CN101251592A - 一种无线传感器网络的节点定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种无线传感器网络的节点定位方法，包括下列步骤：步骤A，为无线传感器网络各局部构建局部相对坐标系；步骤B，将各个局部相对坐标进行融合，得到所有节点的全局相对坐标，并使用位置信息已知的信标节点，把全局相对坐标转换成全局绝对坐标；步骤C，获得所有节点的全局绝对初始坐标后，进行节点定位迭代求精。其克服现有技术中的不足，提供一种高精度的无线传感器网络的节点定位方法。

Description

一种无线传感器网络的节点定位方法

技术领域

本发明涉及无线传感器网络(WSN)技术领域，特别是涉及一种无线传感器网络的节点定位方法。

背景技术

无线传感器网络(Wireless Sensor Networks，WSN)节点定位在物流管理、动物跟踪、安防及军事侦察等领域有着广泛的应用前景。

WSN的研究起源于20世纪70年代。最早应用于军事领域。进入21世纪后，随着无线通信技术，微芯片制造等技术的进步，WSN的研究在多种应用方面取得了重大进展。《MIT技术评论》将WSN列于十种改变未来世界新兴技术之首，美国《今日防务》杂志更认为WSN的应用和发展，将引起一场划时代的军事技术革命和未来战争的变革。

现有技术中，无线传感器网络的节点定位方法，如欧洲专利局公开了申请号为WO2007002286，名称为“Scable Sensor Localization for Wireless SensorNetworks”发明专利申请。该定位方法采用基于规则的自适应方法进行无线传感器网络节点定位。该方法通过对求解的问题进行细分后，采用几何优化算法一半定规划松弛模型来进行求解。

中国专利局公开了申请号为200610087258.5，名称为“一种对传感器节点精确定位的方法”，其采用基于聚集度参量的分簇机制，构建定位的协作节点组，在确定协作节点组质心后，通过测量组内待定位节点相对于协作节点组质心的信号到达角，来确定各个传感器节点与协作节点组质心之间的坐标关系，从而实现传感器节点的定位。

其他的无线传感器网络的节点定位方法，还有质心方法、Amorphous、APS、最小二乘定位方法和多尺度分析定位方法等等。

但是，尽管涌现出众多传感器节点定位方法，但传统的定位迭代求精方法直接对代价函数进行最优化求解，无论是有加权的形式还是无加权的形式，都没有很好的考虑网络节点实际的物理分布，仅是从数学的角度对代价函数进行最优化求解，因此其定位精度相对较低，且部分方法存在计算和通信开销较大之不足，难以满足节点定位的高精度要求。

发明内容

本发明所要解决的问题在于提供一种无线传感器网络的节点定位方法，其克服现有技术中的不足，提供一种高精度的无线传感器网络的节点定位方法。

为实现本发明目的而提供的一种无线传感器网络的节点定位方法，包括下列步骤：

步骤A，为无线传感器网络各局部构建局部相对坐标系；

步骤B，将各个局部相对坐标进行融合，得到所有节点的全局相对坐标，并使用位置信息已知的信标节点，把全局相对坐标转换成全局绝对坐标；

步骤C，获得所有节点的全局绝对初始坐标后，进行节点定位迭代求精。

所述步骤A中，所述为无线传感器网络各局部构建局部相对坐标系，是通过MDS(C)方法或者ABC方法实现的。

所述步骤B中，所述将各个局部相对坐标进行融合，是使用增量贪婪地图融合方法实现的。

所述增量贪婪地图融合方法采用串型顺序对局部地图进行融合。

所述增量贪婪地图融合方法采用串型顺序对局部地图进行融合，包括下列步骤：

随机挑选1个节点，把该节点的局部地图作为核心地图；

每次选择与核心地图拥有最多相同节点的邻居地图依次进行融合，直到核心地图覆盖整个网络，从而构建起全局相对坐标系。

所述与核心地图拥有最多相同节点的邻居地图依次进行融合，包括下列步骤：

两个局部地图融合的变换矩阵使用最佳线性变换方法获得，即使用最小二乘法最小化共同节点的坐标变换误差，来获得变换矩阵，然后把其中一个地图变换到另一个地图上；

所述变换包括平移、旋转、镜像以及缩放。

所述步骤C中，所述节点定位迭代求精，包括下列步骤：

步骤C1，利用网络节点通信半径这一物理特征，根据节点二跳邻居的限制性条件以及未知节点与二跳邻居间的欧式距离是否满足该限制性条件，计算惩罚函数值；

步骤C2，选择不满足限制性条件的二跳邻居，构建相应的惩罚项，确定节点的局部代价函数；

步骤C3，使用变尺度法最优化求解局部代价函数，获得节点的求精后坐标以及当前局代价函数值；

步骤C4，计算全局代价函数；

步骤C5，若全局代价函数值满足停止要求，则停止迭代；否则，广播节点当前的求精坐标，并转向步骤C1，重新计算。

所述步骤C1和C2之间还包括下列步骤：

步骤C1’，对节点的直接邻居，依据其距离节点的远近不同进行高斯加权，采用高斯函数 ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}=\exp \{-{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}^2/h_i^2\}$ 为节点的直接邻居赋权值；

其中，

为测距， $h_i={\max }_j{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}.$

所述步骤C2中，包括下列步骤：

对于不满足限制性条件的二跳邻居节点，按下式进行惩罚；其中N_i为节点i的不包括1跳邻居的2跳邻居集合，d_min和d_max分别为二跳邻居节点满足的限制性条件；

所述惩罚函数为：

$f\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{c}\underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\min (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\min })-d_{\min })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&le;d_{\min }\\ \underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\max (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\max })-d_{\max })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&GreaterEqual;d_{\max }\\ 0,d_{\min }<d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)<d_{\max }\end{array}\right.$ 。

所述步骤C3，包括下列步骤：

步骤C31，给定节点初始坐标x_i ⁽¹⁾，允许误差ε；

步骤C32，设k＝1，置H_k＝I(与节点坐标向量维数相同的单位矩阵)，并计算局部代价函数S_i在x_i ^(k)处的梯度 $g_k={\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)$ ；

步骤C33，令d^(k)＝-H_kg_k，并检验当前值是否满足收敛准则，若 $\left|\right|{\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&epsiv;}$ ，则停止迭代，输出x_i ^(k)；否则继续步骤C34；

步骤C34，从x_i ^(k)出发，沿方向d^(k)搜索，求步长λ_k，使它满足 $S_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)})=\underset{\mathrm{\&lambda;}\&GreaterEqual;0}{\min }{S}_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;d}}^{\left(k\right)})$ ，令； $x_i^{(k+1)}=x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)}$

步骤C35，如果k＝2，则令 $x_i^{\left(1\right)}=x_i^{(k+1)}$ ，返回步骤C32；否则，进行步骤C36：

步骤C36，令 $g_{k+1}={\&dtri;S}_i\left(x^{(k+1)}\right),$ $p^{\left(k\right)}=x_i^{(k+1)}-x_i^{\left(k\right)},$ q^(k)＝g_k+1-g_k，利用变尺度法设置校正矩阵ΔH， $\mathrm{\&Delta;H}=\frac{p^{\left(k\right)}{p}^{\left(k\right)T}}{p^{\left(k\right)T}{q}^{\left(k\right)}}-\frac{H_k{q}^{\left(k\right)}{q}^{\left(k\right)T}{H}_k}{q^{\left(k\right)T}{H}_k{q}^{\left(k\right)}},$ 得出H_k+1＝H_k+ΔH；置k＝k+1，返回步骤C33。

本发明的有益效果是：本发明的无线传感器网络的节点定位方法，在目标代价函数中，引入节点先验通信范围物理条件，综合考虑二跳邻居节点必须满足的最远最近距离(基于坐标计算的欧氏距离)限制条件，对于不满足限制性约束条件的邻居，通过在目标代价函数中构建的惩罚函数进行惩罚。该定位方法物理含义清晰、与网络节点分布弱相关，具有计算及通信开销较少和定位精度高的特点。

该方法综合考虑网络节点二跳邻居必须满足的先验性最远最近距离条件，采用变尺度法(DFP方法)，对目标代价函数进行最小化优化，实现未知节点坐标的迭代求精。该方法具有计算简单、物理含义明确等特点，综合考虑了节点通信范围这一物理限制因素，与无线传感器节点计算、存储及能量等资源受限特点相适应。

附图说明

图1为本发明无线传感器网络的节点定位方法流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明的一种无线传感器网络的节点定位方法进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明的一种无线传感器网络的节点定位方法，其针对现有定位方法存在的不足，提出了一种基于二跳限制性条件的分布式节点定位方法，该方法通过引入部署时的先验二跳邻居节点间满足的最小最大距离(基于坐标计算的欧氏距离)限制性条件，在节点局部代价函数中引入相应的惩罚项，迫使负梯度搜索往节点真实位置方向前进，从而减少定位误差。

为了克服传统定位求精方法精度不高以及未充分考虑节点二跳邻居分布限制而造成节点定位偏差等不足，本发明综合地考虑了节点二跳邻居的最远最近距离(基于坐标计算的欧氏距离)限制性条件，对于不满足限制性条件的节点二跳邻居，在局部代价函数中加入相应的惩罚项，对局部代价函数进行相应的惩罚。另外，对于节点的直接邻居，根据其距离的远近，通过高斯函数赋予不同的权值，确定其在局部代价函数中的贡献。

本发明提供了一种无线传感器网络的节点定位方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤S100，使用多维尺度分析(Multidimensional Scaling(Classical)，MDS(C))方法或ABC(Assumption Based Coordinates)方法为无线传感器网络各个局部构建局部相对坐标系；

步骤S200，使用增量贪婪地图融合方法将各个局部相对坐标系进行融合，得到全局相对坐标，并使用位置信息已知的信标节点，把全局相对坐标转换成全局绝对坐标；

当未知节点构建了局部坐标系后，以增量贪婪地图融合方法，采用串型顺序对局部地图进行融合。

首先随机挑选1个节点，把该节点的局部地图作为核心地图；

然后每次选择与核心地图拥有最多相同节点的邻居地图依次进行融合，直到核心地图覆盖整个网络，从而构建起全局相对坐标系。

其中，两个局部地图融合的变换矩阵使用最佳线性变换方法获得，即使用最小二乘法最小化共同节点的坐标变换误差，来获得变换矩阵，然后把其中一个地图变换到另一个地图上。

该变换包括平移、旋转、镜像以及缩放。

采用最佳线性变换方法，能较好地抑制地图融合过程中的定位误差扩散。

步骤S300，在全局初始坐标的基础上进行迭代求精：

具体地，步骤S300包括下列步骤：

步骤S310，利用网络节点通信半径这一物理特征，根据节点二跳邻居的限制性条件，即二跳邻居的最远最近距离，并根据未知节点与二跳邻居间的欧式距离是否满足该限制性条件，计算惩罚函数值。

所述节点二跳邻居的限制性条件为：根据节点到其二跳邻居的基于坐标距离是否满足最远最近距离。对于不满足限制性条件的二跳邻居节点，在代价函数中相应地增加对应的惩罚项，限制节点的位置坐标向正确的位置移动，以避免节点定位的偏差。

对于不满足限制性条件的二跳邻居节点，按惩罚函数，即式(1)进行惩罚，其中N_i为节点i的2跳邻居集合(不包括1跳邻居)，d_min和d_max分别为二跳邻居节点满足的限制性条件，即二跳邻居的最近最远距离。

所述惩罚函数为：

$f\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{c}\underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\min (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\min })-d_{\min })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&le;d_{\min }\\ \underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\max (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\max })-d_{\max })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&GreaterEqual;d_{\max }\\ 0,d_{\min }<d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)<d_{\max }\end{array}\right.---\left(1\right)$

步骤S320，对节点的直接邻居，依据其距离节点的远近不同进行高斯加权，采用高斯函数 $w_{\mathrm{ij}}=\exp \{-{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}^2/h_i^2\}$ (

为测距， $h_i={\max }_j{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}$ )为节点的直接邻居赋权值；

本发明采用高斯核( $w_{\mathrm{ij}}=\exp \{-{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}^2/h_i^2\},$ 其中 $h_i={\max }_j{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}$ )加权机制，对节点的直接邻居，依据其距离节点的远近不同进行高斯加权。该加权函数实现简单，鲁棒性较好。

步骤S330，定义全局目标代价函数，将其分解为局部目标代价函数之和，把未知节点坐标迭代求精过程转化为节点局部目标代价函数最优化过程。首先确定节点的局部代价函数，如式(2)所示：

$S_i=\underset{\underset{j\&NotEqual;i}{j=1}}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{({\hat{d}}_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(X\right))}^2+2\underset{j=n+1}{\overset{n+m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{({\hat{d}}_{\mathrm{ij}}-d_{\mathrm{ij}}\left(X\right))}^2+{\mathrm{\&omega;}}_{D}f\left(x_i\right)---\left(2\right)$

步骤S340，使用变尺度法(Davidon Fletcher Powell，DFP)最优化求解局部代价函数，如式(2)所示，获得节点的求精后坐标以及当前局部代价函数值S_i；

具体地，所述步骤S340包括如下步骤：

步骤S341，给定节点初始坐标x_i ⁽¹⁾，允许误差ε；

步骤S342，设k＝1，置H_k＝I(与节点坐标向量维数相同的单位矩阵)，并计算局部代价函数S_i在x_i ^(k)处的梯度； $g_k={\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)$

步骤S343，令d^(k)＝-H_kg_k，并检验当前值是否满足收敛准则，若 $\left|\right|{\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&epsiv;}$ ，则停止迭代，输出x_i ^(k)；否则继续步骤S344；

步骤S344，从x_i ^(k)出发，沿方向d^(k)搜索，求步长λ_k，使它满足 $S_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)})=\underset{\mathrm{\&lambda;}\&GreaterEqual;0}{\min }{S}_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;d}}^{\left(k\right)})$ ，令； $x_i^{(k+1)}=x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)}$ ；

步骤S345，如果k＝2，则令 $x_i^{\left(1\right)}=x_i^{(k+1)}$ ，返回步骤S342；否则，进行步骤S346：

步骤S346，令 $g_{k+1}={\&dtri;S}_i\left(x^{(k+1)}\right)$ ， $p^{\left(k\right)}=x_i^{(k+1)}-x_i^{\left(k\right)}$ ，q^(k)＝g_k+1-g_k，利用DEP方法设置校正矩阵ΔH， $\mathrm{\&Delta;H}=\frac{p^{\left(k\right)}{p}^{\left(k\right)T}}{p^{\left(k\right)T}{q}^{\left(k\right)}}-\frac{H_k{q}^{\left(k\right)}{q}^{\left(k\right)T}{H}_k}{q^{\left(k\right)T}{H}_k{q}^{\left(k\right)}}$ ，得出H_k+1＝H_k+ΔH；置k＝k+1，返回步骤S343；

步骤S350，计算全局代价函数S，如式(3)所示：

$S=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_i+C---\left(3\right)$

步骤S360，若全局代价函数值S满足停止要求，则停止迭代；否则，广播节点当前的求精坐标，并转向步骤S310，重新计算。

所述广播是现有无线传感器网络中的现有技术，因此在本发明实施例中不再一一详细描述。

作为一种可实施方式，可以通过计算机软件实现本发明的一种无线传感器网络的节点定位方法，其算法过程如下：

输入：m，ε，d_min，d_max

利用ABC方法或MDS(C)构建局部初始相对坐标

将局部相对坐标融合成全局相对坐标

将全局相对坐标转换成全局绝对坐标X⁽⁰⁾

初始化：置k＝0，计算初始S⁽⁰⁾

While S(k+1)-S(k)＞ε

    k←k+1

    for i＝1:n

             计算直接邻居权值ω_ij

      对于不满足最远最近距离的二跳邻居计算惩罚项f(x_i)

             采用DFP方法最优化局部代价函数，获得节点坐标x_i ^(k)

             计算局部代价函数值，并更新全局代价函数值

$S^{\left(k\right)}\&LeftArrow;S^{\left(k\right)}-S_i^{(k-1)}+S_i^{\left(k\right)}$

      将更新后的节点坐标广播给邻居

             将局部代价函数值S^(k)发送给节点(i+1)(mod n)

end for

end while

本发明的无线传感器网络的节点定位方法，是基于优化目标代价函数、考虑节点二跳邻居分布限制性条件的节点高精度定位方法，其利用节点二跳邻居必须满足的最远最近距离限制性条件，在目标代价函数中引入相应惩罚项，对不满足二跳邻居最远最近距离限制条件的二跳邻居节点(基于坐标计算的欧氏距离)，在优化迭代过程中进行惩罚，迫使节点往满足这一限制性条件的方向移动，从而提高定位精度；该定位方法还根据节点距离直接邻居的远近，相应赋予邻居不同的全局代价函数权值，增加距离较近节点在定位优化计算中的贡献度，实现节点的高精度定位。其为了考虑节点的物理分布限制特性，获得更高精度的定位求精结果，本发明在代价函数中加入了惩罚项，以惩罚不满足节点二跳邻居最远最近距离(基于坐标计算的欧氏距离)的邻居节点，即在传统代价函数的基础上，增加考虑了网络节点的实际物理分布限制，避免了节点定位的偏差。其采用高斯函数作为直接邻居权值计算的依据，计算简单，而且综合地考虑了测距误差随着距离的增大而增大的特性。

通过以上结合附图对本发明具体实施例的描述，本发明的其它方面及特征对本领域的技术人员而言是显而易见的。

以上对本发明的具体实施例进行了描述和说明，这些实施例应被认为其只是示例性的，并不用于对本发明进行限制，本发明应根据所附的权利要求进行解释。

Claims (10)

1. 一种无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤A，为无线传感器网络各局部构建局部相对坐标系；

步骤B，将各个局部相对坐标进行融合，得到所有节点的全局相对坐标，并使用位置信息已知的信标节点，把全局相对坐标转换成全局绝对坐标；

步骤C，获得所有节点的全局绝对初始坐标后，进行节点定位迭代求精。

2. 根据权利要求1所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤A中，所述为无线传感器网络各局部构建局部相对坐标系，是通过MDS(C)方法或者ABC方法实现的。

3. 根据权利要求1所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤B中，所述将各个局部相对坐标进行融合，是使用增量贪婪地图融合方法实现的。

4. 根据权利要求3所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述增量贪婪地图融合方法采用串型顺序对局部地图进行融合。

5. 根据权利要求4所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述增量贪婪地图融合方法采用串型顺序对局部地图进行融合，包括下列步骤：

随机挑选1个节点，把该节点的局部地图作为核心地图；

每次选择与核心地图拥有最多相同节点的邻居地图依次进行融合，直到核心地图覆盖整个网络，从而构建起全局相对坐标系。

6. 根据权利要求5所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述与核心地图拥有最多相同节点的邻居地图依次进行融合，包括下列步骤：

两个局部地图融合的变换矩阵使用最佳线性变换方法获得，即使用最小二乘法最小化共同节点的坐标变换误差，来获得变换矩阵，然后把其中一个地图变换到另一个地图上；

所述变换包括平移、旋转、镜像以及缩放。

7. 根据权利要求1至6任一项所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤C中，所述节点定位迭代求精，包括下列步骤：

步骤C1，利用网络节点通信半径这一物理特征，根据节点二跳邻居的限制性条件，并根据未知节点与二跳邻居间的欧式距离是否满足限制性条件，计算惩罚函数值；

步骤C2，选择不满足限制性条件的二跳邻居，构建相应的惩罚项，确定节点的局部代价函数；

步骤C3，使用变尺度法最优化求解局部代价函数，获得节点的求精后坐标以及当前局代价函数值；

步骤C4，计算全局代价函数；

步骤C5，若全局代价函数值满足停止要求，则停止迭代；否则，广播节点当前的求精坐标，并转向步骤C1，重新计算。

8、根据权利要求7所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤C1和C2之间还包括下列步骤：

步骤C1’，对节点的直接邻居，依据其距离节点的远近不同进行高斯加权，采用高斯函数 $w_{\mathrm{ij}}=\exp \{-{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}^2/h_i^2\}$ 为节点的直接邻居赋权值；

其中，为测距， $h_i={\max }_j{\hat{d}}_{\mathrm{ij}}.$ 。

9. 根据权利要求7所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤C1中，确定二跳邻居间满足的最远和最近距离限制，包括下列步骤：

对于不满足限制性条件的二跳邻居节点，按下式进行惩罚；其中N_i为节点i的不包括1跳邻居的2跳邻居集合，d_min和d_max分别为二跳邻居节点满足的限制性条件；

所述惩罚函数为：

$f\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{c}\underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\min (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\min })-d_{\min })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&le;d_{\min }\\ \underset{j\&Element;N_i}{\mathrm{\&Sigma;}}{(\max (d_{\mathrm{ij}}\left(X\right),d_{\max })-d_{\max })}^2,d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)\&GreaterEqual;d_{\max }\\ 0,d_{\min }<d_{\mathrm{ij}}\left(X\right)<d_{\max }\end{array}\right.$ 。

10. 根据权利要求7所述的无线传感器网络的节点定位方法，其特征在于，所述步骤C3，包括下列步骤：

步骤C31，给定节点初始坐标x_i ⁽¹⁾，允许误差ε；

步骤C32，设k＝1，置H_k＝I(与节点坐标向量维数相同的单位矩阵)，并计算局部代价函数S_i在x_i ^(k)处的梯度 $g_k={\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)$ ；

步骤C33，令d^(k)＝-H_kg_k，并检验当前值是否满足收敛准则，若 $\left|\right|{\&dtri;S}_i\left(x_i^{\left(k\right)}\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&epsiv;}$ ，则停止迭代，输出x_i ^(k)；否则继续步骤C34；

步骤C34，从x_i ^(k)出发，沿方向d^(k)搜索，求步长λ_k，使它满足 $S_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)})=\underset{\mathrm{\&lambda;}\&GreaterEqual;0}{\min }{S}_i(x_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;d}}^{\left(k\right)}),$ 令； $x_i^{(k+1)}{=x}_i^{\left(k\right)}+{\mathrm{\&lambda;}}_k{d}^{\left(k\right)}$ ；

步骤C35，如果k＝2，则令 $x_i^{\left(1\right)}=x_i^{(k+1)}$ ，返回步骤C32；否则，进行步骤C36；

步骤C36，令 $g_{k+1}={\&dtri;S}_i\left(x^{(k+1)}\right)$ ， $p^{\left(k\right)}=x_i^{(k+1)}-x_i^{\left(k\right)}$ ，q^(k)＝g_k+1-g_k，利用变尺度法设置校正矩阵ΔH， $\mathrm{\&Delta;H}=\frac{p^{\left(k\right)}{p}^{\left(k\right)T}}{p^{\left(k\right)T}{q}^{\left(k\right)}}-\frac{H_k{q}^{\left(k\right)}{q}^{\left(k\right)T}{H}_k}{q^{\left(k\right)T}{H}_k{q}^{\left(k\right)}},$ 得出H_k+1＝H_k+ΔH；置k＝k+1，返回步骤C33。

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