CN100454187C - 基于直接延迟反馈的混沌产生方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种无穷维混沌信号产生方法。该方法针对事先选定的非混沌非线性系统，根据实际情况确定控制注入点，控制的方法采用简单的直接延迟反馈。控制参数可以根据利用MATLAB和庞加莱截面得到的混沌分岔图和实际需要选择。分析信号的时域波形、功率谱和李亚谱诺夫指数可以确定混沌信号的产生。该方法与现有无穷维混沌产生方法相比，更简单。同时，能够根据需要，产生或消除混沌，为控制和系统提供更大的灵活性。该方法应用于混沌保密通信和混沌振动，将产生更好的效果。

Description

基于直接延迟反馈的混沌产生方法

技术领域

本发明涉及一种混沌信号产生方法，特别是一种基于直接延迟反馈的混沌产生方法。

背景技术

人们对混沌的研究已经有40年的历史，对混沌问题的研究重点也从最初的发现和解释混沌现象发展到近年的控制和利用混沌现象^[1]。对于混沌的控制问题，自1990年，著名的OGY方法^[2]被提出后，人们已经提出很多控制方法并得到了广泛应用^[3-10]。当混沌的存在对系统有害时，这些方法能够消除混沌。与混沌的控制问题相反，混沌的产生是指当混沌的存在对系统有益时，有人为地产生或加强混沌。例如：混沌的存在有利于提高神经网络的性能^[11]；利用混沌提高信号和图像传输中的编码效率^[12，13]；混沌水平对流(Chaotic Advection)在液体混合过程和涉及到热交换的场合能够获得更好的效果^[14]；混沌振动可以提高压路机和研磨机效率^[15，16]等。混沌现象的这些潜在应用使混沌信号发生问题成为新的研究热点。

相对于混沌控制的研究，混沌产生方法的研究起步较晚。1998年，Chen等提出针对离散系统产生混沌的反馈控制方法，使离散系统产生了Li-Yorke意义下的混沌现象^[17]。1999年，Wang等给出了该方法的理论证明^[18]。2000年，Wang和Chen等提出具有小幅值正弦函数形式的延迟反馈控制——间接延迟反馈控制，并将其应用于线性最小相位系统、CHUA电路、LORENZ系统和感应电机中，使这些系统产生了混沌现象^[19-23]。2001年，Tang和Chen等人又提出采用绝对值反馈产生混沌，并将这种机制应用于线性系统、DUFFERING振子和无刷直流电动机^[24-26]。最近几年，人们又提出基于反馈线性化的混沌产生方法^[27]、基于模糊神经网络的混沌产生方法^[28]、采用分段线性控制函数的混沌产生方法^[29-32]。这些混沌反控制方法为混沌的工程应用进行了有益探索。

以下是申请人给出的参考文献：

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现有的混沌产生方法中，采用间接延迟反馈控制产生的混沌信号与其它方法产生的混沌信号相比，产生的信号混沌程度更强，理论上具有无穷维。应用于混沌保密通信将具有更好的保密效果，应用于研磨机和压路机具有更好的研磨和压实效果。但是这种延迟反馈控制方法存在以下不足：首先，在采用这种方法产生混沌时，需要将延迟信号经过正弦函数变换，控制形式复杂；其次，这种方法在对非线性系统进行控制时，必须进行反馈线性化，要找到适合的输出函数使系统能够满足反馈线性化条件，这样就使计算过程和实际的控制函数形式更为复杂，给工程应用带来很大限制。另外，从控制的角度看，本领域的技术人员希望能够采用一种统一的方法，在需要混沌时，产生混沌，在不需要混沌时，消除混沌，给设计者以最大的灵活性^[19，33]，这种间接延迟反馈控制目前还无法实现混沌控制。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种基于直接延迟反馈的混沌产生方法。

为了实现上述任务，本发明采取如下的技术解决方案：

一种基于直接延迟反馈的混沌产生方法，其特征在于，该方法在连续非线性系统中采用直接延迟反馈产生混沌信号，具体包括下列步骤：

第一步：选择被控对象

被控对象选择三阶以上(包括三阶)的连续非线性系统，其系统按dx/dt＝f(x)方式运行，其中x为状态向量，f(·)为非线性向量函数，系统在没有外加输入时，处于非混沌状态；

第二步：针对实际对象的特点选择外部控制的注入方式

注入方式为dx/dt＝f(x)+u，外部控制施加的位置根据实际系统的具体情况选定，不能选择实际系统无法接受的控制，控制的方法采用直接延迟反馈方式u＝K(x(t)-x(t-τ))，其中，u为外部控制量，K为放大倍数、τ为延迟时间；

第三步：利用被控对象数学模型进行计算机仿真

选择合适的庞加莱截面，得到在特定外部控制注入方式下，直接延迟反馈放大倍数和延迟时间的混沌分岔图。在MATLAB的SIMULINK环境下建立对象的数学模型，利用M文件运行SIMULINK程序，通过分析和试凑选择庞加莱截面，采用描点法得到关于直接延迟反馈的放大倍数K和延迟时间τ的混沌分岔图。从分岔图中得到产生分岔时控制参数的值和使得系统进入混沌状态的参数及对应的受控系统处于混沌状态的大致幅值；

第四步：根据被控系统的应用要求和混沌分岔图确定直接延迟反馈放大倍数和延迟时间，并根据实际应用要求的混沌运动幅值在分岔图中确定控制参数选择的大致值，对于要求的混沌程度，通过计算参数对应的李亚谱诺夫指数来估计；

第五步：利用选择好的延迟时间和直接延迟反馈放大倍数在非混沌系统中产生混沌信号；

第六步：检验混沌信号的功率谱、李亚谱诺夫指数等混沌特征量，确认系统工作于混沌状态。

本发明的方法在产生无穷维混沌时采用直接延迟反馈产生混沌信号，该方法与间接延迟反馈混沌信号产生方法相比，更加简单更加易于实现。该方法可以在需要时产生混沌，在不需要时可以消除混沌，以便为设计者提供更大的灵活性。数值仿真得到的控制器参数分叉图给出了控制器参数的选择依据。该方法产生的混沌运动理论上具有无穷维，应用于保密通信将具有更好的保密效果。这也是现有其他混沌产生方法所不具备的。

附图说明

图1是直接延迟反馈控制系统结构框图；

图2是稳定CHEN系统相图，其中(a)为初始状态(0.1，1，0.1)，(b)为初始状态(-0.1，-10，-0.1)；

图3是τ₁＝1.2s时，控制参数k₁₁的混沌分岔图，其中图(b)、(c)、(d)为图(a)的局部放大图；

图4是τ₁＝1.2s，k₁₁＝-23时，系统(5)的三维相轨迹图，其中(a)是时间序列，(b)是功率谱；

图5是k₁₁＝-50，τ₁＝1.2s时，延迟反馈控制产生的混沌吸引子；

图6是对应图5混沌吸引子的混沌时间序列和该序列的功率谱；

图7是当k₁₁＝-10时，延迟时间τ₁的混沌分岔图；

图8是当τ₃＝0.3时，参数k₃₃的混沌分岔图；

图9是当k₃₃＝2，参数τ₃的混沌分岔图；

图10是k₃₃＝3.8，τ₃＝0.3时，系统的混沌吸引子；

图11是图10对应的时间序列和其功率谱；

图12是没有控制的永磁同步电动机从初始状态(3，0.01，3)运动到平衡点的相平面图；

图13是直接延迟反馈控制永磁同步电动机产生的混沌信号相平面图；

图14是图13对应的电机角速度的时域波形和功率谱图，其中(a)是时域波形，和(b)是功率谱图。

以下结合附图和发明人给出的具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

具体实施方式

本发明的方法采用直接延迟反馈产生混沌信号，首先，要选择合适的非线性系统，系统如下：

dx/dt＝f(x)                     (1)

其中x∈Rⁿ为系统状态，f(x)是x的非线性向量函数，系统处于非混沌状态。

其次，根据系统的实际情况，选择外部控制信号的注入方式，可以给能施加控制的向量方程中的一个或多个施加控制。具体的控制采用如下形式：

u＝K(x(t)-x(t-τ))                  (2)

其中K为n×n的方阵。

采用直接延迟反馈控制系统结构如图1所示，由非线性函数f(x)，控制量u，时间延迟，n×n方阵K和比较器组成。

第三，根据选择好的控制注入方式，利用系统的数学模型和MATLAB进行仿真，得到系统参数分岔图。

第四，根据参数分岔图中所描述受控系统的运动情况和实际需求，选择控制参数。

第五，根据选好的控制参数进行控制，得到混沌信号。

第六，检验混沌信号的混沌特征，确认已经产生混沌后，可以将产生的混沌信号应用于实际系统。

下面以非混沌的CHEN电路和永磁同步电动机系统为例，进一步说明该控制方法产生混沌的技术效果。

1.在非混沌CHEN电路中产生混沌信号

1999年，CHEN等发现一个与LORENZ系统拓扑不等价的新混沌系统，被称为CHEN系统^[34]。参考文献^[35，36]进一步研究了CHEN系统中参数分叉和混沌现象。CHEN系统的方程如下

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=a(y-x)\\ \stackrel{\·}{y}=(c-a)x-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}\right.---\left(3\right)$

由参考文献^[35，36]分析可知，当a＝35，b＝3，c＝18时系统处于非混沌状态。在这组参数下，系统的三个平衡点分别为

$\left\{\begin{array}{c}O=\left(\mathrm{0,0,0}\right)\\ C^{-}=(-\sqrt{3},-\sqrt{3},1)\\ C^{+}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)\end{array}\right.---\left(4\right)$

计算各平衡点处Jacobian矩阵的特征根可知，O为不稳定平衡点，而另外两个为稳定平衡点。从任意初始状态出发，系统将根据初始条件所在的收敛域不同，稳定到相应的平衡点处。当系统初始状态分别为(0.1，1，0.1)、(-0.1，-10，-0.1)时，系统状态最终稳定到两个稳定平衡点之一，如图2所示。

选择参数处于非混沌区的CHEN系统作为被控系统。

该系统可以采用电路实现，因此可以给该系统中的任意一个微分方程施加外部控制，也就是说控制的注入点可以任意确定。

为了简单起见，将直接延迟反馈控制仅施加在系统(3)的第一个方程上，即：

$K=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{11}\≠0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

此时，直接延迟反馈控制系统表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=a(y-x)+k_{11}(x\left(t\right)-x(t-{\mathrm{\τ}}_1))\\ \stackrel{\·}{y}=(c-a)x-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}---\left(5\right)\right.$

利用MATLAB和发明人所提的方法，可以得到当τ₁＝1.2控制参数k₁₁的分岔图(如图3所示)，图3中的图(b)、图(c)和(d)为图(a)的局部放大图。由图3可以清晰的得到参数控制参数为不同值时，系统的运动状态的变化。由图3可见，随着k₁₁的增大，系统从极限环运动逐渐过渡到混沌运动状态，同时混沌运动的边界逐渐扩大，运动变化过程比较复杂，在通向混沌的途径中存在若干周期窗口。由图3(d)可知，当k₁₁＝-23存在高周期窗口，图4中的图(a)和图(b)分别给出了此时的三维相轨迹图和时间序列及其功率谱。图4说明了此时系统处于周期运动状态。

根据混沌分岔图，如果希望系统产生混沌状态，只需要取处于混沌区的控制参数值就可以了。例如取控制参数为k₁₁＝-50，τ₁＝1.2s，系统将表现出混沌运动，系统的混沌吸引子如图5所示。此时输出的混沌时间序列和该序列的功率谱如图6所示。混沌吸引子所对应的最大Lyapunov指数为0.1938，由图5、6和其相应的Lyapunov指数可以验证采用直接延迟反馈控制方法，可以使稳定的系统产生混沌运动。

当k₁₁＝-10时，延迟时间τ₁的混沌分岔图如图7所示，可以根据图3和图7选择控制参数使被控系统产生混沌。

如果选择其它控制注入点，可以得到不同的控制形式，得到不同的参数分岔图，采用上述步骤，也可以产生混沌信号。如果选择延迟反馈矩阵为 $K=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& k_{33}\≠0\end{array}\right],$ 则受控CHEN系统方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=a(y-x)\\ \stackrel{\·}{y}=(c-a)x-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \stackrel{\·}{z}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}+k_{33}(z\left(t\right)-z(t-{\mathrm{\τ}}_3))\end{array}\right.---\left(6\right)$

直接延迟反馈控制系统(6)关于参数k₃₃和τ₃的混沌分岔图如图8和9所示。当控制参数为k₃₃＝3.8，τ₃＝0.3时，系统的相轨迹图如图10所示，对应的时间序列和功率谱如图11所示。此时，系统的Lyapunov指数为1.0214。CHEN电路通过延迟反馈产生的混沌信号可以应用于保密通信，其混沌的无穷维将得到更好的保密效果。

2.在永磁同步电动机系统中产生混沌运动

经过变换的永磁同步电动机模型^[38，39]为

$\left\{\begin{array}{c}d{\tilde{i}}_d/\mathrm{dt}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ d{\tilde{i}}_q/\mathrm{dt}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\γ}\widetilde{\mathrm{\ω}}+{\tilde{u}}_q\\ d\widetilde{\mathrm{\ω}}/\mathrm{dt}=\mathrm{\σ}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，

分别为经过变换的直轴电流，交轴电流和电机角速度，

和

分别为经过变换的d，q轴电压和负载转矩，σ和γ为系统参数。

对于永磁同步电动机系统，控制的注入点不能任意选择，因为永磁同步电动机真正的外部控制为

在(7)的第三个方程中无法注入外部控制。因此选择控制的注入点为第一和第二个方程，直接延迟反馈控制器如式(8)所示

${\tilde{u}}_d=K_d({\tilde{i}}_d\left(t\right)-{\tilde{i}}_d(t-{\mathrm{\τ}}_d))$

${\tilde{u}}_q=K_q({\tilde{i}}_q\left(t\right)-{\tilde{i}}_q(t-{\mathrm{\τ}}_q))---\left(8\right)$

受控永磁同步电动机系统如式(9)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_q+K_d({\tilde{i}}_d\left(t\right)-{\tilde{i}}_d(t-{\mathrm{\τ}}_d))\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\γ}\widetilde{\mathrm{\ω}}+K_q({\tilde{i}}_q\left(t\right)-{\tilde{i}}_q(t-{\mathrm{\τ}}_q))\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\ω}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(9\right)$

当σ＝5.46、γ＝3、 ${\tilde{T}}_L=0$ 、 ${\tilde{u}}_d=0$ 、 ${\tilde{u}}_q=0$ 系统有三个平衡点(0，0，0)鞍点，其他两个是焦点，因此没有控制的系统是稳定的，当初始条件为 $({\tilde{i}}_d\left(0\right),\tilde{i}{\left(0\right)}_q,\widetilde{\mathrm{\ω}}\left(0\right))=(\mathrm{20.0.01},-5),$ 没有控制的系统的三维相平面图如图13所示，可见没有控制的系统的将根据初始状态所在的收敛域稳定于不同的焦点处。

同样也可以通过与上面例子类似的方法得到混沌分岔图，为控制参数的选择提供指导，这里不在重复，只给出一个例子做说明。

取系统参数σ＝5.46、γ＝3、 ${\tilde{T}}_L=0,$ 此时没有控制的系统是稳定的，采用直接延迟反馈控制，在式(9)中取K_d＝1、K_q＝-0.1、τ_d＝0.8、τ_q＝0.9，受控系统的三维相平面图如图13所示。对应的经过变换的电机角速度的时域波形和其功率谱如图14所示。经过计算其最大Lyapunov指数为0.014。这证明了电机中出现了混沌现象。

当然，实际应用时，控制参数要根据实际控制系统需要的速度振荡范围来选择。通过发明人所提出的控制可以简单的实现混沌振动，满足实际应用需要。

通过上面的例子可知，采用直接延迟反馈控制，适当选择控制参数可以使非混沌的CHEN系统和永磁同步电动机驱动系统出现混沌运动，相轨迹图、时间序列、功率谱和Lyapunov指数说明了受控系统的混沌状态。

Claims (1)

1.一种基于直接延迟反馈的混沌产生方法，其特征在于，该方法在连续非线性系统中采用直接延迟反馈产生混沌信号，具体包括下列步骤：

第一步：选择被控对象

被控对象选择三阶及其以上的连续非线性系统，其系统按dx/dt＝f(x)方式运行，其中x为状态向量，f(·)为非线性向量函数，系统在没有外加输入时，处于非混沌状态；

第二步：针对实际对象的特点选择外部控制的注入方式

注入方式为dx/dt＝f(x)+u，外部控制施加的位置根据实际系统的具体情况选定，不能选择实际系统无法接受的控制，控制的方法采用直接延迟反馈方式u＝K(x(t)-x(t-τ))，其中，u为外部控制量，K为放大倍数，τ为延迟时间；

第三步：利用被控对象数学模型进行计算机仿真

选择合适的庞加莱截面，得到在特定外部控制注入方式下，直接延迟反馈放大倍数和延迟时间的混沌分岔图；在MATLAB的SIMULINK环境下建立对象的数学模型，利用M文件运行SIMULINK程序，通过分析和试凑选择庞加莱截面，采用描点法得到关于直接延迟反馈的放大倍数K和延迟时间τ的混沌分岔图，从分岔图中得到产生分岔时控制参数的值和使得系统进入混沌状态的参数及对应的受控系统处于混沌状态的幅值；

第四步：根据被控系统的应用要求和混沌分岔图确定直接延迟反馈放大倍数和延迟时间，并根据实际应用要求的混沌运动幅值在分岔图中确定控制参数值，对于要求的混沌程度，通过计算参数对应的李亚谱诺夫指数来估计；

第五步：利用选择好的延迟时间和直接延迟反馈放大倍数在非混沌系统中产生混沌信号；

第六步：检验混沌信号的功率谱、李亚谱诺夫指数的混沌特征量，确认系统工作于混沌状态。

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