CN101311738A - 可靠性测试分析方法及其参数估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可靠性测试分析方法及其参数估计方法，该测试分析方法包括步骤：随机抽取样品进行测试，得到部分或全部样品的测试数据；由部分或全部所述测试数据形成样本库数据；根据所述测试数据满足的分布函数，利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值；将各所述参数的修正值代入与所述分布函数对应的寿命公式中，对所述样品的可靠性进行分析。利用本发明的可靠性测试分析方法及其参数估计方法，可以提高参数估计的准确度和可靠性测试分析的可信度。

Description

可靠性测试分析方法及其参数估计方法

技术领域

本发明涉及半导体制造技术领域，特别涉及一种可靠性测试分析方法及其参数估计方法。

背景技术

可靠性是衡量产品质量的一个重要指标，随着集成电路的制作向超大规模集成电路(ULSI，Ultra Large Scale Integration)发展，内部的电路密度越来越大，器件的关键尺寸不断缩小，对半导体制作工艺及可靠性测试的要求也不断提高。目前，半导体集成电路的可靠性测试范围已进一步扩大，既包括针对最终产品的可靠性测试，也包括针对制造工艺中与主要的失效机理相关的晶圆级的可靠性测试。可靠性的研究不仅可以用于检测产品寿命是否能够满足客户的要求，还可以用于分析具体工艺中潜在的一些问题，其在半导体领域的重要性日益突出。

图1为说明现有的可靠性测试分析过程的流程图，下面结合图1具体地说明可靠性测试分析的完成过程。首先，随机抽取多个样品进行测试(S101)；然后，根据得到的多个测试数据确定其所满足的分布模型及分布函数(S102)；接着，根据测试数据所满足的分布函数对上述测试数据进行数据分析，得到相应的参数估计值(S103)；再接着，可以由该参数估计值得到被测样品所属的产品在正常情况下的可靠性特征(S104)。例如，可以外推出在正常使用条件下产品的累积失效率F(t)达到某一特定值时的寿命值，并通过此寿命值判断该产品是否满足可靠性的要求(即，可以设定当该寿命值大于某一固定值时，比如10年，产品的可靠性满足要求)。在上述可靠性分析过程中，确定分布模型后进行的参数估计是很重要的一步，如果参数估计值出现偏差将会直接导致产品的可靠性特征出现较大的偏差。

半导体集成电路可靠性研究中常用的两种分布模型为对数(Lognormal)分布和威布尔(Weibull)分布。下面以Weibull分布为例具体说明参数估计的重要性。

满足Weibull分布的累积失效率F(t)的分布函数为：

$F\left(t\right)=1-e^{-{\left(\frac{t}{\mathrm{\α}}\right)}^{\mathrm{\β}}}---\left(1\right)$

由此可以推出寿命公式：

$t=\mathrm{\α}\·\exp \left(\frac{\ln (-\ln (1-F\left(t\right)))}{\mathrm{\β}}\right)=\mathrm{\α}\·\exp \left(\frac{Y}{\mathrm{\β}}\right)---\left(2\right)$

其中α、β分别称为形状参数与尺度参数，是需要利用参数估计法对测试数据进行分析后得到其估计值的参数。在得到α、β的参数估计值后，再将其代入公式(2)中，就可以得到最终的寿命分布曲线。由公式可以看出，如果在进行参数估计时，这两个参数，尤其是参数β估计不准确，将会导致最后得到的寿命分布发生较大的偏差。

图2为说明现有的寿命随1/β相对波动的示意图。如图2所示，其横坐标为1/β的波动情况，纵坐标为累积失效率F(t)＝0.1％时的寿命(t_0.1)随1/β的波动而出现的相对波动，图2中201为数据点，202为由数据点得到的拟合曲线。由图2中可以看到，当1/β波动仅为0.05时，t_0.1的相对波动已达30％～40％，证明了参数1/β(β)的估计不准确会对t_0.1寿命估计造成相当大的影响。

但是，利用现有的可靠性分析的参数估计方法各有缺点，难以实现对参数的准确估计。其中，图估法虽然简单、直观，但易受人为的主观影响；最小二乘估计法(LSE，Linest Square Estimation)虽然应用较广，但其在拟合外推时结果会有偏差，得到的参数估计并不是线性无偏估计中最有效的，并且，寿命数据通常是经过排序的，也不适于用该方法进行参数估计；最佳线性无偏估计法(BLUE，Best Linear UnbiasedEstimation)是所有线性无偏估计方法中估计参数方差最小的参数估计方法，可以实现对1/β的无偏估计，但计算复杂，只能通过查表的方式运用在样本总数比较小的场合；极大似然估计法(MLE，Maximum LikelihoodEstimation)存在着不是线性无偏估计的问题，特别是在小样本的情况下，其估计值会有相当大的偏差。

为了避免因参数估计造成的可靠性分析结果出现偏差，2007年2月7日公开的公开号为CN1908944A的中国专利申请公开了一种通过比较两组可靠性测试数据推导出产品或工艺的可靠性的方法，该方法避开了参数估计和统计分布是否合适的问题，得到的是具有一定参考价值的两批产品或工艺之间可靠性的比较结果。由该方法得到的仅是不同批产品间可靠性的相对关系，并不能真正提高可靠性参数估计的准确度。

发明内容

本发明提供一种可靠性测试分析方法及其参数估计方法，可以提高可靠性测试中参数估计的准确度。

本发明提供的一种可靠性测试分析方法，包括步骤：

随机抽取样品进行测试，得到部分或全部样品的测试数据；

由部分或全部所述测试数据形成样本库数据；

确定所述测试数据满足的分布函数；

利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；

根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；

利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值；

将各所述参数的修正值代入与所述分布函数对应的寿命公式中，进行可靠性分析。

其中，所述分布函数为威布尔分布函数。

其中，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

分别选择罗斯修正方法中与各所述参数对应的修正公式；

将所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别代入各所述参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。

其中，当所述参数为形状参数时，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

计算1.37与所述样本库数据的数目减去1.92的比值；

计算所述测试样品的数目与所述样本库数据的数目之比的开方；

将所述比值乘以所述开方后加上1，再取倒数。

其中，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

分别利用极大似然估计法和最佳线性无偏估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的极大似然初始估计值和最佳线性无偏初始估计值；

分别由各所述参数的最佳线性无偏初始估计值与极大似然初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

其中，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

利用极大似然估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的初始估计值；

分别由各所述参数的预定值与初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

其中，产生至少一组随机数据，包括步骤：

利用计算机随机产生至少一组值在0～1之间的均匀分布的数据。

其中，将所述各参数的预定值设置为1。

其中，所述可靠性测试为产品寿命测试、介质击穿的可靠性测试、热载流子注入可靠性测试或栅氧化层完整性可靠性测试中的任一种。

本发明具有相同或相应技术特征的另一种可靠性测试中的参数估计方法，包括步骤：

提供部分或全部测试样品的测试数据；

由部分或全部所述测试数据形成样本库数据；

确定所述测试数据满足的分布函数；

利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；

根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；

利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值。

其中，所述分布函数为威布尔分布函数。

其中，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

分别选择罗斯修正方法中与各所述参数对应的修正公式；

将所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别代入各所述参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。

其中，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

利用极大似然估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的初始估计值；

分别由各所述参数的预定值与初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

本发明的可靠性测试分析方法及其参数估计方法，利用极大似然估计法进行可靠性寿命分布的参数估计，再对参数估计值进行修正，得到了无偏的参数修正值。利用本发明的参数估计方法，可以在不受样品数量的限制，避免最佳线性无偏估计法的计算问题的情况下，得到与最佳线性无偏估计法准确度相当的无偏的参数修正值，提高了可靠性参数估计的准确度和可靠性测试分析的可信度。

本发明的可靠性测试分析方法及其参数估计方法，利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法间的相关性，得到极大似然估计法的各个参数估计值的修正因子，通用性强，且灵活性高。

附图说明

图1为说明现有的可靠性测试过程的流程图；

图2为说明现有的寿命随1/β相对波动的示意图；

图3为本发明可靠性测试分析方法的流程图；

图4为本发明第一实施例中的寿命测试说明图；

图5为利用最小二乘估计法和最佳线性无偏估计法得到的参数估计值的关系示意图；

图6为利用极大似然估计法和最佳线性无偏估计法得到的参数估计值的关系示意图；

图7为本发明第二实施例中确定修正因子的方法流程图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。

本发明的处理方法应用广泛，下面是通过具体的实施例来加以说明，当然本发明并不局限于以下的具体实施例，本领域内的普通技术人员所熟知的一般的替换无疑地涵盖在本发明的保护范围内。

为避免因参数估计值出现偏差而导致产品的可靠性特征出现较大的偏差，本发明提出了一种可靠性测试分析方法及其参数估计方法，该方法通过对由极大似然估计法得到的参数估计值进行修正，得到了无偏的参数修正值，提高了参数估计的准确度和可靠性测试分析的可信度。

图3为本发明可靠性测试分析方法的流程图，下面结合图3对本发明的第一实施例进行详细介绍。

首先，随机抽取多个样品进行测试，得到部分或全部样品的测试数据(S301)。本发明第一实施例是针对的产品可靠性测试数据进行参数估计，因此需要从要进行可靠性分析的一批产品中先随机抽取多个样品进行可靠性测试。产品可靠性的研究通常是通过测试得到大量器件的寿命数据，再对其进行统计分布的分析，得到有关产品可靠性的信息的。图4为本发明第一实施例中的寿命测试说明图，如图4所示，由t₀时开始对特定数目的样品同时进行加速老化的实验，至截尾时间τ结束。图4中的各箭头401分别代表了各个样品维持正常时的时间间隔，当某一箭头终止时即表明其所对应的样品失效，此时箭头持续的时间(图4中所示的t₁、t₂、t₃、t₄、t₅)即为该样品的寿命值，也就是本实施例中的各测试数据。

在测试后，可以由部分或全部的测试数据形成样本库数据(S302)。本实施例中，随机抽取特定数目的样品进行寿命测试后，待所有样品失效后，将得到的全部测试数据作为样本库数据，再进入后续的参数估计操作，此即完全数据方式(样本库数据的数目等于总的测试样品的数目，或者说将最后一颗失效样品的寿命值设定为截尾时间τ)，在本发明的其他实施例中，也可以选用截尾数据方式(样本库数据的数目小于总的测试样品的数目)，此时，不需要等待所有样品失效，只要有一定数量的样品已失效就可以进行对参数的统计分析。

接着，根据上述测试数据确定其所满足的分布模型的分布函数(S303)，本实施例中的可靠性测试数据通常满足的是威布尔(Weibull)分布。

再利用极大似然估计法对样本库数据进行参数估计，得到各参数的参数估计值(S304)。现有的参数估计方法中，最小二乘估计法不适用于对寿命数据的参数估计，最佳线性无偏估计法需要查表，不能利用计算机进行自动快速的统计分析。因此，本实施例采用了极大似然估计法，其可以利用计算机对样本数据库数据进行统计分析，实现简单方便，且对样本数也没有要求，实用性较强。

威布尔(Weibull)分布的极大似然估计法的迭代方程为：

$\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{t_i}^{\mathrm{\β}}\ln t_i+(n-r){\mathrm{\τ}}^{\mathrm{\β}}\ln \mathrm{\τ}}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{t_i}^{\mathrm{\β}}+(n-r){\mathrm{\τ}}^{\mathrm{\β}}}=\frac{1}{\mathrm{\β}}+\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\ln t_i---\left(3\right)$

${\mathrm{\α}}^{\mathrm{\β}}=\frac{1}{r}(\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{t_i}^{\mathrm{\β}}+(n-r){\mathrm{\τ}}^{\mathrm{\β}})---\left(4\right)$

其中，t_i为第i颗样品的寿命，n为总的测试数目(即测试样品的数目)，r为实际观察到寿命值的样品数，即停止测试时已失效的样品数(也即样本库数据的数目)，τ为截尾时间，即停止测试时的时间间隔。以上均为已知的数据，此外，还有两个未知的、需要确定的参数是形状参数β和尺度参数α。

本实施例中采用的是完全数据的方式，此时，方程中的r等于n，τ等于t_r。利用计算机编程的方式，可以方便地按上述迭代方程对样本库数据进行参数估计，得到参数估计值。

但是，利用极大似然估计法得到的参数估计值(本实施例中包括形状参数β和尺度参数α)并不是无偏估计，特别是在小样本情况下，利用该方法得到的参数估计值会有相当大的偏差。

为验证小样本情况下，由极大似然估计法得到的参数估计值的偏差情况，对样本数较小时利用极大似然估计法得到形状参数β的估计值的情况进行了模拟分析。

首先利用计算机产生多组(如10000组)值位于0～1间，每组样本数等于n的均匀分布的随机数据x_ij；然后利用形状参数α与尺度参数β均为1的Weibull分布函数的反函数 $t_{\mathrm{ij}}=1\·\frac{1}{-\ln (1-x_{\mathrm{ij}})}$ 将上述多组随机数据转变为多组样本数等于n的，满足形状参数β与尺度参数α均为1的Weibull分布的随机分布数据t_ij。利用这多组随机分布数据进行参数估计，所得到的α与β的估计值都应等于1。且得到的参数估计值与1相差越远，则表明参数估计越不准确。表1为利用极大似然法得到的不同样本数时的形状参数β的估计值。

表1利用极大似然法得到的形状参数β的估计值

样本数	3	4	5	6	8	12	32	100
									β估计值	2.264	1.661	1.442	1.332	1.227	1.1368	1.0454	1.0134

由表1可以看到，由极大似然法得到的参数估计值存在着较大的偏差，尤其是在样本数较少时，其偏差更为严重。而由图2可以知道，β仅是略有偏差时，最后外推得到的寿命结果就会发生很大的偏差，因此仅利用极大似然法对参数时行估计所得到的寿命(可靠性)结果并不可信。为此，本发明接着对利用极大似然估计法得到的参数估计值进行了修正。

要进行修正，先要根据测试样品和样本库数据的数目分别确定各参数的修正因子(S305)。本实施例中，是利用罗斯(ROSS)修正方法分别确定各参数的修正因子的：先根据所要修正的参数选择罗斯修正方法中与该参数对应的修正公式，再将测试样品的数目和样本库数据的数目代入该参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。如，对于对寿命分析影响较大的形状参数β，罗斯修正方法中其的修正因子公式记为：

$U=\frac{1}{1+\frac{1.37}{r-1.92}\sqrt{\frac{n}{r}}}$

可以看到该修正因子仅与测试样品的数目和样本库数据的数目相关，只要确定了测试样品和样本库数据的数目，即可以方便地得到其对应的修正因子。表2为本实施例中测试样品与样本库数据的数目相同的情况下，利用罗斯修正方法得到的修正因子。

表2利用罗斯修正方法得到的修正因子

样本数	3	4	5	6	8	12	32	100
									U	0.4408	0.6029	0.6921	0.7486	0.8161	0.8803	0.9564	0.9862

然后，利用对应的修正因子对各参数的参数估计值进行修正，得到各参数的参数修正值(S306)。本实施例中，β的参数修正值为其的参数估计值与修正因子的乘积。为证实修正后的参数修正值是否具有无偏性，利用表2中的修正因子对表1中的形状参数β估计值进行了修正，表3为利用罗斯修正方法得到的形状参数β的修正值。可以看到即使是在样本数很小的情况下，修正后的β值的偏差也都小于0.3％。与修正前相比，参数估计的准确度大大提高。

表3利用罗斯修正方法得到的形状参数β的修正值

样本数	3	4	5	6	8	12	32	100
									β修正值	0.9980	1.0014	0.9981	0.9972	1.0014	1.0008	0.9999	0.9994

以上介绍了利用ROSS修正方法对形状参数β进行修正的情况，对于威布尔分布中的另一个参数-尺度参数α也可以用类似的方法进行修正，在本实施例的启示下，本领域的普通技术人员也可以实现，在此不再赘述。

得到参数修正值后，将其代入与分布函数对应的寿命公式中，对该批产品的可靠性进行分析，确定其可靠性是否能满足要求(S307)。满足威布尔分布的寿命公式为前面列出的公式(2)：

$t=\mathrm{\α}\·\exp \left(\frac{\ln (-\ln (1-F\left(t\right)))}{\mathrm{\β}}\right)=\mathrm{\α}\·\exp \left(\frac{Y}{\mathrm{\β}}\right)---\left(2\right)$

将得到的形状参数β和尺度参数α的修正值代入该公式(2)中，即可以得到相关的可靠性信息：确定当产品的累积失效率F(t)达到某一值时对应的寿命值t，并通过此寿命值判断该产品是否满足可靠性的要求。如：当设定累积失效率F(t)＝0.1％时，由公式(2)可以得到对应的寿命值t_0.1，可以设定若该寿命值大于某一固定值时，如10年，认为该产品的可靠性满足要求。实际应用中，可以根据具体产品的可靠性要求而设定。因为修正后得到的参数修正值的准确度得到了提高，可靠性测试分析结果的可信度也相应得到了提高。

本实施例中是利用ROSS修正方法在完全数据方式下对参数估计值进行修正的情况，在本发明的其他实施例中，还可以利用ROSS修正方法在截尾数据方式下对参数估计值进行修正，其具体实施步骤与思路均和本实施例相似，这一应用的延伸对于本领域普通技术人员而言同样是易于理解和实现的，在此不再赘述。

除了ROSS修正方法外，还可以利用其他方法对极大似然估计法得到的参数进行修正，同样可以得到无偏的参数修正值。本发明可靠性测试分析的第二实施例利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法之间的相关性，对参数估计值进行了修正，同样可以得到无偏的参数修正值，提高对产品可靠性分析的可信度。下面仍结合图3对本发明的第二实施例进行详细介绍。

首先，随机抽取多个样品进行测试，得到部分或全部样品的测试数据(S301)。本实施例中，进行的是与时间相关的介质击穿(TDDB，TimeDependent Dielectric Breakdown)的晶圆级可靠性测试，其测试数据满足的是威布尔(Weibull)分布。

测试后，可以由部分或全部的测试数据形成样本库数据(S302)。在本实施例中，选用的是截尾数据方式(样本库数据的数目小于总的测试样品的数目)，其通常适用于实验截止时仍有样品未失效的情况，注意此时的样本库数据仅是测试样品中的一部分。

接着，同样是根据上述测试数据确定其满足的分布函数(S303)，利用极大似然估计法的迭代公式，对样本库数据进行参数估计，以得到各参数的参数估计值(S304)。

再接着，根据测试样品和样本库数据的数目分别确定各参数的修正因子(S305)。本实施例中的修正因子是利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法之间的相关性得到的。

在分别利用最小二乘估计法、最佳线性无偏估计法和极大似然估计法对相同的测试数据进行分析的过程中，发现前两个方法所得到的参数估计值间相关性不是很好，而后两个方法所得到的参数估计值间具有很强的线性相关性。

图5为利用最小二乘估计法和最佳线性无偏估计法得到的参数估计值的关系示意图，如图5所示为n＝12，r＝8时，对多组具有不同1/β值的数据，分别利用两种估计方法进行参数估计的结果示意图，图5中的横坐标为利用最佳线性无偏估计法得到的参数1/β的估计值，纵坐标为利用最小二乘估计法得到的参数1/β的估计值，图5中501表示的是对应的数据点。可以看到，分别由两种方法得到的参数估计值之间，关系分布很散，相关性不是很好。

图6为利用极大似然估计法和最佳线性无偏估计法得到的参数估计值的关系示意图，如图6所示为n＝12，r＝8时，对多组具有不同1/β值的数据，分别利用两种估计方法进行参数估计的结果示意图，图6中的横坐标为利用最佳线性无偏估计法得到的参数1/β的估计值，纵坐标为利用极大似然估计法得到的参数1/β的估计值，图6中601表示的是对应的数据点。可以看到，分别由两种方法得到的估计值之间的关系严格沿一条直线分布，表明二者间具有很强的线性相关性。也就是说，利用极大似然估计法得到的参数估计值与利用最佳线性无偏估计法得到的参数估计值之间仅相差一个常数系数。因此，只要能得到这一系数，并用这一系数对极大似然估计方法得到的参数估计值进行修正，就可以得到与最佳线性无偏估计法的参数估计值相同的参数修正值。即，本实施例中的修正因子是由多组利用极大似然估计法得到的参数估计值与利用最佳线性无偏估计法得到的参数估计值确定的拟合直线的斜率的倒数。

利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法之间的这一线性相关性，可以对由极大似然估计法得到的参数进行修正，所得到修正值接近于由最佳线性无偏估计法得到的无偏的参数值，也就接近于参数的真实值，同样可以为无偏的参数值。该方法确定修正因子的具体步骤可以为：

A、产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

B、分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

C、利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值，如可以均设为1；

D、分别利用极大似然估计法和最佳线性无偏估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的极大似然初始估计值和最佳线性无偏初始估计值；

E、分别由各所述参数的最佳线性无偏初始估计值与极大似然初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

上述利用两种方法间的线性相关性对极大似然估计法得到的参数进行修正的方法，结合了极大似然估计法的可以用计算机实现自动计算的优点，和最佳线性无偏估计法的估计值是无偏估计值的优点，在不受样品数限制的情况下(即使样品数很少，如3个)，利用对极大似然估计法的修正得到了较为准确的无偏的参数修正值。

虽然利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法之间的相关性，可以得到对极大似然估计的参数估计值进行修正的修正因子，但由于对每一种n和r的组合而言，两种方法间的这一线性系数都不同，如果每一次都需要先计算两种方法间的线性系数，也是相当地麻烦，且实际并未避开最佳线性无偏估计法计算复杂的问题。因此，在实际应用中可以利用一种较为简便的方法来得到不同n和r下的极大似然估计法的各参数的修正因子。

图7为本发明第二实施例中确定修正因子的方法流程图，下面结合图7详细介绍本实施例中修正因子的具体确定步骤。

A、产生至少一组随机数据(S701)。利用计算机产生至少一组(如10000组)值位于0～1间，每组数据的数目等于n的均匀分布的随机数x_ij。

B、分别在每一组随机数据中选取与样本库数据的数目r相同多的数据，形成至少一组(如10000组)随机样本库数据(当n＝r时，取全部随机数据作为样本库数据；当n＞r时，取部分随机数据作为样本库数据，如选每一组随机数据中最小的r个数据，或排在最前面的r个数据为样本库数据等)(S702)。

C、利用形状参数α与尺度参数β均为预定值的Weibull分布函数的反函数 $t_{\mathrm{ij}}=1\·\frac{1}{-\ln (1-x_{\mathrm{ij}})}$ 将上述随机样本库数据转变为至少一组(如10000组)数据的数目等于r的，满足形状参数β与尺度参数α均为该预定值的Weibull分布的随机分布数据t_ij(S703)。利用这至少一组随机分布数据分别进行极大似然估计法的参数估计，得到各参数的初始估计值。理想情况下，各参数的初始估计值应当等于其预定值，但是，因为极大似然估计法不是无偏的，尤其在样本数较少的情况下所得到的这一参数的初始估计值会与预定值间存在较大的偏差。

D、由各参数的预定值与由极大似然估计法得到的各参数的初始估计值的比值得到各参数的修正因子(S704)。

由图6可以看到，极大似然估计法与最佳线性无偏估计法所得到的参数估计值之间为强线性关系：当n与r相同时，无论参数值的大小为多少，由两种估计法得到的参数值间的比值均为一常数，由此可以推出：

即，虽然利用随机分布数据产生的极大似然估计法的参数初始估计值与利用测试数据产生的极大似然估计法的参数估计值并不相同，但其与利用最佳线性无偏估计法得到的参数初始估计值与参数估计值之间的比值是对应相等的。

另外，最佳线性无偏估计法的参数初始估计值与参数估计值属于无偏量，可以认为其对随机分布数据进行分析后得到的参数初始估计值与预定值相当地接近，对样本库数据(部分或全部测试数据)进行分析后得到的参数估计值也与真实值大致相等。因此可以将上式等效为：

即：

可以看出，修正因子就应当是参数预定值与由极大似然估计法得到的参数估计值的比值，也就是说，可以利用该修正因子对由极大似然估计法得到的参数估计值进行修正，以得到接近于参数真实值的参数修正值。

举例说明：设n＝r＝12，形状参数α与尺度参数β的预定值均为1，利用最佳线性无偏估计法得到的1/β的估计值为1.001408，与预定值1非常接近，此时，可以认为由利用最佳线性无偏估计法得到的1/β的估计值与利用极大似然估计法得到的1/β的估计值间的比值所确定的修正因子也近似等于参数预定值与利用极大似然估计法得到的1/β的估计值间的比值。这一简化方法的运用，不仅大大地减少了计算量，还对修正结果影响不大，最终得到了接近真实值的无偏的参数修正值。

确定修正因子后，利用各参数对应的修正因子对各参数的所述参数估计值进行修正，得到各参数的参数修正值(S306)。仍以上面n＝r＝12，形状参数α与尺度参数β的预定值均为1的例子为例，利用由该简化方法得到的修正因子对极大似然估计法得到的1/β估计值进行修正后，最终得到的1/β修正值为1.001239，比未修正前的准确度提高了很多。

本发明可靠性测试分析的第二实施例中例举的是通过对各参数估计值的修正，得到无偏的参数修正值，在本发明的其他实施例中，还可以利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法间的相关性，对各种参数组合式的估计值进行修正，得到无偏的参数组合式的修正值。如，还可以对威布尔分布中的αlnβ参数组合进行参数估计、确定其修正因子，得到其参数修正值，其具体实施步骤与思路均和本发明的第二实施例相似，在本发明第二实施例的启示下，这一应用的延伸对于本领域普通技术人员而言是易于理解和实现的，在此不再赘述。

得到参数(或参数组合的)修正值后，将其代入与分布函数对应的寿命公式中，对该批样品所属的产品的可靠性进行分析，确定其可靠性是否能满足要求(S307)。

本发明可靠性测试分析的第二实施例中，利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法间的相关性，得到极大似然估计法的各个参数(包括参数组合式)的无偏的修正值，再利用该修正值进行可靠性分析的方法，具有通用性强、灵活性高的优点。

本发明第二实施例中随机数据的产生可以利用各种计算机程序实现，如可以在Microsoft Excel中用RAND函数得到；或者采用以线性反馈移位寄存器(LFSR)为原理的伪随机数的生成程序进行随机数据的生成等。

本发明的可靠性测试中的测试分析方法，可以利用计算机编程的方法实现，操作简单、方便、快捷。

本发明的第一和第二实施例中，检测数据分别为产品的可靠性测试或晶圆级的介质击穿的可靠性测试，在本发明的其他实施例中，本发明的方法还可以适用于晶圆级的热载流子注入(HCI，Hot Carrier Injection)的可靠性测试、栅氧化层完整性(GOI，Gate Oxide Integrity)的可靠性测试等多种其他测试分析中。

本发明提出了一种可靠性测试中的参数估计方法，该参数估计方法实现的主要步骤为：

首先，提供某种产品的测试样品的部分或全部的测试数据，然后，由部分或全部所述测试数据，形成样本库数据；接着，根据所述测试数据满足的分布函数，利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；再接着，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；最后，利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值。利用本发明的参数估计方法得到的各参数的修正值接近于参数真实值，可以提高参数估计的准确度。

其中，修正因子的确定可以利用罗斯修正方法实现，具体步骤为：

分别选择罗斯修正方法中与各所述参数对应的修正公式；

将所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别代入各所述参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。

还可以利用极大似然估计法与最佳线性无偏估计法的相关性实现，此时，确定各参数的修正因子的步骤包括：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

利用极大似然估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的初始估计值；

分别由各所述参数的预定值与初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

且以上所述的分布函数可以为威布尔分布函数。

本发明虽然以较佳实施例公开如上，但其并不是用来限定本发明，任何本领域技术人员在不脱离本发明的精神和范围内，都可以做出可能的变动和修改，因此本发明的保护范围应当以本发明权利要求所界定的范围为准。

Claims (13)

1、一种可靠性测试分析方法，其特征在于，包括步骤：

随机抽取样品进行测试，得到部分或全部样品的测试数据；

由部分或全部所述测试数据形成样本库数据；

确定所述测试数据满足的分布函数；

利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；

根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；

利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值；

将各所述参数的修正值代入与所述分布函数对应的寿命公式中，进行可靠性分析。

2、如权利要求1所述的测试分析方法，其特征在于：所述分布函数为威布尔分布函数。

3、如权利要求1或2所述的测试分析方法，其特征在于：根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

分别选择罗斯修正方法中与各所述参数对应的修正公式；

将所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别代入各所述参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。

4、如权利要求2所述的测试分析方法，其特征在于：当所述参数为形状参数时，根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

计算1.37与所述样本库数据的数目减去1.92的比值；

计算所述测试样品的数目与所述样本库数据的数目之比的开方；

将所述比值乘以所述开方后加上1，再取倒数。

5、如权利要求1或2所述的测试分析方法，其特征在于：根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

分别利用极大似然估计法和最佳线性无偏估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的极大似然初始估计值和最佳线性无偏初始估计值；

分别由各所述参数的最佳线性无偏初始估计值与极大似然初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

6、如权利要求1或2所述的测试分析方法，其特征在于：根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

利用极大似然估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的初始估计值；

分别由各所述参数的预定值与初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

7、如权利要求6所述的测试分析方法，其特征在于：产生至少一组随机数据，包括步骤：

利用计算机随机产生至少一组值在0～1之间的均匀分布的数据。

8、如权利要求6所述的测试分析方法，其特征在于：将所述各参数的预定值设置为1。

9、如权利要求1所述的测试分析方法，其特征在于：所述可靠性测试为产品寿命测试、介质击穿的可靠性测试、热载流子注入可靠性测试或栅氧化层完整性可靠性测试中的任一种。

10、一种可靠性测试中的参数估计方法，其特征在于，包括步骤：

提供部分或全部测试样品的测试数据；

由部分或全部所述测试数据形成样本库数据；

确定所述测试数据满足的分布函数；

利用极大似然估计法对所述样本库数据进行参数估计，得到所述分布函数中各参数的估计值；

根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子；

利用所述修正因子对各所述参数的估计值进行修正，得到各所述参数的修正值。

11、如权利要求10所述的参数估计方法，其特征在于：所述分布函数为威布尔分布函数。

12、如权利要求10或11所述的参数估计方法，其特征在于：根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

分别选择罗斯修正方法中与各所述参数对应的修正公式；

将所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别代入各所述参数对应的修正公式中，得到各所述参数的修正因子。

13、如权利要求10或11所述的参数估计方法，其特征在于：根据所述测试样品的数目和所述样本库数据的数目分别确定各所述参数的修正因子，包括步骤：

产生至少一组随机数据，且每一组所述随机数据的数目等于所述测试样品的数目；

分别在每一组所述随机数据中选取与所述样本库数据的数目相同多的数据，形成至少一组随机样本库数据；

利用所述至少一组随机样本库数据，由所述分布函数的反函数得到至少一组符合所述分布的随机分布数据，其中，所述反函数中的各参数设定为预定值；

利用极大似然估计法对所述随机分布数据进行参数估计，得到各参数的初始估计值；

分别由各所述参数的预定值与初始估计值间的比值确定各所述参数的修正因子。

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