CN101219048A - 想象单侧肢体运动的脑电特征的提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及脑－机接口装置中想象单侧肢体运动的脑电特征的提取方法。CSP空间滤波方法的排除相同任务成分提取不同任务成分的性质决定了它对想象单侧肢体运动脑电特征的分类更有针对性，同时CSP算法与FDA特征提取相结合，降低了输入矢量的维数，提高了分类器的推广性，在一定程度上提高分类准确率。使用Fisher判别分析(FDA)将10维输入向量v₁，v₂(v₁为4维，v₂为6维)降为两个1维输入向量f₁，f₂，再经过支持向量机的分类，不但提高了分类准确率。也避免了由于为数过高带来的维数灾难问题，有利于分类器的推广。

Description

想象单侧肢体运动的脑电特征的提取方法

技术领域

本发明涉及脑-机接口(brain-computer interface，BCI)系统中想象动作电位的提取方法。

背景技术

目前，有多种疾病可以损伤脑与外部环境进行交流和控制的神经肌肉通路，如脑瘫多发性硬化和肌萎缩性脊髓侧索硬化(Amyotrophic LateralSclerosis，ALS)等。这些疾病会使人部分或全部失去自主的肌肉控制。现代的生命支持技术可以使延长患者生命时间，但患者的生活质量低下，给家庭和社会造成的负担也十分沉重。

随着计算机技术的进步和脑功能研究的不断深入，人们开始尝试建立一种全新的、不依赖于肌肉的交流和控制通路，在脑和外部世界之间传递信息和命令，这就是所谓的脑-计算机接口(Brain-Computer Interface，BCI)，简称脑机接口。

BCI系统结构图如图1所示。

脑电采集装置首先从大脑皮层采集脑电信号，其次经过信号预处理部分进行滤波，而后经过模式识别方法将脑电信号进行分类，得到控制信号，最终利用这些控制信号通过程序实现对外设的控制。

根据临床电生理学的研究成果，不同的肢体部位运动所激活的大脑皮层区域也各不相同。单侧的肢体运动或想象运动主要激活感觉运动皮层，大脑对侧产生事件相关去同步电位(event-related desynchronization，ERD)，同侧产生事件相关同步电位(event-related synchronization，ERS)。ERD是指当某一皮层区域活跃起来时，特定频率的节律性活动表现出幅度的降低，ERS是指当某一活动在一定时刻没有使相关皮层区域明显地活跃起来，特定频率就表现出幅度升高。因此，通过分析的脑电信号模式及其分布特征，可以预测出想要发生动作的部位(例如是手部或者足部)。

图2为2003年BCI竞赛中由GRAZ大学提供的脑电数据进行经过8-30HZ滤波，并平均140次实验数据后所得的功率图。图中第3秒开始想象单侧脑电运动。在第3秒后，C3，C4两个电极信号功率明显的变化印证了ERD和ERS这一生理特征。基于此生理特征基础之上进行的。

目前，空间滤波特征(common spacial pattern，CSP)算法与支持向量机(SVM)相结合是脑机接口技术采取的特征提取和分类方法之一。但是存在支持向量机输入维数较高，分类器推广能力差的问题。

另外单纯采用线性判别分析(FDA)分类器，简单、容易实现、需要的计算量和存储量小，它假定判别函数g(x)是输入特征向量x的线性函数。然而，由于EEG的非线性，得到的特征向量很难具有线性可分性，因此线性分类法在分类自发EEG信号时，必然会导致识别率低。

发明内容

将数据按照不同的频率分成多个子频带，对每个不同的子频带再进行CSP算法转换并结合线性判别分析(FDA)进行特征提取。分类器采用支持向量机。

CSP方法结合FDA线性变换能够降低输入特征矢量的维数，避免了维数灾难问题，有利于推广分类器的使用，在脑机接口技术领域的中提高识别准确率，显示了一定的优势。

本发明采取的技术方案是：电极的放置遵循国际10-20系统，总共电极数为16个，采样频率为128Hz。电极帽采集脑电信号EEG，脑电信号经过脑电放大器放大及A/D转换，由USB口输入计算机中，并以信号电压幅值形式在存储器中存储。利用计算机实现CSP算法，FDA线性变换结合支持向量机对脑电信号进行分类

想象试验次数为m(m∈(180，240))次，任意取其中

次(左右手试验次数各为

)为训练数集，剩下的

次(左右手试验次数随机)为测试数集。本申请的特征包括：

(1)脑电信号的时域频域滤波

1)设计48阶、12采样点的FIR滤波器对存储器中脑电信号数据进行0-3Hz低频带滤波，设置想象动作发生前W(W∈(300，600))ms时间窗，对训练集

次经过频域、时域滤波后的数据取均值设为data1，为CSP左右手动作空间滤波器的构造做准备。

2)设计48阶、512采样点的FIR滤波器对存储器中的m次试验的脑电信号数据分别进行8-30Hz带通滤波，对每次试验数据都设置想象动作发生后1-2s时间段的时间窗，对每次试验的脑电信号的时间窗内的数据段的所有数据分别取平方值，并设置200ms滑动时间窗，即每次移动一个采样点，得到m次试验的参数时程变化；在m次时程变化后的数据中取训练集

部分，经过频域、时域滤波后，取该次实验数据算术均值设为data2；

(2)对特征矢量v₁，v₂降维

利用共同空间滤波(CSP)方法对data1数据段提取4维特征矢量v₁，对data2数据段提取6维特征矢量v₂。其中v₁＝[v_1a ¹ v_1b ¹ v_1a ² v_1b ²]^Tv₂＝[v_2a ¹ v_2b ¹ v_2a ² v_2b ² v_2a ³ v_2b ³]^T，v₁，v₂由CSP空间滤波器滤波后求得。

利用Fisher判别分析(Fisher discriminant analysis，FDA)对特征矢量v₁，v₂分别降维至1维矢量v₁，v₂：

1)对特征f₁的Fisher准则为：

$G\left(w_1\right)=\frac{{w_1}^T{s}_{b1}{w}_1}{{w_1}^T{s}_{w1}{w}_1}$

w₁代表了投影方向，s_b1为左右手动作类间离散度矩阵，s_w1为总类内离散度。当G(w₁)取极大值时的w₁ ^*，就是将要采用的4维的v₁空间到一维f₁空间的方向。

设m₂₂为[v_1a ¹ v_1a ²]^T所有列向量e_i，i∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_1a ¹ v_1a ²]^T代表了左手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

设m₁₂为[v_1b ¹ v_1b ²]^T所有列向量e_j，j∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_1b ¹ v_1b ²]^T代表了右手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

取 $s_{w1}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_i-m_{11}){(e_i-m_{11})}^T+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_j-m_{12}){(e_j-m_{12})}^T$ 则

由w₁ ^*＝s_w1 ^-1(m₁₁-m₁₂)即可求得w₁ ^*的取值。

由f₁＝w₁ ^*Tv₁即可把4维样本v₁投影到1维空间f₁。

2)对特征f₂的Fisher准则为：

$G\left(w_2\right)=\frac{{w_2}^T{s}_{b2}{w}_2}{{w_2}^T{s}_{w2}{w}_2},$

w₂代表了投影方向，s_b2为左右手动作类间离散度矩阵，s_w2为总类内离散度。

当G(w₂)取极大值时的w₂ ^*，也就是将要采用的6维v₂空间到一维f₂空间的方向。

设m₂₁为[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T所有列向量e_i，i∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T代表了左手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

m₂₂为[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T所有列向量e_j，j∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T代表了右手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

取 $s_{w2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_i-m_{21}){(e_i-m_{21})}^T+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_j-m_{22}){(e_j-m_{22})}^T$ 则

由w^* ₂＝s_w2 ^-1(m₂₁-m₂₂)即可求得w^* ₂的取值，即6维空间v₂到1维空间f₂的最好方向。

由f₂＝w₂ ^*Tv₂即可把6维样本v₂投影到1维空间f₂。

在此，得到了降维后的特征矢量f₁，f₂，直接输入到SVM支持向量机进行分类。

使用Fisher判别分析将高维输入向量v₁，v₂(v₁为4维，v₂为6维)降为两个1维输入向量f₁，f₂，再经过支持向量机的分类，不但提高了分类准确率。也避免了由于维数过高带来的的维数灾难问题，有利于分类器的推广。

附图说明

图1 BCI系统基本结构示意图。

图2 2003年BCI竞赛中由GRAZ大学提供的脑电数据进行经过8-30HZ滤波，并平均140次实验数据后所得的功率图。第3秒开始想象左手运动的C3，C4脑电信号的功率变化图。

图3 2003年BCI竞赛中由6RAZ大学提供的脑电数据进行经过8-30HZ滤波，并平均140次实验数据后所得的功率图。第3秒开始想象右手运动的C3、4脑电信号的功率变化图。

在第三秒后，C3，C4两个电极信号的变化印证了ERD和ERS生理特征，本实验装置就是基于此生理特征基础之上进行的。

图4 EEG数据分类算法流程图

图5 CSP算法流程图

图6 脑电信号特征矢量降维流程图

具体实施方式

利用16通道电极帽采集脑电信号(EEG)，脑电信号经过脑电放大器放大及A/D转换，由USB口输入计算机中，并以信号电压幅值形式在存储器中存储。进行左右手想象试验次数为210次，取其中140次(左右手试验次数各为70)为训练数集。

1)设计48阶，512采样点的FIR滤波器对数据进行0-3Hz低频带滤波，设置想象动作发生前500ms时间窗，对140次经过频域、时域滤波后的数据取算术均值设为data2，为CSP左右手动作空间滤波器的构造做准备。

2)设计48阶，512采样点的FIR滤波器对数据进行8-30Hz带通滤波，设置想象动作发生后1-2s时间窗。对该数据段的数据取平方值，并设置200ms滑动时间窗，为后期支持向量机的分类做准备。对训练集140次经过频域、时域滤波后的数据取算术均值设为data2。

3)利用CSP方法对ERD/ERS明显的data2数据段进行预处理。

无论想象左侧还是右侧肢体的运动，数据采集系统除了采集到与特定任务相关的活动外还包括特定无关的活动，如背景噪声。所以需要一种合适的方法来提取在特定目标刺激下与任务相关的脑电分量。CSP共同空间滤波方法就是处理这类问题的有效方法。

CSP是一种在多任务条件下，从多通道EEG数据集中提取某一特定任务信号成分的方法，这种方法基于两个实对称矩阵(协方差矩阵)的同时对角化，并应用主成分分析(PCA)和空域子空间分析的方法来排除两种任务的共同部分，提取不同部分。它通过多任务共空间因子来分解信号矩阵和协方差矩阵，然后根据数据集中的共空域子空间将空间因子及其对应的空间过滤器分成为两个部分，即任务不同的部分和共同的部分。然后，再通过空间因子和相应的空间滤波器将特定信号成分提取出来。

CSP算法的目的就是设计与某个特定任务相关的空间滤波器，应用CSP算法于ERD生理现象较明显的data2数据段，左、右手指动作识别可按下列具体步骤完成：

第一步：将物理信号转变为数学信号

选用的脑电通道数为16，data2中数据点长度设为l.则建立左手指的动作信号矩阵为XL，右手指动作信号矩阵为XR均为16×l矩阵，将脑电的物理电压信号以数学矩阵形式给出：

RL＝[XL]×[XL]^T

RR＝[XR]×[XR]^T

分别求出左、右手指动作的协方差矩阵RL和RR。

对协方差矩阵的和R进行特征值分解：

R＝[RL]+[RR]＝U₀∑U₀ ^T

其中，∑为特征值对角阵，U₀为对应的特征向量矩阵。

第二步：应用主成分分析(PCA)，求出白化值矩阵P

$P={\mathrm{\Σ}}^{-\frac{1}{2}}{U_0}^T$

为之后的左右手动作空间滤波器的构造做准备。

然后，将RL和RR转换为如下形式：

YL＝P×RR×P^T＝U∑_LU^T

YR＝P×RR×P^T＝U∑_RU^T

其中，∑_L和∑_R为特征值对角阵，U为对应的特征向量矩阵，可以证明YL和YR具有相同的特征向量矩阵U，而且特征值对角阵∑_L和∑_R满足下式：

∑_L+∑_R＝I

I为单位矩阵。

理论上讲，∑_L和∑_R中的对角元素只有0和1构成，而且∑_L中的1、0分别对应∑_R中的0、1，实际上，由于脑电放大器的电极噪声及许多人为因素的影响，∑_L和∑_R中的对角元素的值是达不到1的，而是由介于0和1之间的许多值构成的。

第三步：构造左右手动作空间滤波器

应用主成分分析可知，∑_L和∑_R中最大的一个或几个特征值所对应的特征向量就表征了左、右手指想象动作这两种任务成分。现定义∑_L和∑_R中最大的三个特征值所对应的特征向量构成的矩阵分别为U_L和U_R。在此，U_L和U_R大小为16x3，16为脑电通道数量。：

F1L＝U1L^T×P    F1R＝U1R^T×P

其中，F1L对应左手指动作电位，F1R对应右手指动作电位。至此，想象左右手运动的空间滤波器的构造完成。经过空间滤波器滤波之后，信号中左右手运动任务成分更加突出，为之后的支持向量机的分类创造一个好的基础。

将新的手指想象的信号矩阵X经过相应的滤波器F1L，F1R后，

S1L＝F1L×X    S1R＝F1R×X

之后，特征矢量定义为v_1a，v_1b

$v_{1a}=\log \left(\frac{\mathrm{VAR}\left(S1L\right)}{\mathrm{VAR}\left(S1L\right)+\mathrm{VAR}\left(S1R\right)}\right)$ $v_{1b}=\log \left(\frac{\mathrm{VAR}\left(S1R\right)}{\mathrm{VAR}\left(S1L\right)+\mathrm{VAR}\left(S1R\right)}\right)$

v_1a，v_1b在对数运算之前的取值位于0和1之间。理论上v_1a对于想象右手动作的数据等于0，而对于想象左手运动的数据等于1。对v_1b结果正好相反。正是这个归一化减轻了来自不同时间脑信号的幅度或功率差异对分类识别率的影响。这个对数运算是为了使v_1a，v_1b中的元素分布更趋正态。

当提取特征f₂时，我们选择三个空域模式。因此，一个6维的特征矢量v₂＝[v_2a ¹ v_2b ¹ v_2a ² v_2b ² v_2a ³ v_2b ³]^T被构造，其中上标1、2和3表示所选空域模式的索引号。T表示转置运算符。

接下来我们利用线性判别分析(FDA)将由v₁，v₂两个特征矢量降维至两个1维的特征向量f₁，f₂。

对特征f₂的Fisher准则为：

$G\left(w_2\right)=\frac{{w_2}^T{s}_{b2}{w}_2}{{w_2}^T{s}_{w2}{w}_2},$

w₂代表了投影方向，S_b2为左右手动作类间离散度矩阵，s_w2为总类内离散度。

当G(w₂)取极大值时的w₂ ^*，也就是将要采用的6维v₂空间到一维f₂空间的方向。

设m₂₁₁为[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T所有列向量e_i，i∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T代表了左手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

m₂₂为[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T所有列向量e_j，j∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T代表了右手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

取 $s_{w2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_i-m_{21}){(e_i-m_{21})}^T+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_j-m_{22}){(e_j-m_{22})}^T$ 则

由w^* ₂＝s_w2 ^-1(m₂₁-m₂₂)即可求得w^* ₂的取值，即6维空间v₂到1维空间f₂的最好方向。

由f₂＝w₂ ^*Tv₂即可把6维样本v₂投影到1维空间f₂。

对于v₁采取的降维方法与v₁基本上是一致的，直接对data1数据段建立CSP空间滤波器，滤波后经Fisher变换把4维向量v₁映射到一维向量f₁。

在获得了两个一维特征f₁、f₂后，将它们连接成一个两维的特征矢量，最后输入支持向量机(SVM)分类器进行分类。

在此选择径向基函数作为支持向量机(SVM)的核函数：

$k(x_i,x_j)=\exp (-\mathrm{\γ}{\left|\right|x_i-x_j\left|\right|}^2)$ γ＞0

x_i，x_j分别表示第i，j个样本模式，γ为核参数。

理论上说，只要满足mercer条件的函数都可以作为核函数，但在我们选择径向基核函数的主要依据有以下几点：

1)非线性是脑电信号的一大特点，因此在从低维空间向高维空间变换时我们要采用非线性变换。另外，线性S函数是径向基函数的一种特例。

2)与多项式核函数相比，径向基函数具有更少的参数，即模型复杂度更低，这有利于训练时的参数确定。

3)在目前支持向量机理论中，S函数还不是很成熟，而且S函数跟线性核函数一样，也可以看作是径向基函数的一个特例。

因此综合以上几方面的考虑，最终选定径向基函数作为所用支持向量机的核函数。

另外对于核参数γ和误差惩罚因子C的选择也非常重要。γ的取值影响着空间变换后的数据分布。而作为惩罚因子C则决定了支持向量机的收敛速度及推广能力。因此对γ和C的错误选择就决定了测试样本并不能被较好的识别，即有可能出现过学习问题。

我们采用交叉验证的方法。交叉验证法，具体到本文中就是将140份经CSP空间滤波器滤波和FDA降维处理后的脑电信号训练数据等分为6份，先用其中的5份来训练支持向量机，然后将剩下的一份作为测试数据进行识别，从而得到一个识别率。对这6份再重新选择一份作为测试数据，另5份作为训练数据，重复上面的过程，从而又得到一个识别率。一次循环下来作为核参数γ和惩罚因子C的一次验证，然后在γ和C的允许空间内，改变γ和C的值，再重复以上步骤，直到γ和C全部验证完毕，从而确定出识别率最高的γ和C的值作为最终的训练数据值，交叉验证方法可以有效地防止数据的过训练。

在以上的交叉验证过程中，对γ和C的改变我们采用网格搜索法。所谓网格搜索法就是分别以γ和C的取值范围为外围网格的边，在取值范围之内不同γ和C取值交叉成不同的网格，对所有的这些网格进行搜索，以找到需要γ和C取值。在使用网格搜索法时，如果从一开始就不间断地对每个值进行搜索，无疑会使计算量巨大化，因此，本文采用粗网格和细网格结合使用的方法进行搜索，以降低计算量，加快搜索速度。

在粗网格搜索时，γ和C选值的变化一般采用指数级变化，以2ⁿ次方的步长进行变化，在此，C的变化取C＝2^-5，2^-3，...2¹⁵，而γ＝2^-15，2^-13，...2³的变化范围。两者变化时，n的步长取2.当粗网格搜索结束后，C和γ最优值被确定在(2¹¹，2³)附近。因此对该区域采用细网格搜索方案，此时C的取值变为C＝2¹⁰，2^10.5，..2¹²，γ的取值变为γ＝2^1.5，2²，...2³，n的步长取值为0.5，对搜索到的值进行细网格搜索，直到交叉验证率不再增加为止。确定γ和C的取值后，就可以对支持向量机分类器进行训练了，此时将整个训练数据集以及前边搜索出来γ和C值都用来训练支持向量机，最后再用训练好的支持向量机来预测测试数据集，从而确定该支持向量机分类器的识别率。

CSP空间滤波方法的排除相同任务成分提取不同任务成分的性质决定了它对想象单侧肢体运动脑电特征的分类更有针对性，同时CSP算法与FDA特征提取相结合，降低了输入矢量的维数，提高了分类器的推广性，在一定程度上提高分类准确率。采用支持向量机分类器，避免了神经网络易出现的训练时间过长和过学习问题，为提高脑机接口技术的实时性创造了前提条件，从而使脑机接口技术早日走出实验室，在日常生活中服务于人类成为可能。

Claims (1)

1.想象单侧肢体运动的脑电信号的提取方法，想象左右手运动试验次数为m次，任意取其中 

次为训练数集，其中左右手试验次数各为

次，剩下的次为测试数集；采集到的脑电信号再经过脑电放大器放大及A/D转换，由USB口输入计算机中，并以信号电压幅值形式在存储器中存储；其特征在于，所述的m的取值为180～240；该方法是按以下步骤实现的：

(1)脑电信号的时域频域滤波

1)设计48阶、12采样点的FIR滤波器对存储器中脑电信号数据进行0-3Hz低频带滤波，设置想象动作发生前W(W∈(300，600))ms时间窗，对训练集

次经过频域、时域滤波后的数据取均值设为data1，为CSP左右手动作空间滤波器的构造做准备。

2)设计48阶、512采样点的FIR滤波器对存储器中的m次试验的脑电信号数据分别进行8-30Hz带通滤波，对每次试验数据都设置想象动作发生后1-2s时间段的时间窗，对每次试验的脑电信号的时间窗内的数据段的所有数据分别取平方值，并设置200ms滑动时间窗，即每次移动一个采样点，得到m次试验的参数时程变化；在m次时程变化后的数据中取训练集部分(

次)，经过频域、时域滤波后，取该

次实验数据算术均值设为data2；

(2)对特征矢量v₁、v₂降维

利用共同空间滤波(CSP)方法对data1数据段提取4维特征矢量v₁，对data2数据段提取6维特征矢量v₂。其中v₁＝[v_1a ¹v_1b ¹v_1a ²v_1b ²]^Tv₂＝[v_2a ¹v_2b ²v_2a ²v_2b ²v_2a ³v_2b ³]^T，v₁，v₂由CSP空间滤波器滤波后求得。

利用Fisher判别分析(Fisher discriminant analysis，FDA)对特征矢量v₁，v₂分别降维至1维矢量f₁，f₂：

1)对特征f₁的Fisher准则为：

$G\left(w_1\right)=\frac{{w_1}^T{s}_{b1}{w}_1}{{w_1}^T{s}_{w1}{w}_1}$

w₁代表了投影方向，s_b1为左右手动作类间离散度矩阵，s_w1为总类内离散度。当G(w₁)取极大值时的w₁ ^*，就是将要采用的4维的v₁空间到一维f₁空间的方向。

设m₂₂为[v_1a ¹ v_1a ²]^T所有列向量e_i，i∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_1a ¹ v_1a ²]^T代表了左手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

设m₁₂为[v_1b ¹ v_1b ²]^T所有列向量e_j，j∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_1b ¹ v_1b ²]^T代表了右手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

取 $s_{w1}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_i-m_{11}){(e_i-m_{11})}^T+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_j-m_{12}){(e_j-m_{12})}^T$ 则

由w₁ ^*＝s_w1 ^-1(m₁₁-m₁₂)即可求得w₁ ^*的取值。

由f₁＝w₁ ^*Tv₁即可把4维样本v₁投影到1维空间f₁。

2)对特征f₂的Fisher准则为：

$G\left(w_2\right)=\frac{{w_2}^T{s}_{b2}{w}_2}{{w_2}^T{s}_{w2}{w}_2},$

w₂代表了投影方向，s_b2为左右手动作类间离散度矩阵，s_w2为总类内离散度。

当G(w₂)取极大值时的w₂ ^*，也就是将要采用的6维v₂空间到一维f₂空间的方向。

设m₂₁为[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T所有列向量e_i，i∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2a ¹ v_2a ² v_2a ³]^T代表了左手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

m₂₂为[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T所有列向量e_j，j∈{1...N}的均值向量，N为所选择的连接大脑的脑电通道的数目，[v_2b ¹ v_2b ² v_2b ³]^T代表了右手模型的特征向量，由CSP算法求解得出。

取 $s_{w2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_i-m_{21}){(e_i-m_{21})}^T+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(e_j-m_{22}){(e_j-m_{22})}^T$ 则

由w_* ²＝s_w2 ^-1(m₂₁-m₂₂)即可求得w^* ₂的取值，即6维空间v₂到1维空间f₂的最好方向。

由f₂＝w₂ ^*Tv₂即可把6维样本v₂投影到1维空间f₂。

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