CN101587573A - 一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，包括以下步骤：第一，确定纸卷分切与库存综合优化问题的初始规模；第二，建立纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型；第三，对由上述两个步骤结合组成的纸厂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题进行求解，得到一个最优的目标值和排产方案；第四，将优化问题的规模增加一个级别，组成一个新规模的优化问题；第五，对新规模的优化问题进行求解，可得到一个新的最优目标值和排产方案；第六，如果第五步得到的目标值优于第三步得到的目标值，重复第四步和第五步，否则，输出第五步得到的排产方案。本方法不需要过多地增加问题规模就能得到最优的切纸排产方案。

Description

一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法

技术领域

本发明涉及一种纸厂生产排产和库存管理的方法，特别涉及一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法。

背景技术

造纸企业是典型的流程企业，具有订单数量多、产品交货期短、库存成本高等特点，该生产过程常受到原料、能源、设备和人力等因素的影响。不恰当的排产方法不仅会造成造纸企业运作的瓶颈，而且还会造成各项资源的浪费，增加企业的生产成本。纸卷分切是节约纸厂生产成本的重要环节，其要求在一定宽度的大纸卷上切割出符合产品规格的各类小纸卷，并使切剩的纸边废料最少。然而，过度地要求纸边废料最少，有可能会切割出多余的纸卷需存入仓库或推延产品的交货时间，对工厂生产极为不利。因此，基于订单的纸卷分切与库存综合优化的排产工作是降低企业生产成本和提高企业响应市场能力的关键所在。

纸厂切纸排产工作包括：根据客户订单要求和工厂库存水平，在有限的时间内，利用有限的设备、原料和人力完成生产，并实现产品延迟交货时间最短、纸卷分切废料最少、生产切换费用最低等目标的综合优化。由于产品订单多样性，使得切纸排产问题必须在各种可能情况下进行组合优化。组合优化问题属于NP问题，其求解时间与问题规模呈指数关系。对于切纸排产优化问题，具体表现为：当问题规模增加，即产品种类和数量增加时，模型中用来描述切纸活动属性的二元变量和连续变量会急剧增加，其数量几乎与产品的种类和数量呈指数关系。这种特性使得实际规模的排产问题难以在合理时间内得到求解，是排产理论应用到实际问题的一个主要障碍。

目前，常用于求解切纸排产优化问题的方法有传统经验方法、遗传算法、模拟退火算法和数学规划方法。以传统经验为主的切纸优化方法，往往从局部的优化出发，完全依据工人的经验制定切纸组合方案。由于人工计算的能力有限，决策的失误和时间的延误在所难免。而遗传算法和模拟退火算法均属于智能算法，它们在一定程度上解决了一些切纸优化问题，但在算法通用性、有效性和大规模问题上同实际应用还有较大差距。对于大规模的组合多样性切纸优化问题，智能算法往往只能得到问题的次优解，甚至是较差的可行解，且消耗大量的计算机运算时间。数学规划方法在解决组合优化问题上具有较强的全局最优求解能力。其中，混合整数线性规划(MILP)和混合整数非线性规划(MINLP)是近年来最常用于解决切纸优化问题的方法。从国内外发表的文献和公开的方法来看，以往的数学规划方法缺少有效的策略来降低模型的规模，因此只能综合纸边废料和生产切换两个因素来进行优化，即只能解决规模较小的切纸优化问题。当遇到产品品种多样、库存成本高、纸机产纸量大的大规模切纸排产问题时，现有的模型方法很难在有效的时间内得到令人满意的排产方案。因此，需要在建立新切纸优化数学模型(考虑纸边废料、生产切换、库存成本和订单交货期综合优化)的同时提出一套合适的求解策略，有效降低模型的复杂程度，提高优化效率，实现切纸过程的全局优化生产。

发明内容

本发明的目的在于针对现有方法在解决大规模复杂切纸优化问题中的不足和缺陷，提出一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，利用该方法，使纸厂的生产既能满足客户订单要求(产品规格多样、需求量大、交货期短)，又能降低其生产成本(切剩的纸边废料最少、库存成本最低、产品延迟交货时间最短、生产切换费用最低)。

本发明的原理如下：首先，根据纸厂实际的切纸过程建立新的数学模型。与现有模型只考虑简单的纸边废料和生产切换不同，新模型综合考虑了纸边废料、生产切换、库存成本和订单交货期这四种主要的生产因素。通过对这些因素建立相应的数学约束关系，新模型得到的排产方案更符合工厂实际生产的要求，方案的可行性更强。在建立切纸优化的混合整数线性规划数学模型时，二元变量n_j，i，k和m_j，a被用来描述切纸过程的主要活动：当n_j，i，k为1时，表示有k卷产品i在组合j中被分切，否则n_j，i，k为0；同样，当m_j，a为1时，表示组合j的数量共有a卷，否则m_j，a为0。因此，模型中一共有(J×I×K)个二元变量n_j，i，k和(J×A)个二元变量m_j，a，其中，J为组合的数量，I为产品数量，K为所有产品重复最多的次数，A为所有组合重复最多的次数。当模型考虑的组合数J、产品重复数K和组合重复数A各增加1时，该模型包含的二元变量数目变为：(J+1)×I×(K+1)个n_j，i，k和(J+1)×(A+1)个m_j，a，比原来模型增加了(I×K+I×J+I)个n_j，i，k和(A+J+1)个m_j，a。这使得模型的规模急剧增大，求解效率显著下降。在求解时如果只考虑小数量级的J、K和A，由于模型的自由度不够，往往只能够得到问题的次优解；但如果考虑大数量级的J、K和A，由于模型复杂度急剧增加，就很难在有效的时间内求出问题的最优解，甚至是可行解。因此，本发明在建立切纸优化数学模型的同时，提出一套合理的求解策略：首先根据订单需求、工厂库存和生产状况确定优化问题的初始规模，即确定初始的组合数J、产品重复数K和组合重复数A；随后求解出该规模问题的最优解；其次将组合数J、产品重复数K和组合重复数A各增加1，得到一个新规模的优化问题；再求解出新问题的最优解；如此重复增加组合数J、产品重复数K和组合重复数A的数目，直到新问题的最优解不优于前一个问题的最优解为止。这套求解策略的优势在于，它能够为切纸优化问题确定较合理的初始规模，不需要过多地增加问题规模就能得到最优的切纸排产方案。

为达上述目的，本发明采用如下的技术方案：一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，包括以下步骤：

第一步，根据订单要求、工厂库存能力和生产能力确定所述订单的纸卷分切与库存综合优化问题的初始规模；

第二步，建立纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型；

第三步，对由上述两个步骤结合组成的纸厂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题进行求解，得到一个最优的目标值和排产方案；

第四步，将优化问题的规模在现有规模上增加一个级别，结合第二步建立的纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型，组成一个新规模的优化问题；

第五步，对新规模的优化问题进行求解，可得到一个新的最优目标值和排产方案；

第六步，如果第五步得到的目标值优于第三步得到的目标值，重复第四步和第五步，否则，输出第五步得到的排产方案，该方案即为最终的排产方案。

更具体地说，所述第一步中确定优化问题的初始规模是指确定组合数J的初始值J₀、产品重复数K的初始值K₀和订单产品的卷数N_i，并由此计算出组合重复数A的初始值A₀；其中，

(1)式中，函数

表示不小于X的最小整数，NI_ord为订单产品种类数，NI_c为常用库存产品种类数；

i∈I，j∈J    (2)

(2)式中，函数

表示不大于X的最大整数，BJ_j ^max为大纸卷的最大宽度，b_i ^min所有产品纸卷的最小宽度，I和J分别为所有产品和组合的集合；

i∈I          (3)

(3)式中，W_i为所有产品的总重量，WU_i为产品i的单位面积质量，b_i为产品i的纸卷宽度，l_i为产品i的纸卷长度；

由式(1)、(2)、(3)可计算出：A₀

i∈I，j∈J    (4)

所述第二步的建立纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型包括如下内容：

(一)建立每种产品在同一个组合内重复次数的约束：

$\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{j,i,k}\≤1,$ i∈I，j∈J，k∈K    (5)

(5)式中，k为产品在组合内重复的次数，K为产品在组合内所有重复次数的集合；

(二)建立每个组合重复次数的约束：

$\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a}\≤1,$ j∈J，a∈A    (6)

(6)式中，a为组合重复的次数，A为组合所有重复次数的集合；

(三)建立产品数量和组合重复次数的约束：

其中，产品i在组合j内重复的次数(nj_j，i)由式(7)定义，式(7)中，函数ord(k)表示元素k在集合K内的序数

${\mathrm{nj}}_{j,i}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(k\right)\×n_{j,i,k},$ i∈I，j∈J，k∈K    (7)

其中，产品数量和组合重复次数的约束关系由式(8)至(10)定义，式中，mji_j，a，i表示产品i在重复a次的组合j内的数量，NJ_j ^max为大卷纸(即组合j)能切出小纸卷的最多份数。

${\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥{\mathrm{nj}}_{j,i}-{\mathrm{NJ}}_j^{\max }\×(1-m_{j,a}),$ i∈I，j∈J，a∈A    (8)

mji_j，a，i≤nj_j，i，   i∈I，j∈J，a∈A    (9)

${\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≤{\mathrm{NJ}}_j^{\max }\×m_{j,a}$ i∈I，j∈J，a∈A    (10)

(四)建立纸卷分切的生产操作约束：

其中，大纸卷宽度(BJ_j)和小纸卷宽度(b_i)的约束关系由式(11)和式(12)定义，式中，Δ_j ^max为组合j两边各可切掉的最大废纸边宽度：

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤{\mathrm{BJ}}_j,$ i∈I，j∈J    (11)

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≥{\mathrm{BJ}}_j-2\×{\mathrm{\Δ}}_j^{\max },$ i∈I，j∈J    (12)

其中，大纸卷可切割小纸卷的数量约束由式(13)定义：

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤{\mathrm{NJ}}_j^{\max },$ i∈I，j∈J          (13)

产品的产量至少要满足订单的要求，如式(14)所示：

$\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥N_i,$ i∈I，j∈J，a∈A    (14)

(五)建立纸边废料成本关系式、库存成本关系式、产品延迟交货成本关系式和生产切换成本关系式，从而得出生产成本关系式：

纸边废料成本C_trim：

$C_{\mathrm{trim}}=c_{\mathrm{trim}}\×\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{l}_j\×({\mathrm{BJ}}_j\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}),$

i∈I，j∈J，a∈A    (15)

式(15)中，c_trim为单位面积纸边废料成本，l_j为大纸卷(组合j)的长度；

纸厂生产的产品通常分为两类：订单产品和常用库存产品。当生产出的订单产品数量超过客户需求量时，就会产生一定的库存费用。而常用库存产品的产量要求为一个范围，只有当生产出的常用库存产品数量超过其最大库存限制时，才会产生相应的库存费用。库存成本由订单产品库存费用和常用库存产品库存费用组成，订单产品库存费用(SC_ord)和常用库存产品库存费用(SC_com)的约束方程如式(16)至(17)所示：

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{ord}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{ci}}_i\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i),$ i∈I_ord，j∈J，a∈A  (16)

式(16)中，I_ord为所有订单产品的集合，ci_i为产品i的单位卷数库存费用，SC_ord为不小于0的变量；

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{com}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{ci}}_i\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i^{\max }),$ i∈I_com，j∈J，a∈A    (17)

式(17)中，I_com为所有常用库存产品的集合，SC_com为不小于0的变量；

当产品生产结束的时间要晚于交货时间时，会产生产品延迟交货的成本(C_due)。切纸排产系统中，订单的生产时间由三部分组成：纸机的产纸时间(T_m)、大纸卷从纸机转移到复卷机的转移时间(T_i)、以及复卷机的切纸时间(T_w)。对于一般的纸厂，复卷机的开机速度(v_w)要大于纸机的开机速度(v_m)，且每台纸机会有两台复卷机为其服务。因此，每个大卷纸在纸机生产结束后，可以马上转移到复卷机上分切。根据其生产特点，可得订单生产时间(T_c)由式(18)至式(20)计算得出：

$T_m=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{l_j}{v_m}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}),$ j∈J_c，a∈A     (18)

$T_w=\frac{l_j}{v_w},---\left(19\right)$

T_c＝T_m+T_t+T_w，c∈C    (20)

式(18)至式(20)中，T_m为纸机的产纸时间、T_t为大纸卷从纸机转移到复卷机的转移时间、T_w为复卷机的切纸时间，J_c为属于订单c的所有组合的集合，C为所有订单的集合；

产品延迟交货的成本(C_c ^due)可表示为：

$C_c^{\mathrm{due}}\≥{\mathrm{cd}}_c\×(T_c+T_{c-1}-T_c^{\mathrm{due}}),$ c∈C         (21)

式中，C_c ^due为不小于0的变量，cd_c为单位时间内订单c延迟交货的成本，T_c ^due为订单c的交货时间；

纸厂生产切换次数即为组合的种类数，生产切换成本(C_change)：

$C_{\mathrm{change}}=c_{\mathrm{change}}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a},$ j∈J，a∈A          (22)

式(22)中，c_change为单位切换次数的成本；

由式(15)至(22)可得纸厂的生产成本方程：

$C=C_{\mathrm{trim}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}+\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}{C}_c^{\mathrm{due}}+C_{\mathrm{change}},$ c∈C    (23)

(六)建立优化问题的目标，即使纸厂总生产成本最小，即：

Min  C

所述第三步中的对上述两个步骤组成的纸厂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题进行求解，是指采用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器进行求解。

所述第四步中将优化问题的规模增加一个级别是指将目前的组合数J、产品重复数K和组合重复数A的值各增加1。

所述第五步中的对新规模的优化问题进行求解，是指采用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器进行求解。

所述步骤在第一步之前还包括：按订单的交货期从短至长的顺序确定排产的顺序。

本发明相对于现有技术具有的主要优点及效果是：

1、本发明通过为切纸优化问题确定较合理的初始规模，提出一套合理的求解策略，不需要过多地增加问题规模就能得到最优的排产方案，提高了求解的效率。

2、本发明新建立的切纸优化的混合整数线性规划数学模型综合考虑了纸边废料、生产切换、库存成本和订单交货期的优化，因此求解得到的最优排产方案使纸厂生产既能满足客户订单的要求(产品规格多样、需求量大、交货期短)，又能降低其生产成本的费用(切剩的纸边废料最少、库存成本最低、产品延迟交货时间最短、生产切换费用最低)，更贴合生产企业的实际情况。

附图说明

图1是本发明纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法的工作流程图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例

以一类产品品种多样、交货期短、库存成本高、纸机产纸量大的新闻纸厂为例。其中，有一台纸机和两台复卷机。纸机的最大车速(v_m ^max)为2000m/min，日常车速(v_m)为1600m/min，生产出的纸卷最大宽度(BJ_j ^max)为10.06m。大纸卷从纸机转移到复卷机的转移时间(T_t)为3min。两台复卷机的最大车速(v_w ^max)为2500m/min，日常车速(v_w)为2000m/min，最多可将大纸卷分切的份数(NJ_j ^max)为15份(共16把切刀)，大纸卷两边至少需切掉纸边的宽度(Δ_j ^min)为0.03m，最多只能切掉的宽度(Δ_j ^max)为0.25m。因此，大纸卷的有效宽度，即每个组合的宽度(BJ_j)为：

${\mathrm{BJ}}_j={\mathrm{BJ}}_j^{\max }-2\×{\mathrm{\Δ}}_j^{\min }=10.06-2\×0.03=10m$

单位面积纸边废料成本(c_trim)为0.18元/m²，产品的单位卷数库存费用(ci_i)为200元/卷，单位时间内订单延迟交货的成本(cd_c)为8000元/天，单位切换次数的成本(c_change)为1000元/次。

现有三个产品订单，每个订单有四种产品(i₁、i₂、i₃、i₄)，另有两种产品(i₅、i₆)为常用库存产品。每个订单产品的卷数(Ni)可由式(3)计算得到。常用库存产品的卷数受工厂库存能力的约束，为一个范围。

具体订单需求如表1所示：

表1

根据订单的交货期，可安排交货期最短的订单先进行排产。

(1)订单c₂的排产：

根据式(1)至(4)可确定优化问题的初始规模：组合数J₀＝3、产品重复数K₀＝8、组合重复数A₀＝18。该问题包含的集合有：

j∈{j1，j2，j3}，i∈{i1，i2，...，i5，i6}，k∈{k1，k2，...，k7，k8}，a∈{a1，a2，...，a17，a18}

再由工厂生产能力、表1的数据和式(5)至(23)，得到订单c₂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题：

$\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{j,i,k}\≤1,$

$\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a}\≤1,$

${\mathrm{nj}}_{j,i}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(k\right)\×n_{j,i,k},$

mji_j，a，i≥nj_j，i-15×(1-m_j，a)，

mji_j，a，i≤nj_j，i，

mji_j，a，i≤15×m_j，a，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤10,$ b_i1＝0.82，b_i2＝1.25，b_i3＝1.566，b_i4＝2.28，b_i5＝1.1，b_i6＝1.6，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≥9.5,$

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤15,$

$\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥N_i,$ N_i1＝48，N_i2＝54，N_i3＝45，N_i4＝24，N_i5＝0，N_i6＝0，

$C_{\mathrm{trim}}=0.18\×\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}15000\×(10\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i})$

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{ord}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i),$ i∈{i1，i2，i3，i4}，

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{com}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i^{\max }),$ i∈{i5，i6}， $N_{i5}^{\max }=65,$ $N_{i6}^{\max }=65,$

$T_m=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{15000}{1600}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}),$

$T_w=\frac{15000}{2000}=7.5\min ,$

T_c＝T_m+3+7.5，

$C_{\mathrm{change}}=1000\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a},$

$C=C_{\mathrm{trim}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}+\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}{C}_c^{\mathrm{due}}+C_{\mathrm{change}},$

Min  C

用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对以上数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)：5025元。

具体排产方案为：

1.纸边废料成本为2025元：

组合1(j1)重复15次：包含1卷产品1(i1)、3卷产品2(i2)、2卷产品5(i5)和2卷产品6(i6)，每个组合在10m的有效宽度上需切掉的纸边废料宽度为0.03m；

组合2(j2)重复9次：包含2卷产品1(i1)、1卷产品2(i2)、1卷产品4(i4)和3卷产品6(i6)，每个组合在10m的有效宽度上需切掉的纸边废料宽度为0.03m；

组合3(j3)重复15次：包含1卷产品1(i1)、3卷产品3(i3)、1卷产品4(i4)和2卷产品5(i5)，每个组合在10m的有效宽度上需切掉的纸边废料宽度为0.002m。

2.库存成本为0元：

产品1(i1)共生产48卷，产品2(i2)共生产54卷，产品3(i3)共生产45卷，产品4(i4)共生产24卷，常用库存产品5(i5)共生产60卷，常用库存产品6(i6)共生产57卷。

3.生产切换成本为3000元：

生产切换次数为3次。

4.产品延迟交货的成本为0元：

所有产品完成生产的时间为6.27h。

将上述问题的规模增加一个级别，即组合数J+1、产品重复数K+1和组合重复数A+1。用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对新规模的数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)仍为5025元。因此，结束求解过程，得到订单c₂的最优纸卷分切排产方案。

(2)订单c₃的排产：

根据式(1)至(4)可确定优化问题的初始规模：组合数J₀＝3、产品重复数K₀＝11、组合重复数A₀＝27。该问题包含的集合有：

j∈{j1，j2，j3}，i∈{i1，i2，...，i5，i6}，k∈{k1，k2，...，k10，k11}，a∈{a1，a2，...，a26，a27}

再由工厂生产能力、表1的数据和式(5)至(23)，得到订单c₃纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题：

$\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{j,i,k}\≤1,$

$\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a}\≤1,$

${\mathrm{nj}}_{j,i}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(k\right)\×n_{j,i,k},$

mji_j，a，i≥nj_j，i-15×(1-m_j，a)，

mji_j，a，i≤nj_j，i，

mji_j，a，i≤15×m_j，a，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤10,$ b_i1＝0.65，b_i2＝1.12，b_i3＝1.5，b_i4＝1.86，b_i5＝0.92，b_i6＝1.2，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≥9.5,$

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤15,$

$\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥N_i,$ N_i1＝100，N_i2＝72，N_i3＝60，N_i4＝48，N_i5＝0，N_i6＝0，

$C_{\mathrm{trim}}=0.18\×\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}18000\×(10\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i})$

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{ord}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i),$ i∈{i1，i2，i3，i4}，

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{com}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i^{\max }),$ i∈{i5，i6}， $N_{i5}^{\max }=80,$ $N_{i6}^{\max }=80,$

$T_m=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{18000}{1600}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}),$

$T_w=\frac{18000}{2000}=9\min ,$

T_c＝T_m+3+9，

$C_{\mathrm{change}}=1000\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a},$

$C=C_{\mathrm{trim}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}+\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}{C}_c^{\mathrm{due}}+C_{\mathrm{change}},$

Min  C

用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对以上数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)：4448元。

具体排产方案为：

1.纸边废料成本为648元：

组合1(j1)重复2次：包含4卷产品2(i2)和6卷产品5(i5)，每个组合在10m的有效宽度上不需要切掉纸边废料；

组合2(j2)重复24次：包含1卷产品2(i2)、2卷产品4(i4)、3卷产品5(i5)和2卷产品6(i6)，每个组合在10m的有效宽度上不需要切掉纸边废料；

组合3(j3)重复20次：包含5卷产品1(i1)、2卷产品2(i2)和3卷产品3(i3)，每个组合在10m的有效宽度上需切掉的纸边废料宽度为0.01m。

2.库存成本为800元：

产品1(i1)共生产100卷，产品2(i2)共生产72卷，产品3(i3)共生产60卷，产品4(i4)共生产48卷，常用库存产品5(i5)共生产84卷，常用库存产品6(i6)共生产48卷。

3.生产切换成本为3000元：

生产切换次数为3次。

4.产品延迟交货的成本为0元：

所有产品完成生产的时间为15.1h。

将上述问题的规模增加一个级别，即组合数J+1、产品重复数K+1和组合重复数A+1。用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对新规模的数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)仍为4448元。因此，结束求解过程，得到订单c₃的最优纸卷分切排产方案。

(3)订单c₁的排产：

根据式(1)至(4)可确定优化问题的初始规模：组合数J₀＝3、产品重复数K₀＝8、组合重复数A₀＝21。该问题包含的集合有：

j∈{j1，j2，j3}，i∈{i1，i2，...，i5，i6}，k∈{k1，k2，...，k7，k8}，a∈{a1，a2，...，a20，a21}

再由工厂生产能力、表1的数据和式(5)至(23)，得到订单c₁纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题：

$\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{j,i,k}\≤1,$

$\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a}\≤1,$

${\mathrm{nj}}_{j,i}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(k\right)\×n_{j,i,k},$

mji_j，a，i≥nj_j，i-15×(1-m_j，a)，

mji_j，a，i≤nj_j，i，

mji_j，a，i≤15×m_j，a，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤10,$ b_i1＝0.781，b_i2＝0.82，b_i3＝1.15，b_i4＝1.8，b_i5＝1.2，b_i6＝0.95，

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≥9.5,$

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤15,$

$\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥N_i,$ N_i1＝60，N_i2＝80，N_i3＝72，N_i4＝40，N_i5＝0，N_i6＝0，

$C_{\mathrm{trim}}=0.18\×\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}20000\×(10\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i})$

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{ord}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i),$ i∈{i1，i2，i3，i4}，

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{com}}}{\mathrm{\Σ}}}200\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i^{\max }),$ i∈{i5，i6}， $N_{i5}^{\max }=60,$ $N_{i6}^{\max }=60,$

$T_m=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{20000}{1600}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}),$

$T_w=\frac{20000}{2000}=10\min ,$

T_c＝T_m+3+10，

$C_{\mathrm{change}}=1000\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a},$

$C=C_{\mathrm{trim}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}+\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}{C}_c^{\mathrm{due}}+C_{\mathrm{change}},$

Min  C

用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对以上数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)：3864元。

具体排产方案为：

1.纸边废料成本为864元：

组合1(j1)重复13次：包含1卷产品3(i3)、2卷产品4(i4)、2卷产品5(i5)和3卷产品6(i6)，每个组合在10m的有效宽度上不需要切掉纸边废料；

组合2(j2)重复15次：包含4卷产品1(i1)、3卷产品2(i2)、3卷产品3(i3)和1卷产品6(i6)，每个组合在10m的有效宽度上需切掉的纸边废料宽度为0.016m；

组合3(j3)重复7次：包含5卷产品2(i2)、2卷产品3(i3)和2卷产品4(i4)，每个组合在10m的有效宽度上不需要切掉纸边废料。

2.库存成本为0元：

产品1(i1)共生产60卷，产品2(i2)共生产80卷，产品3(i3)共生产72卷，产品4(i4)共生产40卷，常用库存产品5(i5)共生产26卷，常用库存产品6(i6)共生产54卷。

3.生产切换成本为3000元：

生产切换次数为3次。

4.产品延迟交货的成本为0元：

所有产品完成生产的时间为24.9h。

将上述问题的规模增加一个级别，即组合数J+1、产品重复数K+1和组合重复数A+1。用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器对新规模的数学规划问题进行求解，可得到最优目标值(总生产成本)仍为3864元。因此，结束求解过程，得到订单c₁的最优纸卷分切排产方案。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1、一种纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，包括以下步骤：

第一步，根据订单要求、工厂库存能力和生产能力确定所述订单的纸卷分切与库存综合优化问题的初始规模；

第二步，建立纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型；

第三步，对由上述两个步骤结合组成的纸厂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题进行求解，得到一个最优的目标值和排产方案；

第四步，将优化问题的规模在现有规模上增加一个级别，结合第二步建立的纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型，组成一个新规模的优化问题；

第五步，对新规模的优化问题进行求解，可得到一个新的最优目标值和排产方案；

第六步，如果第五步得到的目标值优于第三步得到的目标值，重复第四步和第五步，否则，输出第五步得到的排产方案，该方案即为最终的排产方案。

2、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述第一步中确定优化问题的初始规模是指确定组合数J的初始值J₀、产品重复数K的初始值K₀和订单产品的卷数N_i，并由此计算出组合重复数A的初始值A₀；其中，

(1)式中，函数

表示不小于X的最小整数，NI_ord为订单产品种类数，NI_c为常用库存产品种类数；

i∈I，j∈J    (2)

(2)式中，函数

表示不大于X的最大整数，BJ_j ^max为大纸卷的最大宽度，b_i ^min所有产品纸卷的最小宽度，I和J分别为所有产品和组合的集合；

i∈I    (3)

(3)式中，W_i为所有产品的总重量，WU_i为产品i的单位面积质量，b_i为产品i的纸卷宽度，l_i为产品i的纸卷长度；

由式(1)、(2)、(3)可计算出：A₀

i∈I，j∈J    (4)

3、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述第二步的建立纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划模型包括如下内容：

(一)建立每种产品在同一个组合内重复次数的约束：

$\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{j,i,k}\≤1,$ i∈I，j∈J，k∈K    (5)

(5)式中，k为产品在组合内重复的次数，K为产品在组合内所有重复次数的集合；

(二)建立每个组合重复次数的约束：

$\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a}\≤1,$ j∈J，a∈A    (6)

(6)式中，a为组合重复的次数，A为组合所有重复次数的集合；

(三)建立产品数量和组合重复次数的约束：

其中，产品i在组合j内重复的次数(nj_j，i)由式(7)定义，式(7)中，函数ord(k)表示元素k在集合K内的序数

${\mathrm{nj}}_{j,i}=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(k\right)\×n_{j,i,k},$ i∈I，j∈J，k∈K    (7)

其中，产品数量和组合重复次数的约束关系由式(8)至(10)定义，式中，mji_j，a，i表示产品i在重复a次的组合j内的数量，NJ_j ^max为大卷纸(即组合j)能切出小纸卷的最多份数。

${\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥{\mathrm{nj}}_{j,i}-{\mathrm{NJ}}_j^{\max }\×(1-m_{j,a}),$ i∈I，j∈J，a∈A    (8)

mji_j，a，i≤nj_j，i， i∈I，j∈J，a∈A    (9)

${\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≤{\mathrm{NJ}}_j^{\max }\×m_{j,a}$ i∈I，j∈J，a∈A    (10)

(四)建立纸卷分切的生产操作约束：

其中，大纸卷宽度(BJ_j)和小纸卷宽度(b_i)的约束关系由式(11)和式(12)定义，式中，Δ_j ^max为组合j两边各可切掉的最大废纸边宽度：

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤{\mathrm{BJ}}_j,$ i∈I，j∈J    (11)

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×{\mathrm{nj}}_{j,i}\≥{\mathrm{BJ}}_j-2\×{\mathrm{\Δ}}_j^{\max },$ i∈I，j∈J    (12)

其中，大纸卷可切割小纸卷的数量约束由式(13)定义：

$\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nj}}_{j,i}\≤{\mathrm{NJ}}_j^{\max },$ i∈I，j∈J    (13)

产品的产量至少要满足订单的要求，如式(14)所示：

$\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}\≥N_i,$ i∈I，j∈J，a∈A    (14)

(五)建立纸边废料成本关系式、库存成本关系式、产品延迟交货成本关系式和生产切换成本关系式，从而得出生产成本关系式：

纸边废料成本C_trim：

$C_{\mathrm{trim}}=c_{\mathrm{trim}}\×\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{l}_j\×({\mathrm{BJ}}_j\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}),$

i∈I，j∈J，a∈A    (15)

式(15)中，c_trim为单位面积纸边废料成本，lj为大纸卷(组合j)的长度；

库存成本由订单产品库存费用和常用库存产品库存费用组成，订单产品库存费用(SC_ord)和常用库存产品库存费用(SC_com)的约束方程如式(16)至(17)所示：

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{ord}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{ci}}_i\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i),$ i∈Iord，j∈J，a∈A    (16)

式(16)中，I_ord为所有订单产品的集合，ci_i为产品i的单位卷数库存费用，SC_ord为不小于0的变量；

${\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}\≥\underset{i=1}{\overset{I_{\mathrm{com}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{ci}}_i\×(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×{\mathrm{mji}}_{j,a,i}-N_i^{\max }),$ i∈Icom，j∈J，a∈A    (17)

式(17)中，I_com为所有常用库存产品的集合，SC_com为不小于0的变量；

订单生产时间(T_c)由式(18)至式(20)计算得出：

$T_m=\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{l_j}{v_m}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{ord}\left(a\right)\×m_{j,a}),$ j∈J_c，a∈A    (18)

$T_w=\frac{l_j}{v_w},---\left(19\right)$

T_c＝T_m+T_t+T_w，c∈C    (20)

式(18)至式(20)中，T_m为纸机的产纸时间、T_t为大纸卷从纸机转移到复卷机的转移时间、T_w为复卷机的切纸时间，J_c为属于订单c的所有组合的集合，C为所有订单的集合；

产品延迟交货的成本(C_c ^due)可表示为：

$C_c^{\mathrm{due}}\≥{\mathrm{cd}}_c\×(T_c+T_{c-1}-T_c^{\mathrm{due}}),$ c∈C    (21)

式中，C_c ^due为不小于0的变量，cd_c为单位时间内订单c延迟交货的成本，T_c ^due为订单c的交货时间；

生产切换成本(C_change)：

$C_{\mathrm{change}}=c_{\mathrm{change}}\×\underset{a=1}{\overset{A}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{j,a},$ j∈J，a∈A    (22)

式(22)中，c_change为单位切换次数的成本；

由式(15)至(22)可得纸厂的生产成本方程：

$C=C_{\mathrm{trim}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{ord}}+{\mathrm{SC}}_{\mathrm{com}}+\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}{C}_c^{\mathrm{due}}+C_{\mathrm{change}},$ c∈C    (23)

(六)建立优化问题的目标，即使纸厂总生产成本最小，即：

Min  C

4、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述第三步中的对上述两个步骤组成的纸厂纸卷分切与库存综合优化的混合整数线性规划问题进行求解，是指采用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器进行求解。

5、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述第四步中将优化问题的规模增加一个级别是指将目前的组合数J、产品重复数K和组合重复数A的值各增加1。

6、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述第五步中的对新规模的优化问题进行求解，是指采用GAMS数学规划求解软件内的CPLEX求解器进行求解。

7、根据权利要求1所述的纸厂纸卷分切与库存综合优化的方法，其特征是，所述步骤在第一步之前还包括：按订单的交货期从短至长的顺序确定排产的顺序。

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