CN100568000C - 基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法 - Google Patents

Abstract

基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法，属于微波、毫米波电介质材料复介电常数测试技术。本发明在采用终端短路法进行高温介质材料复介电常数测试时，将具有一定长度的散热波导、隔热波导、高温波导与耦合装置、短路板一起构成反应式谐振腔，通过测量该谐振腔的谐振频率和品质因数，从而得到该谐振腔在不同温度下的尺寸及微波损耗，进而测量出该温度下介质材料的复介电常数。本发明适于基于终端短路法进行各个频段介质材料高温复介电常数的测试，同时利用本发明可以测试不同温度下测试波导谐振腔的尺寸和微波损耗。本发明因为考虑了由于温度影响带来的测试波导谐振腔的尺寸和微波损耗的变化，所以测试精度更高，误差更小。

Description

基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法

技术领域

本发明属于微波、毫米波技术领域，特别涉及微波、毫米波电介质材料的复介电常数测试技术。

背景技术

微波、毫米波介质材料在微波、毫米波器件和系统中应用是十分广泛。电介质材料的研究和应用及其性能评定都必须经过其性能参数的实际测试。复介电常数是微波、毫米波介质的一个基本参数，它们是评价介质材料微波性能的主要依据，也是进行微波器件设计的重要参数。终端短路法具有测试夹具简单、测试频率范围宽、样品体积小等优点，常用来进行微波、毫米波介质材料复介电常数的常温或高温测试，测试方法示意图见图1。也可以采用矢量网络分析仪测量出测试波导口的反射系数，根据反射系数、测试波导段的长度和被测介质样品厚度来计算出样品的复介电常数。

如果采用VSWR测量仪测量被测介质样品的复介电常数，如图1所示，当测试波导的末端填充介质样品时，可以在被测介质样品的输入端得到公式(1)：

$\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}\right)---\left(1\right)$

其中，γ为介质样品波导段中的传输系数，d为介质样品的长度，k为未放入被测介质样品的测试波导部分中的相位常数，ρ为被测介质样品部分的驻波比，x₀为驻波最小点到被测介质样品输入端的距离。另外，

γ＝α+jβ                            (2)

其中，α为衰减常数，β为相位常数。由(1)式求出介质样品波导段中的传输系数γ后，由介质波导的条件方程可求得被测介质样品的复介电常数：

${\mathrm{\ϵ}}_r^{\′}=\frac{k_c+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}{k_0^2}---\left(3\right)$

$\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{2\mathrm{\α\β}}{k_c^2+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}---\left(4\right)$

式中，ε_r′为介质材料的相对介电常数，tanδ_ε为损耗角正切。其中，

$k_c=\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_c}---\left(5\right)$

$k_0=\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_0}---\left(6\right)$

其中，λ₀为自由空间的波长，且λ₀＝c/f₀，c为自由空间的光速，f₀为测试波导的谐振频率；λ_c为测试波导的截止波长。

对于矩形测试波导，有

λ_c＝2a                   (7)

式中，a为测试波导的宽边尺寸。

由公式(1)～(7)可知，当采用VSWR(驻波比)测试仪测量时，介质材料复介电常数为：

ε_r＝f(d，x₀，a，f₀，ρ)        (8)

如果采用矢量网络分析仪测量被测介质样品的复介电常数，所测量的反射系数为S₁₁，且S₁₁＝|S₁₁|·exp(j·θS₁₁)。用矢量网络分析仪测量得到的反射系数S₁₁的精度优于利用VSWR测试仪测得的发射系数。因此，现常通过采用矢量网络分析仪测量反射系数，再经过计算得到样品的复介电常数，从而提高了终端短路法测量介质复介电常数的精度。

令(1)式中k·x₀＝θ_j，有：

$\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}\right)---\left(9\right)$

其中， $\mathrm{\ρ}=\frac{1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}---\left(10\right)$

${\mathrm{\θ}}_j=\frac{{\mathrm{\θ}}_{s_{11}}-(2\·n+1)\·\mathrm{\π}}{2}+2\·{\mathrm{\β}}_0\·(L-d)---\left(11\right)$

${\mathrm{\β}}_0=\frac{2\·\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_0}\·\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{{\mathrm{\λ}}_C}\right)}^2}---\left(12\right)$

其中，L为波导测试段的空波导部分的长度，S₁₁为采用矢量网络分析仪测量得到的反射系数，再由(9)式求出介质试样波导段中的传输系数后，可(3)(4)式求出样品的相对介电常数和损耗角正切。因此，有

ε_r＝f(d，a，f₀，S₁₁，L)                       (13)

在介质材料复介电常数进行高温测量过程中，终端短路法中所用的测试波导的长度L、宽度a及微波损耗会随温度的变化而发生变化，从而影响到介质材料高温复介电常数的测试结果，因此，在终端短路法中需准确知道所用测试波导在不同温度下，尤其是在高温下的尺寸及微波损耗。

文献“Standard test method for complex permittivity(dielectric constant)ofsolid electrical insulating materials at microwave frequencies and temperatures to1650℃，ASTM D2520-01”中，在高温下采用如图2所示的终端短路法来进行电介质材料复介电常数的高温测量。文中根据金属的热膨胀系数来计算不同温度下测试波导尺寸的变化，由测得的反射系数在波谷点处的3dB带宽，即二倍最小功率法，来求出测试波导在不同温度下的微波损耗。从图3所示的测试框图中可以看出，测试波导段分为了开槽线部分、隔热部分、冷却部分、测温部分，其中测温部分也是样品加热部分。测试波导段的温度-尺寸关系呈非线性分布，仅根据金属的热膨胀系数来计算波导段的尺寸，会带来较大的误差。在采用驻波最小点处的3dB带宽来求解波导的微波损耗时，驻波比越大，探针所采样测量的最小电场值越容易受到漏场、背景噪音等的干扰，从而带来更大的测试误差。

综上所述，国内外在利用终端短路法进行介质材料电参数测试技术方面已研究了多年，在计算测试波导段的尺寸及测量波导段的微波损耗时，误差较大。

据本发明人所知，现有利用终端短路法进行材料电参数高温测试的方法中，不能准确测量测试波导段的尺寸及微波损耗，从而导致复介电常数的测试误差增加。

发明内容

本发明的任务是提供一种基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法，利用本发明进行介质材料高温复介电常数测试时，可先测量出在高温环境下所用测试波导尺寸及微波损耗，进而测量出介质材料高温复介电常数。利用本发明测量介质材料高温复介电常数，能够大大减小测试误差，使得测试结果精度更高。

本发明技术方案如下：

基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法，包括以下步骤：

步骤一、搭建如图3所示的测量波导尺寸及其微波损耗的系统，该测量波导尺寸及其微波损耗的系统由矢量网络分析仪1、耦合装置4、矩形测试波导2和短路板25构成；矩形测试波导2由散热波导22、隔热波导23和高温波导24顺序连接而成；短路板25固定于矩形测试波导2的高温波导24末端；矩形测试波导2内壁做金属化处理，所用金属的电导率为σ，磁导率为μ；耦合装置4、矩形测试波导2与短路板25固定连接后形成反应式谐振腔；矢量网络分析仪1通过波导-同轴转换接头与耦合装置4相连；

步骤二、测量高温下耦合装置4、矩形测试波导2和短路板25形成的反应式谐振腔尺寸(即矩形测试波导2的长度L、宽边长度a和窄边长度b)和矩形测试波导2的微波损耗Lc，测量过程中，采用具有温控装置的加热设备对矩形测试波导2的加热端口，即高温波导24部分，以及短路板25部分进行加热并控温，采用相应的冷却装置对散热波导22进行降温，具体步骤如下：

步骤2-1.设置矩形测试波导2的加热端口温度；

步骤2-2.测量步骤2-1所述温度下反应式谐振腔在TE_10n模式下的谐振频率f₀和相邻模式TE_10(n+1)下的谐振频率f₀₁以及无载品质因数Q₀。

步骤2-3.由步骤2-2所测的反应式谐振腔在TE_10n模式下的谐振频率f₀和相邻模式TE_10(n+1)下的谐振频率f₀₁，计算步骤2-1所述温度下反应式谐振腔长度L、宽边长度a和窄边长度b，计算方法如下：

对于矩形谐振腔工作在TE_10n模式，其谐振频率f₀为： $f_0=\frac{c}{2}\·\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L}\right)}^2},$ 对于矩形谐振腔工作在相邻TE_10(n+1)模式，其谐振频率f₀₁为： $f_{01}=\frac{c}{2}\·\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L}\right)}^2},$ 联立两式，即可算出步骤2-1所述温度下反应式谐振腔长度L和宽度长度a，式中，c为光速，n为场量沿腔体纵向变化的半个周期的数目。

由求出的反应式谐振腔宽边长度a按比例求出窄边长度b；

步骤2-4.由步骤2-2所测的反应式谐振腔在TE_10n模式下的无载品质因数Q₀，计算步骤2-1所述温度下矩形测试波导2的谐振腔的微波损耗Lc，具体计算过程如下：

由

$Q_0=\frac{{\mathrm{\λ}}_0\mathrm{abL}}{2\mathrm{\δ}}\·\frac{{(A^2+C^2)}^{3/2}}{A^{2}L(a+2b)+C^{2}a(L+2b)},$ 其中： ${\mathrm{\λ}}_0=\frac{c}{f_0},$ $A=\frac{1}{a},$ $C=\frac{n}{L},$ 求得反应式谐振腔在步骤2-1所述温度下的高频电流在谐振腔壁内表面的趋肤深度δ；

由 $\mathrm{\δ}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\μ\σ}}}$ 结合 $R_S=\frac{1}{\mathrm{\σ\δ}},$ 其中：σ和μ分别为谐振腔壁金属的电导率与磁导率，计算谐振腔微波表面电阻R_S；

将δ和R_S代入式 ${\mathrm{\α}}_C=\frac{R_S}{\mathrm{b\η}}[1+2\frac{b}{a}{\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2a}\right)}^2]\frac{1}{\sqrt{1-{({\mathrm{\λ}}_0/2a)}^2}}$ 中，其中 $\mathrm{\η}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_0}},$ ε₀、μ₀分别为空气的介电常数和磁导率，计算步骤2-1.所述温度下反应式谐振腔的衰减常数α_c；

最后，将衰减常数α_c和步骤2-3所得的谐振腔长度L代入式 $L_C=e^{-2{\mathrm{\α}}_{C}L}$ 计算出步骤2-1所述温度下矩形测试波导2的微波损耗L_C；

步骤三、搭建如图4所示的介质材料高温复介电常数测量系统，该介质材料高温复介电常数测量系统由矢量网络分析仪1、矩形测试波导2和短路板25构成；矩形测试波导2由散热波导22、隔热波导23和高温波导24顺序连接而成；短路板25固定于矩形测试波导2的高温波导24末端；矩形测试波导2内壁做金属化处理，所用金属的电导率为σ，磁导率为μ；矢量网络分析仪1通过波导-同轴转换接头与耦合装置4相连；系统搭建好后，在波导-同轴转换接头处对矢量网络分析仪1进行反射校准；

步骤四、测量步骤2-1所述温度下介质材料的复介电常数，测量过程中，采用具有温控装置的加热设备对测试波导2的加热端口，即高温波导24部分，以及短路板25部分进行加热并控温，采用相应的冷却装置对散热波导22进行降温，具体步骤如下：

步骤4-1.加载被测介质样品3，所加载的被测介质样品3厚度为d，其大小与矩形测试波导2的截面相适应，保证被测介质样品3与矩形测试波导2的内壁之间无缝隙且紧靠短路板25；

步骤4-2.在步骤2-1所述温度下，采用矢量网络分析仪测量加载被测介质样品3后的反射系数S_11M，且S_11M＝|S_11M|·exp(j·θ_S11)，计算扣除步骤2-4所得的矩形测试波导2的微波损耗Lc后的反射系数S₁₁：

$S_{11}=\left|S_{11}\right|\·\exp (j\·{\mathrm{\θ}}_{S11})=\left|\frac{S_{11M}}{{\left(L_C\right)}^2}\right|\·\exp (j\·{\mathrm{\θ}}_{S11});$

步骤4-3.计算被测介质样品波3导段中的传输系数γ，具体计算过程如下：

根据 $\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}\right),$ 令k·x₀＝θ_j，有：

$\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}\right)$

其中：

$\mathrm{\ρ}=\frac{1+\left|s_{11}\right|}{1-\left|s_{11}\right|}$

${\mathrm{\θ}}_j=\frac{{\mathrm{\θ}}_{s_{11}}-(2\·n+1)\·\mathrm{\π}}{2}+2\·{{\mathrm{\β}}_0}^{\′}\·(L-d)$

${{\mathrm{\β}}_0}^{\′}=\frac{2\·\mathrm{\π}}{{{\mathrm{\λ}}_0}^{\′}}\·\sqrt{1-{\left(\frac{{{\mathrm{\λ}}_0}^{\′}}{{\mathrm{\λ}}_C}\right)}^2}$

而λ₀′＝c/f₀’，f′₀为矢量网络分析仪1输入矩形测试波导2的测试信号频率；且对于矩形波导，有λ_c＝2a，由此计算出被测介质样品波3导段中的传输系数γ＝α+jβ。

步骤4-4.计算被测介质样品3的复介电常数，具体计算方法为：

${\mathrm{\ϵ}}_r^{\′}=\frac{k_c+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}{k_0^2}$

$\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{2\mathrm{\α\β}}{k_c^2+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}$

其中，ε_r′为介质材料的相对介电常数，tanδ_ε为损耗角正切。

步骤五、重新设置矩形测试波导2的加热端口温度，并重复步骤一至步骤四，即可得到不同温度下被测介质样品3的复介电常数。

本发明的实质是在采用终端短路法进行介质材料复介电常数的高温测试时，将所用的具有一定长度的散热波导、隔热波导、高温波导，与耦合装置、短路板一起构成一个反应式谐振腔，通过测量该谐振腔的谐振频率和品质因数，从而得到该谐振腔在不同温度下的尺寸及微波损耗，进而测量出该温度下介质材料的复介电常数。其中，谐振腔长度实际上就是高温波导、隔热波导、散热波导三部分波导的总长度。

在利用终端短路法进行介质材料的复介电常数高温测试时，为确保测试仪器和测试人员的安全，所用测试仪器的测试端口处应工作在室温状态，所以需根据所测试的温度范围设计高温波导、隔热波导、散热波导。选择能长期工作在所需测试的高温环境下的金属材料或介质材料制作高温波导及短路板。若所选材料为介质材料，所制作的波导内壁还需金属化处理。根据温度分布范围分别选择合适的金属材料用来制作隔热波导、散热波导。

本发明的有益效果：

本发明适合于基于终端短路法进行各个频段介质材料高温复介电常数的测试，同时利用本发明的中间结果可以测试不同温度下测试波导谐振腔的尺寸和微波损耗。利用本发明进行各个频段介质材料高温复介电常数的测试，因为考虑到了由于温度影响带来的测试波导谐振腔的尺寸和微波损耗的变化，所以测试精度更高，误差更小。

附图说明

图1采用VSWR测试仪的终端短路法测量介质材料复介电常数的原理示意图。

图2采用VSWR测试仪的终端短路法测量介质材料复介电常数的测试系统示意图。

图3本发明基于终端短路法的测量波导尺寸及微波损耗的测试系统示意图。

图4本发明基于终端短路法的测量介质材料高温复介电常数测量方法的系统示意图。

具体实施方式

本发明技术内容部分详细描述了一种基于终端短路法的测量介质材料高温复介电常数测量方法，该方法为了分析和计算的方便，其中所搭建测试系统的测试波导采用的是矩形波导。对于测试波导为圆柱形波导或脊波导，甚至是同轴传输线的情况，本发明的思想仍然适用，只是具体计算过程有所不同。采用不同形状的测试波导而形成的各种具体实施方式，同样能够达到本发明所述的效果。

Claims (1)

1、基于终端短路法的介质材料高温复介电常数测量方法，包括以下步骤：

步骤一、搭建测量波导尺寸及其微波损耗的系统，该测量波导尺寸及其微波损耗的系统由矢量网络分析仪(1)、耦合装置(4)、矩形测试波导(2)和短路板(25)构成；矩形测试波导(2)由散热波导(22)、隔热波导(23)和高温波导(24)顺序连接而成；短路板(25)固定于矩形测试波导(2)的高温波导(24)末端；矩形测试波导(2)内壁做金属化处理，所用金属的电导率为σ，磁导率为μ；耦合装置(4)、矩形测试波导(2)与短路板(25)固定连接后形成反应式谐振腔；矢量网络分析仪(1)通过波导-同轴转换接头与耦合装置(4)相连；

步骤二、测量高温下耦合装置(4)、矩形测试波导(2)和短路板(25)形成的反应式谐振腔尺寸，即矩形测试波导(2)的长度L、宽边长度a和窄边长度b，以及矩形测试波导(2)的微波损耗Lc，测量过程中，采用具有温控装置的加热设备对矩形测试波导(2)的加热端口，即高温波导(24)部分，以及短路板(25)部分进行加热并控温，采用相应的冷却装置对散热波导(22)进行降温，具体步骤如下：

步骤2-1.设置矩形测试波导(2)的加热端口温度；

步骤2-2.测量步骤2-1所述温度下反应式谐振腔在TE_10n模式下的谐振频率f₀和相邻模式TE_10(n+1)下的谐振频率f₀₁以及无载品质因数Q₀；

步骤2-3.由步骤2-2所测的反应式谐振腔在TE_10n模式下的谐振频率f₀和相邻模式TE_10(n+1)下的谐振频率f₀₁，计算步骤2-1所述温度下反应式谐振腔长度L、宽边长度a和窄边长度b，计算方法如下：

对于矩形谐振腔工作在TE_10n模式，其谐振频率f₀为： $f_0=\frac{c}{2}\·\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L}\right)}^2},$ 对于矩形谐振腔工作在相邻TE_10(n+1)模式，其谐振频率f₀₁为： $f_{01}=\frac{c}{2}\·\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L}\right)}^2},$ 联立两式，即可算出步骤2-1所述温度下反应式谐振腔长度L和宽度长度a，式中，c为光速，n为场量沿腔体纵向变化的半个周期的数目。

由求出的反应式谐振腔宽边长度a按比例求出窄边长度b；

步骤2-4.由步骤2-2所测的反应式谐振腔在TE_10n模式下的无载品质因数Q₀，计算步骤2-1所述温度下矩形测试波导(2)的谐振腔的微波损耗Lc，具体计算过程如下：

由

$Q_0=\frac{{\mathrm{\λ}}_0\mathrm{abL}}{2\mathrm{\δ}}\·\frac{{(A^2+C^2)}^{3/2}}{A^{2}L(a+2b)+C^{2}a(L+2b)},$ 其中： ${\mathrm{\λ}}_0=\frac{c}{f_0},$ $A=\frac{1}{a},$ $C=\frac{n}{L},$ 求得反应式谐振腔在步骤2-1所述温度下的高频电流在谐振腔壁内表面的趋肤深度δ；

由 $\mathrm{\δ}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}{f}_0\mathrm{\μ\σ}}}$ 结合 $R_S=\frac{1}{\mathrm{\σ\δ}},$ 其中：σ和μ分别为谐振腔壁金属的电导率与磁导率，计算谐振腔微波表面电阻R_S；

将δ和R_S代入式 ${\mathrm{\α}}_C=\frac{R_S}{\mathrm{b\η}}[1+2\frac{b}{a}{\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2a}\right)}^2]\frac{1}{\sqrt{1-{({\mathrm{\λ}}_0/2a)}^2}}$ 中，其中 $\mathrm{\η}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{{\mathrm{\ϵ}}_0}},$ ε₀、μ₀分别为空气的介电常数和磁导率，计算步骤2-1所述温度下反应式谐振腔的衰减常数α_c；

最后，将衰减常数α_c和步骤2-3所得的谐振腔长度L代入式 $L_C=e^{-2{\mathrm{\α}}_{C}L}$ 计算出步骤2-1所述温度下矩形测试波导2的微波损耗L_C；

步骤三、搭建介质材料高温复介电常数测量系统，该介质材料高温复介电常数测量系统由矢量网络分析仪(1)、矩形测试波导(2)和短路板(25)构成；矩形测试波导(2)由散热波导(22)、隔热波导(23)和高温波导(24)顺序连接而成；短路板(25)固定于矩形测试波导(2)的高温波导(24)末端；矩形测试波导(2)内壁做金属化处理，所用金属的电导率为σ，磁导率为μ；矢量网络分析仪(1)通过波导-同轴转换接头与耦合装置(4)相连；系统搭建好后，在波导-同轴转换接头处对矢量网络分析仪(1)进行反射校准；

步骤四、测量步骤2-1所述温度下介质材料的复介电常数，测量过程中，采用具有温控装置的加热设备对测试波导(2)的加热端口，即高温波导(24)部分，以及短路板(25)部分进行加热并控温，采用相应的冷却装置对散热波导(22)进行降温，具体步骤如下：

步骤4-1.加载被测介质样品(3)，所加载的被测介质样品(3)厚度为d，其大小与矩形测试波导(2)的截面相适应，保证被测介质样品(3)与矩形测试波导(2)的内壁之间无缝隙且紧靠短路板(25)；

步骤4-2.在步骤2-1所述温度下，采用矢量网络分析仪测量加载被测介质样品(3)后的反射系数S_11M，且S_11M＝|S_11M|·exp(j·θ_S11)，计算扣除步骤2-4所得的矩形测试波导(2)的微波损耗Lc后的反射系数S₁₁：

$S_{11}=\left|S_{11}\right|\·\exp (j\·{\mathrm{\θ}}_{S11})=\left|\frac{S_{11M}}{{\left(L_C\right)}^2}\right|\·\exp (j\·{\mathrm{\θ}}_{S11});$

步骤4-3.计算被测介质样品(3)波导段中的传输系数γ，具体计算过程如下：

根据 $\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{kx}}_0\right)}\right),$ 令k·x₀＝θ_j，有：

$\frac{\tanh \left(\mathrm{\γd}\right)}{\mathrm{\γd}}=\frac{1}{\mathrm{jkd}}\·\left(\frac{1-\mathrm{j\ρ}\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}{\mathrm{\ρ}-j\tan \left({\mathrm{\θ}}_j\right)}\right)$

其中：

$\mathrm{\ρ}=\frac{1+\left|s_{11}\right|}{1-\left|s_{11}\right|}$

${\mathrm{\θ}}_j=\frac{{\mathrm{\θ}}_{s_{11}}-(2\·n+1)\·\mathrm{\π}}{2}+2\·{{\mathrm{\β}}_0}^{\′}\·(L-d)$

${{\mathrm{\β}}_0}^{\′}=\frac{2\·\mathrm{\π}}{{{\mathrm{\λ}}_0}^{\′}}\·\sqrt{1-{\left(\frac{{{\mathrm{\λ}}_0}^{\′}}{{\mathrm{\λ}}_C}\right)}^2}$

而λ₀′＝c/f₀′，f₀′为矢量网络分析仪(1)输入矩形测试波导(2)的测试信号频率；且对于矩形波导，有λ_c＝2a，由此计算出被测介质样品(3)波导段中的传输系数γ＝α+jβ；

步骤4-4.计算被测介质样品(3)的复介电常数，具体计算方法为：

${\mathrm{\ϵ}}_r^{\′}=\frac{k_c+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}{k_0^2}$

$\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{2\mathrm{\α\β}}{k_c^2+{\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2}$

其中，ε_r′为介质材料的相对介电常数，tanδ_ε为损耗角正切；

步骤五、重新设置矩形测试波导(2)的加热端口温度，并重复步骤一至步骤四，即可得到不同温度下被测介质样品(3)的复介电常数。

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