CN101598783A - 基于ppca模型的强噪声背景下雷达距离像统计识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于PPCA模型的强噪声背景下雷达距离像统计识别方法，它涉及雷达自动目标识别技术领域，主要解决现有PPCA模型统计识别方法对噪声不稳健的问题。其训练阶段步骤为：对雷达连续HRRP分帧、平移对齐和强度归一化，并利用处理后的HRRP学习PPCA模型各方位帧的参数，并保存模板。其测试阶段步骤为：先对待测试样本强度归一化、平移对齐，然后估计它的信噪比范围，若该信噪比大于30dB，则计算各目标各帧的距离值，并判定类别属性；若该信噪比小于30dB，则改写现有距离值，通过最小化它，求解低信噪比条件下的噪声能量，最后计算各目标各帧的距离值，并判定类别属性。本发明具有对噪声稳健，计算量较小的优点，用于对雷达目标识别。

Description

基于PPCA模型的强噪声背景下雷达距离像统计识别方法

技术领域

本发明属于雷达自动目标识别技术领域，具体的说是一种基于PPCA模型的强噪声背景下雷达距离像统计识别方法。

背景技术

一维高分辨距离像的自动目标技术可追溯到20世纪80年代。由于一维高分辨距离像HRRP能够提供目标沿距离方向几何结构信息，且具有易于获得和处理的独特优势；同时，雷达具有全天候、全天时的特点，雷达一维高分辨距离像自动目标识别受到广泛重视。

基于统计模型的识别方法是一种重要的雷达HRRP自动目标识别方法。一维高分辨距离像的统计识别是指根据测试样本在各类别下的类后验概率的大小确定该测试样本的类别归属的识别方法。相关文献中提出了利用多种统计建模进行目标识别的方法，这些模型包括独立高斯模型、独立Gamma模型，基于Gamma和混合高斯Gaussian Mixture的独立双分布模型、基于主分量分析PCA联合高斯模型、概率主分量分析PPCA联合高斯模型和因子分析FA联合高斯模型等。其中PPCA模型假设距离像回波数据x服从联合高斯分布，距离像x与隐变量y的关系为x＝Ay+m+ε，其中x和y的维数分别为D和d，d＜D，m是均值向量，A是加载矩阵。A的各列为正交向量，且ε服从零均值、协方差矩阵∑＝σ²I_D为对角阵且对角线元素相同的高斯分布：ε～N(0，σ²I_D)，其中，N(·，·)表示高斯分布，I_D为D×D单位矩阵；y服从零均值、协方差矩阵I_d为对角阵且对角线元素相同的高斯分布：y～N(0，I_d)，其中I_d为d×d单位矩阵。从而，类条件概率密度函数可表示为：

$P\left(x\right)={\left(2\mathrm{\π}\right)}^{-D/2}{|\mathrm{\Σ}+{\mathrm{AA}}^T|}^{-1/2}\exp \left[\frac{1}{2}{(x-m)}^T{(\mathrm{\Σ}+{\mathrm{AA}}^T)}^{-1}(x-m)\right]$

利用PPCA模型进行目标识别的步骤如下：

(一)训练过程

(1)按照目标所在的方位将目标的所有HRRP回波数据划分成多个数据段，每段称为一帧：

(2)将各帧内的HRRP回波数据平移对齐：

(3)将各帧内所有平移对齐后的HRRP数据进行强度归一化；

(4)分别对各个帧内平移对齐以及强度归一化后的数据建立一个PPCA模型，求取模型参数m_jk，σ_jk ²，A_jk，并将其保存为模板 $T_{\mathrm{PPCA}}=\{m_{\mathrm{jk}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{jk}}^2,A_{\mathrm{jk}}{\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ j＝1，2，…，C，C是总的目标类别数，k＝1，2，…，K_j，K_j是第j类目标的总的方位帧数目。

(二)测试过程

(1)对需要测试的HRRP回波数据，即测试样本，强度归一化，得到样本x_test；

(2)将x_test分别与各类目标模板中的均值向量m_jk平移对齐，得到样本，

j＝1，2，…，C，k＝1，2，…，K_j；

(3)利用训练过程得到的模板 $T_{\mathrm{PPCA}}=\{m_{\mathrm{jk}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{jk}}^2,A_{\mathrm{jk}}{\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ 计算样本

对应于各类目标各帧的类条件概率密度：

$P_{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{j{k}^{*}}\right)={\left(2\mathrm{\π}\right)}^{-D/2}{|{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{jk}}^2{I}_D+A_{\mathrm{jk}}{A_{\mathrm{jk}}}^T|}^{-1/2}\exp \left[\frac{1}{2}{({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-m_{\mathrm{jk}})}^T{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{jk}}^2{I}_D+A_{\mathrm{jk}}{A_{\mathrm{jk}}}^T)}^{-1}({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-m_{\mathrm{jk}})\right]$

(4)找出步骤(3)中计算出的类条件概率密度中最大的一个，若该类条件概率密度对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束；

虽然传统PPCA模型考虑了噪声分量的统计建模，但是，实际战场环境复杂，雷达回波中噪声强度受目标距离雷达远近、目标特定方位反射特性、大气条件等影响，通常难于保持测试样本的信噪比与训练样本完全一致，尤其对在战场环境下的远距离的非合作目标，HRRP信噪比更低。因此，实际测试样本与训练样本的噪声分量是失配的：另外，由于距离像样本经过能量归一化预处理来克服强度敏感性，测试样本与训练样本的信号分量也是失配的，因而直接用传统的PPCA模型来对低信噪比条件下的样本进行识别，将会造成识别率下降，尤其当噪声较大时，识别率更低。

发明内容

本发明目的是克服上述已有技术的不足，提供一种基于PPCA模型的强噪声背景下雷达距离像自适应统计识别方法，根据测试样本自适应地调节PPCA模型的模板参数m_jk，σ_jk ²，A_jk，使得PPCA模型的模板参数与测试样本相匹配，以实现在强噪声背景下能保持较高的识别率。

实现本发明目的的技术思路是：在训练阶段使统计模型的信号部分与噪声部分开；在测试阶段通过最小化距离值实现自适应学习，并将距离值改写成多项式的和，通过最小化各项，近似求出最小化的距离值，利用它判定测试样本所属的目标类别。具体实现过程如下：

A.训练步骤：

(A1)按照目标所在的方位将目标的所有高信噪比环境下获得的一维高分距离像HRRP回波数据划分成多个数据段，每段称为一帧；

(A2)将各帧内的HRRP回波数据平移对齐；

(A3)将各帧内所有平移对齐后的HRRP数据进行强度归一化；

(A4)分别对各个帧内强度归一化后的数据建立一个PPCA模型，求取模型参数均值m_jk ⁺，方差σ_jk ²⁺，加载矩阵A_jk ⁺，并将其保存为模板 $T_{\mathrm{PPCA}}=\{{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+},{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+},{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ j＝1，2，…，C，C是总的目标类别数，k＝1，2，…，K_j，K_j是第j类目标的总的方位帧数目；

B.测试步骤

(B1)对需要测试的样本进行强度归一化，得到归一化后的测试样本x_test；

(B2)将归一化后的测试样本x_test分别与各类目标模板中的均值向量m_jk ⁺平移对齐，得到对齐后的测试样本，j＝1，2，…，C，k＝1，2，…，K_j；

(B3)估计待测试样本的信噪比范围，对于信噪比大于30dB的测试样本执行步骤(B4)至(B5)，对于信噪比小于30dB的测试样本执行步骤(B6)至(B11)；

(B4)利用训练过程得到的PPCA模板，计算测试样本对应于各类目标所有帧的距离值：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=\ln |{\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}|+{({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T})}^{-1}({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

其中，I_D为D×D单位矩阵，其它参数含义与步骤(A4)中参数含义相同，T表示对矩阵或向量的转置操作；

(B5)找出步骤(B4)计算出的距离值中最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束；

(B6)将步骤(B4)中各类目标所有帧的距离值改写为：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=-D\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln \left|\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]\right|+{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T*$

$U_{\mathrm{jk}}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]}^{-1}{U}_{\mathrm{jk}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

其中，Ω_d，jk是无噪信号的协方差矩阵从大到小排列的前d个特征值组成的对角矩阵，ω_i，jk，i＝d+1，…，D是后D-d个特征值，D是距离像的维数，d是隐变量的维数，P_s，jk是j类目标的第k帧的信号能量，P_w，jk ⁺，P_w，jk ^-分别是j类目标的第k帧高、低信噪比条件下的噪声能量，U_jk是协方差矩阵的特征向量矩阵，I_D-d为(D-d)×(D-d)单位矩阵，I_d为d×d单位矩阵；

(B7)对步骤(B6)改写后的各帧距离值关于P_w，jk ^-求导数，并令之为零，最终等价为求解D个一元三次方程：

$z^3\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}D+z^2[({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})(D{\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{j{k}^{*}T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^2-1)-(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\left({\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^{2}D]$

$-\mathrm{zD}({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}D-P_{s,\mathrm{jk}})\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-{({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})}^2=0$

p＝1，…，D

其中 $z=\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}},$ u_p，jk是协方差矩阵的特征向量U_jk的第p列，当p≤d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}={\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D};$ 当p＞d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}=\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D},$ ω_i，jk，i＝1，…，d是无噪信号的协方差矩阵前d个特征值；

(B8)利用卡丹公式求解步骤(B7)中的一元三次方程，并通过判断方程的根与常用信噪比范围的关系，得到步骤(B6)中的距离值

的最小值对应的参数z，把它记为z_p，jk ^*，然后利用关系式 $z=\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}},$ 求得第j类目标第k帧的第p个距离单元对应的噪声能量： $p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}=\sqrt{{\left(z_{p,\mathrm{jk}}^{*}\right)}^2-P_{s,\mathrm{jk}}},$ p＝1，…，D；

(B9)求距离值近似最小值对应的低信噪比环境下的噪声能量：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*};$

(B10)计算测试样本到各类目标所有帧的距离值：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}[-\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*})+\ln ({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D})]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D}}*$

$\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{u}_{p,\mathrm{jk}}*u_{p,\mathrm{jk}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+});$

(B11)从步骤(B10)计算出的各类目标所有帧的距离值中找到最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

1.现有的PPCA统计模型没有考虑噪声环境对识别性能影响，如图2所示，当环境噪声变换时，识别率迅速下降；本发明对噪声稳健，可将识别的信噪比范围提高10dB以上。

2.本发明由于在测试过程中改写距离值时考虑了能量归一化预处理的影响，从而使模型对数据的描述准确度提高。

3.本发明由于在测试过程中通过改写距离值，并利用卡丹公式计算测试样本的噪声能量，所以与利用简单的一维迭代搜索算法来求测试样本噪声能量相比，计算量小，复杂度低，进而有更强的可实现性。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2本发明与现有基于PPCA统计模型的识别率随噪声变化仿真曲线比较；

图3在最优幂次变换下本发明与现有基于PPCA统计模型的识别方法的识别率随噪声变化仿真曲线比较。

具体实施方式

参照图1，本发明的统计识别方法包括训练和测试两个阶段，具体步骤如下：

步骤1，对雷达连续HRRP分帧。

将高信噪比环境下雷达录取到的一维高分辨距离像作为训练数据。按照目标所在的方位将目标的所有训练数据划分成等间隔的多个数据段，把每一段称为一帧；并按顺序标号存储帧样本。

步骤2，对各帧内的HRRP平移对齐。

由于目标沿雷达射线方向的平动会引起HRRP平移量的变化，所以会使发生平动的同一目标的HRRP变成两个相似性很小的样本，这对目标识别是不利的，称之为平移敏感性。对于分帧后的数据，各帧内样本具有平移敏感性。采用包络对齐方法来克服平移敏感性，具体方法为选取帧内某一样本作为基准，用x_sd表示该样本，然后滑动帧内其它样本使它们与x_sd的相关系数分别最大，得到对齐后的其它样本。存储基准样本和对齐后的其它样本作为平移对齐后的样本集合。

克服所述平移敏感性的方法除了采用包络对齐方法，也可以采用零相位绝对对齐方法、平移强度联合匹配方法、最大后验概率方法，但不限于这些方法。

步骤3，对各帧内的HRRP强度归一化。

由于目标距离雷达远近、系统损耗、电磁散射损耗等原因，雷达录取到的HRRP在强度上存在差异，这会给识别带来困难，称之为强度敏感性。平移对齐后的HRRP具有强度敏感性。强度敏感性可利用能量归一化准则来克服，具体而言，第j个目标第k个方位帧的第i个HRRP样本x_i，jk可以归一化为：

${\stackrel{\‾}{x}}_{i,\mathrm{jk}}=\frac{x_{i,\mathrm{jk}}}{\sqrt{{x_{i,\mathrm{jk}}}^T{x}_{i,\mathrm{jk}}}}---\left(1\right)$

从而使所有样本的能量都为1。

克服所述强度敏感性的方法除了采用能量归一化方法，也可以采用能量相等方法、模一归一化方法、平移强度联合匹配方法，但不限于这些方法。

步骤4，学习PPCA模型各方位帧的参数，并保存模板。

(4.1)建立PPCA模型。

设强度归一化后的样本x_i，jk对应的隐变量和噪声变量分别是y_i，jk，ε_i，jk。根据现有PPCA模型有：

${\stackrel{\‾}{x}}_{i,\mathrm{jk}}={\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{y}_{i,\mathrm{jk}}+{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{jk}}---\left(2\right)$

其中，j＝1，2…，C，C是目标总类别数目，k＝1，2…，N_jk，N_jk是第j个目标第k个方位帧的样本数目，x_i，jk和y_i，jk的维数分别为D和d，且d＜D；采用上标“+”和表示高信噪比条件，m_jk ⁺是高信噪比条件下第j个目标第k个方位帧的均值向量，A_jk ⁺是高信噪比条件下第j个目标第k个方位帧的加载矩阵；A_jk ⁺的各列为正交向量；y_i，jk服从均值为零向量协方差矩阵为I_d的高斯分布，用符号表示为y_i，jk～N(0，I_d)，其中I_d是d×d单位矩阵，N(·，·)表示高斯分布；ε_i，jk服从均值为零向量协方差矩阵为σ_jk ²⁺I_D的高斯分布，用符号表示为ε_i，jk～N(0，σ_jk ²⁺I_D)，其中I_D是D×D单位矩阵，σ_jk ²⁺是高信噪比条件下的噪声方差。

(4.2)得到PPCA模型概率密度函数。

由于y_i，jk～N(0，I_d)和ε_i，jk～N(0，σ_jk ²⁺I_D)，所以样本x_i，jk服从高斯分布，它的均值和协方差矩阵分别为m_jk ⁺和σ_jk ²⁺I_D+A_jk ⁺A_jk ^+T，用符号表示为x_i，jk～N(m_jk ⁺，σ_jk ²⁺I_D+A_jk ⁺A_jk ^+T)，则类条件概率密度函数表示为：

$P_{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{i,\mathrm{jk}}\right)={\left(2\mathrm{\π}\right)}^{-D/2}{|{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}|}^{-1/2}\exp \left[\frac{1}{2}{({\stackrel{\‾}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{({\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T})}^{-1}({\stackrel{\‾}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})\right]---\left(3\right)$

(4.3)利用最大似然方法求取模型参数。

由(3)式得到似然函数 $L({\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+},{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+},{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+})=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Π}}}{P}_{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}\right),$ 最大化似然函数，得到高信噪比条件下PPCA的模型参数m_jk ⁺，σ_jk ²⁺和A_jk ⁺：

${\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{N_{\mathrm{jk}}}{\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}---\left(4\right)$

${\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}=\frac{1}{D-d}{\mathrm{\Σ}}_{p=d+1}^D{\mathrm{\λ}}_{p,\mathrm{jk}}---\left(5\right)$

${\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}=Q_{d,\mathrm{jk}}{({\stackrel{-}{\mathrm{\Λ}}}_{d,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_d)}^{1/2}T---\left(6\right)$

其中，λ_1，jk，λ_2，jk，…，λ_D，jk，λ_1，jk≥λ_2，jk≥…≥λ_D，jk，是样本协方差矩阵 ${\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{jk}}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{N_{\mathrm{jk}}}({\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}){({\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}})}^T$ 的特征值，Q_d，jk，Λ_d，jk是前d个特征值对应的特征向量矩阵和特征值矩阵，T是任意d×d正交旋转矩阵。

(4.4)存储模板。

将(4.3)得到的模型参数m_jk ⁺，σ_jk ²⁺和A_jk ⁺按照目标类别和帧序号存储为模板，模板用符号记为 $T_{\mathrm{PPCA}}={\{{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+},{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+},{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ j＝1，2，…，C，C是总的目标类别数，k＝1，2，…，K_j，K_j是第j类目标的总的方位帧数目。

通过以上步骤1至步骤4完成本发明的训练阶段。

步骤5，对测试样本强度归一化。

由于测试样本与训练样本存在强度差异，需要对测试样本进行归一化，该归一化采用与训练阶段一致的准则，即：

${\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}=\frac{x_{\mathrm{test}}}{\sqrt{{x_{\mathrm{test}}}^T{x}_{\mathrm{test}}}}---\left(7\right)$

其中x_test是雷达录取到得原始测试样本，x_test是归一化后的样本。

克服测试样本强度敏感性，除了能量归一化方法，也可以采用模一归一化方法、平移强度联合匹配方法，但不限于这些方法。需要注意的是，克服测试样本强度敏感性的方法要与训练阶段一致。

步骤6，测试样本与均值向量平移对齐。

由于测试样本与训练样本存在平移量的差异，需要对测试样本进行平移。该平移采用最大相关系数方法，具体为：将归一化后的测试样本x_test分别与各类目标模板中的均值向量m_jk ⁺滑动相关，相关系数最大时称为对齐，对齐后测试样本

的平移量为：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{jk}}^{*}=\underset{\mathrm{\τ}}{\arg \max }\left({\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{\τ}}\right)$ j＝1，2，…，C，k＝1，2，…，K_j          (8)

x_test ^τ表示将x_test平移τ位，τ＝1，2，...，D，克服平移敏感性，除了最大相关系数方法，也可以采用零相位绝对对齐方法、平移强度联合匹配方法、最大后验概率方法，但不限于这些方法。

步骤7，采用常规的雷达信噪比估计方法估计测试样本的信噪比范围，对于信噪比大于30dB的测试样本执行步骤8至步骤9，对于信噪比小于30dB的测试样本执行步骤10至步骤13。

步骤8，计算各目标各帧的距离值。

利用训练过程存储的PPCA模板 $T_{\mathrm{PPCA}}=\{{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+},{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+},{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ j＝1，2，…，C，k＝1，2，…，K_j，根据(3)式，得到测试样本对各目标各帧的类条件概率密度如下：

$P_{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)={\left(2\mathrm{\π}\right)}^{-D/2}{|{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}|}^{-1/2}\exp \left[\frac{1}{2}{({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{({\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T})}^{-1}({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})\right]---\left(9\right)$

由于类条件概率密度

计算复杂，采用计算其相对应的距离值：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=-\ln \left(P_{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)\right)-\ln \left(2\mathrm{\π}\right)=\ln |{\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}|+{({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T})}^{-1}({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})---\left(10\right)$

利用(10)式计算出的距离值代替其相应的类条件概率密度进行识别。

步骤9，判定类别属性。

找出步骤8计算出的距离值中最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束。

步骤10，改写距离值。

(10.1)建立加噪HRRP模型

从HRRP噪声产生机理来说，HRRP样本各维噪声应该近似是强度相同的白噪声。不失一般性，假设HRRP含有加性高斯白噪声，即x＝s+w，x为HRRP样本，s为信号部分，w为高斯白噪声；采用上标“+”和“-”分别表示高信噪比条件和低信噪比条件，在高信噪比条件下，x⁺＝s⁺+w⁺，信号能量为P_s ⁺，噪声能量为P_w ⁺，信噪比为 $r^{+}=10{\log }_{10}\left(\frac{P_s^{+}}{P_w^{+}}\right);$ 在低信噪比条件下，x^-＝s^-+w^-，信号能量为P_s ^-，噪声能量为P_w ^-，信噪比为 $r^{-}={\log }_{10}\left(\frac{P_s^{-}}{P_w^{-}}\right),$ 且s⁺∝s^-，可简单设s⁺＝s^-＝s， $P_s^{+}=P_s^{-}=P_s$ 。为了克服HRRP的强度敏感性，首先对样本进行能量归一化，即

${\stackrel{-}{x}}^{+}=\frac{x^{+}}{\sqrt{x^{+T}{x}^{+}}},$ ${\stackrel{-}{x}}^{-}=\frac{x^{-}}{\sqrt{x^{-T}{x}^{-}}}---\left(11\right)$

式中，x⁺和x^-分别表示高信噪比条件和低信噪比条件下的归一化样本。

(10.2)用高信噪比条件下学习得到的参数表示无噪条件下参数

和Ω_d，jk

事实上，雷达HRRP的真实噪声能量是无从知道的，上述的实际模型是推导本发明公式和仿真噪声信号的基础。对于第j个目标第k个方位帧，利用高信噪比条件下归一化样本得到均值m_jk ⁺和方差矩阵S_jk ⁺分别为：

${\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{jk}}^{+}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_{i,\mathrm{jk}}^{+}}{\sqrt{x_{i,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{i,\mathrm{jk}}^{+}}}\≈\frac{\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}}{E\left(\sqrt{x_{i,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{i,\mathrm{jk}}^{+}}\right)}=\frac{1}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}}\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}---\left(12\right)$

${\stackrel{-}{S}}_{\mathrm{jk}}^{+}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}({\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}){({\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}{{\stackrel{-}{x}}_{i,\mathrm{jk}}}^T-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}{{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}}^T$

$\≈\frac{\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{x_{i,\mathrm{jk}}}^{+}{x_{i,\mathrm{jk}}}^{+T}}{E\left(x_{i,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{i,\mathrm{jk}}^{+}\right)}-\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}\left(\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}\right){\left(\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}\right)}^T---\left(13\right)$

$=\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{C}_{\mathrm{ss}}^{\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}{I}_D$

其中，s_i，jk表示第j类目标第k个方位帧的第i个样本的信号部分， $C_{\mathrm{ss}}^{\mathrm{jk}}=\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}{s}_{i,\mathrm{jk}}^T-\left(\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}\right){\left(\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}\right)}^T$ 是无噪声环境下的协方差矩阵，P_s，jk是第j类目标的第k帧的信号能量，P_w，jk ⁺，P_w，jk ^-分别是j类目标的第k帧高、低信噪比条件下的噪声能量。上面推导实际上利用到了

$\frac{1}{\sqrt{x_{1,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{1,\mathrm{jk}}^{+}}}\≈\frac{1}{\sqrt{x_{2,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{2,\mathrm{jk}}^{+}}}\≈...\frac{1}{\sqrt{x_{N,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{N,\mathrm{jk}}^{+}}}\≈\frac{1}{E\left(\sqrt{x_{i,\mathrm{jk}}^{+T}{x}_{i,\mathrm{jk}}^{+}}\right)}$ i＝1，2，…N_jk    (14)

其中是

的数学期望，由于我们假设信号s广义平稳，且 $\sqrt{{x_{i,\mathrm{jk}}^{+}}^T{x}_{i,\mathrm{jk}}^{+}}\≠0,$ 故而从统计意义来说，(14)式的近似是合理的。若C_ss ^jk可特征分解为

U_jk为特征矩阵，ω_i，jk为C_ss ^jk的第i个特征值，则

${\stackrel{-}{S}}_{\mathrm{jk}}^{+}=U_{\mathrm{jk}}[\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}{I}_D]U_{\mathrm{jk}}^T---\left(15\right)$

因而，高信噪比条件下PPCA模型的模型噪声方差为：

${\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}=\frac{1}{D-d}\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}---\left(16\right)$

可见，利用PPCA估算出的噪声方差σ_jk ²⁺并不等于实际噪声方差

理想情况下，只有当ω_i，jk＝0，j＝d+1，d+2，...，D时，模型噪声方差才是实际噪声方差。

从式(16)可推导出无噪信号第d+1到第D个特征值的均值

与高信噪比条件下参数σ_jk ²⁺，P_w，jk ⁺的关系式如下：

$\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}=(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}-\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D}D---\left(17\right)$

根据(6)式，(15)式和(17)式得到A_jk ⁺与Ω_d，jk，的关系式如下：

${\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}=U_{d,\mathrm{jk}}{[\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}{I}_d-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_d]}^{1/2}T$

$=U_{d,\mathrm{jk}}{[\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}{I}_d-\frac{1}{D-d}\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}-\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+})}{I}_d]}^{1/2}T$

$=U_{d,\mathrm{jk}}{\left[\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}({\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}-\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}{I}_d)\right]}^{1/2}T---\left(18\right)$

其中，Ω_d，jk表示Ω_jk的前d行前d列元素组成的矩阵，U_d，jk表示U_jk的前d列元素组成的矩阵，计算A_jk ^+TA_jk ⁺并变形，得到Ω_d，jk与A_jk ^+TA_jk ⁺的关系式如下：

${\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}=(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}+\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}{I}_d---\left(19\right)$

这样就利用高信噪比条件下学习得到的参数表示出了

和Ω_d，jk，即(17)式和(19)式。

(10.3)求PPCA模型参数在高、低信噪比条件下的关系

根据(4)式，得到低信噪比条件下均值：

${\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{-}\≈\frac{1}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}\frac{1}{N_{\mathrm{jk}}}\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{jk}}}{\mathrm{\Σ}}}{s}_{i,\mathrm{jk}}---\left(20\right)$

联合(12)式，得到高、低信噪比条件下均值的关系：

${\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{-}=\frac{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}---\left(21\right)$

根据(5)式，联合(17)式，得到高、低信噪比条件下方差的关系：

${\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2-}=\frac{1}{D-d}\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}$

$=\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}-\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}---\left(22\right)$

$=\frac{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}-P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}$

根据(6)式，联合(19)式，得到低信噪比条件下加载矩阵：

${\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{-}=U_{d,\mathrm{jk}}{[\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}{I}_d-{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2-}{I}_d]}^{1/2}T$

$=U_{d,\mathrm{jk}}{[\frac{(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}+\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}\frac{\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}{I}_d}{D-d}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}{I}_d-{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2-}{I}_d]}^{1/2}T---\left(23\right)$

将(17)式和(22)式代入(23)式，得到高、低信噪比条件下加载矩阵的关系：

${\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{-}=U_{d,\mathrm{jk}}{\{\frac{(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}+[(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}-\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{D}]I_d}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}{I}_d}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}-{\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2-}{I}_d\}}^{1/2}T$

$=U_{d,\mathrm{jk}}{\left\{\frac{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}\right\}}^{1/2}T---\left(24\right)$

(10.4)利用(10.3)中得到的高、低信噪比条件下模型参数的关系改写(10)式中的距离值。

根据(21)式，(22)式和(23)式得到低信噪比条件下联合高斯的协方差矩阵为：

$C_{\mathrm{jk}}^{-}={\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2-}{I}_D+{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{-T}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{-}$

$=U_{\mathrm{jk}}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})})I_{D-d}\end{array}\right]U_{\mathrm{jk}}^T---\left(25\right)$

用(25)式的低信噪比条件下联合高斯的协方差矩阵代替(10)式中的协方差矩阵σ_jk ²⁺I_D+A_jk ⁺A_jk ^+T，得到PPCA距离值的改写式为：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=\ln \left|C_{\mathrm{jk}}^{-}\right|+{({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{-})}^T{\left(C_{\mathrm{jk}}^{-}\right)}^{-1}({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{-})$

$=-D\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln \left|\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]\right|+(P_{s,\mathrm{jk}}-P_{w,\mathrm{jk}}^{-}){({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\frac{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T*$

$U_{\mathrm{jk}}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]}^{-1}{U}_{\mathrm{jk}}^T({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\frac{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

$=-D\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln \left|\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]\right|+{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T*$

$U_{\mathrm{jk}}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]}^{-1}{U}_{\mathrm{jk}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}).---\left(26\right)$

步骤11，最小化(26)式，求解低信噪比条件下的噪声能量。

(11.1)计算信号能量P_s，jk和高信噪比条件下的噪声能量P_w，jk ⁺

信号能量P_s，jk和高信噪比条件下的噪声能量P_w，jk ⁺的计算可通过下面两式计算得到：

$P_{s,\mathrm{jk}}=\mathrm{trace}({\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}+{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T})---\left(27\right)$

$P_{w,\mathrm{jk}}^{+}={\stackrel{-}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}D;---\left(28\right)$

其中，trace(A_jk ⁺A_jk ^+T+m_jk ⁺m_jk ^+T)表示对A_jk ⁺A_jk ^+T+m_jk ⁺m_jk ^+T求迹运算。

(11.2)沿距离单元展开(26)式的距离值

：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}[-\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln ({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})]$

$+\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{u}_{p,\mathrm{jk}}{u_{p,\mathrm{jk}}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}}$

$=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{\mathrm{ppca}}^{p,\mathrm{jk}}---\left(29\right)$

其中u_p，jk表示U_jk的第p列；当p≤d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}={\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D};$ 当p＞d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}=\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D};$ 第p个距离单元对应的PPCA距离定义为

$f_{\mathrm{ppca}}^{p,\mathrm{jk}}=-\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln ({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_w^{-}}{D}}{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_s+P_w^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{u}_{p,\mathrm{jk}}{u_{p,\mathrm{jk}}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})---\left(30\right)$

由于雷达HRRP数据的各个距离单元的PPCA距离f_ppcap，jk增减形状大致相同，它们的和的最小值与f_ppca ^p，jk最小值对应的低信噪比条件下的噪声能量P_w，jk ^-是很接近的，所以最小化(26)式近似为最小化(30)式，而最小化(30)式可通过对其求导数，令导数为零，求得一元三次方程并求该方程的根来实现。

(11.3)计算与求解(30)式最小值等价的一元三次方程

对(30)式求导：

$\frac{\∂f_{\mathrm{ppca}}^{p,\mathrm{jk}}}{\∂P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}=-\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}+\frac{1}{D({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})}-\frac{1}{D{({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})}^2}{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}})}^2$

$+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}}(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}{u}_{p,\mathrm{jk}})\frac{{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}$

$=-\frac{1}{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}}[\frac{1}{D}+{\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^2-\frac{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}}{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}}]$

$-\frac{{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}})}^2}{D{({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})}^2}---\left(31\right)$

令 $\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}=z,$ 则有 ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}={\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{z^2-P_{s,\mathrm{jk}}}{D},$ 把它代入(31)式，得

$\frac{\∂f_{\mathrm{ppca}}^{p,\mathrm{jk}}}{\∂P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}=-\frac{1}{z^2}+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{z^2-P_{s,\mathrm{jk}}}{D}}[\frac{1}{D}+{\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^2-\frac{\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}}{z}]$

$-\frac{{(z{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+}{u}_{p,\mathrm{jk}})}^2}{D{({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{z^2-P_{s,\mathrm{jk}}}{D})}^2}$

$=\frac{z^3\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}D+z^2[({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})(-1+D{\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^2)-(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\left({\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^{2}D]}{z^2{({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+z^2-P_{s,\mathrm{jk}})}^2}$

$-\frac{\mathrm{zD}({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}D-P_{s,\mathrm{jk}})\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}+{({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})}^2}{z^2{({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+z^2-P_{s,\mathrm{jk}})}^2}---\left(32\right)$

令(32)式分子为零，得到一组三元一次方程：

$z^3\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}D-\mathrm{zD}({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}D-P_{s,\mathrm{jk}})\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-(D{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})}^2$

$+z^2[(D{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})(D{\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^2-1)-(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\left({\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^{2}D]=0$

p＝1，…，D

(33)

求解(33)式的根，就能最小化(30)式。

(11.4)根据卡丹公式求(33)式的根

(33)式是一元三次方程，可用卡丹公式计算方程的根。首先给出求解三次方程的卡丹公式以及对应的根与系数的关系如下：

设实系数的三次方程为

令

则该方程的三个根x₁，x₂，x₃为

其中 $\mathrm{\ω}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},$ i为虚数符号，并且由于复数开方时

代表的值不确定，这里规定

和

要取得两者乘积为

引进判别式

根与系数的关系为

(a)当Δ＞0时，方程有一个实根x₁和两个互为共轭的复数根x₂和x₃；

(b)当Δ＝0时，方程有一个实根x₁和两个相等实数根x₂和x₃，x₂＝x₃；

(c)当Δ＜0时，方程有三个实根x₁、x₂和x₃，且x₁≠x₂≠x₃。

由(33)式知，一元三次方程系数为，

将上面的(33)式方程的系数代入卡丹公式，按照(34)式、(35)式和(36)式求出(33)式的三个跟，记为z₁，z₂，z₃。

(11.5)求(30)式的f_ppca ^p，jk在常用信噪比范围对应的区间

内最小值。

f_ppca ^p，jk在

上是连续函数，其一阶导数为

令f(z)＝0根据(11.4)求得此方程的三个跟为z₁，z₂，z₃，则f_ppca ^p，jk的最小值对应的点z_p，jk ^*必为z₁，z₂，z₃，

之一，具体步骤如下：

(11.5a)当

Δ≥0时，根据根与系数的关系得到

其中z₂和z₃是两个互为共轭的复数或两个相等的实数。因为

所以(z-z₂)(z-z₃)≥0，从而，当z＜z₁时，f(z)≤0，f_ppca ^p，jk随z是单调非增变化的；当z＞z₁时，f(z)≥0，f_ppca ^p，jk随z是单调非减变化的。不考虑取值范围，z₁是一个极小值点。故此时f_ppca ^p，jk的最小值对应的点必在z₁，

中。

当

Δ≥0时，f_ppca ^p，jk最小值对应的点的计算公式为：

(11.5b)当

Δ＜0时，根据根与系数的关系，有三个实根z₁、z₂和z₃，且z₁≠z₂≠z₃，由三次方根性质容易知道，z₁＞z₂＞z₃，在不考虑取值范围时，z₂是极大值点，z₁和z₃是极小值点。故此时，f_ppca ^p，jk的最小值对应的点必在z₁，z₃，

中。

当

Δ＜0时，f_ppca ^p，jk最小值对应的点的计算公式为：

(11.5c)当，Δ≥0时，根据根与系数的关系，z₂和z₃是两个互为共轭的复数或两个相等的实数，则有(z-z₂)(z-z₃)≥0。当z＜z₁时，f(z)≥0，单调非减；当z＞z₁时，f(z)≤0，单调非增，不考虑取值范围，z₁是一个极大值点。故此时f_ppca ^p，jk的最小值对应的点必为

之一。

当

Δ≥0时，f_ppca ^p，jk最小值对应的点的计算公式为：

$z_{p,\mathrm{jk}}^{*}=\arg \underset{x}{\min }[f\left(\sqrt{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}+P_{s,\mathrm{jk}}}\right),f\left(\sqrt{11P_{s,\mathrm{jk}}}\right)]---\left(39\right)$

(11.5d)当

Δ＜0时，根据根与系数的关系，有三个实跟z₁、z₂和z₃，且z₁≠z₂≠z₃，由三次方根性质容易知道，z₁＞z₂＞z₃，且不考虑取值范围时，z₂是极小值点，z₁和z₃是极大值点。故此时，f_ppca ^p，jk的最小值对应的点必在z₂，

中。

当

Δ≥0时，f_ppca ^p，jk最小值对应的点的计算公式为：

(11.6)求f_ppca ^p，jk的最小值对应的噪声能量

根据 $\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}=z,$ 则有

$p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}=\sqrt{{\left(a_{p,\mathrm{jk}}^{*}\right)}^2-P_{s,\mathrm{jk}}},$ p＝d+1，…，D           (41)

是第j类目标第k帧的第p个距离单元对应的噪声能量，p＝d+1，…，D。

(11.7)求低信噪比环境下的噪声能量：

利用第d+1到D维对应的噪声能量的均值，近似求得低信噪比环境下的噪声能量：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*};---\left(42\right)$

低信噪比环境下的噪声能量进一步可采用 $p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}$ 或 $p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Π}}}{\left(p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}\right)}^{1/D}$ 或 $p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Π}}}{\left(p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}\right)}^{1/D}$ 来近似求得。

步骤12，计算距离值。

根据(26)和(40)式，得到计算各个目标各帧的距离值的公式：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}\right)=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}-\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*})+\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}\ln ({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D})$

$+\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D}}{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{u}_{p,\mathrm{jk}}{u}_{p,\mathrm{jk}}^T*\\ (\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{-}{x}}_{\mathrm{test}}^{{\mathrm{jk}}^{*}}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{-}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})\end{array}\right]---\left(43\right)$

步骤13，判定类别属性。

从步骤12计算出的各类目标所有帧的距离值中找到最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束；

通过步骤5至步骤13完成本发明的测试阶段。

本发明的效果可以通过以下仿真实验说明：

试验一：所用实测数据包含三类目标：雅克42，安26和奖状飞机。训练样本大致包含全方位数据，近似认为是完备数据。由于本发明主要克服噪声对识别性能的影响，将雅克42训练数据分为35帧，安26数据分为50帧，奖状数据分为50帧。每帧训练样本数为1024。HRRP含有256个距离单元。

定义ISAR实测数据的各帧的平均信噪比为40dB，按照5dB间隔分别仿真了-10dB到35dB平均信噪比的训练数据、测试数据。利用现有PPCA模型，计算了不同噪声强度下的识别率并用虚线画在图2中。由于训练样本和噪声样本的噪声水平是一致的，故称这种方法为“匹配噪声”识别法。这种方法在实际操作是难以实现的，我们将它作为一种较理想的情况画出，用来比较衡量本发明。由图2可见，“匹配噪声”识别精度随信噪比下降而下降，到-10dB时，已几乎失效，因此，我们取噪声搜索范围为[P_w，jk ⁺，10P_s，jk]，这里P_w，jk ⁺，P_s，jk表示利用训练数据根据(27)式计算得到的高信噪比条件下的噪声能量和根据(28)式计算得到的信号能量。[P_w，jk ⁺，10P_s，jk]对应信噪比范围是[-10dB，r⁺]，其中r⁺表示训练数据的信噪比。

用高信噪比条件下的模板按照现有方法测试低信噪比样本的识别方法被成为“失配噪声”识别方法，由图2可见，“失配噪声”方法随着噪声加大，识别率急剧下降；本发明方法相比于“失配噪声”方法能大幅提高识别率，若以正确识别率70％为可用前提，本发明能使可用噪声范围扩大约10dB多。

表1给出现有方法和本的样本匹配单个模板的计算时间，隐空间变量分别取50，100和150维，结果表示为平均时间±标准差，其实验所用软件为MATLABR2007b，所用电脑硬件配置为3.0-GHz Pentium-4处理器、2-GB内存和Windows XP操作系统。

表1各种方法的测试样本与单个模板匹配平均时间和标准差

	现有算法	本发明
			50维	0.0006±2×10-5秒	0.0047±6×10-5秒
100维	0.0006±4×10-5秒	0.0061±4×10-5秒
			150维	0.0006±4×10-5秒	0.0066±1×10-4秒

由表1可见，本发明有效提高了计算效率。

试验二：对试验一的数据做最优幂变换，重复试验一。

从识别率方面比较：对于现有PPCA方法，幂次变换能有效地抬高识别率，我们在图3中画出最优幂变换指数为0.1的下识别率随信噪比的变化关系。常见雷达HRRP信噪比范围大约为10dB~25dB，由图3知道，本发明方法获得了略微优于现有方法的识别性能。表2和表3分别给出信噪比10dB、15dB、20dB和25dB下幂变换前后本发明方法的识别率：

表2在不同信噪比下，本发明的平均识别率和混淆矩阵

表3不同信噪比下，最优幂变换指数为0.1时，本发明的平均识别率和混淆矩阵

可见，幂变换之后识别性能反而下降。

从计算速度方面比较：表4给出在最优幂变换指数为0.1时，现有方法和本发明的测试样本与单个模板匹配的平均时间和标准差，隐空间变量分别取50，100和150维，表格中形式为平均时间±标准差，其实验所用软件为MATLABR2007b，所用电脑硬件配置为3.0-GHz Pentium-4处理器、2-GB内存和Windows XP操作系统。

表4最优幂变换后，现有方法与本发明的计算时间

	现有方法	本发明
			50维	0.0007±6×10-5秒	0.0047±3×10-4秒
100维	0.0007±4×10-5秒	0.0063±7×10-5秒
			150维	0.0007±5×10-5秒	0.0067±7×10-5秒

比较表4与表1可见，幂变换占用更多时间资源。

试验二说明从识别率和计算速度来看，传统的幂变换方法对低信噪比统计识别是不利的，而本发明中由于没有采用幂变换，不仅能够节约计算时间，而且在低信噪比条件下的识别性能优于采用幂变换的方法。

Claims (5)

1.一种基于PPCA模型的强噪声背景下雷达距离像统计识别方法，包括

A.训练步骤：

(A1)按照目标所在的方位将目标的所有高信噪比环境下获得的一维高分距离像HRRP回波数据划分成多个数据段，每段称为一帧；

(A2)将各帧内的HRRP回波数据平移对齐；

(A3)将各帧内所有平移对齐后的HRRP数据进行强度归一化；

(A4)分别对各个帧内强度归一化后的数据建立一个PPCA模型，求取模型参数均值m_jk ⁺，方差σ_jk ²⁺，加载矩阵A_jk ⁺，并将其保存为模板 $T_{\mathrm{PPCA}}={\{{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+},{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}\}}_{j=1,k=1}^{C,K_j},$ j＝1，2，…，C，C是总的目标类别数，k＝1，2，…，K_j，K_j是第j类目标的总的方位帧数目；

B.测试步骤

(B1)对需要测试的样本进行强度归一化，得到归一化后的测试样本x_test；

(B2)将归一化后的测试样本x_test分别与各类目标模板中的均值向量m_jk ⁺平移对齐，得到对齐后的测试样本x_test ^jk*j＝1，2，…，C，k＝1，2，…，K_j；

(B3)估计待测试样本的信噪比范围，对于信噪比大于30dB的测试样本执行步骤(B4)至(B5)，对于信噪比小于30dB的测试样本执行步骤(B6)至(B11)；

(B4)利用训练过程得到的PPCA模板，计算测试样本对应于各类目标所有帧的距离值：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}\right)=\ln |{\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T}|+{({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{jk}}^{2+}{I}_D+{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+}{\stackrel{\‾}{A}}_{\mathrm{jk}}^{+T})}^{-1}({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

其中，I_D为D×D单位矩阵，其它参数含义与步骤(A4)中参数含义相同，T表示对矩阵或向量的转置操作；

(B5)找出步骤(B4)计算出的距离值中最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束；

(B6)将步骤(B4)中各类目标所有帧的距离值改写为：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}\right)=-D\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-})+\ln \left|\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right.T\right|+{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T*$

$U_{\mathrm{jk}}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_{d,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D}{I}_d\\ (\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D})I_{D-d}\end{array}\right]}^{-1}{U}_{\mathrm{jk}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

其中，Ω_d，jk是无噪信号的协方差矩阵从大到小排列的前d个特征值组成的对角矩阵，ω_i，jk，i＝d+1，…，D是后D-d个特征值，D是距离像的维数，d是隐变量的维数，P_s，jk是j类目标的第k帧的信号能量，P_w，jk ⁺，P_w，jk ^-分别是j类目标的第k帧高、低信噪比条件下的噪声能量，U_jk是协方差矩阵的特征向量矩阵，I_D-d为(D-d)×(D-d)单位矩阵，I_d为d×d单位矩阵；

(B7)对步骤(B6)改写后的各帧距离值关于P_w，jk ^-求导数，并令之为零，最终等价为求解D个一元三次方程：

$z^3\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}D+z^2[({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})(D{\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}\right)}^2-1)-(P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}){\left({\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}\right)}^{2}D]$

$-\mathrm{zD}({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}D-P_{s,\mathrm{jk}})\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+T}{u}_{p,\mathrm{jk}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*T}{u}_{p,\mathrm{jk}}-{({\mathrm{D\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}-P_{s,\mathrm{jk}})}^2=0$

p＝1，…，D

其中 $z=\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}},$ u_p，jk是协方差矩阵的特征向量U_jk的第p列，当p≤d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}={\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D};$ 当p＞d时， ${\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}=\frac{1}{D-d}\underset{i=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i,\mathrm{jk}}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-}}{D},$ ω_i，jk，i＝1，…，d是无噪信号的协方差矩阵前d个特征值；

(B8)利用卡丹公式求解步骤(B7)中的一元三次方程，并通过判断方程的根与常用信噪比范围的关系，得到步骤(B6)中的距离值F_ppca ^jk(x_test ^jk*)的最小值对应的参数z，把它记为z_p，jk ^*，然后利用关系式 $z=\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-}},$ 求得第j类目标第k帧的第p个距离单元对应的噪声能量： $p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}=\sqrt{{\left(z_{p,\mathrm{jk}}^{*}\right)}^2-P_{s,\mathrm{jk}}},$ p＝1，…，D；

(B9)求距离值近似最小值对应的低信噪比环境下的噪声能量：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*};$

(B10)计算测试样本到各类目标所有帧的距离值：

$F_{\mathrm{ppca}}^{\mathrm{jk}}\left({\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}\right)=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}[-\ln (P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*})+\ln ({\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D})]+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{p,\mathrm{jk}}^{\′}+\frac{P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{D}}*$

$\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})}^T{u}_{p,\mathrm{jk}}*u_{p,\mathrm{jk}}^T(\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{-*}}{\stackrel{\‾}{x}}_{\mathrm{test}}^{\mathrm{jk}*}-\sqrt{P_{s,\mathrm{jk}}+P_{w,\mathrm{jk}}^{+}}{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{jk}}^{+})$

(B11)从步骤(B10)计算出的各类目标所有帧的距离值中找到最小的一个，若该距离值对应的模板属于第j类目标，j＝1，2，…，C，则判定测试样本属于第j类目标，测试过程结束。

2.根据权利要求1所述的自适应统计识别方法，其中(B9)求距离值近似最小值对应的低信噪比环境下的噪声能量，采用如下公式计算：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}.$

3.根据权利要求1所述的自适应统计识别方法，其中(B9)求距离值近似最小值对应的低信噪比环境下的噪声能量，采用如下公式计算：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=1}{\overset{D}{\mathrm{\Π}}}{\left(p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}\right)}^{1/D}.$

4.根据权利要求1所述的自适应统计识别方法，其中(B9)求距离值近似最小值对应的低信噪比环境下的噪声能量，采用如下公式计算：

$p_{w,\mathrm{jk}}^{-*}=\underset{p=d+1}{\overset{D}{\mathrm{\Π}}}{\left(p_{w,\left(p\right),\mathrm{jk}}^{-*}\right)}^{1/D}.$

5.根据权利要求1所述的自适应统计识别方法，其中步骤(B8)所述的通过判断方程的根与常用信噪比范围的关系，得到步骤(B6)中的距离值F_ppca ^jk(x_test ^jk*)的近似最小值对应的参数z，按如下步骤进行：

5a)当

Δ≥0时，F_ppca ^jk(x_test ^jk*)近似最小值对应的点z_p，jk ^*的计算公式为：

式中，z₁，z₂，z₃是步骤(B7)三元一次方程的三个根，

为一元三次方程的三次项的系数，Δ为一元三次方程的判别式；

5b)当

Δ＜0时，F_ppca ^jk(x_test ^jk*)近似最小值对应的点的计算公式为：

式中，

是三次方程对应的函数；

5c)当

Δ≥0时，F_ppca ^jk(x_test ^jk*)近似最小值对应的点的计算公式为：

$z_{p,\mathrm{jk}}^{*}=\arg \underset{x}{\min }[f\left(\sqrt{P_{w,\mathrm{jk}}^{+}+P_{s,\mathrm{jk}}}\right),f\left(\sqrt{11P_{s,\mathrm{jk}}}\right)];$

5d)当

Δ≥0时，F_ppca ^jk(x_test ^jk*)近似最小值对应的点的计算公式为：

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