CN101699453A - 含间隙机构运动副元素分离判断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含间隙机构运动副元素分离判断方法。该方法将机构中每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，两无间隙运动副中心之间用一个虚拟杆连接，通过无间隙运动副反力及其变化率来近似虚拟杆的角位移和角速度，虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去。如果在机构运动过程中发现虚拟杆所受拉力等于或小于零，则认为含间隙运动副元素发生了分离。本发明不需要近似虚拟杆的角加速度，提高了含间隙机构运动副元素分离判断的准确性；不需要含间隙运动副的刚度、阻尼等物理参数，能比较准确地判断运动副元素的分离情况；能够预测含间隙运动副连接的两构件在机构运动过程中的接触情况，从而预测含间隙机构的运动状态。

Description

含间隙机构运动副元素分离判断方法

技术领域

本发明涉及一种含间隙机构运动副元素分离判断方法。

背景技术

机构的运动副连接相邻的两个构件，使构件之间能够产生相对运动。这些运动副连接的两个构件装配时必然留有间隙，并且随着机器长时间的运转，运动副间隙有增大的趋势。运动副间隙的存在影响了机构运动精度，会引起运动副两元素在机构运动过程中发生分离，从而，产生冲击、碰撞与噪音，并进一步加剧运动副元素的磨损。因此，建立机构运动副分离判断准则，预测运动副连接的两构件在机构运动过程中是否会发生分离，是机构设计的重要技术问题。

判断运动副元素在机构运动过程中是否发生分离的直接方法是求解含间隙机构的动力学微分方程，通过运动副连接的两构件之间的相对位移或者接触力的数值进行判断。求解微分方程的计算量很大。因此，人们往往采用一些近似方法判断运动副元素的分离情况，例如，Earles于1975年在《Proceedings ofIFToMM Fourth World Congress》(Newcastle Upon Tyne，England，第1013-1018页)的论文“Predicting the occurrence of contact loss and impact at a bearing from azero-clearance analysis”中提出了用虚拟杆受力的大小与受力方向的比值作为运动分离的判据。Li于1991年和1992年在《Mechanism and Machine Theory》(26(7)：第669-676页和27(3)：第295-301页)的论文“Amendments to a criterion ofcontact loss between pairing elements in planar linkages with clearances”和“A newmethod of predicting the occurrence of contact loss between pairing elements inplanar linkages with clearances”中研究了含间隙平面连杆机构的运动副元素分离情况。这些方法在运动副元素的分离判断中，需要对虚拟杆的角加速度进行近似计算，即以无间隙机构运动副反力方向的二阶导数近似处理虚拟杆的角加速度。虚拟杆的角位移用无间隙机构运动副反力的方向来近似比较准确，而虚拟杆的角加速度以无间隙机构运动副反力方向的二阶导数近似则不够准确，会影响机构运动副元素分离判断的准确性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种含间隙机构运动副分离判断方法。这种方法不需要近似虚拟连杆的角加速度，因此可以提高判断的准确性。

本发明采用的技术方案的步骤如下：

(1)建立含间隙运动副的虚拟杆模型：每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，无间隙运动副中心之间用一个虚拟杆连接；

(2)求解相应无间隙机构的运动副反力及其变化率：将含间隙运动副的间隙忽略，则含间隙运动副组成的机构对应了一个理想的无间隙运动副组成的机构；对无间隙机构的每一个杆件i写出2个矢量动力学方程：

$m_i{\stackrel{\→}{a}}_{\mathrm{ci}}={\stackrel{\→}{F}}_i-{\stackrel{\→}{F}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{g}}_i$ (式1)

$J_{\mathrm{ci}}{\stackrel{\stackrel{\→}{\·}}{\mathrm{\ω}}}_i+{\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_i\×J_{\mathrm{ci}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_i={\stackrel{\→}{M}}_i-{\stackrel{\→}{M}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{ci}}\×{\stackrel{\→}{F}}_i-({\stackrel{\→}{l}}_i+{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{ci}})\×{\stackrel{\→}{F}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{n}}_i$ (式2)

其中，设无间隙机构中第i个运动副上连接了杆件i-1和杆件i，

和

分别表示杆件i-1对杆件i的约束反力和约束反力矩，m_i为杆件i的质量，

为杆件i的质心加速度，

为作用在杆件i的包括重力在内的主动力，

为从杆件i的质心到第i个运动副中心的位移矢量，

为从杆件i上第i个运动副中心到第i+1个运动副中心的位移矢量，J_ci为杆件i的转动惯量，为杆件i的角速度，

为杆件i的角加速度，

表示作用在杆件i的主动力矩，(式1)与(式2)中2个矢量动力学方程分别向世界坐标系的三个坐标轴投影得到6个方程，对于含有N个杆件的机构，联立6N个杆件动力学方程得到机构整体动力学方程组；

(3)用相应无间隙机构运动副的反力方向来近似虚拟杆的角位移：

若运动副类型为转动副，建立与虚拟杆固结的局部坐标系，坐标系的z轴与虚拟杆驱动关节的轴线重合，设

为无间隙机构中对应运动副的反力，则原点取为z轴与

的交点，x轴正方向为

在过原点且与z轴相垂直的平面上的投影，虚拟杆的角位移表达为无间隙运动副驱动元素所受反力

在局部坐标系xoy平面上的投影与局部坐标系x轴的夹角α，设从世界坐标系到虚拟杆局部坐标系的旋转变换矩阵为_l ^wR，则局部坐标系的x轴在世界坐标系中的矢量表示为

其坐标阵为

局部坐标系的z轴在世界坐标系中的矢量表示为

其坐标阵为 在局部坐标系xoy平面上的投影方向为

坐标阵为

其中：

$R_{\mathrm{xoy}}=\left[\begin{array}{ccc}R_{23}^2{}_l{}^w+R_{33}^2{}_l{}^w& -R_{13}^l{}_{w}R_{23}^l{}_w& -R_{13}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w\\ -R_{13}^l{}_{w}R_{23}^l{}_w& R_{13}^2{}_l{}^w+R_{33}^2{}_l{}^w& -R_{23}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w\\ -R_{13}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w& -R_{23}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w& R_{13}^2{}_l{}^w+R_{23}^2{}_l{}^w\end{array}\right]$

_l ^wR_ij是矩阵_l ^wR第i行第j列的元素，因此虚拟杆的角位移 $\mathrm{\α}=\arctan (\stackrel{\→}{F_{\mathrm{xoy}}^{*}}\·\stackrel{\→}{S_x},\stackrel{\→}{F_{\mathrm{xoy}}^{*}}\·(\stackrel{\→}{S_z}\×\stackrel{\→}{S_x}));$

若运动副类型为球副，建立与虚拟杆固结的局部坐标系，原点取虚拟杆驱动运动副的中心，z轴方向与

方向一致，x轴为过原点且与z轴相垂直任意一条矢量，虚拟杆的角位移满足方程：

$R_l^w\·\mathrm{Rot}(y,\mathrm{\β})\·\mathrm{Rot}(x,\mathrm{\α})\·{\left(\mathrm{0,0,1}\right)}^T\·\left|\right|\stackrel{\→}{F^{*}}\left|\right|=\stackrel{\→}{F^{*}}$ (式3)

其中Rot(x，α)和Rot(y，β)分别表示绕x轴旋转a角的旋转矩阵和绕y轴旋转β角的旋转矩阵，为无间隙机构相应的运动副反力的模；

(4)用无间隙机构运动副的反力方向的变化率来近似虚拟杆的角速度：

若运动副类型为转动副，通过求解虚拟杆角位移α关于t的全微分获得虚拟杆的角速度的近似表达

若运动副类型为球副，对(式3)求导获得虚拟杆的角速度

和

(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去，无需近似；为了求出联立(式1)、(式2)建立的6N个杆件动力学方程中的运动副反力，需要获得虚拟杆的角位移、角速度和角加速度；通过步骤(3)(4)无间隙机构运动副反力的变化情况能近似求解虚拟杆的角位移和角速度，但没有获得角加速度；因此对于含有C₁个含间隙转动副和C₂个含间隙球副的机构，需要补充C₁+2C₂个动力学方程；

若运动副类型为转动副，运动副反力

在与虚拟杆局部坐标系z轴相垂直的平面上的投影必须沿着虚拟杆方向，即补充动力学方程为

这个矩阵方程含有一个独立方程；

若运动副类型为球副，运动副反力必须沿着虚拟杆局部坐标系z轴，即补充动力学方程为

这个矩阵方程含有两个独立方程，因此通过补充C₁+2C₂个动力学方程消去虚拟杆的角加速度变量，从而解出各运动副反力；

(6)判断虚拟杆所受拉力是否等于或小于0：在运动副元素保持接触时，虚拟杆一直处于受拉状态，如果在机构运动过程中发现虚拟杆所受拉力等于或小于零，即对于含间隙转动副

对于含间隙球副

时，则认为运动副元素发生了分离，否则，含间隙运动副元素保持接触状态。

根据步骤(1)将机构中每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，两无间隙运动副中心间用一个虚拟杆连接。

根据步骤(3)与步骤(4)虚拟杆的角位移、角速度由无间隙机构运动副反力的方向及其变化率来近似，根据步骤(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去。

本发明具有的有益效果是：

(1)提出的运动副元素分离判断方法不需要近似虚拟杆的角加速度，提高了运动副元素分离判断的准确性；

(2)不需要含间隙运动副的刚度、阻尼等物理参数，能比较准确地判断运动副元素的分离情况；

(3)能够预测含间隙运动副连接的两构件在机构运动过程中的接触情况，从而预测含间隙机构的运动状态。

附图说明

图1是含间隙机构运动副元素分离判断的流程图。

图2是PRR机构示意图。

图3是含间隙转动副的虚拟杆模型示意图。

图4是PRR机构中第一转动副的副反力响应曲线。

图5是PRR机构中第二转动副的副反力响应曲线。

图中：1、移动副，2、第一杆件，3、第一转动副，4、第二杆件，5、第二转动副，6、第三杆件，7、虚拟杆。

具体实施方式

下面结合PRR机构对本发明作进一步说明。含间隙机构运动副元素分离判断的流程图见图1所示，包括以下关键步骤：

(1)建立含间隙运动副的虚拟杆模型；

(2)求解无间隙机构的运动副反力及其变化率；

(3)用无间隙机构运动副的反力方向来近似虚拟杆的角位移；

(4)用无间隙机构运动副的反力方向的变化率来近似虚拟杆的角速度；

(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去，无需近似；

(6)判断虚拟杆所受拉力是否大于0。对于含间隙转动副

对于含间隙球副

时，则认为运动副元素发生了分离；否则，含间隙运动副元素保持接触状态。

以图2所示的PRR串联机构为例，设该机构每个运动副都是主动运动副、第一转动副3与第二转动副5含有间隙。PRR机构属于平面机构，因此在统一的世界坐标系中描述机构的动力学行为比较方便。如图2建立世界坐标系，X_O轴水平向右，Y_O轴竖直向下。

(1)为PRR机构中的第一转动副3与第二转动副5建立含间隙运动副的虚拟杆模型。每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，如果运动副类型是转动副，则该含间隙运动副转变为两个无间隙转动副；如果运动副类型是球副，则该含间隙运动副转变为两个无间隙球副，两无间隙运动副中心之间用一个虚拟杆连接。以第一转动副3为例，图3所示为第一转动副3的虚拟杆模型(为了表达清楚起见，第一转动副3的间隙放大了)，第一杆件2与第二杆件4连接的第一转动副3转化为两个无间隙的转动副，分别是第一杆件2与虚拟杆7连接的转动副O_a，第二杆件4与虚拟杆7连接的转动副O_p。

(2)求解无间隙机构的运动副反力及其变化率。

两个含间隙转动副的反力为

$F_{C1x}^{*}=m_2{\stackrel{\·\·}{s}}_{2x}^{*}+m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3x}^{*}$

$F_{C1y}^{*}=m_2{\stackrel{\·\·}{s}}_{2y}^{*}+m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3y}^{*}-m_{2}g-m_{3}g$

$F_{C2x}^{*}=m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3x}^{*}$

$F_{C2y}^{*}=m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3y}^{*}-m_{3}g$

其中，F_C1x ^*、F_C1y ^*和F_C2x ^*、F_C2y ^*分别为第一转动副3副反力和第二转动副5副反力在世界坐标系x轴、y轴方向的分量，m₂、m₃为第二杆件4和第三杆件6的质量，

和

分别为第二杆件4和第三杆件6的质心加速度在世界坐标系x轴、y轴方向的分量，g为重力加速度。

运动学位置分析

θ₂＝90°+q₂

θ₃＝θ₂+q₃

$s_{2x}^{*}=l_{2c}\cos {\mathrm{\θ}}_2$

$s_{2y}^{*}=q_1+l_{2c}\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$s_{3x}^{*}=l_2\cos {\mathrm{\θ}}_2+l_{3c}\cos {\mathrm{\θ}}_3$

$s_{3y}^{*}=q_1+l_2\sin {\mathrm{\θ}}_2+l_{3c}\sin {\mathrm{\θ}}_3$

其中，q₁为移动副1的位移量，q₂和q₃为在运动副局部坐标系中描述的第一转动副3和第二转动副5的转角，θ₂和θ₃为在世界坐标系中描述的第一转动副3和第二转动副5的转角，l₂和l₃为第二杆件4和第三杆件6的长度，l_2c和l_3c为第二杆件4和第三杆件6的质心到驱动运动副的长度，s_2x ^*、s_2y ^*和s_3x ^*、s_3y ^*分别为第二杆件4和第三杆件6的质心位移在世界坐标系x轴、y轴方向的分量。把连杆质心位置关系式对时间一阶求导可以获得速度关系，对时间二阶求导可以获得加速度关系。

运动副反力的变化率通过F_C1x ^*、F_C1y ^*和F_C2x ^*、F_C2y ^*对时间一阶求导获得。

(3)用无间隙机构运动副的反力方向来近似虚拟杆的角位移。

α_C1和α_C2是在世界坐标系中描述的两个第一转动副3和第二转动副5中虚拟杆的角位移

${\mathrm{\α}}_{C1}=\arctan (-F_{C1x}^{*},-F_{C1y}^{*})$

${\mathrm{\α}}_{C2}=\arctan (-F_{C2x}^{*},-F_{C2y}^{*})$

(4)用无间隙机构运动副的反力方向的变化率来近似虚拟杆的角速度。

虚拟杆的角位移

和

通过α_C1和α_C2对时间一阶求导获得。

(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去，无需近似。

类似于无间隙机构运动副反力的求解方法，进行含间隙机构的动力学分析：

$F_{C1x}=m_2{\stackrel{\·\·}{s}}_{2x}+m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3x}$

$F_{C1y}=m_2{\stackrel{\·\·}{s}}_{2y}+m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3y}-m_{2}g-m_{3}g$

$F_{C2x}=m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3x}$

$F_{C2y}=m_3{\stackrel{\·\·}{s}}_{3y}-m_{3}g$

运动学位置分析

s_2x＝l_2c cosθ₂+L_C1 cosα_C1

s_2y＝q₁+l_2c sinθ₂+L_C1 sinα_C1

s_3x＝l₂ cosθ₂+l_3c cosθ₃+L_C1 cosα_C1+L_C2 cosα_C2

s_3y＝q₁+l₂ sinθ₂+l_3c sinθ₃+L_C1 sinα_C1+L_C2 sinα_C2

其中，L_C1和L_C2是两个含间隙转动副中虚拟杆的长度(即运动副间隙量)，α_C1和α_C2是在世界坐标系中描述的两个含间隙转动副中虚拟杆的姿态

${\mathrm{\α}}_{C1}=\arctan (-F_{C1x}^{*},-F_{C1y}^{*})$

${\mathrm{\α}}_{C2}=\arctan (-F_{C2x}^{*},-F_{C2y}^{*})$

需要注意的是，通过连杆质心位置关系式对时间二阶求导获得加速度关系时，需要用到虚拟杆方向角的速度

和

以及加速度

和

。其中

和

通过α_C1和α_C2对时间一阶求导获得，但和

并非通过二阶求导获得，而是通过两个补充的动力学方程消去

和

，从而获得连杆的质心加速度。这两个补充的动力学方程为：

$F_{C1x}{F}_{C1y}^{*}-F_{C1y}{F}_{C1x}^{*}=0$

$F_{C2x}{F}_{C2y}^{*}-F_{C2y}{F}_{C2x}^{*}=0$

(6)判断虚拟杆所受拉力是否大于0。

含间隙运动副反力的模为：

G_C1＝F_C1x cos(α_C1+180°)+F_C1y sin(α_C1+180°)

G_C2＝F_C2x cos(α_C2+180°)+F_C2y sin(α_C2+180°)

将表1中的机构参数代入，可以获得各间隙运动副反力模，表中，q_1o为移动副1的初始位移量，q_2o为第一转动副3的初始转动角度，q_3o为第二转动副5的初始转动角度，q_1e为移动副1的终止位移量，q_2e为第一转动副3的终止转动角度，q_3e为第二转动副5的终止转动角度。PRR机构中第一转动副3的副反力响应曲线如图4所示(图中横坐标t表示时间，纵坐标G_C1表示副反力的模)，第二转动副5的副反力响应曲线如图5所示(图中横坐标t表示时间，纵坐标G_C2表示副反力的模)。在图5中可以看出，当时间t＝0.05s时，第二转动副5的副反力的模等于0，说明此时运动副元素发生了分离。

表1PRR机构的动力学参数

l2	0.8m	m2	12kg	q3o	0
						l2c	0.4m	m3	6kg	q1e	0.8m
l3c	0.2m	g	9.8N/s2	q2e	30°
						LC1	0.00001m	q1o	0.2m	q3e	-150°
LC2	0.00001m	q2o	0

Claims (3)

1.一种含间隙机构运动副元素分离判断方法，其特征在于该方法的步骤如下：

(1)建立含间隙运动副的虚拟杆模型：每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，无间隙运动副中心之间用一个虚拟杆连接；

(2)求解相应无间隙机构的运动副反力及其变化率：将含间隙运动副的间隙忽略，则含间隙运动副组成的机构对应了一个理想的无间隙运动副组成的机构；对无间隙机构的每一个杆件i写出2个矢量动力学方程：

$m_i{\stackrel{\→}{a}}_{\mathrm{ci}}={\stackrel{\→}{F}}_i-{\stackrel{\→}{F}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{g}}_i$ (式1)

$J_{\mathrm{ci}}{\stackrel{\stackrel{\→}{\·}}{\mathrm{\ω}}}_i+{\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_i\×J_{\mathrm{ci}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_i={\stackrel{\→}{M}}_i-{\stackrel{\→}{M}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{ci}}\×{\stackrel{\→}{F}}_i-({\stackrel{\→}{l}}_i+{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{ci}})\×{\stackrel{\→}{F}}_{i+1}+{\stackrel{\→}{n}}_i$ (式2)

其中，设无间隙机构中第i个运动副上连接了杆件i-1和杆件i，

和

分别表示杆件i-1对杆件i的约束反力和约束反力矩，m_i为杆件i的质量，

为杆件i的质心加速度，

为作用在杆件i的包括重力在内的主动力，

为从杆件i的质心到第i个运动副中心的位移矢量，

为从杆件i上第i个运动副中心到第i+1个运动副中心的位移矢量，J_ci为杆件i的转动惯量，

为杆件i的角速度，为杆件i的角加速度，

表示作用在杆件i的主动力矩，(式1)与(式2)中2个矢量动力学方程分别向世界坐标系的三个坐标轴投影得到6个方程，对于含有N个杆件的机构，联立6N个杆件动力学方程得到机构整体动力学方程组；

(3)用相应无间隙机构运动副的反力方向来近似虚拟杆的角位移：

若运动副类型为转动副，建立与虚拟杆固结的局部坐标系，坐标系的z轴与虚拟杆驱动关节的轴线重合，设

为无间隙机构中对应运动副的反力，则原点取为z轴与

的交点，x轴正方向为

在过原点且与z轴相垂直的平面上的投影，虚拟杆的角位移表达为无间隙运动副驱动元素所受反力在局部坐标系xoy平面上的投影与局部坐标系x轴的夹角α，设从世界坐标系到虚拟杆局部坐标系的旋转变换矩阵为_l ^wR，则局部坐标系的x轴在世界坐标系中的矢量表示为

其坐标阵为

局部坐标系的z轴在世界坐标系中的矢量表示为

其坐标阵为

在局部坐标系xoy平面上的投影方向为

坐标阵为

其中：

$R_{\mathrm{xoy}}=\left[\begin{array}{ccc}R_{23}^2{}_l{}^w+R_{33}^2{}_l{}^w& -R_{13}^l{}_{w}R_{23}^l{}_w& -R_{13}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w\\ -R_{13}^l{}_{w}R_{23}^l{}_w& R_{13}^2{}_l{}^w+R_{33}^2{}_l{}^w& -R_{23}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w\\ -R_{13}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w& -R_{23}^l{}_{w}R_{33}^l{}_w& R_{13}^2{}_l{}^w+R_{23}^2{}_l{}^w\end{array}\right]$

_l ^wR_ij是矩阵_l ^wR第i行第j列的元素，因此虚拟杆的角位移

$\mathrm{\α}=\arctan (\stackrel{\→}{F_{\mathrm{xoy}}^{*}}\·\stackrel{\→}{S_x},\stackrel{\→}{F_{\mathrm{xoy}}^{*}}\·(\stackrel{\→}{S_z}\×\stackrel{\→}{S_x}));$

若运动副类型为球副，建立与虚拟杆固结的局部坐标系，原点取虚拟杆驱动运动副的中心，z轴方向与

方向一致，x轴为过原点且与z轴相垂直任意一条矢量，虚拟杆的角位移满足方程：

$R_l^w\·\mathrm{Rot}(y,\mathrm{\β})\·\mathrm{Rot}(x,\mathrm{\α})\·{\left(\mathrm{0,0,1}\right)}^T\·\left|\right|\stackrel{\→}{F^{*}}\left|\right|=\stackrel{\→}{F^{*}}$ (式3)

其中Rot(x，α)和Rot(y，β)分别表示绕x轴旋转α角的旋转矩阵和绕y轴旋转β角的旋转矩阵，

为无间隙机构相应的运动副反力的模；

(4)用无间隙机构运动副的反力方向的变化率来近似虚拟杆的角速度：

若运动副类型为转动副，通过求解虚拟杆角位移α关于t的全微分获得虚拟杆的角速度的近似表达

若运动副类型为球副，对(式3)求导获得虚拟杆的角速度

和

(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去，无需近似；为了求出联立(式1)、(式2)建立的6N个杆件动力学方程中的运动副反力，需要获得虚拟杆的角位移、角速度和角加速度；通过步骤(3)(4)无间隙机构运动副反力的变化情况能近似求解虚拟杆的角位移和角速度，但没有获得角加速度；因此对于含有C₁个含间隙转动副和C₂个含间隙球副的机构，需要补充C₁+2C₂个动力学方程；

若运动副类型为转动副，运动副反力在与虚拟杆局部坐标系z轴相垂直的平面上的投影必须沿着虚拟杆方向，即补充动力学方程为

这个矩阵方程含有一个独立方程；

若运动副类型为球副，运动副反力

必须沿着虚拟杆局部坐标系z轴，即补充动力学方程为

这个矩阵方程含有两个独立方程，因此通过补充C₁+2C₂个动力学方程消去虚拟杆的角加速度变量，从而解出各运动副反力；

(6)判断虚拟杆所受拉力是否等于或小于0：在运动副元素保持接触时，虚拟杆一直处于受拉状态，如果在机构运动过程中发现虚拟杆所受拉力等于或小于零，即对于含间隙转动副

对于含间隙球副

时，则认为运动副元素发生了分离，否则，含间隙运动副元素保持接触状态。

2.根据权利要求1所述的一种含间隙机构运动副元素分离判断方法，其特征在于：根据步骤(1)将机构中每个含间隙运动副转变为两个相同类型的无间隙运动副，两无间隙运动副中心间用一个虚拟杆连接。

3.根据权利要求1所述的一种含间隙机构运动副元素分离判断方法，其特征在于：根据步骤(3)与步骤(4)虚拟杆的角位移、角速度由无间隙机构运动副反力的方向及其变化率来近似，根据步骤(5)虚拟杆的角加速度由补充的动力学方程消去。

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