CN101252274B - 一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法 - Google Patents

Abstract

一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法，属电力系统继电保护技术领域。本方法是：该算法首先将耦合双回线解耦为同向量和反向量，根据反向量两端电压为零，求出故障点处的电压和电流，然后根据电弧电压电流的转移特性来实现故障测距。本发明的充分利用了反向网络的特点，利用反向网络与系统阻抗无关来构造测距算法；而且只利用单端电流时域量来进行故障测距，算法简单可靠，克服了以往单端法受对端系统阻抗的影响，由于时域法不需要滤波处理，因此所需要的数据窗很小，大量的数字仿真结果表明，该方法是有效、可靠的。

Description

一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法

技术领域

本发明涉及一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法，属电力系统继电保护技术领域。

背景技术

同杆双回线不仅相间存在互感，线间也存在互感，并伴有发生跨线故障的问题，从而增加了双回线故障测距的复杂性。目前，在双回线故障的测距中，依然存在着许多问题。(参考文献1)。经过长期研究，在双回线故障测距方面形成了多种方法，按电气量的使用可分为两类：单端法(参考文献3-6)和双端法(参考文献7-9)。文献[3]是通过双回线故障点处的同向电流和环流相等来构造测距方法；文献[4]是将双回线的故障分为单线故障、异名跨线故障和同名跨线故障，对存在于双回线环流的故障，采用故障点电压和电流同相位来实现测距。文献[5]是通过健全相消除对端系统阻抗的影响来实现测距。文献[6]是根据双回线行波的特点来实现测距。在利用双端电气量实现测距方面，文献[7-9]报导的是利用双端电流来实现故障测距。但以上测距方法都没有考虑过渡电阻的时变特性，即没有考虑电弧故障，而是把故障电阻看成是一常电阻。

参考文献：

[1]束洪春，高峰，李卫东(Shu Hongchun，Gao Feng，Li Weidong).利用单端工频量的高压输电线路故障测距实用方法研究(A practical fault location algorithm for HV transmission line using one end data).电工技术学报(Transactions of China Electrotechnical Society)，1998.13(5)：10-15

[2]束洪春，司大军.葛耀中(Shu Hongchun，Si Dajun，Ge Yaozhong)，利用双端不同步数据的高压输电线路故障测距实用算法及其实现(A new Least error square method for detecting and Location arc fault in EHV transmission line).电网技术(Transactions of China Electrotechnical Society)，2000.24(2)：45-49

[3]索南加乐，葛耀中(Suonan Jiale，Ge Yaozhong).同杆双回线跨线故障的准确定位方法(A new accurate fault locating method of fault between two lines on the double circuit line on the same tower).中国电机工程学报(Proceedings of the CSEE)，1992，12(3)：1.9.

[4]李红巍(Li Hongwei).一种实用的双回线测距方法(An useful algorithm for fault loc

[5]ation of parallel transmission lines).电力系统自动化(Automation of Electric Power Systems)，1995，19(9)：30-33.

[6]A.J.Prado，J.P.Filho，S.Kurokawa，and L.F.Bovolato.”Eigenvalue analyses of two parallel lines using a single real tramsformation matrix，”in Proc IEEE/Power Eng.soc.General Meeting，San Francisco，CA，Jum.12-16，2005

[7]Liao Y，Elangovan S.Digital distance relaying algorithm for first-zone protection for parallel transmission lines[J].IEE Proceedings.Generation，Transmission and Distribution，2005，145(5)：531-536.

[8]宋国兵，索南加乐，许庆强(Song Guobing，Suonan Jiale，Xu Qingqiang)，基于双回线环流的时域法故障定位(A novel time-domain algorithm for loc ating faults on parallel transmission lines by circulating current).中国电机工程学报(Proceedings of the CSEE).2004，24(3)：24-29.

[9]索南加乐，宋国兵，许庆强(Suonan Jiale，Song Guobing，Xu Qingqiang)，利用两端非同步电流的同杆双回线故障定位研究(Fanlt location algorithms for parallel transmission lines using two terminals nonsynchronized current data).电工技术学报(Transactions of China Electrotechnical Society)，2004，19(8)：99-106.

[10]索南加乐，宋国兵，许庆强(Suonan Jiale，Song Guobing，Xu Qingqiang)，不受TV和TA传变特性影响的同杆双回线故障定位方法(Parallel transmission lines fault locating method uninfluenced by potential transformer and current transformer frequency characteristics).电力系统自动化(Automation of Electric Power Systems).2005，29(9)：35-39.

[11]束洪春，司大军.葛耀中(Shu Hongchun，Si Dajun，Ge Yaozhong).高压输电线路电弧故障检测与定位最小二乘法新解(A new Least error square method for detecting and Location arc fault in EHV transmission line).电工技术学报(Transactions of China Electrotechnical Society)，2000.15(5)：14-19

[12]束洪春，司大军.葛耀中.陈学允(Shu Hongchun，Si Dajun，Ge Yaozhong，Chen Xueyun).高压输电线路电弧故障单端定位时域法新解(A new Least error square method for detecting and Location arc fault in EHV transmission line).中国电机工程学报(Proceedings of the CSEE.2000).2000，11(3)：24-29.

[13]Richards GG，Tan OT.An accurate fault location estimation for transmission lines.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1982；PAS-101(4)：945-950.

[14]和敬涵，范瑜(HE Jing-han，ZHANG Biao，FAN Yu)。解耦变换在电力系统暂态保护中的应用研究(Study on the application of the decoupling transformation in power system transient protection).北京交通大学学报(Journal of Beijing Jiaotong University)，2006 30(5)：101-104

[15]葛耀中(GE Yao-zhong).新型继电保护与故障测距原理与技术(New types of protective relaying and fault location).西安.西安交通大学出版社(Xi’an Jiaotong University Press).2005.

发明内容

本发明在前人研究的基础上，根据输电线路发生故障时，其过渡电阻的时变特性，提出了一种新的利用单端数据进行故障测距的方法，该方法是在时域中进行的，不需要滤波处理，且所需的数据窗短，并应用最小二乘法来提高故障定位的精确度。

双回线反序网络特性分析：

由于两回线之间存在耦合关系，如图1所示的双回线简化示意图，为了消去双回线线间互感，通过变换矩阵[P]把双回线导线中的电流分解成同向量和反向量两部分，同向量指两导线中同一处方向相同的电流(用下标t表示)；反向量指两导线中同一处方向相反的电流(又称为环流量，用下标f表示)，则变换矩阵[P]为：

$\left[p\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& -1\end{array}\right]---\left(1\right)$

经变换后，双回线系统可以分解成同、反向量系统，由于同向量电流在反向量回路中产生的感应电势相抵消，反向量电流在同向量回路中的感应电势也相抵消，因此在同、反向量回路之间将不会再有电磁耦合；在同向网络中，由于同向电流是线路电流的2倍，因此系统阻抗是原来的2倍，而反向电流只在双回线内部流动，因此在双回线以外的系统中，反向电流为零，且反向网络的两侧母线上电压为零，因此本发明将利用这个特点，实现同塔双回线的故障测距。

本发明通过下列技术方案完成：一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法，其特征在于经过下列步骤：

A、求故障点的电流：根据电路原理可知i_If＝0，由式(1)得到故障点处的同向量和反向量的关系：

i_Ft＝-i_Ff                                   (1)

由此可以得到线路上的故障电流i_IIF为：

i_IIF＝i_Ft-i_Ft＝-2i_Ff                        (2)

在高压、超高压输电系统中，线路及系统的电抗远远大于电阻，电抗起决定性作用，因此有：

i_2fs/i_1fs＝K                                (3)

式中K为一常数，当其对测距结果影响很小时，得到：

i_Ffs＝i_1fs-i_2fs＝(K-1)i_1fs                  (4)

式中F表示故障点，f表示反向量，s表示反向量经过对称分量分解后的各序量，由于反向网络中的两端电压为零，因此i_1fs可以用M端的各向电流表示，根据电路理论有如下关系：

$u_{\mathrm{jfs}}=u_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}$

$=-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(5\right)$

其中，u_Mfs＝0

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}-x{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d{u}_{\mathrm{jfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(6\right)$

将式(5)代入式(6)可得：

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}+0.5x^2{R}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+0.5x^2{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}---\left(7\right)$

对式(7)离散化可得：

i_1fs(n)＝i_Mfs(n)+0.5x²R_fsC_fs(δi_Mfs(n))+0.5x²L_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))                      (8)

式中δⁿ(·)表示n阶中心微分，求出反向各向电流后，通过对称分量反变换即可求出故障点的电流；

B、求故障点的故障电压：

$u_{\mathrm{Ffs}}=u_{\mathrm{jfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{1\mathrm{fs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{1\mathrm{fs}}}{\mathrm{dt}}---\left(9\right)$

把式(5)、式(7)代入式(9)得故障点处反向各向分量的电压值：

$u_{\mathrm{Ffs}}=-x(R_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}+L_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}})-0.25x^3\left({R^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+{2R}_{\mathrm{fs}}{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}+{L^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^3{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^3}\right)---\left(10\right)$

对式(10)离散化得：

u_Ffs(n)＝-x(R_fsi_Mfs(n)+L_fs(δi_Mfs(n)))-0.25x³(R² _fsC_fs(δi_Mfs(n))+2R_fsL_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))+L² _fsC_fs(δ³i_Mfs(n)))

                                                                            (11)

同理可以通过图2(a)求出故障点处同向各序分量的电压值：

u_Fts(n)＝u_Mts-x(R_tsi_Mts(n)+L_ts(δi_Mts(n)))-0.5x²(R_tsC_ts(δu_Mts(n))+L_tsC_ts(δ²u_Mts(n)))-0.25x³(R² _tsC_ts(δi_Mts(n))+2R_tsL_tsC_ts(δ²i_Mts(n))+L² _tsC_ts(δ³i_Mts(n)))

                                                                            (12)

式(11)、(12)通过对称分量反变换可以得到故障点处的电压同、反向量为u_Ft、u_Ff，，而后将两者矢量合即可求出故障点的故障电压；

C、利用电弧转移特性，当处于电弧转移特性的

段或

段时，与之对应的时段内u_arc(t)及过渡电阻r可保持不变，则过渡电阻r及u_arc(t)可用电压电流采样值表示为：

$r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{i_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-i_{\mathrm{IFa}}(k-1)}$ (13)

$=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{6(k+1)(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}$

$r_f^{\′}=6(k+1)r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}---\left(14\right)$

u_arc(k)＝u_IFa(k)-r′_fi_1f0(k)                                (15)

考虑到偶然误差对测量精度的影响，利用最小二乘法来减少误差，求取多个r′_f，并以各个r′_f的均方差ε_r的平方最小为目标时求得的x为最终的故障距离：

${\mathrm{\ϵ}}_r=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(r_{\mathrm{fj}}^{\′}-{\stackrel{\‾}{r}}_f^{\′})}^2---\left(16\right)$

式中N为求取r′_fj的个数；

为r′_fj的平均值。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：本发明的充分利用了反向网络的特点，利用反向网络与系统阻抗无关来构造测距算法；而且只利用单端电流时域量来进行故障测距，算法简单可靠，克服了以往单端法受对端系统阻抗的影响，由于时域法不需要滤波处理，因此所需要的数据窗很小，大量的数字仿真结果表明，该方法是有效、可靠的。

附图说明

图1为双回线简化图。

图2为反序网络图。

图3为电弧转移特性图。

具体实施方式

实施例

1、根据图2可以求出故障点的电流：

假设图1中线路II发生故障，则根据电路原理可知i_If＝0，由式(1)得到故障点处的同向量和反向量的关系：

i_Ft＝-i_Ft                                    (1)

由此可以得到线路II上的故障电流i_IIF为：

i_IIF＝i_Ft-i_Ff＝-2i_Ff                         (2)

根据图2和文献[1]知，在高压、超高压输电系统中，线路及系统的电抗远远大于电阻，电抗起决定性作用，因此有：

i_2fs/i_1fs＝K                                 (3)

式中K为一常数，仿真表明，这种假设对测距结果影响很小。根据图2(b)可以得到：

i_Ffs＝i_1fs-i_2fs＝(K-1)i_1fs                        (4)

式中F表示故障点，f表示反向量，t表示同向量，s表示反向量经过对称分量分解后的各序量，下同。

由于反序网络中的两端电压为零，因此i_1fs可以用M端的各序电流表示，根据电路理论有如下关系：

$u_{\mathrm{jfs}}=u_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}$

$=-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(5\right)$

其中，u_Mfs＝0

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}-x{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d{u}_{\mathrm{jfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(6\right)$

将式(5)代入式(6)可得：

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}+0.5x^2{R}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+0.5x^2{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}---\left(7\right)$

对式(7)离散化可得：

i_1fs(n)＝i_Mfs(n)+0.5x²R_fsC_fs(δi_Mfs(n))+0.5x²L_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))                     (8)

式中δⁿ(·)表示n阶中心微分，求出反向各序电流后，通过对称分量反变换即可求出故障点的电流。

2、求出故障点的故障电压：

$u_{\mathrm{Ffs}}=u_{\mathrm{jfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{1\mathrm{fs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{1\mathrm{fs}}}{\mathrm{dt}}---\left(9\right)$

把式(5)、式(7)代入上式(9)可得故障点处反向各序分量的电压值：

$u_{\mathrm{Ffs}}=-x(R_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}+L_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}})-0.25x^3\left({R^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+{2R}_{\mathrm{fs}}{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}+{L^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^3{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^3}\right)---\left(10\right)$

对式(10)离散化得：

u_Ffs(n)＝-x(R_fsi_Mfs(n)+L_fs(δi_Mfs(n)))-0.25x³(R² _fsC_fs(δi_Mfs(n))+2R_fsL_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))+L² _fsC_fs(δ³i_Mfs(n)))

                                                                                                    (11)

同理可以通过图2(a)求出故障点处同向各序分量的电压值：

u_Fts(n)＝u_Mts-x(R_tsi_Mts(n)+L_ts(δi_Mts(n)))-0.5x²(R_tsC_ts(δu_Mts(n))+L_tsC_ts(δ²u_Mts(n)))-0.25x³(R² _tsC_ts(δi_Mts(n))+2R_tsL_tsC_ts(δ²i_Mts(n))+L² _tsC_ts(δ³i_Mts(n)))

                                                                                                    (12)

式(11)、(12)通过对称分量反变换可以得到故障点处的电压同、反向量为u_Ft、u_Ff，而后将两者矢量合即可求出故障点的故障电压。

3、利用图3所示的电弧转移特性，当处于电弧转移特性的

段或

段时，与之对应的时段内u_arc(t)及过渡电阻r可保持不变，则过渡电阻r及u_arc(t)可用电压电流采样值表示为：

$r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{i_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-i_{\mathrm{IFa}}(k-1)}$ (13)

$=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{6(k+1)(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}$

$r_f^{\′}=6(k+1)r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}---\left(14\right)$

u_arc(k)＝u_IFa(k)-r′_fi_1f0(k)                          (15)

考虑到偶然误差对测量精度的影响，本文利用最小二乘法来减少误差，求取多个r′_f，并以各个r′_f的均方差ε_r的平方最小为目标时求得的x为最终的故障距离。

${\mathrm{\ϵ}}_r=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(r_{\mathrm{fj}}^{\′}-{\stackrel{\‾}{r}}_f^{\′})}^2---\left(16\right)$

式中N为求取r′_fj的个数；

为r′_fj的平均值。

Claims (1)

1.一种利用单端电流量的同塔双回输电线路故障测距时域方法，其特征在于经过下列步骤：

A、求故障点的电流：根据电路原理可知i_If＝0，由式(1)得到故障点处的同向量和反向量的关系：

i_Ft＝-i_Ff                                      (1)

由此可以得到线路上的故障电流i_IIF为：

i_IIF＝i_Ft-i_Ff＝-2i_Ff                           (2)

在高压、超高压输电系统中，线路及系统的电抗远远大于电阻，电抗起决定性作用，因此有：

i_2fs/i_1fs＝K                                   (3)

式中K为一常数，当其对测距结果影响很小时，得到：

i_Ffs＝i_1fs-i_2fs＝(K-1)i_1fs                     (4)

式中F表示故障点，f表示反向量，t表示同向量，s表示反向量经过对称分量分解后的各序量，由于反向网络中的两端电压为零，因此i_1fs用M端的各向电流表示，根据电路理论有如下关系：

$u_{\mathrm{jfs}}=u_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}$

$=-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(5\right)$

其中，u_Mfs＝0

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}-x{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d{u}_{\mathrm{jfs}}}{\mathrm{dt}}---\left(6\right)$

将式(5)代入式(6)可得：

$i_{1\mathrm{fs}}=i_{\mathrm{Mfs}}+0.5x^2{R}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+0.5x^2{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}---\left(7\right)$

对式(7)离散化可得：

i_1fs(n)＝i_Mfs(n)+0.5x²R_fsC_fs(δi_Mfs(n))+0.5x²L_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))                  (8)

式中δⁿ(·)表示n阶中心微分，求出反向各向电流后，通过对称分量反变换即可求出故障点的电流；

B、求故障点的故障电压：

$u_{\mathrm{Ffs}}=u_{\mathrm{jfs}}-0.5x{R}_{\mathrm{fs}}{i}_{1\mathrm{fs}}-0.5x{L}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{1\mathrm{fs}}}{\mathrm{dt}}---\left(9\right)$

把式(5)、式(7)代入式(9)得故障点处反向各向分量的电压值：

$u_{\mathrm{Ffs}}=-x(R_{\mathrm{fs}}{i}_{\mathrm{Mfs}}+L_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}})-0.25x^3\left({R^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{Mfs}}}{\mathrm{dt}}+{2R}_{\mathrm{fs}}{L}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^2{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^2}+{L^2}_{\mathrm{fs}}{C}_{\mathrm{fs}}\frac{d^3{i}_{\mathrm{Mfs}}}{{\mathrm{dt}}^3}\right)---\left(10\right)$

对式(10)离散化得：

u_Ffs(n)＝-x(R_fsi_Mfs(n)+L_fs(δi_Mfs(n)))-0.25x³(R² _fsC_fs(δi_Mfs(n))+2R_fsL_fsC_fs(δ²i_Mfs(n))+L² _fsC_fs(δ³i_Mfs(n)))

                                                                                (11)

同理求出故障点处同向各序分量的电压值：

u_Fts(n)＝u_Mts-x(R_tsi_Mts(n)+L_ts(δi_Mts(n)))-0.5x²(R_tsC_ts(δu_Mts(n))+L_tsC_ts(δ²u_Mts(n)))-0.25x³(R² _tsC_ts(δi_Mts(n))+2R_tsL_tsC_ts(δ²i_Mts(n))+L² _tsC_ts(δ³i_Mts(n)))

                                                                                (12)

式(11)、(12)通过对称分量反变换得到故障点处的电压同、反向量为u_Ft、u_Ff，而后将两者矢量合即可求出故障点的故障电压；

C、利用电弧转移特性，当处于电弧转移特性的段或

段时，与之对应的时段内u_arc(t)及过渡电阻r保持不变，则过渡电阻r及u_arc(t)电压电流采样值表示为：

$r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{i_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-i_{\mathrm{IFa}}(k-1)}$ (13)

$=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{6(k+1)(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}$

$r_f^{\′}=6(k+1)r=\frac{u_{\mathrm{IFa}}\left(k\right)-u_{\mathrm{IFa}}(k-1)}{(i_{1f0}\left(k\right)-i_{1f0}(k-1))}---\left(14\right)$

u_arc(k)＝u_IFa(k)-r′_fi_1f0(k)                                                    (15)

考虑到偶然误差对测量精度的影响，利用最小二乘法来减少误差，求取多个r′_f，并以各个r′_f的均方差ε_r的平方最小为目标时求得的x为最终的故障距离：

${\mathrm{\ϵ}}_r=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(r_{\mathrm{fj}}^{\′}-{\stackrel{\‾}{r}}_f^{\′})}^2---\left(16\right)$

式中N为求取r′_fj的个数；为r′_fj的平均值。

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