CN100498600C - 大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其步骤为：(1)建立模糊高斯基神经网络控制器结构，每个子网代表一个关节的伺服控制器；(2)初始化控制系统的各个参数及网络权值，并根据当前二关节的角位移和期望的运动角位移，得到二关节角位移的误差和误差变化率；(3)将误差和误差变化率作为模糊高斯基神经网络控制器的输入，通过模糊高斯基神经网络控制器求取二关节运动点上施加的力矩，根据力矩控制电机使关节到达预期定位坐标。本发明能克服由于机器人自身建模困难、环境扰动不确定性等带来的影响、既能综合人类专家的控制经验，又具有神经网络控制器的自学习功能，从而达到较高控制精度。

Description

大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法

技术领域

本发明主要涉及到二关节机器人的控制领域，特指一种大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法。

背景技术

机器人的真正研制工作起始于20世纪40年代，第一台工业用机器人于1959年在美国Unimation公司问世，这标志着机器人开始进入工业应用。至今应用于实际的机器人中大约有80％位于工业现场，属于工业机器人，此类机器人具有：结构简单、工作环境已知、机器人的工作预先设定等特点，因此也决定了机器人的控制属于示教再现型，机器人的作业路径、运动参数需要操作人员手把手示教或通过在线编程实现，基本上只能重复操作人员示范的操作。随着传感器技术、计算机技术、网络等技术的发展，机器人拥有了外部传感器，对工作对象、外界环境具有了一定的感知能力，并将这些感知的信息作为反馈形成闭环控制。到目前，机器人不仅具有了对外界的感知能力，还可以进行复杂的逻辑思维和决策，完成智能化作业。因此，随着机器人技术的发展，机器人控制技术也得到了迅速的发展。

机器人的控制问题就是使机器人的各关节或末端执行器的位置能够以理想的动态品质跟踪给定的轨迹或稳定在指定的位置上。此问题存在的两个难点：一是如何实现闭环误差系统的稳定，使轨迹跟踪误差尽快趋近于零；另一个是如何抑制干扰，尽可能地减少干扰信号对跟踪进入的影响。

作为控制对象，机器人自身是一个具有时变、强耦合的多输入多输出非线性系统，其控制是十分复杂的。本专利提出的大型冷凝器水下作业环境下的智能二关节机器人控制方法是在专利“冷凝器铜管二关节式在线清洗机器人”(公开号：CN1945196)和“在线清洗热交换器的水中作业机器人”(授权号：CN2631712Y)的基础上，将此专利的机器人作为控制对象，研究其作业过程中的控制方法。由于此机器人工作在水下环境，信号测量和系统建模存在不精确定性，再加上复杂的环境变化以及受水流(速度、强度)、水温、水压等带来的外界不确定扰动影响，因此无法获得机器人精确、完整的运动模型，所以常规的控制方法和现代控制法方也无法或难以保证其控制精度，存在要么过于复杂要么无法保证其控制的实时性等问题。所以，在满足机器人控制精度的前提下，设计一种简单可靠、实时性好、便于实现、能够在水下工作的智能二关节机器人控制方法是保证机器人正常工作的关键技术难题。

发明内容

本发明要解决的问题就在于：针对现有技术存在的技术问题，本发明提供一种基于模糊高斯基神经网络控制方法、能够克服由于机器人自身建模困难、环境扰动不确定性等带来的影响、既能综合人类专家的控制经验，又具有神经网络控制器的自学习功能，从而达到较高控制精度的大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法。

为解决上述技术问题，本发明提出的解决方案为：一种大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其特征在于步骤为：

(1)、建立模糊高斯基神经网络控制器结构，整个网络分为两个子网，每个子网代表一个关节的伺服控制器，考虑到关节之间的耦合作用，两子网的输出u₁和u₂分别乘以相应的影响因子得到整个网络的输出y₁和y₂；

(2)、初始化控制系统的各个参数及网络权值，取控制周期T值，通过轴编码器获取机器人当前二关节的角位移(θ₁、θ₂)，并通过预期定位坐标，计算出二关节的期望运动角位移(θ_d1、θ_d2)，从而求取二关节角位移的误差和误差变化率e₁＝θ_d1-θ₁、e₂＝θ_d2-θ₂、 ${\mathrm{ec}}_1=\frac{{\mathrm{de}}_1}{\mathrm{dT}},$ ${\mathrm{ec}}_2=\frac{{\mathrm{de}}_2}{\mathrm{dT}};$

(3)、将(e₁、e₂、ec₁、ec₂)作为模糊高斯基神经网络控制器的输入，通过模糊高斯基神经网络控制器求取二关节运动点上施加的力矩(t₁、t₂)，其中(t₁、t₂)满足关系式：t₁＝y₁，t₂＝y₂，根据力矩(t₁、t₂)控制二关节机器人上两个关节的电机运动，到达预期定位坐标。

所述步骤(1)中模糊高斯基神经网络控制器依次分为5层，在下列各式中

分别代表第k个子网的第i层网络的第j个神经元的输入和输出：

①计算输入；第1层将输入误差和误差变化率(e₁、e₂、ec₁、ec₂)引入网络，每个输入的论域均为[-1，1]；

${\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}_k={\mathrm{in}}_i^{\left(1\right)}=x_i,_k_{k}k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2}---\left(1\right)$

其中^kx_i代表第k个子网的第i个输入；

②模糊化；第2层对输入进行模糊化，对应于每个输入有3个模糊语言词集{N，Z，P}＝{“负”，“零”，“正”}，隶属函数采用高斯基函数，与{N，Z，P}对应的中心值分别为{-1，0，1}，宽度为{0.5，0.5，0.5}，

${\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}_k={\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}_k={\mathrm{\μ}}_{A_j^i_k}\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}_k\right)=e^{\frac{{\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}-a_{\mathrm{ij}}_k_k\right)}^2}{{b_{\mathrm{ij}}}^2_k}},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2};j=1,\mathrm{2,3}---\left(2\right)$

式中，

代表第k个子网中第i个输入对应的第j个语言词集， $A_i^j_k\∈\{N,Z,P\},$ ^ka_ij、^kb_ij分别为

的中心值和宽度；

③交叉相乘；第3层代表“and”操作，在此网络中用乘法代替取小运算，

${\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k={\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k={\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k\·{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k,k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(3\right)$

④去模糊化；第4层代表去模糊化过程，在这里采用权值平均判决法，

${\mathrm{in}}^{\left(4\right)}_k=\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k_k\right),k=\mathrm{1,2}---\left(4\right)$

$u_k={\mathrm{out}}^{\left(4\right)}_k={\mathrm{in}}^{\left(4\right)}_k/\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k,k=\mathrm{1,2}---\left(5\right)$

在式中，

为网络的权值，其物理意义是各控制规则的输出对应的语言词集的中心值；

⑤耦合处理；第5层代表关节之间的耦合作用，

$y_l=\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(u_k\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}),l=\mathrm{1,2}---\left(6\right)$

其中，为网络权值，它反映了各关节之间的耦合作用。

所述步骤(2)中，使模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”，其步骤为：

①采用随机函数初始化网络各权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

②在模糊高斯基神经网络控制器中输入离线学习样本数据

③通过模糊高斯基神经网络计算网络输出y₁和y₂；

④根据下列公式(7)，计算J_off；

$J_{\mathrm{off}}=\frac{1}{2}\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\hat{y}}_l-y_l)}^2---\left(7\right)$

式中，

为样本输出，即网络期望输出，y_l为网络实际输出；

⑤如果J_off小于或等于0.01，则离线学习结束，得到权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

⑥如果J_off大于0.01，则通过下列公式(7)～公式(10)，计算并更新参数

和^ka_ij、^kb_ij，并返回第③步进入计算流程，直至得到符合要求的权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},k=\mathrm{1,2};l=\mathrm{1,2}---\left(8\right)$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

$a_{\mathrm{ij}}_k(t+1)=a_{\mathrm{ij}}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_3\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂a_{\mathrm{ij}}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(10\right)$

$b_{\mathrm{ij}}_k(t+1)=b_{\mathrm{ij}}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_4\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂b_{\mathrm{ij}}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(11\right)$

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率。

所述模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”后，可进行“在线学习”，在此，为保证控制系统的实时性，仅对参数

和

进行“在线学习”，其步骤为：

①用离线学习方法得到的参数

和^ka_ij、^kb_ij赋值于模糊高斯基神经网络；

②根据机器人实际运行的控制输入，通过模糊高斯基神经网络控制机器人的动作，获得机器人的实际输出θ₁、θ₂；

③根据参考期望输出θ_d1、θ_d2和θ₁、θ₂，采用下列公式(12)，计算J_on

$J_{\mathrm{on}}=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dm}}-{\mathrm{\θ}}_m)}^2=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{e_m}^2---\left(12\right)$

④如果J_on小于或等于0.005，则结束在线学习，得到权值

⑤如果J_on大于0.005，则通过下列公式(12)～公式(17)，计算并更新参数

且返回步骤②进入计算流程，直至得到符合要求的权值

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},k=\mathrm{1,2};l=\mathrm{1,2}---\left(13\right)$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(14\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}=-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l})\·u_k,k=\mathrm{1,2},l=\mathrm{1,2}---\left(15\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}[-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l})\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}/\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k],$

$k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3};l=\mathrm{1,2}---\left(16\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l}\≈\frac{{\mathrm{\θ}}_m\left(t\right)-{\mathrm{\θ}}_m(t-1)}{y_l\left(t\right)-y_l(t-1)+\mathrm{\ϵ}}---\left(17\right)$

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率，ε是个极小的正数。

与现有技术相比，本发明的优点就在于：

1、本发明采用模糊高斯基神经网络控制方法，将神经网络与模糊控制相结合，能够较好的克服两者各自的缺点，既可以使模糊控制具有自学习的能力，又可以赋予神经网络推理归纳的能力，同时还能够使网络的结构、权值具有明确的物理意义；

2、本发明与以往传统的机器人控制方法相比，该方法能在水下恶劣环境下，具有根据环境的变化进行控制器在线参数学习整定的功能，因此使机器人的控制具有了很强的鲁棒性；

3、本方法解决了因外界参数不确定性和干扰未知时的二关节机器人控制问题，能实现水下环境的精确作业控制。

附图说明

图1是基于模糊高斯基神经网络的二关节机器人控制系统结构示意图；

图2是模糊高斯基神经网络控制器的结构示意图；

图3是隶属函数的初始形状与分布示意图；

图4是关节1的轨迹跟踪控制曲线示意图；

图5是关节1的跟踪误差曲线示意图；

图6是关节2的轨迹跟踪控制曲线示意图；

图7是关节2的跟踪误差曲线示意图；

图8是模糊高斯基神经网络的二关节机器人控制系统作业的流程示意图；

图9是模糊高斯基神经网络输入输出处理的流程示意图；

图10是离线学习算法的流程示意图；

图11是在线学习算法的流程示意图。

具体实施方式

以下将结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

如图8所示，本发明一种大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其步骤为：

(1)、建立模糊高斯基神经网络控制器结构，整个网络分为两个子网，每个子网代表一个关节的伺服控制器，考虑到关节之间的耦合作用，两子网的输出u₁和u₂分别乘以相应的影响因子得到整个网络的输出y₁和y₂；

(2)、初始化控制系统的各个参数及网络权值，取控制周期T值，通过轴编码器获取机器人当前二关节的角位移(θ₁、θ₂)，并通过预期定位坐标，计算出二关节的期望运动角位移(θ_d1、θ_d2)，从而求取二关节角位移的误差和误差变化率e₁＝θ_d1-θ₁、e₂＝θ_d2-θ₂、 ${\mathrm{ec}}_1=\frac{{\mathrm{de}}_1}{\mathrm{dT}},$ ${\mathrm{ec}}_2=\frac{{\mathrm{de}}_2}{\mathrm{dT}};$

(3)、将(e₁、e₂、ec₁、ec₂)作为模糊高斯基神经网络控制器的输入，通过模糊高斯基神经网络控制器求取二关节运动点上施加的力矩(t₁、t₂)，其中(t₁、t₂)满足关系式：t₁＝y₁，t₂＝y₂，根据力矩(t₁、t₂)控制二关节机器人上两个关节的电机运动，到达预期定位坐标。

如图1、图2和图9所示，在上述步骤(1)中模糊高斯基神经网络控制器依次分为5层，在下列各式中分别代表第k个子网的第i层网络的第j个神经元的输入和输出：

①计算输入；第1层将输入误差和误差变化率(e₁、e₂、ec₁、ec₂)引入网络，每个输入的论域均为[-1，1]；

${\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}_k={\mathrm{in}}_i^{\left(1\right)}=x_i,_k_{k}k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2}---\left(1\right)$

其中^kx_i代表第k个子网的第i个输入；

②模糊化；第2层对输入进行模糊化，对应于每个输入有3个模糊语言词集{N，Z，P}＝{“负”，“零”，“正”}，隶属函数采用高斯基函数，与{N，Z，P}对应的中心值分别为{-1，0，1}，宽度为{0.5，0.5，0.5}，

${\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}_k={\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}_k={\mathrm{\μ}}_{A_j^i_k}\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}_k\right)=e^{\frac{{\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}-a_{\mathrm{ij}}_k_k\right)}^2}{{b_{\mathrm{ij}}}^2_k}},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2};j=1,\mathrm{2,3}---\left(2\right)$

式中，

代表第k个子网中第i个输入对应的第j个语言词集， $A_i^j_k\∈\{N,Z,P\},$ ^ka_ij、^kb_ij分别为

的中心值和宽度；

③交叉相乘；第3层代表“and”操作，在此网络中用乘法代替取小运算，

${\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k={\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k={\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k\·{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k,k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(3\right)$

④去模糊化；第4层代表去模糊化过程，在这里采用权值平均判决法，

${\mathrm{in}}^{\left(4\right)}_k=\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k_k\right),k=\mathrm{1,2}---\left(4\right)$

$u_k={\mathrm{out}}^{\left(4\right)}_k={\mathrm{in}}^{\left(4\right)}_k/\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k,k=\mathrm{1,2}---\left(5\right)$

在式中，

为网络的权值，其物理意义是各控制规则的输出对应的语言词集的中心值；

⑤耦合处理；第5层代表关节之间的耦合作用，

$y_l=\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(u_k\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}),l=\mathrm{1,2}---\left(6\right)$

其中，

为网络权值，它反映了各关节之间的耦合作用。

在图1中，θ_d1、θ_d2是二关节的期望位置，θ₁、θ₂为二关节的实际位置，e₁、e₂为二关节的位置误差，e₁、e₂经微分后得到误差变化率ec₁、ec₂。t₁、t₂为作用于二关节的转矩。图1中，模糊高斯基神经网络被用作关节伺服控制器。下面的符号存在以下关系：¹x₁＝e₁，¹x₂＝ec₁，²x₁＝e₂，²x₂＝ec₂，t₁＝y₁，t₂＝y₂。

如图9所示，在上述步骤(2)中，使模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”，其步骤为：

①采用随机函数初始化网络各权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

②在模糊高斯基神经网络控制器中输入离线学习样本数据

③通过模糊高斯基神经网络计算网络输出y₁和y₂；

④根据下列公式(7)，计算J_off；

$J_{\mathrm{off}}=\frac{1}{2}\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\hat{y}}_l-y_l)}^2---\left(7\right)$

式中，

为样本输出，即网络期望输出，y_l为网络实际输出；

⑤如果J_off小于或等于0.01，则离线学习结束，得到权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

⑥如果J_off大于0.01，则通过下列公式(8)～公式(11)，计算并更新参数

和^ka_ij、^kb_ij，并返回第③步进入计算流程，直至得到符合要求的权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},k=\mathrm{1,2};l=\mathrm{1,2}---\left(8\right)$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

$a_{\mathrm{ij}}_k(t+1)=a_{\mathrm{ij}}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_3\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂a_{\mathrm{ij}}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(10\right)$

$b_{\mathrm{ij}}_k(t+1)=b_{\mathrm{ij}}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_4\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂b_{\mathrm{ij}}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(11\right)$

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率

在具体实施例中，“离线学习”的具体步骤为：在离线学习阶段，首先选取一组样本数据 $(\hat{x}_1^1,\hat{x}_2^1,\hat{x}_1^2,\hat{x}_2^2,{\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2),$ 然后用此样本数据对网络进行训练，训练的值包括

以及高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij。通过迭代公式(8)～公式(11)计算。

训练的目标函数为：

$J_{\mathrm{off}}=\frac{1}{2}\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\hat{y}}_l-y_l)}^2---\left(11\right)$

式中，为样本输出，即网络期望输出，y_l为网络实际输出。则有：

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}=\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}=-({\hat{y}}_l-y_l)\·u_k,k=\mathrm{1,2},l=\mathrm{1,2}---\left(12\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂u}_k}\·\frac{{\∂u}_k}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k})=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}[-({\hat{y}}_l-y_l){\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}/\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k],$

$k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(13\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂a_{1i}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂u}_k}\·\frac{{\∂u}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k}{\∂a_{1i}_k})$

$=2\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(-({\hat{y}}_l-y_l)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\·\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k-u_k}{\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\frac{\hat{x}_1^k-a_{1i}^k}{{b_{1i}}^2_k}),k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3}---\left(14\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂b_{1i}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂u}_k}\·\frac{{\∂u}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}_k}{\∂b_{1i}_k})$

$=2\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(-({\hat{y}}_l-y_l)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\·\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k-u_k}{\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\frac{{(\hat{x}_1^k-a_{1i}^k)}^2}{{b_{1i}}^2_k}),k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3}---\left(15\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂a_{2j}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂u}_k}\·\frac{{\∂u}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k}{\∂a_{2j}_k})$

$=2\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(-({\hat{y}}_l-y_l)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\·\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k-u_k}{\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\frac{\hat{x}_2^k-a_{2j}^k}{{b_{2j}}^2_k}),k=\mathrm{1,2};j=\mathrm{1,2,3}---\left(16\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{\∂b_{2j}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂y}_l}\·\frac{{\∂y}_l}{{\∂u}_k}\·\frac{{\∂u}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}{\∂{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k}\·\frac{\∂{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)}_k}{\∂b_{2j}_k})$

$=2\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}(-({\hat{y}}_l-y_l)\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\·\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k-u_k}{\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}\·{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\frac{{(\hat{x}_2^k-a_{2j}^k)}^2}{{b_{2j}}^3_k}),k=\mathrm{1,2};j=\mathrm{1,2,3}---\left(17\right)$

如图10所示，模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”后，可进行“在线学习”，其步骤为：

①用离线学习方法得到的参数

和^ka_ij、^kb_ij赋值于模糊高斯基神经网络；

②根据机器人实际运行的控制输入，通过模糊高斯基神经网络控制机器人的动作，获得机器人的实际输出θ₁、θ₂；

③根据参考期望输出θ_d1、θ_d2和θ₁、θ₂，采用下列公式(18)，计算J_on

$J_{\mathrm{on}}=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dm}}-{\mathrm{\θ}}_m)}^2=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{e_m}^2---\left(18\right)$

④如果J_on小于或等于0.005，则结束在线学习，得到权值

⑤如果J_on大于0.005，则通过下列公式(19)～公式(23)，计算并更新参数

且返回步骤②进入计算流程，直至得到符合要求的权值

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},k=\mathrm{1,2};l=\mathrm{1,2}---\left(19\right)$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k},k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3}---\left(20\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}=-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l})\·u_k,k=\mathrm{1,2},l=\mathrm{1,2}---\left(21\right)$

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{\∂{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}[-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l})\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}/\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}_k],$

$k=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2,3};j=\mathrm{1,2,3};l=\mathrm{1,2}---\left(22\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l}\≈\frac{{\mathrm{\θ}}_m\left(t\right)-{\mathrm{\θ}}_m(t-1)}{y_l\left(t\right)-y_l(t-1)+\mathrm{\ϵ}}---\left(23\right)$

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率，ε是个极小的正数。

以下用一个具体应用实例对本发明的操作进行详细说明。本专利的智能二关节机器人的控制方法应用于水下冷凝器清洗机器人的控制中，具体的参数为：m₁＝10kg，m₂＝2kg和l₁＝1.1m，l₂＝0.8m。初始条件为θ₁(0)＝0rad，θ₂(0)＝1rad， $\stackrel{\·}{{\mathrm{\θ}}_1}\left(0\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\left(0\right)=0\mathrm{rad}/s.$ 期望轨迹为θ_d1(t)＝sin(2πt)，θ_d2(t)＝cos(2πt)，采样周期T为0.0005s。假设摩擦项和扰动项分别为 $F\left(\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}}\right)=0.5\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}}\right),$ $T_d=(\mathrm{\Θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}})=\left[\begin{array}{c}5\cos \left(5t\right)\\ 5\cos \left(5t\right)\end{array}\right]N\·m.$ 网络的权值

的初值分别如表1、表2、表3所示。

表1权值

的初值

表2权值

的初值

表3权值

的初值

如图4～7所示，给出了所提模糊高斯基神经网络控制方法的结果，并与传统的模糊控制结果进行了比较。图4给出了关节1的轨迹跟踪曲线，在图中的三条曲线中，——表示关节1的角位移期望曲线；-----表示采用模糊高斯基控制器时，关节1的角位移变化曲线；…………表示采用传统模糊逻辑控制器时，关节1的角位移变化曲线；从图中可以看出，模糊高斯基控制器的更能使关节1的角位移最大限度的跟踪期望曲线，因此性能优于传统的模糊逻辑控制器。

如图5所示，给出了关节1的跟踪误差曲线，在图中的两条曲线中，_____表示表示采用模糊高斯基控制器时，关节1的角位移的误差曲线；______表示采用传统模糊逻辑控制器时，关节1的角位移的误差曲线；从图中可以看出，采用模糊高斯基控制器，误差较小，并能很快使误差接近零值。

如图6所示，给出了关节2的轨迹跟踪曲线，在图中的三条曲线中，_____表示关节2的角位移期望曲线；______表示采用模糊高斯基控制器时，关节2的角位移变化曲线；...............表示采用传统模糊逻辑控制器时，关节2的角位移变化曲线；从图中可以看出，模糊高斯基控制器的更能使关节2的角位移最大限度的跟踪期望曲线，因此性能优于传统的模糊逻辑控制器。

如图7所示，给出了关节2的跟踪误差曲线，在图中的两条曲线中，______表示表示采用模糊高斯基控制器时，关节2的角位移的误差曲线；_____表示采用传统模糊逻辑控制器时，关节2的角位移的误差曲线；从图中可以看出，采用模糊高斯基控制器，误差较小，并能很快使误差接近零值。从控制结果可以看出，模糊高斯基神经网络能够很好地用于机器人的控制，其性能与模糊控制器相比有了较大的提高。

Claims (5)

1、一种大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其特征在于步骤为：

(1)、建立模糊高斯基神经网络控制器结构，整个网络分为两个子网，每个子网代表一个关节的伺服控制器，考虑到关节之间的耦合作用，两子网的输出u₁和u₂分别乘以相应的影响因子得到整个网络的输出y₁和y₂；

(2)、初始化控制系统的各个参数及网络权值，取控制周期T值，通过轴编码器获取机器人当前二关节的角位移(θ₁、θ₂)，并通过预期定位坐标，计算出二关节的期望运动角位移(θ_d1、θ_d2)，从而求取二关节角位移的误差和误差变化率e₁＝θ_d1-θ₁、e₂＝θ_d2-θ₂、 ${\mathrm{ec}}_1=\frac{{\mathrm{de}}_1}{\mathrm{dT}},$ ${\mathrm{ec}}_2=\frac{{\mathrm{de}}_2}{\mathrm{dT}};$

(3)、将(e₁、e₂、e_c1、e_c2)作为模糊高斯基神经网络控制器的输入，通过模糊高斯基神经网络控制器求取二关节运动点上施加的力矩(t₁、t₂)，其中(t₁、t₂)满足关系式：t₁＝y₁，t₂＝y₂，根据力矩(t₁、t₂)控制二关节机器人上两个关节的电机运动，到达预期定位坐标。

2、根据权利要求1所述的大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其特征在于所述步骤(1)中模糊高斯基神经网络控制器依次分为5层，在下列各式中 分别代表第k个子网的第i层网络的第j个神经元的输入和输出：

①计算输入；第1层将输入误差和误差变化率(e₁、e₂、ec₁、ec₂)引入网络，每个输入的论域均为[-1，1]；

${\mathrm{}}^k{\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}{=}^k{\mathrm{in}}_i^{\left(1\right)}{=}^k{x}_i,$ k＝1，2；i＝1，2             (1)

其中^kx_i代表第k个子网的第i个输入；

②模糊化；第2层对输入进行模糊化，对应于每个输入有3个模糊语言词集{N，Z，P}＝{“负”，“零”，“正”}，隶属函数采用高斯基函数，与{N，Z，P}对应的中心值分别为{-1，0，1}，宽度为{0.5，0.5，0.5}，

${\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}_k={\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(2\right)}=_k{\mathrm{\μ}}_{A_i^j_k}\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}_k\right)=e^{-\frac{{\left({\mathrm{out}}_i^{\left(1\right)}-a_{\mathrm{ij}}_k_k\right)}^2}{{b_{\mathrm{ij}}}^2_k}},$ k＝1，2；i＝1，2；j＝1，2，3     (2)

式中，代表第k个子网中第i个输入对应的第j个语言词集， ${\mathrm{}}^k{A}_i^j\∈\{N,Z,P\},$ ^ka_ij、^kb_ij分别为

的中心值和宽度；

③交叉相乘；第3层代表“and”操作，在此网络中用乘法代替取小运算，

${\mathrm{}}^k{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}{=}^k{\mathrm{in}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}{=}^k{\mathrm{out}}_{1i}^{\left(2\right)}{\·}^k{\mathrm{out}}_{2j}^{\left(2\right)},$ k＝1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3      (3)；

④去模糊化；第4层代表去模糊化过程，在这里采用权值平均判决法，

${\mathrm{}}^k{\mathrm{in}}^{\left(4\right)}=\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{}}^k{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}{\·}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}\right),k=\mathrm{1,2}---\left(4\right)$

$u_k{=}^k{\mathrm{out}}^{\left(4\right)}{=}^k{\mathrm{in}}^{\left(4\right)}/\underset{i,j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{}}^k{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)},k=\mathrm{1,2}---\left(5\right)$

在式中，

为网络的权值，其物理意义是各控制规则的输出对应的语言词集的中心值；

⑤耦合处理；第5层代表关节之间的耦合作用，

$y_l=\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(u_k\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}),l=\mathrm{1,2}---\left(6\right)$

其中，

为网络权值，它反映了各关节之间的耦合作用。

3、根据权利要求1或2所述的大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其特征在于所述步骤(2)中，使模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”，其步骤为：

①初始化网络各权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

②在模糊高斯基神经网络控制器中输入离线学习样本数据 $({\mathrm{}}^{\mathrm{}}{\hat{x}}_1,{\mathrm{}}^{\mathrm{}}{\hat{x}}_2,{\mathrm{}}^{\mathrm{}}{\hat{x}}_1,{\mathrm{}}^{\mathrm{}}{\hat{x}}_2,{\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2);$

③通过模糊高斯基神经网络计算网络输出y₁和y₂；

④根据下列公式(7)，计算J_off；

$J_{\mathrm{off}}=\frac{1}{2}\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\hat{y}}_l-y_l)}^2---\left(7\right)$

式中，为样本输出，即网络期望输出，y_l为网络实际输出；J_off为训练的目标函数；

⑤如果J_off小于或等于0.01，则离线学习结束，得到权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij；

⑥如果J_off大于0.01，则通过下列公式(8)～公式(11)，计算并更新参数

和^ka_ij、^kb_ij，并返回第③步进入计算流程，直至得到符合要求的权值

和高斯函数的参数^ka_ij、^kb_ij：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},$  k＝1，2；l＝1，2       (8)

${\mathrm{}}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}(t+1){=}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}},$  k＝1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3     (9)

${\mathrm{}}^k\mathrm{}{a}_{\mathrm{ij}}(t+1){=}^k{a}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_3\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂}^k{a}_{\mathrm{ij}}},$  k＝1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3        (10)

${\mathrm{}}^k{b}_{\mathrm{ij}}(t+1){=}^k{b}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_4\frac{{\∂J}_{\mathrm{off}}}{{\∂}^k{b}_{\mathrm{ij}}},$  k＝1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3        (11)

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率。

4、根据权利要求3所述的大型冷凝器水下作业环境下二关节机器人的控制方法，其特征在于：所述模糊高斯基神经网络控制器完成“离线学习”后，可进行“在线学习”，为保证控制系统的实时性，仅对参数

和

进行“在线学习”，其步骤为：

①用离线学习方法得到的参数

和^ka_ij、^kb_ij赋值于模糊高斯基神经网络；

②根据机器人实际运行的控制输入，通过模糊高斯基神经网络控制机器人的动作，获得机器人的实际输出θ₁、θ₂；

③根据参考期望输出θ_d1、θ_d2和θ₁、θ₂，采用下列公式(12)，计算J_on

$J_{\mathrm{on}}=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dm}}-{\mathrm{\θ}}_m)}^2=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{e_m}^2---\left(12\right)$

④如果J_on小于或等于0.005，则结束在线学习，得到权值

⑤如果J_on大于0.005，则通过下列公式(12)～公式(17)，计算并更新参数

且返回步骤②进入计算流程，直至得到符合要求的权值

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}(t+1)={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_1\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}},$ k＝1，2；l＝1，2           (13)

${\mathrm{}}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}(t+1){=}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}\left(t\right)-{\mathrm{\η}}_2\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}},$ k=1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3      (14)

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}=-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l})\·u_k,$  k＝1，2，l＝1，2      (15)

$\frac{{\∂J}_{\mathrm{on}}}{{\∂}^k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}}=\underset{l=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}[-\underset{m=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({-e}_m\·\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l}){{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{kl}}^{\left(4\right)}}^k{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}/\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{out}}_{\mathrm{ij}}^{\left(3\right)}],$

k＝1，2；i＝1，2，3；j＝1，2，3；l＝1，2           (16)

$\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_m}{{\∂y}_l}\≈\frac{{\mathrm{\θ}}_m\left(t\right)-{\mathrm{\θ}}_m(t-1)}{y_l\left(t\right)-y_l(t-1)+\mathrm{\ϵ}}---\left(17\right)$

其中，η₁、η₂、η₃和η₄为学习率，ε是个极小的正数。

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