<Desc/Clms Page number 1>
La présente invention est relative à un engrenage d'angle et à son procédé de fabrication. Elle a trait en particulier à la fabrication de paires de roues à denture inclinée dont les dents ont une forme telle que la totalité des flancs des dents de chaque roue soit au contact de la totalité des dents de l'autre élément pour lui transférer la puissance.
Les engrenages à denture oblique donnant une réduction sensible consistent en un grand élément que, pour la commodité, on appellera "la roue" et un élément plus petit que l'on appellera "la vis". Un procédé com- mode de fabrication de ces engrenages consiste à faire d'abord la vis, ain- su qu'une fraise de même forme que la vis, et à utiliser ensuite cette frai- se pour tailler les dents dans un flan de roue dentée, en l'amenant dans la . même position relative par rapport au flan que la vis doit avoir avec la roue terminée. Ce procédé assure la mise en prise de la vis avec la roue, mais il ne donne pas en général des dents de roue efficaces.
Ceci est du à ce que, dans ce procédé, les bords extérieurs des dents de la fraise donnent sur les dents de la roue des arrondis ou dépouilles qui peuvent occuper une grande proportion des côtés des dents et ne viennent pas en contact de fonctionnement avec les côtés de la vis lors de l'utilisation de l'engre- nage.
On a trouvé, selon l'invention, que lorsqu'on utilise une fraise correspondant à la vis de l'engrenage oblique pour tailler les dents de la roue, on peut éviter la formation d'arrondis et de dépouilles simplement en donnant au filetage une forme telle qu'en chaque point de sa surface exté- rieure le filetage s'étende en direction du déplacement relatif entre ce point du flan de roue avec lequel il vient en contact. Pour autant qu'on le sache, on ne connaissait pas jusqu'ici ce principe.
On a fait précédemment des types particuliers d'engrenages dans lesquels le filetage de la vis et les dents de la roue sont disposés paral- lèlement à la direction du déplacement relatif des points correspohants sur les "surfaces de pas" de la vis et de'la roue.IA surface de pas de la vis a été considérée en général comme étant une surface comprise entre les ex- trémités intérieure et extérieure des dents ou du filetage de la vis, au lieu de l'être aux extrémités extérieures de ces dents, et les types ont été limités au cas où les surfaces de pas conjuguées de la roue et de la vis ont chacune une forme mathématique simple, de sorte que le sens du déplacement relatif de ces surfaces le long de leur ligne de contact décrit une courbe simple, par exemple une parabole.
Le procédé selon l'invention de fabrication d'un engrenage obli- que diffère de ceux précédemment utilisés à deux points de vue :
On donne à la surface extérieure du filet de la vis, plut8t qu'à une surface intermédiaire du filet, la forme voulue pour qu'en chaque point le filet soit disposé parallèlement au mouvement relatif entre ce point et le point du flan de roue avec lequel il vient en contact. De cette façon, le procédé permet de supprimer complètement les arrondis.
Il diffère encore plus radicalement des procédés précédents du fait qu'il n'est pas limité aux quelques cas spéciaux et souvent mal commo- des dans lesquels des surfaces de pas conjuguées simples sont choisies pour les deux éléments de l'engrenage.
Si l'on choisit pour la surface extérieure de l'élément vis d'un engrenage oblique une surface commode de révolution, il est possible de cal- culer mathématiquement la forme de la surface apparentée de révolution au- tour de l'axe de l'autre élément de l'engrenage,qui viendra en contact avec la surface choisie le long d'une ligne, et également de calculer la posi- tion de cette ligne de contact. En connaissant le rapport d'engrenage fixe pour lequel l'engrenage doit fonctionner, il est alors possible de calculer
<Desc/Clms Page number 2>
deux vecteurs donnant la direction et la vitesse des deux surfaces apparen- tées en un point quelconque de cette ligne de contact.
Le veateur qui est la différence entre ces deux vecteurs et que l'on peut appeler un "vecteur de vitesse relative? indique la direction du déplacement relatif de deux surfaces apparentées de révolution en un point de la ligne de contact. La détermination de ce vecteur pour chaque point de la ligne de contact oblige à un calcul assez compliqué car le déplacement absolu de chaque ,oint de cha- que surface apparentée dépend de la vitesse de rotation de la surface et de la distance du point à l'axe de la surface, et la variation du rapport des distances aux deux.axes pour.des points-situés le long de la ligne de contact ne suit pas une loi simple.
Une spiraleUraczersur lassurface la extérieure de l'élément vis coupe la ligne de contact de la vis et de sa surface apparentée en des points suc- cessifs de cette ligne de contact lorsque les surfaces tournent. On a trou- vé qu'il'y a une, et seulement une, de ces spirales qui est tangente au vecteur de vitesse relative en chaque point où elle coupe la ligne de con- tact. Cette spirale, que pour la commodité on appellera "spirale de vecteur de vitesse relative", peut être obtenue de différentes façons. On peut 1' obtenir de la manière la plus commode en termes du pas par rapport à la distance axiale, mais les expressions mathématiques ainsi obtenues sont si compliquées que l'on ne peut tailler un filet ayant la forme voulue avec n'importe quel appareil mécanique connu.
La présente invention permet de déterminer pratiquement la for- me du filet nécessaire pour éviter la formation d'arrondis grâce à un pro- cédé de taille sur un flan de vis d'un filet ayant une forme se rappro- chant de très près de celle de "la spirale de vecteur de vitesse relative" qui est théoriquement nécessaire pour éviter les arrondis et les dépouilles.
Le procédé permettant d'obtenir ce résultat consiste à utiliser trois dispositifs séparés pour régler le déplacement d'un outil de taille par rapport à la:rotation de l'ouvrage, et à régler ces trois dispositifs séparés de telle manière que l'outil taille sur l'ouvrage un filet dont la pente, la courbure et le taux de changement de courbure sont identiques à la pente, à la courbure et au taux de changement de courbure de "la 'spira- le de vecteur de vitesse relative" dans un plan transversal de l'ouvrage.
Du fait du réglage de ces trois paramètres, le filet qui est taillé sur l'ouvrage est identique à la spirale théorique dans un plan transversal de l'ouvrage et il se rapproche très approximativement de la forme de la spirale théorique sur une distance considérable de chaque côté de ce plan.
Conformément à l'invention, on taille le filet en faisant tour- ner l'ouvrage et en donnant à l'outil un déplacement qui est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. En particulier, l'outil se déplace le long de l'ouvrage à une vitesse qui est proportionnelle au sinus d'un angle qui est une fraction de l'angle dont tourne l'ouvrage. Le pas et la première et la deuxième dérivées du pas du filet taillé sur l'ouvrage sont déterminées par réglage de (1) la relation entre l'angle dont tourne l'ou- vrage et l'angle dont on utilise le sinus, (2) la relation entre le sinus de cet angle et l'amplitude du déplacement de l'outil et (3) la valeur de cet angle lorsque l'outil se met en prise avec l'ouvrage en un plan trans- versal intermédiaire choisi-de l'ouvrage.
Pour faciliter la compréhension de l'invention, on a décrire en détail un procédé particulier de fabrication'd'un engrenage oblique selon l'invention. En même temps que l'on fera cette description, on décrira é- galement un engrenage particulier selon l'invention et une machine de tail- le des filets pour la mise en oeuvre du procédé particulier décrit.
Cette description est faite en se référant aux dessins annexés,
<Desc/Clms Page number 3>
dans lesquels
La figure 1 est un sohéma d'au engrenage oblique en regardant en direction de l'axe de la roue;
La figure 2 est un schéma analogue en regardant en direction de l'axe de la vis;
Les figures 3 et 4 sont des schémas montrant le fonctionnement d'une machine taillant le filet de la vis;
Les figures 5 à 10 représentent une machine particulière à tail- ler les filets que l'on peut utiliser pour la mise en oeuvre du procédé, la figure 5 étant une vue en plan, la figure 6 une coupe suivant la ligne 6-6 de la figure 5, les figures 7 à 8 des coupes verticales suivant la ligne 7-7 et 8-8 de la figure 5, la figure 9 une coupe suivant la ligne 9-9 de la figure 7 et la figure 10 une coupe horizontale suivant la ligne 10-10 de la figure 6.
Afin que la description soit aussi simple que possible, on a choisi comme engrenage oblique dont on va décrire en détail la fabrication un engrenage dans lequel on a choisi une surface conique pour la surface extérieure de la vis, l'axe de cette surface conique étant perpendiculaire à celui de la roue. Un engrenage de ce genre est représenté schématiquement sur les figures 1 et 2. Les diagrammes représentent, en plus de:la roue 10 et de la vis 20, l'axe 11 de la roue, l'axe 21 de la vis, un plan radial 12 de la roue, perpendiculaire à l'axe de la vis et l'intersection 0 de ce plan et de l'axe 21.
La surface de révolution 13 autour de l'axe 11 de la roue, qui est associée avec la surface de révolution 23 de la vis, est calculée mathé- matiquement et la position de la ligne de contact 30 des surfaces associées est alors déterminée mathématiquement. En utilisant le rapport des trans- missions K pour lequel l'engrenage doit fonctionner, on calcule des vec- teurs 15 indiquant la vitesse et le sens de déplacement de la surface 13 en des points situés le long de la ligne 30, de même que des vecteurs 25 indiquant la vitesse et le sens de déplacement de la surface conique 23 en des points correspondants de la ligne 30. On obtient alors les vecteurs 31 de vitesse relative par soustraction et on calcule la spirale 33 de vec- teur de vitesse relative.
Dans la position de la vis représentée sur la figure 1, la spira- le 33 coupe la ligne de contact 30 en deux points 32 pour chacun desquels elle est tangente à l'un des vecteurs 31 de vitesse relative représentée sur la figure 1. La forme de la courbe est telle que lorsque le cône tour- ne de telle sorte que la spirale coupe la ligne de contact en d'autres points, la spirale est tangente au vecteur de vitesse relative en chacun des points où elle coupe la ligne de contact 30. Ainsi, lorsqu'on fait tour- ner le cône de telle sorte que la spirale 33 coupe la ligne de contact 30 en 32', elle est tangente au vecteur 31' en ce point.
Pour calculer la spirale 33, il est nécessaire d'utiliser la constante K qui est le rapport d'engrenage et des constantes indiquant la forme de la surface conique 23 et sa position par rapport à la roue 10. Ces constantes sont; l'angle au sommet t de la surface conique 23, mesuré entre son axe et un c8té la distance C entre l'axe 11 de la roue et l'axe 21 de la vis, mesurée dans le plan 12; et la distance a du plan 12 au sommet 26 de la surface conique. En utilisant ces constantes, on peut établir la cour- be 33 de différentes façons, dont la plus commode est la forme
1 = F (x) dans laquelle 1 représente le pas axial de la courbe en unités de longueur
<Desc/Clms Page number 4>
par radian et x représente les distances en unités de longueur le long de l'axe 21, mesurées à partir du point O.
On peut déterminer la valeur de F (x) à partir de la disposi- tion géométrique de l'engrenage représentée sur les figures 1 et 2. Ceci donne la formule suivante du pas de la spirale 33 de vecteur de vitesse relative :
EMI4.1
Certaines caractéristiques de la courbe 33 ressortent de la va- leur de 1 en fonction de x donnée par l'équation ci-dessus et des dérivés de 1 par rapport à x, que l'on peut obtenir d'après l'équation ci-dessus.
(l) Le pas 1 est la variable de premier ordre de la courbe 33.
Deux courbes ayant la même valeur 1 en un point commun ont la même pente ou le même sens et sont par suite tangentes, mais elles n'ont pas néces- sairment la même courbure ou les mêmes variables d'un ordre supérieur.
(2) La première dérivée dl du pas par rapport à x est positive dx pour les formes les plus pratiques de l'engrenage. Il s'ensuit que 1 pour la courbe 33 augmente lorsque x augmente. La première dérivée est la va- riable de second ordre de la courbe. Deux courbes ayant les mêmes 1 et d1 dx pour une valeur donnée de x sont plus voisines que celles ne présentant un accord que pour la variable de permier ordre et, en général, elles se sui- vent de manière plus étroite que des courbes qui sont simplement tangen- tes.
(3) La deuxième dérivée d212 du pas :.- par rapport à x est né- d x gative pour la plupart des formes pratiques d'engrenage . Il s'ensuit que la première dérivée dl diminue lorsque x augmente. La deuxième dérivée est dx la variable de troisième ordre de la courbe 33. Des courbes ayant les mê- mes 1, d1 et d212 pour une valeur donnée de x sont beaucoup plus analogues dx d x que celles ne 'Concordant que par les variables du premier et du deuxième ordre.
En général, on peut dire que la variable du premier ordre, à savoir le pas 1, affecte la direction (tangente) de la courbe; la variable du deuxième ordre dl affecte la courbure de la courbe, et la variable du dx troisième ordre d212 indique le taux de changement de la courbure. En gé- d x néral, deux courbures ayant des mêmes valeurs pour ces trois paramètres en un point donné (nécessairement un point de tangence du fait de l'égalité des pentes) concordent l'une avec l'autre très étroitement sur une -certai- ne distance de part et d'autre du point.
Etant donné qu'il est évident que, même dans le cas simple choi- si comme exemple, la formule de la courbe 33 est trop compliquée pour per- mettre une reproduction mécanique exacte de la courbe, le procédé a trait à la taille d'un filet qui se rapproche étroitement de la courbe en don- nant au pas, à la courbure et au taux de changement de courbure du filet des valeurs égales à celle de la courbe 33 en un plan transversal de la
<Desc/Clms Page number 5>
courbe,
Pour faciliter la taille du filet de cette forme, on utilise une machine à tailler les filets dans laquelle le déplacement de l'outil est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. On a représenté sché- matiquement cette machine sur les figures 3 et 4.
La machine comporte deux arbres ou broches 40 et 50 qui sont perpendiculaires l'un à l'autre et sont reliés par un réducteur de vitesse à chaîne (non représenté) qui permet de changer le rapport d'engrenage G entre les deux arbres.
L'arbre 40 est actionné par moteur et porte le flan 20 de la vis.
L'arbre 50 actionne l'outil et il porte un bras 60 dont un ergot
61 pénètre dans une rainure 71 ménagée dans un chariot 70 se déplaçant de façon rectiligne. Dans la forme représentée sur la figure 3, la voie 72 sur laquelle le chariot 70 se déplace est parallèle à l'axe de l'ouvrage
20. Etant donné que la rainure 71 est perpendiculaire à la voie 72,le mou- vement donné au chariot par le bras est proportionnel au sinus de l'angle alpha compris entre le bras et le sens de déplacement du chariot.
Un coulisseau 80 est monté sur le chariot 70 et est réglable lon- gitudinalement sur lui au moyen d'une vis et d'un volant 81. Le coulisseau
80 porte la tige 90 de l'outil,montée sur un coulisseau transversal 91.
Pour plus de simplicité, on a représenté cette tige comme portant un outil de tour, mais il est bien entendu qu'il peut être bon dans certains cas d' utiliser un outil tournant ou une meule tournante.
Evidemment, le coulisseau 71 doit être actionné de manière à maintenir l'outil en contaot avec l'ouvrage lorsque le chariot se déplace et à le faire avancer dans l'ouvrage à mesure que la taille s'effectue. Il n'est rien représenté à ce sujet sur la figure 3, mais la figure 4 repré- sente une plaque de recouvement 92 dans laquelle est ménagée une fente in- clinée 93 entourant la tige 90 de l'outil et le faisant déplacer parallèle- ment au coté incliné de l'ouvrage lorsque le chariot 70 se déplace sur sa voie. On peut faire avancer l'outil dans l'ouvrage en déplaçant latérale- ment la plaque de recouvement et la fente à l'aide d'une vis et d'un volant 94.
La machine permet un certain nombre de réglages individuels dis- tinots qui, ensemble, déterminent le mouvement exécuté par l'outil.
On peut modifier le rapport d'engrenage G entre la broche 40 de l'outil et l'arbre 50 en changeant les roues dentées dans la transmission qui les réunit.
On peut régler la longueur effective A du bras 60 en changeant la position de l'ergot 61 dans ce bras. Ce réglage est indiqué comme com- portant une série de trous dans le bras de la figure 3 mais il est bien entendu qu'il pourrait être prévu un réglage plus précis de la distance A.
Le troisième réglage s'effectue en modifiant la position du cou- lisseau 80 au moyen du volant 81. Ce réglage sert à placer le bras 60 sui- vant un angle déterminé-lorsqu'on met l'outil en prise avec l'ouvrage sui- vant un plan intermédiaire choisi de celui-ci.
On va maintenant expliquer comment on peut faire ces trois ré- glages de manière que le pas du filet taillé par la machine et les deux pre- mières dérivées de ce pas soient égaux aux paramètres correspondants d'une spirale dont on veut se rapprocher.
La spirale tracée par l'outil peut être exprimée de la même ma- nière que la spirale de vecteur de vitesse relative, à savoir
<Desc/Clms Page number 6>
où m est le pas du filet taillé par l'outil en unité de longueur par ra- dian et x, comme précédemment, représente la distance en même unités le long de l'axe du flan conique, mesurée du point situé à la distance a du sommet du cône.
Le pas m peut être exprimé plus simplement en termes de l'angle alpha compris entre le bras 60 et-le'sens de déplacement du chariot 70.
Le pas m en termes de alpha est :
A m = G sin ( 2)
La relation entre alpha et x est évidente d'après la géométrie de la machine est est donnée par dx = A sin à d à ( 3)
Les première et deuxième dérivées du pas m par rapport à x peu- vent être obtenues d'après les équations (2) et (3) et sont les suivantes :
EMI6.1
La raison pour laquelle les dérivés du pas de la taille en spi- rale faite par la machine peuvent être exprimées sous une forme aussi sim- ple tient à la disposition de la machine qui fait que le déplacement de 1' outil est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. La simpli- cité de ces expressions permet de les utiliser pour déterminer les réglages de la machine donnant une spirale de pas, courbure et changement de cour- bure déterminés.
Il est évident, d'après les équations (2), (4) et (5) que pour toutes les valeurs de alpha comprises entre 0 et 90 , le pas m et sa pre- mière dérivée dm sont positifs, tandis que la deuxième dérivée est négati- dx ve. Ainsi, la courbe engendrée par la machine a les mêmes caractéristiques générales de pas variable que la spirale de vecteur de vitesse relative.
On peut évaluer le pas m et ses dérivées pour toute valeur de x. On choisit une valeur x pour déterminer le plan transversal de l'ouvra- ge pour lequel le filet doit correspondre exactement à la spirale de vec- teur de vitesse relative. Ce plan doit être un plan intermédiaire de l'ou- vrage, de préférence ou milieu entre ses deux extrémités. Etant donné que alpha est une fonction de x, la valeur de alpha quand x = x s'appalle ào.
Pour trouver les valeurs de m et de ses dérivées dans le plan transversal de l'ouvrage déterminé par x , il suffit de remplacer la variable alpha par la constante ao. dans les équations (2), (4) et (5) qui deviennent :
EMI6.2
<Desc/Clms Page number 7>
EMI7.1
Ces trois équations contiennent trois valeurs que l'on peut mo- difier en réglant la machine,à savoir ao,G et A.
En résolvant les équa-
EMI7.2
tions pour ces trois valeurs, on a 2 ()o cos2ao -dz2 0 (6) 2 ) m o (ëlx o
EMI7.3
On peut maintenant obtenir les réglages de la machine nécessai- res pour que le filet taillé par la machine corresponde environ à la spira- le 33 de vecteur de vitesse relative en calculant d'après l'équation (1) les valeurs numériques du pas m et de ses deux premières dérivées pour le cas où x = x et en remplaçant mo et ses dérivées par ces valeurs dans les équations (6, (7) et (8).
Ceci donne les valeurs de A, G et ao pour lesquelles la machine doit être réglée. On change l'engrenage de changement de vitesse reliant les arbres 40 et 50 de manière à donner, par le rapport d'engrenage entre ces arbres, la valeur calculée de G. On règle la position de l'ergot 61 sur le bras 60 de façon que sa distance à l'arbre 50 soit égale à la valeur cal- culée de A. On règle le bras 60 de façon qu'il fasse avec le sens du dépla- cement du chariot un angle égal à la valeur calculée de ao lorsque l'outil est mis en position pour toucher l'ouvrage 20 dans le plan choisi déter- miné pour la valeur choisie xo. Pour faire ce réglage, il est nécessaire de régler la position longitudinale relative de l'ouvrage et de l'outil sans déplacer le bras 60. Ceci peut se faire en réglant le coulisseau 80 au moyen du volant 81.
Si l'outil se met en prise avec l'ouvrage dans ce plan choisi, le coulisseau 80 peut être réglé de manière à déplader le chariot 70 et le bras 60 en amenant ce dernier à l'angle voulu. Si on le préfère, on peut régler d'abord le bras 60 à l'angle voulu, puis anemer l'outil dans le plan choisi del'ouvrage sans déplacer le bras à partir de sa position réglée. Ceci se fait en réglant le coulisseau 80. Ceci peut également se faire sans le coulisseau 80, en réglant la position longitudinale de l'ou- vrage sur la broche.
Après avoir fait les réglages, on actionne la machine de maniè- re à amener l'outil à une extrémité du flan sans changer le réglage du cou- lisseau 80 et sans changer la position longitudinale de l'ouvrage sur la broche. On met alors l'outil en place au moyen du volant 94 et oh actionne la machine à la manière ordinaire pour tailler un filet sur le flan de la vis et une fraise de même forme. Le filet peut être fait au moyen d'une seule taille ou au moyen de tailles successives. Dans ce dernier cas, on ne modifie pas le réglage de la machine entre les tailles successives. Le filet se rapproche très près de la spirale de vecteur de vitesse relative définie
<Desc/Clms Page number 8>
par l'équation (1)a Il coïncide avec cette spirale dans un plan transversal de la vis et il n'en diffère que . peu dans les autres plans transver- saux.
Le procédé de l'invention n'est pas limité à la fabrication de roues dentées du type décrit dans cet exemple particulier, dans lequel une vis conique est disposée perpendiculairement à la roue. On peut utiliser le procédé pour faire des engrenages dans lesquels l'axe de la vis conique est oblique par rapport à la roue. En ce cas, l'équation du pas de la spi- rale de vecteur de vitesse relative est plus compliquée que l'équation (1) mais, après calcul de la valeur du pas et de ses deux premières dérivées dans un plan intermédiaire choisi de la vis, il n'est pas difficile d'appli- quer le procédé qui a été décrit pour tailler un filet qui, dans le plan choisi, a pour le pas et ses deux premières dérivées des valeurs égales à celles de la spirale de vecteur de vitesse relative.
Le procédé peut également être appliqué dans le cas d'engrena- ges dans lesquels la vis comporte une surface de révolution non conique.
Dans le cas de vis conôdes, la formule du pas de la spirale de vecteur de vitesse relative est plus compliquée du fait que l'angle t, au lieu d'être une constante, est une fonction de x, de même que la position a du sommet.
Après avoir calculé le pas de cette courbe et ses deux premières dérivées pour un plan transversal choisi, on peut tailler par le procédé décrit, un filet dont le pas et ses dérivées présentent les mêmes valeurs dans ce plan choisi. La seule modification qu'il est nécessaire d'apporter à la ma- chine en ce cas est le remplacement de la plaque de recouvrement 92 de la figure- 4 par une plaque comportant une fente courbe correspondant au pro- fil de la surface de révolution de la vis.
Pour compléter cette description, on va décrire de façon détail- lée une machine particulière à tailler un filet en se rapprochant d'une spirale donnée sur un cône d'un angle quelconque, et on va donner un exem- ple numérique du réglage de cette machine dans la taille d'une vis se rap- prochant de la spirale de vecteur de vitesse relative d'un engrenage par- ticulier.
La machine représentée sur les figures 5 à 10 comporte un châs- sis creux 100 formant un dessus de table 101.
La broche 40' de l'ouvrage tourne dans une poupée 41. La broche 40' est actionnée par une transmission à partir d'un arbre 42 relié, par un engrenage d'angle 43 et un arbre vertical 44, à un arbre moteur 45. La poupée peut pivoter autour de l'axe vertical 44 de manière à placer un cô- té de l'ouvrage 20 parallèlement à la longueur de la table. La position angulaire de la poupée est indiquée sur un cercle gradué 46 par un repère 47 de la poupée.
L'arbre de commande 50' est placé horizontalement sous le dessus de la table, à un bout de celle-ci. Cet arbre est relié à l'arbre moteur 45 qui actionne la broche de l'ouvrage par des roues dentées de changement de vitesse 51 et un arbre 52 portant une vis sans fin 53 engrenant avec une roue dentée de côté 54 de l'arbre de commande.
Le bras 60' est fixé à un bout de l'arbre 50' de sorte qu'il peut tourner d'une position inclinée à une position verticale. Le bras est muni d'une glissière sur laquelle se déplace le coulisseau 62 qui porte l'axe 61'. On règle la position de ce dernier sur le bras 60' au moyen d' une vis 63 que l'on peut faire tourner au moyen d'un bouton 64 monté sur son extrémité supérieure.
Le chariot 70' se déplace dans une glissière 72', dans le sens de la longueur du dessus de la table. Ce chariot comporte une saillie ho-
<Desc/Clms Page number 9>
rizontale 73 et une partie verticale 74 contenant une fente verticale 71' dans laquelle circule un galet 65 monté sur l'axe 61'. On voit que le dis- positif de déplacement du chariot est analogue à celui de la figure 3, sauf que l'arbre de commande est dans un plan horizontal et que le bras et la partie avec fente du chariot sont dans un plan vertical. Comme sur la figu- re 3, le déplacement du chariot est proportionnel au sinus de l'angle que le bras avec le sens du déplacement du chariot. On peut lire cet angle sur une graduation fixe 66, au moyen d'un index de l'indicateur 67 fixé sur un côté du bras, près de son extrémité supérieure.
Un coulisseau transversal 91' se déplace sur le chariot 70' sous la commande d'une vis et d'un volant 94'. Sur ce coulisseau transversal est monté un coulisseau longitudinal 80' commandé par une vis et un volant 81'.
La tige 90' de l'outil est montée sur le coulisseau 80'.
D'après la description ci-dessus, on voit que la machine fonc- tionne comme celle des figures 3 et 4, sauf que l'on règle d'abord l'arbre de l'outil sur son pivot pour rendre l'angle qu'il fait avec la voie du chariot, indiqué sur la graduation 46, égal à l'angle au sommet t du flan.
On déplace alors le chariot parallèlement au côté du flan au lieu que ce soit parallèlement à son axe, comme sur la figure 3. Le déplacement de l'ou- til lui-même est le même que celui donné par le chariot de la figure 3 et la plaque de recouvrement aveo fente inclinée de la figure 4, mais des chan- gements dans la distance axiale x, causés par des déplacements du chariot, ne sont pas égaux aux déplacements du chariot mais à ces déplacements mul- tipliés par le cosinus de l'angle au sommet t du cône.
Pour représenter les réglages de cette machine, il est par suite nécessaire de modifier légèrement les équations en introduisant la constan- te cos t dans les équations (2), (3), (5) et (8), qui deviennent :
EMI9.1
On va maintenant donner un exemple spécifique du réglage de la maohine des figures 5 à 10 pour tailler un filet très voisin de la spirale de vecteur de vitesse relative d'un engrenage particulier du type des figu- res 1 et 2, dans lequel le rapport d'engrenage K = 20 l'angle au sommet t = 10 la distance entre axes C = 10,15 cm la distance a = 10,15 cm
Le plan transversal suivant lequel la courbe taillée par la ma- chine correspond exactement à la spirale de vecteur de vitesse relative est le plan compris entre les deux extrémités de la vis, défini par la valeur:
xo = 7,92 cm
Les valeurs numériques, dans ce plan, du pas et des deux premières
<Desc/Clms Page number 10>
dérivées du pas de la spirale de vecteur de vitesse relative sont obtenues en remplaçant x par x dans l'équation (1) :
EMI10.1
Pour obtenir les réglages de la machine rendant le pas de la spi- rale taillée par l'outil et ses deux premières dérivées identiques à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative,les valeurs ci-dessus pour le pas 1 et ses dérivées dans le plan déterminé par x = x sont prises comme valeurs pour le pas m et ses dérivées dans ce plan.
EMI10.2
Les valeurs ci-dessus de 1 ; dl) et ci21 sont par suite \dx d x 0 sont par suite prises comme valeurs de mis (dm) et ( d2m2 dans les équations (6), (7) d..."!C 0 d x) 0 et (8'), ce qui donne les résultats suivants ao = 70,432
G = 43,158
A = 25,116 cm
Ceci donne les réglages de la machine nécessaires pour tailler sur le flan une courbe dont la pas et ses deux premières dérivées sont é- gaux à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative dans le plan trans- versal. x = xo = 7,92 cm
La spirale taillée- se rapproche très près de la spirale de vec- teur de vitesse relative sur toute la longueur du flan.
Lorsque la vis a une longueur de 3,8 cm, la spirale du filet est identique à la spirale de vecteur de vitesse relative dans la plan intermédiaire qui est à 1,9 cm du petit bout de la vis et il s'en écarte d'environ 0,015 mm aux bouts de la vis.
Il n'est pas difficile de régler la longueur effective du bras 60' en réglant le coulisseau 62 au moyen du bouton 64 de manière à placer l'axe 61' à une distance de l'axe de l'arbre 50' égale à la valeur calculée de a, et de régler la position angulaire du bras 60' indiquée sur la gra- duation 66 conformément à la valeur calculée de ao, en réglant le coulis- seau 80' après que l'outil a été mis dans un plan correspondant à x = 7,92 cm.
Mais, à moins d'avoir un grand nombre de roues dentées de remplacement, il est difficile de-,rendre le rapport G exactement égal à la valeur calculée ci-dessus. On peut remédier à cette difficulté sans que l'approximation avec la spirale de vecteur de vitesse relative soit sensiblement moindre.
La valeur de G n'est pas critique car les valeurs de A et ao peuvent compenser ses erreurs de manière telle que la machine taille une spirale dont le pas et sa première dérivée correspondent exactement à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative, tandis que sa deuxième dé- rivée se rapproche beaucoup de celle de la spirale résirée.
<Desc/Clms Page number 11>
On obtient des valeurs corrigées de A et ao,en vue de compenser une erreur dans G, comme suit soit G = G' où G' est une approximation pratique de la valeur calculée de G.
On peut obtenir la valeur corrigée de en arrangeant l'équation (7) comme suit : cot a ' o=G' (dm/dx). O (9) et la valeur corrigée de A s'obtient de l'équation (8') comme suit :
EMI11.1
Ceci donne une nouvelle série de valeurs G',A' et a'o pour des réglages de la machine reproduisant exactement le pas et sa première déri- vée. La quantité de l'erreur résultant de la deuxième dérivée s'obtient en calculant, à partir de l'équation (6), la valeur de la deuxième dérivée (d2m/dx2)" correspondant à la valeur corrigée a ' o et en la comparant à la valeur calculée de la deuxième dévirée (d21/d x2).
Dans l'exemple numérique donné, le rapport de transmission G peut être remplacé par un rapport ne contenant pas la partie décimale, de sorte que
G' = 43 L'équation 9 donne cot a'. = 0,8995 a'.= 70,498 sin a'o= 2,3942 de sorte que, de l'équation (10)
A' = 25,014
Cette nouvelle série de valeurs montre que la différence entre (d2m/d x2) et (d21/d x2) n'est que de 0,00045 mm.
L'effet de cette petite erreur dans l'accord de la deuxième dé- rivée est négligeable. En conséquence, le réglage de la machine conformé- ment aux valeurs a'., A' et G' donne une vis ayant les caractéristiques déjà décrites au sujet de la spirale taillée avec la machine réglée pour les valeurs a.,A et G.
L'expression "vecteur de vitesse relative" dans un engrenage d' angle signifie la direction du mouvement relatif de la surface extérieure de la vis et de la surface de révolution associée autour de l'axe de la roue en un point de la ligne de conteact de ces surfaces lorsqu'elles tour- nent à un rapport de vitesse déterminé, et "la spirale de vecteur de vites- se relative" de l'engrenage signifie la courbe en spirale tracée sur la surface extérieure de la vis ayant la même direction que le vecteur de vi- tesse relative en chacun des points où il coupe cette ligne de contact.
**ATTENTION** fin du champ DESC peut contenir debut de CLMS **.