CN101794321B - 建立考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于变压器技术领域的一种考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型。包括单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程、、单相三绕组自耦变压器的等效电路、单相三绕组升压自耦变压器等效电路、激磁阻抗z_m的表达式和考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型表达式。本发明提出的自耦变压器模型既考虑了高、中压绕组之间的磁的耦合也考虑了电的联系，比用普通三绕组变压器代替三绕组自耦变压器进行谐波特性仿真的结果更真实。激磁阻抗不但包括了通常不可忽略的反映铁心饱和特性的非线性电感，同时也考虑了反映铁耗的非线性电阻，对于分析变压器的谐波特性更为精确。

Description

建立考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型的方法

技术领域

本发明属于变压器技术领域，特别涉及一种考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型。 

背景技术

电力系统中最常见的是三相和单相三绕组自耦变压器，超(特)高压巨型容量的自耦变压器一般都为单相。主要考虑运输限制，变压器外绝缘距离与内绝缘距离不相适应，有备品时节省投资等因素而不采用三相变压器。 

谐波水平不仅影响电网的安全运行，与网损也密切相关，降低电网的谐波水平可有效降低网损。因此，对超(特)高压输电系统的谐波问题进行深入研究，并提出有效措施降低系统的谐波水平，将对降低全网的谐波水平、确保超(特)高压与低电压等级电网安全与经济运行具有重要的意义。单相三绕组自耦变压器作为超(特)高压输电系统的主要电气元件，其非线性饱和特性直接影响到输电系统的谐波水平，建立其非线性模型是分析电网谐波问题的前提。 

目前，对自耦变压器模型已有研究，但还没有一种针对单相三绕组自耦变压器建立的非线性模型。模型大多应用于电力系统暂态故障仿真或数字实时仿真，对于变压器的非线性特性没有进行精确的描述。在文献[1]赵泽益，冯志彪.“电力自耦变压器数字实时仿真模型及数字积分”[J].同济大学学报，2001，29(4)，416-420.中提出了一个三相单绕组电力自耦变压器的数学模型，并应用后向欧拉法建立了该数学模型的数字实时仿真模型。在文献[2]中，赵亮亮，陈超英等，“电力系统暂态仿真中自耦变压器模型的研究”[J].电力系统 及其自动化学报，2004，16(1)：83-88，是基于理想自耦变压器电压电流关系和忽略励磁阻抗非线性的基础上提出了自耦变压器综合友模模型，应用于暂态故障仿真。在文献[3]E.B.季米特耶夫，Ch.M.朱瓦尔内，刘明光等.“自耦变压器模型及其中性点电压分析”[J].四川工业学院学报，1994，13(2)：7-11.在不计线圈电阻和磁化电流的前提下导出了单相三绕组自耦变压器的等值电路和等值参数。在文献[4]中，杨天民，施传立，谭显弟.“电力自耦变压器及其应用”[M].北京：水利电力出版社，1987；是对电力自耦变压器的原理、结构和等值电路方面做了全面的研究和阐述，在忽略了励磁电流的前提下推导出了三绕组自耦变压器的星形等值电路和等值参数。而文献[5]Wojciech Wiechowski，Birgitte Bak-Jensen，Claus Leth Bak，Jan Lykkegaard and Markus 

Transformer Core Nonlinearities Modeled in Harmonic Domain [J].2005IEEE/PES Transmission and Distribution Conference&Exhibition，2005；主要介绍了变压器励磁阻抗的模拟，文中提到了双绕组自耦变压器的模型，对于其中的模型参数没有给出。 

上述文献[1]-[4]忽略了励磁阻抗的非线性，不能应用于谐波分析；线圈电阻和磁化电流的影响。自耦变压器是一种多绕组变压器，其特点就是其中两个绕组除有电磁联系外，在电路上也有联系。因此，当自耦变压器用来联系两种电压的网络时，一部分传输功率可以利用电磁联系，另一部分可以利用电的联系，电磁传输功率的大小决定变压器的尺寸、重量、铁心截面和损耗，所以与同容量、同电压等级的普通变压器比较，自耦变压器的经济效益非常显著。

自耦变压器的励磁回路实质上就是具有铁心绕组的电路，由于制造成本等原因特高压与超高压系统中自耦变压器的额定磁通密度取得较高，故系统运行 电压稍偏高就将使变压器在偏饱和区域运行，当变压器运行点在磁化饱和特性曲线“拐点”下方时，处于线性状态；而当其运行点位于“拐点”上方时，铁心为非线性，即使外加电压是纯正弦波，电流也要发生畸变，从而产生低次的谐波电流，引起系统的谐波电压升高，系统运行电压升高又会使变压器的励磁谐波电流增大。在电网高峰负荷及最大运行方式下，谐波畸变一般较小，而在线路空载或轻载情况下，谐波畸变可能较大。当全网变压器总数很多时，这些变压器注入电网的谐波电流产生的综合效应，对于电网谐波畸变的影响是不小的。因此单相三绕组自耦变压器成为超(特)高压电网的主要谐波源之一。 

建立详细的单相三绕组自耦变压器的非线性模型对于分析整个电网的谐波特性具有重要的意义。在现有的模型中，或是建立了单绕组自耦变压器的模型，或是建立了三绕组自耦变压器的线性模型，对于分析其电流谐波特性的单相三绕组自耦变压器都是不适用的。至今还没有一种考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型，本发明就是解决这一技术问题的。 

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型，其特征在于，包括下面步骤： 

1)单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程 

依照惯例规定，空载运行时，原边绕组W₁流过电源供给的空载电流为 

它产生空载磁势 

在铁芯中建立主磁通φ_m，φ_m在高压绕组W₁中感应电势为 

其中串联绕组W₁-W₂部分感应电势 

公共绕组W₂部分感应电势为 

低压绕组W₃部分感应电势为E₃。各绕组感应电势之间的关系为： 

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{W_1}{W_2}=K_{12},\frac{E_1}{E_3}=\frac{W_1}{W_3}=K_{13}---\left(1\right)$

假设以Z_m表示激磁阻抗，则 

$Z_m=-\frac{{\stackrel{.}{E}}_1}{{\stackrel{.}{I}}_0}---\left(2\right)$

接入负载后，由于大容量的自耦变压器空载电流远远小于额定电流，并且原边绕组漏抗也很小，所以漏抗压降较小，故从空载到负载， 

变化很小，所以 

为W₁，W₂，W₃中的磁动势，根据磁动势的表达式有： 

${\stackrel{.}{I}}_1{W}_1+{\stackrel{.}{I}}_2{W}_2+{\stackrel{.}{I}}_3{W}_3={\stackrel{.}{I}}_0{W}_1---\left(3\right)$

根据式(1)将上式改写为： 

$I_1=I_0-\frac{I_2}{K_{12}}-\frac{I_3}{K_{13}}---\left(4\right)$

根据基尔霍夫定律，对串联、公共、第三绕组和原边绕组分别写出电动势和电压平衡方程如式(5)～(8)所示。 

${\stackrel{.}{U}}_c={\stackrel{.}{E}}_c-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(5\right)$

${\stackrel{.}{U}}_2={\stackrel{.}{E}}_2-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(6\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3={\stackrel{.}{E}}_3-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(7\right)$

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)---\left(8\right)$

式中Z_c＝R_c+jX_c，Z₂＝R₂+jX₂，Z₃＝R₃+jX₃分别为串联绕组、公共绕组、第三绕组的漏阻抗。 

根据式(1)和(2)及 

可得φ_m在公共绕组、第三绕组、串联绕组中的感应电势分别为： 

${\stackrel{.}{E}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}---\left(9\right)$

${\stackrel{.}{E}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{E}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})---\left(11\right)$

以上式(1)～(11)建立了单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程； 

2)归算到高压侧的单相三绕组降压自耦变压器的等效电路 

将上述式(9)、(10)、(11)的感应电动势表达式分别代入式(6)、(7)、(5)的电动势平衡方程中，得到各绕组电压关于各绕组电流的表达式： 

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(12\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(13\right)$

${\stackrel{.}{U}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(14\right)$

再将式(4)代入式(12)得： 

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_2-(1-\frac{1}{K_{12}}){\stackrel{.}{I}}_2{Z}_2+\frac{1}{K_{13}}{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_2---\left(15\right)$

为了将中压侧、低压侧的电压、电流归算到高压侧，在式(15)、(13)两边分别乘以变比K₁₂、K₁₃得： 

$K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}---\left(16\right)$

$K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{13}^2{Z}_3\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}---\left(17\right)$

高压侧电压为： 

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2---\left(18\right)$

由式(16)，(17)，(18)得到归算到高压侧的单相三绕组自耦变压器的等效电路； 

3)单相三绕组降压自耦变压器的仿真等效电路 

.为了便于仿真实现，对上述降压自耦变压器的等效电路使用两个理想变压器等效。

同理也可以得到单相三绕组升压自耦变压器等效电路。 

关于电路中各个阻抗参数的获取，主要包括两方面：各绕组的漏阻抗和激磁 阻抗Z_m。高中、高低、中低绕组做短路试验时测得的短路阻抗表达式为： 

Z_GZ＝(K₁₂-1)²Z₂+Z_c

$Z_{\mathrm{GD}}=Z_2+Z_c+K_{13}^2{Z}_3---\left(19\right)$

$Z_{\mathrm{ZD}}=K_{13}^2{Z}_3+K_{12}^2{Z}_2$

其中Z_GZ、Z_GD、Z_ZD分别表示高中、高低、中低绕组短路阻抗大小； 

整理得到公共绕组、串联绕组、低压绕组漏阻抗大小为： 

$Z_2=\frac{Z_{\mathrm{GZ}}+Z_{\mathrm{ZD}}-Z_{\mathrm{GD}}}{2{K_{12}}^2-2K_{12}}$

Z_c＝Z_GZ-(K₁₂-1)²Z₂(20) 

$Z_3=\frac{Z_{\mathrm{ZD}}}{K_{13}^2}-{\left(\frac{K_{12}}{K_{13}}\right)}^2{(K_{12}-1)}^2{Z}_2$

由于公共绕组、串联绕组、低压绕组的电阻值可由试验测得，故其漏抗值可由下式求出。 

$X=\sqrt{Z^2-R^2}---\left(21\right)$

4)激磁阻抗Z_m的表达式 

激磁阻抗Z_m可用非线性电阻R_m和非线性电抗X_m的并联来等效表示，即Z_m＝R_m+jX_m＝+jωL_m。其中非线性电阻R_m的值可由u-i_r瞬时特性曲线求出，非线性电感L_m的值可由u-i_l瞬时特性曲线求出，如式(22)～(25)所示。这两个特性都可由空载试验数据(U_rms1，I_rms1，P₁)，(U_rms2，I_rms2，P₂)，…，(U_rmsn，I_rmsn，P_n)经过已编制的算法程序计算得到。因此上述等效电路又可等效。短路试验数据和空载试验数据都由变压器制造厂商提供的变压器常规试验数据中得到。 

i_r＝f₁(u)(22) 

$R_m=\frac{u}{i_r}=\frac{u}{f_1\left(u\right)}---\left(23\right)$

i_l＝f₂(u)(24) 

$L_m=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·i_r}=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·f_2\left(u\right)}---\left(25\right)$

式(22)～(25)中，f₁、f₂为对i_r-u、i_l-u曲线进行适当的数值模拟得到的函数，采用不同的数值模拟方法，f₁、f₂将不同。由式(23)、(25)可见，最终求得的R_m和L_m均为外加电压u的瞬时值的函数。 

5)考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型表达式 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2\\ K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}\\ K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{12}^2{Z}_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}\end{array}\right.$

本发明的有益效果是本发明提出的自耦变压器模型既考虑了高、中压绕组之间的磁的耦合也考虑了电的联系，比用普通三绕组变压器代替三绕组自耦变压器进行谐波特性仿真的结果更真实。 

激磁阻抗不但包括了通常不可忽略的反映铁心饱和特性的非线性电感，同时也考虑了反映铁耗的非线性电阻，对于分析变压器的谐波特性更为精确。 

在求解激磁阻抗的过程中，只需提供一组变压器空载试验数据，较之需要获取B-H曲线或ψ-i曲线的方法要更容易。 

该模型在仿真中也易于实现，在国际上普遍使用的电力暂态分析软件PSCAD/EMTDC(Power Systems Computer Aided Design/Electromagnetic Transients including DC)中，使用可输入变量“R”和“L”的可变电阻和电感元件作为非线性电阻和非线性电感，“R”和“L”为随着某一自变量变化的有具体数值的因变量，通过上述分析可知该模型使用的这一自变量为外加电压瞬时值。使用这样的可变元件的好处在于只需输入变量值就可体现电感的特性，免去了使用复杂的微分方程来模拟电感元件带来的麻烦。 

附图说明

图1为三绕组自耦变压器各物理量规定正方向(a)示意图，(b)等效电路图。 

图2单相三绕组降压自耦变压器等效电路。 

图3用理想变压器表示的单相三绕组降压自耦变压器等效电路。 

图4单相三绕组升压自耦变压器等效电路。 

图5用理想变压器表示的单相三绕组升压自耦变压器等效电路。 

图6由非线性电阻和电感表示激磁阻抗的单相三绕组降压自耦变压器等效电路。 

图7晋东南变压器励磁特性曲线(标幺值) 

图8晋东南站变压器激磁阻抗i-u曲线分段线性插值结果 

图9晋东南站单相三绕组升压自耦变压器仿真模型 

图10单相自耦变压器一次侧空载电流仿真波形 

图11晋东南三相变压器带负载运行状态下的仿真模型 

图12晋东南变压器高中低侧奇次谐波电流含有率(HRI)及THDi随电压增长的变化趋势 

图13i-u曲线三次样条插值结果 

图14i-u曲线幂函数拟合结果(局部) 

图15i-u曲线分段线性插值结果 

具体实施方式

本发明提供一种考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型。 

图1为单相三绕组降压自耦变压器各物理量按惯例规定的正方向，图中，(a)示意图，(b)等效电路图。空载运行时，原边绕组W₁流过电源供给的空载电流为 

它产生空载磁势 在铁芯中建立主磁通φ_m。φ_m在高压绕组W₁ 中感应电势为 

其中串联绕组(W₁-W₂)部分感应电势 

公共绕组W₂部分感应电势为 低压绕组W₃部分感应电势为E₃。各绕组感应电势之间的关系为： 

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{W_1}{W_2}=K_{12},\frac{E_1}{E_3}=\frac{W_1}{W_3}=K_{13}---\left(1\right)$

假设以Z_m表示激磁阻抗，则 

$Z_m=-\frac{{\stackrel{.}{E}}_1}{{\stackrel{.}{I}}_0}---\left(2\right)$

接入负载后，由于大容量的自耦变压器空载电流远远小于额定电流，并且原边绕组漏抗也很小，所以漏抗压降较小，故从空载到负载， 

变化很小，所以 

为W₁，W₂，W₃中的磁动势，根据磁动势的表达式有： 

${\stackrel{.}{I}}_1{W}_1+{\stackrel{.}{I}}_2{W}_2+{\stackrel{.}{I}}_3{W}_3={\stackrel{.}{I}}_0{W}_1---\left(3\right)$

根据式(1)将上式改写为： 

$I_1=I_0-\frac{I_2}{K_{12}}-\frac{I_3}{K_{13}}---\left(4\right)$

根据基尔霍夫定律，对串联、公共、第三绕组和原边绕组分别写出电动势和电压平衡方程如式(5)～(8)所示。 

${\stackrel{.}{U}}_c={\stackrel{.}{E}}_c-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(5\right)$

${\stackrel{.}{U}}_2={\stackrel{.}{E}}_2-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(6\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3={\stackrel{.}{E}}_3-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(7\right)$

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)---\left(8\right)$

式中Z_c＝R_c+jX_c，Z₂＝R₂+jX₂，Z₃＝R₃+jX₃分别为串联绕组、公共绕组、第三绕组的漏阻抗。 

根据式(1)和(2)及 

可得φ_m在公共绕组、第三绕组、串联绕组中的感应电势分别为： 

${\stackrel{.}{E}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}---\left(9\right)$

${\stackrel{.}{E}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{E}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})---\left(11\right)$

以上式(1)～(11)建立了单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程。 

将式(9)、(10)、(11)的感应电动势表达式分别代入式(6)、(7)、(5)的电动势平衡方程中得到各绕组电压关于各绕组电流的表达式： 

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(12\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(13\right)$

${\stackrel{.}{U}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(14\right)$

再将式(4)代入式(12)得： 

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_2-(1-\frac{1}{K_{12}}){\stackrel{.}{I}}_2{Z}_2+\frac{1}{K_{13}}{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_2---\left(15\right)$

为了将中压侧、低压侧的电压、电流归算到高压侧，在式(15)、(13)两边分别乘以变比K₁₂、K₁₃得： 

$K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}---\left(16\right)$

$K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{13}^2{Z}_3\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}---\left(17\right)$

高压侧电压为： 

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2---\left(18\right)$

由式(16)，(17)，(18)得到归算到高压侧的单相三绕组自耦变压器的等效电路如图2所示。 

为了便于仿真实现，对上述降压自耦变压器归算到一次侧的等效电路使用两个理想变压器表示如图3所示；同理，也得到单相三绕组升压自耦变压器等效 电路如图4和图5。 

关于电路中各个阻抗参数的获取，主要包括两方面：各绕组的漏阻抗和激磁阻抗Z_m。高中、高低、中低绕组做短路试验时测得的短路阻抗表达式为： 

Z_GZ＝(K₁₂-1)²Z₂+Z_c

$Z_{\mathrm{GD}}=Z_2+Z_c+K_{13}^2{Z}_3---\left(19\right)$

$Z_{\mathrm{ZD}}=K_{13}^2{Z}_3+K_{12}^2{Z}_2$

其中Z_GZ、Z_GD、Z_ZD分别表示高中、高低、中低绕组短路阻抗大小。 

整理得到公共绕组、串联绕组、低压绕组漏阻抗大小为： 

$Z_2=\frac{Z_{\mathrm{GZ}}+Z_{\mathrm{ZD}}-Z_{\mathrm{GD}}}{2{K_{12}}^2-2K_{12}}$

Z_c＝Z_GZ-(K₁₂-1)²Z₂(20) 

$Z_3=\frac{Z_{\mathrm{ZD}}}{K_{13}^2}-{\left(\frac{K_{12}}{K_{13}}\right)}^2{(K_{12}-1)}^2{Z}_2$

由于公共绕组、串联绕组、低压绕组的电阻值可由试验测得，故其漏抗值可由下式求出。 

$X=\sqrt{Z^2-R^2}---\left(21\right)$

单相三绕组自耦变压器模型可由以下三式表达： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2\\ K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}\\ K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{12}^2{Z}_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}\end{array}\right.$

激磁阻抗为Z_m＝R_m+jX_m＝R_m+jωL_m，其求解过程如下： 

激磁阻抗Z_m可用非线性电阻R_m和非线性电抗X_m的并联来等效表示(如图6中初级绕组中RL的并联电路，其中“R”和“L”为随着某一自变量变化的有具体数值的因变量的可变电阻和电感元件，作为非线性电阻和非线性电感)。非线 性电阻R_m的值可由u-i_r瞬时特性曲线求出，非线性电感L_m的值可由u-i_l瞬时特性曲线求出，如式(22)～(25)所示。这两个特性都可由空载试验数据(U_rms，I_rms1，P₁)，(U_rms2，I_rms2，P₂)，…，(U_rmsn，I_rmsn，P_n)经过已编制的算法程序计算得到。因此上述等效电路又可等效为图6。短路试验数据和空载试验数据都由变压器制造厂商提供的变压器常规试验数据中得到。 

i_r＝f₁(u)(22) 

$R_m=\frac{u}{i_r}=\frac{u}{f_1\left(u\right)}---\left(23\right)$

i_l＝f₂(u)(24) 

$L_m=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·i_r}=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·f_2\left(u\right)}---\left(25\right)$

式(22)～(25)中，f₁、f₂为对i_r-u、i_l-u曲线进行适当的数值模拟得到的函数，使用不同的数值模拟方法，f₁、f₂将不同。由式(23)、(25)可见，最终求得的R_m和L_m均为外加电压u的瞬时值的函数。 

激磁阻抗的计算，分为两步：瞬时特性曲线的计算和瞬时特性曲线的数值模拟。 

通过以上分析可知，自耦变压器模型中不能直接由试验数据得到的参数是激磁阻抗。求解它的第一步是需要根据变压器的空载试验数据计算得到两条瞬时特性曲线，然后对曲线进行适当的数值模拟，最后得到激磁阻抗表达式。 

1)瞬时特性曲线的计算 

根据文献[7]S.PRUSTY，M.V.S.RAO.A Direct Piecewise Linearized Approach to Convert rms Saturation Characteristic to Instantaneous Saturat ion Curve[J].IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS，1980，16(1)： 156-160.提出，文献[8]Washington L.A.Neves，Hermann W.Dommel.on modeling iron core nonlinearities[J].IEEE Transactions on Power Systems，1993，8(2)：417-425进行改进的算法，笔者使用MATLAB软件编制了计算瞬时特性曲线的算法程序。算法假定曲线的第一段为线性段，线性段的最大值与有效值之间的关系可以使用常规的 

关系，而其余的非线性段则不存在简单的 

关系，需要根据有效值的定义进行迭代计算，算法程序如下： 

(1)程序初始化： 

①输入原始数据U_rms(1×n)，I_rms(1×n)，P(1×n)， 

②计算U_rms(k)的最大值U(k)， 

k＝1，2，…n， 

③形成α矩阵(n×n)， $\mathrm{\α}(i,i)=\frac{\mathrm{\π}}{2},$ $\mathrm{\α}(i,j)=\arcsin \left[\frac{U\left(i\right)}{U\left(j\right)}\right];$

(2)计算I_r(k)，k＝1，2，…n： 

① $I_r\left(1\right)=\frac{2P\left(1\right)}{U\left(1\right)},$

②迭代计算其余非线性段的I_r(k)，k＝2，…n； 

(3)计算I_rrms(k)和I_lrms(k)，k＝1，2，…n： 

①迭代计算I_r(k)对应的有效值I_rrms(k)， 

②计算I_lrms(k)： $I_{\mathrm{lrms}}\left(k\right)=\sqrt{I_{\mathrm{rms}}^2\left(k\right)-I_{\mathrm{rrms}}^2\left(k\right)};$

(4)计算I_lrms(k)对应的最大值I_l(k)： 

① $I_r\left(1\right)=\frac{I_{\mathrm{lrms}}\left(1\right)}{\sqrt{2}},$

②迭代计算其余非线性段的I_l(k)； 

(5)输出结果U(1×n)，I_l(1×n)，I_r(1×n)： 

由U_k、I_rk、I_lk便可得到u-i_r和u-i_l瞬时关系。 

其中，U_rms(1×n)，I_rms(1×n)，P(1×n)分别为变压器空载试验的电压、对应的空载电流有效值和空载损耗值。 

2)瞬时特性曲线的数值模拟 

为了得到如式(22)、式(24)所示的组成激磁阻抗的非线性电阻R_m和非线性电感L_m，在计算出u-i_r和u-i_l瞬时特性曲线后需要对i_r-u和i_l-u进行数值模拟得到如式(21)、(23)所示的表达式。 

对于i_r-u、i_l-u的曲线数值模拟方法可以采用插值法或函数拟合法。插值法常用的函数为三次样条分段插值和分段线性插值。拟合函数可以使用最小二乘法的奇次多项式^[2][12]

幂函数^[13]y＝ax+bx^c。 

以晋东南站自耦变压器的i_l-u曲线为例，当采用奇次多项式进行拟合时，由于求出的系数a_2n+1可能为负，因此很难保证拟合函数的单调上升，有时会出现振荡现象，误差较大。三次样条分段插值存在不合理波动^[14]，如图13所示，虽然在饱和区可以很好的模拟原曲线，但在线性段的误差较大。若采用幂函数拟合，虽然拟合表达式简单，但在拐点附近的误差较大，如图14所示。 

本发明提出的模型中，在求解R_m和L_m的过程中，并没有涉及到求导计算，所以可以使用分段线性插值对曲线进行模拟，结果如图15所示。这样做的好处是既可以很好的模拟原数据曲线，表达式也很简单，易于写入程序进行仿真。 

在求得R_m和L_m的函数表达式的基础上，笔者在PSCAD/EMTDC中，使用Fortran语言编制了一个输入变量为变压器瞬时励磁电压，输出变量为电阻值和电感值的名为“Nonliear_L(R)”模块，以实现R_m和L_m的分段计算，并对模型中的可变电阻和可变电感进行控制。 

本发明分别根据我国1000kV晋东南-南阳-荆门特高压交流试验示范工程中，晋东南站所使用的保定天威保变电气股份有限公司制造的单相三绕组自耦变压器和荆门站所使用的特变电工股份有限公司制造的单相三绕组自耦变压器 的设计参数建立相应的数学模型和仿真模型，仿真试验，表明该模型能够准确的反应单相三绕组自耦变压器的非线性特性，验证了本发明提出的模型的可行性和有效性。 

1)模型建立过程 

晋东南站和荆门站自耦变压器非线性模型的建立过程相同，以下仅给出晋东南站变压器的建立过程。 

晋东南站自耦变压器的主要参数和试验数据如下表： 

表1晋东南站自耦变压器的主要参数和试验数据 

经计算得各绕组的漏阻抗分别为： 

Z₂＝0.304-j31.2360 

Z_C＝0.396+j97.3867 

Z₃＝0.049+j5.3259

由于未提供铁芯损耗并且空载试验数据不够详细(只有两组)，因此忽略铁芯损耗，根据国产变压器典型空载试验数据如表2所示，拐点在1.1Un左右，如图7所示。 

表2晋东南升压变的励磁特性(标么值及有效值) 

由于励磁特性的非线性，励磁电流已不是正弦波形，所以其最大值与有效值之间已不是简单的 

的关系，使用编制的算法程序，计算出u-i瞬时关系如表3： 

表3晋东南站变压器激磁阻抗的u-i瞬时关系 

使用分段线性插值对i-u进行插值计算得到插值曲线与原曲线对比图如图8所示，由于变压器铁芯的励磁特性曲线不像电抗器的励磁特特性曲线一样简单，所以需要详细分段表达。表达式为(其中i单位为kA，u单位为kV)： 

$\left\{\begin{array}{cc}i=0.03043(u+568.2755)-1.1952& u\≤-545.5136\\ i=0.01043(u+545.5136)-0.5025& -545.5136\≤u\≤-519.8797\\ i=0.00529(u+519.8797)-0.2349& -519.8797\≤u\≤-486.2727\\ i=0.00322(u+486.2727)-0.0571& -486.2727\≤u\≤-471.5268\\ i=0.00016(u+471.5268)-0.0095& -471.5268\≤u\≤-428.6607\\ i=5.37760\×{10}^{-6}(u+428.6607)-0.0023& -428.6607\≤u\≤428.6607\\ i=0.00016(u-428.6607)+0.0023& 428.6607\≤u\≤471.5268\\ i=0.00322(u-471.5268)+0.0095& 471.5268\≤u\≤468.2727\\ i=0.00529(u-486.2727)+0.0571& 486.2727\≤u\≤519.8797\\ i=0.01043(u-519.8797)+0.2349& 519.8797\≤u\≤545.5136\\ i=0.03043(u-545.5136)+0.5025& u\≥545.5136\end{array}\right.$

从而求出 

对于过原点的线段，所对应的L值是恒定不变的，可以直接令L＝591.9175H。 

2)仿真分析结果 

a)单相自耦变压器空载运行仿真 

单相自耦变压器的方针模型如图9所示。空载运行仿真中电源电压的额定相电压为1050/ 

各绕组漏阻抗值为由式(25)计算出的值。一次侧空载电流波形如图10所示，上图为空载电压为额定电压时的空载电流波形，下图为1.1倍额定电压时的波形。 

由图10可以看出，当外加额定电压时，空载稳态电流畸变程度不大，基本为正弦波形；当外加1.1倍额定电压时(已经入饱和区)，空载稳态电流为尖顶波，其中除了基波分量外，还含有一系列奇次谐波，其中以三次谐波为主。 

b)三相自耦变压器负载运行仿真 

将3个单相自耦变按照YN，a₀，d₁₁联结组别组成三相自耦变压器，如图11。中压侧连接电源，电源额定线电压为525kV，高压侧每相负载1000MVA、功率因数0.95、有功负荷950MW、无功负荷312Mvar，低压侧每相负载334MVA、功率因数0.95、有功负荷317MW、无功负荷104.3Mvar。在额定电压下运行时，测得中压侧线电流有效值3.3998kA，高压侧线电压有效值986.2099kV，相电流有效值1.5792kA。 

图12为变压器在外加电压(中压侧电压)为1.1Un到1.3Un过程中，高中低侧奇次谐波电流含有率(HRI)及THDi随电压增长的变化趋势。因为电源及负载三相平衡，所以取高中低每侧的A相相电流的测量结果。 

由图12可以看出，在同一电压下，对于5、7次(非3的倍数次)谐波电流，中压侧含量最大；对于3、9次(3的倍数次)谐波电流，由于低压侧接为△形，其含量最小，其次是中压侧，高压侧。中压侧谐波电流总畸变率最大，其次是高压侧，低压侧。各奇次谐波电流含量均随电压上升而增大。由图10、图12可 知本发明提出的模型能够比较准确地反映自耦变压器的非线性特性。 

Claims (1)

1.一种建立考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型的方法，其特征在于，包括下面步骤：

1)建立单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程

依照惯例规定，空载运行时，原边绕组W₁流过电源供给的空载电流为它产生空载磁势

在铁芯中建立主磁通φ_m，φ_m在原边绕组W₁中感应电势为

其中串联绕组W₁-W₂部分感应电势

公共绕组W₂部分感应电势为

第三绕组W₃部分感应电势为

各绕组感应电势之间的关系为：

$\frac{{\stackrel{.}{E}}_1}{{\stackrel{.}{E}}_2}=\frac{W_1}{W_2}=K_{12},$ $\frac{{\stackrel{.}{E}}_1}{{\stackrel{.}{E}}_3}=\frac{W_1}{W_3}=K_{13}---\left(1\right)$

假设以Z_m表示激磁阻抗，则

$Z_m=-\frac{{\stackrel{.}{E}}_1}{{\stackrel{.}{I}}_0}---\left(2\right)$

接入负载后，由于大容量的自耦变压器空载电流远远小于额定电流，并且原边绕组漏抗也很小，所以漏抗压降较小，故从空载到负载，

变化很小，所以

分别为变压器负载运行时W₁，W₂，W₃中的电流

所产生磁动势，变比K₁₂、K₁₃，根据磁动势的表达式有：

${\stackrel{.}{I}}_1{W}_1+{\stackrel{.}{I}}_2{W}_2+{\stackrel{.}{I}}_3{W}_3={\stackrel{.}{I}}_0{W}_1---\left(3\right)$

根据式(1)将式(3)改写为：

${\stackrel{.}{I}}_1={\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}---\left(4\right)$

根据基尔霍夫定律，对串联、公共、第三绕组和原边绕组分别写出电动势和电压平衡方程如式(5)～(8)所示：

${\stackrel{.}{U}}_c={\stackrel{.}{E}}_c-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(5\right)$

${\stackrel{.}{U}}_2={\stackrel{.}{E}}_2-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(6\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3={\stackrel{.}{E}}_3-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(7\right)$

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)---\left(8\right)$

式中Z_c＝R_c+jX_c，Z₂＝R₂+jX₂，Z₃＝R₃+jX₃分别为串联绕组、公共绕组、第三绕组的漏阻抗；R_c，R₂，R₃分别为串联绕组、公共绕组、第三绕组的电阻；X_c，X₂，X₃分别为串联绕组、公共绕组、第三绕组的漏电抗；

根据式(1)和(2)及

可得φ_m在公共绕组、第三绕组、串联绕组中的感应电势分别为：

${\stackrel{.}{E}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}---\left(9\right)$

${\stackrel{.}{E}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{E}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})---\left(11\right)$

以上式(1)～(11)建立了单相三绕组降压自耦变压器基本的电路与磁路方程；

2)获得归算到高压侧的单相三绕组降压自耦变压器的等效电路

将上述式(9)、(10)、(11)的感应电动势表达式分别代入式(6)、(7)、(5)的电动势平衡方程中，得到各绕组电压关于各绕组电流的表达式：

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-({\stackrel{.}{I}}_1+{\stackrel{.}{I}}_2)Z_2---\left(12\right)$

${\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{13}}-{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_3---\left(13\right)$

${\stackrel{.}{U}}_c=-{\stackrel{.}{I}}_c{Z}_m(1-\frac{1}{K_{12}})-{\stackrel{.}{I}}_1{Z}_c---\left(14\right)$

再将式(4)代入式(12)得：

${\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m\frac{1}{K_{12}}-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_2-(1-\frac{1}{K_{12}}){\stackrel{.}{I}}_2{Z}_2+\frac{1}{K_{13}}{\stackrel{.}{I}}_3{Z}_2---\left(15\right)$

为了将中压侧、低压侧的电压、电流归算到高压侧，在式(15)、(13)两边分别乘以变比K₁₂、K₁₃得：

$K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}---\left(16\right)$

$K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{13}^2{Z}_3\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}---\left(17\right)$

高压侧电压为：

${\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2---\left(18\right)$

由式(16)，(17)，(18)得到归算到高压侧的单相三绕组自耦变压器的等效电路；

3)获得单相三绕组自耦变压器仿真等效电路

为了便于仿真实现，对上述归算到高压侧的单相三绕组降压自耦变压器的等效电路使用两个理想变压器等效，即得到了单相三绕组降压自耦变压器仿真等效电路；

关于电路中各个阻抗参数的获取，主要包括两方面：各绕组的漏阻抗和激磁阻抗Z_m；高中、高低、中低绕组做短路试验时测得的短路阻抗表达式为：

$Z_{\mathrm{GZ}}={(K_{12}-1)}^2{Z}_2+Z_c$

$Z_{\mathrm{GD}}=Z_2+Z_c+K_{13}^2{Z}_3---\left(19\right)$

$Z_{\mathrm{ZD}}=K_{13}^2{Z}_3+K_{12}^2{Z}_2$

其中Z_GZ、Z_GD、Z_ZD分别表示高中、高低、中低绕组短路阻抗大小；

整理得到公共绕组、串联绕组、第三绕组漏阻抗大小为：

$Z_2=\frac{Z_{\mathrm{GZ}}+Z_{\mathrm{ZD}}-Z_{\mathrm{GD}}}{2{K_{12}}^2-2K_{12}}$

$Z_c=Z_{\mathrm{GZ}}-{(K_{12}-1)}^2{Z}_2---\left(20\right)$

$Z_3=\frac{Z_{\mathrm{ZD}}}{K_{13}^2}-{\left(\frac{K_{12}}{K_{13}}\right)}^2{(K_{12}-1)}^2{Z}_2$

由于公共绕组、串联绕组、第三绕组的电阻值可由试验测得，故其漏抗值可由下式求出：

$X=\sqrt{Z^2-R^2}---\left(21\right)$

其中，Z代表公共绕组、串联绕组、第三绕组的阻抗值，R代表公共绕组、串联绕组、第三绕组的电阻值；

4)获得激磁阻抗Z_m的表达式

激磁阻抗Z_m可用非线性电阻R_m和非线性电感L_m的并联来等效表示，即Z_m＝R_m+jX_m＝R_m+jωL_m，X_m＝ωL_m为激磁电抗；其中非线性电阻R_m的值可由u-i_r瞬时特性曲线求出，非线性电感L_m的值可由u-i_l瞬时特性曲线求出，如式(22)～(25)所示；这两个特性都可由空载试验数据(U_rms1，I_rms1，P₁)，(U_rms2，I_rms2，P₂)，…，(U_rmsn，I_rmsn，P_n)经过已编制的算法程序计算得到；因此上述归算到高压侧的单相三绕组自耦变压器的等效电路又可等效为由非线性电阻和非线性电感表示激磁阻抗的电路；短路试验数据和空载试验数据都由变压器制造厂商提供的变压器常规试验数据中得到；上述空载实验数据中，U_rms1，U_rms2，…，U_rmsn为变压器空载试验的电压，I_rms1，I_rms2，…，I_rmsn为对应的空载电流有效值，P₁，P₂，…，P_n为空载损耗值；

i_r＝f₁(u)                                                (22)

$R_m=\frac{u}{i_r}=\frac{u}{f_1\left(u\right)}---\left(23\right)$

i_l＝f₂(u)                                                (24)

$L_m=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·i_l}=\frac{u}{\mathrm{\ω}\·f_2\left(u\right)}---\left(25\right)$

式(22)～(25)中，f₁、f₂为对u-i_r、u-i_l曲线进行适当的数值模拟得到的函数，由式(23)、(25)可见，最终求得的R_m和L_m均为外加电压u的瞬时值的函数；

5)获得考虑励磁阻抗非线性影响的单相三绕组自耦变压器模型表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_1=-({\stackrel{.}{U}}_c+{\stackrel{.}{U}}_2)={\stackrel{.}{I}}_1[(1-K_{12})Z_2+Z_c]+{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m+({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2\\ K_{12}{\stackrel{.}{U}}_2=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-({\stackrel{.}{I}}_0-\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}})K_{12}{Z}_2-(K_{12}^2-K_{12})Z_2\frac{{\stackrel{.}{I}}_2}{K_{12}}\\ K_{13}{\stackrel{.}{U}}_3=-{\stackrel{.}{I}}_0{Z}_m-K_{13}^2{Z}_3\frac{{\stackrel{.}{I}}_3}{K_{13}}\end{array}\right..$

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