CN100461220C - 三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法 - Google Patents

Abstract

一种三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法涉及视觉系统中的摄像机模型参数的标定问题，其标定步骤包括：(1)标定固定参数，即首先通过图像处理技术获取图像坐标系中的圆轮廓上采样点与圆心的坐标，然后，利用图像坐标系中圆轮廓上的n个采样点，再利用最小二乘法求解纵横比；(2)在求得摄像机的固定参数后，利用图像坐标系中点的图像坐标与其对应的世界坐标系中点的空间坐标，标定摄像机可变参数的初值，该初值包括等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、畸变系数以及外部参数；(3)标定出可变参数的初值后，以固定参数为非线性优化目标函数的一个约束，建立带约束的目标函数，通过非线性优化方法求解可变参数的最优解。

Description

三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法

技术领域

本发明涉及视觉系统中的摄像机模型参数的标定问题，尤其涉及一种三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法。

背景技术

计算机视觉的基本任务之一，是从摄像机拍摄得到的图像出发，计算视场中物体的三维信息，由此来对三维物体进行重建和识别。物体表面点的三维几何信息与其在图像上的对应点之间的相互关系是由摄像机的成像模型决定的，建立这一几何模型的过程实际上就是摄像机参数的求解过程。因此，对摄像机参数的标定是这一建模过程的前提和关键。对摄像机参数的求解过程称为摄像机标定。

文献“Image Processing，Analysis，and Machine Vision”(M.Sonka，V.Hlavac，R.Boyle，International Thomson Publishing，1998)中阐述了一种较为通用的摄像机成像模型，该成像模型可以用以下公式来描述：

$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\mathrm{\λA}\left[\begin{array}{cc}R& T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$

其中，X_w，Y_w，Z_w是标定物的世界坐标系坐标，u，v是在图像坐标系中的二维坐标，λ为一标量，R，T为摄像机的外部参数矩阵，分别定义了摄像机在三维空间的姿态和位置， $A=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& s& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 为摄像机内部参数矩阵，其中f_x，f_y分别表示在x方向和y方向上像点的物理坐标到图像坐标的比例系数，或称为x方向和y方向上的等效焦距，s表示轴间倾斜因子，(u₀，v₀)表示图像的主点坐标。

摄像机标定就是计算摄像机模型参数的过程。摄像机标定技术大致可以分成两类：传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。

近年来，摄像机的自标定算法取得了很大的进展，已发表了相当数量的文献，其中一些算法获得了较为广泛的应用。但是由于自标定算法相对于传统标定算法精度要差，不适合诸如三维扫描等对检测精度要求非常高的场合。

传统的标定算法也得到了较为广泛的应用，同时也获得了较好的效果。例如文献“A flexible new technique for camera calibration”(Zhang Z Y.IEEETransaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，22(11)：1330-1334)中公开了一种利用平面模板上特征点的对应关系以及摄像机内部参数的约束条件来求解摄像机参数的标定方法。该方法并不需要知道标准参照物的尺寸，仅仅利用平面模板上的特征点的对应关系，将平面模板在摄像机前任意转动两次或两次以上即可完成标定，无需了解模板的运动参数，也使标定过程变得更加容易方便。缺点是该方法中仅考虑了径向畸变，对于切向畸变比较大的场合不适用。另外求解初值的时候采用的是整幅图像的特征点，而不是采用图像中心附近的畸变较小的特征点，这样初值求解不当会造成非线性优化的收敛性和标定精度的降低。

现有的传统摄像机标定方法一般将摄像机参数分为内部参数和外部参数，内部参数常常在实验室标定完成，而外部参数的标定则在现场的三维扫描过程中完成。这种分类方法在工程实际应用并不是完美的，常常会带来较大的系统误差。这是因为在每次测量时如果认为内部参数是不变的而不作标定，但实际上内部参数中的某些易变参数会发生变化从而影响系统精度；如果每次都标定内部参数，但限于测量现场的条件，对于内部参数中的某些固定值的标定误差会比较大，从而导致系统误差的增大。

发明内容

本发明提供一种三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法，具有标定精度高和稳定性好的优点。

本发明的技术方案如下：本发明的三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法包括：首先标定固定参数，也即标定纵横比；然后利用平面模板法标定可变参数的初值，即标定外部参数、主点坐标、焦距、轴间倾斜因子、畸变系数；最后把固定参数作为一个约束，建立带约束的优化目标函数，用Levenberg-Marquardt法对可变参数进行非线性优化求得最优解。

该方法的操作步骤为：

步骤1：首先垂直拍摄标准模板圆，提取图像坐标系中的圆轮廓，利用最小二乘法对提取的圆轮廓进行曲线拟合，得到图像坐标系下的圆心坐标，然后，利用像平面与图像平面的对应关系，将像平面上圆轮廓方程：

(x_i-x_c)²+(y_i-y_c)²＝r²，i＝1，2，3，…，n

变换为用图像坐标表示的圆轮廓方程：

[μ_x(u_i-u_c)]²+[μ_y(v_i-v_c)]²＝r²，i＝1，2，3，…，n

其中(x_i，y_i)，i＝1，2，3，…，n为像平面圆轮廓上点的坐标，(x_c，y_c)为圆心坐标，u_i，v_i，u_c，v_c分别表示图像中拟合圆轮廓点的横坐标、纵坐标、圆心横坐标与纵坐标，r是图像平面上拟合圆的半径，μ_x，μ_y为每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸，令τ_xy＝μ_x/μ_y，由μ_x，μ_y的定义知τ_xy就是待标定的纵横比，则可得到：

${\left[{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}(u_i-u_c)\right]}^2+{(v_i-v_c)}^2=\frac{r^2}{{\mathrm{\μ}}_y^2},i=\mathrm{1,2,3},\·\·\·,n$

最后，利用图像坐标系中圆轮廓上的n个采样点，再利用最小二乘法得到纵横比τ_xy；

步骤2：在求得摄像机的固定参数τ_xy后，利用图像坐标系中点的图像坐标与其对应的世界坐标系中点的空间坐标，求解单应性矩阵，然后根据单应性矩阵标定摄像机可变参数的初值，该初值包括等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、畸变系数以及外部参数；

步骤3：标定出可变参数的初值后，以固定参数为非线性优化目标函数的一个约束，建立带约束的目标函数：

通过非线性优化方法求解可变参数的最优解。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

(1)本发明中将摄像机参数分为固定参数与可变参数，更加契合工程实际应用。

(2)本发明比较完整地标定了摄像机的固定参数与可变参数，包括纵横比、等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、姿态参数及平移参数，同时标定了镜头的畸变系数。

(3)本发明中采用非线性优化算法，将已标定的固定参数作为非线性优化目标函数的一个约束，建立带约束的目标函数，通过简单的标定设备实现对可变参数的标定，使现场的标定过程简便快捷，又保持较高的精度。

(4)本发明中使用了平面标定物进行标定，平面标定物较立体标定物具有制作简单，精度高等优点，降低了标定过程中对高精度标定物的依赖，简化了标定过程。

附图说明

图1是标定板图。

图2是标准模板圆图。

图3是标定固定参数流程图。

图4是标定可变参数初值流程图。

图5是三维扫描系统结构图。

图6是摄像机模型参数标定流程图。

具体实施方式

三维扫描系统中基于固定参数与可变参数的标定包括：先对固定参数进行标定；然后结合理想针孔透视模型，求解出单应性矩阵，利用平面模板法标定摄像机可变参数的初值；最后把固定参数作为非线性优化目标函数的一个约束，对目标函数进行非线性优化得到可变参数的最优解。

下面参照附图，对本发明具体实施方案作出更为详细的描述：

本发明利用平面标定物——标定板进行摄像机参数标定，标定板上阵列分布有圆标志点，如附图1所示。通过对摄像机拍摄获取的图像进行处理，获得标志点的世界坐标系坐标与图像坐标系坐标。本发明中的标定算法利用这些圆心数据，对摄像机模型参数进行标定。

具体步骤如下：

(1)固定参数的标定

利用图像处理技术进行纵横比的标定。首先垂直拍摄标准模板圆，如附图2所示，然后提取圆轮廓，最后利用最小二乘法对提取的圆轮廓进行曲线拟合，得到图像坐标系下的圆心坐标。设像平面上圆轮廓方程为：

(x_i-x_c)²+(y_i-y_c)²＝r²，i＝1，2，3，…，n

其中(x_i，y_i)，i＝1，2，3，…，n为像平面圆轮廓上点的坐标，(x_c，y_c)为圆心坐标，r是半径。设每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸为μ_x，μ_y，由摄像机模型可知，在不考虑轴间倾斜因子的情况下，像平面点(x，y)同图像平面对应点(u，v)的关系为：

$\left\{\begin{array}{c}u=u_0+\frac{x}{{\mathrm{\μ}}_x}\\ v=v_0+\frac{y}{{\mathrm{\μ}}_y}\end{array}\right.$

将上式改写为：

$\left\{\begin{array}{c}x={\mathrm{\μ}}_x(u-u_0)\\ y={\mathrm{\μ}}_y(v-v_0)\end{array}\right.$

由此可以得到用图像坐标表示的圆轮廓方程为：

[μ_x(u_i-u_c)]²+[μ_y(v_i-v_c)]²＝r²，i＝1，2，3，…，n

其中u_i，v_i，u_c，v_c分别表示图像平面上拟合圆轮廓点的横坐标、纵坐标、圆心横坐标与纵坐标，r是图像平面上拟合圆的半径。

令τ_xy＝μ_x/μ_y，由μ_x，μ_y的定义知τ_xy就是待标定的纵横比，则可得到：

${\left[{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}(u_i-u_c)\right]}^2+{(v_i-v_c)}^2=\frac{r^2}{{\mathrm{\μ}}_y^2},i=\mathrm{1,2,3},\·\·\·,n$

显然这可以用线性最小二乘来求解，对应的优化目标函数为：

$F({\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\μ}}_y)=\underset{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\μ}}_y}{\min }\left(\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\{{\left[{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}(u_i-u_c)\right]}^2+{(v_i-v_c)}^2-\frac{r^2}{{\mathrm{\μ}}_y^2}\}}^2\right)$

利用图像坐标系中圆轮廓上的n个采样点，可以将优化目标函数写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{cc}{(u_1-u_c)}^2& -r^2\\ {(u_2-u_c)}^2& -r^2\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ {(u_n-u_c)}^2& -r^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}^2\\ \frac{1}{{\mathrm{\μ}}_y^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-{(v_1-v_c)}^2\\ -{(v_2-v_c)}^2\\ \·\\ \·\\ \·\\ -{(v_n-v_c)}^2\end{array}\right]$

再利用最小二乘法求解上式就可以得到纵横比τ_xy，具体求解过程见附图3。

(2)摄像机可变参数的初标定

在求得摄像机的固定参数τ_xy后，利用图像坐标系中点的图像坐标与其对应的世界坐标系中点的空间坐标，求解单应性矩阵，然后根据单应性矩阵求解摄像机可变参数的初值，主要包括等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、畸变系数以及外部参数。文献“A Flexible New Technique for Camera Calibration”(ZhangZ Y，IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，20(11)：1330-1334)提出一种被称为平面模板法的标定算法，它主要是首先用理想针孔透视模型来线性求解摄像机的除畸变系数外的内外参数，然后利用实际成像模型来求解畸变系数，最后利用非线性最优化算法来优化所有摄像机内外参数。本发明中采用了该文献中第一步算法，但不同之处在于本发明中具体给出了对图像坐标和世界坐标归一化处理的步骤，另外在求解畸变系数时考虑了切向畸变。

令世界坐标系的Z_w分量为0，则理想针孔透视模型可表示为：

其中

$H=\mathrm{\λA}\left[\begin{array}{ccc}{r}_1& r_2& T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{h}_1& h_2& h_3\end{array}\right],$ r_i(i＝1～3)和h_i(i＝1～3)表示旋转矩阵R和矩阵H的列向量，矩阵A为内参数矩阵，w，λ为标量；

H矩阵称为单应性矩阵，它表示了标定模板平面与图像平面之间的单应性，自由度是8，因此需要至少4个以上非共线对应点，才可以求出带比例因子的H矩阵。H矩阵的求解是一个非线性最小二乘问题，可以用Levenberg-Marquardt法进行非线性优化来解决。用非线性优化方法求解需要有一个合适的初始值来迭代，初始值获得方法如下：

假设h_i表示矩阵H的第i个行向量，可将摄像机理想针孔透视模型改写成：

令 $X={\left[\begin{array}{ccc}{h}_1^T& h_2^T& h_3^T\end{array}\right]}^T,$ 从而将上式表示为：

如果有n对给定的点，我们就能得到n个上述的方程组，联立这n个方程组，就能得到一个形如LX＝0的矩阵方程，其中L是一个2n×9的矩阵，X的解是矩阵L^TL的最小特征值对应的特征向量。实际求解过程中，观察L矩阵的构成可知，其元素有的是图像坐标系坐标，有的是世界坐标系坐标，有的则是这二者的乘积，即构成矩阵L的各元素数量值相差很大，因此L是一个非常病态的方程，需要对其进行改造。本发明对图像坐标和世界坐标进行了归一化处理以改善矩阵L的病态性能。设各图像点坐标为(u_i，v_i)(i＝1，2，……，n)，各空间点的世界坐标系坐标为(X_wi，Y_wi)(i＝1，2，……，n)，则整个步骤总结如下：

1.)分别求u，v两轴上各坐标的平均值m_u，m_v为：

$m_u=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i}{n},$ 　 $m_v=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i}{n}$

则各图像点相对于平均值点的相对值Δu_i，Δv_i为：

Δu_i＝u_i-m_u，Δv_i＝v_i-m_v

同样对世界坐标系坐标进行处理，可得其平均值和相对值为：

$m_x=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{\mathrm{wi}}}{n},$ 　 $m_y=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{Y}_{\mathrm{wi}}}{n}$

ΔX_wi＝X_wi-m_x，ΔY_wi＝Y_wi-m_y

2.)分别求u，v两轴上及X_W，Y_W两轴上所有相对坐标到质心的平均值d_uv，d_xy为：

$d_{\mathrm{uv}}=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(\mathrm{\Δ}{u}_i^2+\mathrm{\Δ}{v}_i^2)}^{\frac{1}{2}}}{n},$   $d_{\mathrm{xy}}=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(\mathrm{\Δ}{X}_{\mathrm{wi}}^2+\mathrm{\Δ}{Y}_{\mathrm{wi}}^2)}^{\frac{1}{2}}}{n}$

3.)分别求u，v两轴上及X_W，Y_W两轴上的比例缩放因子s_uv，s_xy为：

$s_{\mathrm{uv}}=\frac{\sqrt{2}}{d_{\mathrm{uv}}},$   $s_{\mathrm{xy}}=\frac{\sqrt{2}}{d_{\mathrm{xy}}}$

4.)u，v两轴上及X_W，Y_W两轴上的变换关系可以用矩阵T_uv，T_xy表示为：

$T_{\mathrm{uv}}=\left[\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{uv}}& 0& -s_{\mathrm{uv}}{m}_u\\ 0& s_{\mathrm{uv}}& -s_{\mathrm{uv}}{m}_v\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ 　 $T_{\mathrm{xy}}=\left[\begin{array}{ccc}{s}_{\mathrm{xy}}& 0& -s_{\mathrm{xy}}{m}_x\\ 0& s_{\mathrm{xy}}& -s_{\mathrm{xy}}{m}_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

5.)设经过归一化处理的图像坐标与世界坐标系坐标分别为

与

则有下列关系成立：

    

设用归一化处理后的图像坐标与世界坐标系坐标的单应性矩阵为

则原坐标系中图像平面与空间坐标系之间的单应性矩阵为：

$H={T_{\mathrm{uv}}}^{-1}\tilde{H}{T}_{\mathrm{xy}}$

由于旋转矩阵R是单位正交矩阵，故r₁，r₂是单位正交向量，由此可得两个约束：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2=0\\ h_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_1=h_2^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2\end{array}\right.$

令 $B=A^{-T}{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_4\\ b_2& b_3& b_5\\ b_4& b_5& b_6\end{array}\right],$ 定义向量b＝[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]^T，则上式可重新写为：

$\left[\begin{array}{c}{v}_{12}^T\\ {(v_{11}-v_{22})}^T\end{array}\right]b=\mathrm{Vb}=0$

其中v_ij＝[h_i1h_j1，h_i1h_j2+h_i2h_j1，h_i2h_j2，h_i3h_j1+h_i1h_j3，h_i3h_j2+h_i2h_j3，h_i3h_j3]^T，h_ij为矩阵H的第i行，第j列元素。每拍n(n≥3)幅平面标定板的图像就可得到n个上述的方程组，从而求解出矩阵B。在求解出B后，通过乔里斯基分解就可标定出内参数矩阵A，包括等效焦距、轴间倾斜因子和主点坐标。标定出内参数矩阵A后，就可确定每幅图像的外部参数，即摄像机外部参数为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=1/\left|\right|A^{-1}{h}_1\left|\right|=1/\left|\right|A^{-1}{h}_2\left|\right|\\ r_1=\mathrm{\ρ}{A}^{-1}{h}_1,r_2=\mathrm{\ρ}{A}^{-1}{h}_2,r_3=r_1\×r_2\\ T=\mathrm{\ρ}{A}^{-1}{h}_3\end{array}\right.$

由上式确定的旋转矩阵R不满足正交性，因此采用奇异值分解方法将其正交化，得到摄像机的外部参数。

由于成像镜头本身的制造问题，对于非精密测量用的镜头而言，畸变的影响是很大的。本发明考虑了镜头的径向畸变和切向畸变，建立了一个完整的摄像机畸变模型。设(u，v)是理想的图像点坐标，

是实际观测到的图像点坐标。理想点的成像模型遵从理想针孔透视模型。类似地，设(X_n，Y_n)是理想的空间点的归一化图像坐标，

是实际观测的空间点的归一化图像坐标。可得：

${\tilde{X}}_n=X_n+X_n[k_1(X_n^2+Y_n^2)+k_2{(X_n^2+Y_n^2)}^2]+p_1(3X_n^2+Y_n^2)+2p_2{X}_n{Y}_n$

${\tilde{Y}}_n=Y_n+Y_n[k_1(X_n^2+Y_n^2)+k_2{(X_n^2+Y_n^2)}^2]+2p_1{X}_n{Y}_n+p_2(X_n^2+{3Y}_n^2)$

其中k₁，k₂是一阶和二阶径向畸变系数，p₁，p₂是切向畸变系数。图像坐标系坐标和归一化图像坐标的转换关系为：

　      $\left\{\begin{array}{c}u=u_0+f_x{X}_n+s{Y}_n\\ v=v_0+f_y{Y}_n\end{array}\right.$

联立上述两式，可得：

$+p_2[s(X_n^2+Y_n^2)+2Y_n(u-u_0)]$

将上式改写成矩阵形式有：

其中 $A_1=(u-u_0)(X_n^2+Y_n^2),B_1=(u-u_0){(X_n^2+Y_n^2)}^2,$

     $C_1=f_x(X_n^2+Y_n^2)+2X_n(u-u_0),D_1=s(X_n^2+Y_n^2)+2Y_n(u-u_0),$

     $A_2=(v-v_0)(X_n^2+Y_n^2),B_2=(v-v_0){(X_n^2+Y_n^2)}^2,$

     $C_2=2X_n(v-v_0),D_2=f_y(X_n^2+3Y_n^2)$

在给出了n幅图像的标定点数据后，将这些等式堆积起来就得到形如Dk＝d的等式，其中k＝[k₁，k₂，p₁，p₂]^T，用线性最小二乘法解得：

k＝(D^TD)^-1D^Td

至此，我们得到了摄像机的所有可变参数的初值，算法流程见附图4。

(3)可变参数的非线性优化

标定出可变参数的初值后，为了获得更高精度的可变参数，把固定参数作为非线性优化目标函数的一个约束，建立带约束的目标函数为：

其中n为图像数量，m_j表示每幅图像获取的控制点个数，

是点M_j在第i幅图像上的投影点坐标，m_ij＝(u_ij，v_ij)^T为实际的图像坐标。待优化的可变参数包括：内参数矩阵A，畸变系数矩阵k_c＝[k₁，k₂，p₁，p₂]^T，第i幅图像的外参数矩阵R_i，T_i。

设R_i可表示为R_i＝[r_1i r_2i r_3i]，其中r_ji(j＝1，2，3)为R_i的列向量，设M_cj是与点M_j对应的摄像机坐标系坐标。则有：

M_cj＝[r_1i r_2i T_i]M_j

令M_cj＝(X_cj，Y_cj，Z_cj)^T，设M_nj＝(X_nj，Y_nj)^T为M_cj的归一化坐标，即有：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{nj}}=X_{\mathrm{cj}}/Z_{\mathrm{cj}}\\ Y_{\mathrm{nj}}=Y_{\mathrm{cj}}/Z_{\mathrm{cj}}\end{array}\right.$

进一步可设与M_nj对应的齐次坐标为 ${\tilde{M}}_{\mathrm{nj}}={(X_{\mathrm{nj}},Y_{\mathrm{nj}},1)}^T,$ m(A，R_i，T_i，M_j)＝(u，v)^T为与点M_j对应的理想图像坐标，则有：

$m(A,R_i,T_i,M_j)=A{\tilde{M}}_{\mathrm{nj}}$

进而容易得到

综上所述，Levenberg-Marquardt法优化求解可变参数的最优解的步骤可归纳为：

1.)设k_max表示迭代次数，x表示待优化可变参数列向量，f(x)表示偏差函数，x₀表示可变参数列向量的初值，ε₁，ε₂(ε₁>0，ε₂>0)表示迭代终止实数，J(x)表示Jacobian矩阵。令k＝0，v＝2，x＝x₀，B＝J^T(x)J(x)，g(x)＝J^T(x)f(x)。令b＝(‖g(x)‖_∞≤ε₁)，b为布尔变量。计算阻尼系数μ＝τ·max{b_ii}，其中b_ii为矩阵B中对角线元素；

2.)如果b为假并且k<k_max，则转向3.)，否则结束优化；

3.)k＝k+1，令迭代增量为Δx，计算Δx＝(J^T(x)J(x)+μI)^-1J^T(x)f(x)；

4.)如果‖Δx‖≤ε₂(‖x‖+ε₂)，则设b为真，否则转向5.)；

5.)设x_new＝x+Δx，F′(x)＝g(x)，η为增益系数，则

$\mathrm{\&eta;}=\frac{F\left(x\right)-F\left(x_{\mathrm{new}}\right)}{L\left(0\right)-L\left(\mathrm{\&Delta;x}\right)}$

其中由泰勒(Taylor)公式展开，定义：

$L\left(0\right)-L\left(\mathrm{\&Delta;x}\right)=-\mathrm{\&Delta;}{x}^T{J}^T\left(x\right)f\left(x\right)-\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{x}^T{J}^T\left(x\right)J\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}$

$=-\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{x}^T[2g\left(x\right)+(J^T\left(x\right)J\left(x\right)+\mathrm{\&mu;I}-\mathrm{\&mu;I})\mathrm{\&Delta;x}]$

$=\frac{1}{2}\mathrm{\&Delta;}{x}^T(\mathrm{\&mu;\&Delta;x}-g\left(x\right))$

则增益系数可写成：

$\mathrm{\&eta;}=\frac{2(F\left(x\right)-F\left(x_{\mathrm{new}}\right))}{\mathrm{\&Delta;}{x}^T(\mathrm{\&mu;\&Delta;x}-g\left(x\right))};$

6.)如果η≤0，则μ＝μ*v，v＝2*v，否则转向7.)；

7.)令x＝x_new，计算B＝J^T(x)J(x)，g(x)＝J^T(x)f(x)，b＝(‖g(x)‖_∞≤ε₁)，令 $\mathrm{\&mu;}=\mathrm{\&mu;}*\max \{\frac{1}{3},1-{(2\mathrm{\&eta;}-1)}^3\},$ 转向2.)。

从整个优化的过程来看，迭代的终止条件有：

1)‖g(x)‖_∞≤ε₁(ε₁>0)

2)‖Δx‖≤ε₂(‖x‖+ε₂)(ε₂>0)

3)k≥k_max

满足以上三个条件中的一个就可以结束优化。

实际的三维扫描系统中将两个CCD摄像机按图5所示固定在架子上。按照标定算法的要求左右镜各拍摄5幅原始标定板图像信息，每次标定选择其中任意4幅进行标定。按上述步骤进行处理，基于篇幅，仅列出左镜摄像机模型参数。得到固定参数为：τ_xy＝1.00036，可变参数的标定结果见表1，表2。

表1 摄像机可变内部参数标定结果

 

图像序号	(1234)	(1235)	(1245)	(1345)	(2345)	均值	标准差
								f<sub>x</sub>	2482.81	2480.26	2480.02	2479.15	2478.99	2480.24	1.533
f<sub>y</sub>	2483.70	2481.12	2480.96	2479.93	2479.90	2481.12	1.548
								u<sub>0</sub>	675.11	677.72	675.09	676.37	677.85	676.43	1.343
v<sub>0</sub>	521.11	521.77	520.54	519.04	519.05	520.30	1.227
								S	-0.53	-0.71	-0.53	-0.16	-0.75	-0.54	0.233
k<sub>1</sub>	-0.0957	-0.1031	-0.0936	-0.0949	-0.0948	-0.0964	0.00381
								k<sub>2</sub>	0.52743	0.55823	0.50729	0.50603	0.50312	0.52042	0.02322
p<sub>1</sub>	-0.0010	-0.0010	-0.0011	-0.0011	-0.0009	-0.00107	0.00007
								p<sub>2</sub>	0.00069	0.00089	0.00093	0.00061	0.00064	0.00075	0.00015

表2 摄像机可变外部参数标定结果

整个标定过程按照附图6中的流程进行，依次标定固定参数，标定摄像机可变参数初值，包括等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、畸变系数、外部参数，最后，非线性优化求解可变参数的最优解。

本发明针对现有的传统摄像机标定技术所存在的缺点和限制，提出将摄像机参数分为固定参数与可变参数。固定参数主要与透镜组和CCD的自身特性有关，其性质在较长时间内是稳定的，如CCD中像素间的纵横比。而可变参数除了包括外部参数，还包括一些易变内部参数如CCD的等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子及畸变系数等。通过这样分类，固定参数的标定就可以独立于现场的三维扫描过程，即可以在使用较长时间后在实验室标定一次，不必每次在测量现场标定。而对于可变参数，在每次进行三维测量时，则放在测量现场标定。本发明的目的在于设计一种能够更加契合工程实际应用的三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的摄像机标定方法。该方法具有标定模板制作简单，现场标定简便快捷、精度高、速度快的优点。

Claims (1)

1.一种三维扫描系统中的基于固定参数与可变参数的标定方法，其特征在于：

步骤1：首先垂直拍摄标准模板圆，提取图像坐标系中的圆轮廓，利用最小二乘法对提取的圆轮廓进行曲线拟合，得到图像坐标系下的圆心坐标，然后，利用像平面与图像平面的对应关系，将像平面上圆轮廓方程：

(x_i-x_c)²+(y_i-y_c)²＝r²，i＝1，2，3，…，n

变换为用图像坐标表示的圆轮廓方程：

[μ_x(u_i-u_c)]²+[μ_y(v_i-v_c)]²＝r²，i＝1，2，3，…，n

其中(x_i，y_i)，i＝1，2，3，…，n为像平面圆轮廓上点的坐标，(x_c，y_c)为像平面上圆心坐标，r为像平面上圆的半径，u_i，v_i，u_c，v_c分别表示图像坐标系中拟合圆轮廓点的横坐标、纵坐标、圆心横坐标与纵坐标，图像坐标系横坐标轴和纵坐标轴表示为u轴和v轴，μ_x，μ_y为每一个像素在图像坐标系上u轴和v轴方向上的物理尺寸，令τ_xy＝μ_x/μ_y，由μ_x，μ_y的定义知τ_xy就是待标定的纵横比，则可得到：

${\left[{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{xy}}(u_i-u_c)\right]}^2+{(v_i-v_c)}^2=\frac{r^2}{{\mathrm{\&mu;}}_y^2},i=\mathrm{1,2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n$

最后，利用图像坐标系中圆轮廓上的n个采样点，再利用最小二乘法得到纵横比τ_xy，对应的优化目标函数为：

$F({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\&mu;}}_y)=\underset{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{xy}},{\mathrm{\&mu;}}_y}{\min }\left\{\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\{{\left[{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{xy}}(u_i-u_c)\right]}^2+{(v_i-v_c)}^2-\frac{r^2}{u^2}\}}^2\right);$

步骤2：在求得摄像机参数中作为固定参数的纵横比τ_xy后，利用图像坐标系中点的图像坐标与其对应的世界坐标系中点的空间坐标，求解单应性矩阵，然后根据单应性矩阵标定摄像机可变参数的初值，该初值包括等效焦距、主点坐标、轴间倾斜因子、畸变系数以及外部参数的初始值；

步骤3：标定出可变参数的初值后，以固定参数为非线性优化目标函数的一个约束，建立带约束的目标函数：

其中n′为图像数量，m_j表示每幅图像获取的控制点个数，

是点M_j在第i幅图像上的投影点坐标，m_ij＝(u_ij，v_ij)^T为实际的图像坐标，f_x，f_y分别表示在x方向和y方向上的等效焦距，待优化的可变参数包括：内参数矩阵A，畸变系数矩阵k_c＝[k₁，k₂，p₁，p₂]^T，第i幅图像的外参数矩阵R_i、T_i；其中k₁，k₂是一阶和二阶径向畸变系数，p₁，p₂是切向畸变系数，

通过非线性优化方法求解可变参数的最优解。

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