CN101221239B - 一种基于水平集的合成孔径雷达图像分割方法 - Google Patents

Abstract

一种基于水平集的合成孔径雷达(SAR)图像分割方法，涉及雷达遥感应用技术。该方法包含以下程序：根据接收机得到SAR回波信号，计算SAR图像混合概率模型；根据混合概率模型计算边缘检测算子；由测地活动轮廓模型结合边缘检测算子得到基于边界信息的能量泛函；计算基于区域信息的能量泛函，将分割模型定义为基于区域信息和边界信息的能量泛函加权和；采用变分方法最小化分割模型，以获得SAR图像的分割结果。本发明由于用水平集方法将曲线运动转化为曲面运动，在图像分割中即使目标边界分裂或者合并，曲面的拓扑结构不改变，同时本发明不需要噪声的预处理过程，提高了SAR图像的分割精度和适用性。

Description

一种基于水平集的合成孔径雷达图像分割方法

技术领域

本发明涉及雷达遥感应用技术，用图像分析雷达观测信息，特别涉及水平集方法在合成孔径雷达图像分割中的应用。

背景技术

合成孔径雷达(SyntheticAperture Radar，以下简称SAR)图像的分割问题是雷达遥感应用领域的重要研究内容之一，在解释雷达观测、分析场景地物特征、目标识别等方面具有重要作用。开展SAR图像分割问题的研究对于促进雷达遥感应用技术科学发展具有重要意义。

相对于光学图像而言，SAR图像的最大特点在于相干斑噪声的影响，它的存在使得SAR图像表现为低信噪比，因此许多标准的光学图像分割算法应用于SAR图像很难得到满意的效果。到目前为止，人们提出了许多SAR图像分割算法。这些方法可以归纳为两种分割思路：1)首先对原始SAR图像滤波，以降低斑点噪声的影响，然后采用与处理光学图像相似的方法进行分割；2)结合SAR图像中像素的强度信息和结构信息，研究在分割过程中抑制斑点噪声影响的分割算法。相对于第二种思路，第一种思路带来的不利因素有：(1)为了达到好的去斑效果，会增大滤波的程度，使得分割效果下降。而且降斑的客观全面评价标准不易确定，对分割产生的作用难以评估，因此很难给出一个确定性的结论，即到底对于不同质量的图像，降斑到什么程度才能取得好的分割效果；(2)引入了计算复杂度，性能好的降斑算法时间可能很长，使得分割的速度很慢。因此，近年来关于SAR图像分割的研究主要集中在第二种思路上。有代表性的方法如基于Markov随机场的分割方法，它有效的利用了像素邻域间的先验结构信息并结合最大后验概率准则对图像进行分割。这类方法分割精度很高，但是它是一种迭代优化方法，因此计算量大、速度慢，算法有可能陷入局部优化。

近年来，基于水平集的图像分割方法获得了广泛应用。水平集方法从界面传播等研究领域中逐步发展起来，主要思想是引入水平集函数φ：Rⁿ×R⁺→R，将移动界面

作为零水平集嵌入到高一维水平集函数中。在演化过程中，只要确定零水平集就可以确定移动界面演化的位置。利用水平集方法研究SAR图像分割问题，可以充分利用相干斑噪声的概率模型，降低相干斑噪声对分割结果的影响，充分利用图像本身信息，获得精确的分割结果。许多国内外专家学者对基于水平集的图像分割方法做了研究工作，并在一系列图像中验证了这种分割的正确性。水平集图像分割方法将图像分割过程转化为图像中初始定义的封闭连续曲线向图像的真实边界逐步逼近过程，可以适应拓扑结构的变化，提高了曲线运动的稳定性，对于含有相干斑噪声的SAR图像可以获得比较好的分割效果。

含相干斑噪声的SAR图像主要包含以下3种信息：灰度信息、边界信息(edge)和区域信息(region)。但上述研究方法中，能量泛函的定义都是基于图像区域信息的(Ayed I B，Vazquez C，Mitiche A，Belhadj Z.SAR image segmentation with active contours and level sets [J].IEEE InternationalConference on Image Processing，2004，2717-2720)，虽然在能量泛函中包含了一定的边界信息，但都只是保证边界光滑的正则化因子，并没有充分利用图像的边界特征信息，因此在图像弱边界处的定位精度较差，容易在局部点发生边界泄漏的现象。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述对SAR图像分割的不足之处，以达到对SAR图像分割获得更全面的准确性，特提供一种基于区域信息和边界信息的水平集SAR图像分割方法，它是利用概率知识将SAR图像的区域信息和边界信息融合在一起分割SAR图像。本发明的分割方法由以下步骤来实现，其分割算法流程见附图3。

第一步，根据接收机得到的SAR回波信号，通过RD成像算法得到含有斑点噪声的SAR图像，计算与SAR图像强度分布相关的混合概率模型。

在合成孔径雷达系统中，雷达连续的发射线性调频脉冲信号，然后从回波信号中提取目标信息，这个过程称为成像处理(见附图2)。SAR图像中的相干斑噪声是在雷达回波信号中产生的，是包括SAR系统在内的所有基于相干原理的成像系统所固有的缺点。由于SAR图像特殊的成像机理，乘性斑点噪声的存在严重影响了图像的分割精确度。为了降低相干斑噪声对图像的影响，在分割过程中通常认为SAR图像的强度分布可以用两个区域的混合概率模型表示：

$P\left(I(x,y)\right)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}{P}_{\mathrm{\Ω}}\left(I(x,y)\right)+{\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}{P}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}\left(I(x,y)\right)$

其中，I是要分割的SAR图像。Ω和

分别代表目标和背景区域。P_Ω代表目标区域的概率分布；

代表背景区域的概率分布，权值ω_Ω和

分别为目标和背景区域的先验概率。

第二步，为了进一步降低相干斑噪声的影响，根据SAR图像的混合概率模型，计算满足公式g＝exp(-p_e)的边缘检测算子。

在SAR图像中，依据目标点的左右邻域否(是)属于相同类型的区域来判断某个像素点是(否)处于边界点。设点s(x，y)为图像I中的一点，N_L(s)和N_R(s)分别代表点s的左右邻域，t_A和t_B是不同的区域类型。根据Bayes准则，点s属于目标边界的概率为：

$p\left(B\right|D\left(N\left(s\right)\right))=\frac{p\left(D\left(N\left(s\right)\right)\right|B)}{p\left(D\left(N\left(s\right)\right)\right)}p\left(B\right)$

其中，D(N(s))为s邻域窗口的计算值(均值、中值等)，p(D(N(s)))与p(B)都是图像的先验概率密度函数，取为常数。此时：

p(B|D(N(s)))＝p(D(N(s))|B)

＝p([N_L(s)∈t_A∩N_R(s)∈t_B]∪[N_L(s)∈t_B∩N_R(s)∈t_A)])

＝p_A(D(N_L(s)))p_B(D(N_R(s)))+p_A(D(N_R(s)))p_B(D(N_L(s)))

在像素点的邻域选择时，分别取四个不同的方向θ，记

分别代表垂直、水平和两个对角线方向。此时得到四个方向的条件边界概率，取其最大值得到点s属于边界的概率：

$P_e\left(s\right)=\max (p\left(B\right|D\left(N\left(s\right)\right),0),p\left(B\right|D\left(N\left(s\right)\right),\frac{\mathrm{\π}}{4}),p\left(B\right|D\left(N\left(s\right)\right),\frac{3\mathrm{\π}}{4})),p\left(B\right|D\left(N\left(s\right)\right),\frac{\mathrm{\π}}{2}))$

边缘检测算子g满足：g＝exp(-p_e)。

第三步，由测地活动轮廓模型(Geodesic Active Contour，以下简称GAC模型)并结合以上的边缘检测算子，得到SAR图像基于边界信息的能量泛函。

根据GAC模型(V Casselles，R Kimmel，G Sapiro.Geodesic Active Contours[J].International Journal of ComputerVision，1997，22(1)：61-79)定义SAR图像的边界能量泛函：E_e＝∫∫_(x，y)∈Ωg(p_e)dxdy。

第四步，根据SAR图像的概率模型和极大似然准则，计算基于区域信息的能量泛函，将分割模型定义为基于区域信息和边界信息的能量泛函加权和。

SAR图像的似然函数L(I|Ω)为：

由极大似然准则，当对图像正确分割时，图像概率模型的似然函数L(I|Ω)取得最大值，等价于-log(L(I|Ω))的最小化，因此可以将基于区域信息的能量泛函定义为：

$E_r=-\log L\left(I\right|\mathrm{\Ω})=-{\∫\∫}_{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}(\log {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}+\log P_{\mathrm{\Ω}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

$-{\∫\∫}_{(x,y)\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}(\log {\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}+\log P_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

得到基于区域信息的能量泛函模型后，将图像中的区域和边界信息融合，得到基于区域信息和边界信息的能量泛函模型：

$E=\mathrm{\α}{E}_e+\mathrm{\β}{E}_r$

$=\mathrm{\α}{\∫\∫}_{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}g\left(p_e\right)\mathrm{dxdy}-\mathrm{\β}{\∫\∫}_{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}(\log {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}+\log P_{\mathrm{\Ω}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

$-\mathrm{\β}{\∫\∫}_{(x,y)\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}(\log {\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}+\log P_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

α和β分别是基于边界信息和区域信息能量泛函的加权值。上式是SAR图像分割中的能量泛函，是一种图像分割中的活动轮廓模型。

第五步，采用变分方法最小化能量泛函模型，得到分割曲线的演化方程，用水平集方法求解将曲线的演化转化为曲面的演化，得到SAR图像的分割结果。

SAR图像分割的能量泛函已知，为了得到水平集函数的速度函数，由变分原理

最小化能量泛函得到如下活动轮廓演化方程：

$F=\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}$

$=-\left[\mathrm{\α}(\mathrm{gK}-\▿g\·\frac{\▿\mathrm{\φ}}{|\▿\mathrm{\φ}|})\right]|\▿\mathrm{\φ}|-\mathrm{\β}\log \frac{{\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}{P}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}}{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}{P}_{\mathrm{\Ω}}}\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)$

其中，

是目标边界曲线的曲率，·代表两个矢量的点乘。整个迭代过程为：

φ^t+1＝φ^t+FΔt。本发明由于水平集方法是将曲线运动转化为曲面运动的过程，在图像分割中即使目标边界分裂或者合并，曲面的拓扑结构并不改变，算法稳定性较高，同时在分割时不需要噪声的预处理过程，提高了SAR图像的分割精度和适用性。

附图说明

附图1为SAR成像和信息处理系统框图。

附图2为距离多普勒(RD)成像算法流程图。

附图3为本发明基于区域信息和边界信息分割算法的流程图。

附图4以3×3大小的窗口为例，在计算边缘检测算子时选择的四个邻域方向。在计算过程中选定四个方向最大的一个值作为该像素点的边界概率，精确度更高。

附图5是针对MSTAR坦克数据的分割，图中四幅图像分别选取不同角度的T72坦克进行分割。

附图6是AIRSAR获取的Flevoland地区机载SAR图像的分割结果。

实施例

本发明的实施例采用MSTAR坦克图像数据，现在对MSTAR进行简单的介绍。

MSTAR(Moving and Stationary Target Acquisition Recognition)项目启动于1994年，它是由美国多个研究机构联合研究的一个SARATR课题。其中，美国Sandia实验室负责提供X波段0.3～1m分辨率的原始SAR数据。美国Wright实验室负责建立用于模型研究的各种地形后向散射方向图和用于分类研究的18种地面车辆获取的数据库，对每辆车都能提供72个不同视角和不同方向的样本。而MIT Lincoln实验室等负责提供特种分析、提取和分类算法。现在MSTAR数据已经成为考核SAR目标识别和分类算法的标准数据库。大部分在权威杂志和会议上发表的SAR目标识别和分类算法都是采用MSTAR数据进行测试和评估。

附图5中MSTAR坦克图像大小为128×128，图像中包含3个区域：坦克、阴影和背景，并且图像中有比较严重的相干斑噪声。由于图中含有三个区域，因此本实施例采用两个水平集函数。参考附图3本发明的分割算法流程图。设G＝(Γ₁(c)，Γ₂(c))，其中Γ_i(c)：c∈[0，1]→(x，y)∈Ω_i为区域Ω_i的封闭边界曲线，分割的目的就是通过求解G，实现对图像独立区域Ω_i的划分。令Φ_i：Ω→R为Lipchitz连续的水平集函数，定义水平集函数向量F＝(Φ₁，Φ₂)。

在区域均匀的假设下，SAR强度图像满足伽玛(Gamma)分布，因此可以设每个独立区域的Ω_i满足以下概率模型：

$P_i\left(I(x,y)\right)=\frac{L^L}{{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Γ}\left(L\right)}{\left(\frac{I(x,y)}{{\mathrm{\μ}}_i}\right)}^{L-1}{e}^{-\frac{\mathrm{LI}(x,y)}{{\mathrm{\μ}}_i}}$

其中μ_i为区域Ω_i的均值，L为SAR图像视数。因此整个SAR图像可以用独立区域Ω_i的混合概率模型表示：

$P\left(I(x,y)\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{P}_i\left(I(x,y)\right)$

ω_i为区域Ω_i的先验概率，满足ω_i＝P((x，y)∈Ω_i)，

根据SAR图像的混合概率模型，计算满足公式g＝exp(-p_e)的边缘检测算子。为了分割出坦克和阴影区域，本实施例中定义了两个边缘检测算子，根据附图4所示的邻域选择方法，分别计算各像素点位于坦克和背景区域边界的概率p_e1和各像素点位于阴影和背景区域边界的概率p_e2，得到两个边缘检测算子g₁＝exp(-p_e1)和g₂＝exp(-p_e2)。

依据GAC模型，基于边界信息的能量泛函可以定义为：

$E_e={\∫\∫}_{(x,y)\∈{\mathrm{\Ω}}_1}g\left(p_{e1}\right)\mathrm{dxdy}+{\∫\∫}_{(x,y)\∈{\mathrm{\Ω}}_2}g\left(p_{e2}\right)\mathrm{dxdy}$

E_e的最小化使封闭曲线Γ_i(c)不断向Ω_i的真实边界逼近，并在真实边界处停止运动。

基于区域信息的能量泛函定义为：

$E_r=-{\∫\∫}_{(x,y)\∈{\mathrm{\Ω}}_1}(\log {\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_1}+\log P_{{\mathrm{\Ω}}_1}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

$-{\∫\∫}_{(x,y)\∈{\mathrm{\Ω}}_2}(\log {\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_2}+\log P_{{\mathrm{\Ω}}_2}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

$-2{\∫\∫}_{(x,y)\∈{\mathrm{\Ω}}_3}(\log {\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_3}+\log P_{{\mathrm{\Ω}}_3}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

E_r关于Φ_i最小化的分割结果满足概率模型的最佳近似。

将能量泛函定义为基于区域信息和边界信息的能量泛函加权和：

E＝αE_e+βE_r

能量泛函已知，由变分原理

最小化能量泛函得到两个水平集函数的活动轮廓演化方程：

$F_1=\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_1}{\∂t}$

$=-\left[\mathrm{\α}(g_1{K}_1-\▿g_1\·\frac{\▿{\mathrm{\φ}}_1}{|\▿{\mathrm{\φ}}_1|})\right]|\▿{\mathrm{\φ}}_1|-\mathrm{\β}\log \frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}2}{P}_{\mathrm{\Ω}2}}{{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_1}{P}_{{\mathrm{\Ω}}_1}}\mathrm{\δ}\left({\mathrm{\φ}}_1\right)$

$F_2=\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_2}{\∂t}$

$=-\left[\mathrm{\α}(g_2{K}_2-\▿g_2\·\frac{\▿{\mathrm{\φ}}_2}{|\▿{\mathrm{\φ}}_2|})\right]|\▿{\mathrm{\φ}}_2|-\mathrm{\β}\log \frac{{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_3}{P}_{{\mathrm{\Ω}}_3}}{{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_2}{P}_{{\mathrm{\Ω}}_2}}\mathrm{\δ}\left({\mathrm{\φ}}_2\right)$

设E₀＝E＝αE_e+βE_r，根据活动轮廓演化方程，计算新的水平集函数F＝(Φ₁，Φ₂)，并根据新的水平集函数计算此时的能量泛函E＝αE_e+βE_r。如果E＜E₀，令E₀＝E并根据此时的水平集函数继续迭代计算；如果E＞E₀，计算结束，得到了SAR图像的分割结果。

附图5给出了四组不同方位的坦克图像分割过程，(a)为初始分割图像，由图可以看出本图像共由3个区域组成，要得到正确的分割结果需要两个水平集函数。由分割结果图(b)可以看出，使用本方法可以精确的分割出坦克和阴影区域，根据分割结果可以识别出坦克的位置和方向，为后续的图像处理提供了方便。为图(b)各个区域设定不同的均值，分别获得分割结果的均值表示图像，如图(c)、(d)、(e)所示。由附图5(f)可以看出，整个分割过程共需迭代200次左右，平均需时36S，分割速度快。

同理，本发明的SAR图像分割方法适用于多区域的图像分割。在附图6中，给出了对多区域分割的实施例。图像数据为NASA/JPL(National Aeronautics and Space Administration/Jet PropulsionLaboratory，美国国家宇航局/喷气推进实验室)提供，AIRSAR(空载地面感测雷达)获取的Flevoland地区机载SAR图像。图像尺寸为262×177，包含9个独立区域，有比较严重的相干斑噪声。附图6(g)为初始轮廓。附图6(h)为分割结果，迭代次数为650次。附图6(i)为分割结果的均值表示。由附图6可以看出，利用本方法在不需要对相干斑噪声进行预处理的情况下，实现了对多区域原始SAR图像的正确分割。以分割结果为基础，对不同区域进行了分类，分类结果如附图6(j)、(k)、(l)、(m)所示，按照各区域的概率分布将9个区域分为4类。这为SAR图像不同地物类型的分类提供了一种简单有效的方法。

根据本发明的SAR图像分割方法，对SAR图像实行精确的分割是可行的，即使含有大量噪声的SAR图像也可以正确分割。而且，在不知道图像区域数目时也可以完成自动分割，因此分割速度快，适用性强。该分割方法可以应用于所有纹理图像分割中。

Claims (6)

1.一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)根据接收机得到的SAR回波信号，通过RD成像算法得到含有斑点噪声的SAR图像，计算与SAR图像强度分布相关的混合概率模型，混合概率模型的计算公式为：

$P\left(I(x,y)\right)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}{P}_{\mathrm{\Ω}}\left(I(x,y)\right)+{\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}{P}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}\left(I(x,y)\right)$

其中，I表示待分割的SAR图像，Ω和

分别代表目标和背景区域，P_Ω代表目标区域的概率分布，

代表背景区域的概率分布，权值ω_Ω和

分别为目标和背景区域的先验概率，(x，y)为图像像素点坐标；

(2)根据SAR图像的混合概率模型，计算满足公式g＝exp(-p_e)的边缘检测算子；

(3)由测地活动轮廓模型并结合边缘检测算子，计算SAR图像基于边界信息的能量泛函；

(4)根据SAR图像的混合概率模型和极大似然准则，计算基于区域信息的能量泛函，将分割模型定义为基于区域信息和边界信息的能量泛函的加权和；

(5)采用变分方法最小化上述能量泛函，得到分割曲线的演化方程，并用水平集方法求解演化方程，将曲线的演化转换为曲面演化，获得SAR图像的分割结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于在计算边缘检测算子的过程中，根据SAR图像纹理特征的分布，确定图像中每个像素点s(x，y)的概率值，逼过判断s(x，y)的左右邻域是否属于相同类型的区域概率，计算像素点s(x，y)处于区域边界的概率p_e(x，y)，图像中像素点s(x，y)分别取四个方向水平、垂直和两个对角线方向的窗口邻域，p_e(x，y)取四个概率的最大值，由g＝exp(-p_e)得到SAR图像的边缘检测算子。

3.根据权利要求1所述的一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于基于边界信息的能量泛函模型E_e为：

E_e＝∫∫_(x，y)∈Ωg(p_e(x，y))dxdy

其中p_e(x，y)为像素点s(x，y)处于区域边界的概率，g为边缘检测算子，Ω代表目标区域。

4.根据权利要求1所述的一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于计算基于统计特征的能量泛函模型，根据SAR图像I的混合概率模型和极大似然准则，目标点属于区域Q，图像概率模型的似然函数L(I|Ω)取得最大值，等价于-log(L(I|Ω))的最小化，将基于区域信息的能量泛函定义E_r为：

E_r＝-logL(I|Ω)

其中L(I|Ω)为图像概率模型的似然函数。

5.根据权利要求1所述的一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于将分割模型E定义为基于区域信息和边界信息的能量泛函的加权和：

$E={\mathrm{\αE}}_e+{\mathrm{\βE}}_r$

$={\mathrm{\α}\∫\∫}_{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}g\left(p_e\right)\mathrm{dxdy}-{\mathrm{\β}\∫\∫}_{(x,y)\∈\mathrm{\Ω}}({\log \mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}+{\log p}_{\mathrm{\Ω}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

$-\mathrm{\β}{\∫\∫}_{(x,y)\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}(\log {\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}+\log P_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}\left(I(x,y)\right))\mathrm{dxdy}$

其中E_e和E_r分别为基于边界信息和区域信息的能量泛函，α和β分别为上述能量泛函的加权系数。

6.根据权利要求1所述的一种基于水平集的SAR图像分割方法，其特征在于采用变分原理最小化能量泛函，得到曲线的演化方程，并使用水平集方法求解：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}=-\left[\mathrm{\α}(g\left(p_e\right)K-\▿g\left(p_e\right)\·\frac{\▿\mathrm{\φ}}{|\▿\mathrm{\φ}|})\right]|\▿\mathrm{\φ}|-\mathrm{\β}\log \frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Ω}}{P}_{\mathrm{\Ω}}}{{\mathrm{\ω}}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}{P}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}}\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)$

其中，φ为水平集函数，

代表目标边界曲线的曲率，代表两个矢量的点乘，

为梯度算子，δ为Dirac函数，水平集函数整个迭代过程为：

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