CN101710355B - 基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于机械公差数字化技术领域，具体涉及一种基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法。本发明通过计算加载时工作零件的变形量，并将其转变为雅可比旋量修正量，通过对理想情况下的雅可比旋量公差模型的补偿与修正，建立基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型。技术特征在于：首先建立理想状况下的装配体公差模型；然后考虑实际工况下环境因素的影响，计算这些影响所引起的零部件尺寸、形状和位置的变化，并将这些变化用旋量矩阵的方式数学表达出来，作为补偿与理想状况下的公差模型相结合，从而最终得出实际工况下的装配体公差模型。本发明的有益效果是：可以根据计算结果来判断实际工况下装配性质，验证校核公差设计结果，进而可对不同装配设计公差下的产品性能改变进行预测与判断。

Description

基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法

技术领域

本发明属于机械公差数字化技术领域，具体涉及一种基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法。

背景技术

公差建模是指在计算机中对某一实体模型或特征模型进行准确无误的公差表述，并对其语义作出正确合理的解释。公差建模需要解决两个问题：公差域边界的描述和满足公差要求的变动要素的描述，即按工程语义来解释公差信息；目前的公差数学建模方法有：1)漂移模型；2)基于公差函数与矢量方程的数学模型；3)基于几何约束变动的参数矢量化数学模型；4)基于漂移和自由度的数学模型；5)基于数学定义和自由度变动的数学模型。这些模型虽然能表达公差的工程语义，但在对产品数字模型进行公差分析时，忽略产品实际工作环境(如：产品实际使用时承受各种负载)的作用影响，从而使数字模型与实际情况有较大的差别。通常由于产品零部件所用的材料不同，以及使用时承受各种载荷的作用，仅利用数字样机的机构仿真与实际有较大的差别。而通过实际工况仿真，可以了解产品的实际工作性能，从而为设计及装配公差的调整提供依据。

雅可比旋量理论是用于公差建模的创新性理论。雅可比旋量模型以机器人运动学、计算机图形学和旋量理论为基础，通过空间尺寸链的误差传递，建立最终装配要求与各功能要素之间的数学关系，从而为装配体公差分析提供数学上的理论依据。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法，本发明在计算加载时工作零件的变形量，并将其转变为雅可比旋量修正量，通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型。

本发明提出的一种基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法，具体步骤如下：

1)、建立理想状况下基于雅克比旋量的公差模型：[FR]＝[J][FE]，其中：[FR]为与功能要求相关的小位移旋量，[J]为[FR]为向量与相应的[FE]向量之间几何关系的雅可比矩，[FE]与功能要素的微小变动(如公差或运动副误差等)相关的小位移旋量；通过公差旋量计算、雅克比转化矩阵计算，求出雅可比旋量公差模型的基本数学表达式；

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FR}}=\left[\begin{array}{ccc}[J_1{J_2{J}_3{J}_4{J}_5{J}_6]}_{\mathrm{FE}1}& \·\·\·& {\left[J_1{J}_2{J}_3{J}_4{J}_5{J}_6\right]}_{\mathrm{FEn}}\end{array}]\right]\·\left[\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FE}1}\\ \·\·\·\\ {\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FEn}}\end{array}\right]$

式中：

u、v、w为沿X轴、Y轴、Z轴的平动旋量；

α、β、δ为绕X轴、Y轴、Z轴的转动旋量；

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的下极限约束；

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的上极限约束；

[J₁J₂J₃J₄J₅J₆]_FEi为第i个功能要素对所对应的6×6雅可比矩阵；

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FR}}$ 为功能要求所对应的六个自由度极限约束；

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FEi}}$ 为第i个功能要素所对应的六个自由度极限约束。

(2)、对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型式；

$\left[{\mathrm{FR}}^{\′}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}1}^{\′}}& {\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}2}^{\′}}& \·\·\·& {\left[J\right]}_{{\mathrm{FEn}}^{\′}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\left[{\mathrm{FE}}_{1^{\′}}\right]\\ \left[{\mathrm{FE}}_{2^{\′}}\right]\\ \·\\ \·\\ \·\\ \left[{\mathrm{FE}}_{n^{\′}}\right]\end{array}\right]$

式中：

[FR′]为实际工况影响下功能要求的微小变动相关的小位移旋量；

[J]_FEi′为实际工况下第i个功能要素位姿所对应的雅克比矩阵；

[FE_i′]为实际工况下第i功能要素的微小变动相关的小位移旋量；

(3)、通过计算装配体理想情况下与实际工况下的装配间隙并进行比较，对公差下的产品性能改变进行预测与判断。

1、建立理想状况下基于雅克比旋量的公差模型：

雅可比旋量公差建模步骤(如图2)：

(1)、辨别装配体各功能元素及其特征，建立装配体空间尺寸链，定义各功能要素坐标系方位，同时设定参考坐标系方向；

(2)、根据表1和表2计算出理想情况下小位移旋量{T}_Traditional，同时确定修正矩阵[R_PTi]^-1，结合两者得到符合公差分析需要的实际小位移旋量{T}_Projection；

表1内部副的公差区域和旋量参数

表2外部副的公差区域和旋量参数

(3)、根据步骤(1)中所确定的功能元素坐标系方位，分别计算位置关系矩阵[W_i ⁿ]_3×3和旋转关系矩阵[R₀ ⁱ]_3×3，并结合步骤(2)计算出的方向矢量矩阵[R_PTi]_3×3，得出表征[FR]矢量与[FE_i]矢量几何上位姿关系的雅可比矩阵；[W_i ⁿ]_3×3为第0坐标系下第n坐标系原点相对于第i坐标系原点的位置关系矩阵，[R₀ ⁱ]_3×3为第i个坐标系相对于第0个坐标系的旋转矩阵，[R_PTi]_3×3为第i功能元素的参考坐标系在第i理想坐标系中的方向矢量矩阵。

(4)、结合步骤(2)、步骤(3)，写出雅可比旋量公差模型的基本数学表达式

所述雅可比旋量公差模型的基本表达式为

[FR]＝[J][FE](1)

式中：

[FR]为与功能要求相关的小位移旋量(如配合间隙)

$\left[\mathrm{FR}\right]={\left[\right[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}],[\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}],[\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}],[\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}\left]\right]}_{\mathrm{FR}}^T---\left(2\right)$

式中：

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的下极限约束；

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的上极限约束；

[J]为[FR]向量与相应的[FE]向量之间几何关系的雅可比矩，其中n表示公差传递链中功能要素的个数；

${\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_i}={\left[\right[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}],[\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}],[\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}],[\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}\left]\right]}_{F{E}_i}^T---\left(4\right)$

[FE]为与功能要素的微小变动(公差或运动副误差等)相关的小位移旋量：

${\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_i}={\left[\right[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}],[\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}],[\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}],[\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}],[\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]}_{{\mathrm{FE}}_i}^T---\left(4\right)$

所述雅可比矩阵表示的是[FE]与[FR]之间的转换关系，其表达式如下：

${\left[J\right]}_{\mathrm{FEi}}={\left[J\right]}_0^i={\left[\begin{array}{ccc}{\left[R_0^i\right]}_{3\×3}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& {\left[W_i^n\right]}_{3\×3}\·({\left[R_0^i\right]}_{3\×3}\·{\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}_{3\×3})\\ \·\·\·& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \·\·\·\\ {\left[0\right]}_{3\×3}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& {\left[R_0^i\right]}_{3\×3}\·{\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}_{3\×3}\end{array}\right]}_{6\×6}---\left(5\right)$

式中：

[R₀ ⁱ]为i坐标系相对于0坐标系的方向变化， $\left[R_0^i\right]=\left[C_{1i}{C}_{2i}{C}_{3i}\right],$ 其中C_1i、C_2i和C_3i分别是轴x_i、y_i和z_i在0坐标系中的方向向量；W_i ⁿ为n坐标系相对i坐标系位置上的变化，由矢量[d_n-d_i]组成矩阵：

${\left[W_i^n\right]}_{3\×3}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{dz}}_i^n& {\mathrm{dy}}_i^n\\ {\mathrm{dz}}_i^n& 0& -{\mathrm{dx}}_i^n\\ -{\mathrm{dy}}_i^n& {\mathrm{dx}}_i^n& 0\end{array}\right],$ 其中d_i指i坐标系的原点在0坐标系的位置矢量，式中 ${\mathrm{dx}}_i^n={\mathrm{dx}}_n-{\mathrm{dx}}_i;$ ${\mathrm{dy}}_i^n={\mathrm{dy}}_n-{\mathrm{dy}}_i$ 和 ${\mathrm{dz}}_i^n={\mathrm{dz}}_n-{\mathrm{dz}}_i;$

[R_PTi]为反映的是公差方向与i坐标系三个坐标轴方向的不一致性，[R_PTi]＝[C₁C₂C₃]_PTi，其中C₁、C₂和C₃分别是公差分析的三个方向在i坐标系中的方向矢量，且[FE_i]与[R_PTi]有关；

式(1)中[FE]的计算，则可通过下式得来：

${\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_i}={\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}^{-1}\·\left[T\right]---\left(6\right)$

式中：

[T]为基于特征的功能要素的公差旋量。

在旋量理论中，针对单个零件内的形位公差(内部副)和零件之间的装配公差(运动副)，提出了基于特征的公差旋量表示方法，见表1和表2。将功能要素的特征与表1和表2对应，即可求出[T]。

根据以上计算，式(1)可以写成以下

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FR}}=\left[\begin{array}{ccc}[J_1{J_2{J}_3{J}_4{J}_5{J}_6]}_{\mathrm{FE}1}& \·\·\·& {\left[J_1{J}_2{J}_3{J}_4{J}_5{J}_6\right]}_{\mathrm{FEn}}\end{array}]\right]\·\left[\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FE}1}\\ \·\·\·\\ {\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{u},\stackrel{\‾}{u}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{w},\stackrel{\‾}{w}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\δ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}]\end{array}\right]}_{\mathrm{FEn}}\end{array}\right]---\left(7\right)$

根据等号右边可以计算得到装配误差[FR]，即式(2)。

2、对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型。

所述实际工况影响是指在载荷等因素的影响下，功能要素在形状、位置等方面发生变化，雅可比矩阵表达式式(5)中各组成要素也会随着产生相应改变。下面分别说明在式(5)中，实际工况下各组成要素([R₀ ⁱ]、[W_i ⁿ]和[R_PTi])的表达式：

(1)、功能要素发生变化时[R₀ ⁱ]的变化

$R_0^{i^{\′}}=R_0^i\·\left[C_{\mathrm{xi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{yi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{zi}}\right]=\left[C_{1i}{C}_{2i}{C}_{3i}\right]\·\left[C_{\mathrm{xi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{yi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{zi}}\right]---\left(8\right)$

式中

[C_xi]为第i坐标系绕其x轴旋转Δα_i的转换矩阵

$\left[C_{\mathrm{xi}}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\α}}_i& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\α}}_i\\ 0& \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\α}}_i& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\α}}_i\end{array}\right]---\left(9\right)$

[C_yi]为第i坐标系绕其y轴旋转Δβ_i的转换矩阵

$\left[C_{\mathrm{yi}}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_i& 0& \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_i\\ 0& 1& 0\\ -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_i& 0& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_i\end{array}\right]---\left(\text{10}\right)$

[C_zi]为第i坐标系绕其z轴旋转Δδ_i的转换矩阵

$\left[C_z\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i& 0\\ \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(11\right)$

(2)、功能要素变化时[W_i ⁿ]的变化

${\left[W_{i^{\′}}^{n^{\′}}\right]}_{3\×3}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{dz}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}& {\mathrm{dy}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}\\ {\mathrm{dz}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}& 0& -{\mathrm{dx}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}\\ -{\mathrm{dy}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}& {\mathrm{dx}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}& 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

式中

${\mathrm{dx}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}={\mathrm{dx}}_{n^{\′}}-{\mathrm{dx}}_{i^{\′}}=({\mathrm{dx}}_n+\mathrm{\Δ}{u}_n)-({\mathrm{dx}}_i+\mathrm{\Δ}{u}_i)={\mathrm{dx}}_i^n+(\mathrm{\Δ}{u}_n-\mathrm{\Δ}{u}_i)---\left(13\right)$

依式(13)类推有：

${\mathrm{dy}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}={\mathrm{dy}}_i^n+({\mathrm{\Δu}}_n-\mathrm{\Δ}{u}_i)$ ${\mathrm{dz}}_{i^{\′}}^{n^{\′}}={\mathrm{dz}}_i^n+({\mathrm{\Δu}}_n-\mathrm{\Δ}{u}_i)$

(3)、功能要素变化时[R_PTi]的变化

[R_PTi′]^-1＝[R_PTi]^-1·[C_xi]·[C_yi]·[C_zi]  (14)

对式(9)求逆，有：

[R_PTi′]＝[R_PTi]·[C_xi]^-1·[C_yi]^-1·[C_zi]^-1(15)

式(14)和式(15)中，[C_xi]、[C_yi]和[C_zi]分别与式(9)、(10)和(11)相同。

将上述推导的[R₀ ⁱ′]、[W_i′ ⁿ′]和[R_PTi′]带入式(5)中，

化简得实际工况下的雅可比矩阵：

${\left[J\right]}_{{\mathrm{FEi}}^{\′}}={\left[J\right]}_0^{i^{\′}}={\left[\begin{array}{ccc}{\left[R_0^i\right]}_{3\×3}\·{\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}_{3\×3}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& {\left[W_{i^{\′}}^{n^{\′}}\right]}_{3\×3}\·({\left[R_0^i\right]}_{3\×3}\·{\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}_{3\×3})\\ \·\·\·& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& \·\·\·\\ {\left[0\right]}_{3\×3}& \begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}& {\left[R_0^i\right]}_{3\×3}\·{\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}_{3\×3}\end{array}\right]}_{6\×6}---\left(16\right)$

(4)、旋量矩阵的变化

$\left[{\mathrm{FE}}_{i^{\′}}\right]=\left[\begin{array}{c}{D}_{\mathrm{Pr\; ojected}}\\ {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{Pr\; ojected}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\left[R_{{\mathrm{PTi}}^{\′}}\right]}^{-1}\·D_{\mathrm{Traditional}}\\ {\left[R_{{\mathrm{PTi}}^{\′}}\right]}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{Traditional}}\end{array}\right]---\left(17\right)$

式(17)即是实际工况下第i功能元素所对应的旋量表达式，再将式(14)带入式(17)，有

$\left[{\mathrm{FE}}_{i^{\′}}\right]=\left[\begin{array}{c}{\left[R_{{\mathrm{PTi}}^{\′}}\right]}^{-1}\·D_{\mathrm{Traditional}}\\ {\left[R_{{\mathrm{PTi}}^{\′}}\right]}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{Traditional}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\left[P_{\mathrm{PTi}}\right]}^{-1}\·\left[C_{\mathrm{xi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{yi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{zi}}\right]\·D_{\mathrm{Traditional}}\\ {\left[R_{\mathrm{PTi}}\right]}^{-1}\·\left[C_{\mathrm{xi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{yi}}\right]\·\left[C_{\mathrm{zi}}\right]\·{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{Traditional}}\end{array}\right]---\left(18\right)$

综上所述，依据雅可比旋量理论的基本表达式式(1)，得出实际工况的雅可比旋量理论表达式为：

$\left[{\mathrm{FR}}^{\′}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}1}^{\′}}& {\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}2}^{\′}}& \·\·\·& {\left[J\right]}_{{\mathrm{FEn}}^{\′}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\left[{\mathrm{FE}}_{1^{\′}}\right]\\ \left[{\mathrm{FE}}_{2^{\′}}\right]\\ \·\\ \·\\ \·\\ \left[{\mathrm{FE}}_{n^{\′}}\right]\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中：

[FR′]为实际工况影响下功能要求的微小变动相关的小位移旋量；

[J]_FEn′为实际工况下第n个功能要素位姿所对应的雅克比矩阵；

[FE_n′]为实际工况下第n功能要素的微小变动相关的小位移旋量。

3、基于理想情况与实际工况下的公差影响分析

通过计算装配体理想情况下与实际工况下的装配间隙并进行比较，对公差下的产品性能改变进行预测与判断。

本发明的有益效果：

1、本发明提出的基于雅可比旋量的实际工况下的公差建模具有数学表达简洁、可量化计算的特点，方便在计算机辅助公差分析软件的开发中应用。

2、本发明提出的通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型，可以根据计算结果来判断实际工况下装配性质，进而可对不同装配设计公差下的产品性能改变进行预测与判断。

3、本发明的应用扩大了数字样机的应用范围，形成概念设计到工程化设计的设计闭环，这也是CAPP的重要支撑技术及CAD与CAPP集成的桥梁。

附图说明

图1为基于雅克比旋量的实际工况建模过程。

图2为基于雅可比旋量法的公差分析图。

图3为泵体尺寸及FEi虚拟坐标系，其中(a)为泵体(P1)左视图、(b)为泵体(P1)正剖视图。

图4为主动齿轮(P₂)尺寸及FEi虚拟坐标系。

图5为从动齿轮(P₃)尺寸及FEi虚拟坐标系。

图6为尺寸链传递图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明进一步说明：下述实施例是说明性的，不是限定性的，不能以下述实施例来限定本发明的保护范围。

实施例1：以某一齿轮泵为例进行实例分析。齿数z＝10，模数m＝1.5，齿宽16mm，额定压力25MPa，额定转速1450r/min。齿轮泵装配体包括三部分：泵体P1(见图3)、主动齿轮P2(见图4)、从动齿轮P3(见图5)，三者间需要保证和控制的装配要求，就是两齿轮之间的啮合间隙。图中A、B、C、D为基准代号，T_i为公差代号，对应公差值见表3，D_i与L_i为零件尺寸，对应尺寸值见表4。

表3实施例中公差代号与对应公差值

表4实施例中尺寸代号与对应尺寸值

第一步，建立理想状况下的装配模型并计算装配间隙：

在图3、图4、图5中标出了装配体中与两齿轮之间的啮合间隙(即本例中的FR)相关的所有功能元素(FE)及虚拟的坐标系方位(X_i、Y_i，i＝0～7)。每个内部副和运动副所对应的特征，可在表1和表2中找到，从而得出内部副或运动副的微小位移向量行列式。

在尺寸链中，最终的装配误差由零件误差逐渐积累起来的，本例中尺寸链中的传递关系见图6：

P₁含一个内部副(FE₀，FE₁)；

P₂含两个内部副(FE₂，FE₃)、(FE₃，FE₄)；

P₃含两个内部副(FE₅，FE₆)、(FE₆，FE₇)；

P₁和P₂之间存在一个运动副(FE₁，FE₂)；

P₁和P₃之间存在一个运动副(FE₀，FE₅)；

需要保证的装配要求是FE₄与FE₇之间的啮合误差。

其中FE₄表示主动齿轮在啮合处的分度线，FE₇表示从动齿轮在啮合处的分度线，两者之间的误差就是要控制的装配误差。

整个装配体存在着两条公差传递关系：

公差传递一：FE₀-FE₁-FE₂-FE₃-FE₄

公差传递二：FE₀-FE₅-FE₆-FE₇

从而存在着以下两个雅可比旋量关系式：

${\left[\mathrm{FR}\right]}_{4/0}=\left[{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_1}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_2}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_3}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_4}\right]{\·\left[{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_1}{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_2}{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_3}{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_4}\right]}^T---\left(20\right)$

${\left[\mathrm{FR}\right]}_{7/0}=\left[{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_5}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_6}{\left[J\right]}_{{\mathrm{FE}}_7}\right]{\·\left[{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_5}{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_6}{\left[\mathrm{FE}\right]}_{{\mathrm{FE}}_7}\right]}^T---\left(21\right)$

利用理想情况下装配误差计算公式，上述两式计算结果：

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{\mathrm{\μ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\μ}}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\ω}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\γ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\γ}}]\end{array}\right]}_{4/0}=\left[\begin{array}{c}[-\mathrm{0.6195,0.5159}]\\ [-\mathrm{0.1095,0.1077}]\\ [-\mathrm{0.1060,0.1060}]\\ [0,0]\\ [-\mathrm{0.0021,0.0021}]\\ [-\mathrm{0.0021,0.0021}]\end{array}\right]---\left(22\right)$

${\left[\begin{array}{c}[\underset{\‾}{\mathrm{\μ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\μ}}]\\ [\underset{\‾}{v},\stackrel{\‾}{v}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\ω}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}]\\ [\underset{\‾}{\mathrm{\γ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\γ}}]\end{array}\right]}_{7/0}=\left[\begin{array}{c}[-\mathrm{0.3135,0.7135}]\\ [-\mathrm{0.0717,0.0689}]\\ [-\mathrm{0.0672,0.0672}]\\ [0,0]\\ [-\mathrm{0.0018,0.0018}]\\ [-\mathrm{0.0018,0.0018}]\end{array}\right]---\left(23\right)$

(22)、(23)两式表达了在无载荷情况下，在0坐标系中，P₂和P₃啮合处的分度线在六个自由度上的变动范围。比较两式，计算得理想状态下FE4与FE7之间的啮合误差为：

$\mathrm{FR}=\left[\begin{array}{c}[-\mathrm{0.8294,1.3294}]\\ [-\mathrm{0.1794,0.1784}]\\ [-\mathrm{0.1732,0.1732}]\\ \left[\mathrm{0,0}\right]\\ [-\mathrm{0.0039,0.0039}]\\ [-\mathrm{0.0039,0.0039}]\end{array}\right]---\left(24\right)$

向量行列式(24)表示在无载荷情况下，齿轮泵两齿轮之间的啮合误差。从式中可得在啮合处的分度线距离(即两齿轮中心距的误差范围)是[-0.179，0.178]；可以计算出，齿轮的轴线平行度误差Δf_x和Δf_y的变动范围分别是[-0.026，0.026]和[-0.026，0.026]。

第二步，建立实际工况下的装配模型并计算装配间隙：

具体的弯曲挠度可以通过力学计算或有限元仿真精确算出。由于轴线弯曲引起了(3)式中[R₀ ⁱ]、W_i ⁿ和[R_PTi]的变化，从而引起雅可比矩阵[J]的变化，[FE]也会产生相应的改变。于是无载荷状况下的雅克比算式(20)、(21)中各变量发生相应改变。

计算变化后的(20)、(21)两式，得：

${\left[\mathrm{FR}\right]}_{4/0}^{\′}=\left[\begin{array}{c}\left[\mathrm{0.1156,0.5171}\right]\\ [-\mathrm{0.1475,0.1365}]\\ [-\mathrm{0.1063,0.1063}]\\ \left[\mathrm{0,0}\right]\\ [-\mathrm{0.0021,0.0021}]\\ [-\mathrm{0.0021,0.0021}]\end{array}\right]---\left(25\right)$

${\left[\mathrm{FR}\right]}_{7/0}^{\′}=\left[\begin{array}{c}\left[\mathrm{0.3136,0.7144}\right]\\ [-\mathrm{0.0762,0.0786}]\\ [-\mathrm{0.0672,0.0672}]\\ \left[\mathrm{0,0}\right]\\ [-\mathrm{0.0018,0.0018}]\\ [-\mathrm{0.0018,0.0018}]\end{array}\right]---\left(26\right)$

(22)、(23)两式表示齿轮在啮合径向力的作用下，P₂和P₃啮合处分度线在六个自由度上的变动范围。比较两式，计算出在啮合力作用下的FE4和FE7之间的装配间隙为：

${\left[\mathrm{FR}\right]}^{\′}=\left[\begin{array}{c}[-\mathrm{0.8307,0.8300}]\\ [-\mathrm{0.2127,0.2261}]\\ [-\mathrm{0.1735,0.1735}]\\ \left[\mathrm{0,0}\right]\\ [-\mathrm{0.0039,0.0039}]\\ [-\mathrm{0.0039,0.0039}]\end{array}\right]---\left(27\right)$

对于式(27)需要作一定修正，因为整个计算是以变形后的装配体来计算[FR]的，所以最终结果需要将装配体零部件的变形量(θ₁和θ₂)考虑进式(14)中，因此修正后的式(27)为：

${\left[\mathrm{FR}\right]}^{\′}=\left[\begin{array}{c}[-\mathrm{0.8307,0.8300}]\\ [-\mathrm{0.2127,0.2261}]\\ [-\mathrm{0.1735,0.1735}]\\ \left[\mathrm{0,0}\right]\\ [-\mathrm{0.0039,0.0039}]\\ [-\mathrm{0.0353,0.0353}]\end{array}\right]---\left(28\right)$

向量行列式(28)表示在受载情况下，啮合处的分度线间距是[-0.212，0.226]；可以算出，两齿轮的轴线平行度误差Δf_x和Δf_y的变动范围分别是[-0.026，0.026]和[-0.564，0.564]。

第三步，理想情况与实际工况下的公差计算结果分析：

表5理想与实际情况下的装配误差比较

如表5，比较式(24)和(28)，可以看出由于啮合力的影响，装配间隙在Y向上的变动范围加大，即两齿轮的啮合间隙增大；同时两齿轮在Y向上的平行度误差Δf_y有显著增加，这对于齿轮泵运行的平稳性和寿命是不利的。

Claims (1)

1.一种基于雅克比旋量的实际工况公差建模方法，其特征在于具体步骤如下

(1)、建立理想状况下基于雅克比旋量的公差模型：[FR]＝[J][FE](1)；其中：

[FR]为与功能要求相关的小位移旋量，

式中：

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的下极限约束；

分别表示六个自由度上的上极限约束；

[J]为[FR]向量与相应的[FE]向量之间几何关系的雅克比矩阵，其中n表示公差传递链中功能要素的个数；

[FE]为与功能要素的微小变动相关的小位移旋量：

通过公差旋量计算、雅克比转化矩阵计算，求出雅克比旋量公差模型的基本数学表达式(7)；

式中：

u、v、w为沿X轴、Y轴、Z轴的平动旋量；

α、β、δ为绕X轴、Y轴、Z轴的转动旋量； 

u、v、w、α、β、δ分别表示六个自由度上的下极限约束；

分别表示六个自由度上的上极限约束；

[J₁J₂J₃J₄J₅J₆]_FEn为第n个功能要素对所对应的6×6雅克比矩阵；

为功能要求所对应的六个自由度极限约束；

为第n个功能要素所对应的六个自由度极限约束；

(2)、对雅克比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立基于雅克比旋量和实际工况的装配体公差数学模型式(19)；

式中：

[FR′]为实际工况影响下功能要求的微小变动相关的小位移旋量；

[J]_FEn′为实际工况下第n个功能要素位姿所对应的雅克比矩阵；

[FE_n′]为实际工况下第n功能要素的微小变动相关的小位移旋量；

(3)、通过计算装配体理想情况下与实际工况下的装配间隙并进行比较，对公差下的产品性能改变进行预测与判断；

其中：

步骤(1)中所述建立理想状况下基于雅克比旋量的公差模型过程如下：

①、辨别装配体各功能要素及其特征，建立装配体空间尺寸链，定义各功能要素坐标 系方位，同时设定参考坐标系方向；

②、根据第一步中所确定的功能要素坐标系方位，分别计算位置关系矩阵 

和旋转关系矩阵 

以及方向矢量矩阵[R_PTi]_3×3，得出表征[FR]矢量与[FE_i]矢量几何上位姿关系的雅克比矩阵；

其中：雅克比矩阵表示的是[FE]与[FR]之间的转换关系，其表达式如下：

式中：

为第i个坐标系相对于第0个坐标系的旋转关系矩阵， 

其中C_1i、C_2i和C_3i分别是轴x_i、y_i和z_i在0坐标系中的方向向量； 

为第0坐标系下第n坐标系原点相对于第i坐标系原点的位置关系矩阵，由矢量[d_n-d_i]组成矩阵，d_i指i坐标系的原点在0坐标系的位置矢量，d_n指n坐标系的原点在0坐标系的位置矢量；[R_PTi]_3×3为第i功能要素的参考坐标系在第i理想坐标系中的方向矢量矩阵，[R_PTi]＝[C₁C₂C₃]_PTi，其中C₁、C₂和C₃分别是公差分析的三个方向在i坐标系中的方向矢量；

③、根据旋量理论中针对单个零件内的形位公差即内部副和零件之间的装配公差即运动副所提出的基于特征的公差旋量表示方法，计算出理想小位移旋量{T}_Traditional，{T}_Traditional＝{D Ω}_Traditional，同时根据方向矢量矩阵[R_PTi]_3×3确定修正矩阵[R_PTi]^-1，结合两者得到符合公差分析需要的实际小位移旋量{T}_Projected，其中：D_projected＝[R_PT1]^-1D_Traditional，Ω_projected＝[R_PT1]^-1Ω_Traditional，{T}_Projected＝{D Ω}_Projected；

当具体求解某功能要素的实际小位移旋量表达式则记为

其中，

[T]为基于特征的功能要素的公差旋量，记为

D_Traditional为公差域在第i理想坐标系中的位置范围矢量；

Ω_Traditional为公差域在第i理想坐标系中的旋转范围矢量；

④、结合步骤②、步骤③中的变量求解得到雅克比旋量公差模型； 

对步骤(2)中雅克比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正的方法，具体步骤如下：

①、通过实际工况下组成要素位置关系矩阵 

旋转关系矩阵 

方向矢量矩阵[R_PTi]_3×3的变化 

[R_PTi′]_3×3，修正雅克比矩阵式(5)，得到实际工况下的雅克比矩阵：

其中，功能要素变化时[R₀ ⁱ]的变化为：

功能要素变化时[R_PTi]的变化为：

[R_PTi′]＝[R_PTi]·[C_xi]^-1·[C_yi]^-1·[C_zi]^-1(15)

式中：

[C_xi]为第i坐标系绕其x轴旋转Δα_i的转换矩阵

[C_yi]为第i坐标系绕其y轴旋转Δβ_i的转换矩阵

[C_zi]为第i坐标系绕其z轴旋转Δδ_i的转换矩阵

②求解出旋量矩阵的变化为：

式(17)为实际工况下第i功能要素所对应的旋量表达式，将式[R_PTi′]^-1＝[R_PTi]^-1·[C_xi]·[C_yi]·[C_zi]代入式(17)，得到： 

式中：

[FE_i′]为表示实际工况下第i功能要素的微小变动相关的小位移旋量；

[R_PTi′]为实际工况下第i功能要素的参考坐标系在第i理想坐标系中的方向矢量矩阵；

依据雅克比旋量理论的基本表达式式[FR]＝[J][FE](1)，得出实际工况的雅克比旋量理论表达式(19)为：

Images