CN101158623A - 获取系统特征函数和信号特征值的方法 - Google Patents

Abstract

一种仅有响应输出情况下获取系统特征函数和信号特征值的方法，属动态测试领域中参数识别的方法。该方法是采用各响应点的互谱密度函数代替频响函数进行时频滤波和频域参数识别的方法，包括步骤(1)对不同测量输出点信号进行互谱密度函数进行分析的计算；(2)根据互谱计算结果在时频域进行非正交小波分析计算；(3)反傅立叶变换求时频分析系数；(4)通过加矩形窗进行时频滤波；(5)求滤波后的输出信号的互谱作为识别用的系统函数；(6)进行曲线拟合求系统参数；本方法能提高系统参数的识别精度，能准确识别模态参数，简单方便，适用于在运行状态下的大型复杂机械设备、高层建筑、桥梁等大型土木工程设施的动态分析、性能验证和故障诊断。

Description

获取系统特征函数和信号特征值的方法

技术领域

本发明涉及的一种基于互谱函数和时频滤波在仅有响应输出情况下获取信号特征的方法，属于动态测试和参数识别领域。

背景技术

仅有输出信号的特征提取问题是运行情况下机械系统、动态测试和故障诊断技术的关键技术。利用环境激励作为试验的振动激励源进行模态识别最大优点是：(1)省去了研制以及安装专用激励装置的费用和时间；(2)可同时激励所有操纵面，同时激出对称和反对称模态，省去需要多次进行的试验；(3)大大减少试验次数和周期。

运行状态下的大型复杂机械设备、高层建筑、桥梁等大型土木工程设施的动态分析、设计性能验证和故障诊断中不便使用激励设备，与其他激励(如扫频和脉冲激励)相比环境激励强度较弱、信噪比低、使得系统参数识别的分散度大大增加，系统的特征提取十分困难受噪声影响很大。需要采用新的信号处理和参数识别理论以获得系统特征提取的精度等。综上所述，研究环境激励下仅有输出信号的信号特征提取方法有着迫切性需求和重大的应用价值。

发明内容

本方法的目的在于提供一种新的时频滤波技术和频域识别技术相结合的特征参数识别算法，针对环境激励下仅有输出信号强度较弱、信噪比低、使得系统参数识别的分散度大大增加的情况，提高系统参数的识别精度。发明其特征在于：解决由于环境激励情况下输入力不可测，无法得到频响函数(FRF)，因而无法采用传统EMA频域识别方法。首先考虑到互谱密度函数与频响函数有相似的表达式。提出互谱密度函数-时频空间域分解方法。通过随机响应数据估计功率互谱密度函数(CSD)，接着，由CSD代替频响函数进行基于非正交小波的时频滤波，然后采用正交多项式方法估算出结构模态频率和阻尼。这种方法简单方便，结果证明不仅可以准确识别模态参数，还可以实现自动识别，因而特别适用于在线监测。

由于环境激励情况下输入力不可测，无法得到进行参数识别的频响函数(FRF)，因而无法采用传统EMA频域识别方法。在包括桥梁在内的环境激励的复杂结构运行模态分析应用中，存在噪声模态的干扰，以及相应的结构模态区分和精确识别，James等人于1995年曾提出NexT方法，即在白噪声环境激励下结构两点之间响应的互相关函数和脉冲激励下的响应函数有相似的表达式。后来发展了基于脉冲响应函数的Morlet小波参数识别算法，但是所有时域模态识别方法都对测试噪声、信号处理泄漏误差、模态截断、非线性等因素十分敏感。为了克服时域识别的缺点，希望采用频域参数的识别方法来克服噪声的影响，因此提出互谱功率密度函数-时频空间域分解方法。具体步骤是：

(1).对不同测量点输出信号进行互功率谱密度分析的计算

根据信号处理理论，设任意两个随机输出信号分别为x(n)，y(n)，T＝N·Δt，T为采样周期，N为样本点数，是自然数，Δt为采样间隔。其离散傅立叶变换X(ω)、Y(ω)，则其互功率谱密度定义为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{T}E[X\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)]---\left(1\right)$

建立在傅立叶变化基础上的互功率谱密度估计，其基本过程为：首先计算样本信号序列x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，然后取x(n)的变换结果与y(n)的变换结果的共轭相乘，并除以样本序列的个数N，作为真实功率谱的一个估计，可表示为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{\mathrm{NT}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{X}_i\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y_i^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(2\right)$

式中Y*(ω)表示Y(ω)的共轭，X(ω)、Y(ω)分别为x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，即

$X\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ $Y\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ n＝0，1，2，……，N-1

采用统计平均方法减少随机误差，将长度为N的数据分为若干段，分别求出每一段的互功率谱，然后加以平均，同时采用选取的每段数据有部分重叠。通过对分段数目、分段大小及数据重叠数目进行权衡，增加平均次数达到最佳优化。功率谱密度的单位是被测信号物理单位的平方除以频率(Hz)。

(2).根据步骤(1)中的互功率谱密度计算结果在时频域进行非正交小波分析计算；

对于任意的函数R(t)∈L²(R)的连续小波函数定义为：

W(a，b)＝＜R

                     (3)

在这里

是小波的基函数。b是时间变量。a是尺度参数。该变换限于Heisenberg不确定性原理所限定的分辨率以内。Heisenberg不确定性原理为：Δ_ω·Δ_t≥1/2。这里Δ_ω、Δ_t表示频窗和时窗的各一半宽度，单位分别为弧度/秒和秒。

基于随机激励的下的输出信号为工程背景。选择Morlet小波基函数

采用无变化尺度参数的Morlet小波(a＝常数)作为基函数，来进行时频分析。采样信号卷积小波滤波器得到小波系数。

在构造频域滤波器时，采用形式为Morlet小波，其中f分别为f₁，f₂…f_n变化的n个小波基函数。f₁-f_n为分析频带，它们之间的间隔为Δ_f。在频域，尺度系数a＝1，中心频率为f的Morlet小波滤波器的相应小波系数是：

W(ω，f)＝S_xy(ω)·Φ_f(ω)    (4)

这里Φ_f(ω)≡φ(ω，f)是Morlet小波的傅立叶变换。等式(4)是复数的小波基函数，在频域滤波会带来相位失真。信号重构相应也会相位失真。为了避免这个问题，仅用Morlet小波的实部构造滤波器，使得重构的信号与原始信号同相位。Morlet小波实部的傅立叶变换为：

${\mathrm{\Φ}}_f\left(\mathrm{\ω}\right)=e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}-f)}^2}{2}}+e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}+f)}^2}{2}}---\left(5\right)$

(3).反傅立叶变换求时频分析系数；

对应的时域系数

W(t，f)＝IFFT(S_xy(ω)·Φ_f(ω))    (6)

S_xy(ω)、Φ_f(ω)分别为信号互谱密度函数和小波实部的傅立叶变换。实的小波滤波器组对于每一个中心频率都提供了一个有限脉冲响应(FIR)线性相位滤波器。使得原始信号和重构信号的相位一致。(6)式用来求得时域信号，以便进行时频空间滤波。

设n个小波基函数用来进行小波的重构，其中n为自然数。等式(5)用来构造FIR滤波器组。对于给定的频率ω₀，小波系数通过滤波器组乘原始信号的互谱密度函数可得到：

$\left[\begin{array}{c}W({\mathrm{\ω}}_0,f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W({\mathrm{\ω}}_0,f_n)\end{array}\right]=S_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

(4).通过加矩形窗进行时频滤波；

对步骤(3)中的公式(6)中的小波系数加矩形窗滤波，通过加矩形窗滤波，将矩形窗外部的噪声信号滤掉，这样得到的是良好的系统特征函数，互功率谱密度函数。

(5).求滤波后的输出信号的互功率谱密度作为识别用的系统函数；

从步骤(3)中的等式(7)用广义逆求得滤波后的互谱S_xy(ω₀)：

${\hat{S}}_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{c}W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_n)\end{array}\right]---\left(8\right)$

在每一个频率ω₀处求得_xy(ω₀)该方法用来滤除输入信号和响应信号的失真和干扰，提取想要的信号特征。

(6).进行曲线拟合求系统参数；

在时频空间滤波去除了噪声和非平稳的影响后，得到较好的系统功率谱密度函数，该函数代替平稳信号输出情况下随机激励的频响函数，这样就能采用传统的频域识别算法进行系统特征参数的识别。利用对噪声不敏感的有理分式正交多项式识别方法(RFOP)对重构互谱密度函数进行识别，求得模态频率和阻尼比。其基本做法是将结构的频率响应函数展开为有理分式形式，将总方差定义为目标函数。由于误差函数为有理分式分子分母正交多项式系数的线性函数，因而这些参数的识别问题就转化为使目标函数极小的线性优化问题。

然后根据正交多项式与幂多项式的迭代关系式求出对应幂多项式的分子、分母系数。RFOP算法中选择的拟合基为FORSYTHE正交多项式。最后求解幂多项式的根得到系统的极点，由此可计算出有关系统的特征参数的固有频率和阻尼比。

附图说明

图1是本发明的实施流程图

具体实施方式：

为了克服时域识别方法对测试噪声、信号处理泄漏误差、模态截断、非线性等因素十分敏感的缺点，采用了时频滤波和频域参数的识别方法来克服噪声的影响，因此提出互谱功率密度函数-时频空间域分解方法。该方法的特征之一是时频空间域分解可以有效去除环境激励下系统输出信号中的噪声和非平稳信号，求得系统良好输出特征函数：互功率谱密度函数；该方法的特征之二是采用平稳状态下的互功率谱密度函数代替系统频响函数，因为他们的计算公式在平稳状态下具有相似性；该方法的特征之三是采用对噪声不敏感的有理分式正交多项式识别方法对重构互谱密度函数进行识别，求得模态频率和阻尼比。是一个稳健的频域识别方法适于在线分析。有效解决了仅有输出信号时系统参数的特征识别问题。

图1显示实现本发明方法各步骤的流程图。

步骤1)对不同测量点输出信号进行互谱功率密度分析的计算

根据信号处理理论，设任意两个随机输出信号分别为x(n)，y(n)，T＝N·Δt，T为采样周期，N为样本点数，是自然数，Δt为采样间隔。其离散傅立叶变换X(ω)、Y(ω)，则其互功率谱密度可定义为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{T}E[X\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)]---\left(1\right)$

建立在傅立叶变化基础上的互功率谱密度估计，其基本过程为：首先计算样本信号序列x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，然后取x(n)的变换结果与y(n)的变换结果的共轭相乘，并除以样本序列的个数N，作为真实功率谱的一个估计，可表示为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{\mathrm{NT}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{X}_i\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y_i^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(2\right)$

式中Y*(ω)表示Y(ω)的共轭，X(ω)、Y(ω)分别为x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，即

$X\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ $Y\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ n＝0，1，2，……，N-1

采用统计平均方法减少随机误差，将长度为N的数据分为若干段，分别求出每一段的互功率谱，然后加以平均，同时可以采用选取的每段数据有部分重叠。通过对分段数目、分段大小及数据重叠数目进行权衡，增加平均次数达到最佳优化。功率谱密度的单位是被测信号物理单位的平方除以频率。

步骤2)根据互谱计算结果在时频域进行非正交小波分析计算；

对于任意的函数R(t)∈L²(R)的连续小波函数定义为：

W(a，b)＝＜R

                     (3)

在这里

是小波的基函数。b是时间变量。a是尺度参数。该变换限于Heisenberg不确定性原理所限定的分辨率以内。Heisenberg不确定性原理为：Δ_ω·Δ_t≥1/2。这里Δ_ω、Δ_t表示频窗和时窗的各一半宽度，单位分别为弧度/秒和秒。

本发明基于随机激励的下的输出信号为工程背景。选择Morlet小波基函数采用无变化尺度参数的Morlet小波(a＝常数)作为基函数，来进行时频分析。采样信号卷积小波滤波器得到小波系数。

在构造频域滤波器时，采用形式为Morlet小波，但是其中f分别为f₁，f₂…f_n变化的n个小波基函数。f₁-f_n为分析频带，它们之间的间隔为Δ_f。在频域，尺度系数a＝1，中心频率为f的Morlet小波滤波器的相应小波系数是：

W(ω，f)＝S_xy(ω)·φ_f(ω)    (4)

这里Φ_f(ω)≡Φ(ω，f)是Morlet小波的傅立叶变换。等式(4)是复数的小波基函数，在频域滤波会带来相位失真。信号重构相应也会相位失真。为了避免这个问题，仅用Morlet小波的实部构造滤波器，使得重构的信号与原始信号同相位。Morlet小波实部的傅立叶变换为：

${\mathrm{\Φ}}_f\left(\mathrm{\ω}\right)=e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}-f)}^2}{2}}+e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}+f)}^2}{2}}---\left(5\right)$

步骤3)反傅立叶变换求时频分析系数；

对应的时域系数

W(t，f)＝IFFT(S_xy(ω)·φ_f(ω))    (6)

S_xy(ω)、φ_f(ω)分别为信号互谱密度函数和小波实部的傅立叶变换。实的小波滤波器组对于每一个中心频率都提供了一个有限脉冲响应(FIR)线性相位滤波器。使得原始信号和重构信号的相位一致。(6)式用来求得时域信号，以便进行时频空间滤波。

假设n个小波基函数用来进行小波的重构。等式(5)用来构造FIR滤波器组。对于给定的频率ω₀，小波系数通过滤波器组乘原始信号的互谱密度函数可得到：

$\left[\begin{array}{c}W({\mathrm{\ω}}_0,f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W({\mathrm{\ω}}_0,f_n)\end{array}\right]=S_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

n为自然数；

步骤4)通过加矩形窗进行时频滤波；

对步骤(3)中的公式(6)中的小波系数加矩形窗滤波，通过加矩形窗滤波，将矩形窗外部的噪声信号滤掉，这样得到的是良好的系统特征函数，互功率谱密度函数；

步骤5)求滤波后的输出信号的互功率谱密度作为识别用的系统函数；

对步骤(3)中的公式(7)用广义逆求得滤波后的互谱S_xy(ω₀)：

${\hat{S}}_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{c}W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_n)\end{array}\right]---\left(8\right)$

在每一个频率ω₀处求得_xy(ω₀)该方法可用来滤除输入信号和响应信号的

失真和干扰，并且提取想要的信号特征。步骤6)进行曲线拟合求系统参数；

在时频空间滤波去除了噪声和非平稳的影响后，得到较好的系统功率谱密度函数，该函数代替平稳信号输出情况下随机激励的频响函数，这样就能采用传统的频域识别算法进行系统特征参数的识别。利用对噪声不敏感的有理分式正交多项式识别方法(RFOP)对重构互谱密度函数进行识别，求得模态频率和阻尼比。其基本做法是将结构的频率响应函数展开为有理分式形式，将总方差定义为目标函数。由于误差函数为有理分式分子分母正交多项式系数的线性函数，因而这些参数的识别问题就转化为使目标函数极小的线性优化问题。

然后根据正交多项式与幂多项式的迭代关系式求出对应幂多项式的分子、分母系数。RFOP算法中选择的拟合基为FORSYTHE正交多项式。最后求解幂多项式的根得到系统的极点，由此可计算出有关系统的特征参数的固有频率和阻尼比。

Claims (1)

1.一种仅有响应输出情况下获取系统特征函数和信号特征值的方法，其特征在于，采用互功率谱密度函数和时频空间域分解方法，具体步骤是：

(1).对不同测量点输出信号进行互功率谱密度分析的计算

根据信号处理理论，设任意两个随机输出信号分别为x(n)，y(n)，T＝N·Δt，T为采样周期，N为样本点数，是自然数，Δt为采样间隔，其离散傅立叶变换X(ω)、Y(ω)，则其互功率谱密度定义为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{T}E[X\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)]---\left(1\right)$

建立在傅立叶变化基础上的互功率谱密度估计，其基本过程为：首先计算样本信号序列x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，然后取x(n)的变换结果与y(n)的变换结果的共轭相乘，并除以样本序列的个数N，作为真实功率谱的一个估计，表示为

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2}{\mathrm{NT}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{X}_i\left(\mathrm{\ω}\right)\·Y_i^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)---\left(2\right)$

式中Y*(ω)表示Y(ω)的共轭，X(ω)、Y(ω)分别为x(n)，y(n)的离散傅立叶变换，即

$X\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ $Y\left(\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πn\ω}/N},$ n＝0，1，2，……，N-1

采用统计平均方法减少随机误差，将长度为N的数据分为若干段，分别求出每一段的互功率谱，然后加以平均；同时采用选取的每段数据有部分重叠，通过对分段数目、分段大小及数据重叠数目进行权衡，增加平均次数达到最佳优化，功率谱密度的单位是被测信号物理单位的平方除以频率；

(2).根据步骤(1)的互功率谱密度计算结果在时频域进行非正交小波分析计算；

对于任意的函数R(t)∈L²(R)的连续小波函数定义为：

W(a，b)＝＜R

                       (3)

在这里

是小波的基函数，b是时间变量，a是尺度参数，该变换限于Heisenberg不确定性原理所限定的分辨率以内，Heisenberg不确定性原理为：Δ_ω·Δ_t≥1/2，这里Δ_ω、Δ_t表示频窗和时窗的各一半宽度，单位分别为弧度/秒和秒，

基于随机激励的下的输出信号为工程背景，选择Morlet小波基函数

采用无变化尺度参数a即a＝常数的Morlet小波作为基函数，来进行时频分析，采样信号卷积小波滤波器得到小波系数；

在构造频域滤波器时，采用形式为Morlet小波，其中f分别为f₁，f₂…f_n变化的n个小波基函数，n为自然数，f₁-f_n为分析频带，它们之间的间隔为Δ_f，在频域，尺度系数a＝1，中心频率为f的Morlet小波滤波器的相应小波系数是：

W(ω，f)＝S_xy(ω)·Φ_f(ω)    (4)

这里Φ_f(ω)≡Φ(ω，f)是Morlet小波的傅立叶变换，等式(4)是复数的小波基函数，在频域滤波会带来相位失真，信号重构相应也会相位失真，为了避免这个问题，仅用Morlet小波的实部构造滤波器，使得重构的信号与原始信号同相位，Morlet小波实部的傅立叶变换为：

${\mathrm{\Φ}}_f\left(\mathrm{\ω}\right)=e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}-f)}^2}{2}}+e^{-\frac{{(\mathrm{\ω}+f)}^2}{2}}---\left(5\right)$

(3).反傅立叶变换求时频分析系数；

对应的时域系数

W(t，f)＝IFFT(S_xy(ω)·Φ_f(ω))    (6)

S_xy(ω)、Φ_f(ω)分别为信号互谱密度函数和小波实部的傅立叶变换，实的小波滤波器组对于每一个中心频率都提供了一个有限脉冲响应(FIR)线性相位滤波器，使得原始信号和重构信号的相位一致，(6)式用来求得时域信号，以便进行时频空间滤波；

设n个小波基函数用来进行小波的重构，等式(5)用来构造FIR滤波器组，对于给定的频率ω₀，小波系数通过滤波器组乘原始信号的互谱密度函数可得到：

$\left[\begin{array}{c}W({\mathrm{\ω}}_0,f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W({\mathrm{\ω}}_0,f_n)\end{array}\right]=S_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

n为自然数；

(4).通过加矩形窗进行时频滤波；

对步骤(3)中的公式(6)中的小波系数加矩形窗滤波，通过加矩形窗滤波，将矩形窗外部的噪声信号滤掉，这样得到的是良好的系统特征函数，互功率谱密度函数；

(5).求滤波后的输出信号的互功率谱密度作为识别用的系统函数；

对步骤(3)中的公式(7)用广义逆求得滤波后的互功率谱密度S_xy(ω₀)：

${\hat{S}}_{\mathrm{xy}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{f1}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{fn}}\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{c}W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_1)\\ .\\ .\\ .\\ W(\widehat{{\mathrm{\ω}}_0},f_n)\end{array}\right]---\left(8\right)$

在每一个频率ω₀处求得_xy(ω₀)该方法用来滤除输入信号和响应信号的失真和干扰，提取想要的信号特征；

(6).进行曲线拟合求系统参数；

在时频空间滤波去除了噪声和非平稳的影响后，得到较好的系统功率谱密度函数，该函数代替平稳信号输出情况下随机激励的频响函数，这样就能采用传统的频域识别算法进行系统特征参数的识别，利用对噪声不敏感的有理分式正交多项式识别方法(RFOP)对重构互谱密度函数进行识别，求得模态频率和阻尼比，其基本做法是将结构的频率响应函数展开为有理分式形式，将总方差定义为目标函数，由于误差函数为有理分式分子分母正交多项式系数的线性函数，因而这些参数的识别问题就转化为使目标函数极小的线性优化问题，

然后根据正交多项式与幂多项式的迭代关系式求出对应幂多项式的分子、分母系数，RFOP算法中选择的拟合基为FORSYTHE正交多项式，最后求解幂多项式的根得到系统的极点，由此可计算出有关系统的特征参数的固有频率和阻尼比；

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