小，单位：m；

I：转子摆动轴方向的转动惯量，单位：kg·m²；

m：转子质量，单位：kg；

g：重力加速度，单位：m/s²；

η：摆动幅角，定义为e与重力方向夹角，单位：°；

η_m：摆动最大幅角，单位：°；

T：摆动周期，单位：s。

由于所述不完整球形超导转子的不平衡量方位是随机的，转子球面上不完整的部分，如端面2与孔口3转到气孔处将破坏气浮过程的连续性和稳定性，导致气浮失败。由该转子的结构特点，如图1所示，可以发现，转子球面上不完整的部分集中在中心管的两端，即端面2与孔口3，与Z轴垂直。采用单个气孔的底吹气浮法，很难控制端面2与孔口3不碰到气孔造成气浮失败，或不影响气浮的连续性、稳定性。因此，传统的气体悬浮法不能直接用于所述不完整球形超导转子的连续、稳定气浮。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术对于高精度不完整球形超导转子转动惯量测量影响转子加工精度的缺点，提出一种控制转子不平衡量方位的气浮摆动测定新方法。本发明能够无机械接触地测定出所述不完整球形超导转子的转动惯量，并且不破坏转子的加工精度，不影响转子的电磁特性、超导特性等。本发明可以有效提高超导重力计等基于该类型超导转子的仪器的工作性能和测量精度，对于其它无机械支撑轴转子的转动惯量测定也有一定借鉴意义。

本发明提出的控制转子不平衡量方位的气浮摆动测定不完整球形超导转子转动惯量的方法为：首先在不完整球形超导转子的中心管内底面定向添加增重片，人为增大转子在+Z轴方向的不平衡分量，控制转子总的不平衡量的方位靠近+Z轴；然后采用侧向吹气的气浮装置，实现不完整球形转子的连续稳定气浮。通过测定转子添加增重片后的不平衡量方位角θ，计算得到转子添加增重片后不平衡量的大小和方位。然后控制转子添加增重片后初始气浮的状态，使转子绕摆动轴l摆动，测定出相应的摆动周期T，计算得到转子本身绕摆动轴l的转动惯量。令添加增重片后的超导转子绕多个不同的摆动轴摆动，测定摆动周期，得到超导转子本身绕上述摆动轴的转动惯量，将上述转动惯量代入关系式(1)

I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ，                                    (1)

式中：cosα，cosβ，cosγ为转子在坐标系OXYZ中摆动轴l的方向余弦，I_x、I_y和I_z为转子绕X、Y、Z轴的转动惯量。联立计算得到转子本身绕X、Y、Z轴的转动惯量I_x、I_y和I_z。由此，给定任意摆动轴，利用这个关系式可以方便地确定转子绕该摆动轴的实际转动惯量参数。

本发明测定高精度不完整球形超导转子转动惯量的步骤如下：

A.控制不完整球形超导转子不平衡量方位，实现连续、稳定的气浮

本发明利用高精度侧向吹气气浮装置、增重片、增重片定位工装、高精度圆柱度仪和气源系统等装置，控制转子不平衡量方位，实现连续、稳定气浮，以测定超导转子不平衡量大小和方位。

所述的高精度的侧向吹气气浮装置采用高强度、高稳定性的模具钢精加工制造，其球腔直径与超导转子的直径差值为6～8μm，可以达到良好的气浮稳定性；球腔球度达到0.3～0.6μm，高于超导转子外球面的球度。在气浮装置的侧壁上均布有六个向心的、φ0.15mm的小气孔，气孔与重力方向的夹角在40～60度之间。气浮装置的上端面平面度优于1.0μm。超导转子放置在气浮装置的高精度球腔内，气浮装置接通气源后将超导转子浮起。

在不完整球形超导转子的中心管内底面定向放置增重片，人为增大转子在+Z轴方向的不平衡分量。增重片为一个中心有孔的扁圆金属片，采用高强度、耐磨性好的、组织成分和密度均匀的金属材料制成，如模具钢、钛合金或硬铝合金等，通过高精度的机械加工、精密研磨严格控制其尺寸精度(如厚度、中心孔直径等)和形位公差(如两个端面的平面度，内孔与外圆的同轴度等)，采用精密电子天平称重、螺旋测微尺测量厚度，并记录测量的数据。由于不同转子的不平衡量的大小与方位是不同的，同一个转子的不平衡量的大小与方位在平衡校正过程中也是不断变化的，因此需要设计和制造一系列不同重量的增重片。所有增重片的材质、外圆和内孔直径都相同，只通过改变增重片的厚度来改变其重量。

采用增重片定位工装控制增重片在超导转子中心管内底面的放置精度，以获得良好的测量精度。增重片定位工装为一个精密加工的、一端带有圆形凸台的圆柱体，采用高强度、耐磨性好的金属材料制成，其圆柱直径与转子的中心管内径为动配合，圆形凸台的外径与增重片的中心孔直径为动配合，配合间隙约10～20μm；严格控制定位工装的圆柱和圆形凸台的同轴度，从而能够将增重片准确地定位在转子中心管的内底面，控制增重片的回转轴与转子Z轴的同轴度。增重片定位工装上有三个平行的竖直通孔，中心的孔用于通气，两侧的孔可插入两根金属棒，用于减小定位工装退出时对增重片放置精度的干扰。

采用高精度圆柱度仪与气浮装置配合测定转子的不平衡量方位。高精度圆柱度仪主要由一个精密的气浮转台，一个精密的气浮立柱和一个高精度的红宝石探针传感器组成，可以实现优于0.1μm精度的平面度、圆度、圆柱度和直线度等的测量。转子的不平衡量方位气浮测定时，气浮装置放置在圆柱度仪的气浮转台上，并与气浮转台同轴，随气浮转台一同转动。

气源系统要求可控制和调节气体流量、压力，并且洁净、干燥，可以采用瓶装的高压氮气做气源。气源系统可以分别向气浮装置和圆柱度仪供气。

控制不完整球形超导转子的不平衡量方位，实现连续、稳定气浮的基本原理为：超导转子外球面上不完整的部分有两处，端面和中心孔的孔口，集中在中心管的两端，并且与Z轴垂直。在转子中心孔内底面定向添加增重片，人为地增大超导转子+Z轴方向的不平衡分量，从而减小转子不平衡量与+Z轴的夹角

；这样转子气浮后不平衡量方位垂直向下，转子+Z轴是向下的，并且倾斜的角度为

。只要增重片的重量足够大，就可以保证

角足够小，从而保证转子气浮时端面不会碰到气浮装置的侧吹气气孔。这样，通过定向添加增重片控制不完整球形超导转子的不平衡量方位，就可以实现超导转子的连续、稳定气浮。

控制不完整球形超导转子的不平衡量方位，实现连续、稳定气浮的步骤如下：

(1)首先将增重片的中心孔套入增重片定位工装的圆形凸台，在增重片的下端面涂少量的胶，可选择能够比较快粘结固定又较容易被有机溶剂溶解、软化的胶，如双面胶；

(2)利用增重片定位工装带着增重片插入超导转子的中心孔，将增重片送到超导转子的中心管的内底面并压紧、粘结；从增重片定位工装两侧的孔插入两根金属棒顶住增重片，轻轻拔起增重片定位工装并将其退出超导转子的中心管，尽量减小定位工装退出时对增重片放置精度的干扰；

(3)采用精密电子天平称量放置增重片后的超导转子的重量；采用深度尺测量超导转子中心管孔口到增重片上端面的深度，根据超导转子中心管尺寸和增重片厚度计算得到增重片质心到坐标原点O的距离r；

(4)调整气浮装置上端面的水平度：将气浮装置放在圆柱度仪的气浮转台上，采用圆柱度仪调节气浮装置与气浮转台同轴；采用水平尺检测气浮装置上端面的水平度，调节气浮转台的倾角使气浮装置上端面的水平度达到0.1～0.05mm/m精度；

(5)将添加了增重片的超导转子放入气浮装置的球腔中，超导转子的孔口向上；缓慢通入气体使超导转子处于气浮状态，观察转子浮起后的摆动情况；轻微地触动超导转子，反复观察转子的摆动情况，若超导转子连续、稳定地小幅摆动，即表明超导转子实现连续、稳定的气浮。

需要从转子的中心管内底面取出增重片时，可滴加少量的有机溶剂溶解、软化胶，取出增重片并清理干净转子内底面。通过多次添加、取出增重片，检测有关数据的稳定性、可靠性，证明在转子的+Z轴方向添加增重片的精度可以较好控制，增重片取出、替换方便，并且这些操作过程对转子的加工精度、重量等没有明显破坏和改变。

B.测定转子添加增重片后的不平衡量方位角

、θ

给不完整球形超导转子定向添加适当重量的增重片后，实现连续、稳定的气浮，便测定转子添加增重片后不平衡量的方位

、θ，其测定步骤如下：

(1)控制转子+Z轴方向垂直向下，标记平行转子XOY面的截面圆：采用圆柱度仪的探针检测转子中心孔内底面中增重片端面的平面度，轻轻触动转子使探针的摆动最小，此时认为转子+Z轴方向垂直向下；以气浮装置上端面为基准，在超导转子外球面上画出平行转子XOY面的截面圆，称为XOY平行截面线。XOY平行截面线与转子的Z轴垂直；

(2)测定超导转子不平衡量方位：缓慢开启阀门通气，使转子起浮；当转子不平衡量方位不在垂直向下的方位时，转子会自然摆动并逐渐停止。通过控制气浮装置、转子的加工精度、配合精度，气体流量等实现转子的稳定气浮，不摆动、不转动，此时超导转子自然垂直向下的方位即为超导转子添加增重片后不平衡量的方位；

(3)标记垂直超导转子不平衡量方位的截面圆：当超导转子稳定气浮，转子不平衡量的方位自然垂直向下时，缓慢关闭气体阀门使超导转子原位落下，以气浮装置上端面为基准，在超导转子外球面上画出一个截面圆，这个截面圆与超导转子的不平衡量方位垂直，称为平衡水平线；平衡水平线与XOY平行截面线相交，产生一个夹角和两个交点；

(4)测定超导转子不平衡量

与+Z轴方向的夹角

：采用照相机拍摄转子球面上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角，即

角，然后测量所拍摄照片上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角得到

角的大小；

(5)测定超导转子不平衡量在XOY平面投影的分量

与+X方向的夹角θ：首先在超导转子的端面(2)上标记出X轴，然后采用球面曲尺在转子球面上画出过XOY平行截面线与平衡水平线的两个交点并垂直XOY平面的截面线，延伸到超导转子的端面上形成一条直线，称为摆动轴平行线；摆动轴平行线与+X轴方向的夹角为

角；采用照相机拍摄转子的端面，然后测量所拍摄照片上摆动轴平行线与X轴的夹角得到θ角的大小。

关于平衡水平线与XOY平行截面线的夹角为

角的说明：

角为转子不平衡量

与+Z轴的夹角，而平衡水平线与转子的不平衡量方位垂直，XOY平行截面线与转子的Z轴垂直，所以平衡水平线与XOY平行截面线夹角即为

角。

关于摆动轴平行线与+X方向的夹角为

角的说明：由于超导转子初始起摆时控制+Z轴方向垂直向下，气浮后转子自然摆动的平面为转子不平衡量与Z轴构成的平面，摆动轴垂直该平面并且过转子外球面球心O，即摆动轴在XOY平面内，并且与

相互垂直。因此，摆动轴与+X方向的夹角为

角。XOY平行截面线与平衡水平线的两个交点的连线平行摆动轴，成为摆动轴平行线。通过画出过XOY平行截面线与平衡水平线的两个交点并垂直XOY平面的截面线，延伸到超导转子的端面上形成一条直线，相当于将摆动轴平行线平移到超导转子的端面上。所以，摆动轴平行线与+X轴方向的夹角为

角。

转子球面画线采用极细的彩色油性笔完成，画线可以方便地用有机溶剂擦除，并且对转子的加工精度、表面光洁度没有损伤。

C.测定超导转子添加增重片后的摆动周期T

不完整球形转子添加增重片后，通过稳定气浮确定转子的不平衡方位，在此基础上，用气浮法测定转子摆动周期T，其步骤如下：

(1)设定超导转子添加增重片后摆动轴l和摆动最大幅角η_m：关闭气源，将超导转子+Z轴向下放置在气浮腔中，控制转子的不平衡量方位与重力方向形成一定的夹角，这个夹角即为摆动最大幅角η_m；转子的不平衡量方位与重力方向形成一个摆动平面，过转子外球面球心、垂直此摆动平面的轴即为摆动轴l。

(2)控制超导转子的起浮和摆动过程：缓慢通入气体使转子稳定起浮；由于转子的不平衡量方位不在垂直向下的最低位置，转子开始自然摆动。要求尽量减小转子起浮和摆动过程中的外界干扰，使转子摆动连续、稳定，无转动和振动等现象。

(3)测定摆动周期T：观测事先设置在超导转子外球面上的垂直摆动平面的标记点，采用录像方式记录转子标记点的摆动过程，然后通过软件处理获得标记点的摆动轨迹曲线，经过数据处理获得更为准确的摆动周期测量值。

类似地，设定转子添加增重片后绕多个不同摆动轴l摆动，可以获得多个不同的摆动周期测量值。

D.处理数据

对于一个刚性转子，转子不平衡量

可分解为OXYZ坐标系三个坐标轴上不平衡分量

$\stackrel{\→}{U}=u\stackrel{\→}{r}=m\stackrel{\→}{e},$ 单位：g·μm                                            (2)

其中，u为转子的不平衡质量(g)，为转子的不平衡质量质心与形心的距离(μm)，m为转子的质量(g)，为转子单位质量的偏心距(μm)。

$\left|\stackrel{\→}{U}\right|=\sqrt{U_x^2+U_y^2+U_z^2}$

式中

为

在XOY平面投影的分量，

角为

与+Z轴方向的夹角，θ角为

与+X轴方向的夹角。

超导转子的质量为m₀，添加增重片1后的质量为m₁，不平衡量为

在XOY平面的投影为

，偏心距为在XOY平面的投影为

在Z轴上的分量为

，其大小分别为和为与+Z轴方向的夹角，θ₁为

与+X轴的夹角；增重片1的质量为(m₁-m₀)，增重片1的质心到坐标原点O的距离为r₁；通过气浮法测量得到超导转子添加增重片1后不平衡量的方位角

和θ₁。

超导转子添加增重片2后的质量为m₂，不平衡量为

在XOY平面的投影为

偏心距为

在XOY平面的投影为

在Z轴上的分量为

，其大小分别为

和

为

与+Z轴方向的夹角，θ₂为

与+X轴的夹角。增重片2的质量为(m₂-m₀)，增重片2的质心到坐标原点O的距离为r₂。通过气浮法测量得到超导转子添加增重片2后不平衡量的方位角和θ₂。

不同增重片的外径、内径和材料都相同，只有厚度不同，导致重量不同。增重片1和2重量差值为Δm＝m₂-m₁，高度差为Δh，相当于一个质量Δm、厚度为Δh的虚拟的增重片，r为这个虚拟增重片的质心到坐标原点O的距离。

在超导转子+Z轴方向分别加入增重片1和2后，转子在Z轴的不平衡分量大小变为

，而转子在X、Y轴不平衡分量的大小和方向都不改变，即

$\left|{\stackrel{\→}{U}}_{\mathrm{xy}1}\right|=\left|{\stackrel{\→}{U}}_{\mathrm{xy}2}\right|,$ θ₁＝θ₂

另外，Z轴的不平衡分量大小的变化

为：

$\left|\mathrm{\Δ}{\stackrel{\→}{U}}_z\right|={|\stackrel{\→}{U}}_{z2}|-|{\stackrel{\→}{U}}_{z1}|$

由式(7)，(8)联立求解可以得到超导转子分别加入增重片1和2后的偏心距大小和

假设超导转子添加增重片n，由测量和数据处理得到超导转子添加增重片n后偏心距大小

，转子加增重片n后绕设定转动轴l的摆动周期Tn，根据气浮摆动法测球体不平衡量的基本公式，

$\left|\stackrel{\→}{e}\right|=\frac{I}{\mathrm{mg}}{\left[\frac{2\mathrm{\π}{K}_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)}{T}\right]}^2,$

可以反推得到转子加增重片后绕设定转动轴l的转动惯量I_hall+n为

$I_{\mathrm{ball}+n}=m_{n}g\left|{\stackrel{\→}{e}}_n\right|{\left[\frac{2\mathrm{\π}{K}_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)}{T_n}\right]}^{-2}---\left(9\right)$

其中m_n为超导转子添加增重片n后的质量；

增重片n的尺寸、重量和加入转子Z轴的位置等参数是严格控制的，所以增重片n的转动惯量的理论计算值与实际值基本一致，采用ProE等工具软件求得增重片n对三个坐标轴的转动惯量I_nx、I_ny和I_nz，则利用式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ得到增重片n对设定摆动轴l的转动惯量I_n。最后，得到超导转子自身对同一个摆动轴l的转动惯量I_ball为

I_ball＝I_ball+n-I_n                                                    (10)

类似地，控制超导转子添加增重片后绕多个不同摆动轴摆动，测定相应的摆动周期，得到超导转子自身绕多个不同摆动轴的摆动惯量参数，将这些数据代入关系式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ，联立计算得到转子本身绕X、Y、Z轴的转动惯量I_x、I_y和I_z。由此，给定任意摆动轴，利用这个关系式可以方便地确定转子绕该摆动轴的实际转动惯量参数。

附图说明

图1刚性转子转动轴的方向余弦及转动惯量计算示意图；

图2超导转子结构示意图，图中：1中心管，2端面，3孔口，4中心管窗口，5球壳，6转子内腔面上的圆柱面；

图3超导转子中心管窗口结构示意图，图中：7窗口对称中心线，8窗口棱边；

图4不完整球形超导转子气浮示意图，图中：9气浮腔，10不完整球形超导转子，11增重片，12气浮腔上端面；

图5坐标系中转子不平衡量的方位角和X、Y、Z轴上不平衡分量的示意图；

图6超导转子+Z轴定向添加增重片控制转子不平衡量方位示意图；

图7转子+Z轴方向增重片放置精度控制示意图，图中：13增重片放置工装；

图8转子标记点的摆动轨迹曲线，重复测定2次的结果，横坐标为时间，单位秒。

具体实施方式

图2和图3为一种空心薄壁不完整球形超导转子的结构示意图。如图2所示，该转子外球面上有两处不完整，一处为端面2，另一处为孔口3，其余部位是完整的球面。端面2和孔口3位于转子中心管1的两侧，且与中心管回转轴线垂直。

如图3所示，超导转子中心管1上有四个对称分布的窗口4。四个窗口的对称中心线7与转子外球面球心O在同一个平面内，并且该平面垂直于中心管1的回转轴线，中心管窗口的棱边8都是向心的。

以转子外球面球心O为原点设立直角坐标系，Z轴平行转子中心管1的回转轴线，正方向指向转子端面2；X轴、Y轴分别与转子中心管四个窗口的对称中心线7重合。由该转子的结构可知，要实现该转子连续、稳定气浮，必须控制转子的端面2和孔口3在气浮时不碰到气浮装置的吹气孔。如果采用侧向吹气，并设法控制气浮时转子的Z轴靠近竖直方向，就能够实现转子连续、稳定气浮。

图4为不完整球形超导转子侧向吹气气浮示意图，9为高精度的侧向吹气气浮装置、10为不完整球形超导转子，11为在转子中心孔内底面添加的增重片，12为气浮装置9的上端面。气浮装置9采用高强度、高稳定性的模具钢制成，球腔的球度0.3～0.6μm，球腔直径与超导转子直径的差值控制在6～8μm。在气浮腔的侧壁上均布有6个φ0.15mm的向心的小气孔，气孔与重力方向的夹角在40～60度之间。气浮装置上端面12的平面度优于1.0μm。超导转子10放置在气浮装置9的高精度球腔内，气浮装置接通气源后，通过侧向气孔吹气将超导转子浮起。为了实现不完整球形超导转子的连续、稳定气浮，在超导转子10的中心管内底面添加一个增重片11。

图5示出OXYZ坐标系中超导转子10的不平衡量方位角

、θ，角为转子10的不平衡量

与+Z轴方向的夹角，θ角为与+X轴方向的夹角，

为

在XOY平面的投影。在超导转子10的中心管内底面添加一个增重片11后，转子不平衡量的变化如图6所示：添加增重片前，超导转子自身的不平衡量为，Z轴不平衡分量为

与+Z轴方向的夹角为

在XOY平面的投影为

；添加增重片后，相当于在转子+Z轴方向定点增重，超导转子添加增重片后的不平衡量增大为

，Z轴不平衡分量增大为

与+Z轴方向的夹角减小为

；在XOY平面的投影不变，为

，所以θ角不变。

可见，通过在超导转子10的中心管内底面添加适当重量的增重片11，可以控制超导转子的不平衡量方位角

靠近+Z轴。这样，超导转子10在侧向吹气气浮装置9中气吹起浮后，转子不平衡量自然垂直向下，转子Z轴会靠近竖直方向，确保转子的端面2和中心孔的孔口3在气浮时不会碰到侧向吹气的气孔，从而实现不完整球形超导转子的连续、稳定气浮。

待测的不完整球形超导转子A质量约为115g，直径约50mm，球度优于1.5μm。高精度的侧向吹气气浮装置9采用模具钢制成，球腔的直径与超导转子A差值约6～8μm，球度优于1.0μm，上端面12的平面度优于1.0μm。通过添加多个不同重量增重片后的气浮尝试，选定两个适当的增重片：增重片1质量1.1932g，增重片2质量0.9834g，采用钛合金制成，其上下端面的平行度优于0.1度，外圆直径小于超导转子中心管内径。

采用一个增重片定位工装13控制增重片在超导转子中心管内底面的放置精度，如图7所示。增重片定位工装13的基本形状为一个铜合金精密加工而成的圆柱体，插入超导转子的一端带有一个圆形凸台；其圆柱直径与转子的中心管内径为动配合，圆形凸台的外径与增重片的中心孔直径为动配合，配合间隙约10～20μm。定位工装13上有3个平行的竖直通孔，中间的孔用于通气，两侧的孔可插入两根金属棒，用于减小定位工装13退出时对增重片放置精度的干扰。

通过严格控制增重片定位工装13的圆柱和圆形凸台的同轴度，以及增重片的外圆与中心孔的同轴度，均小于3μm，将增重片准确地定位在转子中心管的内底面，增重片的回转轴与超导转子Z轴的同轴度可控制在3μm左右。

采用高精度圆柱度仪配合侧向吹气气浮装置9测定转子的不平衡量方位。高精度圆柱度仪主要由一个精密的气浮转台，一个精密的气浮立柱和一个高精度的红宝石探针传感器组成，可以实现优于0.1μm精度的平面度、圆度、圆柱度和直线度等的测量。转子的不平衡量方位气浮测定时，首先将气浮装置放置在圆柱度仪的气浮转台上，并与气浮转台同轴，随气浮转台一同转动。气源系统要求可控制和调节气体流量、压力，并且洁净、干燥，采用瓶装的高压氮气做气源。气源系统可以分别向气浮装置和圆柱度仪供气。

下面以不完整球形超导转子A定向放置增重片1进行测量为例，说明本发明方法的测量过程。

A.控制不完整球形超导转子A的不平衡量方位，实现连续、稳定的气浮：

(1)首先将增重片1的中心孔套入增重片定位工装13的圆形凸台，在增重片的下端面粘一层薄的双面胶；

(2)利用增重片定位工装13带着增重片1插入超导转子A的中心孔，将增重片送到转子的中心管内底面并压紧、粘结；从增重片定位工装13两侧的孔插入两根金属棒顶住增重片1，轻轻拔起增重片定位工装13并将其退出超导转子的中心管，尽量减小定位工装13退出时对增重片放置精度的干扰；

(3)采用精密电子天平称量转子A放置增重片1后的重量；采用深度尺测量转子中心管孔口到增重片1上端面的深度，根据超导转子A的中心管尺寸和增重片1厚度计算得到增重片1质心到坐标原点O的距离r₁；

(4)调气浮装置上端面12的水平：将气浮装置9放在圆柱度仪的气浮转台上，采用圆柱度仪调节气浮装置9与气浮转台同轴；采用水平尺检测气浮装置上端面12的水平度，调节气浮转台的倾角使气浮装置上端面的水平度达到0.1～0.05mm/m精度；

(5)将添加了增重片的超导转子放入气浮装置的球腔中，超导转子的孔口向上；缓慢通入气体使超导转子处于气浮状态，观察转子浮起后的摆动情况；轻微地触动超导转子，反复观察转子的摆动情况，若超导转子连续、稳定地小幅摆动，即表明超导转子实现连续、稳定的气浮。

B.测定超导转子A添加增重片1后的不平衡量方位角

、θ₁

(1)控制超导转子A添加增重片1后+Z轴方向垂直向下，标记平行转子XOY面的截面圆：采用圆柱度仪的探针检测转子中心孔内底面中增重片端面的平面度，轻轻触动转子使探针的摆动最小，此时认为转子+Z轴方向垂直向下；以气浮装置上端面为基准，在转子外球面上画出平行转子XOY面的截面圆，称为XOY平行截面线。XOY平行截面线与转子的Z轴垂直；

(2)测定超导转子A添加增重片1后不平衡量方位：缓慢开启阀门通气，使转子起浮；当转子不平衡量方位不在垂直向下的方位时，转子会自然摆动并逐渐停止。通过控制气浮装置、转子的加工精度、配合精度，气体流量等实现转子的稳定气浮，不摆动、不转动，此时超导转子自然垂直向下的方位即为超导转子A添加增重片1后不平衡量的方位；

(3)标记超导转子A添加增重片1后垂直转子不平衡量方位的截面圆：当超导转子稳定气浮，转子不平衡量的方位自然垂直向下时，缓慢关闭气体阀门使超导转子原位落下，以气浮装置上端面12为基准，在超导转子外球面上画出一个截面圆，这个截面圆与超导转子的不平衡量方位垂直，称为平衡水平线；平衡水平线与XOY平行截面线相交，产生一个夹角和两个交点；

(4)测定超导转子A添加增重片1后不平衡量与+Z轴方向的夹角

角：采用照相机拍摄转子球面上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角，即

角，然后测量所拍摄照片上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角得到

角的大小；

(5)测定超导转子A添加增重片1后不平衡量在XOY平面投影的分量与+X轴方向的夹角θ₁：首先在超导转子的端面2上标记出X轴，然后采用球面曲尺在转子球面上画出过XOY平行截面线与平衡水平线的两个交点并垂直XOY平面的截面线，延伸到超导转子的端面上为一条直线，称为摆动轴平行线；摆动轴平行线与+X轴方向的夹角即为角；采用照相机拍摄转子的端面，然后测量所拍摄照片上摆动轴平行线与X轴的夹角得到θ₁角的大小。

C.测定超导转子A添加增重片1后的摆动周期T₁

(1)由步骤B可知超导转子A添加增重片1后的不平衡方位，首先设定超导转子A添加增重片1后的摆动轴l和摆动最大幅角η_m，例如设定摆动轴为l_xy，其方向余弦角α＝90°-θ，β＝θ，γ＝90°，摆动最大幅角η_m为角。然后在转子外球面上，垂直摆动平面的位置用油性彩笔画出观测摆动的标记点。

(2)超导转子A添加增重片1后摆动轴l_xy和摆动最大幅角η_m的控制：关闭气源，将转子+Z轴向下放置在气浮腔中，控制转子的+Z轴垂直向下，此时转子A加增重片1后不平衡量

与Z轴的夹角

即为摆动最大幅角η_m；打开气阀使转子气浮，转子开始自然摆动，摆动平面为转子A加增重片1的不平衡量

与Z轴构成的平面，摆动轴l_xy垂直

在XOY平面的投影，并过转子的外球面球心，方向余弦角为α＝90°-θ，β＝θ，γ＝90°。

(3)转子起浮和摆动过程的控制：转子起浮时必须缓慢打开气阀，以使转子稳定地起浮，尽量减小开启气阀通气和转子气浮过程中的干扰；由于转子的不平衡量方位不在垂直向下的最低位置，转子开始自然摆动。要求尽量减小转子起浮和摆动过程中的外界干扰，转子摆动连续、稳定，无转动和振动等现象。

(4)摆动周期T₁的测定：转子摆动过程中，采用录像方式记录转子外球面上的摆动标记点的运动轨迹，然后通过软件处理获得标记点的摆动轨迹曲线，经过数据处理获得比较准确的摆动周期测量值。

测量完毕后，向超导转子A中心管内底面滴加少量的有机溶剂溶解、软化双面胶，用塑料镊子轻轻夹出增重片1，并清理干净转子内底面。转子球面画线采用极细的彩色油性笔完成，用有机溶剂轻轻擦除即可。通过多次添加、取出增重片，检测有关数据的稳定性、可靠性，证明在转子的+Z轴方向添加增重片的精度可以较好控制，增重片取出、替换方便，并且这些操作过程对转子的加工精度、重量等没有明显破坏和改变。转子球面的彩色油性笔画线可以方便地用有机溶剂擦除，并且对转子的加工精度、表面光洁度没有损伤。

类似地，可以完成超导转子A定向放置增重片2的放置和转动惯量测量过程。设定转子添加增重片后绕多个不同摆动轴l摆动，可以获得多个摆动周期测量值。

超导转子转动惯量的测量数据处理

对于一个刚性转子，转子不平衡量可分解为OXYZ坐标系三个轴上不平衡分量

$\stackrel{\→}{U}=u\stackrel{\→}{r}=m\stackrel{\→}{e},$ 单位：g·μm                                                (2)

其中，u为转子的不平衡质量(g)，

为转子的不平衡质量质心与形心的距离(μm)，m为转子的质量(g)，

为转子单位质量的偏心距(μm)。

$\left|\stackrel{\→}{U}\right|=\sqrt{U_x^2+U_y^2+U_z^2}$

式中

为

在XOY平面投影的分量，

角为

与+Z轴方向的夹角，θ角为

与+X轴方向的夹角。

超导转子的质量为m₀，添加增重片1后的质量为m₁，不平衡量为

在XOY平面的投影为

，偏心距为

在XOY平面的投影为

在Z轴上的分量为，其大小分别为

和

为

与+Z轴方向的夹角，θ₁为

与+X轴的夹角；增重片1的质量为(m₁-m₀)，增重片1的质心到坐标原点O的距离为r₁；通过气浮法测量得到超导转子添加增重片1后不平衡量的方位角和

超导转子添加增重片2后的质量为m₂，不平衡量为

在XOY平面的投影为

偏心距为

在XOY平面的投影为

在Z轴上的分量为，其大小分别为

和

为

与+Z轴方向的夹角，θ₂为

与+X轴的夹角。增重片2的质量为(m₂-m₀)，增重片2的质心到坐标原点O的距离为r₂。通过气浮法测量得到超导转子添加增重片2后不平衡量的方位角

和θ₂。

不同增重片的外径、内径和材料都相同，只有厚度不同，导致重量不同。增重片1和2重量差值为Δm＝m₂-m₁，高度差为Δh，相当于一个质量Δm、厚度为Δh的虚拟的增重片，r为这个虚拟增重片的质心到坐标原点O的距离。

在超导转子+Z轴方向分别加入增重片1和2后，转子在Z轴的不平衡分量大小变为，而转子在X、Y轴不平衡分量的大小和方向都不改变，即

$\left|{\stackrel{\→}{U}}_{\mathrm{xy}1}\right|={|\stackrel{\→}{U}}_{\mathrm{xy}2}|,$ θ₁＝θ₂

另外，Z轴的不平衡分量大小的变化为

$\left|\mathrm{\Δ}{\stackrel{\→}{U}}_z\right|=\left|{\stackrel{\→}{U}}_{z2}\right|-\left|{\stackrel{\→}{U}}_{z1}\right|$

由式(7)，(8)联立求解可以得到超导转子分别加入增重片1和2后的偏心距大小

和

超导转子A添加增重片1后，由测量和数据处理得到超导转子添加增重片1后偏心距大小

，转子加增重片1后绕设定转动轴l_xy的摆动周期T₁，根据气浮摆动法测球体不平衡量的基本公式，

$\left|\stackrel{\→}{e}\right|=\frac{I}{\mathrm{mg}}{\left[\frac{2\mathrm{\π}{K}_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)}{T}\right]}^2,$

可以反推得到超导转子A添加增重片1后绕转动轴l_xy的转动惯量I_ball+1为

$I_{\mathrm{ball}+1}=m_{1}g\left|{\stackrel{\→}{e}}_1\right|{\left[\frac{2\mathrm{\π}{K}_T\left({\mathrm{\η}}_m\right)}{T_1}\right]}^2---\left(9\right)$

增重片1的尺寸、重量和加入转子Z轴的位置等参数是严格控制的，所以增重片1的转动惯量的理论计算值与实际值基本一致，采用ProE等工具软件求得增重片1对三个坐标轴的转动惯量I_nx、I_ny和I_nz，则利用式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ得到增重片1对转动轴l_xy的转动惯量I₁。最后，得到超导转子自身对同一个摆动轴l的转动惯量I_ball为

I_ball＝I_ball+1-I₁                                                        (10)

类似地，控制超导转子添加增重片后绕多个不同摆动轴摆动，测定相应的摆动周期，得到超导转子自身绕多个不同摆动轴的摆动惯量参数，利用式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ反推得到转子绕坐标轴X、Y和Z的转动惯量I_ballx、I_bally和I_ballz，则给定任意摆动轴，都可以利用这个关系式计算得到相应的转动惯量。

下表为超导转子A分别添加增重片1和2后，重复测定三次的不平衡方位角

、偏心距大小

和摆动周期T的结果。由表可见，

角的波动在±0.15度以内，

的波动在±8.5μm以内，T的波动在±0.05s以内。图8为转子A加增重片1后绕l_xy摆动的标记点摆动轨迹曲线。由图可见，两次测定的标记点摆动轨迹曲线基本一致，具有较好的测量和重复精度。

对同一个转动轴l_xy，转子A加增重片，增重片以及转子A自身的转动惯量如下表所示。由表可见，转子A相对转动轴l_xy的转动惯量I_ball的平均值为3.1186×10^-5kg·m²，理论计算值为3.747×10^-5kg·m²。由于理论值是根据转子的设计尺寸进行计算，而转子加工过程中偏差较大，后又进行过机械去重，所以测量的转动惯量与理论的转动惯量有较大的偏差。

转动惯量，10-5kg·m2	转子A加增重片1	转子A加增重片2
			Iball+n/测量值	3.0244	3.2162
In/计算值	0.0019	0.0015
			Iball＝Iball+n-In	3.0225	3.2147

Claims (5)

1.一种测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，其特征在于，首先在不完整球形超导转子的中心管内底面定向添加增重片，增大转子在+Z轴方向的不平衡分量，控制转子总的不平衡量的方位靠近+Z轴；采用侧向吹气的气浮装置，实现不完整球形转子的连续稳定气浮；通过测定转子添加增重片后的不平衡量方位角

、θ，计算得到转子添加增重片后不平衡量的大小和方位；控制添加增重片后的超导转子连续稳定气浮并绕摆动轴l摆动，测定出相应的摆动周期，计算得到超导转子本身绕摆动轴l的转动惯量；令添加增重片后的超导转子绕多个不同的摆动轴摆动，测定摆动周期，便得到超导转子本身绕上述摆动轴的转动惯量，将上述转动惯量代入关系式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ，得到转子本身绕X、Y、Z轴的转动惯量I_x、I_y和I_z，式中：cosα、cosβ、cosγ为转子在坐标系OXYZ中摆动轴l的方向余弦，I_x、I_y和I_z为转子绕X、Y、Z轴的转动惯量。

2.按照权利要求1所述的测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，其特征在于，所述的控制不完整球形超导转子不平衡量方位，实现超导转子连续、稳定气浮的操作步骤如下：

(1)首先将增重片的中心孔套入增重片定位工装的圆形凸台，在增重片的下端面涂少量胶；

(2)利用增重片定位工装带着增重片插入超导转子的中心孔，将增重片送到超导转子的中心管的内底面并压紧、粘结；从增重片定位工装两侧的孔插入两根金属棒顶住增重片，轻轻拔起增重片定位工装，并将增重片定位工装退出超导转子的中心管，尽量减小定位工装退出时对增重片放置精度的干扰；

(3)采用精密电子天平称量放置增重片后的超导转子的重量；采用深度尺测量超导转子中心管孔口到增重片上端面的深度，根据超导转子中心管尺寸和增重片厚度计算得到增重片质心到坐标原点O的距离r；

(4)调整气浮装置上端面的水平度：将气浮装置放在圆柱度仪的气浮转台上，采用圆柱度仪调节气浮装置与气浮转台同轴；采用水平尺检测气浮装置上端面的水平度，调节气浮转台的倾角使气浮装置上端面的水平度达到0.1～0.05mm/m；

(5)将添加了增重片的超导转子放入气浮装置的球腔中，超导转子的孔口向上；缓慢通入气体，使超导转子处于气浮状态，观察转子浮起后的摆动情况；轻微地触动超导转子，反复观察转子的摆动情况，若超导转子连续、稳定地小幅摆动，即表明超导转子实现连续、稳定的气浮。

3.按照权利要求1所述的测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，其特征在于，测定超导转子添加增重片后不平衡量的方位角、θ的操作步骤为：

(1)控制超导转子+Z轴方向垂直向下，标记平行转子XOY面的截面圆：采用圆柱度仪的探针检测转子中心孔内底面中增重片端面的平面度，轻轻触动转子使探针的摆动最小，此时认为转子+Z轴方向垂直向下；以气浮装置上端面为基准，在超导转子外球面上画出平行转子XOY面的截面圆，称为XOY平行截面线；XOY平行截面线与转子的Z轴垂直；

(2)测定超导转子不平衡量方位：缓慢开启阀门通气，使超导转子起浮；当超导转子不平衡量方位不在垂直向下的方位时，转子会自然摆动并逐渐停止，此时超导转子自然垂直向下的方位即为超导转子添加增重片后不平衡量的方位；

(3)标记垂直超导转子不平衡量方位的截面圆：当超导转子稳定气浮，转子不平衡量的方位自然垂直向下时，缓慢关闭气体阀门使超导转子原位落下，以气浮装置上端面为基准，在超导转子外球面上画出一个截面圆，这个截面圆与超导转子的不平衡量方位垂直，称为平衡水平线；平衡水平线与XOY平行截面线相交，产生一个夹角和两个交点；

(4)测定超导转子不平衡量与+Z轴方向的夹角

：采用照相机拍摄转子球面上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角，即

角，然后测量所拍摄照片上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角得到

角的大小；

(5)测定超导转子不平衡量在XOY平面投影的分量

与+X轴方向的夹角θ：首先在超导转子的端面(2)上标记出X轴，然后采用球面曲尺在转子球面上画出过XOY平行截面线与平衡水平线的两个交点并垂直于XOY平面的截面线，延伸到超导转子的端面上形成一条直线，称为摆动轴平行线；摆动轴平行线与+X轴方向的夹角为

角；采用照相机拍摄超导转子的端面，然后测量所拍摄照片上摆动轴平行线与X轴的夹角得到θ角的大小。测定超导转子不平衡量

与+Z轴方向的夹角

：采用照相机拍摄转子球面上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角，即

角，然后测量所拍摄照片上平衡水平线与XOY平行截面线的夹角得到

角的大小。

4.按照权利要求1所述的测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，其特征在于，所述的测定超导转子添加增重片后的摆动周期T的方法如下：

(1)设定超导转子添加增重片后摆动轴l和摆动最大幅角η_m：关闭气源，将超导转子+Z轴向下放置在气浮腔中，控制超导转子的不平衡量方位与重力方向形成一定的夹角，这个夹角即为摆动最大幅角η_m；超导转子的不平衡量方位与重力方向形成一个摆动平面，过超导转子外球面球心、垂直此摆动平面的轴即为摆动轴l；

(2)控制超导转子的起浮和摆动过程：缓慢通入气体使超导转子稳定起浮；由于超导转子的不平衡量方位不在垂直向下的最低位置，超导转子开始自然摆动；尽量减小超导转子起浮和摆动过程中的外界干扰，使超导转子摆动连续、稳定，无转动和振动等现象；

(3)测定摆动周期T：观测事先设置在超导转子外球面上的垂直摆动平面的标记点，采用录像方式记录超导转子标记点的摆动过程，然后通过数据处理获得标记点的摆动轨迹曲线，并获得更为准确的摆动周期测量值。

5.按照权利要求1所述的测试不完整球形超导转子转动惯量的方法，其特征在于，所述的获得标记点的摆动轨迹曲线和摆动周期，处理测量值数据的方法如下：

对于一个刚性转子，转子不平衡量

可分解为OXYZ坐标系三个坐标轴上不平衡分量

单位：g·μm                                        (2)

其中，u为转子的不平衡质量(g)，

为转子的不平衡质量质心与形心的距离(μm)，m为转子的质量(g)，

为转子单位质量的偏心距(μm)。

式中

为

在XOY平面投影的分量，

角为与+Z轴方向的夹角，θ角为

与+X轴方向的夹角。

超导转子的质量为m₀，添加增重片1后的质量为m₁，不平衡量为

在XOY平面的投影为

，偏心距为

在XOY平面的投影为

在Z轴上的分量为

，其大小分别为

和为

与+Z轴方向的夹角，θ₁为与+X轴的夹角；增重片1的质量为(m₁-m₀)，增重片1的质心到坐标原点O的距离为r₁；通过气浮法测量得到超导转子添加增重片1后不平衡量的方位角

和θ₁。

超导转子添加增重片2后的质量为m₂，不平衡量为在XOY平面的投影为

偏心距为

在XOY平面的投影为在Z轴上的分量为

，其大小分别为

和为

与+Z轴方向的夹角，θ₂为

与+X轴的夹角。增重片2的质量为(m₂-m₀)，增重片2的质心到坐标原点O的距离为r₂。通过气浮法测量得到超导转子添加增重片2后不平衡量的方位角

和θ₂。

不同增重片的外径、内径和材料都相同，只有厚度不同，导致重量不同。增重片1和2重量差值为Δm＝m₂-m₁，高度差为Δh，相当于一个质量Δm、厚度为Δh的虚拟的增重片，r为这个虚拟增重片的质心到坐标原点O的距离。

在超导转子+Z轴方向分别加入增重片1和2后，转子在Z轴的不平衡分量大小变为

，而转子在X、Y轴不平衡分最的大小和方向都不改变，即

θ₁＝θ₂

另外，Z轴的不平衡分量大小的变化

为：

由式(7)，(8)联立求解可以得到超导转子分别加入增重片1和2后的偏心距大小

和

假设超导转子添加增重片n，由测量和数据处理得到超导转子添加增重片n后偏心距大小

，转子加增重片n后绕设定转动轴l的摆动周期T_n，根据气浮摆动法测球体不平衡量的基本公式，

可以反推得到转子加增重片后绕设定转动轴l的转动惯量I_ball+n为

其中m_n为超导转子添加增重片n后的质量；

增重片n的尺寸、重量和加入转子Z轴的位置等参数是严格控制的，所以增重片n的转动惯量的理论计算值与实际值基本一致，采用ProE等工具软件求得增重片n对三个坐标轴的转动惯量I_nx、I_ny和I_nz，则利用式I_l＝I_x cos²α+I_y cos²β+I_z cos²γ得到增重片n对设定摆动轴l的转动惯量I_n。最后，得到超导转子自身对同一个摆动轴l的转动惯量I_ball为

I_ball＝I_ball+n-I_n。                                                        (10)

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