CN101336414A - 用于光学系统模拟的方法和装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了模拟诸如背光源之类光学系统的计算机实施方法以及用于执行此类方法的机器可读介质。所述光学系统包括光学元件。在一些情况下，可以(分别)为所述光学系统的第一和第二元件获取不同的第一和第二概率函数。然后，可以使用至少所述第一和第二概率函数计算组合概率函数，并且可以使用所述组合概率函数跟踪穿过所述光学系统的光线。所述第一、第二和组合概率函数可以是双向散射分布函数(BSDF)，具有存储在单元格中的值，其中每个单元格对应于特定的入射方向和出射方向。某些方法可以包括获取与第一元件相关的第一概率函数，所述第一概率函数包括作为入射方向和出射方向的函数的单元格值。可使用所述第一概率函数跟踪穿过所述光学系统的光线。

Description

用于光学系统模拟的方法和装置

技术领域

本发明涉及光学系统的模拟。

背景技术

一般通过传统的光线跟踪来实现光学系统的模拟。在穿过多种不同部件的传统光线轨迹模拟中，可能会以非标准方式指定部件，从计算的观点来看，这可能需要模拟软件以不同的方式处理多种部件，从而使模拟方法变得复杂。另外，不同使用者可能决定使用不同参数来指定特定部件，从而导致模拟出来的性能对于不同的用户可能会不同。此外，光线轨迹计算本身可能惊人地冗长。

发明内容

本发明公开了模拟光学系统的计算机实施方法。所述光学系统可能包括多个部件，每个部件均具有至少一个元件。此光学系统可以为(或包含)背光源，或其它非成像光学系统，或LED器件等。

某些方法可以包括为光学系统的第一和第二元件(分别)获取不同的第一和第二概率函数。这些方法还可以包括使用至少第一和第二概率函数来计算组合概率函数，以及使用组合概率函数来跟踪穿过光学系统的光线。第一、第二和组合概率函数可以是双向散射分布函数(BSDF)，具有存储在矩阵单元格中的值，其中每个单元格对应于特定的入射方向和出射方向。

一些方法可以包括获取与至少第一元件相关的第一概率函数，第一概率函数用存储在矩阵单元格中的值表示，其中每个单元格对应于特定的入射方向和出射方向。这些方法可以进一步包括使用第一概率函数跟踪穿过光学系统的光线。

本发明所公开的一些方法包括：跟踪进入背光源或其它光学系统的输出平面的光线；从被跟踪的光线搜集信息以生成第一数据库，第一数据库包含入射在输出平面上的光线的空间和方向信息；将概率函数与输出平面关联起来；以及根据概率函数和该数据库来计算出第二数据库，第二数据库包含从输出平面出射的光线的空间和方向信息。在一些情况下，输出平面对应于光学膜的叠层，例如：扩散膜、棱镜膜、反射偏振膜、转向薄膜等等。优选的是，概率函数是输出平面的BSDF。

在另一方面，为了计算显示器或其它光学系统的输出特性，混合模拟方法使用与每个元件、部件或者元件或部件的集合相关的BSDF来跟踪从一个系统部件到下一个系统部件的光线，以计算光线的方向。如果输出特性被存储在包含空间和方向信息的数据库中，则可以在客户可访问的用户界面中利用这种数据库以允许客户对所选背光源构造的可见几何形状的控制进行模拟以及对虚拟实时地查看背光源外观是如何改变的进行模拟。

本专利申请的这些方面及其它方面在以下具体说明中将显而易见。然而，在任何情况下以上概述都不应理解为是对请求保护的主题的限制，该主题仅受所附权利要求的限定，在申请过程中可以对其进行修正。

下文会详细讨论背光源系统，但读者应了解，也可以将相同的模拟方法用于模拟多种其它光学系统。另外还引用了共同转让的名称为“Computerized Modeling For Design and Evaluation of OrganicLight Emitting Diodes”(用于有机发光二极管设计与评估的计算机化建模)的美国专利申请No.11/290,767，其提交于2005年11月30日，以讨论如何将所公开的模拟方法用于有机发光二极管。该模拟方法并不仅限于电磁波频谱可见光部分内的光学系统，而是能应用到利用了光谱中的紫外线和红外线部分内的光的系统。

附图说明

图1为背光源系统的示意性剖视图，该图还示出了穿过该系统的传统光线轨迹。

图2为具有与图1背光源系统相同的运行特性的模拟背光源系统的示意性剖视图，该图还示出了穿过该模拟背光源系统的模拟光路。

图3为背光源模拟系统及其组成元件或模块的框图。

图4为示出图3背光源模拟系统中可用薄膜库的操作和架构(layout)的框图。

图5为示出图3背光源模拟系统中可用光源库的操作和架构的框图。

图6为示出图3背光源模拟系统中可用叠层评估程序的操作和架构的框图。

图7为示出图3背光源模拟系统中可用背光源模拟程序的操作和架构的框图。

图8为示出为描述光线方向特征而进行的单位圆等面积分区的示意图。

图9为示例性发光二极管的发射图案的曲线图。

图10C为具体扩散板的实测和预测的透射辐射角分布的曲线图。图10A为相应的预测的反射辐射分布。图10B和10D为图10A和10C各自的下采样表示。

图11A和C为Vikuiti^TM增亮薄膜(BEF)下的扩散板在单位圆上的预测(11A)和实测(11C)增益的灰度图。图11B和11D为沿着图11A和11C各自单位圆的所选直径的增益值的曲线图。

图12A-D与图11A-D类似，不同之处在于扩散板位于两张交叉的BEF棱镜膜下面。

图13A为侧发光LED的实测发射图案的曲线图。图13B为图13A发射图案的发光累积分布。

图14A和C为对于使用利用图10描述的扩散板的背光源，以垂直视角查看时，示例性测试固件的预测(14A)和实测(14C)图像的灰度图。图14B和14D分别为沿着穿过图14A和14C中图像的垂直线性路径的亮度值曲线图。

图15A和C为图14测试固件的预测(15A)和实测(15C)图像的灰度图，不同之处在于视角偏离垂直方向65度。图15B和15D类似于图14B和14D。

图16A和C为对于包含与一张BEF棱镜膜组合的扩散板的背光源，以垂直视角查看时，预测(16A)和实测(16C)图像的灰度图。图16B和16D类似于图14B和14D。

图17A-D类似于图16A-D，不同之处在于视角偏离垂直方向65度。

图18A-D类似于图16A-D，但在与第一张BEF棱镜膜交叉的取向上为背光源增加了一张附加的BEF棱镜膜。

图19A-D类似于图18A-D，不同之处在于视角偏离垂直方向60度。

图20A和C为对于使用正面在玻璃(具有内部ESR点板)下的扩散板的背光源，以垂直视角查看时，测试固件的预测(20A)和实测(20C)图像的灰度图。图20B和D类似于图14B和14D。

图21A和C为对于使用玻璃(具有内部ESR点板)下的扩散板的背光源，在将该点板建模为完全镜面表面的情况下，以垂直视角查看时，测试固件的预测(21A)和实测(21C)图像的灰度图。图21B和D类似于图14B和14D。

图22为示例性增益增强叠层的示意性剖视图。

图23为示例性壁构造的示意性剖视图。

图24是定义求解辐射传递方程所需条件而使用的两个标称平面结构的示意性剖视图。

在这些附图中，类似的附图标记表示类似的元件。

具体实施方式

当代液晶显示屏(LCD)计算机监视器和电视机使用背光照明。背光源系统为液晶面板提供总体上均匀的照明平面，液晶面板以像素为单位减弱背光源以形成图像。从后面为液晶面板照明，观察者从前面观察图像。图1中示意性地示出了典型的背光源系统10。系统10为直接照明式背光源，这是因为它包括直接设置在背光源输出区域后面的光源。在另一些被称为边缘照明式背光源的系统中，光源沿着背光源输出区域外的边缘设置，此外，通常包括楔形或块形光导以将光引导进入输出区域。本文所述方法可用于模拟任何类型的背光源，无论是直接照明式、边缘照明式还是其它形式。该方法也可以用于模拟可能不具有主动光源的反射显示器的背光源。

腔体12内具有一个或多个光源14，通常为冷阴极荧光灯阵列，但也可以使用发光二极管阵列，以及其它任何合适的光源。尽管示出光源14大致位于腔体12的中心，但可以将它们沿着腔体壁16或其它任何合适的位置放置。通常，腔体壁16具有反射性，并且可以可选地具有粗糙表面或涂层以增强反射光的散射。腔体16具有输出区域18，其可以是物理表面，也可以只是数学构造。

从腔体12射出的光会遇到光学薄膜叠层20，其通常具有一个或多个光学层或薄膜，这些光学层或薄膜会将某些光转向到特定的观察方向、反射并循环具有不期望偏振状态的光(例如，当背光源对包括吸收偏振片的液晶显示面板进行照明时)或者使背光在其整个输出区域更均匀。可在光学薄膜叠层20中使用多种不同的光学薄膜，无论是当前可得的还是以后开发的都可以使用；以下对三种薄膜的实例进行描述。可以通过空气将这些薄膜间隔开，也可以通过粘合剂或涂敷操作将其附接到一张或多张相邻的薄膜。气隙可以是宏观的(如接近毫米或毫米以上并且肉眼可见)，也可以是微观的(如一张光学薄膜简单地放置在另一张薄膜上，在接触点之间留下小到肉眼无法观察的气隙)。

传统的扩散片22具有在本体层随机设置的大量颗粒27。这些颗粒可以在多种不同性质上不相同，包括位置、大小、形状、折射率等。穿过扩散片的光与颗粒相互作用并以基本随机的方式转向。总的来说，通过改变光的方向使得任何特定方向的出射光均作为许多方向来的入射光的平均，以及通过将入射光的一部分反射回腔体以使得在其下一次与扩散片相遇时能够具有不同的位置、方向和偏振，可以使得光在整个扩散片上更加均匀。典型的本体层的折射率可为1.50。扩散片22为本体扩散片，其具有后表面24和前表面26。具有结构化表面的表面扩散片或扩散粘合剂也可以用于背光源系统和显示器。

示出了传统增亮棱镜膜28具有大致平坦并且光滑的后表面30，以及相对的结构化前表面32，前表面具有的截然不同的小平面被布置为形成沿棱镜轴或方向彼此平行延伸的大致90度棱镜的阵列。棱镜膜28反射垂直入射光，并且透射或反射倾斜入射光(取决于入射方向)。当棱镜膜被满足朗伯分布的光照射时(近似许多背光源的情形)，透射穿过棱镜膜的光分布在法向达到峰值并且集中在法向附近。薄膜28通过将某些倾斜入射的光偏转到更靠近法向的方向并将其它光(包括垂直入射光)向腔体12反射来帮助提高呈现给观察者的表观亮度。除非被后续的交互作用完全吸收，否则，这些反射光能被扩散片22和/或反射腔体壁16转向，使之返回棱镜膜，直到最后在接近法线的方向上穿过薄膜28。这样，以高入射角穿过的光被转向为低出射角，并且在法线视角及其附近呈现给观察者的表观亮度得到增加。典型的棱镜膜28可能具有约90度的内部二面棱镜角，棱镜到棱镜的间距和棱镜高度为约50微米。每个棱镜的顶部和/或底部边缘都可能不是完全尖锐，而是呈圆形并具有特定半径，如大约几微米。典型的棱镜膜28的折射率可以为1.50。作为另外一种选择，可以使用层状结构，其中将棱镜(由具有第一折射率的第一种材料组成)安放(或换句话讲，附接)到均匀平坦基膜(由具有不同折射率的第二种材料组成)上。可用于增加显示器亮度的示例性棱镜膜为3M公司提供的Vikuiti^TM增亮薄膜(BEF)。具有可供选择的光偏转结构的多种其它微结构化薄膜可以以棱镜朝上和棱镜朝下两种取向用于光学薄膜叠层。此结构可以是线性的，即，沿着给定方向或轴线均匀延伸，也可以是二维的，如具有在两个垂直方向上受限定的基部的结构，例如，三角形、正方形、矩形或圆形。结构化的特征在高度、节距、形状和调制方面可以是规则的或不规则的。

示出了传统反射偏振片36由大量薄的双折射层40组成。反射偏振片36具有后表面38和与后表面相对的前表面42，它透射一种偏振状态(有时称为“通过”状态)，反射一种正交的偏振状态(有时称为“阻塞”状态)。在背光源系统10环境中，阻塞状态的光可以被背光源系统10的部件以这样的方式散射和反射：该方法将其偏振状态转向为通过状态，这样光就能穿过反射偏振片36。这种偏振循环在使用背光源系统为液晶面板照明的应用中很重要，因为液晶面板对偏振敏感，并且循环过程将至少一些在其它情况下会浪费掉的偏振状态的光学功率转换为可被液晶面板使用的垂直状态。示例性反射偏振片包括3M公司提供的Vikuiti

双重增亮膜(DBEF)。其它合适的反射偏振薄膜包括漫反射偏振薄膜、线栅偏振片和胆甾型反射偏振片。

扩散片22、棱镜膜28和反射偏振片36互相相对靠近地组合在一起，形成光学薄膜叠层20。应当理解，本文所述光学薄膜叠层20仅仅是示例性的，并且光学薄膜叠层可以包括更多的层、更少的层和不同类型的光学层，或基本上由更多的层、更少的层和不同类型的光学层组成。例如，给定光学薄膜叠层可以包括微结构化的转向薄膜、粘合剂、吸收偏振片、光导、反射薄膜和/或旨在增加刚度的漫射或透明支承层或板。图1中未示出任何液晶面板；如果存在液晶面板，则它通常位于邻近光学薄膜叠层20的前表面42的位置。

模拟背光源系统的一种方法是标准光线跟踪。光线从光源发出，从部件传播到部件。每个光线交互作用均以调整光线功率和确定新方向的规则进行。光线交互作用可以为表面和体积交互作用。例如，表面交互作用可以包括菲涅耳反射和透射。体积交互作用可以包括随机传播和角度的散射，或没有任何散射和光线转向的功率减少，例如，当光传播穿过透光但吸光的块材料时发生的情形。在典型的光线轨迹中，光线功率会在每次交互作用时减小，并且光线一般基于已确立的光学法则被转向，例如，镜面反射定律(入射角等于反射角)、斯涅耳折射定律和用于反射和透射光的振幅的菲涅耳公式。传统的光线跟踪也可以处理具有随机传播距离和散射角度的单散射(光线照射到具有特定粗糙度的表面上时可能出现)。可以跟踪这些光线，直到其到达输出平面，输出平面通常为液晶面板所在平面。然后可以从对输出平面上的光线的统计分析确定背光源的特性。

在传统的光线跟踪中，确定光线交互作用时对概率的使用有限。例如，通常根据所提供的对特定光源的说明随机选择光源光线的位置和方向。另外，可以随机地对待某些交互作用，例如有扩散部件的情况，其中根据入射角和所提供的对表面粗糙度的说明从概率上计算出射角。在这种情况下，该交互作用通常被视为传统菲涅耳反射交互作用的扰动。但通常情况下，大多数其它交互作用被视为确定性的，例如具有图1中所示多种部件和表面的交互作用。不可避免的是，模拟的图像中存在统计噪声。为了将统计噪声减少到可接受的程度，会从光源到图像跟踪大量的光线，通常数以百万计。对于典型的背光源构造，以及希望在背光源表面的空间分辨率有约一万个单元或像素的情形，通常会跟踪一千万条出射光线。注意，在射出背光源系统或被吸收之前，这些光线中的每一条都会经历大量的交互作用。传统光线轨迹的实例如图1所示并描述如下。

在光源上的特定位置以特定角度发出光线44。注意，一般通过对光源的描述以概率的方式确定初始条件。光线44反射离开腔体壁16和腔体12内的其它元件，直到到达腔体输出区域18，光线从其上面离开腔体12。输出区域18可以为物理表面，也可以不为物理表面。

离开腔体12输出区域18的光线46接下来与光学薄膜叠层20相遇，在那里可能有许多交互作用，每个交互作用都由诸如上述的光学原理决定。例如，在薄膜28的棱镜处的交互作用由上述光学原理决定。最后，在多个交互作用以及进入腔体的可能反射作用之后，光线48从光学薄膜叠层20射出并到达(例如)LCD面板的像面(未示出)。

为了得到关于典型背光源系统的良好结果，从源开始，经过多个交互作用，到背光源自身的输出区域(在下文中称为输出平面)跟踪大约一千万条光线。在许多情况下，输出平面对应于背光源系统的最外面或最前面的物理平面，在背光源系统10中，对应于反射偏振片36的前表面42。实际光线数量(例如，无论大约一百万、一千万还是一亿)取决于诸如背光源物理尺寸、所需空间分辨率以及模型输出结果中的所需精度(或可接受的最大统计噪声程度)等因素。跟踪光线以后，对光线在输出平面的统计分析用于预计背光源的特性，例如，平均辐射、空间均匀性或在背光源输出区域上的辐射空间差异性等。以下描述了单独使用标准光线跟踪来模拟背光源系统的一些缺点。

首先，用于表征多种光学薄膜部件(如棱镜膜、扩散膜、多层膜、全息膜或吸收膜)特点的物理信息可以从一个部件到另一个部件差距很大。例如，可以用本体层折射率、颗粒的折射率、颗粒的尺寸和形状以及颗粒在扩散片22中所在位置的平均密度来指定扩散片22。与此相对比的是，可以用棱镜角、棱镜间隔、棱镜高度、棱镜和支撑基底的折射率以及棱镜边缘的曲率半径来指定棱镜膜28。可以用层数、其物理厚度以及其在三个正交方向上的折射率来指定多层薄膜。从计算的观点来看，不同类型的信息需要模拟软件以不同方式处理多种薄膜，从而使模拟方法变得复杂。

第二，指定给定薄膜时，对将使用的参数的选择可能显著影响模拟结果。例如，尽管某些设计者可能知道模拟结果可能依赖于棱镜膜28中棱镜边缘的曲率半径，但其他设计者也许不知道，并且可能因此不将曲率半径作为其模拟中的可调参数包括在内。假定尖锐棱镜边缘的模拟可能不符合实际棱镜膜28的真实性能，实际棱镜膜的曲率半径可能较小，但非零。挑选出来的棱镜28的曲率半径仅仅是一个实例；其它细微特征也可能同样重要。一般来讲，对于给定系统的模拟可能存在因疏忽遗漏特定可调节参数而引起的固有误差。使用哪些参数来进行指定的选择权可能大部分都留给了各个设计者，并且可能使得不同设计者的模拟结果质量存在差异。

第三，光线轨迹计算本身可能惊人地冗长。对于典型的系统，光线在到达输出区域之前，一般可能有10到1000次转向和交互作用。因此，跟踪大约一千万条穿过背光源系统的这种光线的计算要求会相当高，在现今标准并且易得的计算机系统上需要数天或者甚至数周时间才能完成。此外，随着显示器尺寸和复杂度的增加，所需的计算数量变得更大，例如，大屏幕液晶显示屏电视，它需要更多信息来指定光线轨迹的内部部件，并且需要远超过一千万的光线才能维持相当的分辨率和输出平面中足够低的统计噪声程度。

因此，背光源模拟方法和装置在其对不同光学部件的描述中使用标准化规范，有利于降低不同设计者之间的可能差异和/或降低对计算的需求(与传统方法相比)。

一种这样的模拟方法和装置使用概率将光线轨迹中的光线转向。背光源系统中任意给定部件的光学特性都精简到双向散射分布函数(也称为BSDF)中，在计算机实施软件中，BSDF作为矩阵进行数学处理。BSDF提供在特定入射方向以特定入射强度照射部件的光线在特定出射方向以特定出射强度出射的概率。可以以任何一致的方式建立或排列BSDF矩阵，但需要依据该惯例：矩阵中的行对应于出射方向，列对应于入射方向，并且矩阵单元格中的值与和一对特定入射和出射方向对应的概率密度成比例。可以通过单个BSDF来描述背光源光路中的每个部件，一次便可完成对该BSDF的计算，然后将其存储到库中(如果需要的话)。在某些情况中，可以将邻近或连续部件的多个BSDF结合为一个组合BSDF，从而导致与传统光线跟踪相比，总体计算少得多。

考虑图2的背光源系统50作为能与图1所示光线轨迹方法相比较的实例。系统50为整个背光源系统10(图1)的模拟表示，其中薄膜叠层20的各个部件已用单独的BSDF代替，然后这些BSDF在数学上被组合为薄膜叠层20的单个聚集BSDF，在图2中用模拟薄膜叠层52表示。背光源系统的其它部件(例如，腔体壁16和光源14)也用BSDF表示。

图2示出了具有代表性的穿过系统50的被跟踪光线，从而可以将模拟的复杂性与图1所示传统光线轨迹模拟的复杂性进行比较。光线54从光源14发出，反射数次离开腔体壁16，然后到达腔体输出区域18。光线56继续传播，到达模拟的光学薄膜叠层52。在此处，用单个聚集BSDF矩阵对光线56进行运算，其结果是产生输出光线58，该光线与图1的输出光线48大致相同，但却是用少得多的模拟交互作用事件和少得多的计算得出。描述图2中交互作用的少量矩阵运算比对于10至1000次光学交互作用的运算简单得多，其中每次计算都基于光学原理(涉及图1的模拟时是必需的)。简易程度的提高会致使基于BSDF的模拟的计算时间显著减少。注意，图1和2的系统仅仅是实例，且不以任何方式产生限制。

本发明所公开的基于BSDF的背光源模拟有几个主要但独立的方面：(1)计算构成背光源的一些或所有部件或元件的每一个BSDF，(2)可选地将多个BSDF组合成一个或多个组合BSDF，以及(3)跟踪具有由一个或多个BSDF决定的光线转向的光线。以下段落将对这些方面的每一个进行概括性的说明，并在随后有更为详细的描述。

主要方面(1)和(2)可被认为是模拟的叠层方面。光路上每个部件的BSDF都用矩阵表示。对于除了结构化界面以外所列出的每个光路部件以解析的方法计算矩阵；结构化界面的矩阵通过模拟来计算。对于表示叠层BSDF的矩阵，通过使用线性代数方法组合光路部件的矩阵进行计算。可以强制要求和利用电磁可逆对称，这可使对内存的需求降至最低程度、降低模拟部件中的噪声，以及减轻组合各个部件矩阵时的计算负荷。另外，可以强制要求和利用每个部件的物理对称性，这可使对内存的需求降至最低程度、降低计算中的噪声，以及大大减轻计算负荷。此外，也可以对一般线性代数运算所需的软件和/或硬件进行优化。

主要方面(3)涉及在模拟中跟踪光线的方法。每条光线(例如)均从一个或几个光源发出，具有由描述这一个或几个光源发光情况的特定概率分布所决定的随机位置和方向。然后每条光线从部件到部件传播。对于背光源系统，这涉及充气腔体或塑料光导内的传播。

在每个部件处，光线功率减小，并且根据该部件局部BSDF内含的概率分布随机转向。例如，当光线照射到部件上时，其命运就可能由两个随机决策决定，第一个是选择反射或透射(光线功率因吸收而减小)，第二个是选择反射或透射方向。就这一点而言，术语“随机”意味着根据控制函数(例如，BSDF)在统计意义上作出决策，而不是确定性地作出决策。使这些决策在统计意义上与传统确定性方法的决策相同所需的概率分布体现在特定部件的BSDF中。每次光线照射到背光源至少部分地具有透射性的输出表面，其所有或部分功率在某个向量上聚集，该向量的不同分量表示不同的入射方向。可为输出表面上一系列邻接区域(或像素)中的每一个都维持一个这样的向量。在每个这种向量中聚集了足够数量的光线之后，将该向量乘以表示输出表面局部BSDF的透射分量的矩阵，从而计算局部透射的辐射。

此模拟具有优点，该优点可能包括以下优点中的一个或多个：

第一，提高计算效率，从而导致计算速度提高。如图1与图2的对比中所示，对于普通背光源光学薄膜叠层，计算时间降低至约千分之一至十分之一。实际上，这就意味着对于给定的系统设计时间，可以有更多的设计空间用于研究模拟。这样，继而可以对以前因太复杂或太费时而不能模拟的某些系统进行模拟。

第二，在计算了普通薄膜的BSDF之后，可将它们存储起来，以后便可通过薄膜的标识名称和可能的简单修饰内容(比如特定的旋度)对它们进行调用。查找已存储的薄膜BSDF所需计算时间比重新计算它所需的时间少得多，这可以导致进一步减少计算时间。

第三，可以计算已知薄膜的新型组合。一旦存储了各个薄膜的BSDF，就可以直接调用和组合它们。

第四，模拟能够直接产生新型薄膜的BSDF。一旦计算出新型薄膜的BSDF，该薄膜就可以立即在模拟中单独使用或与其它薄膜结合使用。

第五，无论部件或元件的物理复杂性如何，都可以用相对简单的矩阵运算对其进行处理。

第六，部件描述的标准化会使使用者的使用变得便利。换句话讲，使用者可以避免为某一部件指定一组参数，而为另一部件指定完全不同且不相关的另一组参数。

第七，部件描述的标准化可以减少不同使用者的预测结果的差异，如果使用者对描述部件时使用哪些参数进行选择，就会出现这种差异。

以下段落提供对背光源设计的模拟的概述。在概述之后，将更为详细地探讨每个主题。

图3示出了背光源模拟系统60的高度示意性框图。系统60可以表示模拟背光源系统的方法，或者执行模拟的装置(例如计算机)或可得自存储装置(如磁盘)或可通过下载获得的一个或多个软件文件。

可由建模、实验或这两者生成所选材料、薄膜和/或表面的BSDF，然后保存到库或数据库(表示为薄膜库62)中。对于每个薄膜或部件，此操作可以只进行一次；一旦计算了BSDF，就可以将其存储起来，并根据需要由任意使用者在任意模拟中不限次数地从库中调用，而无需重新计算BSDF。部件的BSDF通常以解析的方法计算得出或通过模拟得出，但也可以用实验方法得出。调用存储的BSDF比在每次需要时重新计算更快，并且更高效。

系统60的使用者可以从薄膜库62中选择材料、薄膜和/或表面来形成薄膜叠层。该使用者也可以为薄膜叠层指定几何形状，包括每个薄膜或部件的顺序、位置和取向。在没有显著自由空间传播的情况下，叠层计算程序64将各个材料、薄膜和/或表面的BSDF以数学方法组合成单个组合BSDF。叠层计算程序64可以使用对称来减少所需计算的数目。对于每个模拟设计，可以只进行一次组合BSDF的计算，而不是每次跟踪光线都进行计算。

光源库66用与薄膜库62相似的方式存储所选光源的发射图案。可由建模、实验或这两者生成发射图案，发射图案可以通过辐射(以每单位面积每立体角功率为单位的辐射测定量)的角度和空间分布来表征给定光源的特点。对于每个光源，此操作只可以进行一次；在测量或计算特定光源的发射图案，然后将其存储之后，就可根据需要从库中对其进行调用。调用存储的发射图案比在每次需要时重新计算更快，并且更高效。

系统60也包括背光源模拟程序68，使用者在其中指定一个或多个光源的类型和位置、反射腔体的几何形状和材料/薄膜/表面、薄膜叠层和输出平面。输出平面一般为显示设备中放置液晶面板的地方，但可以使用其它合适的输出平面。然后从光源到输出平面跟踪光线。在跟踪光线之后，其在输出平面上的位置、方向和光度确定了背光显示器的表观亮度。通常将该表观亮度表示为辐射、表示为视角的函数以及表示为屏幕位置的函数。

计算背光显示器的辐射之后，可以以多种方式显示它，包括用图表表示、用绘图表示、用数字表示等。出于此目的，系统60包括虚拟显示器70，其以此方式显示模拟结果：该方式使得使用者能够评价背光显示器的性能，并且能够将该性能与一组已知设计规格或标准进行比较。

现在将更加详细地探讨编号62-70的元件。

薄膜库：概述

图4中示意性地示出了薄膜库62的操作和架构。在步骤72中，薄膜库62识别部件，例如，特定的薄膜、材料或表面。在步骤74中，如果该部件已经存在于薄膜库62中，就会在步骤76中调用该部件的BDSF，然后在步骤78中提供它。在步骤74中，如果该部件不存在于薄膜库62中，那么使用者在步骤80中提供对该部件的详细描述，薄膜库在步骤82中计算该部件的BSDF，在步骤84中存储该BSDF，以使得无需再次计算它，然后在步骤78中提供该BSDF。

本文使用以下术语，这些术语遵从复杂性分级。可以被模拟的最简单项目在本文中被称为“元件”或“基本结构”。元件的一个实例是具有与对侧不同的折射率的单独界面。元件的另一个实例是具有特定折射率和厚度的介质。该分级中的下一个项目是“部件”或“薄膜”，其由两个或更多个元件组成。例如，浸入空气中的平面平行玻璃板可能由三个元件组成：空气和玻璃之间的第一个界面、具有特定折射率的玻璃介质以及玻璃和空气之间的第二个界面。最后，位于该分级顶层的项目是叠层或薄膜叠层，其中可以具有两个或更多个部件。例如，图1中的叠层20具有三个部件。一般来讲，部件具有的复杂性与市售的(单个)光控膜或产品的复杂性类似，并且叠层可以由多个这种部件形成。

可以将部件存储为元件的组合，而不是单个部件。例如，可以将上述浸入空气中的玻璃板存储为空气与玻璃之间的界面、玻璃介质和玻璃与空气之间的界面。如果用折射率匹配的粘合剂将该玻璃板粘结到另一个元件或部件，那么这样存储部件的好处就变得很明显；邻近粘合剂的界面不再位于玻璃和空气之间，而是位于玻璃和粘合剂之间。尽管可以将这些部件存储为其组成元件，但我们仍然可以使用更简单的术语“部件BSDF”，而不是“构成该部件的各个元件的BSDF的组合”。

因为许多更简单的元件的BSDF计算相对直观，所以在需要时可以重新计算它们，而不是将其存储和调用。这些重复计算并不会显著增加所需的总计算量，并且可以消除对存储许多更简单元件的BSDF的需求。

我们假设大多数真实的物理部件都能用本文所述一个或多个理想化元件的组合充分地建模或模拟。这类模型能正常产生出与实验观察相比更为有利的模拟结果。

步骤80和82可能是薄膜库中在技术上要求较高的步骤，以下章节将分别讨论BSDF的说明、BSDF的矩阵表达式、存在于BSDF中的可逆对称、用于BSDF的角基，以及最后，为多种部件创建BSDF。以下每节都将描述一个薄膜库的示例性实施例；对于每一个方面，都可以使用其它适当的实施例。

双向散射分布函数(BSDF)

考虑位于笛卡尔x-y-z坐标系中两个平行参考平面z＝z_b和z＝z_a之间的、标称为平面的双重重复无限结构，其中z_b＜z_a。该结构上面的介质均匀，折射率为n_a；其下面的介质均匀，折射率为n_b。以空间均匀的辐射I⁽ⁱ⁾从下面照射较低的参考平面，该辐射在与方向

成立体角的无穷小增量内固定不变，否则为零。在这里和其它地方，符号“^”表示单位长度的向量。I⁽ⁱ⁾中的上标“(i)”和

中的下标“i”是指“入射”光。注意， ${\hat{s}}_i\·\hat{z}>0.$ 我们试图计算在上面的参考平面上，通过该结构透射进入上半球任意方向

的辐射

其中 ${\hat{s}}_t\·\hat{z}>0,$ 以及在下面的参考平面上，反射进入下半球任意方向的辐射

其中 ${\hat{s}}_r\&CenterDot;\hat{z}<0.$ I^(t)中的上标“(t)”和

中的下标“t”表示“透射”光，I^(r)中的上标“(r)”和

中的下标“r”表示“反射”光。

我们将标称为平面的结构描述为“双重重复”。我们这样说是指，可以在水平平面或x-y平面中选择尺寸有限的单位单元，并且通过沿着两个正交面内轴(例如，x轴和y轴)以分步重复方式复制单位单元，可以很好地表示整个结构的物理特性。

在最简单的双重重复结构的情形下，该结构为完美平面，并且有均一的折射率。在其它情况下，该结构的表面特征偏离理想平面。作为另外一种选择或除此之外，该结构可以具有不均一的折射率，这可(例如)由在其它方面均一的介质中的空隙或其它内含物所引起。无论此结构的可变性与表面结构相关还是与折射率变化相关，此可变性都可以是周期性或非周期性的，并且可以只沿着一条面内轴存在，或沿着两条面内轴存在，或者是它们的组合(如沿着两条面内轴呈现周期性，或沿着一条轴呈现周期性而沿着另一条轴呈现非周期性，或沿着一条轴呈现周期性而沿着另一条正交轴保持固定(没有可变性)，等等)。

如果该结构的可变性沿着某条轴呈现周期性，就可以选择最小空间周期或其整数倍数作为沿着该轴的单位单元的宽度。如果该结构的可变性沿着某条轴呈现非周期性，并且假定可变特征同时满足(a)足够小并且足够多以使得总体均值在特征最小长度内符合，并且(b)以在水平面上平稳的方式(意味着特征长度内的特征的统计特性独立于其沿着该轴线的位置)分布在该结构上，那么可以选择这种特征长度作为沿着该轴的单位单元的宽度。如果该结构沿着某条轴保持固定(平移不变)，那么可以选择包括无穷小长度在内的任何所需长度作为沿着该轴的单位单元的宽度。有利的是，标称为平面的结构的重复性使得为了模拟目的而分离出适当的单位单元然后只在该单位单元范围内计算辐射函数I^(t)和I^(r)的空间依赖性成为可能，因为I^(t)和I^(r)将具有与该结构相同的重复特征。此外，在单位单元(在面内两个方向上均)小于可观察分辨极限的情况下，用辐射函数I^(t)和I^(r)在单位单元上的空间平均值来表征这两个辐射函数的特点，使得辐射函数在空间上是均匀的，这样做是适当的。我们将把进一步的注意力限制在这些情形，其中I^(t)和I^(r)类似于I⁽ⁱ⁾，只取决于方向，而不取决于水平位置。

透射辐射

与入射辐射之间的关系由表面的双向透射率分布函数

表示。

与

之间的关系由双向反射率分布函数

表示。函数T^(b)和R^(b)都是双向散射分布函数(BSDF)的实例，通常表示为积分形式，描述了入射辐射角分布产生的、在指定方向上的透射或反射辐射：

包括上标b的目的在于标识T^(b)和R^(b)属于从表面下方的入射。存在第二组函数T^(a)和R^(a)，描述从上方入射时的类似关系。这些关系式的形式相同，不同的是每个自变量的向上/向下含义颠倒了。

对于向上指的半球上的定向单位向量

可以用其水平投影

写为：

$\hat{s}={\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h+{(1-{s_h}^2)}^{1/2}\hat{z}$

在这里和其它地方，符号“→”表示向量。可以以类似方法书写向下指的半球上的单位向量

但根式的符号相反。I⁽ⁱ⁾、I^(t)和I^(r)是局限于向上指或向下指的半球的的函数。因此，每个都可被表示为只是其自变量水平投影的函数，即和

与此相似，T^(b)、R^(b)、T^(a)和R^(a)可被表示为其自变量水平投影的函数，例如，

和

的定义域是单位半球，并且以

的球极坐标(r，θ，φ)表示的立体角微分单元

为

的定义域为单位圆，并且以

的平面极坐标表示的面积微分单元

为

其中 $s_h\&equiv;\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h\right|.$ 因为根据定义，s_h＝sinθ并且φ和

的方位角相同，所以 $d\hat{s}=d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h{(1-{s_h}^2)}^{-1/2}$ 而 $d{s}_h=|\hat{s}\&CenterDot;\hat{z}|d\hat{s}.$ 因此，I^(t)、I^(r)和I⁽ⁱ⁾之间的关系以

表示为

适用于来自下方的入射。这些关系式的形式与入射来自上方时类似，不同的是

替换了T^(b)，并且

替换了R^(b)。

与局限于向上指或向下指的单位半球方向上的辐射相关的辐照度F为

对于辐照度的微分贡献只是

因此，与

单位圆定义域内的

成比例的振幅的二维图自然表现了不同方向对I的影响，因为当观察器观察到这个图时会自然地执行面积积分。我们以这种形式作为辐射对方向的依赖性的标准描述，以使得仅仅对所描述的辐射在其单位圆定义域上积分就可以确定辐照度。

在某些情形下，可以只在一侧(而不是在两侧)计算元件、部件或叠层的BSDF。注意，就本文的目的来说，相对于彼此旋转或平移了的两个其它方面相同的类似元件、部件或叠层的BSDF可以被认为是不同的，除非这类元件、部件或叠层分别具有旋转或平移不变性。

矩阵表达式

I^(t)、I^(r)和I⁽ⁱ⁾中的每一个通常都是方向

的函数，它们之间关系的矩阵表达式可通过将

的单位圆定义域划分为N(有限数)个邻接的有限面积单元而获得，前提条件是假设透射、反射和入射的辐射可以由在每个单元域上都固定不变的函数充分表示，以使得对于任意给定单元都只分配一个辐射值(对于I^(t)、I^(r)和I⁽ⁱ⁾中的每一个)。每个单元均表示取向为单位半球上的特定方向的增量立体角。对于从下方入射的情形，这会导致如下形式的N×N矩阵关系式

${\underset{\&OverBar;}{I}}^{\left(t\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(b\right)}{\underset{\&OverBar;}{I}}^{\left(i\right)}$

${\underset{\&OverBar;}{I}}^{\left(r\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}{\underset{\&OverBar;}{I}}^{\left(i\right)}$

其中I ^(t)、I ^(r)和I ⁽ⁱ⁾是N元列向量，它的N个元素中每一个都由单个数字构成，这些数字分别代表相关单元对应方向上的I^(t)、I^(r)和I⁽ⁱ⁾的恒定值或平均值。和

为N×N矩阵，其第k列第l行的值由以下等式给出：

${T_{\mathrm{kl}}}^{\left(b\right)}\&equiv;{\left|s_h\left(k\right)\right|}^{-1}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{-1/2}{T}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})$

${R_{\mathrm{kl}}}^{\left(b\right)}\&equiv;{\left|s_h\left(k\right)\right|}^{-1}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{R}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}),$

其中

表示第l个单元的定义域，

为其面积。这些关系式对于从上方入射的情形有类似的形式，不同的是用替换以及用

替换T_kl ^(a)和R_kl ^(a)的定义方式相似，其中用

代替T^(b)，以及用代替R^(b)。在这里和其它地方，使用常规的双下划线符号表示矩阵，使用单下划线表示列向量(即只有一列的矩阵)。

可逆对称

电磁可逆性在函数T^(b)、R^(b)、T^(a)和R^(a)中强加某些对称性，这继而在这些函数的矩阵表达式

和

中强加某些对称性。只要划分的单位圆定义域内的每个单元面积都一样时，这些矩阵对称的形式就特别简单。它们为

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{{\left(a\right)}^t}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{{\left(b\right)}^t}$

$\frac{n_a}{n_b}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=\frac{n_b}{n_a}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{{\left(b\right)}^t},$

其中表示

的转置(对于每个k和l的组合交换k、l和l、k元素，以使得k＜l的结果)。

和

是对称的，每个均具有N(N+1)/2个唯一元素。

和

通常都是非对称的，但是其中任何一个都可以由另一个通过移项确定。在和的总共4N²个元素中，只有N(N+1)+N²个(或约2N²个)元素是唯一的。

角基

通过用N＝N′N″个等面积单元组成的N′×N″极坐标阵列来划分单位圆的一种方式(但并非唯一的一种方式)，其中每个单元均跨越360/N″度方位角，并且半径平方的增量等于1/N′。此划分方案可以获得等面积单元，这便于在N″重旋转对称的阵列中简化BSDF矩阵形式，这是采用矩阵的物理对称因子分解的需要。我们通常会利用令N′＝20并且N″＝60得到的1200单元分区，如图8所示，其中另外提供了颜色较深的参考圆来示出极角θ＝15、30、45、60和90度的位置，并且还示出了正交参考轴

和

可以通过先增加方位角然后增加径向折射率的标准顺序来引用单元。例如，方位角

相对于

以逆时针方向从-180度增加到+180度时，方位角折射率可以从1增加到N″。当半径(极角θ的正弦)从0增加到1时，径向折射率可以从1增加到N′。使用这样的划分方案，单位圆中心处或附近的单元对应于单位半球底面的法线或法线附近的方向(小极角)，而单位圆边缘处或附近的单元对应于单位半球底面的掠射角或掠射角附近的方向(大极角)。可通过将列向量

的N个辐射值显示在图8所示单元定义域上对应的N个单元(例如，用伪彩色表示辐射)中来描述辐射的角分布。这类似于将

视为方向

(包含半球方向)在水平面的投影的函数。与

相关的辐照度仅仅是π乘以平均辐射，即π乘以

的N个值的平均值。

元件BSDF

以下章节将描述多个独立元件或基本结构的BDSF计算，可将其视为构成更加完整的部件的子块。然后可以将独立元件或结构的BSDF组合起来，形成诸如一般用于背光显示屏的薄膜之类部件的BSDF。在以下讨论中，作为独立元件或基本结构的实例给出了理想化的菲涅耳界面、多层层叠、衰减层、散射层、结构化表面、底板、朗伯界面和复合界面，但此讨论并非意图进行限制。然后，将扩散板和增亮棱镜膜作为示例性背光源部件进行描述，并且该讨论也并非意图进行限制。

在适当的情况下，可以将多种部件组合在一起形成叠层或薄膜叠层，这意味着组合BSDF是由该叠层中多种部件的BSDF构成的。在实践中，可以用部件对应的元件或基本结构(而不是存储的部件自身的BSDF)来完成模拟。另外，薄膜库可以在每次需要时计算许多元件或基本结构的BSDF，而不是先存储然后再调用它们。

菲涅耳界面

我们所说的菲涅耳界面是指分隔具有不同实数折射率的介质的平界面。玻璃板的上下表面是可被建模为菲涅耳界面的表面的实例。可以将菲涅耳界面的双向散射分布函数

等以熟知的菲涅耳反射系数(通过校验)表达，这仅仅依赖于入射角和反射角相等、斯涅耳折射定律和能量守恒定律。当将这些替换到其矩阵表达式(

等)的公式中后，由于透射和反射辐射都具有单向性，所以可以以解析的方式完成四个所需积分中的三个。所得表达式为

$T_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\&Integral;}_{\mathrm{Ov}(l^{\&prime;},k^{\&prime;};{\left(\frac{n_a}{n_b}\right)}^2)}d{s}_{\mathrm{hi}}^2(1-R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};\frac{n_a}{n_b}))$

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}d{s}_{\mathrm{hi}}^{2}R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};\frac{n_a}{n_b})$

其中

$R_{\&perp;}(x;n)\&equiv;{\left|\frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{n^2-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{n^2-x^2}}\right|}^2$

$R_{\left|\right|}(x;n)\&equiv;{\left|\frac{n^2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{n^2-x^2}}{n^2\sqrt{1-x^2}+\sqrt{n^2-x^2}}\right|}^2$

$R(x;n)\&equiv;\frac{1}{2}(R_{\&perp;}(x;n)+R_{\left|\right|}(x;n))$

表示可能为复数的量的大小，并且T_kl ^(b)的表达式中在s_hi ²上的积分覆盖的值使得

(l′-1)/N′＜s_hi ²＜l′/N′

并且

(n_a/n_b)²(k′-1)/N′＜s_hi ²＜(n_a/n_b)²(k′/N′)，

其由0v(l′，k′；(n_a/n_b)²)表示。仅仅通过颠倒n_b和n_a就可以得到T_kl ^(a)和R_kl ^(a)的表达式。在这里和其它地方，诸如δ(k″，l″)之类的δ函数被定义为：当函数自变量相同时为(1.0)(在这种情况下k″＝l″)，在自变量不同时为零(在这种情况下k″≠l″)。

如果首先按l′和k′变化对折射率进行排序，则

为N″个相同N′× N′分块的对角阵列，其中每个分块均由元素T_{k′，1，l′，1} ^(b)组成。当(n_a/n_b)＞1时，此分块中对应于((k′-1)/N′)(n_a/n_b)²＞1的行消去，表示透射光被容纳在锥体s_ht＜(n_b/n_a)中。当(n_a/n_b)＜1时，对应于((l′-1)/N′)＞(n_a/n_b)²的列消去，表示对于s_hi＞(n_b/n_a)出现全内反射。对于以相同方式设定指数的情况，

为类似的N″个相同分块的对角阵列，但是对于

每个分块也是对角性的，拥有N′个非零对角元素。

可逆性强制要求和

均为对角矩阵(因而也是对称的)，这也意味着

T_lk ^(b)＝(n_a/n_b)²T_kl ^(a)。

因此，可通过转置

计算得出

并用(n_a/n_b)²对结果进行缩放。

分层介质

我们所说的分层介质是指一个或多个拥有不同折射率的平行平面层，其被嵌在具有可能不同的实折射率的上下介质之间。该嵌入层的折射率可能是实数或复数，并且可能是各向同性的或双折射的；各个层的厚度可以相对于光波长很大、很小或为中等；此外，可以随意地有多个这样的层(如多层叠层中)或只有一个这样的层。例如，由3M公司制造的可见镜面薄片增强型镜面反射片(ESR)是此类多层叠层的实例：该多层叠层具有超过500个各向同性PMMA和双折射PEN的交替层，每个层的厚度的量级均为100nm，夹在5μm量级的双折射PEN表层之间。这些特定层厚度提供在很大程度上独立于入射角和可见光光谱范围内的波长的高反射率。在空气中，ESR是折射率n_a＝n_b＝1.00的介质之间的多层叠层。例如，当使用折射率n＝1.50的粘合剂将同样的ESR层合到玻璃板上方时，该ESR为折射率n_a＝1.00和n_b＝1.50的上下介质之间的多层叠层。

此分层介质的平行平面结构迫使入射和透射介质中的场形式与相同折射率介质之间的菲涅耳界面的场形式一样。即使分层介质的嵌入层表现出介电各向异性，情况也如此。只有复反射率和透射系数的值会因层的存在而改变。我们使用Berreman，D.W.在Optics in Stratified andAnisotropic Media；4 x 4-Matrix Formulation，J.Opt.Soc.Am.62，502-510(1972)中公开的方法进行计算。如果我们将以此方法计算的、与偏振相关的值表示为R_ab和T_ab，其中a和b分别表示平行||或垂直⊥，那么与入射非偏振光相关的每单位水平面积上的反射或透射功率为

$R({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}:n_i,n_t;{\mathrm{\&tau;}}_1,...,{\mathrm{\&tau;}}_N;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_1...{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N)=(1/2)({\left|R_{\left|\right|\left|\right|}\right|}^2+{\left|R_{\left|\right|\&perp;}\right|}^2$

$+{\left|R_{\&perp;\&perp;}\right|}^2+{\left|R_{\&perp;\left|\right|}\right|}^2)$

$T({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}:n_i,n_t;{\mathrm{\&tau;}}_1,...,{\mathrm{\&tau;}}_N;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_1...{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N)=\left(n_t\cos {\mathrm{\&theta;}}_t\right)/(n_i\cos \mathrm{\&theta;}$

${\mathrm{}}_i)(1/2)({\left|T_{\left|\right|\left|\right|}\right|}^2+{\left|T_{\left|\right|\&perp;}\right|}^2+{\left|T_{\&perp;\&perp;}\right|}^2+{\left|T_{\&perp;\left|\right|}\right|}^2)$

其中θ_i为入射极角，n_i和n_t为入射和透射介质的实折射率，n_t sinθ_t＝n_i sin θ_i，cos θ_t＝(1-sin² θ_t)^1/2。该比率取决于入射和透射介质的折射率、无量纲厚度(τ_i≡k₀t_i)和嵌入层的相对介电常数

并且一般来讲还取决于入射方向

的极角分量和方位角分量。(只有当分层介质处于“均衡”状态时，意思是每个层的折射率在水平面内都是各向同性时，反射率和透射率才仅仅取决于

)矩阵BSDF的元素用R和T表示为

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})\frac{N}{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}d{s}_{\mathrm{hi}}^2{\&Integral;}_{\frac{2(l^{\&prime;\&prime;}-1)-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}}^{\frac{2l^{\&prime;\&prime;}-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}}d{\mathrm{\&phi;}}_{i}R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};n_b,n_a;{\mathrm{\&tau;}}_1...{\mathrm{\&tau;}}_N;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_1...{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N)$

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(a\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})\frac{N}{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}d{s}_{\mathrm{hi}}^2{\&Integral;}_{\frac{2(l^{\&prime;\&prime;}-1)-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}\mathrm{\&pi;}}^{\frac{2l^{\&prime;\&prime;}-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}\mathrm{\&pi;}}d{\mathrm{\&phi;}}_{i}R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};n_a,n_b;{\mathrm{\&tau;}}_N...{\mathrm{\&tau;}}_1;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N...{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_1)$

$T_{\mathrm{kl}}^{\left(a\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})\frac{N}{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_{\mathrm{Ov}(l^{\&prime;},k^{\&prime;};{\left(\frac{n_a}{n_b}\right)}^2)}{\&Integral;}_{\frac{2(l^{\&prime;\&prime;}-1)-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}\mathrm{\&pi;}}^{\frac{2l^{\&prime;\&prime;}-N^{\&prime;\&prime;}}{N^{\&prime;\&prime;}}\mathrm{\&pi;}}d{\mathrm{\&phi;}}_{i}T({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};n_a,n_b;{\mathrm{\&tau;}}_N...{\mathrm{\&tau;}}_1;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N...{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_1)$

可通过转置

计算

并用(n_a/n_b)²对其进行缩放。

衰减层

我们所说的衰减层是指具有均匀折射率n的平行平面非散射层，并且其在每单位路径长度呈现出等于α的相对吸收率。厚度均匀的光学性能玻璃是吸收层的实例，其折射率约为n＝1.50，并且其在

时的每单位路径长度吸收率α＝(4πn″/λ)通常为0.011mm^-1，对应于等于5×10^-7的折射率的虚部(imaginary component)。孤立的衰减层不反射任何光。例如，来自玻璃板的反射完全由顶部和底部菲涅耳界面产生，这些界面将衰减玻璃从周围的介质分隔开。但是，衰减层确实将透射率减小到一以下，其方法取决于传播的极角(在其可以确定穿过均匀厚度层的路径长度的范围内)。

衰减层的矩阵BSDF的元素为

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(a\right)}=R_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=0$

$T_{\mathrm{kl}}^{\left(a\right)}=T_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}{\mathrm{ds}}_{\mathrm{hi}}^2{e}^{-\mathrm{\&alpha;T}/\sqrt{1{-s}_h^2}}$

$=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\mathrm{\&tau;}}^2{\left[\frac{z^2{E}_1\left(z\right)+(1-z)e^{-z}}{z^2}\right]}_{z\left(l^{\&prime;}\right)}^{z(l^{\&prime;}-1)}$

其中T(勿与等式左边的双向透射率分布函数T相混淆)为该层的厚度，τ≡αT，z(l′)≡τ(N′/(N′-l′))^1/2，并且E₁(z)为Abramowitz，M.和Stegun，I.A.在Handbook of Mathematical Functions，DoverPublications，New York，1965中公开的指数积分。注意，

和是全等对角矩阵。它们仍然满足可逆对称条件，因为对于衰减层而言，n_a＝n_b＝n，并且对角矩阵在转置后不会发生变化。

散射层

我们所说的散射层是指这样的平行平面层：其基质本来具有均匀的折射率n，但这种均匀性被均匀随机分布于其中的折射率不均一性所破坏。我们假设由非均匀性产生的单独散射事件造成了仅取决于入射和散射方向之间角度的散射辐射分布。预期具有各向异性方向分布的球面非均匀性、非球面非均匀性或这些特性的任意混合会产生这种散射。此外，我们还假设各个散射事件充分分开，使得不同散射体之间光的多个交互作用可以非相干的方式处理。可从3M公司商购获得的许多薄膜的内部是可被近似为散射层的介质的实例，这些薄膜被称为视觉高(Scotchcal)薄膜，在其含乙烯基的基质内具有随机散布的氧化钛颗粒。

我们通过使用Waterman，P.C.在Matrix-ExponentialDescription of Radiative Transfer，J.Opt.Soc.Am.71，410-422(1981)中公开的矩阵指数方法来求解均匀散射介质水平层的辐射传递方程，从而计算散射层的矩阵透射率和反射率BSDF。我们用散射反照率ω和以散射角g余弦平均值为参数的亨耶-格林斯坦(Henyey-Greenstein)散射相函数来表征该层内单散射事件，并且我们用光学厚度τ来表征该层内每单位体积和厚度的消光组合效果。注意，散射反照度的非单位值可以表示非守恒单散射事件、散射之间的基质内吸收事件或这些效果的任意组合。

一种求解过程可以涉及四个步骤：

(1)以我们的角基表示辐射传递方程的角相关性，得到一阶矩阵微分方程，该方程描述以相同角基求解的辐射的向上和向下传播分量的z相关性；

(2)将此微分方程的形式解表示为矩阵指数，并将此矩阵指数表示为 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}=\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}$ 和 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(b\right)}=\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}$ 的线性代数函数(按照简单对称考虑，散射层的BSDF独立于入射情形)；

(3)使自变量对角化，以允许计算矩阵指数；以及

(4)反转线性代数函数，以确定

和

守恒散射(ω＝1)要求特殊的对角化处理以补偿简并，而中等到很大的光学厚度要求相对于解析结果进行微扰反转。Waterman解决了该解法的所有这些方面；我们用我们的角基改写了Waterman的形式体系，并利用现代计算技术的速度和准确简化了容易出错的反转过程。

和

以及

和

是满足可逆对称条件的类似对称矩阵对，因为对于散射层而言，n_a＝n_b＝n。

结构化表面

我们所说的结构化表面是指位于具有不同折射率的上下介质之间的任意双重重复非平面界面。因此，该界面与平面性有所偏差或位移，并且可以通过沿着两个正交的面内轴以分步重复方式(全局地)复制尺寸有限的单位单元来很好地表示该界面，如上文的讨论。假设位移的单位单元相对于光波长而言较大，而相对于能分辨辐射空间变化的观察尺度而言较小。假设单位单元内位移的局部变化主要发生在相对于波长而言较大的水平尺度上，以使得光的“散射”可以用局部平坦表面的非相干反射和透射来很好地描述。可从3M公司商购获得的许多薄膜(被称为增亮薄膜)提供了结构化表面的实例。例如，Vikuiti^TM品牌BEF-II 90/50的非平面侧是通过以50μm为节距出现的90度平行棱镜制造的、位于n≈1.50的丙烯酸树脂和n＝1.00的空气之间的平移不变性锯齿界面。

随着非平面界面复杂度的增加，得到矩阵BSDF封闭形式表达式的可能性减小。在这些情况下，

和

的元素可由除直接对函数R^(b)、R^(a)、T^(b)和T^(a)进行积分以外的其它方法计算。相反，只要结构的特征尺度相对于光波长较大，就可以使用传统的光线轨迹模拟来计算矩阵元素。以下段落描述了这样一种方法：通过使用此方法，可以使用几乎所有光线轨迹“引擎”来通过模拟估算

和

的元素。

注意，当空间均匀的辐射(当在

内时，该辐射保持固定并且等于I_l ⁽ⁱ⁾。在其它情况下为零)从下方照射界面时，单位单元上的入射功率为

${P_l}^{\left(i\right)}=A\left|\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h\left(l\right)\right|{I_l}^{\left(i\right)}$

其中A为单位单元面积。所得的、从单位单元透射进入方向

上(k)范围内的功率为

${P_k}^{\left(t\right)}=A{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{-1/2}{T}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}){I_l}^{\left(i\right)},$

而反射进入方向

上Δs_h(k)范围内的功率为

${P_k}^{\left(r\right)}=A{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{-1/2}{R}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}}){I_l}^{\left(i\right)}.$

用这些功率表示时，双向透射率分布函数矩阵

和双向反射率分布函数矩阵的元素为

${T_{\mathrm{kl}}}^{\left(b\right)}\&equiv;{\left|\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h\left(k\right)\right|}^{-1}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{s}_{\mathrm{ht}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{s}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{-1/2}{T}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})=$

$({P_k}^{\left(t\right)}/{P_l}^{\left(i\right)})$

${R_{\mathrm{kl}}}^{\left(b\right)}\&equiv;{\left|\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h\left(k\right)\right|}^{-1}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(k\right)}d{s}_{\mathrm{hr}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Delta;sh}\left(l\right)}d{s}_{\mathrm{hi}}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{-1/2}{R}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})=$

$({P_k}^{\left(r\right)}/{P_l}^{\left(i\right)})$

其中最终的等式是我们对单位圆等面积划分的结果。因此，

和

的元素结合了进入透射和反射部件的入射功率的依赖于方向的划分。光线轨迹模拟精确地分辨出此划分(以及被吸收的入射功率的补充)。因此，跟踪从结构下方入射， $\hat{s}={\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h+{(1-{s_h}^2)}^{1/2}\hat{z}$ 并且

局限于

的全体光线，可以确定

和

的第l列。通过考虑局限于

(l)的全体来确定全矩阵，其中l依次为1到N。类似地，依次跟踪从上方入射并且对于每个

均存在 $\hat{s}=\hat{z}-{(1-{s_h}^2)}^{1/2}{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h$ 的全体光线，可以确定

和

该指定入射辐射应该在单位单元上均匀，并且在

的定义域内固定不变。通过选择均匀分布在

区域中并且在单位单元内独立地均匀分布的单位功率光线来生成表示这种辐射的入射光线集合。那么在A和中任意子元素内的入射功率的增量为

$\mathrm{dP}={\mathrm{\&eta;}}_A\mathrm{dA}{\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{sh}}\left|d{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_h\right|$

其中η_A和η_sh分别为单位单元区域和

定义域区域内的光线数量密度。dP与dA和

成比例，但独立于位置的局部值和

这是指定辐射所要求的。

只有当每个集合中的光线数量接近无穷多这一极限情况下，所得矩阵

和

才是精确的。在此极限情况下，它们将呈现出可逆性所要求的对称性。对于任何有限数量的入射光线(即所有实际情形)，通过将

和

的数值替换为

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}=(1/2)({\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)t})$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}=(1/2)({\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)t})$

$(n_a/n_b){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=(n_b/n_a){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(b\right)t}=(1/2)((n_a/n_b){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}+(n_b/n_a){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(b\right)t}),$

可以增强模拟估计的完整性。

其中右侧矩阵为模拟的初始值。对

和中的统计噪声的影响大致相当于将每个集合中的入射光线数量加倍。无论原始模拟矩阵中的统计噪声程度如何，左侧矩阵都满足可逆对称条件。

底板

我们所说的底板是指这样的平行平面层：光学厚度较大，均匀复折射率(uniform complex refractive index)为n＝n′+in″，并且夹在实数折射率分别为n_a和n_b的上下介质之间。假设折射率的虚部为正，并且光学厚度足够大以至于夹层的透射率为零。为背光源腔体的侧壁或后壁提供结构支承(且其内表面可层合高反射薄膜)的铝片是底板的实例。

可以用观察法将底板的双向反射率分布函数(BRDF，为BSDF的特例)以熟知的菲涅耳反射系数表示，对所得的表达式进行积分(使四个必需积分中的三个具有完整的解析形式)以确定矩阵BRDF。最终结果为

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(b\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}d{s}_{\mathrm{hi}}^{2}R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};\frac{n}{n_b})$

$R_{\mathrm{kl}}^{\left(a\right)}=\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;},l^{\&prime;})\mathrm{\&delta;}(k^{\&prime;\&prime;},l^{\&prime;\&prime;})N^{\&prime;}{\&Integral;}_{\frac{l^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}}^{\frac{l^{\&prime;}}{N^{\&prime;}}}d{s}_{\mathrm{hi}}^{2}R({\stackrel{\&RightArrow;}{s}}_{\mathrm{hi}};\frac{n}{n_a})$

其中R(x；n)表示上述偏振平均菲涅耳反射率(但此处用复自变量n计算)。由于假设夹层完全不透明，所以双向透射率分布函数(BTDF，也为BSDF的特例)及其矩阵表达式

和

同样都为零。显然，这些矩阵BSDF满足可逆对称条件。

可以将底板建模为仅具有一层的分层介质，其折射率为各向同性的，等于n′+in″，并且其无量纲厚度使得n″τ₁》1。因此，底板不是新部件，而是上文已讨论的分层介质部件的特例。然而，对于底板的特例(背光源设计中经常会遇到)，贝里曼公式的结果呈现出特别简单并被人们熟知的形式。因此，在部件BSDF的软件实施和大量理解中将底板视为不同于分层介质，被证明是有利的。

通常不能将底板建模为这样的复合构造：(1)折射率为n_b的下方介质和折射率为n′的上方介质之间的菲涅尔界面，其上为(2)每单位路径长度的相对吸收率等于α＝4πn″/λ并且其厚度T可以使得αT》1的衰减层，再往上为(3)折射率为n′的下方介质和折射率为n_a的上方介质之间的菲涅尔界面。通常不能通过夹有衰减层的实介质之间的菲涅尔界面复制底板的反射率(由带有复自变量n的R(x；n)确定)。仅在αT》1并且n″接近零的极限情况下，底板和此复合构造才会产生可比较的结果。

朗伯界面

我们所说的朗伯界面是指这样的界面：分隔折射率为n_b的下方介质和折射率为n_a的上方介质，并且表现出理想的朗伯散射特性。存在在适当条件下可被近似为朗伯界面的多个实界面。例如，通过使菲涅尔界面极度粗糙化而形成的界面，或通过将包含高浓度的高度散射颗粒的薄层贴附于此类界面而形成的界面。然而，朗伯假设通常是理想化的，在许多情况下，能被建模为朗伯型的界面可以更实际地被建模为其它部件(如贴附于菲涅尔界面的、光学厚度较大的散射层)的组合。

通过与方向无关的表面总反射率R^(a，b)和透射率T^(a，b)来描述朗伯界面的辐射传输特性。R^(a，b)被定义为单位表面积的反射功率除以单位表面积的入射功率之商，T^(a，b)被定义为单位表面积的透射功率除以单位表面积的入射功率之商，每个都对应于来自表面上方或下方的入射。BSDF为

$R^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})={\mathrm{\&pi;}}^{-1}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{R}^{\left(b\right)}$

$R^{\left(a\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hr}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})={\mathrm{\&pi;}}^{-1}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{R}^{\left(a\right)}$

$T^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})={\mathrm{\&pi;}}^{-1}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{T}^{\left(b\right)}$

$T^{\left(a\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})={\mathrm{\&pi;}}^{-1}{(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{T}^{\left(a\right)}$

反射和透射辐射与方向无关，与R或T乘以入射到表面上的辐照度之积成比例。能量守恒定律要求反射和透射的总辐照度等于一减去吸收率乘以入射辐射之积所得之差：

R^(b)+T^(b)＝1-A^(b)

R^(a)+T^(a)＝1-A^(a)。

可逆性要求

$(n_a/n_b){(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{T}^{\left(a\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}})=(n_b/n_a){(1-{s_{\mathrm{hi}}}^2)}^{1/2}{T}^{\left(b\right)}({\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{hi}},{\stackrel{\&RightArrow;}{S}}_{\mathrm{ht}})$

或

(n_a/n_b)T^(a)＝(n_b/n_a)T^(b)。

因此，最一般的情况下，只有三个独立参数。我们将这些选择为T^(b)、A^(b)和A^(a)：

0≤T^(b)≤1

R^(b)＝1-A^(b)-T^(b)

0≤A^(b)≤1-T^(b)

R^(a)＝1-A^(a)-(n_b/n_a)²T^(b)

0≤A^(a)≤1-(n_b/n_a)²T^(b)

T^(a)＝(n_b/n_a)²T^(b)。

对于没有吸收的界面，只有一个独立参数(0≤T^(b)≤1)。

和

的元素以我们的等面积角基表示为

R_kl ^(b)＝(1/N)(1-A^(b)-T^(b))

R_kl ^(a)＝(1/N)(1-A^(a)-(n_b/n_a)²T^(b))

T_kl ^(b)＝(1/N)(T^(b))

T_kl ^(a)＝(1/N)((n_b/n_a)²T^(b))。

每个矩阵仅仅是常数乘以所有元素均为一(1.0)的N×N阵列。显然，这些矩阵满足可逆对称条件。

复合界面

我们所说的复合界面是指这样的界面：该界面位于折射率为n_b的下方介质和折射率为n_a的上方介质之间，其中界面平面的不同部分或子元件具有不同的散射特性，即不同的反射率和/或透射率特性，如不同BSDF组所例证的那样。不同的子元件会形成双重重复的空间图案。因此，可以通过沿着两个正交的面内轴以分步重复方式(全局地)复制尺寸有限的单位单元来很好地表示其图案具有不同散射特性的界面，如上文的讨论。图案沿着给定的面内轴可以呈现出周期性、非周期性，或者保持固定(平移不变)。与前文相同，我们假设单位单元小于可观察的分辨率极限。印在丙烯酸树脂波导管上的扩散白色油墨的光点图(通过扩散膜或扩散板观察)是复合界面的实例，由位于折射率为1.50和1.00的介质之间的菲涅耳子元件和朗伯子元件组成。

使用构成该界面的子元件的面积加权平均BSDF，可以容易地计算出从复合平面观察到的局部平均面积辐射。因此(例如)，如果某表面的子元件的BSDF分别为和以及

和

并且面积比例分别为f₁和1-f₁，则复合界面的BSDF为

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{(a,b)}=f_1{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{(a,b)}+(1-f_1){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{(a,b)}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{(a,b)}=f_1{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{(a,b)}+(1-f_1){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{(a,b)}.$

只要各个子元件的BSDF满足可逆对称条件，复合BSDF也满足可逆对称条件。可以很直观地将这些公式扩展到具有多于两个的不同子元件的复合界面。

部件BSDF

可以将上述单个元件或基本结构的BSDF组合起来，形成背光源系统中常用的一些薄膜或部件的BSDF。以下章节将提供多个这些部件的BSDF。

部件BSDF：扩散板或扩散膜

背光源系统的薄膜叠层中常用的扩散片通常为具有特定折射率的平行平面板，其中含有尺寸随机、位置随机并且折射率与该板不同的颗粒。根据小颗粒的折射交互作用，穿过扩散片的光线沿基本随机的方向出射。示例性扩散膜的BSDF可以如下计算。

一个薄膜实例是型号为LC-30HV2U的Sharp^TM30英寸液晶电视的2mm厚(硬质)扩散板。此扩散片(在下文中称为“夏普扩散片”(Sharpdiffuser))的许多设计细节在很大程度上是未知的。在这种情况中，对BSDF进行穷举性的直接(实验)测量通常是优选的。然而，往往不能获得必需的仪器和数据分析软件。在此，我们示出了如何利用计量、标准光学特性和分析的组合来提供近似的BSDF。

对夏普扩散片的电子显微镜扫描和傅立叶变换红外光光谱测量显示，PMMA基质中具有均匀随机分散的5μm直径玻璃球体和10μm至20μm直径聚苯乙烯球体。PMMA的折射率为约n＝1.50。预期此基质内球体的尺寸和相对折射率产生的散射对于入射方向对称，在向前方向有强烈峰值，并且在很大程度上独立于波长。我们使用亨耶-格林斯坦(Henyey-Greenstein)散射相函数并利用独立于波长并且等于0.995的非对称参数g(相对于入射方向的散射角的余弦平均值)为其建模。要完成计算BSDF所使用的模型描述，两个剩余参数值是必需的：散射反照率ω(等于每个散射事件中总散射功率对入射功率的比率)，以及光学厚度τ(等于每单位体积散射加吸收的交叉部分乘以扩散板的厚度之积)。我们通过匹配标准光学特性的结果得到它们的值。扩散板的总垂直入射透射率和反射率(使用铂金埃尔默Lambda-900分光光度计测量)表明，整个可见光范围中，透射率为55％至65％，吸收率为约16％。具体地讲，波长为640nm时，T＝0.60，并且R＝0.24。然而，这些值被人为地降低了，因为2mm的板厚度允许将其它情况下会透射或反射的光引导至扩散板并穿过扩散板的边缘，使得被引导的光未被分光光度计收集。这就会导致偏差，使实测吸收率不真实地高。此外，吸收率为16％的扩散板不太可能用于光学效率极受重视的电视背光源中。我们估计，通过将相同数量的表观吸收率划分至T和R，640nm下的实际透射率和反射率为T＝0.68和R＝0.32。通过假设R+T精确地为一，我们同样指定散射反照率精确地为一。然后，我们选择能够在透射和反射之间产生可观察到的划分的光学厚度τ，结果为τ＝100。

存在许多其它g和τ的组合使得T＝0.68，R＝0.32，并且ω＝1。一般来讲，他们是使得(1-g)τ＝0.500的任意组合。我们的具体选择反映了g＝0.995这一假设，这是我们根据散射颗粒的观察到的物理特性估算出来的。进一步的验证由垂直照明中实测透射辐射的角分布提供。图10C中所示点的位置表明了这些实测数据。竖条示出了g＝0.995并且τ＝100时的预测分布。符合得较好，但并不完美。如果g和τ(仍然满足(1-g)τ＝0.500)的值更小，那么产生的预测分布甚至会更远地偏离实测数据，通常在法线附近呈现出很强的峰值，并且法线和掠射角之间强烈上升然后下降的曲线的范围很大。如果值更大，则可以使符合的程度更好，但是不能由我们目前用于扩散片BSDF的一般模型来评估。在这种意义上，由于夏普扩散片具有许多(τ很大)接近向前散射(1-g很小)的颗粒，并且由于其厚度(会使分光光度计混淆)，所以夏普扩散片带来了特定的挑战。

我们用于扩散片BSDF的一般模型假设有嵌入在折射率为n的均匀基质中的均匀散射层(由g、ω和τ的值表征)，以及方位角偏振等面积角基(通过N′和N″的值表征)，并且该模型采用Waterman，P.C.在Matrix-Exponential Description of Radiative Transfer，J.Opt.Soc.Am.vol.71，pp.410-422(1981)中公开的分析方法。该方法用于计算散射层的矩阵BSDF。然后，将该方法与上下菲涅耳界面的矩阵组合在一起，以确定复合结构的矩阵BSDF。强烈前向散射颗粒的层通常要求很高的极角分辨率(N′很大)才能不受BSDF中人为基本设定的影响。我们对夏普扩散片的计算利用了N′＝80，N″＝60(图10A，10C)，并且在完成计算之后将计算向下采样为标准的N′＝20，N″＝60这一基础(分别为图10B、10D)。如果需要使g的值更接近一，就要求N′大于80，对于这种情形，矩阵的大小会很大，以致于要求的线性代数运算会受到数值噪声的影响。尽管可以进行修正，但我们认为按照图10C所示的、实验与预期的符合性，不能使它们得到保证。

为了避免物理上不可能出现的R+T＞1(由于残余数值噪声而出现在图10A-D中)，在对夏普扩散片BSDF的最终计算中，我们令ω＝0.9998(而不是ω＝1)。这样，就会产生预期值T＝0.676和R＝0.324，其中R+T＝1.000。

上面计算出的夏普扩散片的具体值是针对640nm波长的情形。此波长存在于一种非常值得注意的，在后续背光源模拟中用作光源的LED器件的狭窄发光带中。其它波长会产生不同的结果。这应该能解释已指出的、可见光光谱中总透射率55％至65％的漂移，以及该聚合物系统的总吸收率在光谱蓝色光一端附近不为零的高可能性。显然，对总透射率和反射率进行更精确的测量(可以在扩散板上更薄的部分上和/或使用大孔隙累计球检测器实现)，对于在整个可见光范围内扩展我们的计算是非常有用的。如果不存在这样的数据，640nm BSDF可以合理地用于绿光波长(取决于使用者的精度需求)，也可以不那么严密地用于为频带很宽的“白”光源建模，但是不适用于蓝光波长，例如，蓝色LED源，这同样取决于使用者的需求。

部件BSDF：增亮膜

增亮棱镜膜有助于将杂散光线重定向为垂直入射。普通的这种薄膜被构造为光学节距(～50微米)较大并且深度(～50微米)较深的一维锯齿光栅。锯齿光栅的齿的顶角通常为约90度，但也可以使用其它尺寸和角度。齿的顶端的半径可以很小，通常接近几微米或更小，这可以在制造过程中实现。

示例性薄膜为可得自3M公司的Vikuiti^TM增亮膜BEF-II 90/50。因为可以知道此薄膜的详细组成和结构，所以可以通过第一性原理建模对其BSDF进行可靠的估算。

BEF-II 90/50的棱镜结构由在50μm节距上平移不变的、平行的90度棱镜组成。这些棱镜的基底平面与下面厚度均匀的基体层的上表面重合。棱镜为铸塑丙烯酸树脂，基体层由5密耳(0.005英尺)聚对苯二甲酸乙二醇酯(PET)基底上1至3微米的残余铸塑丙烯酸树脂组成。棱镜顶点的半径通常强烈影响光学性能；实际值为一微米或更小。随着波长从(n＝1.625)380nm增加到(n＝1.580)780nm，丙烯酸类树脂的折射率单调递减。PET的折射率从n＝1.695降低至n＝1.630。波长为640nm的情况下，丙烯酸树脂的折射率为1.586，PET的折射率为1.630。丙烯酸树脂与PET中每单位路径长度的吸收率相当，在380nm附近为每密耳数个百分点，但在640nm附近，量级为每密耳0.1％或更小。在640nm处通常得不到更精确的值。

我们为640nm处“点朝上”BEF-II 90/50的BSDF建模为该结构：(1)折射率为n_b＝1.000和n_a＝1.630的上下介质之间的菲涅耳界面，其上为(2)光学厚度为τ＝0.004的非散射衰减层，再往上为(3)折射率为n_b＝1.630和n_a＝1.586的介质之间的菲涅耳界面，以及再往上为(4)折射率为n_b＝1.586和n_a＝1.000的介质之间具有1-μm半径顶端的90度锯齿界面。因为节距大大超过了光学波长，所以BSDF独立于节距；周期性结构的非相干散射(在此结构的单位单元上求平均时)独立于单元的尺寸。使用我们的N′＝20，N″＝60时的角基，可以以解析方式计算出元件(1)到(3)的矩阵BSDF。可以使用光线轨迹模拟来计算元件(4)的矩阵BSDF。对于此模拟，我们在角基中1200个单元中的每一个内均处理10,000条入射光线。选择顶端半径(通常已知为不超过1微米，但也可不指定)等于1微米，以最好地匹配下文所述的实测增益分布。为方便起见，我们通过将丙烯酸树脂和PET中的所有吸收均转移至PET基底(即元件(2))，从而考虑进吸收效应(对于光学性能也很重要)。这样做的原因主要是为了计算方便，但也由于PET的厚度相对于丙烯酸树脂的厚度更大。可以以解析的方式处理平行平面层内的吸收，而结构化介质内的吸收则通常通过模拟来评估。选择衰减层的光学厚度时，要符合已知材料的吸收率，或者能够最好地匹配实测增益分布。对于测试的特定夏普扩散片，所述建模仅属于640nm的波长。其它波长可能需要修改PET和丙烯酸树脂的折射率，以及PET的光学厚度。对于更多的吸收性波长，可能需要考虑PET和丙烯酸树脂的各种吸收。对于我们要求的精确度，计算出的640nm BSDF同样可以合理地用于绿光源和白光源，但蓝光源除外。

叠层计算程序：概述

现在我们转向叠层计算程序(Stack Evaluator)64，其操作和架构如图6所示。在步骤100中，叠层计算程序64识别薄膜叠层，包括其部件、其部件的顺序以及所有方位角非对称部件的取向。

步骤100中暗示了薄膜叠层中的部件彼此之间足够接近，以使得光线在从部件传播到部件时不存在显著的纵向传播。如果光线在叠层中不存在显著的传播，那么它们从叠层出射的横向方向大致与进入时的横向方向相同。也就是说，如果(例如)光束不显著地沿z传播，那么其出射位置(x，y)与其入射位置(x，y)大致相同。然后，可以将(x，y)处每个部件的局部特性用于在(x，y)处入射叠层的每条光线。

如果两个部件之间存在显著的纵向间距，使得每条光线在不同部件中的(x，y)位置都显著地不同，那么这些部件的BSDF应该保持分离，不应被组合在一起。可以通过执行两个部件之间的光线轨迹跟踪来处理这种情况。在可以的情况下，叠层计算程序会将叠层部件的BSDF组合到一个或多个组合BSDF中。

在步骤102中，确定在步骤100中已确定的部件的BSDF。这通常涉及从薄膜库62中调用它们，但在必要时，可以计算它们、用实验方法得到它们或通过手动输入得到它们。在步骤104中，将已确定的部件的BSDF组合在一起，以产生组合BSDF或叠层BSDF。组合步骤通过使用步骤106中的电磁可逆对称和步骤108中的物理对称来减少计算时间。在步骤104中计算出组合BSDF之后，在步骤110中将该组合BSDF提供给后续计算或使用者。

步骤104通常是叠层计算程序64中对计算的要求最高的步骤，以下段落中将进一步予以说明。

在一些情况下，可以将光路上每个元件或部件的BSDF组合在一起以产生整个光路的BSDF。本方法可以在传统计算机系统上执行，用于将两个相邻层(元件或部件)的BSDF组合在一起以产生复合结构的BSDF。如果存在两个以上彼此相邻的层，那么该方法通过将结果与下一个相邻层的BSDF组合来进行迭代，然后将所得结果与下一个相邻层的BSDF组合，以此类推，直到穷举了光路的所有部件。根据这些式子处理每对组合：

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}={\left(\frac{n_a}{n_2}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2^{\left(a\right)}\right)}^t{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1^{\left(a\right)}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2^{\left(b\right)})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1^{\left(a\right)}\left(\frac{n_a}{n_2}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2^{\left(a\right)}\right)+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2^{\left(a\right)}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}=\left(\frac{n_2}{n_b}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1^{\left(a\right)}\right)({\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2^{\left(b\right)}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1^{\left(a\right)})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2^{\left(b\right)}\left(\frac{n_2}{n_b}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1^{\left(a\right)}\right)+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1^{\left(b\right)}$

$\frac{n_a}{n_b}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=\left(\frac{n_2}{n_b}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1^{\left(a\right)}\right){(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2^{\left(b\right)}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1^{\left(a\right)})}^{-1}\left(\frac{n_a}{n_2}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2^{\left(a\right)}\right).$

出于计算效率的考虑，叠层计算程序可以使用这些关系式计算上方入射情形的成比例透射率

然后使用简单的转置计算下方入射情形的透射率右侧的下标1和2分别表示上方和下方部件的矩阵；左侧的无下标矩阵是该组合的矩阵。要通过这种方法计算具有M个部件的光路的BSDF，需要连续应用这些关系式M-1次。

只要可能，叠层计算程序64均可以使用对称(例如，物理对称或电磁可逆对称)来提高计算速度和效率。

使用物理对称可以减少对于对称材料所需的计算数量。对于具有60个方位角位置的典型60×20基组，方位角对称部件的矩阵可以分解为60个20×20子块。由此获得的计算时间减少量可能很可观。

由于组合BSDF所用数学运算涉及矩阵逆变换，并且逆变换的次数随矩阵大小的立方的不同而不同，因此非常期望叠层计算程序使用更小的矩阵执行中间逆变换。例如，如果使用上述60×20实例，那么对六十个20×20矩阵进行逆变换所需计算量比对一个1200×1200矩阵进行逆变换所需计算量少很多。

通过利用这些对称，叠层计算程序64可以将部件BSDF组合到一个组合BSDF中，所需时间为其它方式下的一小部分。对于目前存在的硬件和软件实施，以及对于典型的薄膜构造，叠层计算程序64可以在约一分钟内生成组合BSDF，相比之下，不利用对称时则需要数个小时。这非常节省时间，并使得其它方式下由于计算时间过长而不切实际的系统模拟和组合成为了可能。

以下章节将提供有关组合BSDF计算的更多细节。

光路

我们所说的薄膜叠层的光路由以下部分依照一定顺序构成：(1)分隔折射率不同的介质的每个(平面或结构化)界面；(2)折射率均匀并且吸收率有限的每个平面平行层；(3)均匀折射率基质中具有随机体积非均匀性的每一个平面平行层；(4)嵌在可能具有不同折射率的介质之间的每个多层光学薄膜；以及(5)分隔可能具有不同实折射率的介质的、具有复折射率并且光学厚度较大(因此不透明)的每个平面平行层。很多非成像光学系统都可以通过仅包含这5类元件的光路来描述。

图22示出了增益增强叠层，其包括一片可从3M公司商购获得的、商品名为增亮薄膜(BEF)的单层薄膜，点朝上贴附于本体漫射板上并通过气隙与该本体扩散板分隔，并且其上为玻璃板(将其包含在内的目的在于维持BEF的平坦)并通过气隙与该玻璃板分隔。此光路包括：(1)折射率为n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的平面界面；其上为(2)基质折射率为n＝1.50的介质中嵌入的、具有随机体积非均匀性的平面平行层；其上为(3)折射率为n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质之间的平面界面；其上为(4)折射率为n_b＝1.00和n_a＝1.58的介质之间的平面界面；其上为(5)折射率为n_b＝1.58和n_a＝1.00的介质之间的确定性锯齿界面；其上为(6)折射率为n_b＝1.00和n_a＝1.53的介质之间的平面界面；其上为(7)折射率为n＝1.53并且吸收率有限的平面平行层；其上为(8)折射率为n_b＝1.53和n_a＝1.00的介质之间的平面界面。

图23示出了这样的壁构造：将由3M公司制造的、商品名为增光膜(LEF)的市售薄膜贴附以与铝壳体形成光学接触。通过使用折射率为n＝1.50的粘合剂(图中未示出)将LEF与铝连接到一起来实现光学接触。此处，光路包括：(1)折射率为n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的平面界面，其上为(2)基质折射率为n＝1.50的介质中具有随机体积非均匀性的平面平行层，其上为(3)分隔折射率为n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质的、自身折射率为n＝0.96+i6.69的平面平行不透明层。

如果两个或更多个相邻基本部件的组合的BSDF已知或可获得，则可以简化对光路的描述。例如，在组合了图22中限定BEF膜的平面和锯齿界面的BSDF之后，可以将结果存储到薄膜库中，并且可以访问这些结果以用于包括该薄膜的后续叠层。将BEF的BSDF这样分类后，可以将图22中增益增强叠层视为具有7个(而不是8个)部件或元件的光路。

成对组合

图24示出了具有标称为平面的两个平行无限结构的叠层，每个结构在此处均以平面界面表示，由一层折射率为n₂的非散射和非吸收介质分隔。该层上方的介质具有均匀的折射率n_a，该层下方的介质具有均匀的折射率n_b。我们期望从各个结构的BSDF的矩阵表达式计算整个叠层的BSDF的矩阵表达式。通过求解三层系统(包括下方结构、中间层和上方结构)在被空间均匀的入射辐射照明时的辐射传递方程，可以得到期望的BSDF。如果在我们的角基中求得向上和向下传播的辐射分量在每一介质中的方向相关性，则可以用矩阵形式将辐射传递方程表示为

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{+}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{12}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{-}$

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{-}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{32}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{+}$

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{+}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{23}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{+}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{32}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}$

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{-}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{21}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_2}^{-}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{12}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}$

其中，每个结构的散射由其部件的矩阵BSDF描述，而非散射并且非吸收的中间层保持了辐射。我们首先求解用I ₁ ⁺和I ₃ ^-表示的、I ₂ ⁺和I ₂ ^-的前面两个方程；

$\left[\begin{array}{c}{\underset{\&OverBar;}{I}}_2^{+}\\ {\underset{\&OverBar;}{I}}_2^{-}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23})}^{-1}& {(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}\\ {(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}& {(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21})}^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{12}{\underset{\&OverBar;}{I}}_1^{+}\\ {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{32}{\underset{\&OverBar;}{I}}_3^{-}\end{array}\right]$

将这些表达式代入第三和第四个方程，得到

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{-}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{21}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{23}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}+[{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{21}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{12}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{12}]{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}$

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{+}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{23}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{12}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}+[{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{23}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{23})}^{-1}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{21}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{32}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{32}]{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}$

其形式为

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{-}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{31}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{13}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}$

${{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{+}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_{13}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_1}^{+}+{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_{31}{{\underset{\&OverBar;}{I}}_3}^{-}$

描述了在我们的角基中求得的、整个叠层的净透射率和反射率。

和为下方入射情形下叠层的期望矩阵BSDF，

和

为上方入射情形下叠层的期望矩阵BSDF。

根据下方(折射率1)和上方(折射率2)结构的净透射率和反射率，以及根据明确表现出可逆对称的成比例透射率矩阵来表示来自上方和下方的净透射率和反射率是非常有用的，即：

$(n_a/n_b){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=(n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)})}^{-1}(n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}$

$(n_b/n_a){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(b\right)}=(n_2/n_a){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(b\right)}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)})}^{-1}(n_b/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(b\right)}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}=(n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)})}^{-1}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}(n_b/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(b\right)}+{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(b\right)}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}=(n_2/n_a){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(b\right)}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)})}^{-1}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}(n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}+{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(a\right)}.$

因为对于任何矩阵

均有 ${\left({\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}^t\right)}^{-1}={\left({\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}^{-1}\right)}^t,$ 并且因为

是对称矩阵，

${\left({(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)})}^{-1}\right)}^t={(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)})}^{-1}$

因此

和

均为对称矩阵。同样，由于 $(n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}=(n_2/n_a){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(b\right)t}$ 并且 $(n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}=(n_b/n_2)$

所以

和

是对称矩阵，并且 $(n_a/n_b){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=(n_b/n_a)$

因此，这些关系式保持了可逆对称性。实际上，

和

是根据以下等式从和

以及

和

计算得出的：

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(a\right)}={\left((n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}\right)}^t{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)})}^{-1}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)}(n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}+{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(a\right)}$

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}^{\left(b\right)}=\left((n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}\right){(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)})}^{-1}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}(n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}+{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(b\right)}$

$(n_a/n_b){\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}^{\left(a\right)}=(n_2/n_b){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_1}^{\left(a\right)}{(\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}-{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_2}^{\left(b\right)}{{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{R}}}_1}^{\left(a\right)})}^{-1}(n_a/n_2){{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}_2}^{\left(a\right)}$

并且

是通过转置计算得出。

组合BSDF的矩阵表达式的方法显然是可迭代的，因此，通过(在一种方法中)从叠层的底部开始，连续成对组合相邻部件或元件，可以计算得出任何光路的BSDF的矩阵表达式。当然，也可以遵循其它通行方式，例如，从叠层顶部或叠层中的任何其它位置开始。

物理对称分解

可逆对称将表示任何单独或任何组合光路元件所需的内存减少至约二分之一，并且将组合光路元件的计算负担减少至约二分之一。(对于每次组合，只需要明确计算出以及

和

中约一半的元件。)要进一步降低所需内存和计算负担(通常比可逆对称带来的降低更为重要)，则根据BSDF矩阵所代表的结构的已知物理对称对BSDF矩阵进行分解实现。物理对称分解对于实现叠层计算的高处理量(这是支持高效背光源模拟工具所期望的)很重要。

令

表示或

中的任何一个，它们中的每一个均以标准方式构造，其中的角基单元首先按其方位角折射率变化排序)。假设其BSDF以表示的结构具有C_nv重对称，其中n为N″的任何因数。(对于N″＝60，n＝1、2、3、4、5、6、10、1 2、15、20、30或60。)如果某结构在组C_nv中的任何运算下均保持不变，则具有C_nv重对称；这些是恒等运算

绕轴的n折旋转

绕包含

轴的垂直平面的镜像对称(σ_u)，以及它们以其累积的唯一结果的组合得到的所有唯一运算。组C_nv中有2n次这样的运算，即n次旋转 ${{\hat{C}}_n}^0\&equiv;\hat{E},{\hat{C}}_n,$ 以及由相等方位角增量分隔的n个垂直镜面。对于表示给定结构的散射特性的任何矩阵，只要操作不会改变结构，对其行和列进行变换时，该矩阵均保持不变。也就是说，如果

为描述C_nv的任何一个操作下的角基单元变换的N×N矩阵，那么 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{S}}}^t\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{AS}}}=\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}.$

现在，将

视为被划分的矩阵，其具有N″×N″子块的N′×N′阵列。令

(1≤i≤N′；1≤j≤N′)表示i，j子块。C_nv的操作将基本单元变换为方位角折射率不同的其它单元，但不改变偏振折射率。接下来，

不混合，因此每个

在C_nv的每次操作中均保持不变。

在任何旋转下的不变性表明了该结构：

其中每个

均为n_u×n_u矩阵。n_u＝N″/n为在旋转中唯一的方位角单元的数量。通过1、2、…、n-1次连续的n折旋转，可以从这些方位角单元得到其余N″-n_u个方位角单元。注意，对于每个通常是不同的。我们仅仅是出于使符号简洁的目的而去掉上标标识。

令

表示复数值单位矩阵

其中，

为任意实数值正交n_u×n_u矩阵。那么

其中

表示

的伴随矩阵(转置复共轭)，并且

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_k=\underset{l=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{i2\mathrm{\&pi;}\frac{l\&CenterDot;k}{n}}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}_l,(0\&le;k\&le;n-1)$

由于

为实数，并且如果我们定义 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_n\&equiv;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_0,$ 则

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_{n-k}={{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_k}^{*},(0\&le;k\&le;n)$

因此，为实数，并且当n为偶数时，

也为实数。其余的

为复数。在此处和其它地方，符号“*”是指复共轭。

在镜面反射下的不变性意味着

A_l(i，j)＝A_n-l(n_u-i+1，n_u-j+1)  (1≤i≤n_u；1≤j≤n_u)

这对应于满足0≤l≤n的每一个(我们定义了 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}_n\&equiv;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}_0$ )，其中A_l(i，j)表示的第i，j个部分。由此得到

B_k(i，j)＝B_k(n_u-i+1，n_u-j+1)^*  (1≤i≤n_u；1≤j≤n_u)

这对应于满足0≤k≤n的每一个。如果我们将

选择为这样的矩阵：其列为在n_u折旋转中唯一的两个方位角单元(这些单元相对于对分该组的垂直镜面中的反射是对称的或反对称的)的标准化线性组合，那么，如果将

表示为

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_k=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4& b_5\\ b_6& b_7& b_8& b_9& b_{10}\\ b_{11}& b_{12}& b_{13}& {b_{12}}^{*}& {b_{11}}^{*}\\ {b_{10}}^{*}& {b_9}^{*}& {b_8}^{*}& {b_7}^{*}& {b_6}^{*}\\ {b_5}^{*}& {b_4}^{*}& {b_3}^{*}& {b_2}^{*}& {b_1}^{*}\end{array}\right]$

当(例如)n_u＝5时，

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{C}}}_k\&equiv;{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{V}}}^t{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{B}}}_k\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{V}}$

$=\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{Re}(b_1+b_5)& \mathrm{Re}(b_2+b_4)& \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_3& \mathrm{iIm}(b_2-b_4)& \mathrm{iIm}(b_1-b_5)\\ \mathrm{Re}(b_6+b_{10})& \mathrm{Re}(b_7+b_9)& {\sqrt{2}\mathrm{Reb}}_8& \mathrm{iIm}(b_7-b_9)& \mathrm{iIm}(b_6-b_{10})\\ \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_{11}& \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_{12}& b_{13}& i\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_{12}& i\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_{11}\\ \mathrm{iIm}(b_6+b_{10})& \mathrm{iIm}(b_7+b_9)& i\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_8& \mathrm{Re}(b_7-b_9)& \mathrm{Re}(b_6-b_{10})\\ \mathrm{iIm}(b_1+b_5)& \mathrm{iIm}(b_2+b_4)& i\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_3& \mathrm{Re}(b_2-b_4)& \mathrm{Re}(b_1-b_8)\end{array}\right]$

有n_s＝[(n_u+1)/2]个对称组合，以及n_a＝n_u-n_s个反对称组合([x]表示x的整数部分)。n_u为奇数时，n_s＝n_a+1。额外的对称“组合”中，单元被镜面对分。n_u为偶数时，n_s＝n_a，并且

的形式如上所述，但没有不规则的中心行和列。由于

和

(n为偶数)为实数，所以

和

仅包含n_s×n_s和n_a×n_a对角子块。所有其它均为密集的n_u×n_u矩阵。

令

表示

其为

的第l+1，k+1个子块。l或k等于零或n/2(n为偶数)时，

为实数。所有其它子块均为复数，但是存在

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}_{\mathrm{lk}}={{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}_{\ln -k}}^{*}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}_{\mathrm{lk}}={{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}_{n-\mathrm{lk}}}^{*}$

使得子块的行对和列对彼此复共轭。为了重新获得实值分解矩阵，我们现在最终形成中复共轭列子块的两个实值单元组合，以使每一对这种列子块均获得新的实值正交矩阵

当(例如)n＝6时，通过在右侧乘以n_u×n_u子块的6×6阵列，从

获得

$\left[\begin{array}{cccccc}\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& -i{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}}^{*}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& -i{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}}^{*}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{1}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}}^{*}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& i\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}}^{*}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& i\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}\end{array}\right]$

其中，(例如)当n_u＝5时

$\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{Q}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -i& 0\\ 0& 0& 0& 0& -i\end{array}\right]$

n为奇数时，不会出现第二次行和列中的非零子块均为

的情况；n_u为偶数时，

对角线上具有相同数量的1和-i。

当

替代

最终得到(n＝6时)

${\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}}^t{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}^{\left(\mathrm{ij}\right)}\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{U}}}=\left[\begin{array}{cccccc}{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{C}}}_0& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{D}}}_1& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{D}}}_2& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{C}}}_3& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{D}}}}_1& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}\\ \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& \underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{0}}& {\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{D}}}}_2\end{array}\right]$

其中

${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{D}}}_k=\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{Re}(b_1+b_5)& \mathrm{Re}(b_2+b_4)& \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_3& \mathrm{Im}(b_2-b_4)& \mathrm{Im}(b_1-b_5)\\ \mathrm{Re}(b_6+b_{10})& \mathrm{Re}(b_7+b_9)& {\sqrt{2}\mathrm{Reb}}_8& \mathrm{Im}(b_7-b_9)& \mathrm{Im}(b_6-b_{10})\\ \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_{11}& \sqrt{2}\mathrm{Re}{b}_{12}& b_{13}& \sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_{12}& \sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_{11}\\ -\mathrm{Im}(b_6+b_{10})& -\mathrm{Im}(b_7+b_9)& -\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_8& \mathrm{Re}(b_7-b_9)& \mathrm{Re}(b_6-b_{10})\\ -\mathrm{Im}(b_1+b_5)& -\mathrm{Im}(b_2+b_4)& -\sqrt{2}\mathrm{Im}{b}_3& \mathrm{Re}(b_2-b_4)& \mathrm{Re}(b_1-b_8)\end{array}\right]$

(对于n_u＝5)，并且通过对

的虚部值符号取反得到

n为奇数时，不存在

为我们期望的实值子块分解形式。n为偶数时，具有n-2个n_u×n_u、两个n_s×n_s以及两个n_a×n_a对角子块。n为奇数时，具有n-1个n_u×n_u子块、一个n_s×n_s子块以及一个n_a×n_a子块。

我们已经概述的结果允许以下基本运算：

(1)根据组C_nv的对称性对任何N″×N″矩阵

进行对称化运算，其中n为N″的任意因数；

(2)计算

的对称分解形式中对角子块的数量、每个对角子块的大小以及构成每个对角子块的值；以及

(3)分解的逆变换(用于根据

的对称分解形式计算

为了对整个矩阵

进行分解，我们首先单独对每个子块

进行分解(直接使用上述第(2)条)。当对称时(即 ${\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}^{\left(\mathrm{ij}\right)}={\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{A}}}^{\left(\mathrm{ij}\right)t}),$ 我们只需明确地分解i≥j的那些

因为的分解形式为

的分解形式的转置。然后，我们重新排列

的行和列的顺序，以使得偏振折射率最先发生变化。n为偶数时，结果为具有n-2个N′n_u×N′n_u、两个N′n_s×N′n_s以及两个N′n_a×N′n_a对角子块的子块分解矩阵；n为奇数时，相应子块的个数分别为n-1个、一个以及一个。对于相邻结构1和2(由折射率为n₂的介质分隔)，通过这种方法对称分解

和

以及

和可以将复合结构的N×N线性代数关系表达式

和

减少至n+2或n+1个独立的关系式，其大小至少减小至1/n。由于cpu处理所需运算的时间与矩阵大小的立方成比例，所以计算负担的减少量为约1/n²或更佳。

在我们N″＝60的标准角基中，最常遇到的对称为C_60v。(菲涅耳界面、均衡分层介质、衰减层、散射层、底板和朗伯界面均表现出C_N″v对称。)n＝60时，对称分解会导致60个N′×N′系统，其中仅有31个是唯一的。所实现的计算负担减少量为31/60³，即约1/7,000。结构化表面和非均衡分层介质是该标准的主要例外。例如，可从3M公司商购获得的、商品名为增亮薄膜(BEF)的薄膜具有C_2v重对称。n＝2并且N″＝60时，对称分解会导致四个15N′×15N′系统。计算负担的减少量为4/4³＝1/16。

期望相邻结构在同一对称群下被分解，以利用这些计算结果。当相邻结构具有不同的对称性时，可以在组合之前被有利地被“降级”为较低的普通对称。通过对的分解形式(使用上述第(3)项)进行逆变换，并根据C_n2v的对称将结果分解(使用上述第(2)项)，可以将具有C_n1v对称的任何结构降级为C_n2v对称(其中n₂＜n₁，n₁/n₂为整数)。如果所有成对组合都在可能的最高层对称进行，则可以最大程度减少组合一系列部件的计算负担。因此，对于(例如)图22的光路，其中部件1到4和6到8具有C_60v对称，部件5具有C_2v对称，如果将部件1和2的BSDF组合，将所得结果与3的BSDF组合，然后将所得结果与4的BSDF组合，则可以最大程度减少计算负担。然后将6和7的BSDF组合，并将结果与8的BSDF组合。接着，将所得的两个BSDF组合(具有C_60v对称)降级为C_2v，将1+2+3+4的BSDF与5的BSDF组合，并将所得结果与6+7+8的BSDF组合。优选的是，对叠层计算程序64进行编程，以通过这样一种方式对多种相邻元件、部件或叠层的BSDF进行组合：在该方式中，对所有这些项目的对称组进行识别，然后根据其各自的对称组为BSDF组合选择项目对，其中每个组合运算都利用被组合的对的对称性来减少计算负担。

通过对称分解，可以将保存矩阵所需内存至少减少至1/n。对于N″＝60的C_60v，精度降低程度为(31/60)(58·1²+2·1²+2·0²)/(60²)，或大致为1/120，该值小于1/n，因为在60个分解的子块中，只有31个是唯一的。对于C_2v，该值为(0·30²+2·15²+2·15²)/(60²)＝1/4，由于对和另外的分解，所以该值小于1/n。使用上述第(3)项，可以计算整个N×N矩阵

和

最后，使用上述第(1)项，可以(往往大幅度地)减少光线轨迹模拟在矩阵中产生的统计噪声。对称化类似于将结构的对称群中的每个运算应用到其BSDF的矩阵表达式中，然后对结果进行平均。对于具有2n次运算的群而言，均方根噪声的减少量为(2n)^-1/2，类似于发出2n倍光线。对于增亮薄膜(BEF)而言，对称化会使其矩阵BSDF的均方根噪声减少二分之一。对于具有C_60v对称的结构(例如，通过模拟建模的扩散片)而言，均方根噪声将至少减少为十分之一。

最优化的线性代数程序

通过使用辐射传递方程，以矩阵形式表示其解，然后使用模拟系统60中的所得方程，系统60主要使用线性代数方法(而不是光线跟踪法)来计算背光源中光路的散射(反射和透射)特征。线性代数技术也被用来解决应用物理学中各种其它无关的问题。因此，科学计算软件工程师已经开发出用于执行一般线性代数运算的高度优化的工具，叠层计算程序64优选地利用这些工具来实现进一步的计算加速。具体地讲，叠层计算程序优选地利用Lawson等人所公开的基本线性代数子程序，该程序公开于Basic Linear Algebra Subroutines for Fortran Usage，ACM Trans.on Mathematical Software 5，308-325(1979)中；将这些子程序应用到Silicon Graphics，Inc.工作站上，通常会使软件速度加快五倍。

通过精心设计架构，以及通过使用优化编译器，也可以优化光线跟踪软件，但加速程度是未知的，并且可能会增大开发成本。线性代数法的优点在于，容易获取经过数十年的发展已经得到最大程度优化的软件。

旋转、反射和逆变换

通过对光路部件的BSDF的矩阵表达式进行简单处理，就可以影响光路部件或其组合的所选物理变换。

如果

表示

或

(以标准方式构建，其中排列角基单元时首先改变方位角折射率)，

表示

的第i、j个N″×N″子块，那么如果要围绕 $\hat{n}=\hat{u}\&times;\hat{v}$ 向右旋转方位角增量360°/N″的任意整数倍，该旋转可以通过每个

的行和列的循环变化实现。m倍增量的旋转通过该变化实现：该变化使得未旋转矩阵中的第1、2、…、N″行(和列)按照N″-m+1、…、1、2、…、N″-m的顺序出现在旋转后的矩阵中。对于对分一个单位单元或两个相邻单位单元的联合体的垂直镜面中的部件的反射，通过互换其单元为彼此的反映的所有行和列的对实现。对于部件的反射及其在任何水平镜面的包络折射率，通过互换

和

以及互换

和

实现。后一种互换通过用其转置替换(n_a/来实现。如果未对包络折射率进行逆变换，则必须从“第一原理”重新计算逆变换后的结构的矩阵BSDF(即通过计算原始结构的BSDF所用方法的改进应用)。对于部件及其通过某点的包络折射率的逆变换，通过在水平镜面内的连续两折旋转和反射来实现。运算的顺序并不重要。最后，对于结构的两折旋转及其围绕任何水平轴的包络折射率，通过在水平镜面和含有该轴的垂直镜面内的连续反射来实现。同样，运算的顺序并不重要。

累积BSDF

涉及光线在模拟背光源中的传播的矩阵BSDF的特性为：

(1)对于限定在角基(对应于在单位半球上的特定方向)单元j内的均匀辐射所照射的表面，其总反射率和透射率为：

${R_j}^{(a,b)}\&equiv;\underset{i^{\&prime;}=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R_{i^{\&prime;}j}}^{(a,b)}$

${T_j}^{(a,b)}\&equiv;\underset{i^{\&prime;}=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{T_{i^{\&prime;}j}}^{(a,b)}.$

(2)对于由限定在单元j内的均匀辐射所产生的照明，进入角基单元i内的反射和透射的累积概率为：

${{\tilde{R}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}\&equiv;\underset{i^{\&prime;}=1}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R_{i^{\&prime;}j}}^{(a,b)}/{R_j}^{(a,b)}$

${{\tilde{T}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}\&equiv;\underset{i^{\&prime;}=1}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{T_{i^{\&prime;}j}}^{(a,b)}/{T_j}^{(a,b)}.$

继而为每个入射单元1≤j≤N进行计算后，这些量分别形成N-分量向量R ^(a，b)和T ^(a，b)，以及N×N矩阵

和总反射率和透射率用于制定有关在反射和透射之间进行选择的光线处理决策。对于进入单元j的入射光而言，关于相对概率R _j ^(a，b)和T _j ^(a，b所做的随机选择将忠实再现以单元j内的方向入射到表面的全体光子的实际去向。在给定光线的反射和透射之间进行选择之后，使用累积分布来确定其方向。随机选择的反射或透射单元i(对于单元j内入射的光线，其累积分布值

或

在0和1之间均匀分布)将忠实再现以单元j内的方向入射到表面的全体光子在单元之间的实际分布。

在叠层计算程序计算了元件、部件和/或叠层的组合的光路的矩阵BSDF之后，如果使用者需要，可以将这些BSDF以库文件格式(例如，薄膜库62等)保存。根据所采用的加速技术的不同，组合BSDF的计算可以足够快，以至于通常情况下只有非常普通或非常复杂(因而非常耗时)的光路才进行分类。分类后的BSDF可以按照其对称分解的形式保存，其中只有

和

的下三角阵和整个矩阵

(但非

被写入。然后，使用可逆对称、比率(n_a/n_b)的已知值和上述第(3)项的技术，可以由

和

的对称分解形式方便地计算出整个N×N矩阵

和

由

和

计算出R ^(a)、R ^(b)、T ^(a)和T ^(b)，以及

和

根据定义，每个累积BSDF矩阵的每一列中的最后一项均为1，因此不需要保存。相反，如果需要，可以将总反射率和透射率的向量保存在这些位置，这样既可以节约内存，又可以简化计算机处理。最后，可以将四个完整N×N累积BSDF矩阵写入输出文件，以供背光源模拟程序随后使用。可以不利用可逆对称和物理对称来“压缩”这些文件(尽管在其内容计算中可以充分利用这两种对称)。如果需要，可以将输出的累积BSDF文件保存在临时存储器中，以便在背光源模拟结束之后将其删除。这种文件维护策略可以避免模拟软件中逆变换分解的复杂性，并且在用叠层计算程序软件由最大程度压缩的BSDF文件重新计算累积BSDF时，可以更快地进行。

光源库

图5中示意性地示出了光源库66的操作和架构。在步骤86中，光源库66识别光源，例如，特定的发光二极管(LED)或冷阴极荧光灯。在步骤88中，如果光源已经保存在光源库66中，则在步骤90中调用光源的发射图案，然后在步骤92中提供该发射图案。在步骤88中，如果库66中没有该光源，则使用者在步骤94中提供该部件的详细描述，然后库66在步骤96中使用该描述来计算该光源的发射图案，在步骤98中保存发射图案从而避免重复计算，然后在步骤92中提供该发射图案。如果需要，光源库的基础架构可以与薄膜库62的基础架构类似。

类似于薄膜库62，光源库66中对技术要求最高的步骤为步骤94和96，这两个步骤涉及指定光源和计算该光源的发射图案。下文将详细讲述这些步骤。

光源的规格应回答下列问题：从不同视角来看，光源有多亮？这一亮度在光源的发光区域上如何变化？辐射测量学中已知的合适的量为辐射亮度，其单位为单位立体角单位面积的能量，或国际单位制中为瓦特/(m²-球面度)。与一些其它辐射测量量不同，光源的辐射亮度不会随着距光源的观察距离的变化而变化。辐射亮度是两个方向(如沿x方向和沿y方向)的视角的函数，而对于扩展源而言，则可以是位置(如x和y)的函数。因此，辐射亮度可以是四个变量的函数：两个角度变量和两个位置变量。对于点光源而言，由于其空间范围很小，所以使用辐射强度，而不是辐射亮度。辐射强度的单位为单位立体角的能量，并且规定仅限于两个视角。如本文所用，如果光源为扩展源(即具有有限的空间范围)，则其“亮度”表示辐射亮度，如果光源为点光源，则其“亮度”表示辐射强度。由于背光源通常为扩展源，因此其“亮度”通常指辐射亮度。

光源制造商可以对光源的辐射亮度进行测量、计算或规定。例如，LED的发射图案可以直接在测试固件中测量，该固件将检测器依次定位在发光半球内的不同位置，记录测得的能量(以及距光源特定距离处的孔隙大小)，然后直接报告发射图案或使其与预定曲线(例如，熟知的高斯分布或朗伯分布)相贴合。对于这些分布而言，通常报告角宽度。同样，光源制造商可以报告具体分布和相应角宽度，以及发光宽度和方向的公差值。作为另外一种选择，可以根据近场发射图案的规格计算出发射图案；也就是说，在光源自身处可以提供相对较小的光源的光分布，然后可以利用衍射模型产生远场发射图案。

上述关于辐射亮度的讨论并未涉及波长相关性问题，但对于实际光源而言，辐射亮度与波长有关。例如，标称发射红光的光源可以具有在光源中心波长处规定的辐射亮度，并且可以假设对于所有方向的光线而言，其辐射亮度会以相同方式随波长变化。也就是说，假设标称红光发光带的短波长端的辐射亮度与该发光带的长波长端的辐射亮度具有相同的角度相关性，并且与中心波长处的峰值辐射亮度相比，二者均以均匀的比例因子衰减。在实践中，可以在多种颜色或波长处独立地规定辐射亮度，例如，对应于红光、绿光和蓝光光源的中心波长的红光、绿光或蓝光辐射亮度。如果提供了一种以上的辐射亮度，每种均对应于不同的波长，则模拟系统60可以为每个波长计算、保存和处理一个BSDF或几组BDSF。

通常，会规定一个或多个光源的辐射亮度，并且系统60所提供的模拟背光源系统的辐射亮度为视角和背光源在输出表面上的空间位置的函数。利用光度值亮度，可以可选地将肉眼的光谱响应添加到模拟中。亮度的单位为流明/m²/球面度(lumens per m² per steradian)，或“尼特”(通常缩写为“nt”)。该光度学单位隐含地考虑了典型肉眼的光谱响应，在550nm(人们熟知的、按亮度调整的光谱发光效率曲线的峰值)处灵敏度最高。这样，通过比较亮度值，就可以直接比较对每个波段的感知亮度，而不用对红光、绿光和蓝光辐射亮度值进行人工记录、定标和比较。

下面我们将描述辐射亮度的两个样本规格：一个是冷阴极荧光灯，一个是LED。读者将会知道，其它合适的光源也可以以类似方式规定。

首先，描述冷阴极荧光灯的发射图案样本。通常用每个点(即发射的辐射亮度与向外的半球上的方向无关)处的朗伯发射来为冷阴极荧光灯建模，该发射在荧光灯的整个发射区域上保持均匀。

除了光源的发射特性及其入射光的反射和透射特性之外，还可能需要对光源进行详细描述。例如，通常将冷阴极荧光灯建模为朗伯反射器，并且在高级模型中，将其建模为部分透明的反射管，这同样需要对其表面的透射率的说明(如朗伯曲线)。图1和图2示出了这一点。

然后，描述示例性LED的发射图案样本。该LED从其有源区发射出方位角对称的辐射，该辐射对极角θ的函数关系是常数值0.1与平均值＝0.75、标准差＝0.20的高斯分布在sin²θ(在定义域0≤sin²θ≤1之外截断)内的叠加，归一化值为0.9。将该LED建模为点光源，这意味着其辐射被局限在无穷小的区域内，并且在发射之后，光不会与光源发生相互作用。通常将方位角对称的点光源表征为：其发射的辐射强度(单位立体角的能量)为θ的函数。图9示出了本LED实例的该特征。图9中的直方图结果是由以下过程产生的：以恒定增量sin²θ将从模拟系统发出的光线分箱，然后将累计数(相对于总数)除以cosθ的分箱平均值。

如下所述，这种类型的光源规格非常适合以灵活而简单的算法产生光源射线。单位功率的光线以在0和360度之间均匀分布的方位角发出，sin²θ的值服从下列独立分布：(1)以0.1的概率在0和1之间均匀分布；(2)以0.9的概率正态分布，平均值为0.75、标准差为0.20，但限定在0和1之间。规定sin²θ(而不是sinθ或θ)的密度以方便地使得朗伯分布对应于均匀密度。

背光源模拟程序：概述

图7示意性地示出了背光源模拟程序68的操作和架构。在步骤112中，指定背光源构造。这一步骤可以由使用者手动完成，也可以自动完成，例如，在迭代步骤中由计算机自动完成。不论步骤112的前一步骤如何，在步骤112的结论中，都会指定背光源的构造，包括一个或多个光源的发射图案和位置(步骤114)、一个或多个部件或薄膜叠层的BSDF和位置(步骤116)，以及输出平面的位置和取向(步骤118)。如果需要多于一个的波长或波段，也可以将其并入步骤112。在步骤120中，可以将相邻部件的BSDF组合为一个或多个组合BSDF；该步骤可以可选地利用叠层计算程序64。在步骤122中，跟踪这个过程中的光线：从光源开始，经过与部件或薄膜叠层发生的不同次数的相互作用，然后到输出平面。在步骤124中，记录光线在输出平面的位置和方向，例如，使用类似直方图的功率向量等。在步骤126中，将所记录的光线在输出平面上的位置和方向转换为发射图案，例如，由透射穿过输出平面的光线所描述的发射图案。如果需要另外的波长或波段(步骤130)，则操作会返回到步骤122。否则，将提供发射图案(步骤134)，要么以数据、坐标图或显示内容的形式向使用者提供，要么向可以产生坐标图或其它显示曲线图的显示引擎提供。图7中示出了若干个对技术要求较高的步骤，下文将对所有这些步骤均进行更为详细的描述。

根据上文所列基本元件指定光路。薄膜部件从BSDF的库中选出，例如，薄膜库62。如果不能获得薄膜部件的BSDF，则可以通过指定其光路来产生，并且可根据需要将其并入库中。

很多情况下，薄膜叠层和光路在每个表面的整个范围内都是均匀的，但可以通过此方法描述空间变化的薄膜叠层和光路(如点图形)：将表面像素化，并为显示薄膜叠层和光路的局部特性的每个像素提供整数标识符。例如，具有周期性结构的已注册扩散膜可能要求空间变化。或者，反射点图形(侧光式光导普遍使用)也可能要求空间变化。

很多情况下，薄膜叠层或光路的物理厚度基本上不会影响背光源的性能。然而，当光路厚度较大而被认为会影响性能时，可以用分隔的平行表面和光路中与每个表面相关的部分来表示该光路。

另外，作为背光源构造规格的一部分，应指定每个光源的特性、位置和取向。从发射图案库(例如，光源库66)中选择光源。

对于在一个或两个维度上空间范围较小的光源，线光源(CCFL)近似和点光源(LED)近似往往是足够的。对于这些空间范围较小的情况，仅需要定向(点)或定向和一维定位(线)发射图案，而不是光源上每个像素位置的不同发射图案。然而，对于这些零横截面的理想化光源，无法估计发射后光线与光源的相互作用。

对于空间范围有限的较大光源，光源表示可以包括(除了作为方向和三维位置的函数的发射之外)光源的尺寸、形状、反射特性和透射特性，以允许对发射之后光线和光源的相互作用进行评估。

根据光源的相对功率和每个光源的(空间和定向)发射图案，单位功率光线以随机位置和方向发射。发射条件可能与光源特性相对应，这体现在相对较多的光线沿光学功率较高的光路发射，而较少的光线沿光学功率较低的光路发射。

作为另外一种选择，也可以使用其它合适的发射条件。例如，可以以均匀分布的角度发射光线，但根据光源辐射的定向特性来为每条光线的相关功率定标。

根据指定的每单位路径长度吸收率，每条光线(以特定“单位功率”发射)的能量会随着在体积内传播的距离而呈指数衰减。对于自由空间传播，以及非吸收性介质内的传播而言，基本上没有吸收，因此每条光线都保留其能量。然而，在吸收性介质内部，每条光线对于传播通过的每个单位长度都会损失其能量的特定部分。从物理学上看，通常仅在材料的折射率存在实质上非零的虚部时，此材料中才会发生吸收。

当在均匀、同质并且各向同性的介质中传播时(通常为背光源系统中的情况)，光线基本上按直线传播。光线在发出之后，将一直传播，直到其照射到表面或部件，在该点处，此光线与表面或部件发生相互作用。

与具体部件的交互作用受该部件的局部BSDF支配。回顾前面的内容，BSDF是通常回答以下问题的概率分布：如果光线以特定的入射取向照射部件，那么该光线以特定取向从该部件出射的概率是多少？在光线照射部件之后，该部件的BSDF将决定光线的行为。具体地讲，光线的能量(通常)将衰减，而光线的方向(通常)将在每次与该部件发生相互作用之后随机改变，这由局部BSDF所决定。

这种光线交互作用基本上不同于传统光线轨迹跟踪的光线交互作用，在后一种情况下，从基本物理学原理确定地计算出射角。这里，每个光线交互作用均是概率性地确定的，而不是确定性地确定的。例如，如果入射条件相同的两条光线照射同一部件，那么这两条光线通常会具有不同的出射条件，原因在于，每条光线与该部件的交互作用方式均取决于概率函数，即该部件的BSDF。

光线在表面或部件反射之后，将保留在入射空间内。通常，光线在反射之后，将在入射空间内重新发射和重新定向，并且该过程将重复。光线透射穿过表面或部件之后，将从入射空间出射，然后传播到相邻空间。

现在我们描述终止光线并跟踪其相关能量的示例性方法。这通常发生在光线照射到输出平面时；通过在入射空间内重新发射光线，很容易处理反射部分；对于透射部分，则通过诸如下述任一方法之类的方法进行处理。

每次与输出平面相交时，入射光线能量的全部或部分可能聚集在与包含交点的像素(面积增量)相关的向量内，并且向量的元素表示入射光的不同方向。该向量基本上充当功率直方图的作用，并且会描述输出平面的给定像素上的入射光的每个特定方向内所包含的能量。如果要累积所有入射功率，则会终止光线。如果仅累积入射功率的一部分，则包含剩余功率的光线将被随机反射。在累积了所有入射功率的情况下，当且仅当入射功率小于某个指定阈值时，所有光线才会都最终终止在输出平面上，在该平面上，与输出平面的每次相交都构成一条“出射”光线。这是终止光线的一种方法；也可以使用其它合适的光线终止方法。

在步骤126中，将光线位置和方向转化为辐射亮度分布。在输出平面上的每个像素内，将累积入射功率的向量乘以表示该表面局部BTDF的矩阵，将结果除以像素面积(即所发出的单位功率光线的数量)，并将π除以所考虑的定向单元的数量。最终结果为光源发出的单位功率透射进入每个方向的辐射亮度。

注意，输出平面可能是薄膜叠层自身。在这种情况下，可以从光源开始，经过腔体直到薄膜叠层跟踪光线，也可以在光线入射到薄膜叠层上后终止光线。可以对入射到薄膜叠层上的光线进行统计分析，在乘以薄膜叠层的BTDF之后，产生从薄膜叠层出射的光线的空间和方向亮度分布。应当强调，光线可以在通过薄膜叠层之前终止，并且乘以薄膜叠层的BTDF会将“入射”信息有效地转化为使用者所期望的“出射”信息。在通过薄膜叠层之前累积光线信息的原因之一是，这样可以降低模拟中的统计噪声；如果经过薄膜叠层另外跟踪光线，并且在透射之后进行分析，则不会观察到统计噪声中的这种降低。在其它情况下，尽管统计噪声不会降低，但仍然可以通过薄膜叠层跟踪光线，并且对从薄膜叠层出射的光线进行分析。这样，可以跟踪进入任意平面或其它合适形状的光线，在该形状中，可以聚集和分析光线。

所需出射光线的数量取决于输出平面上的像素数量，以及计算所得透射辐射亮度内的统计噪声的可容忍水平。典型值为10到100,000,000。

到目前为止，对光线轨迹进行总结是有启发的。光线最初从一个或几个光源发出，然后在特定入射空间内从部件到部件传播。与部件的交互作用受特定部件的BSDF支配。在适当考虑每条光线的相对功率的情况下，光线从部件到部件反射，直到其照射到部分或全部透射性的输出面(或表面或部件)。输出面可以是入射空间和出射空间之间的有效边界，也可以是系统的输出平面。在输出面处，反射部分被重新发射到入射空间内。对于除输出平面以外的所有透射面而言，存在出射空间，并且透射部分被发射到该出射空间内。如果部分透射性的表面为输出平面，则不存在出射空间，并且直方图类型的功率向量决定输出平面处的辐射亮度分布。

在该示例性过程中，光线从光源射出，并在空间内传播，直到其照射到部分透射性的表面，然后要么于输出平面终止，要么穿过部分透射性的表面进入新空间。步骤122-126示出了该示例性过程；读者应当理解，可以利用其它各种过程从光源到输出平面对光线进行跟踪。

对于多个不同可见光波长中的每一个，均可以重复步骤122-126(步骤130)，以确定输出平面透射的辐射的光谱依赖性。以下段落将进一步详细描述步骤130。

如果光源的能量随波长变化，但在每个波长下的相对角分布相同(这意味着不同波长下的发射分布通过简单的比例因子相关联)，那么所透射的辐射亮度和光源能量的光谱依赖性相同。

然而，正如独立的红光、绿光和蓝光LED的情形，如果发射图案随波长而变化(这意味着不同波长下的发射分布的形状或位置会不同)，则应对每个波长或波段进行独立模拟。例如，对于不同颜色的器件而言，角发射可能会有不同，或者会因红光、绿光和蓝光器件的偏差而使空间发射存在轻微差别。另外，尽管许多薄膜的光学特性基本上与大多数可见光的波长无关，但塑料常常对于蓝光表现出更高的吸收率，导致其BSDF对于这些波长的相关变化。此外，多层薄膜的光学响应取决于多种相干作用，这种薄膜可以对所有可见光表现出明显的波长依赖性，因此可能需要对所关注的每种波长均进行单独模拟。

在步骤134中，确定了输出平面处每种所需波长下的辐射亮度之后，便提供了用表观亮度表示的量值。表观亮度可以是辐射亮度自身，也可以是辐射亮度的对应光度参数，即亮度。作为进一步的选择，表观亮度也可以是被称为亮度的量值，其为辐射亮度的光适应模拟量，等于光谱辐射亮度，由人体视觉系统的响应加权，并在可见光光谱范围内积分。作为进一步的选择，可以使用被称为颜色的量值，其等于两分量向量，用于表征人体对辐射的光谱变化的视觉感知，该光谱变化等于由两个颜色匹配函数中的每一个加权并在可见光光谱范围内积分的光谱辐射亮度。可选地，可提供一个或多个上述量值来形成表观亮度。作为另外一种选择，也可以使用任何其它合适的量值。

输出平面的表观亮度可以由步骤134以数据文件、打印输出、坐标图或曲线图的形式直接向使用者提供，也可以向能够显示和配置表观亮度(以响应使用者输入或一组预定条件)的显示引擎提供。显示引擎的一个实例是图3的虚拟显示器70。

尽管虚拟显示器可以使用横截面曲线图、等高线图和表面图，但呈现表观亮度的尤其便利的形式是通过灰度图或颜色图，下文将对其进一步详细描述。

虚拟显示器可以呈现背光源的整个空间范围，或根据需要呈现其任何部分，从而使使用者能够快速发现表观亮度中任何不均匀的因素。使用与许多CAD软件包中的控件类似的控件，可以在x方向和y方向均改变视角。也可以改变观察距离，从而使使用者能够以随位置而定的视角观察显示器。也就是说，对于靠近屏幕的观察点而言，对于输出平面上的不同像素，视角是不同的，例如，从对于屏幕中央像素的垂直入射视角，到对于屏幕边缘或拐角像素的掠射视角或高入射视角。

下面将提供背光源模拟的更多的细节。

执行背光源的光线轨迹模拟有多个方面。这些方面包括限定指定几何形状从而隐含地限定构成背光源的空间的一系列封闭表面(或作为另外一种选择限定空间从而推断表面)，以及限定这些表面和空间的衰减和散射特性。它们包括将光源限定和定位为点、线、面或空间，并指定发射的辐射亮度的空间分布和角分布。它们也可以包括：限定三维结构和这些光源的散射特性，以使得可以对发射后光源与光线之间的交互作用进行建模。它们包括通过(例如)限定背光源的输出平面和构成被观察发射的入射辐射，从而指定所关注背光源发射的具体特性。它们还包括用于处理光线的多种算法，包括确定表面交线、在光线与表面相交之后修正光线功率并对光线重定向，以及光线沿着其在表面交线之间的路径的衰减和可能存在的散射。

我们的方法基本上不改变传统背光源模拟的许多方面。这些方面包括(例如)源光线的产生和对体积衰减与散射的处理。本文所概述的方法可以在下列五个基本方面中的一个或多个上有别于传统方法：

(1)可以用单个表面表示有限的光路；

(2)用矩阵BSDF表示表面(包括表示有限光路的表面)的散射特性；

(3)在光线与表面相交之后，按照基于与该表面相关的BSDF的公式修正光线功率和方向；

(4)将光线聚集在至少部分透射性的背光源输出面(可以指输出平面)上，并保存这些光线的空间分布和角分布；以及

(5)通过输出平面上的聚集入射光的向量的矩阵乘法计算背光源的发光。

下面我们将讨论与这些分条细列的差别有关的独特方面。

相比于传统方法，对于指定非平凡光路的几何形状和散射特性的计算量，第(1)项和第(2)项能够带来很大简化。例如，具有复杂的增益增强叠层的面由限定该面的平均位置和相关BSDF的单个表面指定，而不是由出现在该面的整个范围上的光路内的每个表面元件指定。由于第(1)和第(2)项为简单化，并且相对直观，所以我们将重点关注第(3)、(4)和(5)项。

仅使用这些唯一方面中的一部分，就可以使我们的方法实现所选的有益效果。例如，如传统模拟方法那样，通过将光线透射到像面，就可以省略第(4)和第(5)项。但是，仍然可以使用第(1)、(2)和(3)项来大幅提高对最终到达像面的光线进行处理的速率。

表面元件

在模拟中，根据BSDF所描述的散射特性对光线进行的处理排他性地发生在光线与表面的相交处。在光线轨迹模拟中，可以用多种不同方式指定表面。一种方式是将表面指定为一系列邻接的小平面，但也可以采用其它方式，例如，通过指定三个空间坐标内的一个公式(如对于球面而言，x²+y²+z²＝R²)来指定。最终，所有表面在与有限数量的随机发射光线中的任何一条相交的所有点处拥有局部切面。该切面构成了与表面的局部BSDF的限定有关的水平面。

在表面上某点处的散射特性的计算取决于横跨该点处的切面的两个正交向量

和

的定义。存在与该选择有关的两个自由度：

的取向，以及朝

的旋转方向的感测。前者用于确定由将应用至该点的BSDF所描述的元件、部件或叠层(“光路”)的旋转方向。后者用于确定表面法线的感测 $\hat{n}\&equiv;\hat{u}\&times;\hat{v},$ 该法线用于限定表面

以上和

以下的区域。这继而确定由将应用至该点的BSDF所描述的光路的方向(相对于可能存在的水平镜面反射)。

在随后的整个讨论中我们假设：在与任何随机发射的光线相交的所有点处的

和

都是确定的，并且累积和

以及总反射率和透射率R ^(a)、R ^(b)、T ^(a)和T ^(b)也是指定的。后者的规格的实现方法通常是：将限定背光源的表面上的所有点均映射到由唯一的累积BSDF、反射率和透射率组成的列表。通常存在只要求

R ^(a)、R ^(b)、T ^(a)和T ^(b)的子集的表面。为了节约对内存的占用，只有必要部件才应包括在该列表中。下面我们将在用于此处的决策规则的背景下描述每个表面的最低要求。

限定背光源的至少一个表面构成输出面，从光源发出的光线通过该输出面最终传输，以形成背光源发光。当其中一个表面足够大，以至于背光源发光在其范围内基本上不同时，要分辨辐射的空间变化，就需要将受试表面进一步分割成像素阵列，然后单独计算每个像素的发光。模拟完成之后，将以像素为单位显示透射穿过受试表面的辐射，以表现其空间相关性。在随后的讨论中，仅仅为了简化描述起见，我们假设：通常情况下，背光源的输出面是一个很大的平面，并且该表面(通常为矩形)被进一步分割为用指数k和l标注的像素的二维阵列。然而，虽然我们以这种方式限定我们的描述，但我们并不意图以相似方式限定本发明的方法的预期可应用性。可以很容易地将我们描述的方法扩展到(例如)由许多小平面构成的多个非平面、非矩形的部分透射性的表面，每个小平面中的每一个都非常小，以至于不需要进一步分割，就足以分辨背光源发光中的空间变化。

蒙特卡洛决策

蒙特卡洛决策适用于反射和透射光均最终对背光源发光有影响的任何表面。光线的交互作用通常由蒙特卡洛决策来处理的表面的一个例子是，设置在背光源腔体内部光源和输出面之间的部分反射性和部分透射性的面板。蒙特卡洛决策通过四个连续的、统计意义上独立的决策实现。每个决策都需要首先确定入射的感测(从上方或下方)和入射

的方向所处的单元j。根据

的正负可以分别确定入射感测是来自上方还是下方(如果 ${\hat{s}}_i\&CenterDot;\hat{n}=0,$ 则表示光线不照射表面)，而入射方位角(该值确定单元j的方位角分量)则相对于包含在该表面的平面内的和

正交对来确定。

第一个决策根据来自单元j内的入射光线的表面的总反射率和透射率(分别为R_j ^(a，b)和T_j ^(a，b))而在反射和透射之间进行选择。如果随机选择的值r₁(该值在0到1的区间内服从均匀分布)满足下列条件，则选择反射：

$r_1<\frac{{R_j}^{(a,b)}}{{R_j}^{(a,b)}+{T_j}^{(a,b)}}$

否则，选择透射。不论是否发生可能的吸收，只可能出现反射或透射这两种结果。无论第一个决策的结果如何，光线中的能量都按R_j ^(a，b)+T_j ^(a，b)≤1这一因子减少。

第二个决策选择包含散射方向的单元。在0到1的区间上选择第二个随机值r₂，并确定散射单元i，则

${{\tilde{R}}_{i-1,j}}^{(a,b)}<r_2{{\widetilde{<R}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}$ (光线将被反射的情况下)，

或者

${{\tilde{T}}_{i-1,j}}^{(a,b)}<r_2<{{\tilde{T}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}$ (光线将被透射的情况下)。

(此处假设对于所有 $1\&le;j\&le;N,{{\tilde{R}}_{0j}}^{(a,b)}={{\tilde{T}}_{0j}}^{(a,b)}=0$ 。)

第三个和第四个决策为单元i内反射或透射的光线选择准确的方向。目标是使方向随机分布，以表示单元内的均匀辐射。(在我们的角基中)实现这一目标的方式是：在0到1的区间上随机选择第三个值r₃，并设定

${\sin }^2\mathrm{\&theta;}=(1-r_3)\frac{i^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}+r_3\frac{i^{\&prime;}}{N^{\&prime;}},$

其中θ为精确光线方向的极角，i′为单元i的偏振折射率，并且在0到1的区间上随机选择第四个值r₄，并设定

其中为精确方向的方位角(相对于

，i″为单元i的方位角折射率。对于从上方的反射和从下方的透射而言，所选极角与

相关；而对于从下方的反射和从上方的透射而言，则与

相关。

对于从上方入射的情形，蒙特卡洛决策通常需要输入

和R ^(a)以及

和T ^(a)，而对于从下方入射的情形，则需要输入

和R ^(b)以及

和T ^(b)。

纯反射决策

纯反射决策适用于只有反射光最终对背光源发光有影响的任何表面。光线的交互作用通常由纯反射决策来处理的表面的一个例子是，光线无法穿透或透射光在经过表面时消失的背光源腔体“壁面”。纯反射决策通过三个连续的、统计意义上独立的随机决策实现。同样，每个决策都需要首先确定入射方向和入射方向所处的单元j。

纯反射决策始终反射光线，并始终按照R_j ^(a，b)≤1这一因子减少光线的能量。通过这三个随机决策，可以选择反射单元i，随后选择该单元内的精确反射方向。这些选择的方式与第一个决策选择反射的蒙特卡洛决策相同。也就是说，给定区间0到1上的三个随机值r₂、r₃和r₄，选择i以使得

${{\tilde{R}}_{i-1,j}}^{(a,b)}<r_2{{\widetilde{<R}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)},$

选择sinθ以使得

${\sin }^2\mathrm{\&theta;}=(1-r_3)\frac{i^{\&prime;}-1}{N^{\&prime;}}+r_3\frac{i^{\&prime;}}{N^{\&prime;}},$

选择

以使得

对于从上方反射的情形，极角与相关，而对于从下方反射的情形，极角与

相关。

对于从上方入射的情形，纯反射决策通常需要输入

和R ^(a)(但不输入

和T ^(a))，而对于从下方入射的情形，则需要输入

和R ^(b)(但不输入

和T ^(b))。对发光有影响的光线仅为表面一侧的入射光这种通常情况下，只需要

和R ^(a)，或

和R ^(b)。

分枝决策

分枝决策用于反射光和透射光均最终对背光源发光有影响的任何表面。分枝决策将每条入射光线都分为反射和透射两部分。一般来讲，对于其光路被同时跟踪的光线的数量，会随着对从输出面出射的每条光线所进行的分枝决策的平均数的增加而呈指数级增加。这会使模拟软件更加复杂，并且在许多情况下，会大大增加所需内存。然而，背光源的输出面是此类潜在分枝表面的特例：对该表面进行这种处理不会增加其光路被同时跟踪的光线的数量，原因是透射光线对背光源发光有影响，所以不需要进一步跟踪光线。

分枝决策通过三个连续的、统计意义上独立的随机决策实现。每个决策都需要首先确定入射方向和入射方向所处的单元j。要完成对光线的处理，还需要确定二维像素阵列中的元素k和l，其用于确定与部分透射性的表面的交点处的发光的空间相关性。

反射光的能量相对于该入射光以R_j ^(a，b)≤1这一因子减少，并且可以通过三个随机决策选择反射单元i，随后确定该单元内的精确反射方向。其方式与纯反射决策相同。在除输出面之外的任何表面上进行的分枝决策，甚至以更为传统的方法(该方法中，从输出平面到像面对光线进行跟踪)进行的模拟中在输出面上所进行的分枝决策，然后会要求选择透射光线的方向。但在优选方法中，不需要明确计算透射光线。相反，透射功率(等于入射功率的T_j ^(a，b)≤1倍)聚集在N维向量中，我们称之为“聚集入射向量”。对于用于求解发光的空间相关性的像素阵列的每个元素而言，均保留这样的一个向量。我们将这些向量表示为t(k，l)。透射功率聚集在聚集入射的k，l向量的j分量内。我们将透射功率聚集在任何向量t(k，l)的任何分量内的事件称为“出射光线”。模拟中聚集的出射光线的数量(相对于像素总数)提供了基本的尺度，用来衡量每个像素内的预测辐射亮度的预期统计显著性。

对于从上方入射的情形，分枝决策需要输入 R ^(a)和T ^(a)，对于从下方入射的情形，则需要输入

R ^(b)和T ^(b)。但由于对发光有影响的光线排他性地仅为输出面一侧的入射光，因此仅需要

R ^(a)和T ^(a)，或 R ^(b)和T ^(b)。如下所述，来自聚集入射的向量的透射辐射亮度的后续计算中，对于从上方入射的情形，还需要

而对从下方入射的情形，则还需要

光线终止

我们讨论终止光线的两种技术。第一种排他性地用于被称为完全吸收表面的表面。照射到完全吸收表面上的任何光线将立即从考察对象中剔除，而不会产生任何结果。注意，对于完全吸收表面而言，既不需要指定累积BSDF，也不需要指定总反射率和透射率。而只需要将表面指定为完全吸收表面。

第二种技术具体处理光线与输出面的交互作用，这种技术通过引入功率阈值P_t来实现，该阈值被定义为每个源光线内发出的能量的一部分。如上所述，仅当入射光的功率超过P_t时，才会在输出面上进行分枝决策。当由于前面的交互作用中的累积损耗，导致入射功率小于P_t时，将使用改进的蒙特卡洛决策来替代分枝决策。在四个决策中的第一个选择反射的情况下，改进的蒙特卡洛决策与上述蒙特卡洛决策相同。如果第一个决策相反选择了透射，则分配给透射光线的功率(R_j ^(a，b)+T_j ^(a，b)乘以入射功率)会按照入射方向所处的单元j和交点所处的像素k，l聚集在聚集入射向量中。由于既不透射光线也不反射光线，入射光线被有效地终止。

通过这种方法，所有光线均在完全吸收表面或背光源的输出面上终止。而不会丢弃最终可能对发光有影响的任何量值的功率，无论其有多么小。因此，不需要对丢弃的光线指定功率阈值(该值可能会影响模拟结果)。所需阈值仅确定发出的每个源光线所产生的出射光线的数量。该值可能会(在较小程度上)影响产生统计意义上显著的结果的效率，但在源光线数量无限多的极限情况下，不会对任何结果产生影响。

背光源发光

模拟完成之后，对于输出面上的每个像素，聚集入射的向量包含总透射功率的预测值，按照发出能量的背光源腔体内发出的入射光的方向来求解该值。当用输出面的总透射率T ^(a，b)表示，并且该向量表示来自腔体内的入射辐射亮度I ⁽ⁱ⁾时，对于每个1≤j≤N，这些量为

$A_{\mathrm{pixel}}\frac{\mathrm{\&pi;}}{N}{T_j}^{(a,b)}{I_j}^{\left(i\right)}$

其中A_像素表示目标像素的面积。对于每个1≤i≤N，将该值乘以(T_ij ^(a，b)/T_j ^(a，b))，然后在所有j上求和，得到

$A_{\mathrm{pixel}}\frac{\mathrm{\&pi;}}{N}{\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{T}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}{I_j}^{\left(i\right)}$

其为A_像素(π/N)乘以单元i内的透射辐射亮度之积。将该值除以A_像素(F7＞π/N)，并除以所有光源发出的总功率之后，得到由于单位功率光源阵列而透射进入任何方向i的辐射亮度的估计值。

注意，通过下面的简单离散微分，可以从相应的累积透射率矩阵

确定N×N矩阵(T_ij ^(a，b)/T_j ^(a，b))：

$({T_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}/{T_j}^{(a,b)})={{\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}-{{\widetilde{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}}_{i-1,j}}^{(a,b)}$

其中，我们再次假设对于所有1≤j≤N， ${{\tilde{T}}_{0j}}^{(a,b)}=0.$

因此，对于由单位功率光源阵列所照射的背光源而言，模拟系统60能够通过下列方式计算该背光源的输出面所透射的辐射亮度：

(1)根据

的符号，确定部分透射性的表面上的入射感测(上方或下方)，如果指向腔体内部，则为上方，如果

指向外部，则为下方；

(2)对

或

求微分，以获得对于所有1≤i≤N和1≤j≤N的 ${{\hat{T}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}\&equiv;{{\tilde{T}}_{\mathrm{ij}}}^{(a,b)}-{{\tilde{T}}_{i-1,j}}^{(a,b)};$

(3)通过将每个向量的每个分量都除以目标像素的面积(对于所有像素通常相同)、角基中每个单元的单位圆内的面积(对于我们的标准基为π/N)以及所有光源发出的总功率这三者之积，将聚集入射的每个向量都进行缩放；以及

(4)用

左乘聚集入射的所得缩放向量，获得k，l像素内的透射辐射亮度的向量

$\widehat{\underset{\&OverBar;}{t}}(k,l)={\widehat{\underset{\&OverBar;}{\underset{\&OverBar;}{T}}}}^{(a,b)}(\underset{\&OverBar;}{t}(k,l)/\left(A_{\mathrm{pixel}}\frac{\mathrm{\&pi;}}{N}{P}_{\mathrm{tot}}\right)).$

通过应用基本线性代数子程序(“BLAS”)执行必要的线性代数运算，可以加快第(2)到(4)步的运算。

虚拟显示器

利用空间分辨率小于或等于像素面积的传感器，从背光源腔体外部的任何点处对背光源部分透射性的表面进行观察，可以“衡量”沿观察点(相对于发光点)方向透射穿过该表面的局部辐射亮度。本文用向量

表示透射的辐射亮度。当用这些表示时，在观察点

处所感测的、从以

为中心的k，l像素发出的辐射亮度为

其中对于我们的标准角基和基函数指数的标准顺序而言，

$\hat{s}=\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_o-{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_{\mathrm{kl}}}{|{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_o-{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_{\mathrm{kl}}|}$

$s_h=\hat{s}-(\hat{s}\&CenterDot;\hat{n})\hat{n}$

$i^{\&prime;}=\frac{{\left|s_h\right|}^2}{N^{\&prime;}}+1$

$i^{\&prime;\&prime;}=\frac{\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}\mathrm{Im}\ln (s_h\&CenterDot;\hat{u}+i{s}_h\&CenterDot;\hat{v})+180}{360/N^{\&prime;\&prime;}}+1$

i＝(i′-1)N″+i″

此处，表示垂直于输出面的单元。如果这些值显示(例如，用伪彩色表示)在网格(该网格示出了从

观察时每个像素的边界)上的每个像素内，则可以获得从

观察时部分透视性的表面的“外观”的示意图。由于该显示技术仅依赖于检索或“查找”已经计算过的

值，所以对于

的不同值，该技术几乎可以在瞬间进行重复。通过依次考虑使用者提供的一系列邻接的

值，当观察者围绕背光源移动(或观察者不动，而背光源移动)时，可以快速连续地显示输出面(不断变化)的外观，并且在相邻位置之间没有明显延时，也就是说基本上可以实时显示。我们将这样的一系列图像称之为“虚拟显示器”。

对于销售或促销光学薄膜、光源或包括整个背光源系统在内的背光源的其它任何部件，这样的虚拟显示器可以形成其方法的基础。在一种方法中，提供有用户界面(例如，在可通过因特网之类的网络访问的网站上)，以便寻找光学薄膜或其它产品的潜在客户或使用者。该用户界面可以包括可购买的光学薄膜(如增亮棱镜膜、反射偏振膜、转向薄膜和扩散膜等)的菜单，客户可以通过该菜单进行选择。该用户界面还可以包括软件以允许客户指定背光源构造，如光源和腔体尺寸等。优选的是，该软件采用本文所公开的BSDF模拟方法，以快速计算和模拟特定于客户的背光源的输出。该用户界面还可以包括工具以允许客户指定和更改背光源的观察几何形状，从而以虚拟方式实时提供背光源外观的图形表示。我们还设想在优化工具中使用BSDF模拟方法，使用者可以利用该工具指定要最小化或最大化的参数(例如，在所指定的观察几何形状处的背光源增益、均匀性、颜色和对均匀性的偏差)，然后依次浏览不同的背光源系统构造，直到获得最佳的背光源设计。

我们对透射辐射亮度的模拟表示是离散化的，这种离散化通过将输出面像素化(每个像素一个向量

)和对单位半球进行分割(每个角基单元一个

的分量)实现。在大多数情况下，像素化和按角度分割比真实的传感器(如肉眼或数码相机)更加粗糙。对虚拟显示器所产生的影响是，会创造空间上离散的图像，相比于所感测的图像而言，该图像在像素内是模糊的，并且在像素之间表现出非自然的不连续性。与此相似，对于连续变化的

的一系列图像，可能在离散域内随图像变化而模糊，并在域之间表现出不连续性。虽然这些人工痕迹有时候看起来不舒服，但仅当被模拟的实际背光源分别在小于像素或角基单元的比例内具有空间或方向不均匀性的重要特征时，才会有严重的局限性。在这些情况下，修补方法可以包括更精细的像素化(这可能需要更多出射光线)和/或更精细的角分辨率(这需要重新计算BSDF，并且可能需要进行软件修改)。人们认为对于大多数实用的背光源设计而言，上述1200个角基单元以及大约10,000个像素的输出面像素化可以产生可接受的结果。由于背光源设计的发展通过是偏离空间和方向的不均匀性，而朝向更为均匀的行为演变，因此我们可以合理地预期，这种位置和方向上的离散化将继续被人们接受。

模拟实例

我们首先讨论增益或增益增强。薄膜或薄膜叠层的“增益”是经验特征，在本文中，其被定义为：将本发明的薄膜或叠层贴附到大致为朗伯发射和反射的标准均匀表面上之后和之前相比，沿

方向观察到的亮度的比率。该比率及其与

的相关性为薄膜或叠层的“增益角分布”。

一种可能的标准发射表面为本文称之为“增益立方体”的装置的顶面。增益立方体是边长为约5英寸的立方体，由白色Teflon^TM扩散材料制成的16mm厚侧片和6.7mm厚顶片和底片构成。该立方体由通过底片伸入该立方体并且直径为6mm的光纤束照明，光纤束指向顶片方向，终止于下方约4英寸处。该光纤束由标准卤素光源照明。对于穿过增益立方体顶片的角度相关发光，在暗室内使用Autronic-Melchers GmbH制造的锥光镜进行测量。锥光镜沿着从法线延伸到掠射角10度范围内的部分半球上的方向测量亮度，并对从占有面积约2mm内的表面发射的光线的平均亮度作出响应。首先在不存在该薄膜或叠层的情况下测量角分布，然后在存在该薄膜或叠层的情况下测量角分布，然后用两次测量值的比率来确定增益。

增益立方体的构造使得，在许多情况下，薄膜或层叠层的实测增益表明，将该薄膜或叠层贴附到典型背光源的部分透射性的表面后，会产生亮度增强(或减弱)效果。

如果I表示N维列向量(其分量为增益立方体发出的光线的亮度，并在我们的角基中的N个单元的每一个上求平均值)，而R^(a)表示上方入射的情形下增益立方体的BRDF在我们的角基中的矩阵表达式，那么：

I ₁＝T ^(b)(1-R ^(a) R ^(b))^-1 I ₀。

其中，I ₀表示不存在薄膜或叠层时的I，I ₁表示存在薄膜或叠层时的I，而R ^(b)和T ^(b)是下方入射的情形下，薄膜或叠层的BSDF的矩阵表达式。对于描述增益角分布的向量，其分量为I ₁和I ₀的分量的比率。因此，给定I ₀和R ^(a)(增益立方体的特性)，就可以从R ^(b)和T ^(b)(薄膜或叠层的特性)推断出增益的角分布。

几乎在任何实验性增益确定过程中，均可以直接测量I ₀。使用增益立方体片的已知组成、其反射率的测量值、I ₀自身，以及预测增益和实测增益之间的对应关系，可以估计R ^(a)，以引导我们的假设。我们为增益立方体的顶片建模，使其为位于n＝1.20的基质内的g＝0.950、ω＝1并且τ＝400的散射层，并利用上文中用于夏普扩散片的相同方法计算其BSDF。R ^(a)为从上方入射的情况下该BSDF的反射分量。

我们的模型会产生以下结果：(1)对于与观察到的I ₀的角分布高度匹配的朗伯入射光，产生预测的透射辐射亮度，(2)对于超出实测值数个百分点的垂直入射和朗伯入射，产生预测的总反射率，以及(3)在预测增益和实测增益之间大致良好的对应关系。其中，对第(1)项进行预测是因为，我们可以预测高度循环的增益立方体腔体内任何位置的近朗伯入射。第(2)项可以通过适用于2mm夏普扩散片的相同实验偏差进行解释。第(3)项提供对我们的预测的保真性的测试。

虽然与其它聚合物相比，Teflon^TM材料的折射率通常较低，但该折射率显著大于基质的假设折射率值n＝1.20。优选采用减小的折射率可能表示对未建模影响(例如，基质-空气界面的随机粗糙度)的补偿，或对其它参数值的不准确性的补偿。对于夏普扩散片，更为精确和详尽的材料和光学特性有助于确定增益立方体片的BSDF。

图11A示出了该模拟薄膜叠层的预测增益角分布：该叠层下侧为夏普扩散片，通过气隙与一片点朝上贴附的Vikuiti^TM品牌BEF-II 90/50分隔。通过组合各个部件的BSDF(上文已对此进行计算)可以确定该结果，从而确定叠层的R ^(b)和T ^(b)，然后根据上述方法计算I ₁和增益向量。使用灰度形式的伪彩色表示增益值，其为在向上单位半球上指向水平面的方向的水平投影的函数。我们角基的1200个单元中的每一个中均表示不同的值。在曲线图上添加了水平(深灰色)和垂直(浅灰色)基准轴线。这些轴线具有以sin(θ)为增量呈线性的刻度，范围为从中心处的0到两端的1。BEF的取向使得槽与水平投影位于水平基准轴线上的方向平行。图11B示出了图11A沿水平和垂直基准轴线的增益值，其中图11B中的深灰色数据对应于沿水平基准轴线的增益，浅灰色数据对应于沿垂直基准轴线的增益。当深灰色数据点的值与浅灰色数据点的值相同时(如对于θ＝0，图11A的水平基准轴线与垂直基准轴线在此相交)，只显示一个条形。图11B的x轴以θ为增量线性变化(而不是与图11A一样以sin(θ)为增量线性变化)，并且应对沿图11B的x轴的符号进行如下解释：符号的绝对值为极角θ，负数对应于方位角

相对于正数的情形移动180度的情形。

图11C示出了同一薄膜薄膜叠层的实测增益角分布。所示值为从锥光镜的更高角分辨率向下采样到我们的角基，并从80度处的测量域的边缘外推到掠射。外推值在曲线图周边附近占据了非常薄的环面，因此并不会显著影响预测值和实测值之间所感知的对应关系。给出了如图11A所示的基准轴线，用于图11C的灰度阴影也与用于图11A的灰度阴影相同。类似于图11B，图11D示出了图11C沿水平(深灰色)和垂直(浅灰色)基准轴线通过单位圆曲线图的增益值。实测值(图11D)和预测值(图11B)之间的对应关系良好。

图12A-D示出了通过添加第二片点朝上贴附的Vikuiti^TM品牌BEF-II 90/50上覆层，并由气隙将其与第一片隔开，上覆层的取向应使其槽平行于水平投影在曲线图中的垂直轴线的方向(因此垂直于下层BEF片中的槽)，从而获得的薄膜叠层的类似对比。注意，相对于图11A和图11C，灰度发生了变化，这反映出该“交叉BEF”构造已确定的更高轴向增益。同样，实测值和预测值之间的对应关系良好。

单LED测试固件

作为背光源模拟的第一个实例，我们考虑构造简单的测试固件，以验证背光源系统模拟的预测结果。

该测试固件的内部为宽7英寸、高5英寸、深0.83英寸的中空腔体。该腔体由单个Luxeon-I红色侧发光LED提供照明，该LED在底面中心处穿过直径8.3mm的孔伸入。这种伸入方式使得LED封壳的基底与腔体底面共面，并使封壳的旋转对称轴垂直于该表面。腔体的底面和四个侧壁完全由Vikuiti^TM增强型镜面反射片(ESR)可视镜多层光学膜覆盖，该光学膜被层合到形成腔体壳体的白色扩散塑料的内表面。腔体的顶部对应于背光源部分透射性的输出面。在第一个模拟构造(“I”)中，在输出面处的夏普扩散片顶部设置了1.5mm厚的光学玻璃板。在第二个构造(“II”)中，在扩散片和玻璃之间(不发生光学接触)嵌入一片BEF-II90/50，并使其槽平行于该面的长轴；在第三个构造(“III”)中，在第一片BEF顶部还添加第二片BEF，并使第二片BEF的槽与短轴平行。这样，利用该固件，就可以测试至少具有不同增益程度的三个输出面。包含有玻璃板以使多片BEF保持平坦；即使没有这些薄片，也仍然保留玻璃板，以保持强度。

对Luxeon-I红色侧发光体的发射图案进行测量。结果表明，在远离该装置的位置处，

方向上的发光强度(流明/立体角)相对于

(与封壳的旋转对称轴重合，并向上垂直于外延层平面)几乎独立于

的方位角取向，但该值会随着极角 $\mathrm{\&theta;}={\cos }^{-1}(\hat{s}\&CenterDot;\hat{z})$ 的变化而显著变化，并在θ＝75°附近达到最大值。对θ的2度分箱内的实测值求平均值，会产生图13A所示极角相关性的直方图表示。图13B示出了该直方图的累积概率分布，将cosθ示为纵坐标。我们通过从普通点发出的单位功率光线的总体来模拟Luxeon-I装置的发光。对于累积概率在0和1之间的均匀随机值，通过数值逆变换分段线性累积分布来选择每条光线的极角的余弦。将方位角选择为在0和2π之间统计意义上独立的均匀随机值。光线从封壳内的中心点处(腔体底面上方约1.6mm处)发出。

四个侧壁的BSDF以及底面大部分区域的BSDF为层合到白色扩散塑料的ESR的BSDF。ESR由单轴双折射PEN和各向同性的PMMA组成的、量级为100nm的多个交替层构成，交替层夹在厚约5μm的PEN外皮之间。精确的层厚度提供基本上独立于入射角和可见光光谱范围内的波长的高反射率。在层厚度和材料折射率与吸收率已知的情况下，我们使用Berreman，D.W.在Optics in Stratified and Anisotropic Media；4x 4-Matrix Formulation，J.Opt.Soc.Am.62，502-510(1972)中公开的方法计算任意入射角和波长的反射率与透射率，以及来自任何各向同性介质的入射光和射入其中的透射光的反射率和透射率。使用目标设计厚度按此方法确定的反射率通常略高于所制造产品的实测反射率。通过粘附一层光学厚度τ＝0.005的非散射衰减层，该衰减层嵌入到入射和透射介质内部，并具有与该介质匹配的折射率，我们可以对此作出补偿。作为另外一种选择，可以明确地对层厚度和材料折射率中与实际产品变化有关的随机变化的影响建模。

对于嵌入到折射率分别为n_a和n_b的上下层介质之间的ESR的矩阵BSDF，其形式与折射率相同的介质之间的菲涅耳界面的BSDF形式相同。不同之处在于，用叠层的反射率和透射率来替代菲涅耳反射率和透射率，从而改变非零元素的值。对于单色光而言，由于在较厚的外皮内交替出现相长干涉和相消干涉，所以指定平均值在入射角范围内的积分会起伏变化。对于具有有限带宽或可变外皮厚度的任何真实系统而言，这些是人工痕迹。我们通过在入射角上求积分以计算矩阵元素之前，在10nm带宽范围内求平均值，可以消除这些人工痕迹。

规定腔体内部为“下”，腔体外部为“上”，则壁面和底面构造具有(1)折射率n＝1.00的介质内光学厚度τ＝0.005的非散射衰减层，其上为(2)位于折射率n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的ESR叠层，其上为(3)折射率n＝1.50的介质内光学厚度τ＝0.005的非散射衰减层，其上为(4)折射率n＝1.50的基质内g＝0.900、ω＝0.9999并且τ＝4000的散射层，其上为(5)折射率n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质之间的菲涅耳界面。我们将白色扩散塑料建模为折射率n＝1.50的基质内g＝0.900、ω＝0.9999并且τ＝4000的散射层。这种指定在很大程度上是任意的，但由于ESR的透射率通常为百分之一或更小，所以这种指定在很大程度上对于整个壁构造的反射特性无关紧要。将五个光路部件的矩阵BSDF组合在一起，以确定壁构造的BSDF。在所得BSDF的四个部分中，只有R ^(b)以下的反射率与背光源模拟有关，并且是进行背光源模拟所必需的。在我们的点光源LED模型的背景下，我们假设底面在LED由此伸入其中的孔的直径内具有完全吸收性。(为准确起见，可以深入考虑实际装置的结构以及反射与透射特性。)因此，模拟中终止了照射到该孔内的底面上的所有光线。上文描述了三种候选输出面构造的BSDF，不同的是此处在每种构造内均添加了作为最外层部件的1.5mm玻璃板，其不与下层部件发生光学接触。因此，上文所述构造的BSDF与具有这些部分的光路的BSDF结合在一起：(1)折射率n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的菲涅耳界面，其上为(2)光学厚度τ＝0.018的非散射衰减层，其上为(3)折射率n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质之间的菲涅耳界面。添加玻璃板只会略微影响所透射的辐射亮度，但在非常靠近掠射观察点的位置处则例外，在该位置处，由于掠射入射附近空气与玻璃之间的界面透射率较低，因此会显著减少所观察到的辐射亮度。在输出面BSDF的四个部分中，只有R ^(b)是完成腔体内的光线轨迹以确定每个像素内聚集的入射光的向量所必需的。另外，还需要T ^(b)以下的透射率，才能根据聚集入射的透射率计算透射辐射亮度的向量。选择面的像素化以产生尽可能接近但不超过10,000个约为正方形的像素。对于5×7英寸的输出面，其由85×117的阵列来实现。

使用等于每条光线中初始功率的百分之一的功率阈值来进行光线轨迹模拟。在出射光的累计数超过10,000,000之前，一直发射源光线。出射光线由市售的Silicon Graphics Octane工作站以每分钟约1,250,000条的速率发射。因此，每次模拟的完成时间都不到10分钟。平均起来，对于大约10,000个1200维聚集入射光向量的每一个分量而言，只有一条出射光线，因此这些向量表现出较高程度的统计噪声。然而，对于所考虑的每种输出面构造，T ^(b)的行具有许多非零分量，从而使透射辐射亮度的向量的分量(等于聚集入射向量的分量的加权平均值)表现出低得多的统计噪声。我们的预测图像将显示，与10,000,000条出射光线相关的透射辐射亮度中的残余噪声不会使表面的亮度和均匀性的任何关键部分变得模糊。

扩散板

图14A示出了用于构造I的测试固件在垂直视角处的预测亮度。图14C示出了用ProMetric CCD照相机测得的该构造的亮度。如图左侧所示，预测或模拟图像(图14A)和实测图像(图14C)是在普通灰度的基础上描绘的。我们允许我们的灰度在图像中央处的“热斑”内部和周围饱和，以保留足够的动态范围，从而识别图像剩余部分的亮度变化。图14A和14C的物理标度(宽-3.5至+3.5英寸，高-2.5到+2.5英寸)也相同，但由于测量局限性，实测图像并不一直延伸到边缘。图14B示出了沿叠加在图14A上的中央设置的水平(浅灰色)和垂直(深灰色)基准轴线的亮度值，图14B中的深色/浅色曲线分别对应于图14A的深灰/浅灰基准轴线，图14D与图14C存在同样的对应关系。所示亮度值的单位为尼特(流明/m²/球面度)。

实测图像是在LED驱动电流保持在350mA的情况下获得的，该电流下所产生的实际光通量为40流明(用Optronics OL-770累计球测得)。预测图像对应于等于46流明的LED光通量(发射的总流明)。(在假设1流明光源的情况下模拟初始预测图像，并用46来使结果缩放，以获得图14A所示结果。)选择46这个值的目的是为了使预测图像和实测图像的平均亮度相同。下面将讨论实际光通量与匹配平均亮度所需光通量之间的细微差别。缩放因子46(而非40)用于最大限度减小对比较亮度的预测和实测空间变化所产生的不良影响。

除中央“热斑”区域之外，主要特征为：随着与中心的距离增大，颜色逐渐变深。尽管很难以灰度定量识别该特征，但预测图像中很好地再现了该特征。  (全色中的伪彩色还原更好地说明了亮度的细微变化，并且预测伪彩色图像和实测伪彩色图像非常相似。)通过比较沿水平和垂直基准轴线示出的亮度值，可以更容易地看出这种密切的相似性。除零点附近外，预测值和实测值非常相似。

在热斑内，与预测亮度相比，实测亮度表现出略微窄些的峰和略微高些的峰值。这是用于求解输出面的BSDF的角基分辨率有限的人工痕迹。矩阵BSDF对每个单元内的平均辐射亮度作出反应，因此，如果单元内的入射辐射亮度显著变化，就会出现误差。尽管一次或多次反射和/或散射的“扩散”光通常不会出现该变化，但“直接路径”入射光(没有任何中间反射和散射事件而到达)却可能出现该变化。在表面上除热斑(此处的直接路径入射最强)以外的大部分区域，扩散入射光都超出直接路径。因此，在热斑内，BSDF“观察到”光源的模糊“图像”。因此，该区域的峰更宽并且更浅。尽管模型未能预测出热斑的准确范围和峰值亮度，但它的确正确地显示了热斑的存在。对于该构造，测量和模拟都正确地识别了任何商用背光源所明显欠缺的均匀性。此外，背光源中使亮度更加均匀的有利特征也是在建模和观察之间更好地达成一致的特征。因此，我们的离散化模拟方法能够正确识别不可接受的设计中严重的不均匀性，并且能够更精确地量化可接受的设计中的亮度和残余不均匀性。

该方法的显著优点是，能够使用一组聚集入射光向量快速计算从任意角度观察时的表面亮度和均匀性。图15A示出了当从与输出面长轴平行的平面的法线呈65度角观察时，构造I测试固件的预测亮度。图15C示出了用ProMetric相机从标称相同的角度测得的亮度，下文将对此进一步解释。(注意图15A和15C相对于图14A和14C的相对旋转，通过这种旋转使得(例如)深灰色基准轴线平行于前面图形中输出面的长轴，但平行于后面图形中相同输出面的短轴。)为了使测量孔内的实测图像平均亮度与预测图像平均亮度相匹配，需要使光源的光通量为38流明。类似于图14A和14B之间的关系，图15B示出了图15A沿叠加的垂直(深灰色)和水平(浅灰色)基准轴线的亮度值。同样，图15D示出了图15C沿基准轴线的亮度值。

图15C中用于实测亮度的视角为约60度，但该视角的准确值未知，其误差在数个弧度范围内。考虑到这种不确定性，我们假设实际角度为65度，因为该角度产生的模拟图像与实测图像的符合性稍好一些。对于后续情况，预测亮度会随着视角变化而迅速变化，并且仅仅对试验角度调整几度之后就能明显改善符合性。

图像表明，与垂直视角的观察结果(如在压缩灰度和亮度轴内观察到的结果)相比，亮度总体上减弱了。中央热斑区域以外的主要特征为：中央部分与靠近观察者的输出面边缘部分之间普遍变亮，由此导致中央部分周围沿垂直(深灰色)轴具有不对称的亮度。伴随这种不对称现象的是，峰值亮度朝观察者方向偏移。沿水平(浅灰色)轴的亮度具有对称性，并且与沿中心“后面”的垂直轴的亮度相当。测量中这些特征中的每一个均良好地再现于预测图像中。

同样，主要差别与热斑区域内的峰值亮度有关，并且在这种情况下，也与其相对于中心的精确位置有关。二者均为角基的人工痕迹。当沿垂直基准轴线从中央向观察者移动时，直接路径对聚集入射向量的影响以离散步骤从法线附近的单元向掠射附近的单元迁移，这种影响总体上在减少(由于直接路径辐照度的单调递减)，但局部会偶尔增加(由于发光在其上平均的单元的对边角减小)。同时，实验所探测的被照射单元和透射单元之间的耦合增加，直到被照射单元和透射单元重合，然后减少。不受单元对边改变的影响的情形下，即使在更大的域内，透射辐射亮度也会单调递增然后递减，并且由于每个单元的对边有限而达到小于实际值的峰值。在受单元对边改变的影响的情形下，透射辐射亮度会围绕该形状波动，从而可能使峰的位置发生偏移。从图15B的深灰色曲线中可以看到这种波动。

带BEF的扩散板

图16A-D(垂直视角)和17A-D(偏离垂直视角65度)分别类似于图14A-D和15A-D，除了构造II中的测试固件以外。

比较图14和16可以看出，对于同轴视角而言，由于增加了一片BEF而使亮度增强约50％。注意，这种增强并未发生在热斑内-图16B和16D所示亮度峰值与图14B和14D所示亮度峰值相当。然而，热斑附近区域的亮度增强使得热斑区域有效扩大，从而降低了其急剧程度。这种急剧程度的降低也会减小峰值性的任何人为减小对预测图像(相对于测量图像)产生的影响，其中峰值性的减小是因模拟中所用角基的分辨率有限所导致的。总体而言，构造II与构造I相比，预测图像和实测图像符合得更好。

这种行为已被人们很好地理解。构造I产生的亮度增强依赖于腔体内的近朗伯入射。对于入射光的间隔分布而言，朝法线的透射可以比朗伯入射的透射更大或更小，从而导致另外50％的增益。具体地讲，由于BEF棱镜的二维立体角反射，接近法线的入射光的透射较低。在远离热斑的区域，入射光主要受大约为朗伯曲线的扩散影响的支配。在热斑内，入射光主要受直接路径入射的支配，而直接路径入射在法线附近呈陡峭的峰状。

从偏离法线65度观察时，图像亮度急剧降低(图17)。(在偏离槽的法线65度位置处，相比于法线(见图11))，夏普扩散片加BEF的增益减少近六倍是合理的。此时，实测图像呈现出的热斑与接近中央处沿垂直轴的预期热斑不同。这种情况在预测图像中并不存在，并且违背了测试固件的构造所决定的基本对称规则。我们将其归结为实验“干扰”(如输出面反射的背景光)，并在后面的内容中不予考虑。预测图像和实测图像的主要特征与图15的构造I的情况类似，并且预测图像和实测图像之间的符合度也几乎相同。

图11示出了夏普扩散片加BEF构造沿特定方向(该方向的水平投影平行于BEF内的槽)的增益如何在90度和60度之间大致不变，而在小于或等于60度的范围内急剧上升。在实验中，测试固件和照相机距离约8英尺，因此在输出面上的局部视角最多变化2度。在标称60°角处，约一半像素处于增益急剧上升的范围内，并且匹配实测平均亮度所需的光源建模光通量仅为24流明。在标称65°处，所观察的所有像素均处于增益较小并且恒定的范围内，并且所需光通量为37流明，与实测值符合得更好。这就是我们选择65度(而非60度)作为正确视角的基础。

带交叉BED的扩散板

图18A-D(垂直视角)和19A-D(60度视角)分别类似于图14A-D和15A-D，除了构造III中的测试固件以外。

比较图14和18可以看出，交叉BEF片带来的同轴亮度增强超过两倍。与前面相同，这种增强并不在热斑内实现，但是相比于单片BEF而言，会将热斑进一步扩大，使得与到目前为止所考虑的其它背光源实例相比，预测图像和实测图像之间符合得更好。

当从偏离轴线60度观察时(图19)，输出面的亮度急剧降低，但不会降低到单片BEF的水平。交叉BEF的法线亮度明显更高，并且偏离法线60度处的增益减少量也不是那么剧烈(与图11B和12B的水平迹线相比)。图17C-D所显现的干扰在图19C-D中不存在，可能原因是，图像亮度足以克服任何欺骗性背景光。

预测图像和实测图像在偏离轴线60度处的相关性与(例如)隔离的夏普扩散片中的情形相当。热斑的峰值亮度被略微低估，热斑的宽度被高估，并且预测图像中峰值的位置也不精确。但沿着水平和垂直基准轴线的总亮度水平是正确的，并且沿垂直轴的不对称性也是正确的，这与图像前景的颜色变深相对应。预测图像的颜色变深不连续地出现在贯穿图像的水平线上。这是角基分辨率有限所产生的另一个人工痕迹-沿该线的局部视角出现在角基中邻接单元之间的边界处。

与单片BEF相似，交叉BEF的增益在60度附近随着视角变化而显著变化，但方式不同，随着视角增大而以一定增率局部增加(见图12B)。假设视角为60°，那么匹配实际平均图像亮度所需的光源光通量为48流明。这显著大于实测光源亮度，但符合上文报告的、有关其它图像的许多值。所需光源光通量随着标称角度的减小而增加(58°处为53流明)，随着角度的增大而减小(62°处为45流明)。

带点板的夏普扩散片

作为对测试固件的进一步改进，除了仅仅改变输出面处的部件层叠之外，我们现在重新采用构造I的布置方式，但是然后在腔体内插入水平板，使该板平行于输出面和后壁，并位于这些表面之间的中间深度处。该板将腔体有效地划分为两个子腔体，子腔体之间由表面隔开，通过增加一个或多个薄膜作为“板”构造的部分，可以控制该表面的反射、透射和散射特性。可以考虑在板的整个范围内保持均匀的单一构造，或者更为普遍的是多种不同构造，每种构造都在水平板的多个不同子域中的一个上延伸，这些子域的整体共同限定整个板。后一种方法允许产生发生在与腔体内的光源配准时的、空间变化的受控反射、透射和散射。配准控制提供了一种强大的设计工具，用于以理想的方式(例如，提高亮度均匀性)影响表面亮度的空间变化。

我们具体考虑2mm厚的7×5英寸透光树脂玻璃板，在其底面中央处用粘合剂粘附有直径6.4mm的ESR薄膜圆“点”。板的位置使得其底面位于腔体后壁上方5.5mm处，因此也比发出光源射线的LED封壳的中心点高3.9mm。ESR点的周边与光源点呈39度角，从而使点在表面上产生直径32mm的阴影。直接路径入射光被排除在该阴影范围以外，因此我们可以预期，输出面中心16mm范围内将没有热斑。当然，仅仅在局部区域消除直接路径入射光并不能确保整个表面范围内透射亮度的均匀性，我们将示出，引入该特定点板还会产生其它不均匀因素，其特征在于明亮的热斑原来所处位置处出现深阴影。

指定下面的子腔体为“下”，上面的子腔体为“上”，点板在距离中心大于3.2mm处的构造具有(1)折射率n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的菲涅耳界面，其上为(2)光学厚度τ＝0.006的非散射衰减层，其上为(3)折射率n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质之间的菲涅耳界面。2mm厚树脂玻璃的假设光学厚度来自电标识行业普遍使用的、更后的树脂玻璃片的实测垂直入射吸收率。在距离中心小于3.2mm的位置处，该板具有(1)折射率n＝1.00的介质内光学厚度τ＝0.005的非散射衰减层，其上为(2)折射率n_b＝1.00和n_a＝1.50的介质之间的ESR叠层，其上为(3)折射率n＝1.50的介质内光学厚度τ＝0.011的非散射衰减层，其上为(4)折射率n_b＝1.50和n_a＝1.00的介质之间的菲涅耳界面。对于粘附于ESR叠层上表面的现象型衰减层和2mm的树脂玻璃层内的组合吸收率，用τ＝0.011的衰减层表示。将这些光路部件的矩阵BSDF组合在一起，以确定点板上两个唯一域中的每一个的单独BSDF。与壁不同的是，光线既可以从点板反射，又可以透射穿过点板。并且与输出面不同的是，光线可以从上方或下方入射。因此，与壁和输出面不同的是，这些BSDF的所有四个部分(R ^(b)、T ^(b)、R ^(a)和T ^(a))都是背光源模拟所必需的。

该背光源的光线轨迹模拟(“构造IV”)同样使用了等于每条光线初始功率百分之一的功率阈值，并且同样发射源光线，直到出射光线的累计数量超过10,000,000为止。但是在该模拟中，出射光线的产生速率较低，为每分钟500,000条，因此每次模拟需要20分钟。速率减慢的原因是，每次与输出面相遇之间，表面交互作用的平均数增加。在没有点板的情况下，其略微大于一-与后壁发生一次交互作用，再加上与后壁和侧壁的多次偶然性交互作用。在有点板的情况下，该值接近三，通常与点板发生两次交互作用，与后壁发生一次交互作用，再加上与这些表面的多次偶然性交互作用。

图20A-D(垂直视角)分别与图14A-D类似，除了构造IV的测试固件以外。通过比较图中的实测图像与图14的实测图像可以看出，点板具有预期的热斑消除效果，但在其位置产生了深色斑，这是人们不希望看到的。

模拟或预测图像显示出实测图像中不存在的两类空间亮度变化。第一种是周期性方位角变化，由每个为3度弦的交替布置的明暗楔形组成。第二种是非周期性径向变化，由间隔不均匀的明暗环组成。两种情况都限制在ESR点板的阴影以外的区域。这些是角基分辨率有限所产生的人工痕迹。

事实上，在有点板的情况下，输出面上不存在直接路径辐射入射光-到达输出面的所有辐射都必须穿过点板。然而，对于从光源发出射向输出面并且只与点板相交一次的辐射，基本保留直接路径特征。它格外明亮，排他性地朝径向辐射，与方位角位置无关。但是，与我们的模拟中的情形一样，当与点板的交互作用通过有限的角基来描述时，这种“直接路径”辐射不再排他性地朝径向辐射，也不再与方位角无关。相反，该辐射仅仅在径向上达到峰值，并且在旋转360/N″(＝6度)时保持不变。在所选出射单元内的出射光线方向发生的“高频振动”是可靠的。因此，在围绕输出面中心环状设置的位置处，当入射单元在方位角上与直接路径辐射的峰值对齐时，垂直透射的辐射是明亮的，而当相邻单元之间的边界的对齐方式也是这样(因此使得观察方位角变化)时，垂直透射的辐射则是暗的。欺骗性径向变化的根源类似，但要进行定量说明则更加困难。

如果使用者无法接受这种变化，那么一种补救方法为，通过对于仅以其BSDF为特征的普通表面所指定的方法以外的方法处理与点板的交互作用。具体地讲，人们已知光线与点板的交互作用能够准确保持入射方向的水平分量。它们在透射后还能保持垂直分量，仅仅是在反射时颠倒了正负号。因此，模拟系统60可以将该表面视为保持入射方向(仅仅是垂直分量可能颠倒)的同时不发生高频振动的表面。图21A-D示出了该结果，除此之外，图21A-D与图20A-D完全相同。图中除去了方位角和径向人工痕迹，并且模拟与实测之间的符合性也非常好。

因此，在模拟系统的通用软件实现中，保留以传统方法(而非BSDF法)处理所选表面的能力可能是有用的。这样选择的表面可能需要对其结构和组成进行详细描述，但作为交换的是，其处理方式不受BSDF角基分辨率的影响。在一些情况下，只有影响(但基本保留)辐射亮度的直接路径分量的表面可以受益于这种传统处理方法。这种表面也可能具有相对简单的、很大程度上非散射性的构造，例如，点板。使用者可能仅仅偶尔会希望在模拟软件中使用传统的表面处理方法，而且仅处理受试背光源的内表面的一部分。如果这样，就不会严重牺牲BSDF方法在加快运算速度方面的优势。

模拟实例：光源的光通量

表1：匹配预测和实测平均图像亮度所需光源光通量概要

表1列出了对于以上讨论的七种理论/实验比较中的每一种，匹配预测图像与观察图像的平均亮度所需的光源光通量值。理想的是，所有这些值均相同，并且等于光源发出的实际光通量，我们估计该值为40流明。与该理想值相比，实际值表现出较大的分散性。我们已经注意到，偏轴值对视角极为敏感，因此我们可以使将分散性的评估仅仅限制到法线值这一做法合理化。它们在其平均值45流明附近表现出±10％的变化。我们对Luxeon-I光通量的测量采用大致与累计球的口齐平的装置进行。测量结果中可能漏掉了射入向外半球的光线，因此实际光通量可能比40流明大15％左右(参见图13B)。因此，平均值为45是合理的。残余±10％的散射原因未知。这可能反映了实验的变化性。例如，人们知道LED的输出很大程度上同时依赖于瞬时驱动电流及其历史过程，只要后者会影响装置的温度。尽管成像过程中小心地控制了瞬时值，但我们并没有仔细考虑过程。作为另外一种选择，这可能反映了理论描述不够准确。尽管在开发所有部件的准确特征方面付出了最大努力，但毫无疑问，仍会存在不精确问题。可以预期，它们的净效应必然会随着背光源构造的改变而改变。

其它光学系统

对于背光源以外的光学系统，可以使用本文所述BSDF方法进行模拟。例如，上文所述美国专利申请No.11/290,767提出了如何将该方法用于设计和评价有机发光二极管(OLED)。

对于传统的封装或以其它方式封装的发光二极管(LED)，也可以用这种方法进行模拟。“发光二极管”或“LED”在这里是指发光的二极管，不管所发出的光是可见光、紫外光还是红外光。它包括作为LED(不论是常规型还是超辐射型)销售的各种不同的封闭或封装半导体装置。如果LED发射的是诸如紫外光等不可见光，在某些情况下会发射可见光，则在其封装内会包含一个荧光粉(或是照亮远处的荧光粉)，以将短波长光转化为波长更长的可见光，某些情况下会得到发射白光的装置。“LED晶粒”是LED的最基本形态，即经半导体加工过程而制成的单个元件或芯片。例如，LED晶粒通常由一种或多种III族元素和一种或多种V族元素组合而成(III-V半导体)。合适的III-V半导体材料的例子包括氮化物(如氮化镓)和磷化物(如磷化镓铟)。也可以使用其它类型的III-V材料，如元素周期表中其它族的有机材料。该元件或芯片可以包括用于应用能量以驱动器件的电触点。这样的例子包括引线键合、载带自动键合(TAB)或倒装键合。该元件或芯片的各独立层和其它功能元件通常以晶片级形成，并且将加工好的晶片切成单个元件，以生产大量的LED晶粒。LED晶粒可以被构造为适于表面装配、板载芯片或其它已知的装配构造。一些封装LED是通过在LED晶粒和相关反射杯上方形成聚合物封壳来制成。该LED晶粒通常具有准朗伯发射图案，并且由于晶粒表面处的全内反射，会捕集LED晶粒内产生的许多光线。

通常由玻璃或陶瓷构成的高折射率光学元件(有时被称为“提取器”)可以被键合到LED晶粒的发光表面上，或以其它方式与该表面形成紧密的光学接触，以耦合LED晶粒发出的更多被捕集光。具有一个或多个提取器的LED也可以包括将LED晶粒和提取器包在其中的封装树脂。参考文献包括共同转让的美国专利申请公开US 2006/0091411(Ouderkirk等人)“High Brightness LED Package”(高亮度LED封壳)和US2006/0091784(Connor等人)“LED Package with Non-Bonded OpticalElement”(具有非键合光学元件的LED封壳)，以及提交于2006年5月2日的美国专利申请11/381,324(Leatherdale等人)“LED Packagewith Converging Optical Element”(具有会聚光学元件的LED封壳)和提交于2006年5月3日的11/381,518(Leatherdale等人)“LEDExtractor Composed of High Index Glass”(由高折射率玻璃构成的LED提取器)。

在许多LED装置中，LED晶粒由设置在透光并且导电的基板上的发光外延层构成，并且该LED晶粒的位置使得外延层向下与第一平面电极相接触，该电极与第一外部电触点相连。在LED晶粒背对外延层的一侧，在基板(此时可以称其为“覆盖层”)的一部分上附连体积更小的第二电极，其通过引线键合连接到第二外部触点。在外部触点之间施加电压时，流经LED晶粒的电流会以一定的光学频率在外延层中产生电偶极发射，通常是在外延层组成所决定的特定深度。该结构(不论是单独存在，还是更多情况下浸没在成形的透光封壳内)是LED装置的例子。

这种LED装置的组成部分的尺寸通常使得：(1)电极的光学厚度较大，光线无法穿透；(2)外延层足够薄(微米量级)以对所包含的光线进行相干处理，但又具有足够大的侧向尺度(几百微米量级)，因此看上去像水平范围无限的层状介质；(3)覆盖层足够厚(几十到几百微米量级)，以允许对所包含的光线进行非相干描述，并具有足够有限的水平范围(几百微米量级)，因此看上去像三维结构，而不是另外一层水平范围无限的层状物；以及(4)封壳(如果存在的话)在每个维度上都足够大，以允许对所包含的光线进行非相干描述，并且通常具有一定的纵横比，以便作为三维结构进行处理。

按照以上考虑，可以将这种LED装置的模型描述为：具有均匀折射率和衰减的第一三维区域(覆盖层)，其中的光场可以被计算为由光线轨迹模拟所确定的辐射亮度分布；第一三维区域嵌入在具有均匀折射率和衰减的第二三维区域(封壳，如果存在的话)中，其中的光场也可以用光线轨迹模拟进行计算；第二三维区域嵌入在具有单位折射率和零衰减的第三无限区域(空气)，其中的光场可以使用无衰减直光路传播来模拟。第一区域具有上面可以发射光源光线的平面边界(覆盖层-外延层界面)，其在面积上均匀分布，并且其角分布和单位面积功率通过对该辐射进行相干计算来确定：该辐射由水平范围无限的层内的电偶极发射进入其上的半无限透明介质(覆盖层)，无限的水平层覆盖着半无限的不透明介质(第一电极)。对于光线从该边界的反射，通过对镜面反射率的相干计算来确定，镜面反射的入射光来自一层水平范围无限的层(外延层)的半无限透明介质(覆盖层)，其覆盖在半无限不透明介质(第一电极)上。光线在所有其它界面(第一区域和第二区域之间，以及第二区域和第三区域之间)处的反射和透射通常可以用熟悉的传统光线轨迹模拟确定，该方法取决于(例如)光学上平滑的表面上的菲涅耳反射和透射。利用光线轨迹模拟可以计算LED装置的发射特性，例如，辐射强度，即落在无限远处围绕该装置的球面上的单位面积功率。采用一定技术可以确定光源发射的所需角分布和单位面积功率以及覆盖层-外延层-电极结构的所需反射率，所用技术在上述关于OLED装置发射建模的内容中所提及的美国专利No.11/290,767中有全面描述。

利用这种方法，对LED装置发射的模拟类似于对背光源发射的模拟，尤其是对于包括固体光导的背光源。两种模拟均涉及包含在折射率相对较高的区域内的光线，其几乎完全被全内反射所捕集，并进而逸出到外部充满空气的无限介质内。本文所述系统和技术可用于大幅提高对诸如背光源之类光学系统的模拟速度，因而也可以用于加快对LED装置的模拟。

例如，LED装置的效率通常因覆盖层(基板)折射率较高而受到严重限制。由外延层射入覆盖层的光线(在很大范围上)被覆盖层-封壳或覆盖层-空气界面处的全内反射(TIR)捕集在覆盖层内部，并且在最终逸出之前由覆盖层内部的轻度衰减所吸收。用于提高LED装置效率的推荐方法涉及以某种方式将覆盖层表面粗糙化(或换句话讲使其改进)，以便在该界面处部分阻止TIR，以有利于光线逸出到周围介质。当该表面被粗糙化至比光学波长更大的尺寸时，通过跟踪光线仍然可以评估性能，但通过复杂放置的表面(而非简单平面)进行。随着描述复杂表面所需的小平面数量增多，传统模拟的计算次数将增加。但基于BSDF的模拟方法的计算次数基本上仍然与表面的复杂性无关，等于覆盖层区域的简单平面几何形状内的光线跟踪所需次数。当表面被粗糙化至与波长相当或更小的尺寸时，只能使用本发明所公开的BSDF方法对表面的光线交互作用进行评估。当然，BSDF方法可能需要首先计算装置内出现的每个表面的BSDF，在上文的讨论中，我们已经结合多种不同类型的表面进行了描述。以类似方式，可以将BSDF光线跟踪方法推广到其它表面类型，例如，可能出现在LED装置、背光源系统或其它光学系统中的纳米结构化表面、光子晶体结构和荧光粉涂层。

本文所述任何系统和方法均可以使用任何理想的计算机语言在传统的计算机系统内执行，这些系统可以包括中央处理器(CPU)、存储设备、网络、驱动器、输入设备和输出设备(如液晶显示器或类似显示设备)。这些系统和方法也可以用保存在机器可读介质(例如，磁盘、光盘、硬盘驱动器、闪存或任何目前已知或未来开发的机器可读介质)内的代码或指令组来实施。

除非另外指明，否则在本说明书和权利要求中所用的表达特征尺寸、数量、物理特性的所有数字应该理解为均用“约”这个词来修饰。因此，除非有相反的指示，否则在上述说明书和权利要求中所阐述的数值参数是近似值，这些近似值可以随本领域的技术人员使用本文所公开的教导内容来寻求获得的所需特性而变化。

本文所提出的发明的具体实施方式及其应用为示例性，并非意图限定本发明的范围。本文所公开的实施例可以存在变型和修改形式，拥有本领域内的一般技术的人员在研读本发明文档后，应当理解实施例的多种元件的实际替代元件和等同物。在不脱离本发明范围和精神的前提下，可以对本文所公开的实施例应用这些修改以及其它变型和修改形式。

Claims (32)

1.一种用于模拟包括多个光学元件的光学系统的计算机实施方法，所述方法包括：

获取与至少第一元件相关的第一概率函数，所述第一概率函数由第一矩阵表示，该第一矩阵的单元格值对应于入射方向和出射方向的不同组合；以及

使用所述第一概率函数跟踪穿过所述光学系统的光线。

2.根据权利要求1所述的方法，其中所述第一概率函数为与至少所述第一元件相关的双向散射分布函数(BSDF)。

3.根据权利要求1所述的方法，其中所述第一概率函数为与所述第一元件和至少一个其它元件相关的BSDF。

4.根据权利要求1所述的方法，还包括：

获取与至少第二元件相关的第二概率函数，所述第二概率函数由第二矩阵表示，该第二矩阵的单元格值对应于入射方向和出射方向的不同组合，并且

其中所述跟踪步骤也使用所述第二概率函数。

5.根据权利要求1所述的方法，其中所述获取步骤包含为所述光学系统中的多个元件获取概率函数，并且所述跟踪步骤使用所述获取的概率函数中的每一个来跟踪光线。

6.根据权利要求1所述的方法，其中所述获取步骤包含为构成所述光学系统的基本上所有元件获取概率函数，并且所述跟踪步骤使用所述获取的概率函数中的每一个来跟踪光线。

7.一种用于模拟包括多个光学元件的光学系统的计算机实施方法，所述方法包括：

获得所述光学系统的第一元件的第一概率函数；

获得所述光学系统的第二元件的第二概率函数，所述第二概率函数与所述第一概率函数不同；

使用至少所述第一和第二概率函数计算组合概率函数；以及

使用所述组合概率函数跟踪穿过所述光学系统的光线。

8.根据权利要求7所述的方法，其中所述第一概率函数、所述第二概率函数和所述组合概率函数均为双向散射分布函数(BSDF)。

9.根据权利要求7所述的方法，其中所述第一概率函数、所述第二概率函数和所述组合概率函数中的每一个均由至少一个矩阵数学表示，并且其中所述至少一个矩阵内的单元格位置表示入射方向和出射方向。

10.根据权利要求9所述的方法，其中所述单元格位置处的单元格值与具有所述入射方向的入射光线被转化为具有所述出射方向的出射光线的概率成比例。

11.根据权利要求7所述的方法，其中所述计算步骤包含使用对称性来缩短计算时间。

12.根据权利要求1或7所述的方法，其中从概率函数库调用所述第一概率函数。

13.根据权利要求1或7所述的方法，其中对所述第一概率函数进行计算。

14.根据权利要求1或7所述的方法，还包括：

获取光源的发射图案；

其中所述跟踪步骤包括跟踪从所述光源发出并经过所述光学系统的至少一些光线。

15.一种模拟光学系统的计算机实施方法，包括：

跟踪进入所述光学系统的输出平面的光线；

收集来自所述被跟踪光线的信息，以产生包含入射到所述输出平面上的光线的空间和方向信息的第一数据库；

将概率函数与所述输出平面联系在一起；以及

根据所述概率函数和所述第一数据库，计算包含从所述输出平面出射的光线的空间和方向信息的第二数据库。

16.根据权利要求15所述的方法，其中所述概率函数为与所述光学系统的至少一个元件相关的双向散射分布函数(BSDF)。

17.根据权利要求16所述的方法，其中所述BSDF与薄膜叠层相关。

18.根据权利要求15所述的方法，其中所述跟踪步骤包括使用用于所述光学系统的至少一个元件的至少一个双向散射分布函数(BSDF)来跟踪光线。

19.根据权利要求15所述的方法，其中所述光学系统具有位于所述输出平面的薄膜叠层和光源，所述方法还包括：

识别所述薄膜叠层中的光路中适于通过各自的双向散射分布函数(BSDF)来表示的多个部件；

获取所述部件的BSDF；

根据所述部件BSDF计算所述薄膜叠层的BSDF，所述薄膜叠层BSDF是与所述输出平面相关的概率函数；

获取所述光源的数学描述；以及

其中所述跟踪步骤根据所述光源的所述数学描述来跟踪从所述光源到所述输出平面的光线；以及

其中所述第二数据库根据所述输出平面上的位置来表示辐射亮度。

20.根据权利要求19所述的方法，其中所述BSDF获取步骤包含从BSDF库中选择至少一个部件的BSDF。

21.根据权利要求19所述的方法，其中所述光源数学描述获取步骤包含从光源描述库中选择所述光源数学描述。

22.根据权利要求19所述的方法，其中：

所述薄膜叠层BSDF计算步骤包含根据所述部件BSDF的矩阵表达式计算所述薄膜叠层BSDF，所述计算步骤还在所述矩阵表达式的至少一些中利用物理和/或电磁可逆对称性。

23.根据权利要求19所述的方法，其中所述部件的所述BSDF和所述薄膜叠层的所述BSDF均由以下矩阵数学表示：表示上方反射的第一矩阵；表示上方透射的第二矩阵；表示下方反射的第三矩阵和表示下方透射的第四矩阵。

24.根据权利要求23所述的方法，其中：

所述第一、第二、第三和第四矩阵均具有表示入射方向的第一尺寸和表示出射方向并且垂直于所述第一尺寸的第二尺寸；以及

所述四个矩阵中每一个的条目均表示具有所述入射方向的入射光将以所述出射方向出射的概率密度。

25.根据权利要求19所述的方法，其中所述部件的所述BSDF和所述薄膜叠层的所述BSDF随位置而定。

26.一种用于模拟具有薄膜叠层、光源和光箱的光学系统的计算机实施方法，包括：

为多个不同类型的薄膜建立第一BSDF库；

为多个不同类型的光源建立第二发射图案库；

对所述光学系统中涉及显著纵向光传播的第一部分以及所述光学系统中不涉及显著纵向光传播的第二部分进行识别；

从所述第一库中选择对应于所述第二部分的BSDF；

计算所述选择出来的BSDF中的单个BSDF；

识别所述光学系统的所述光源；

从所述第二库中选择所述发射图案中的对应于所述被识别光源的一个发射图案；

为所述光箱指定几何形状；

指定所述光源在所述光箱内的位置；

跟踪从所述光源经过在所述光箱内的多次反弹后入射到所述薄膜叠层的多条光线；以及

对来自所述单个BSDF的出射光线位置和角度以及入射到所述薄膜叠层上的光执行统计分析，以获得随位置而定的辐射亮度分布。

27.根据权利要求26所述的方法，其中所述光箱几何形状指定步骤包括：

识别所述光箱中不涉及显著纵向光传播的特征；以及

从所述第一库中选择对应于所述光箱的所述被识别特征的BSDF；

并且其中所述光线跟踪步骤包括：

跟踪从所述光源到在所述光箱特征上入射的第一组多条光线；

根据所述特征入射光和所述特征BSDF获得针对所述光箱特征的随位置而定的中间辐射亮度分布；以及

跟踪从所述光箱特征到所述薄膜叠层的第二组多条光线，所述第二组多条光线为所述随位置而定的中间辐射亮度分布的函数，并且在所述薄膜叠层上入射的光为所述第二组多条光线。

28.根据前述任意一项权利要求所述的方法，其中所述光学系统包括发光二极管(LED)。

29.根据前述任意一项权利要求所述的方法，其中所述光学系统为背光源。

30.根据前述任意一项权利要求所述的方法，还包括根据所述跟踪步骤中的所述被跟踪光线计算所述光学系统的亮度。

31.根据权利要求30所述的方法，还包括在输出装置上显示所述计算出来的亮度。

32.一种机器可读介质，其包含用来在计算机系统上执行根据前述任意一项权利要求所述的方法的指令。

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