CN101067548A - 基于直线相位的光栅自校正方法 - Google Patents

Abstract

一种三维扫描系统中基于直线相位的光栅自校正方法主要涉及到逆向工程中，用相移法得到四幅相移图，然后，对所得的四幅相移图进行直线相位转换，对直线相位进行最小二乘直线拟合得到拟合直线相位，将偏离拟合直线相位的相位点调整到拟合直线相位上得到调整相位点，接着根据调整相位点，用相移法进行反变换，得到新的四幅相移图，将新的四幅相移图与原四幅相移图进行比较，得到投射光栅到采集光栅之间的传递函数，以传递函数为校正优化函数，校正计算机生成光栅，实现了光栅的自校正。该方法有效地改善了投影光栅波形的正弦性和精确相移，既能提高光栅波形的鲁棒性，也能提高相移精度，进而提高系统的测量精度。

Description

基于直线相位的光栅自校正方法

技术领域

本发明属于三维信息重构的技术领域，主要涉及到逆向工程中，用三维扫描系统中格雷码与相移法相结合，通过直线相位修正进行投影光栅自校正的方法，尤其涉及一种基于直线相位的光栅自校正方法。

背景技术

当光栅投影到物体表面上时，周期性光栅的相位就受到物体表面高度轮廓的调制，形成变形光栅，变形光栅即带有物体的三维信息。准确得到受物体高度调制后的相位信息，并进行相位展开，是条纹图自动分析技术的核心，对于最终获取物体的三维信息起着关键的作用。而投影光栅波形的正弦性和精确相移是影响三维信息重构精度的主要因素。本发明主要是涉及到通过直线相位进行投影光栅自校正的方法。

逆向工程(Reverse Engineering，RE)技术是20世纪80年代后期出现在先进制造领域里的新技术，其一般包括四个基本环节：三维形体检测与转换(物理数据的获得)、数据预处理(点云处理、识别、多视拼接)，CAD模型的建立(曲面重构)、CAM制件成型。大多数关于逆向工程的研究主要集中在实物的逆向重构上，即产品实物的CAD模型重构和最终产品的制造方面，称为“实物逆向工程”。其基本流程图如图1所示。

三维轮廓检测及其重构技术是计算机图像处理技术的一个分支，是计算机视觉和计算机图形图像处理相结合的一个研究方向，它在生产自动化、机器人视觉、CAD、虚拟现实和医学映像诊断等领域都有着广泛的应用前景。

光栅投影法是实物逆向工程技术中的一种，具有检测过程完全非接触、数据空间分辨率高、一次性瞬间投影直接实现三维空间物体形状检测和获取三维信息的特点。在实际应用中具有对环境要求低、成本低廉、使用操作方便等多种优点。

基于光栅投影的三维测量就是将光栅图样投影到被测物表面，由摄像机获取变形的光栅像，并由形变量与高度的关系来确定出轮廓相对参考平面的高度信息。根据形变量与高度关系的不同描述方法以及对光栅条纹的处理方法的不同，可以将光栅投影测量大致分为两类：直接三角法和相位测量法。三角法原理清晰，实时性较好，但是测量点的密度不高，如果采用更细的条纹进行投影，将加大找条纹的难度，因此我们采用了相位法进行处理。当光栅投影到物体表面上时，周期性光栅的相位就受到物体表面高度轮廓的调制，形成变形光栅，变形光栅即带有物体的三维信息。准确得到受到物体高度调制后的相位信息，并进行相位展开，是条纹图自动分析技术的核心，对于最终获取物体的三维信息起着关键的作用。

在光栅条纹图中，通过给待求相位场加上已知或未知的常相位，来得到新的条纹图，即增加求解条件。这种通过对条纹图相位场进行移相来增加若干常量相位而得到多幅条纹图用以求解相位场的方法，称为相移法。相移法具有受背景噪声影响小、测量范围大等优点，更重要的是，它没有相位符号的二义性问题。这是因为多幅相移图比单幅图提供了更多的信息。相位移法可提供比其他方法更高精度的结果，因而被大量用于相位解调中。光栅投影三维测量的基本要求是投影光栅具有某种分布(如标准正弦分布)，但实际上由于各种误差与扰动因素的存在，CCD采集到的光栅条纹并不是标准的正弦分布，使得光栅波形相移不精确和非正弦性成为影响测量精度的重要因素。

发明内容

针对现有技术所存在的缺点和限制，本发明的目的在于提供一种能够提高测量系统精度的三维扫描系统中基于直线相位的光栅自校正方法。

本发明设计一种三维扫描系统中格雷码与相移法结合，通过直线相位修正的光栅自校正方法，此方法综合考虑包含误差与扰动因素的光栅相位分布模型，对光栅相位进行自校正使其满足正弦分布。本发明采用如下技术方案：

一种三维扫描系统中基于直线相位的光栅自校正方法，用相移法得到四幅相移图后，步骤如下：

步骤1：对所得的四幅相移图进行直线相位转换，对直线相位进行最小二乘直线拟合得到拟合直线相位，将偏离拟合直线相位的相位点调整到拟合直线相位上得到调整相位点，然后根据调整相位点，用相移法进行反变换，得到新的四幅相移图，

上述对偏离拟合直线相位的相位点进行调整的方法为：

假设用最小二乘法拟合所得直线方程为： $\frac{x}{a}+\frac{\mathrm{\Φ}(x,y)}{b}=1,$ 其中x表示像素点(x，y)的横坐标，Φ(x，y)表示像素点(x，y)的直线相位值，a、b是直线方程的参数，所以可得到 $\mathrm{\Φ}(x,y)=\frac{b}{a}(a-x).$

定义各点像素原来的相位值与拟合直线相位上对应点在纵坐标方向上的差值为该点像素的相位补偿值，则像素点(x，y)的补偿值为：

即新的调整相位点相位值为

′(x，y)＝(x，y)-Δ(x，y)；

上述用相移法进行反变换的方法为：

根据调整相位点的相位值，利用相移法公式

可知，相位值的获得只与四幅相移图有关，假设补偿后的四幅相移图中第i幅图的灰度值I′_i(x，y)，则这四幅图是带有π/2相差的条纹图，并且它们仍满足相移法公式

得到：

I′₁(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₁]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₁]}

I′₂(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₂]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₂]}

I′₃(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₃]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₃]}

I′₄(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₄]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₄]}

其中α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

进而得到新的四幅相移图，

步骤2：将新的四幅相移图与原四幅相移图进行比较，得到投射光栅到采集光栅之间的传递函数，以传递函数为校正优化函数，该校正优化函数采用如下方法得到：

第一步：求取灰度值差ΔI(x，y)：由于四幅相移图之间只是存在π/2相差，并且只要知道其中任一幅相移图，都可以通过的相移得到其余三幅相移图，因此，为了简便计算，只取其中相移图中第一幅图进行比较，所以：

ΔI(x，y)＝I₁(x，y)-I₁′(x，y)，

第二步：求取投影光栅到采集光栅之间的收缩系数：该收缩系数的定义是：

λ(x，y)＝128/(I₀(x，y)*γ(x，y))，其中I₀(x，y)、γ(x，y)可以通过下面的方法得到：

由原来的四幅相移图：

I_i(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+α_i]}i＝1，2，3，4其中，α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

求得像素点(x，y)所在的光栅周期内的最大灰度值I_iMAX(x，y)和最小灰度值I_iMIN(x，y)，则： $I_0(x,y)=\frac{1}{4}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{I_{\mathrm{iMAX}}(x,y)+I_{\mathrm{iMIN}}(x,y)}{2}\right),$ 上述I_i(x，y)的公式中都是背景值I₀(x，y)和余弦函数的乘积，根据cos²+sin²＝1，可以求得调制强度函数：

$\mathrm{\γ}(x,y)={\{{[I_4(x,y)-I_2(x,y)]}^2-{[I_1(x,y)-I_3(x,y)]}^2\}}^{\frac{1}{2}}/2I_0(x,y),$

第三步：求取传递函数G(x，y)：

G(x，y)＝λ(x，y)*ΔI(x，y)，以此传递函数为校正优化函数，

步骤3：用校正优化函数对原四幅相移图进行校正，该校正方法为：

用步骤2得到的校正优化函数G(x，y)来逐个像素校正计算机生成光栅gray(x，y)，得到新的计算机生成光栅gray′(x，y)：

步骤4：循环执行步骤1～3，如果G(x，y)＝0或循环次数等于100，则循环结束，这时把步骤3得到的计算机生成光栅gray′(x，y)作为自校正后的光栅，这样就实现了光栅的自校正。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

本发明主要用于改进光栅波形的正弦性和精确相移，以提高相移法精度，进而提高整个测量系统的精度。

在三维信息重构中，选用投影光栅法有受背景噪声影响小、测量范围大的优点，采用的数字投影系统虽然提高了投影光栅的精度、得到精确相移，但也带来了电子干扰，镜头畸变等系统误差，使得实际的投影光栅存在非正弦性和非周期性。投影光栅波形的正弦性和精确相移是影响相移法测量精度的主要因素。

针对以上情况，我们设计了基于反相移法的自校正方法，建立包含误差扰动因素的光栅相位分布模型，同时也要考虑对光栅相位进行校正补偿，使其满足标准正弦分布。这样既能提高光栅波形的鲁棒性，也能提高相移精度，进而提高系统的测量精度。

附图说明

图1是逆向工程通用流程图。

图2是四幅相移图。

图3是自校正方法流程图。

图4是光栅投影双目三维测量系统结构图。

图5是三角波光强100时的波形Matlab仿真图。

图6是三角波光强80时的波形Matlab仿真图。

图7是三角波光强60时的波形Matlab仿真图。

具体实施方式

下面结合附图示对本发明的具体实施方式作进一步描述。根据上述方法，在Windows操作系统中通过VC++6.0平台用C++编程实现了光栅自校正的操作。

首先从影响光栅正弦性、精确相移、周期性的角度对各个因素进行分析，并有针对性的提出了改进方法和提高精度的措施，为最终的光栅自校正方法提供依据；而在光栅投影测量中，影响测量精度的主要问题在于投影技术，光栅投影测量中的投影要求有高的对比度、强度以及良好的光强模式。所以我们可以从所获得投影光栅波形的正弦性和周期性好坏的角度来评价相移法光栅投影测量的精度的高低，用四幅相移法把所得到的投影光栅的正弦波转换成直线相位，再用最小二乘法对直线相位进行拟合，拟合的误差大小也就反映了投影光栅波形的优劣，这样就大大简化了求解时间，解决了正弦波最小二乘拟合的难题，也为后面的直线相位修正提供了理论依据。然后我们再用基于反相移法的自校正方法：对所得的四幅相移图进行直线相位转换，对直线相位进行最小二乘直线拟合得到拟合直线相位，将偏离拟合直线相位的相位点调整到拟合直线相位上得到调整相位点，然后根据调整相位点，用相移法进行反变换，得到新的四幅相移图，通过与原来的四幅相移图进行比较，得到投射光栅到采集光栅之间的校正优化函数，来完成投影光栅相位的自校正。

该方法主要包括以下步骤：

步骤1：选用数字投影系统编程生成光栅，克服传统的机械相移技术很难做到精确相移的缺点得到相移更精确的投影光栅；数字投影系统与传统相移系统相比主要有以下两个突出优点：(1)投影光栅波形由计算机软件编程实现，假设不考虑投影系统的非线性、电子噪声、热效应等因素的影响，即在理想情况下计算机生成什么样的波形投影得到的就是什么样的波形。而要采用相移法首要的就是要获得正弦光栅。(2)系统相移误差与传统方法相比有很大程度的降低。因此，数字镜像仪采用专门的投影仪能获得最精确的投影光栅条纹；本系统利用计算机软件控制，电子光栅的相移可以做到非常精确。

数字投影系统编程实现生成光栅的过程是：让光栅呈竖条状周期分布，每个周期16个像素宽度，同一列上的像素的灰度值相同；在同一行上，一个周期内各个像素的灰度值是从周期是16个像素、幅值区间[0，255]，初相位为0的周期波上，在16个相位点 $\frac{i*\mathrm{\π}}{8}(i=\mathrm{0,1,2},...,15)0$ 进行离取值得到，因为灰度值必须为整数，如果所得值不为整数，则把进行四舍五入自动取整的值作为该像素的灰度值。以正弦波为例，编程生成光栅中点(x，y)灰度值可以由下面的公式得到： $\mathrm{gray}(x,y)=\left\{\begin{array}{c}255(x=16n,n=\mathrm{0,1,2},...)\\ [128*(1+\cos (x*\mathrm{\π}/8))](x\≠16n,n=\mathrm{0,1,2},...)\end{array}\right.$

公式中“[]”代表取整运算；即当x是16的倍数时，灰度值为255，否则灰度值由公式128*(1+cos(x*π/8))取整得到。

步骤2：求取包含消除投影误差和非周期性的光栅参量光强函数，以得到更准确的编程设计的光栅相位和实际得到的相位之间的相位传递函数；相移法结合格雷编码可以得到绝对相位值φ，由于测量过程中各种外界因素的干扰，造成相位测量值与相位实际值之间存在较大的差别。为了求解更加精确的投影光栅对象相位值φ，必须确定能表示出相位的实际值θ与相位测量值φ之间关系的对象相传递函数，在光栅投影系统理想情况下，φ(θ)＝0

影响相位传递函数求解的另一个因素是周期性，对象的相位传递函数只有在理想情况下才是周期性函数。而投影光栅的对齐误差、数字投影系统的非线性和镜头畸变都使得相位传递函数周期发生了变化，为了减小非周期性的影响，得到更优化的相位值，要采用更复杂的模型计算对象的相位传递函数，而在光强函数中要考虑对象相位值φ和光栅参量ζ就能消除这些误差，两个参量的关系如下：

                          ζ＝N_Pφ/2π

N_P是光栅栅距。因此，考虑到消除光栅的对齐误差和影响函数周期性的因素φ和ζ，得到改进的光强函数的模型为：

I_i(φ，ζ)＝AI_i[ω_i(φ，ζ)Z+φ_s+φ₀+β_i]+O，i∈[1，…，4]

在此改善的光强函数下，并运用采样定理分析CCD与投影仪间的离散化影响，就可得到精确的相位传递函数，进而提高精度。

步骤3：应用步骤2得到的相位传递函数优化数字投影系统的生成光栅波形，消除投影光栅波形非周期性；

步骤4：实验研究光强模式对光栅波形的影响。众所周知，只有在理想的投影光栅系统中，才能真正做到：计算机生成标准正弦波形投影出去，就能得到理想的正弦波形，而实际中不可能得到，所以用逆向思维人为的改变计算机生成波形，加入投影仪的电子噪声、系统非线性、镜头的畸变等因素后，如果能做到投影所得波形恰好是正弦波形，这也同样达到了得到精确相位的目的。

根据相移法公式

可知标准正弦波形转化为直线相位值，应该是一条直线，把所得直线相位的值进行最小二乘法直线拟合，误差平均值和方差平均值越小，说明所得投影波形的正弦性越好。因此对各种常见的波形在不同光强下进行实验，实验数据见表1。

表1三种波形在不同光强下，相位直线拟合误差数据

生成光栅波形	直线拟合误差平均值	直线拟合方差平均值
			梯形波光强100	0.0142735	0.000103435
余弦波光强100	0.0119914	0.000218207
			三角波光强100	0.0072835	2.07023e-005
梯形波光强80	0.00547147	1.38708e-005
			三角波光强80	0.0416861	0.00143287
余弦波光强80	0.0135341	0.000121239
			梯形波光强60	0.00961065	5.01802e-005
三角波光强60	0.0285122	0.000765628
			余弦波光强60	0.011759	8.28686e-005

根据以上数据可得到如下结论：

①在光强较强时，三角波、梯形波的相位直线拟合平均值和方差都比正弦波要小，说明采用逆向思维的人为的改变投影光栅来弥补投影系统的电子噪声、系统非线性、镜头畸变等因素引起的误差的思路是正确的。

②随着投影光强的变弱，对比度降低，几种波形的拟合误差都一定程度的增加，说明要提高光栅投影测量精度需要良好的光强模式和对比度。

③在光强较低或者背景光线较暗的时候，三角波、余弦波由于波峰较窄，受到光栅的干涉和衍射影响，无法在波峰附近得到较强的灰度值，增加了波形正弦性误差，所以可以采用上底面更大的梯形，甚至矩形波来提高在光栅波峰出的象素灰度值。

以上实验说明：光栅投影测量中的投影要求有良好的光强模式。

步骤5：研究对比度对光栅波形的影响，以三角波为例在不同对比度下的实验数据仿真图见附图4～6，由图可见，虽然直线相位的拟合误差不大，可以得到很好的正弦波形，但随着光强的减弱，对比度降低，所得投影图像中象素间的灰度差别变小，较小的对比度容易产生错误的相位。因此投影光栅要求有良好的对比度。

步骤6：利用步骤4～5实验结论，在选用良好对比度、强度以及光强模式的外界环境下投射经过步骤1～3改进的光栅波形；

步骤7：对步骤6投射的光栅波形，用CCD采集保存得到第一幅光栅图，然后控制计算机让生成光栅波形整体分别向左偏移1/4、2/4、3/4个周期并依次进行投射，再用CCD采集保存这第三幅光栅图，与原来采集的第一幅构成四幅相移图，这四幅图是带有π/2相差的条纹图。令相差α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，各图可以表示为

I_i(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+α_i]}i＝1，2，3，4

其中，I_i(x，y)为第i幅图的灰度值，I₀(x，y)为条纹图的背景值，γ(x，y)为调制强度函数，(x，y)为待求相位场。假设4幅图像在同一光场中，背景灰度值相同，根据三角公式

$\cos \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\β}=-2\sin \frac{\mathrm{\α}+\mathrm{\β}}{2}\sin \frac{\mathrm{\α}-\mathrm{\β}}{2}$

将I_i(x，y)代入下式得

对上式取反正切函数，就得到了主值相位场：

上式就是带90°相移的4幅图相移法的基本公式。根据以上公式可知，在满足投影光栅为标准正弦、相移为严格的90°的前提情况下，可得到准确的折叠相位值，并且每个周期的相位值成线性分布。

步骤8：依据相移法公式对得到的四幅相移图进行直线相位转换，对直线相位进行最小二乘直线拟合得到拟合直线相位，将偏离拟合直线相位的相位点调整到拟合直线相位上得到调整相位点，主要过程是：假设用最小二乘法拟合所得直线方程为： $\frac{x}{a}+\frac{\mathrm{\Φ}(x,y)}{b}=1,$ 其中x表示像素点(x，y)的横坐标，Φ(x，y)表示像素点(x，y)的直线相位值，a、b是直线方程的参数，所以可得到

$\mathrm{\Φ}(x,y)=\frac{b}{a}(a-x).$

定义各点像素原来的相位值与拟合直线相位上对应点在纵坐标方向上的差值为该点像素的相位补偿值，则像素点(x，y)的补偿值为：

即新的调整相位点相位值为

′(x，y)＝(x，y)-Δ(x，y)

步骤9：由步骤8得到新的相位值，利用相移法公式进行反变换，就可以得到新的四幅相移图。求取过程是：由步骤7中带90°相移的4幅图相移法的基本公式可知，相位值的获得只与四幅相移图有关，假设补偿后的四幅相移图中第i幅图的灰度值I′_i(x，y)，则它们仍满足相移法公式

因此，得到：

I′₁(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₁]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₁]}

I′₂(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₂]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₂]}

I′₃(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₃]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₃]}

I′₄(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₄]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₄]}

其中α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

进而得到新的四幅相移图，

步骤10：利用步骤9得到的新的四幅相移图与原来步骤7得到的四幅相移图进行比较得到投射光栅到采集光栅之间的传递函数，我们把它定义为校正优化函数，该校正优化函数采用如下方法得到：

第一步：求取灰度值差ΔI(x，y)：由于四幅相移图之间只是存在π/2相差，并且只要知道其中任一幅相移图，都可以通过的相移得到其余三幅相移图，因此，为了简便计算，只取其中相移图中第一幅图进行比较，所以：

ΔI(x，y)＝I₁(x，y)-I₁′(x，y)，

第二步：求取投影光栅到采集光栅之间的收缩系数：该收缩系数的定义是：

λ(x，y)＝128/(I₀(x，y)*γ(x，y))，其中I₀(x，y)、γ(x，y)可以通过下面的方法得到：

由原来的四幅相移图：

I_i(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+α_i]}i＝1，2，3，4其中，α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

求得像素点(x，y)所在的光栅周期内的最大灰度值I_iMAX(x，y)和最小灰度值I_iMIN(x，y)，则： $I_0(x,y)=\frac{1}{4}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{I_{\mathrm{iMAX}}(x,y)+I_{\mathrm{iMIN}}(x,y)}{2}\right),$ 上述I_i(x，y)的公式中都是背景值I₀(x，y)和余弦函数的乘积，根据cos²+sin²＝1，可以求得调制强度函数：

$\mathrm{\γ}(x,y)={\{{[I_4(x,y)-I_2(x,y)]}^2-{[I_1(x,y)-I_3(x,y)]}^2\}}^{\frac{1}{2}}/2I_0(x,y),$

第三步：求取传递函数G(x，y)：

G(x，y)＝λ(x，y)*ΔI(x，y)，以此传递函数为校正优化函数，

步骤11：用校正优化函数对原四幅相移图进行校正，该校正方法为：

用步骤10得到的校正优化函数G(x，y)来逐个像素校正计算机生成光栅gray(x，y)，得到新的计算机生成光栅gray′(x，y)：

步骤12：循环执行步骤1～11，如果G(x，y)＝0或循环次数等于100，则循环结束，这时把步骤11得到的计算机生成光栅gray′(x，y)作为自校正后的光栅，这样就实现了光栅的自校正。

另外我们把步骤8～12的求解过程称之为反相移法的自校正方法。

这样通过直线相位的反馈补偿，运用反相移法，就实现了光栅自校正。

Claims (1)

1、一种三维扫描系统中基于直线相位的光栅自校正方法，用相移法得到四幅相移图，其特征在于：

步骤1：对所得的四幅相移图进行直线相位转换，对直线相位进行最小二乘直线拟合得到拟合直线相位，将偏离拟合直线相位的相位点调整到拟合直线相位上得到调整相位点，然后根据调整相位点，用相移法进行反变换，得到新的四幅相移图，

上述对偏离拟合直线相位的相位点进行调整的方法为：

假设用最小二乘法拟合所得直线方程为： $\frac{x}{a}+\frac{\mathrm{\Φ}(x,y)}{b}=1,$ 其中x表示像素点(x，y)的横坐标，Φ(x，y)表示像素点(x，y)的直线相位值，a、b是直线方程的参数，所以可得到 $\mathrm{\Φ}(x,y)=\frac{b}{a}(a-x).$

定义各点像素原来的相位值与拟合直线相位上对应点在纵坐标方向上的差值为该点像素的相位补偿值，则像素点(x，y)的补偿值为：

即新的调整相位点相位值为

′(x，y)＝(x，y)-Δ(x，y)；

上述用相移法进行反变换的方法为：

根据调整相位点的相位值，利用相移法公式

可知，相位值的获得只与四幅相移图有关，假设补偿后的四幅相移图中第i幅图的灰度值I′_i(x，y)，则这四幅图是带有π/2相差的条纹图，并且它们仍满足相移法公式

得到：

I′₁(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₁]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₁]}

I′₂(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₂]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₂]}

I′₃(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₃]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₃]}

I′₄(x，y)＝L₀(x，y){1+γ(x，y)cos[′(x，y)+α₄]}＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+Δ+α₄]}

其中α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

进而得到新的四幅相移图，

步骤2：将新的四幅相移图与原四幅相移图进行比较，得到投射光栅到采集光栅之间的传递函数，以传递函数为校正优化函数，该校正优化函数采用如下方法得到：

第一步：求取灰度值差ΔI(x，y)：由于四幅相移图之间只是存在π/2相差，并且只要知道其中任一幅相移图，都可以通过的相移得到其余三幅相移图，因此，为了简便计算，只取其中相移图中第一幅图进行比较，所以：

ΔI(x，y)＝I₁(x，y)-I₁′(x，y)，

第二步：求取投影光栅到采集光栅之间的收缩系数：该收缩系数的定义是：

λ(x，y)＝128/(I₀(x，y)*γ(x，y))，其中I₀(x，y)、γ(x，y)可以通过下面的方法得到：

由原来的四幅相移图：

I_i(x，y)＝I₀(x，y){1+γ(x，y)cos[(x，y)+α_i]}i＝1，2，3，4其中，α₁＝-3π/4，α₂＝-π/4，α₃＝π/4，α₄＝3π/4，

求得像素点(x，y)所在的光栅周期内的最大灰度值I_iMAX(x，y)和最小灰度值I_iMIN(x，y)，则： $I_0(x,y)=\frac{1}{4}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{I_{\mathrm{iMAX}}(x,y)+I_{\mathrm{iMIN}}(x,y)}{2}\right),$ 上述I_i(x，y)的公式中都是背景值I₀(x，y)和余弦函数的乘积，根据cos2+sin2＝1，可以求得调制强度函数：

$\mathrm{\γ}(x,y)={\{{[I_4(x,y)-I_2(x,y)]}^2-{[I_1(x,y)-I_3(x,y)]}^2\}}^{\frac{1}{2}}/2I_0(x,y),$

第三步：求取传递函数G(x，y)：

G(x，y)＝λ(x，y)*ΔI(x，y)，以此传递函数为校正优化函数，

步骤3：用校正优化函数对原四幅相移图进行校正，该校正方法为：用步骤2得到的校正优化函数G(x，y)来逐个像素校正计算机生成光栅gray(x，y)，得到新的计算机生成光栅gray′(x，y)：

步骤4：循环执行步骤1～3，如果G(x，y)＝0或循环次数等于100，则循环结束，这时把步骤3得到的计算机生成光栅gray′(x，y)作为自校正后的光栅，这样就实现了光栅的自校正。

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