CN101082484A - 一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法 - Google Patents

Abstract

一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法，其特点在于：利用灰色滚动模型，对一个取样长度内原始轮廓的采样数据进行灰色建模，获得轮廓的模型曲线，并将评定长度内各取样长度所对应的模型曲线进行综合得到一条光滑的轮廓曲线，将此曲线作为粗糙度评定的轮廓基准线。本发明的原始轮廓数据无需服从典型分配，评定过程不损失原始数据，在整个评定长度内获得灰色基准线，无需事先去除形状误差，灰色基准线在整个评定长度内光滑自然，更接近高斯基准线。

Description

一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法

技术领域

本发明涉及一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法。

背景技术

在二维表面粗糙度评定中，轮廓基准线的建立是一个关键环节。建立轮廓基准线的常用方法有最小二乘中线和算术平均中线两种方法(参见：李柱主编，《互换性与测量技术)》，北京：高等教育出版社，2004.)。在这两种方法中，轮廓基准线都是通过回归分析的方法建立，是对理想基准线的一种近似拟合。采用这两种方法进行表面粗糙度评定虽然简单，但却存在着一些固有的缺点：(1)从表面的加工属性来看，轮廓的基准线是一条光滑的曲线，但在某个评定长度内，不同取样长度内的轮廓基准线在交界处可能出现间断，导致整个评定长度内的轮廓基准线可能成为一条不光滑的折线；(2)利用该基准线对表面粗糙度进行评定，评定结果极大地依赖于取样长度，取样长度太长或太短都会使表面粗糙度评定失真。目前，国际标准ISO11562中表面粗糙度评定的轮廓基准线规定为高斯基准线(见：ISO11562：1998Geometrical Product Specifications(GPS)-Surface texture：Profilemethod-Metrological characteristics of phase correct filters.)，即将原始轮廓的采样数据去除形状误差后与高斯权函数进行卷积，得到的轮廓曲线作为粗糙度评定的轮廓基准线。高斯滤波器的最大优点是其线性相位特性，能够有效地分离表面参数。但用高斯滤波的方法进行表面粗糙度评定必须具备三个前提：(1)原始数据必须去除形状误差，否则高斯基准线会在边缘处偏离轮廓；(2)假设原始数据是由一系列谐波组成；(3)表面粗糙度服从高斯分布。同时，高斯滤波算法会损失一部分原始数据(二倍离散高斯权函数的宽度)，应用高斯滤波的方法进行表面粗糙度评定，必须保证在评定长度内有足够的原始数据。另外，国际标准ISO12085中规定的Motif方法(见：ISO12085：1996 Geometrical Product Specifications(GPS)-Surfacetexture：Profile method-Motif parameters.)以图形的方式对轮廓表面粗糙度和波纹度进行描述，与基准评定法相比，Motif方法以宽度阈值代替取样长度，能够较真实地匹配轮廓的局部特性，评定参数少。但Motif方法的四个合并准则来自于法国汽车业二十多年的实践经验，缺乏理论依据，因而导致Motif方法的应用受到限制。

近年来，很多学者在表面粗糙度的评定方面开展研究，提出了一些建立轮廓基准线的新方法。如有文献(见：李成贵等，“分形维数与表面的粗糙度参数的关系”，工具技术.1997，32(12)：36-38.)研究了表面粗糙度与分形维数的关系，采用分形曲线的W-M函数表征随机轮廓，可以有效地表征表面结构的复杂和细腻程度。分形的方法主要存在以下两点不足：一是并非所有的实际表面都具有分形特征，对于不具有分形特征的表面，分形的方法是不适用的；二是现有的分形数学模型并没有考虑表面的功能特性，也没有一种方法能够唯一确定分形维数。还有文献(见：陈庆虎等，“表面粗糙度评定的小波基准线”，计量学报.1998，19(4)：254-257.)将小波分析的方法应用到表面粗糙度评定中，提出了表面粗糙度评定的小波基准线，该基准线由小波分解自动产生，不存在拟合误差。其缺点是，在基准线求解的过程中，小波分解层次的确定以及基准线的选择存在随机性，导致应用小波基准线进行粗糙度评定的结果具有一定程度的不确定性。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服现有技术的不足，提供一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法，该方法将灰色方法应用到二维表面粗糙度评定中，使原始数据不需服从典型分布，不仅适合于大数据量、典型分布的表面粗糙度的提取，而且对少数据、非典型分布的表面轮廓同样适用，在整个评定过程中不损失原始数据。

本发明的技术解决方案：一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法，其特点在于：利用灰色滚动模型，对一个取样长度内原始轮廓的采样数据进行灰色建模，获得轮廓的模型曲线，并将评定长度内各取样长度所对应的模型曲线进行综合得到一条光滑的轮廓曲线，将此曲线作为粗糙度评定的轮廓基准线，其步骤如下：

(1)采集或从数据文件中载入表面轮廓数据，根据待评定表面的实际状况选取取样长度l和评定长度l_n；

(2)根据选定的取样长度l和评定长度l_n，截取轮廓数据，

x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(N)}    (1)

其中，N为评定长度内原始轮廓采样数据的个数，设一个取样长度内采样数据个数为n，以序列x⁽⁰⁾中从x⁽⁰⁾(m+1)开始的连续n项作为原始轮廓采样数据的m时刻序列，即，

x_m ⁽⁰⁾＝{x_m ⁽⁰⁾(1)，x_m ⁽⁰⁾(2)，…，x_m ⁽⁰⁾(n)}＝{x⁽⁰⁾(m+1)，x⁽⁰⁾(m+2)，…，x⁽⁰⁾(m+n)}  (2)

其中，m＝0，1，2，…，N-n；

(3)利用灰色滚动模型，对原始轮廓采样数据的m时刻序列xm(0)进行灰色建模，得到灰色模型值序列： ${{\hat{x}}_m}^{\left(0\right)}(k+1)={{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)-{{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}\left(k\right);$

(4)由步骤(3)得到的灰色模型值序列集合，求出序列x_m ⁽⁰⁾所对应的灰色模型曲线；

(5)对步骤(4)得到的所有模型曲线进行综合得到一条光滑的轮廓曲线，此曲线即为粗糙度评定的轮廓基准线。

所述的灰色建模方法为：

(1)对序列x_m ⁽⁰⁾进行一次累加生成，得到生成序列x_m ⁽¹⁾：

x_m ⁽¹⁾＝{x_m ⁽¹⁾(1)，x_m ⁽¹⁾(2)，…，x_m ⁽¹⁾(n)}    (3)

其中， ${x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x_m}^{\left(0\right)}\left(i\right),$ k＝1，2，…，n。其紧邻均值序列为：

z_m ⁽¹⁾＝{z_m ⁽¹⁾(1)，z_m ⁽¹⁾(2)，…，z_m ⁽¹⁾(n)}    (4)

其中， ${z_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x_m}^{\left(1\right)}\left(1\right),& k-1\\ \frac{1}{2}({x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)+{x_m}^{\left(1\right)}(k-1),)& k=\mathrm{2,3},...,n\end{array}\right..$

(2)建立生成序列的一阶灰色微分方程：

x_m ⁽⁰⁾(k)+a_mz_m ⁽¹⁾(k)＝b_m    (5)

其中，a_m和b_m为灰色微分方程的待定参数。将灰色微分方程(5)用矩阵形式表示为：

Y_m＝φ_mθ_m    (6)

其中， $Y_m=\left(\begin{array}{c}{x_m}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ {x_m}^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ {x_m}^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right),$ ${\mathrm{\φ}}_m=\left(\begin{array}{cc}-{z_m}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -{z_m}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ \·& \\ \·& 1\\ \·& \\ -{z_m}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\θ}}_m=\left(\begin{array}{c}{a}_m\\ b_m\end{array}\right)\·$

式(6)为n-1维二元矛盾方程组，其中Y_m和φ_m为已知量，θ_m为待定参数。求解该矛盾方程组，可得θ_m的最小二乘估计值：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_m={\left({{\mathrm{\φ}}_m}^T{\mathrm{\φ}}_m\right)}^{-1}{{\mathrm{\φ}}_m}^T{Y}_m---\left(7\right)$

(3)以式(7)中求得的

为参数，建立灰色微分方程(5)所对应的白化微分方程：

$\frac{{{\mathrm{dx}}_m}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+a_x{x_m}^{\left(1\right)}=b_m---\left(8\right)$

(4)通过求解白化微分方程(8)，得到微分方程(5)的解为：

${{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)=({x_m}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b_m}{a_m})e^{-a_m(k-1)}+\frac{b_m}{a_m}---\left(9\right)$

其中，k＝1，2，…，n。

(5)通过累减生成，得到灰色模型值序列：

${{\hat{x}}_m}^{\left(0\right)}(k+1)={{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)-{{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(10\right)$

其中，k＝1，2，…，n，其中k是序列中的元素的序号，其取值应与原始序列中的元素序号保持一致。

本发明利用灰色方法得到的灰色基准线与现有技术相比的优点在于：

(1)在表面粗糙度评定中，表面轮廓曲线可以看成是叠加在表面轮廓形状上的随机量，本发明的灰色方法将一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量，对灰色量的处置不是找概率分布或求统计规律，而是用数据生成的方法寻找数据间的规律。因此，本发明在建立粗糙度评定的轮廓基准线时，不要求原始轮廓数据服从典型分布；

(2)本发明的灰色方法非常适合解决少数据、贫信息和不确定问题，最少只需要4个原始数据就可以对生成数据进行灰色建模，因此应用灰色方法获得的轮廓基准线支持少数据轮廓的评定。而且在整个评定长度内获得灰色基准线，保证评定过程不损失原始数据；

(3)本发明采用灰色滚动模型对生成数据进行建模，随着表面轮廓趋势的变化，参与建模的数据不断更新，保证了模型对被测轮廓的趋势有很好的跟随作用，因此即使不事先去除形状误差，所得的轮廓基准线也不会偏离原始轮廓；

(4)由评定实例可以看出，采用本发明方法所得的灰色基准线在整个评定长度内光滑自然，更接近于高斯基准线。

附图说明

图1为本发明的建立表面粗糙度评定灰色基准线的流程图；

图2为本发明建立的灰色基准线和现有技术的高斯基准线；

图3为本发明的灰色基准线和现有技术的高斯基准线之差；

图4为本发明和现有技术的两种方法得出的粗糙度评定结果。

具体实施方式

下面对本发明做进一步详细说明。

首先介绍一下应用灰色方法建立粗糙度评定轮廓基准线的原理。二维表面轮廓线由表面波纹度和轮廓形状误差等低频成分，以及表面粗糙度高频成分等组成。在二维轮廓表面粗糙度评定的过程中，将表面波纹度和轮廓形状误差等低频成分的总和作为粗糙度评定的基准线。设x(t)为待评定表面的轮廓曲线，r(t)为粗糙度评定的基准线，s(t)为表面粗糙度，那么，二维轮廓表面粗糙度评定的数学模型可表示为：x(t)＝r(t)+s(t)或s(t)＝x(t)-r(t)。该数学模型中的r(t)可以通过对轮廓曲线x(t)进行灰色建模求得。在灰色建模的过程中，通过对原始轮廓数据进行累加生成可使原始轮廓中的高频成分得到平滑和抑制，从而获得形状误差和表面波纹度等低频成分的总和，以此作为粗糙度评定的轮廓基准线，此过程可表示为r_GM(t)＝GM(x(t))，其中r_GM(t)为粗糙度评定的灰色基准线。该基准线r_GM(t)的建立方法为：

1、采集或从数据文件中载入表面轮廓数据，根据待评定表面的实际状况选取合适的取样长度l和评定长度l_n。

2、根据选定的取样长度l和评定长度l_n，截取轮廓数据。在一个评定长度内，截取到原始轮廓的采样数据序列为：

x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(N)}    (1)

其中，N为评定长度内原始轮廓采样数据的个数。设一个取样长度内采样数据个数为n，以序列x⁽⁰⁾中从x⁽⁰⁾(m+1)开始的连续n项作为原始轮廓采样数据的m时刻序列，即，

x_m ⁽⁰⁾＝{x_m ⁽⁰⁾(1)，x_m ⁽⁰⁾(2)，…，x_m ⁽⁰⁾(n)}＝{x⁽⁰⁾(m+1)，x⁽⁰⁾(m+2)，…，x⁽⁰⁾(m+n)}    (2)

其中，m＝0，1，2，…，N-n。

3、利用灰色滚动模型，对原始轮廓采样数据的m时刻序列x_m ⁽⁰⁾进行灰色建模，建模方法如下：

(1)对序列x_m ⁽⁰⁾进行一次累加生成，得到生成序列x_m ⁽¹⁾：

x_m ⁽¹⁾＝{x_m ⁽¹⁾(1)，x_m ⁽¹⁾(2)，…，x_m ⁽¹⁾(n)}    (3)

其中， ${x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x_m}^{\left(0\right)}\left(i\right),$ k＝1，2，…，n。其紧邻均值序列为：

z_m ⁽¹⁾＝{z_m ⁽¹⁾(1)，z_m ⁽¹⁾(2)，…，z_m ⁽¹⁾(n)}    (4)

其中， ${z_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x_m}^{\left(1\right)}\left(1\right),& k=1\\ \frac{1}{2}({x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)+{x_m}^{\left(1\right)}(k-1)),& k=\mathrm{2,3},...,n\end{array}\right..$

(2)建立生成序列的一阶灰色微分方程：

x_m ⁽⁰⁾(k)+a_mz_m(1)(k)＝b_m    (5)

其中，a_m和b_m为灰色微分方程的待定参数。将灰色微分方程(5)用矩阵形式表示为：

Y_m＝φ_mθ_m    (6)

其中， $Y_m=\left(\begin{array}{c}{x_m}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ {x_m}^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ {x_m}^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right),$ ${\mathrm{\φ}}_m=\left(\begin{array}{cc}-{z_m}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -{z_m}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ \·& \\ \·& 1\\ \·& \\ -{z_m}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\θ}}_m=\left(\begin{array}{c}{a}_m\\ b_m\end{array}\right)\·$

式(6)为n-1维二元矛盾方程组，其中Y_m和φ_m为已知量，θ_m为待定参数。求解该矛盾方程组，可得θ_m的最小二乘估计值：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_m={\left({{\mathrm{\φ}}_m}^T{\mathrm{\φ}}_m\right)}^{-1}{{\mathrm{\φ}}_m}^T{Y}_m---\left(7\right)$

(3)以式(7)中求得的

为参数，建立灰色微分方程(5)所对应的白化微分方程：

$\frac{{{\mathrm{dx}}_m}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+a_x{x_m}^{\left(1\right)}=b_m---\left(8\right)$

(4)通过求解白化微分方程(8)，得到微分方程(5)的解为：

${{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)=({x_m}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b_m}{a_m})e^{-a_m(k-1)}+\frac{b_m}{a_m}---\left(9\right)$

其中，k＝1，2，…，n。

(5)通过累减生成，得到灰色模型值序列：

${{\hat{x}}_m}^{\left(0\right)}(k+1)={{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)-{{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)---\left(10\right)$

其中，k＝1，2，…，n。

4、由式(10)的集合，能够求出序列x_m ⁽⁰⁾所对应的灰色模型曲线。在整个评定长度内共可获得N-n+1条灰色模型曲线。这些模型曲线随着m值的增大将沿着表面轮廓滑动。对于第j个采样点，共有T_j条灰色模型曲线可以描述它的轮廓位置。设每条模型曲线的权重相同，以各条灰色模型曲线在某点的平均值

作为该点的轮廓位置，则有，

${\stackrel{\stackrel{\‾}{^}}{x}}_j=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{T_j}\underset{m=0}{\overset{T_j-1}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{x}}_m(j-m),& 1\≤j\≤n\\ \frac{1}{T_j}\underset{m=j-n}{\overset{j-n+T_j-1}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{x}}_m(j-m),& n\≤j\≤N\end{array}\right.$

其中， $T_j=\left\{\begin{array}{ccc}1,& j=1& \\ j-1,& 1<j\&le;-n& \\ n-1,& n<j\&le;N-n+2& \\ N-j+1,& N-n+2<j\&le;N& \end{array},j=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,N\right.$

连接所有

的光滑曲线即为二维表面粗糙度评定的灰色基准线，记为r_GM(t)。

上述有关公式中的k是序列中的元素的序号，其取值应与原始序列中的元素序号保持一致。

评定实例

应用Matlab7.1分别编制了高斯滤波算法和灰色建模算法，对同一个二维表面进行粗糙度评定。在本例中，取样长度为2.5mm，评定长度内原始轮廓的采样数据个数为N＝100，取样长度内采样数据个数为n＝20。利用灰色基准线和高斯基准线进行粗糙度评定的结果分别如图2、图3和图4所示。由图2和图3可知，本发明的灰色基准线与高斯基准线在整个评定长度内有较好的一致性，两基准线之差的绝对值最大仅为0.3743μm。以R_a值作为粗糙度评定参数，由图4可知，在两者共有的评定范围内，两种方法的评定结果非常接近。高斯滤波法求得的R_a＝2.695μm，本发明方法求得的Ra＝2.676μm。高斯滤波法在计算的过程中损失了部分原始数据，不能在整个评定长度内进行粗糙度评定；而本发明的灰色方法不存在上述问题，可以在整个评定长度内进行评定。

Claims (2)

1、一种二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法，其特征在于步骤如下：

(1)采集或从数据文件中载入表面轮廓数据，根据待评定表面的实际状况选取取样长度l和评定长度l_n；

(2)根据选定的取样长度l和评定长度l_n，截取轮廓数据为：

x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(N)}    (1)

其中，N为评定长度内原始轮廓采样数据的个数，设一个取样长度内采样数据个数为n，以序列x⁽⁰⁾中从x⁽⁰⁾(m+1)开始的连续n项作为原始轮廓采样数据的m时刻序列，即，

x_m ⁽⁰⁾＝{x_m ⁽⁰⁾(1)，x_m ⁽⁰⁾(2)，…，x_m ⁽⁰⁾(n)}＝{x⁽⁰⁾(m+1)，x⁽⁰⁾(m+2)，…，x⁽⁰⁾(m+n)}    (2)

其中，m＝0，1，2，…，N-n；

(3)利用灰色滚动模型，对原始轮廓采样数据的m时刻序列x_m ⁽⁰⁾进行灰色建模，得到灰色模型值序列： ${{\hat{x}}_m}^{\left(0\right)}(k+1)={{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)-{{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}\left(k\right);$ (3)

(4)由步骤(3)得到的灰色模型值序列集合，求出序列x_m ⁽⁰⁾所对应的灰色模型曲线；

(5)对步骤(4)得到的所有模型曲线进行综合得到一条光滑的轮廓曲线，此曲线即为粗糙度评定的轮廓基准线。

2、根据权利要求1所述的二维表面粗糙度评定中建立轮廓基准线的方法，其特征在于：所述步骤(3)的灰色建模方法为：

(1)对序列x_m ⁽⁰⁾进行一次累加生成，得到生成序列x_m ⁽¹⁾：

x_m ⁽¹⁾＝{x_m ⁽¹⁾(1)，x_m ⁽¹⁾(2)，…，x_m ⁽¹⁾(n)}

其中 ${x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x_m}^{\left(0\right)}\left(i\right),$ k＝1，2，…，n。其紧邻均值序列为：z_m ⁽¹⁾＝{z_m ⁽¹⁾(1)，z_m ⁽¹⁾(2)，…，z_m ⁽¹⁾(n)}

其中， ${z_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x_m}^{\left(1\right)}\left(1\right),& k=1\\ \frac{1}{2}({x_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)+{x_m}^{\left(1\right)}(k-1)),& k=\mathrm{2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n\end{array}\right.;$

(2)建立生成序列的一阶灰色微分方程：

x_m ⁽⁰⁾(k)+a_mz_m ⁽¹⁾(k)＝b_m

其中，a_m和b_m为灰色微分方程的待定参数，将上述的一阶灰色微分方程用矩阵形式表示为：

Y_m＝φ_mθ_m

其中， ${\mathrm{\&theta;}}_m=\left(\begin{array}{c}{a}_m\\ b_m\end{array}\right)$

上式为n-1维二元矛盾方程组，其中Y_m和φ_m为已知量，θ_m为待定参数。求解该矛盾方程组，可得θ_m的最小二乘估计值：

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_m={\left({{\mathrm{\&phi;}}_m}^T{\mathrm{\&phi;}}_m\right)}^{-1}{{\mathrm{\&phi;}}_m}^T{Y}_m;$

(3)以上式中求得的

为参数，建立灰色微分方程所对应的白化微分方程：

$\frac{{{\mathrm{dx}}_m}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+a_m{x_m}^{\left(1\right)}=b_m;$

(4)通过求解上述白化微分方程，得到微分方程的解为：

${{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)=({x_m}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b_m}{a_m})e^{-a_m(k-1)}+\frac{b_m}{a_m}$

其中，k＝1，2，…，n；

(5)通过累减生成，得到灰色模型值序列：

${{\hat{x}}_m}^{\left(0\right)}(k+1)={{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}(k+1)-{{\hat{x}}_m}^{\left(1\right)}\left(k\right)$

其中，k＝1，2，…，n，其中k是序列中的元素的序号，其取值应与原始序列中的元素序号保持一致。

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