CN101046371A - 基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，是由如下过程完成：第一步，应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据；第二步，应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量；第三步，将第一步得到的表面弯曲数据与第二步得到的弯曲量进行比较，从而求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值。本发明采用相移显微干涉法测量悬臂梁表面的弯曲量，具有高精度和高分辨率，对待测器件是非破坏的无损测量，应用有限差分法解析出悬臂梁弯曲量的实现简单，建模更加接近于真实情况，结果准确可靠，可用于微悬臂梁或纳悬臂梁(具有微米宽度和纳米厚度的纳悬臂梁)曲率的测量。

Description

基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法

技术领域

本发明涉及一种微/纳机电系统的微/纳悬臂梁曲率测量方法。特别是涉及一种实现简单，结果准确可靠，具有高精度和高分辨率的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法。

背景技术

微/纳机电系统(Micro/Nano ElectroMechanical System，MEMS/NEMS)是在微电子技术的基础上发展起来的关键尺寸在微米/纳米量级的集传感、信息处理和执行于一体的集成系统。MEMS/NEMS的研究涉及多门学科，其制造涉及到设计、材料、工艺、测量、控制、能源以及系统集成和封装等技术，而其应用更是囊括了汽车、通讯、医疗、生化、航空航天、科学仪器等领域。在MEMS/NEMS器件从设计加工到投入应用的过程中，对其结构的力学特性进行测量是至关重要的一步。

由于MEMS/NEMS器件往往是由硅和金属等材料通过化学气相沉积、溅射和电镀等方法形成薄膜后，再经过光刻、刻蚀和牺牲层腐蚀等方法制作而成的，因此这种通过表面微机械加工制备的薄膜往往存在着不可忽视的残余内应力和应力梯度，它极大地影响着器件的成品率和使用性能，如何实现对微/纳结构残余应力和应力梯度的精确、在线测量是MEMS/NEMS测量的重要任务之一，而在对薄膜的应力特性进行测量时，精确确定薄膜结构的曲率值往往是首要的一步。因此，如何简便而精确地实现曲率测量对MEMS/NEMS器件应力特性的分析来说具有非常重要的意义。

微/纳悬臂梁是MEMS/NEMS器件的基本构件之一，它是谐振器、RF开关以及生化传感器等许多MEMS/NEMS器件中的关键结构。微/纳悬臂梁的结构简单，加工制造方法容易，并且建模方法相对比较成熟，是微/纳测试中最常用的测试结构之一，通过微/纳悬臂梁测试结构可以很好地评价薄膜结构的应力特性。显微干涉法利用光学干涉来实现微小器件表面的轮廓测量，特别是相移显微干涉的应用，极大地提高了测量的垂直分辨率和精度，已成为微/纳测量中最常用的测量手段之一。而有限差分法是一种重要的数值算法，在工程分析中已经得到了广泛的应用。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种实现简单，结果准确可靠，具有高精度和高分辨率的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法。

本发明所采用的技术方案是：一种基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，测量过程包括：应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据；应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量；将前两个过程得到的表面弯曲数据和弯曲量进行比较，从而求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值。

所述的应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据，其过程包括：应用相移显微干涉测量系统采集被测微/纳悬臂梁的干涉图，通过相位提取和相位展开后得到悬臂梁表面的原始高度信息；在得到的原始高度信息上以支撑部分的表面作为零基准面去除倾斜误差并得到悬臂梁表面的垂直弯曲数据。

所述的应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量，是在悬臂梁的二维模型上应用有限差分法解析梁的弯曲量与曲率之间的关系，并考虑了初始端转角这个非理想边界条件的影响。

所述的求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值，是采用拟牛顿算法和最小二乘法两种算法中的一种，通过比较悬臂梁的测量弯曲量与解析弯曲量，从而得到使得两者差值最小时的最佳曲率匹配值。

本发明的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，采用相移显微干涉法测量悬臂梁表面的弯曲量，具有高精度和高分辨率，对待测器件来讲是非破坏的无损测量；模型解析时考虑了不为零的初始端转角这个非理想边界条件的影响，使得建模更加接近于真实情况；使用有限差分法进行近似计算，当结点取得越多时精度越高，这在以像素为单位的微/纳结构表面测量结果分析中可以达到很高的精度；提供两种数值分析方法实现测量和解析弯曲量的比较，可以将两种方法得到的结果进行对比，验证结果的准确性。此方法实现简单，结果准确可靠，可用于微悬臂梁或纳悬臂梁(具有微米宽度和纳米厚度的纳悬臂梁)曲率的精确测量。

附图说明

图1是本发明的相移显微干涉示意图；

图2是本发明的微/纳悬臂梁模型；

图3是本发明的微/纳悬臂梁模型结点示意图；

其中：

1：被测表面                        2：参考镜

3：分光镜                          4：干涉图

5：光源                            6：悬臂梁

7：初始端转角                      8：梁的支撑部分

9：结点                            -1，0，1……N：结点的序号

L：梁长                            λ：相邻结点之间的间隔

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法做出详细说明。

本发明的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，其测量过程包括：

1、应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据：

应用相移显微干涉测量系统采集被测微/纳悬臂梁的干涉图，通过相位提取和相位展开后得到悬臂梁表面的原始高度信息；在得到的原始高度信息上以梁支撑部分的表面为基准面进行坐标旋转去除倾斜误差，得到悬臂梁表面相对于支撑平面的垂直高度信息。

具体作法是：首先将由原理显示于图1中的相移显微干涉系统得到的被测微/纳悬臂梁的表面干涉图像4采集下来并保存；然后，对干涉图像进行相位提取和相位展开得到被测表面的初始轮廓图像；最后，以图2中梁的支撑部分8的表面为基准面进行坐标旋转消除倾斜误差，并将支撑部分8的表面高度作为零高度基准，从而得到悬臂梁6表面的垂直弯曲量，取梁的中轴线上的一列数据备用。

2、应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量：

该步骤通过在悬臂梁的二维模型上应用有限差分法解析梁的弯曲量与曲率之间的关系，并考虑了初始端转角这个非理想边界条件的影响。

具体作法是：按照图3中的结点9的分布将悬臂梁分成N个单元，用有限差分法计算出各结点9的垂直高度与曲率及图2中初始端转角7之间的关系。

微/纳悬臂梁的变形符合小变形原理，满足Bernoulli-Euler方程：

$\frac{{\∂}^{2}z\left(x\right)}{{\∂x}^2}=\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}}k\left(x\right)---\left(1\right)$

$\mathrm{\θ}\left(x\right)\≈\tan \mathrm{\θ}\left(x\right)=\frac{\∂z\left(x\right)}{\∂x}---\left(2\right)$

式中M为弯矩，E为杨氏模量，I为惯性矩，k为曲率，θ为转角。由于悬臂梁在z向的变形相对于梁的长度实际上是非常小的，所以我们将梁上各点的曲率k视为相对于x的常数。将整个悬臂梁用N+1个结点分割成N个小单元，并引入虚结点-1，代入边界条件：梁初始端的位移为零，而初始端的转角往往不为零，将方程(1)和(2)应用一阶和二阶有限差分法公式(3)和(4)进行近似计算，求得梁的弯曲量(挠度z(x))与曲率k及梁初始端转角θ₀(结点0处的转角)之间的解析关系如式(5)所示。式(3)和(4)中的λ为相邻结点之间的间隔。

${\left(\frac{\∂f}{\∂x}\right)}_i=\frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2\mathrm{\λ}}---\left(3\right)$

${\left(\frac{{\∂}^{2}f}{{\∂x}^2}\right)}_i=\frac{f_{i-1}+f_{i+1}-f_i}{{\mathrm{\λ}}^2}---\left(4\right)$

$z\left(x\right)={\mathrm{\θ}}_{0}x+k\frac{x^2}{2}---\left(5\right)$

3、计算最佳曲率匹配值：

将前面得到的测量弯曲量与解析弯曲量，通过用拟牛顿算法或者最小二乘法来进行比较，求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值，作为最佳曲率匹配值，该步骤有两种具体作法：

(1)采用拟牛顿算法：

拟牛顿算法是一种数值最优化方法，可用于求解函数的最小值问题。将梁的中轴线的弯曲量与公式模拟的弯曲量逐点对比，取使得均方根差值最小的k和θ₀值为最终解。均方根差值的表达式如式(6)所示，其中f为弯曲量的测量值与解析模拟值之间的均方根差值，z(x_i)是悬臂梁x_i处的弯曲测量值。

$f=\sqrt{\frac{{[{\mathrm{\θ}}_0{x}_1+k\frac{{x_1}^2}{2}-z\left(x_1\right)]}^2+[{\mathrm{\θ}}_0{x}_2+k\frac{{x_2}^2}{2}-z\left(x_2\right){]}^2+\mathrm{\Λ}+[{\mathrm{\θ}}_0{x}_N+k\frac{{x_N}^2}{2}-z\left(x_N\right){]}^2}{N}}---\left(6\right)$

只要从某个初值出发，拟牛顿算法就可以得到使得目标函数f的值最小时k和θ₀的最优解。

(2)采用最小二乘法：

最小二乘法是如果将式(6)构造成一个超定方程组，如式(7)所示，等式左边为与k和θ₀有关的解析弯曲量，等式右边为弯曲测量值，由此可以使用最小二乘法求出使得两个弯曲量近似相等时的k和θ₀解。

$\left[\begin{array}{cc}{x}_1& \frac{{x_1}^2}{2}\\ x_2& \frac{{x_2}^2}{2}\\ M& M\\ x_N& \frac{{x_N}^2}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_0\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}z\left(x_1\right)\\ z\left(x_2\right)\\ M\\ z\left(x_N\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

本发明公开和揭示的方法可借鉴本文公开内容，尽管本发明的方法已通过较佳实施例进行了描述，但是本领域技术人员明显能在不脱离本发明内容、精神和范围内对本文所述的方法进行拼接或改动，或增减某些环节的，更具体地说，所有相类似的替换和改动对本领域技术人员来说是显而易见的，它们都被视为包括在本发明精神、范围和内容中。

Claims (4)

1.一种基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，其特征在于，测量过程包括：应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据；应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量；将前两个过程得到的表面弯曲数据和弯曲量进行比较，从而求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值。

2.根据权利要求1所述的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，其特征在于，所述的应用相移显微干涉法测量被测微/纳悬臂梁的表面弯曲数据，其过程包括：应用相移显微干涉测量系统采集被测微/纳悬臂梁的干涉图，通过相位提取和相位展开后得到悬臂梁表面的原始高度信息；在得到的原始高度信息上以支撑部分的表面作为零基准面去除倾斜误差并得到悬臂梁表面的垂直弯曲数据。

3.根据权利要求1所述的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，其特征在于，所述的应用有限差分法解析出被测微/纳悬臂梁的弯曲量，是在悬臂梁的二维模型上应用有限差分法解析梁的弯曲量与曲率之间的关系，并考虑了初始端转角这个非理想边界条件的影响。

4.根据权利要求1所述的基于显微干涉和有限差分的微/纳悬臂梁的曲率测量方法，其特征在于，所述的求出测量弯曲量与解析弯曲量之间差值最小时的曲率值，是采用拟牛顿算法和最小二乘法两种算法中的一种，通过比较悬臂梁的测量弯曲量与解析弯曲量，从而得到使得两者差值最小时的最佳曲率匹配值。

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