CN101682309A - Mems谐振器 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种MEMS压阻式谐振器(8，78)，以比基本本征模(31)更高阶的高阶本征模(32)来驱动该MEMS压阻式谐振器(8，78)。例如，通过使感测电流(22)的流动路线位于高阶本征模(32)的最大位移(50)的点处，或位于高阶本征模(32)的位移的距离(x)的最大变化率的点处，来与高阶本征模(32)的特性相关地布置感测电流(22)的流动路线。可以通过制造具有槽(15)的MEMS压阻式谐振器(8，78)来布置感测电流(22)的流动路线，所述槽(15)在MEMS压阻式谐振器(8，78)的两个梁(11，12)之间形成，所述槽(15)的端部位于上述位置处。

Description

MEMS谐振器

技术领域

本发明涉及MEMS谐振器，更具体地，涉及压阻式谐振器以及对该压阻式谐振器的驱动。

背景技术

微型机电系统(MEMS)是已知的。MEMS谐振器是由例如掺杂硅形成的，并且在诸如移动电话等可调振荡器的应用中被认为是石英晶体振荡器的可能替换。

一种特定类型的MEMS谐振器是MEMS压阻式谐振器。MEMS压阻式谐振器是纵模谐振器，该纵模谐振器的激励是通过静电驱动感生的，并且通过对形成该谐振器的掺杂材料(典型地，硅)的压阻式效应进行感测来执行对该纵模谐振器的感测。在WO 2004/053431中描述了这种MEMS压阻式谐振器，其全部内容并入在此作为参考。

MEMS谐振器的工作方式通常被认为与集中质量块和无质量弹簧(massless spring)的工作方式相对应。

传统地，MEMS压阻式谐振器以它们的基本本征模来操作。该基本本征模在仅考虑纵向振动(即，在驱动的方向上)而不弯曲时提供基本谐振频率f₀。这与对上述MEMS谐振器工作方式的考虑的传统理解有关，因为包括集中质量块和无质量弹簧在内的谐振器仅具有一个谐振频率：基本谐振频率f₀。

发明内容

本发明的发明人认识到，具体MEMS压阻式谐振器的操作中所涉及的物理效应使得能够使用高阶本征模，即，在比发生基本本征模的频率更高的频率下发生的附加本征模。这样的高阶本征模可以被认为或称作高次谐波。本发明的发明人还认识到，对高阶本征模的特性的分析使得可以通过关于该高阶本征模的特性来确定或指定MEMS压阻式谐振器的各种设计特征，以实现惊人的性能增益。

在第一方面，本发明提供了一种操作MEMS压阻式谐振器的方法；该方法包括以比基本本征模更高阶的高阶本征模来驱动MEMS压阻式谐振器。

该方法还可以包括：与高阶本征模的特性相关地布置感测电流的流动路线。

可以通过使感测电流的流动路线位于高阶本征模的最大位移的点处，来与高阶本征模的特性相关地布置感测电流的流动路线。

可以通过使感测电流的流动路线位于高阶本征模的位移的距离的最大变化率的点处，来与高阶本征模的特性相关地布置感测电流的流动路线。

可以通过将MEMS压阻式谐振器的槽的端点定位在与高阶本征模的特性相关地确定的位置处，来布置感测电流的流动路线，所述槽在MEMS压阻式谐振器的两个梁之间形成。

在另一方面，本发明提供了一种制造MEMS压阻式谐振器的方法；该方法包括：制造MEMS压阻式谐振器，使得与MEMS压阻式谐振器的高阶本征模的特性相关地布置操作中的感测电流的流动路线，所述MEMS压阻式谐振器的高阶本征模比所述MEMS压阻式谐振器的基本本征模更高阶。

可以通过使感测电流的流动路线位于高阶本征模的最大位移的点处，来与高阶本征模的特性相关地布置感测电流的流动路线。

可以通过使感测电流的流动路线位于高阶本征模的位移的距离最大变化率的点处，来与高阶本征模的特性相关地布置感测电流的流动路线。

可以通过制造具有槽的MEMS压阻式谐振器来布置感测电流的流动路线，所述槽在MEMS压阻式谐振器的两个梁之间形成，所述槽的端部位于与高阶本征模的特性相关地确定的位置处。

在另一方面，本发明提供了一种MEMS压阻式谐振器，包括在两个梁之间形成的槽，所述槽的端部位于MEMS压阻式谐振器的高阶本征模的最大位移的位置处，或位于MEMS压阻式谐振器的高阶本征模的位移的距离最大变化率的位置处。

所述MEMS压阻式谐振器还可以包括比两个梁的总覆盖区的宽度更宽的头部，所述槽的端部位于沿着梁、在梁达到头部之前点处，。

在另一方面，本发明提供了一种MEMS压阻式谐振器系统；所述系统包括：MEMS压阻式谐振器；以及用于所述MEMS压阻式谐振器的驱动器压阻式，被布置为以比基本本征模的频率更高的MEMS的高阶本征模来驱动MEMS压阻式谐振器。

附图说明

现在将参考附图以示例的方式来描述本发明的实施例，附图中：

图1是MEMS压阻式谐振器的示意性三维图示(未按比例示出)；

图2是MEMS压阻式谐振器的示意性图示(未按比例示出)，其中标注了MEMS压阻式谐振器的特定部分的尺寸；

图3是三个本征模；

图4示出了谐振器的几何特性(未按比例示出)；

图5示出了四个归一化本征函数的曲线图；

图6示出了方程的表示，其中第一曲线示出了方程的左侧，第二曲线示出了方程的右侧；以及

图7示出了另外的MEMS压阻式谐振器(未按比例示出)。

具体实施方式

图1是本发明第一实施例的MEMS压阻式谐振器8的示意性的三维图示(未按比例示出)。MEMS压阻式谐振器8是纵模硅谐振器。MEMS压阻式谐振器8是由掺杂硅制成的。在该实施例中，MEMS压阻式谐振器8包括第一锚点9和第二锚点10。锚点9、10将MEMS压阻式谐振器8的另外独立结构连接至基板(未示出)。MEMS压阻式谐振器8还包括四个梁(也称作弹簧)，即，第一梁11、第二梁12、第三梁13以及第四梁14。MEMS压阻式谐振器8还包括两个头部(也称作谐振器质量块或简称质量块)，即，第一头部16和第二头部17。如下所述，每个梁附着至锚点中的一个和头部中的一个，并在该锚点与该头部之间延伸。第一梁11附着至第一锚点9和第一头部16，并在第一锚点9和第一头部16之间延伸。第二梁12附着至第二锚点10和第一头部16，并在第二锚点10与第一头部16之间延伸。第三梁13附着至第一锚点9和第二头部17，并在第一锚9点与第二头部17之间延伸。第四梁4附着至第二锚点10和第二头部17，并在第二锚点10与第二头部17之间延伸。在该实施例中，所有的梁都是直的或至少实质上是直的，并且平行。此外，在该实施例中，第一和第二梁11、12与第三和第四梁13、14(相对于锚点9、10)是对称的或至少实质上是对称的。MEMS压阻式谐振器8的上述形状还可以称为所谓的“狗骨(dogbone)”形状。

梁和头部一起在它们之间形成了下文中应称作槽15的空间。

MEMS压阻式谐振器8还包括两个驱动电极，即，第一电极18和第二电极19。第一电极18位于第一头部16的距离梁最远的一端，在第一电极18和第一头部16的该端部之间有第一间隙20。第二电极19位于第二头部17的距离梁最远的一端，在第二电极19和第二头部17的该端部之间有第二间隙21。

在操作中，通过静电驱动来感生谐振器的激励，并且利用掺杂硅的梁的压阻式效应来进行感测。更详细地，向电极18、19施加AC电压和DC电压，以驱动谐振器结构进入谐振。如图1所示，经由锚点9、10点通过形成谐振器臂的梁11、12、13、14来发送感测电流22。由于掺杂硅的压阻式效应，可以通过测量梁11、12、13、14的电阻变化来检测梁的振动。典型地，在反馈电路中驱动MEMS压阻式谐振器8，以便提供振荡器，该反馈电路包括与MEMS压阻式谐振器8并联的放大器。

从图1可以看出，在本实施例中，槽15在沿着梁到相应头部的路径的一部分上延伸，而不是在整个路径上延伸。槽延伸的程度确定了感测电流22在沿着MEMS压阻式谐振器8长度的哪个点处流过MEMS压阻式谐振器8。如以下将参考图2和3更详细描述的，与驱动MEMS压阻式谐振器8的高阶本征模的特性相关地，来选择槽15延伸到的位置以及从而选择在沿着MEMS压阻式谐振器8长度感测电流22流过MEMS压阻式谐振器8的点。

图2是MEMS压阻式谐振器8的示意性图示(未按比例示出)，其中标注了该MEMS压阻式谐振器8的特定部分的尺寸。为了简单，在图2中仅示出了位于锚点9、10一侧的结构。具体地，图2示出了第一锚点9、第二锚点10、第一梁11、第二梁12、以及第一头部16。还示意性地示出了感测电流22的近似路线，具体地，示出了感测电流22在槽15的末端穿过MEMS压阻式谐振器8所用的近似路线(在图2中由参考数字22’来示出)。

标记了以下尺寸。W指示梁11、12、13、14的宽度。L指示锚点9、10与头部16、17之间的距离，从而是在槽15沿着(从锚点开始)到头部的整个路径延伸的情况下槽15的长度。R指示从锚点9、10到槽15末端的距离。由“a”来指示头部16、17的长度。由“b”来指示头部16、17的宽度。变量“x”指示沿着头部的方向与锚点的距离。

在本实施例中，MEMS压阻式谐振器8的上述尺寸具有以下值：

L：17.75μm；

w：5μm；

a：8.9μm；

b：20μm；

R：8.9μm。

槽15的宽度，即，梁之间的间隔是1μm。MEMS压阻式谐振器8的材料的厚度是1.5μm，该材料是硅(在绝缘体上)。形成MEMS压阻式谐振器8的硅的相关材料特性是181GPa的杨氏模量和2329kg/m³的密度。

上述MEMS压阻式谐振器8的基本本征模的频率是56.5MHz。然而，在本实施例中，MEMS压阻式谐振器8并不以其基本本征模进行操作，而是以高阶本征模(高次谐波)进行操作，具体地，以其二阶本征模进行操作，该二阶本征模在上述MEMS压阻式谐振器8的情况下出现在211.14MHz的频率处。在振荡器中，以所需频率来驱动MEMS压阻式谐振器8，该所需频率是以任何适合的方式(例如，如振荡器电路设计领域的技术人员所惯用的，通过适当地选择反馈放大器的特性)来确定的所选更高本征模的频率。现在将给出这种高阶本征模(谐波)驱动的概述，以及具体上述尺寸的选择与此的相互关系，包括参考图3。稍后以下，将参考图4至6来描述支持该概述的背景考虑和分析。

MEMS压阻式谐振器8所提供的谐振器可以被认为是具有变化的截面面积A(x)的箝位杆。对于该杆，可以计算压缩(与弯曲相对)本征频率。找到与该系统的边界条件相匹配的驻波。这些振动的其他名称是体声波或驻压波。在固体材料的情况下，这些振动与谐振器的纵向本征振动相同。使用一维连续模型(其中仅使用设计长度和材料特性)，可以在分析上找到本征频率和相应的振形。

图3针对MEMS压阻式谐振器8示出了利用用于计算固体中的驻波的一维模型导出的三个本征模u(x)，在这种情况下，两部分具有不同的截面面积。由参考数字31来指示一阶本征模，即，在基本频率f₀处的本征模；由参考数字32来指示二阶本征模，即，二次谐波；以及由参考数字33来指示三阶本征模，即，三次谐波。

在图3中，水平轴是距离x，垂直轴是“u(x)”，“u(x)”表示位置x处谐振器的归一化位移。

一阶本征模31，即，在基本频率f₀处的本征模，出现在频率56.5MHz处。二阶本征模32，即，二次谐波，出现在频率211.14MHz处；以及三阶本征模33，即，三次谐波，出现在频率365.55MHz处。

在大约x＝17.75μm处的垂直线38指示梁与头部之间的界面，与之前参考图2描述的L＝17.75μm这一事实相对应，这实际上提供了弹簧部分40和质量块部分42。

类似于质量块-弹簧模型，基本模31在弹簧部分40中描述了线性倾斜的u(x)以及在质量块部分42中描述了更平坦的u(x)。MEMS压阻式谐振器8的材料的应力是根据位移而得出的，即，应力＝du/dx。无质量弹簧将随着整个弹簧上的恒定应力而伸展。典型的驻波可以是非恒定应力。

高阶本征模，即，谐波，示出了在弹簧部分40和在质量块部分42中都会出现的交替的压缩和伸展。针对任何给定的本征模的u(x)的空间周期在弹簧部分40中与在质量块部分42中是相同的，这是由于材料以及从而材料特性在弹簧部分40与在质量块部分42中是相同的。然而，任何给定本征模的u(x)幅度在弹簧部分40中与在质量块部分42中相比是不同的。发明人相信这可以由以下构思来解释：实际上越重的质量块部分42“摆起(swing up)”越轻的弹簧部分40。发明人还相信，不同的本征模实际上各自对弹簧部分40和头部分42中的谐波变形能量进行平衡。

发明人已在改进MEMS压阻式谐振器8的操作的潜力方面考虑了不同的本征模。具体地，发明人考虑了如下图3中箭头所示的不同特定位移：对于基本模式31，在头部的远端处的位移44近似等于在梁与头部的界面处的位移46(是梁中的最大位移)；然而，对于二阶本征模32，即，二次谐波，在头部的远端处的位移48近似等于基本模31在头部的远端处的位移44，然而梁中的最大位移是x＝8.9μm处的位移50，该位移50比头部的远端处的位移48大得多。换言之，与基本模31相比，二阶本征模32(即，二次谐波)的弹簧部分40中的最大位移更大。

这种增大的位移用于提高的性能，具体地，提高的增益。具体地，在本实施例中，这是通过以下方式来实现的：将槽15的长度指定为适于出现最大位移50的x位置，使得感测电流22在该位置通过MEMS压阻式谐振器8，以及在二阶本征模32(即，二次谐波)的频率＝211.14MHz处执行电阻读出。

更进一步地，可以考虑位移(相对于x)的斜率，而不是仅考虑位移(包括最大位移)。以下在包括“直MEMS压阻式谐振器”在内的另外的实施例的描述之后，立即给出这种可能性的其他细节压阻式。

上述第一实施例仅是可以使用的MEMS压阻式谐振器8形状和尺寸、本征模的选择、槽的位置等的一个示例。本领域技术人员将认识到，通过考虑和分析MEMS压阻式谐振器8的不同形状以及执行轨迹或建模预测以使得可以评估不同的高阶本征模和/或不同的槽长度等等的使用，可以实现广泛的其他特定实施例。

现在将参考图4至6来描述其他背景考虑和分析。从以下理论角度来考虑的MEMS压阻式谐振器的尺寸等的精确细节不一定与上述实施例的MEMS压阻式谐振器8的尺寸等的精确细节相同；然而所提供的原理和认识可应用于从以下理论角度考虑的MEMS压阻式谐振器的尺寸。

力平衡

为了计算在狗骨谐振器中将出现稳定驻压力波的频率，将谐振器建模为具有变化的截面的杆。截面面积A(x)使得杆的每米质量m(x)和刚度EA(x)都是不连续函数。可以将杆建模成两个连接的杆，这两个杆在两个外端都具有条件，并且这两个杆的界面处也具有条件。首先，导出表示任何杆中驻波的一般微分方程。

在谐振处，周期性地移动材料的每个单个部分，其中位移U(x，t)可以表示为

U(x，t)＝u(x)g(t)，其中g(t)＝cos(ωt)                (1)

一般位移剖面将产生应力

$\mathrm{\ϵ}(x,t)=\frac{\∂U}{\∂x}---\left(2\right)$

使得在任何截面处的力为

F(x，t)＝EA(x)ε(x，t)                        (3)

其中E是弹性的杨氏模量，作用在表面上。在位置x₂和x₁处切割杆，从而产生作用于从x₁到x₂的隔离的质量块上的合力。根据

$F_2-F_1=\mathrm{EA}\left(x\right)\frac{\∂U}{\∂x}|\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\∫}}\frac{\∂}{\∂x}[\mathrm{EA}\left(x\right)\frac{\∂U}{\∂x}]\mathrm{dx}---\left(4\right)$

可以看出，“两个表面处的力”可以被看作是其动因的导数的积分结果。当完成力平衡时证明这是有用的。

根据F_res＝ma，合力将加速一块质量块，其中m是质量，a是加速度。对于振动的杆中隔离的材料片，在x₁与x₂之间，将质量和加速度定义为以下积分

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\∫}}\mathrm{\ρA}\left(x\right)\frac{{\∂}^{2}U}{\∂t^2}\mathrm{dx}---\left(5\right)$

其中，使用材料密度ρ。表达式(4)和(5)必须平衡，产生

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\∫}}\frac{\∂}{\∂x}\left[\mathrm{EA}\left(x\right)\frac{\∂U}{\∂x}\right]\mathrm{dx}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\∫}}\mathrm{\ρA}\left(x\right)\frac{{\∂}^{2}U}{\∂t^2}\mathrm{dx}---\left(6\right)$

应当针对谐振中的杆的任何部分来保持该平衡，因此可以丢弃积分限以得出

$\frac{\∂}{\∂x}\left[\mathrm{EA}\left(x\right)\frac{\∂U}{\∂x}\right]=\mathrm{\ρA}\left(x\right)\frac{{\∂}^{2}U}{\∂t^2}---\left(7\right)$

在方程(7)上可以执行变量t和x的分离。通过使用U＝u(x)g(x)以及通过注意到A(x)不是常量，使得可以应用乘法定则，可以写成(通过以“’”来表示x的导数，以

来表示t的导数)

$E[A^{\′}{u}^{\′}g+A{u}^{\′\′}g]=\mathrm{\ρAu}\stackrel{\·\·}{g}$

$=\mathrm{\ρAu}(-{\mathrm{\ω}}^2)g---\left(8\right)$

因为当g＝cos(ωt)时， $\stackrel{\·\·}{g}=-{\mathrm{\ω}}^2\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)---\left(9\right)$

将方程(8)的两边除以g，得到

E[Au′]′＝-ω²ρAu                            (10)

其中ω仍然是未知的。

边界条件

将驻波或具有变化截面的杆的轴向振动的一般公式写成

$E\frac{d}{\mathrm{dx}}\left[A\left(x\right)\frac{\mathrm{du}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}\right]=-{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\ρA}\left(x\right)u\left(x\right)---\left(11\right)$

根据该公式，可以找到本征频率ω和相应的模态形状u(x)。该二阶微分方程对于杆的整体成立，对于杆的部分也成立。参见图1，由于A(x)的不连续，将要寻找的函数u(x)定义为

图4示出了理论研究的谐振器的几何特性(未按比例示出)。随后在以下表1中列出了图4所示各个参数的典型值。

两个二阶方程需要四个边界条件，然而由于ω也是未知的，所以需要五个边界条件。将这些条件概括为：

u₁(0)＝0                因为该端是固定的

$\frac{d{u}_2\left(x\right)}{\mathrm{dx}}{|}_{x=(L+a)}=0$ 自由端必须是应力无应力的

u₁(L)＝u₂(L)            针对连续性(13)

u₂(L+a)＝1            或另一缩放性质

$A_1\frac{d{u}_1\left(x\right)}{\mathrm{dx}}{|}_{x=L}=A_2\frac{d{u}_2\left(x\right)}{\mathrm{dx}}{|}_{x=L}$ 以便是可微的

最后两个边界条件遵循以下事实：对于整个杆，方程两边必须都是连续的并且可微的。所提到的缩放性质基于以下事实：如果u是解，则2u或3u也是解。为了找到所有已找到的模的正确的相对幅度(存在满足该方程的无限值ω和无限函数u(x)，将根据以下表达式将这些模归一化成质量函数

$\underset{0}{\overset{L+a}{\∫}}m\left(x\right){\left[n_i{u}_i\left(x\right)\right]}^2=1---\left(14\right)$

得到针对具有索引i的模的归一化因子n_i。

对于具有截面A₁和A₂的杆的两个部分，可以将一般方程写成 $\frac{d}{\mathrm{dx}}\left[A_{\mathrm{1,2}}\frac{d{u}_{\mathrm{1,2}}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}\right]+{\mathrm{\β}}^2{u}_{\mathrm{1,2}}\left(x\right)=0,$ 其中 ${\mathrm{\β}}^2=\frac{{\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\ρ}}{E}---\left(15\right)$

在应用边界条件之前的解为

u₁(x)＝c₁cos(βx)+c₂sin(βx)，以及                (16)

u₂(x)＝c₃cos(βx)+c₄sin(βx)                      (17)

第一边界条件表明

u₁(0)＝0→c₁＝0                                   (18)

由于可以选择系数或幅度之一，所以上述缩放性质用于说明

c₂＝1                                             (19)

无应力端表明

-c₃sin[β(L+a)]β+c₄cos[β(L+a)]β＝0，所以

c₄＝c₃tan[β(L+a)]                                (20)

这是c₃、c₄和β之间的三种关系的第一种关系。使用针对c₄的该表达式，可以将连续性边界条件表示为

c₃＝cos[β(L+a)]sec[aβ]sin[Lβ]                  (21)

最终，可微性的条件与针对c₃和c₄的表达式一起允许利用以下表达式来找到针对β的值

$\frac{A_1}{A_2}=\tan \left[\mathrm{L\β}\right]\tan \left[\mathrm{a\β}\right]---\left(22\right)$

归一化

可以将方程(22)重写成其他周期函数，然而可以一般性地陈述，本征频率ω的解与不同周期的两个谐波函数相交的β值相对应。使用找到的β值可以计算c₃和c₄的值。根据c₁＝0和c₂＝1，现在可以提出与本征频率相对应的模。为了将这些本征频率适当地相对于彼此进行缩放，

根据以下方程来采取归一化

$\underset{0}{\overset{L}{\∫}}\mathrm{\ρ}{A}_1{\left[u^{\left(i\right)}{u}_1\left(x\right)\right]}^2+\underset{L}{\overset{L+a}{\∫}}\mathrm{\ρ}{A}_2{\left[n^{\left(i\right)}{u}_2\left(x\right)\right]}^2=1---\left(23\right)$

得到的归一化因子n⁽ⁱ⁾是

[u⁽ⁱ⁾]²＝2β/dρ[-ω(-2Lβ+sin[2Lβ])+bsin[Lβ]²(aβsec[aβ]²+tan[aβ])] (24)

其中d是谐振器厚度。振形是

其中c₃和c₄分别遵循方程(21)和(20)。图5示出了前四个归一化本征函数的曲线图，具体地，在26.58Mhz处的基本本征频率61、在123.53Mhz处的二阶本征频率62、在208.77Mhz处的三阶本征频率63、以及在267.076Mhz处的四阶本征频率64。基本模非常类似于无质量弹簧和刚性质量块的简化表示：应力ε＝du/dx在第一部分中接近恒定，在第二部分中要低得多。高次谐波在弹簧部分中示出了大的幅度。这可以通过考虑这两部分之间的“能量平衡”来解释。为了平衡较重的谐振器头部的变形，轻得多的弹簧部分需要更大的变形。从图5可以观察到，满足了边界条件：这两部分“连接”，在零处开始并且在自由端ε＝0。

建模结果

导出了本征频率的解析表达式以及本征函数。在以下极端情况下所有表达式仍然有效：a或L减小到零并且谐振器减小到恒定截面的传统杆，或者当简单地A1＝A2时。对于这样的杆，文献提供了具有与这里所导出的ω和u(x)的结果相同结果的表达式。

表1：在数值仿真中使用的常量的值。

L          w          s         a          b          E             ρ

20×10^-6m  10×10^-6m  1×10^-6m  35×10^-6m  64×10^-6m  181×10⁹Nm^-2  2329kgm^-3

高效弹簧常数

还可以将振形归一化成在边界处统一。该归一化被定义为

q⁽ⁱ⁾c₃cos[β⁽ⁱ⁾(L+a)]+c₄sin[β⁽ⁱ⁾(L+a)]＝1                (26)

该归一化不一定是针对均匀杆的，因为已发现这些模全都统一地结束。然而该归一化的原因在于，通过高效弹簧常数来确定驱动间隙尺寸的实际领域。基于找到的β值，归一化因子是

q⁽ⁱ⁾＝cos[aβ]csc[Lβ]                                    (27)

利用已知的归一化q⁽ⁱ⁾，可以导出高效弹簧常数k_eff的表达式。

认为ω₀处的基本谐振具有相应的振形u(x)。在谐振处，将瑞利商(参见L.Meirovitch，“Elements of vibration analysis”，McGraw-Hill，1986)定义为

$R\left(u\right)={\mathrm{\ω}}_0^2=\frac{V_{\max }}{T}---\left(28\right)$

其中V_max是最大势能，T是参考动能。这些值随振动幅度而缩放。在刚性质量块外边缘上作用有力F的质量块-弹簧系统可以包括势能kx²，其中x表示质量块的位移，从而表示弹簧的伸长。现在认为谐力作用在连续谐振器的外边缘上，激励谐振器的基本振形，使得u(L+a)＝1，类似于等效质量弹簧系统中x＝1。

将瑞利商R(u)写成

${\mathrm{\ω}}_0^{2}T=V_{\max }=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{eff}}u{(L+a)}^2---\left(29\right)$

其中，u(L+a)＝1。将动能定义为

$T=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{L+a}{\∫}}m\left(x\right)u{\left(x\right)}^2\mathrm{dx}---\left(30\right)$

其中，同样u(L+a)＝1。为了使建立的函数u₁和u₂最终满足该单位幅度，需要将建立的函数u₁和u₂乘以归一化因子q⁽ⁱ⁾，在本情况下是q₀。现在可以将方程(29)的能量平衡写成

${\mathrm{\ω}}_0^2\underset{0}{\overset{L+a}{\∫}}m\left(x\right){\left(q_{0}u\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}=k_{\mathrm{eff}}---\left(31\right)$

使得可以计算高效弹簧常数。关于弹簧，检查尺寸为[Nm^-1]。对于一般狗骨，通过以下方程将积分分成两部分

$q_0^2\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ω}}_0^2[\underset{0}{\overset{L}{\∫}}{A}_1{u}_1{\left(x\right)}^2\mathrm{dx}+\underset{0}{\overset{L+a}{\∫}}{A}_2{u}_2{\left(x\right)}^2\mathrm{dx}]=k_{\mathrm{eff}}---\left(32\right)$

得到

$k_{\mathrm{eff}}=q_0^2\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ω}}_0^2[A_1(\frac{L}{2}-\frac{\sin \left(2\mathrm{L\β}\right)}{4\mathrm{\β}})+A_2\frac{\sec {\left(\mathrm{a\β}\right)}^2(2\mathrm{a\β}+\sin \left(2\mathrm{a\β}\right)\sin {\left(\mathrm{L\β}\right)}^2}{4\mathrm{\β}}]---\left(33\right)$

如方程(27)使用基于β₀的q₀，有效质量块m_eff遵循固有频率和找到的弹簧常数。

寻找交集

谐振频率、驻波形状、归一化因子、以及高效弹簧常数都依赖于找到的β值。如所述，这些值可以从以下方程中找到

$\frac{A_1}{A_2}=\tan \left(\mathrm{L\β}\right)\tan \left(\mathrm{a\β}\right)---\left(34\right)$

对于该方程，不存在解析地提供所有交集的数学表达式。接下来将提供两种不同的近似以找到唯一第一交集。

近似一

第一近似是非常精确的表达式。然而，该精确的表达式仅当A₁/A₂≈1时是有效的，但是测试该精确表达式以保持在比值4或备选地1/4。对于大多数狗骨谐振器来说这是足够的，然而不幸的是对于使L或a为零来说丧失了一般性。因此在以下方程中找到第一交集从而找到β₀的值

基本上，满足正切函数，正切函数的平方函数近似于原始方程中两个不同正切函数的乘积。

近似二

还可以将交集的方程写成

$(1-\frac{A_1}{A_2})\cos \left[\mathrm{\β}(L-a)\right]=(1+\frac{A_1}{A_2})\cos \left[\mathrm{\β}(L+a)\right]---\left(36\right)$

如图6所示，该方程可以被看作是1以下开始的长周期余弦与1以上开始的短周期余弦的相交，图6示出了方程(36)的表示，更具体地，第一曲线72示出了方程(36)的左边，第二曲线74示出了方程(36)的右边。本征频率与第一曲线72和第二曲线74的交集相对应。如同对于任何A₁/A₂一样，该表达式对于L和a的所有值都保持有效。

同样可以从该表达式中近似得到β₀的值，然而不能解析地找到β₀的值。当通过围绕β＝0的泰勒级数展开来近似这两个余弦函数时，二阶(或抛物线)表达式在以下方程获得交集

这非常类似于在其他研究中找到的表达式。那么一次谐振频率是

${\mathrm{\ω}}_0^2=\frac{{\mathrm{\β}}_0^{2}E}{\mathrm{\ρ}}---\left(38\right)$

其中ω₀是每秒的弧度。

在需要情况下的改进

尽管不可获得精确的表达式，然而给出的两个近似是有用的。第一近似给出了对不是很极端的狗骨的非常好的估计，第二近似给出了较差但在公式化中非常便于用在例如特定操作频率的谐振器的设计中的估计。由于非近似的功能性描述对于这两个估计来说都是适用的，所以在Newton-Rhapson根寻找过程的若干迭代步骤之后，可以找到非常好的近似。

在给定估计x_n的情况下，可以根据以下方程来找到改进的估计x_n+1

$X_{n+1}=X_n-\frac{f\left(X_n\right)}{f^{\′}\left(x_n\right)}.---\left(39\right)$

这里，函数f(x)是可微函数，在该函数中找到零交叉或根。接近根处，该迭代将通常使每次估计中正确数位的量加倍。

推断电阻感测

谐振器是振荡器的一部分。为了振荡，将谐振器的输出经放大后反馈以再次驱动该谐振器。该驱动是静电的，然而所测量的信号是通过使用材料的压阻式特性而得到的。根据以下方程，由于压阻式效应，材料经历电阻的相对变化

$\frac{\mathrm{\ΔR}}{R}=\mathrm{K\ϵ}---\left(40\right)$

其中K是所谓的灵敏度因子，是材料特性。通过谐振器的弹簧臂的DC电流将在输出处提供电压，所述电压由于谐振处变化的ε(t)而被调制。

导出了狗骨谐振器的振形u(x)。应力是ε(x)＝du/dx，使得对于狗骨谐振器中的测量电流来说，与总体遭遇的应力有关的压阻式效应是

$\frac{\mathrm{\ΔR}}{R}=2K\underset{0}{\overset{x^{\′}}{\∫}}\frac{\mathrm{du}\left(x\right)}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}=2K[u\left(x^{\′}\right)-u\left(0\right)]---\left(41\right)$

其中x′是返回点，即，如在上述实施例中解释的点，在上述实施例中，通过将槽的端固定在该点处使感测电流穿过MEMS压阻式谐振器。如果电流沿着由于某种注入而产生的路径流动，则乘以因子2可以增加到乘以因子4或6。然而现在由于点x′受限于槽的长度，所以可以观察到对于当前狗骨来说以下值是不同的

u⁽¹⁾(L)＝n⁽¹⁾sin[β⁽¹⁾L]    以及u⁽²⁾(L)＝n⁽²⁾sin[β⁽²⁾L]  (42)

这些值是对于模1和2在x′＝L处的归一化位移。这意味着当在二次谐振处激励本狗骨谐振器时，要测量的电阻效应更大。

当制造最优狗骨谐振器时，通过减小槽的长度可以更进一步地放大该电阻效应。找到x′的值作为u(x)具有第一最大值的点，其中所述x′是槽的长度，从而0＜x′＜L。可以看出，作为导数的第一零点，得到

$\frac{d{u}_1\left(x\right)}{\mathrm{dx}}{|}_{x=x^{\′}}={\mathrm{\β}}^{\left(i\right)}{n}^{\left(i\right)}\cos \left[{\mathrm{\β}}^{\left(i\right)}{x}^{\′}\right]=0---\left(43\right)$

忽略幅度，找到x′的值是

${\mathrm{\β}}^{\left(i\right)}{x}^{\′}=\frac{1}{2}\mathrm{\π},$ 使得 $x^{\′}=\frac{\mathrm{\π}}{2{\mathrm{\β}}^{\left(i\right)}}---\left(44\right)$

对于每个谐振模，可以计算出最优的x′。

折衷

函数ε(x)＝du/dx示出了：由于u(x)的幅度通常在第一部分中更高，所以既然σ＝Eε，那么最高应力将出现在谐振器的第一部分中。驻波的周期与β有关，并且在谐振器的两部分中是相等的。由于u(0)＝0，所以可以说最高应力出现在x＝0处。以高于基本模的高阶模来驱动谐振器，使得随着u(x)的斜率变大而产生更高的应力。通过以下因子，最大应力将比基本模更大

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\max }^{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\max }^{\left(1\right)}}=\frac{{\mathrm{\β}}^{\left(i\right)}{n}^{\left(i\right)}\cos \left(0\right)}{{\mathrm{\β}}^{\left(1\right)}{n}^{\left(1\right)}\cos \left(0\right)}---\left(45\right)$

其中余弦因子指示对u₁的导数的使用。

对于所考虑的狗骨，尽管假定槽具有最佳长度，然而在以三阶模而不是一阶模来激励该狗骨时，这可以提供接近4倍的较高应力信号。对于该模，槽长度应当是x′＝0.53L。因子4的信号增益将与出现的最大应力中接近10的增益一起发生。

这现在完成了以上参考图4-6提供的理论考虑。下文中在包括“直MEMS压阻式谐振器”在内的另一实施例的描述之后随即给出了与某些理论考虑有关的其他说明。

从对第一实施例的以上描述和理论考虑将认识到，本领域技术人员可以依据所考虑的特定MEMS压阻式谐振器的细节，来根据需要分析和选择不同的本征模。例如，尽管在上述第一实施例中，二阶本征模给出了最大的增益，然而对于不同形状和尺寸的其他MEMS压阻式谐振器来说其他本征模可以提供最大的增益。

此外，本领域技术人员可以决定实现其他实施例，在这些其他实施例中，使用给定的本征模，即使该给定的本征模并不是提供最高增益的本征模。此外，本领域技术人员可以决定实现以下实施例：在该实施例中使感测电流在并不表示所选本征模的最高增益的点处穿过MEMS压阻式谐振器。

本领域技术人员可以使用任何合适的分析方法(或分析方法的组合)，例如使用轨迹和误差来得出所选的本征模和/或电流穿过位置。例如，可以采用机械建模，或可以基于轨迹和误差构建实际MEMS压阻式谐振器并在不同频率处驱动该MEMS压阻式谐振器等等。

在上述实施例中，由于在头部开始之前定位槽的端部，梁的其余部分实际上包括宽度为两个梁的宽度加上槽的宽度的单个宽部分。然而，不需要如此。例如，图7示出了MEMS压阻式谐振器78的另一实施例(未按比例示出)，其中仍然缩短槽以提供指定的点使感测电流穿过MEMS压阻式谐振器78，然而其中MEMS压阻式谐振器78还被修改为保留单独的梁，这些梁达到它们与头部相遇的点处。在图7中，同样为了简要起见，采用与图2相同的形式来示出了MEMS压阻式谐振器，仅示出了位于锚点9、10一侧的结构。此外使用了相同的参考数字来示出相同的部件，即，第一锚点9、第二锚点10、第一梁11、第二梁12、第一头部16、以及感测电流22的近似路径，具体地，感测电流22在槽15的端部处穿过MEMS压阻式谐振器78的路径(由参考数字22’示出)。然而，图7的压阻式谐振器78与之前图2的MEMS压阻式谐振器8不同之处在于，还提供了另外的槽空间15’，使得穿过MEMS压阻式谐振器78的感测电流22’在第一梁11与第二梁12之间延伸的窄桥接部分79处进行该动作。在锚点9、10的另一侧，即，在第三梁13与第四梁14之间，提供相应的桥接部分和另外的槽空间。实质上，该实施例实现了对穿过点的感测电流的确定，而无需去除与第一实施例中所去除的一样多的平行梁结构。

在上述实施例中，MEMS压阻式谐振器是所谓的狗骨谐振器，即，被形成为，每端的头(质量块)部分比梁(弹簧)部分宽。此外，在其他实施例中，可以使用其他形状的谐振器，并且可以开发它们的高阶本征模。例如，可以使用直MEMS压阻式谐振器，即，梁所占用的整个覆盖区与头部所占用的整个覆盖区的宽度相同的谐振器。实际上，采用这种形状，有效地在这样的质量块与弹簧之间没有区别；纵向振动模是贯穿本体幅度均匀的连续驻压波。在WO2004/053431中给出了直MEMS压阻式谐振器的合适结构的其他细节，其内容一并在此作为参考。

在上述描述中，集中于改进的位移的方面。然而，另一可能性是考虑位移(相对于x)的斜率。位移的导数是应力，增大该应力就增大了输出信号，即，增益。这应用于狗骨MEMS压阻式谐振器和直MEMS压阻式谐振器。即，直MEMS压阻式谐振器使用除了基本本征模以外的其他本征模可以得到更高的增益，即使具体地并不期望该其他本征模比基本模呈现更高的沿本体最大位移，这是由于在使用除了基本本征模以外的其他本征模时，该直MEMS压阻式谐振器从不呈现更陡的导数。

此外或作为对优化位移的所做的上述选择的备选，这种对位移导数的考虑使得还可以对感测电流应当穿过MEMS压阻式谐振器的位置进行优化或选择。到该位置为止导数是正的，从而沿着从原点到上述所选感测电流穿过点的路径对电阻读出作出贡献。然而，还可以考虑除了希望使电流通过高导数(应力)区域之外，还希望保持电流路径尽可能短，以降低沿着感测路径的总电阻。如果这是感兴趣的，则限定最佳感测电流穿过点的一种可能可以被看作“在原点与最大位移点之间”，这是由于应力在该最大位移点处逐渐下降到零。注意到这与现有技术的不同之处在于，使用应力沿着梁恒定的基本本征模，从而对感测电流穿过点的选择没有影响。

在上述实施例中，槽15(以及所包含的另一槽空间15’)包括低压气体或真空，MEMS压阻式谐振器被封装。另一可能性是，槽15(以及所包含的另一槽空间15’)是空气。在其他实施例中，槽15(以及所包含的另一槽空间15’)可以是任何合适的材料，如电介质材料，所述电介质材料的电导率低于梁的电导率，使得感测电流沿着不包括槽的路线流动。

在另外的实施例中，MEMS压阻式谐振器的材料和形式可以与上述实施例不同。例如，MEMS压阻式谐振器既不需要是“狗骨”形状的也不需要是直的，而是可以使用任何其他合适的形状。此外，可以利用备选的结构来代替梁和锚点。此外，可以使用比上述MEMS压阻式谐振器对称性更低的MEMS压阻式谐振器，例如，可以仅在锚点的一侧存在头部和梁。

Claims (12)

1、一种操作MEMS压阻式谐振器(8，78)的方法；

该方法包括：以比基本本征模(31)更高阶的高阶本征模(32)来驱动MEMS压阻式谐振器(8，78)。

2、根据权利要求1所述的方法，还包括：与高阶本征模(32)的特性相关地布置感测电流(22)的流动路线。

3、根据权利要求2所述的方法，其中，通过使感测电流(22)的流动路线位于高阶本征模(32)的最大位移(50)的点处，来与高阶本征模(32)的特性相关地布置感测电流(22)的流动路线。

4、根据权利要求2所述的方法，其中，通过使感测电流(22)的流动路线位于高阶本征模(32)的位移的距离(x)的最大变化率的点处，来与高阶本征模(32)的特性相关地布置感测电流(22)的流动路线。

5、根据权利要求2至4中任一项所述的方法，其中，通过将MEMS压阻式谐振器(8，78)的槽(15)的端点定位在与高阶本征模(32)的特性相关地确定的位置处，来布置感测电流(22)的流动路线，所述槽(15)在MEMS压阻式谐振器(8，78)的两个梁(11，12)之间形成。

6、一种制造MEMS压阻式谐振器(8，78)的方法；

该方法包括：制造MEMS压阻式谐振器(8，78)，使得与MEMS压阻式谐振器(8，78)的高阶本征模的特性相关地布置操作中的感测电流(22)的流动路线，所述MEMS压阻式谐振器(8，78)的高阶本征模(32)比所述MEMS压阻式谐振器(8，78)的基本本征模(32)更高阶。

7、根据权利要求6所述的方法，其中，通过使感测电流(22)的流动路线位于高阶本征模(32)的最大位移(50)的点处，来与高阶本征模(32)相关地布置感测电流(22)的流动路线。

8、根据权利要求6所述的方法，其中，通过使感测电流(22)的流动路线位于高阶本征模(32)的位移的距离(x)的最大变化率的点处，来与高阶本征模(32)的特性相关地布置感测电流(22)的流动路线。

9、根据权利要求6至8中任一项所述的方法，其中，通过制造具有槽(15)的MEMS压阻式谐振器(8，78)来布置感测电流(22)的流动路线，所述槽(15)在MEMS压阻式谐振器(8，78)的两个梁(11，12)之间形成，所述槽(15)的端部位于与高阶本征模(32)的特性相关地确定的位置处。

10、一种MEMS压阻式谐振器(8，78)，包括在两个梁(11，12)之间形成的槽(15)，所述槽(15)的端部位于MEMS压阻式谐振器(8，78)的高阶本征模(32)的最大位移(50)的位置处，或位于MEMS压阻式谐振器(8，78)的高阶本征模(32)的位移的距离(x)的最大变化率的位置处。

11、根据权利要求10所述的MEMS压阻式谐振器(8，78)，其中，所述MEMS压阻式谐振器(8，78)还包括比两个梁(11，12)的总覆盖区的宽度更宽的头部(16)，其中，所述槽(15)的端部位于沿着梁(11，12)在梁(11，12)达到头部(16)之前的点处。

12、一种MEMS压阻式谐振器系统；

所述系统包括：

MEMS压阻式谐振器(8，78)；以及

驱动器，用于所述MEMS压阻式谐振器(8，78)，被布置为以比MEMS的基本本征模(31)更高阶的高阶本征模(32)的频率来驱动MEMS压阻式谐振器(8，78)。

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