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La présente invention est relative à un engrenage d'angle et à son procédé de fabrication. Elle a trait en particulier à la fabrication de paires de roues à denture inclinée dont les dents ont une forme telle que la totalité des flancs des dents de chaque roue soit au contact de la totalité des dents de l'autre élément pour lui transférer la puissance.
Les engrenages à denture oblique donnant une réduction sensible consistent en un grand élément que, pour la commodité, on appellera "la roue" et un élément plus petit que l'on appellera "la vis". Un procédé com- mode de fabrication de ces engrenages consiste à faire d'abord la vis, ain- su qu'une fraise de même forme que la vis, et à utiliser ensuite cette frai- se pour tailler les dents dans un flan de roue dentée, en l'amenant dans la . même position relative par rapport au flan que la vis doit avoir avec la roue terminée. Ce procédé assure la mise en prise de la vis avec la roue, mais il ne donne pas en général des dents de roue efficaces.
Ceci est du à ce que, dans ce procédé, les bords extérieurs des dents de la fraise donnent sur les dents de la roue des arrondis ou dépouilles qui peuvent occuper une grande proportion des côtés des dents et ne viennent pas en contact de fonctionnement avec les côtés de la vis lors de l'utilisation de l'engre- nage.
On a trouvé, selon l'invention, que lorsqu'on utilise une fraise correspondant à la vis de l'engrenage oblique pour tailler les dents de la roue, on peut éviter la formation d'arrondis et de dépouilles simplement en donnant au filetage une forme telle qu'en chaque point de sa surface exté- rieure le filetage s'étende en direction du déplacement relatif entre ce point du flan de roue avec lequel il vient en contact. Pour autant qu'on le sache, on ne connaissait pas jusqu'ici ce principe.
On a fait précédemment des types particuliers d'engrenages dans lesquels le filetage de la vis et les dents de la roue sont disposés paral- lèlement à la direction du déplacement relatif des points correspohants sur les "surfaces de pas" de la vis et de'la roue.IA surface de pas de la vis a été considérée en général comme étant une surface comprise entre les ex- trémités intérieure et extérieure des dents ou du filetage de la vis, au lieu de l'être aux extrémités extérieures de ces dents, et les types ont été limités au cas où les surfaces de pas conjuguées de la roue et de la vis ont chacune une forme mathématique simple, de sorte que le sens du déplacement relatif de ces surfaces le long de leur ligne de contact décrit une courbe simple, par exemple une parabole.
Le procédé selon l'invention de fabrication d'un engrenage obli- que diffère de ceux précédemment utilisés à deux points de vue :
On donne à la surface extérieure du filet de la vis, plut8t qu'à une surface intermédiaire du filet, la forme voulue pour qu'en chaque point le filet soit disposé parallèlement au mouvement relatif entre ce point et le point du flan de roue avec lequel il vient en contact. De cette façon, le procédé permet de supprimer complètement les arrondis.
Il diffère encore plus radicalement des procédés précédents du fait qu'il n'est pas limité aux quelques cas spéciaux et souvent mal commo- des dans lesquels des surfaces de pas conjuguées simples sont choisies pour les deux éléments de l'engrenage.
Si l'on choisit pour la surface extérieure de l'élément vis d'un engrenage oblique une surface commode de révolution, il est possible de cal- culer mathématiquement la forme de la surface apparentée de révolution au- tour de l'axe de l'autre élément de l'engrenage,qui viendra en contact avec la surface choisie le long d'une ligne, et également de calculer la posi- tion de cette ligne de contact. En connaissant le rapport d'engrenage fixe pour lequel l'engrenage doit fonctionner, il est alors possible de calculer
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deux vecteurs donnant la direction et la vitesse des deux surfaces apparen- tées en un point quelconque de cette ligne de contact.
Le veateur qui est la différence entre ces deux vecteurs et que l'on peut appeler un "vecteur de vitesse relative? indique la direction du déplacement relatif de deux surfaces apparentées de révolution en un point de la ligne de contact. La détermination de ce vecteur pour chaque point de la ligne de contact oblige à un calcul assez compliqué car le déplacement absolu de chaque ,oint de cha- que surface apparentée dépend de la vitesse de rotation de la surface et de la distance du point à l'axe de la surface, et la variation du rapport des distances aux deux.axes pour.des points-situés le long de la ligne de contact ne suit pas une loi simple.
Une spiraleUraczersur lassurface la extérieure de l'élément vis coupe la ligne de contact de la vis et de sa surface apparentée en des points suc- cessifs de cette ligne de contact lorsque les surfaces tournent. On a trou- vé qu'il'y a une, et seulement une, de ces spirales qui est tangente au vecteur de vitesse relative en chaque point où elle coupe la ligne de con- tact. Cette spirale, que pour la commodité on appellera "spirale de vecteur de vitesse relative", peut être obtenue de différentes façons. On peut 1' obtenir de la manière la plus commode en termes du pas par rapport à la distance axiale, mais les expressions mathématiques ainsi obtenues sont si compliquées que l'on ne peut tailler un filet ayant la forme voulue avec n'importe quel appareil mécanique connu.
La présente invention permet de déterminer pratiquement la for- me du filet nécessaire pour éviter la formation d'arrondis grâce à un pro- cédé de taille sur un flan de vis d'un filet ayant une forme se rappro- chant de très près de celle de "la spirale de vecteur de vitesse relative" qui est théoriquement nécessaire pour éviter les arrondis et les dépouilles.
Le procédé permettant d'obtenir ce résultat consiste à utiliser trois dispositifs séparés pour régler le déplacement d'un outil de taille par rapport à la:rotation de l'ouvrage, et à régler ces trois dispositifs séparés de telle manière que l'outil taille sur l'ouvrage un filet dont la pente, la courbure et le taux de changement de courbure sont identiques à la pente, à la courbure et au taux de changement de courbure de "la 'spira- le de vecteur de vitesse relative" dans un plan transversal de l'ouvrage.
Du fait du réglage de ces trois paramètres, le filet qui est taillé sur l'ouvrage est identique à la spirale théorique dans un plan transversal de l'ouvrage et il se rapproche très approximativement de la forme de la spirale théorique sur une distance considérable de chaque côté de ce plan.
Conformément à l'invention, on taille le filet en faisant tour- ner l'ouvrage et en donnant à l'outil un déplacement qui est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. En particulier, l'outil se déplace le long de l'ouvrage à une vitesse qui est proportionnelle au sinus d'un angle qui est une fraction de l'angle dont tourne l'ouvrage. Le pas et la première et la deuxième dérivées du pas du filet taillé sur l'ouvrage sont déterminées par réglage de (1) la relation entre l'angle dont tourne l'ou- vrage et l'angle dont on utilise le sinus, (2) la relation entre le sinus de cet angle et l'amplitude du déplacement de l'outil et (3) la valeur de cet angle lorsque l'outil se met en prise avec l'ouvrage en un plan trans- versal intermédiaire choisi-de l'ouvrage.
Pour faciliter la compréhension de l'invention, on a décrire en détail un procédé particulier de fabrication'd'un engrenage oblique selon l'invention. En même temps que l'on fera cette description, on décrira é- galement un engrenage particulier selon l'invention et une machine de tail- le des filets pour la mise en oeuvre du procédé particulier décrit.
Cette description est faite en se référant aux dessins annexés,
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dans lesquels
La figure 1 est un sohéma d'au engrenage oblique en regardant en direction de l'axe de la roue;
La figure 2 est un schéma analogue en regardant en direction de l'axe de la vis;
Les figures 3 et 4 sont des schémas montrant le fonctionnement d'une machine taillant le filet de la vis;
Les figures 5 à 10 représentent une machine particulière à tail- ler les filets que l'on peut utiliser pour la mise en oeuvre du procédé, la figure 5 étant une vue en plan, la figure 6 une coupe suivant la ligne 6-6 de la figure 5, les figures 7 à 8 des coupes verticales suivant la ligne 7-7 et 8-8 de la figure 5, la figure 9 une coupe suivant la ligne 9-9 de la figure 7 et la figure 10 une coupe horizontale suivant la ligne 10-10 de la figure 6.
Afin que la description soit aussi simple que possible, on a choisi comme engrenage oblique dont on va décrire en détail la fabrication un engrenage dans lequel on a choisi une surface conique pour la surface extérieure de la vis, l'axe de cette surface conique étant perpendiculaire à celui de la roue. Un engrenage de ce genre est représenté schématiquement sur les figures 1 et 2. Les diagrammes représentent, en plus de:la roue 10 et de la vis 20, l'axe 11 de la roue, l'axe 21 de la vis, un plan radial 12 de la roue, perpendiculaire à l'axe de la vis et l'intersection 0 de ce plan et de l'axe 21.
La surface de révolution 13 autour de l'axe 11 de la roue, qui est associée avec la surface de révolution 23 de la vis, est calculée mathé- matiquement et la position de la ligne de contact 30 des surfaces associées est alors déterminée mathématiquement. En utilisant le rapport des trans- missions K pour lequel l'engrenage doit fonctionner, on calcule des vec- teurs 15 indiquant la vitesse et le sens de déplacement de la surface 13 en des points situés le long de la ligne 30, de même que des vecteurs 25 indiquant la vitesse et le sens de déplacement de la surface conique 23 en des points correspondants de la ligne 30. On obtient alors les vecteurs 31 de vitesse relative par soustraction et on calcule la spirale 33 de vec- teur de vitesse relative.
Dans la position de la vis représentée sur la figure 1, la spira- le 33 coupe la ligne de contact 30 en deux points 32 pour chacun desquels elle est tangente à l'un des vecteurs 31 de vitesse relative représentée sur la figure 1. La forme de la courbe est telle que lorsque le cône tour- ne de telle sorte que la spirale coupe la ligne de contact en d'autres points, la spirale est tangente au vecteur de vitesse relative en chacun des points où elle coupe la ligne de contact 30. Ainsi, lorsqu'on fait tour- ner le cône de telle sorte que la spirale 33 coupe la ligne de contact 30 en 32', elle est tangente au vecteur 31' en ce point.
Pour calculer la spirale 33, il est nécessaire d'utiliser la constante K qui est le rapport d'engrenage et des constantes indiquant la forme de la surface conique 23 et sa position par rapport à la roue 10. Ces constantes sont; l'angle au sommet t de la surface conique 23, mesuré entre son axe et un c8té la distance C entre l'axe 11 de la roue et l'axe 21 de la vis, mesurée dans le plan 12; et la distance a du plan 12 au sommet 26 de la surface conique. En utilisant ces constantes, on peut établir la cour- be 33 de différentes façons, dont la plus commode est la forme
1 = F (x) dans laquelle 1 représente le pas axial de la courbe en unités de longueur
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par radian et x représente les distances en unités de longueur le long de l'axe 21, mesurées à partir du point O.
On peut déterminer la valeur de F (x) à partir de la disposi- tion géométrique de l'engrenage représentée sur les figures 1 et 2. Ceci donne la formule suivante du pas de la spirale 33 de vecteur de vitesse relative :
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Certaines caractéristiques de la courbe 33 ressortent de la va- leur de 1 en fonction de x donnée par l'équation ci-dessus et des dérivés de 1 par rapport à x, que l'on peut obtenir d'après l'équation ci-dessus.
(l) Le pas 1 est la variable de premier ordre de la courbe 33.
Deux courbes ayant la même valeur 1 en un point commun ont la même pente ou le même sens et sont par suite tangentes, mais elles n'ont pas néces- sairment la même courbure ou les mêmes variables d'un ordre supérieur.
(2) La première dérivée dl du pas par rapport à x est positive dx pour les formes les plus pratiques de l'engrenage. Il s'ensuit que 1 pour la courbe 33 augmente lorsque x augmente. La première dérivée est la va- riable de second ordre de la courbe. Deux courbes ayant les mêmes 1 et d1 dx pour une valeur donnée de x sont plus voisines que celles ne présentant un accord que pour la variable de permier ordre et, en général, elles se sui- vent de manière plus étroite que des courbes qui sont simplement tangen- tes.
(3) La deuxième dérivée d212 du pas :.- par rapport à x est né- d x gative pour la plupart des formes pratiques d'engrenage . Il s'ensuit que la première dérivée dl diminue lorsque x augmente. La deuxième dérivée est dx la variable de troisième ordre de la courbe 33. Des courbes ayant les mê- mes 1, d1 et d212 pour une valeur donnée de x sont beaucoup plus analogues dx d x que celles ne 'Concordant que par les variables du premier et du deuxième ordre.
En général, on peut dire que la variable du premier ordre, à savoir le pas 1, affecte la direction (tangente) de la courbe; la variable du deuxième ordre dl affecte la courbure de la courbe, et la variable du dx troisième ordre d212 indique le taux de changement de la courbure. En gé- d x néral, deux courbures ayant des mêmes valeurs pour ces trois paramètres en un point donné (nécessairement un point de tangence du fait de l'égalité des pentes) concordent l'une avec l'autre très étroitement sur une -certai- ne distance de part et d'autre du point.
Etant donné qu'il est évident que, même dans le cas simple choi- si comme exemple, la formule de la courbe 33 est trop compliquée pour per- mettre une reproduction mécanique exacte de la courbe, le procédé a trait à la taille d'un filet qui se rapproche étroitement de la courbe en don- nant au pas, à la courbure et au taux de changement de courbure du filet des valeurs égales à celle de la courbe 33 en un plan transversal de la
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courbe,
Pour faciliter la taille du filet de cette forme, on utilise une machine à tailler les filets dans laquelle le déplacement de l'outil est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. On a représenté sché- matiquement cette machine sur les figures 3 et 4.
La machine comporte deux arbres ou broches 40 et 50 qui sont perpendiculaires l'un à l'autre et sont reliés par un réducteur de vitesse à chaîne (non représenté) qui permet de changer le rapport d'engrenage G entre les deux arbres.
L'arbre 40 est actionné par moteur et porte le flan 20 de la vis.
L'arbre 50 actionne l'outil et il porte un bras 60 dont un ergot
61 pénètre dans une rainure 71 ménagée dans un chariot 70 se déplaçant de façon rectiligne. Dans la forme représentée sur la figure 3, la voie 72 sur laquelle le chariot 70 se déplace est parallèle à l'axe de l'ouvrage
20. Etant donné que la rainure 71 est perpendiculaire à la voie 72,le mou- vement donné au chariot par le bras est proportionnel au sinus de l'angle alpha compris entre le bras et le sens de déplacement du chariot.
Un coulisseau 80 est monté sur le chariot 70 et est réglable lon- gitudinalement sur lui au moyen d'une vis et d'un volant 81. Le coulisseau
80 porte la tige 90 de l'outil,montée sur un coulisseau transversal 91.
Pour plus de simplicité, on a représenté cette tige comme portant un outil de tour, mais il est bien entendu qu'il peut être bon dans certains cas d' utiliser un outil tournant ou une meule tournante.
Evidemment, le coulisseau 71 doit être actionné de manière à maintenir l'outil en contaot avec l'ouvrage lorsque le chariot se déplace et à le faire avancer dans l'ouvrage à mesure que la taille s'effectue. Il n'est rien représenté à ce sujet sur la figure 3, mais la figure 4 repré- sente une plaque de recouvement 92 dans laquelle est ménagée une fente in- clinée 93 entourant la tige 90 de l'outil et le faisant déplacer parallèle- ment au coté incliné de l'ouvrage lorsque le chariot 70 se déplace sur sa voie. On peut faire avancer l'outil dans l'ouvrage en déplaçant latérale- ment la plaque de recouvement et la fente à l'aide d'une vis et d'un volant 94.
La machine permet un certain nombre de réglages individuels dis- tinots qui, ensemble, déterminent le mouvement exécuté par l'outil.
On peut modifier le rapport d'engrenage G entre la broche 40 de l'outil et l'arbre 50 en changeant les roues dentées dans la transmission qui les réunit.
On peut régler la longueur effective A du bras 60 en changeant la position de l'ergot 61 dans ce bras. Ce réglage est indiqué comme com- portant une série de trous dans le bras de la figure 3 mais il est bien entendu qu'il pourrait être prévu un réglage plus précis de la distance A.
Le troisième réglage s'effectue en modifiant la position du cou- lisseau 80 au moyen du volant 81. Ce réglage sert à placer le bras 60 sui- vant un angle déterminé-lorsqu'on met l'outil en prise avec l'ouvrage sui- vant un plan intermédiaire choisi de celui-ci.
On va maintenant expliquer comment on peut faire ces trois ré- glages de manière que le pas du filet taillé par la machine et les deux pre- mières dérivées de ce pas soient égaux aux paramètres correspondants d'une spirale dont on veut se rapprocher.
La spirale tracée par l'outil peut être exprimée de la même ma- nière que la spirale de vecteur de vitesse relative, à savoir
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où m est le pas du filet taillé par l'outil en unité de longueur par ra- dian et x, comme précédemment, représente la distance en même unités le long de l'axe du flan conique, mesurée du point situé à la distance a du sommet du cône.
Le pas m peut être exprimé plus simplement en termes de l'angle alpha compris entre le bras 60 et-le'sens de déplacement du chariot 70.
Le pas m en termes de alpha est :
A m = G sin ( 2)
La relation entre alpha et x est évidente d'après la géométrie de la machine est est donnée par dx = A sin à d à ( 3)
Les première et deuxième dérivées du pas m par rapport à x peu- vent être obtenues d'après les équations (2) et (3) et sont les suivantes :
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La raison pour laquelle les dérivés du pas de la taille en spi- rale faite par la machine peuvent être exprimées sous une forme aussi sim- ple tient à la disposition de la machine qui fait que le déplacement de 1' outil est une fonction sinusoïdale de la rotation de l'ouvrage. La simpli- cité de ces expressions permet de les utiliser pour déterminer les réglages de la machine donnant une spirale de pas, courbure et changement de cour- bure déterminés.
Il est évident, d'après les équations (2), (4) et (5) que pour toutes les valeurs de alpha comprises entre 0 et 90 , le pas m et sa pre- mière dérivée dm sont positifs, tandis que la deuxième dérivée est négati- dx ve. Ainsi, la courbe engendrée par la machine a les mêmes caractéristiques générales de pas variable que la spirale de vecteur de vitesse relative.
On peut évaluer le pas m et ses dérivées pour toute valeur de x. On choisit une valeur x pour déterminer le plan transversal de l'ouvra- ge pour lequel le filet doit correspondre exactement à la spirale de vec- teur de vitesse relative. Ce plan doit être un plan intermédiaire de l'ou- vrage, de préférence ou milieu entre ses deux extrémités. Etant donné que alpha est une fonction de x, la valeur de alpha quand x = x s'appalle ào.
Pour trouver les valeurs de m et de ses dérivées dans le plan transversal de l'ouvrage déterminé par x , il suffit de remplacer la variable alpha par la constante ao. dans les équations (2), (4) et (5) qui deviennent :
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Ces trois équations contiennent trois valeurs que l'on peut mo- difier en réglant la machine,à savoir ao,G et A.
En résolvant les équa-
EMI7.2
tions pour ces trois valeurs, on a 2 ()o cos2ao -dz2 0 (6) 2 ) m o (ëlx o
EMI7.3
On peut maintenant obtenir les réglages de la machine nécessai- res pour que le filet taillé par la machine corresponde environ à la spira- le 33 de vecteur de vitesse relative en calculant d'après l'équation (1) les valeurs numériques du pas m et de ses deux premières dérivées pour le cas où x = x et en remplaçant mo et ses dérivées par ces valeurs dans les équations (6, (7) et (8).
Ceci donne les valeurs de A, G et ao pour lesquelles la machine doit être réglée. On change l'engrenage de changement de vitesse reliant les arbres 40 et 50 de manière à donner, par le rapport d'engrenage entre ces arbres, la valeur calculée de G. On règle la position de l'ergot 61 sur le bras 60 de façon que sa distance à l'arbre 50 soit égale à la valeur cal- culée de A. On règle le bras 60 de façon qu'il fasse avec le sens du dépla- cement du chariot un angle égal à la valeur calculée de ao lorsque l'outil est mis en position pour toucher l'ouvrage 20 dans le plan choisi déter- miné pour la valeur choisie xo. Pour faire ce réglage, il est nécessaire de régler la position longitudinale relative de l'ouvrage et de l'outil sans déplacer le bras 60. Ceci peut se faire en réglant le coulisseau 80 au moyen du volant 81.
Si l'outil se met en prise avec l'ouvrage dans ce plan choisi, le coulisseau 80 peut être réglé de manière à déplader le chariot 70 et le bras 60 en amenant ce dernier à l'angle voulu. Si on le préfère, on peut régler d'abord le bras 60 à l'angle voulu, puis anemer l'outil dans le plan choisi del'ouvrage sans déplacer le bras à partir de sa position réglée. Ceci se fait en réglant le coulisseau 80. Ceci peut également se faire sans le coulisseau 80, en réglant la position longitudinale de l'ou- vrage sur la broche.
Après avoir fait les réglages, on actionne la machine de maniè- re à amener l'outil à une extrémité du flan sans changer le réglage du cou- lisseau 80 et sans changer la position longitudinale de l'ouvrage sur la broche. On met alors l'outil en place au moyen du volant 94 et oh actionne la machine à la manière ordinaire pour tailler un filet sur le flan de la vis et une fraise de même forme. Le filet peut être fait au moyen d'une seule taille ou au moyen de tailles successives. Dans ce dernier cas, on ne modifie pas le réglage de la machine entre les tailles successives. Le filet se rapproche très près de la spirale de vecteur de vitesse relative définie
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par l'équation (1)a Il coïncide avec cette spirale dans un plan transversal de la vis et il n'en diffère que . peu dans les autres plans transver- saux.
Le procédé de l'invention n'est pas limité à la fabrication de roues dentées du type décrit dans cet exemple particulier, dans lequel une vis conique est disposée perpendiculairement à la roue. On peut utiliser le procédé pour faire des engrenages dans lesquels l'axe de la vis conique est oblique par rapport à la roue. En ce cas, l'équation du pas de la spi- rale de vecteur de vitesse relative est plus compliquée que l'équation (1) mais, après calcul de la valeur du pas et de ses deux premières dérivées dans un plan intermédiaire choisi de la vis, il n'est pas difficile d'appli- quer le procédé qui a été décrit pour tailler un filet qui, dans le plan choisi, a pour le pas et ses deux premières dérivées des valeurs égales à celles de la spirale de vecteur de vitesse relative.
Le procédé peut également être appliqué dans le cas d'engrena- ges dans lesquels la vis comporte une surface de révolution non conique.
Dans le cas de vis conôdes, la formule du pas de la spirale de vecteur de vitesse relative est plus compliquée du fait que l'angle t, au lieu d'être une constante, est une fonction de x, de même que la position a du sommet.
Après avoir calculé le pas de cette courbe et ses deux premières dérivées pour un plan transversal choisi, on peut tailler par le procédé décrit, un filet dont le pas et ses dérivées présentent les mêmes valeurs dans ce plan choisi. La seule modification qu'il est nécessaire d'apporter à la ma- chine en ce cas est le remplacement de la plaque de recouvrement 92 de la figure- 4 par une plaque comportant une fente courbe correspondant au pro- fil de la surface de révolution de la vis.
Pour compléter cette description, on va décrire de façon détail- lée une machine particulière à tailler un filet en se rapprochant d'une spirale donnée sur un cône d'un angle quelconque, et on va donner un exem- ple numérique du réglage de cette machine dans la taille d'une vis se rap- prochant de la spirale de vecteur de vitesse relative d'un engrenage par- ticulier.
La machine représentée sur les figures 5 à 10 comporte un châs- sis creux 100 formant un dessus de table 101.
La broche 40' de l'ouvrage tourne dans une poupée 41. La broche 40' est actionnée par une transmission à partir d'un arbre 42 relié, par un engrenage d'angle 43 et un arbre vertical 44, à un arbre moteur 45. La poupée peut pivoter autour de l'axe vertical 44 de manière à placer un cô- té de l'ouvrage 20 parallèlement à la longueur de la table. La position angulaire de la poupée est indiquée sur un cercle gradué 46 par un repère 47 de la poupée.
L'arbre de commande 50' est placé horizontalement sous le dessus de la table, à un bout de celle-ci. Cet arbre est relié à l'arbre moteur 45 qui actionne la broche de l'ouvrage par des roues dentées de changement de vitesse 51 et un arbre 52 portant une vis sans fin 53 engrenant avec une roue dentée de côté 54 de l'arbre de commande.
Le bras 60' est fixé à un bout de l'arbre 50' de sorte qu'il peut tourner d'une position inclinée à une position verticale. Le bras est muni d'une glissière sur laquelle se déplace le coulisseau 62 qui porte l'axe 61'. On règle la position de ce dernier sur le bras 60' au moyen d' une vis 63 que l'on peut faire tourner au moyen d'un bouton 64 monté sur son extrémité supérieure.
Le chariot 70' se déplace dans une glissière 72', dans le sens de la longueur du dessus de la table. Ce chariot comporte une saillie ho-
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rizontale 73 et une partie verticale 74 contenant une fente verticale 71' dans laquelle circule un galet 65 monté sur l'axe 61'. On voit que le dis- positif de déplacement du chariot est analogue à celui de la figure 3, sauf que l'arbre de commande est dans un plan horizontal et que le bras et la partie avec fente du chariot sont dans un plan vertical. Comme sur la figu- re 3, le déplacement du chariot est proportionnel au sinus de l'angle que le bras avec le sens du déplacement du chariot. On peut lire cet angle sur une graduation fixe 66, au moyen d'un index de l'indicateur 67 fixé sur un côté du bras, près de son extrémité supérieure.
Un coulisseau transversal 91' se déplace sur le chariot 70' sous la commande d'une vis et d'un volant 94'. Sur ce coulisseau transversal est monté un coulisseau longitudinal 80' commandé par une vis et un volant 81'.
La tige 90' de l'outil est montée sur le coulisseau 80'.
D'après la description ci-dessus, on voit que la machine fonc- tionne comme celle des figures 3 et 4, sauf que l'on règle d'abord l'arbre de l'outil sur son pivot pour rendre l'angle qu'il fait avec la voie du chariot, indiqué sur la graduation 46, égal à l'angle au sommet t du flan.
On déplace alors le chariot parallèlement au côté du flan au lieu que ce soit parallèlement à son axe, comme sur la figure 3. Le déplacement de l'ou- til lui-même est le même que celui donné par le chariot de la figure 3 et la plaque de recouvrement aveo fente inclinée de la figure 4, mais des chan- gements dans la distance axiale x, causés par des déplacements du chariot, ne sont pas égaux aux déplacements du chariot mais à ces déplacements mul- tipliés par le cosinus de l'angle au sommet t du cône.
Pour représenter les réglages de cette machine, il est par suite nécessaire de modifier légèrement les équations en introduisant la constan- te cos t dans les équations (2), (3), (5) et (8), qui deviennent :
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On va maintenant donner un exemple spécifique du réglage de la maohine des figures 5 à 10 pour tailler un filet très voisin de la spirale de vecteur de vitesse relative d'un engrenage particulier du type des figu- res 1 et 2, dans lequel le rapport d'engrenage K = 20 l'angle au sommet t = 10 la distance entre axes C = 10,15 cm la distance a = 10,15 cm
Le plan transversal suivant lequel la courbe taillée par la ma- chine correspond exactement à la spirale de vecteur de vitesse relative est le plan compris entre les deux extrémités de la vis, défini par la valeur:
xo = 7,92 cm
Les valeurs numériques, dans ce plan, du pas et des deux premières
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dérivées du pas de la spirale de vecteur de vitesse relative sont obtenues en remplaçant x par x dans l'équation (1) :
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Pour obtenir les réglages de la machine rendant le pas de la spi- rale taillée par l'outil et ses deux premières dérivées identiques à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative,les valeurs ci-dessus pour le pas 1 et ses dérivées dans le plan déterminé par x = x sont prises comme valeurs pour le pas m et ses dérivées dans ce plan.
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Les valeurs ci-dessus de 1 ; dl) et ci21 sont par suite \dx d x 0 sont par suite prises comme valeurs de mis (dm) et ( d2m2 dans les équations (6), (7) d..."!C 0 d x) 0 et (8'), ce qui donne les résultats suivants ao = 70,432
G = 43,158
A = 25,116 cm
Ceci donne les réglages de la machine nécessaires pour tailler sur le flan une courbe dont la pas et ses deux premières dérivées sont é- gaux à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative dans le plan trans- versal. x = xo = 7,92 cm
La spirale taillée- se rapproche très près de la spirale de vec- teur de vitesse relative sur toute la longueur du flan.
Lorsque la vis a une longueur de 3,8 cm, la spirale du filet est identique à la spirale de vecteur de vitesse relative dans la plan intermédiaire qui est à 1,9 cm du petit bout de la vis et il s'en écarte d'environ 0,015 mm aux bouts de la vis.
Il n'est pas difficile de régler la longueur effective du bras 60' en réglant le coulisseau 62 au moyen du bouton 64 de manière à placer l'axe 61' à une distance de l'axe de l'arbre 50' égale à la valeur calculée de a, et de régler la position angulaire du bras 60' indiquée sur la gra- duation 66 conformément à la valeur calculée de ao, en réglant le coulis- seau 80' après que l'outil a été mis dans un plan correspondant à x = 7,92 cm.
Mais, à moins d'avoir un grand nombre de roues dentées de remplacement, il est difficile de-,rendre le rapport G exactement égal à la valeur calculée ci-dessus. On peut remédier à cette difficulté sans que l'approximation avec la spirale de vecteur de vitesse relative soit sensiblement moindre.
La valeur de G n'est pas critique car les valeurs de A et ao peuvent compenser ses erreurs de manière telle que la machine taille une spirale dont le pas et sa première dérivée correspondent exactement à ceux de la spirale de vecteur de vitesse relative, tandis que sa deuxième dé- rivée se rapproche beaucoup de celle de la spirale résirée.
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On obtient des valeurs corrigées de A et ao,en vue de compenser une erreur dans G, comme suit soit G = G' où G' est une approximation pratique de la valeur calculée de G.
On peut obtenir la valeur corrigée de en arrangeant l'équation (7) comme suit : cot a ' o=G' (dm/dx). O (9) et la valeur corrigée de A s'obtient de l'équation (8') comme suit :
EMI11.1
Ceci donne une nouvelle série de valeurs G',A' et a'o pour des réglages de la machine reproduisant exactement le pas et sa première déri- vée. La quantité de l'erreur résultant de la deuxième dérivée s'obtient en calculant, à partir de l'équation (6), la valeur de la deuxième dérivée (d2m/dx2)" correspondant à la valeur corrigée a ' o et en la comparant à la valeur calculée de la deuxième dévirée (d21/d x2).
Dans l'exemple numérique donné, le rapport de transmission G peut être remplacé par un rapport ne contenant pas la partie décimale, de sorte que
G' = 43 L'équation 9 donne cot a'. = 0,8995 a'.= 70,498 sin a'o= 2,3942 de sorte que, de l'équation (10)
A' = 25,014
Cette nouvelle série de valeurs montre que la différence entre (d2m/d x2) et (d21/d x2) n'est que de 0,00045 mm.
L'effet de cette petite erreur dans l'accord de la deuxième dé- rivée est négligeable. En conséquence, le réglage de la machine conformé- ment aux valeurs a'., A' et G' donne une vis ayant les caractéristiques déjà décrites au sujet de la spirale taillée avec la machine réglée pour les valeurs a.,A et G.
L'expression "vecteur de vitesse relative" dans un engrenage d' angle signifie la direction du mouvement relatif de la surface extérieure de la vis et de la surface de révolution associée autour de l'axe de la roue en un point de la ligne de conteact de ces surfaces lorsqu'elles tour- nent à un rapport de vitesse déterminé, et "la spirale de vecteur de vites- se relative" de l'engrenage signifie la courbe en spirale tracée sur la surface extérieure de la vis ayant la même direction que le vecteur de vi- tesse relative en chacun des points où il coupe cette ligne de contact.
**ATTENTION** fin du champ DESC peut contenir debut de CLMS **.
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The present invention relates to an angle gear and to its manufacturing process. It relates in particular to the manufacture of pairs of inclined toothed wheels, the teeth of which have a shape such that all of the flanks of the teeth of each wheel are in contact with all of the teeth of the other element in order to transfer power thereto. .
Angular-toothed gears giving substantial reduction consist of a large element which, for convenience, will be called "the wheel" and a smaller element which will be called "the screw". A convenient method of making such gears is to first make the screw, as well as a milling cutter of the same shape as the screw, and then use this milling cutter to cut teeth in a wheel blank. toothed, by bringing it into the. same relative position with respect to the blank that the screw must have with the finished wheel. This process engages the screw with the wheel, but generally does not provide effective wheel teeth.
This is due to the fact that, in this process, the outer edges of the teeth of the cutter give on the teeth of the wheel roundings or undercuts which can occupy a large proportion of the sides of the teeth and do not come into operating contact with the teeth. sides of the screw when using the gear.
It has been found, according to the invention, that when a milling cutter corresponding to the screw of the oblique gear is used to cut the teeth of the wheel, the formation of roundings and undercuts can be avoided simply by giving the thread a shape such that at every point of its outer surface the thread extends in the direction of relative displacement between that point of the wheel blank with which it comes into contact. As far as we know, we did not know this principle until now.
Special types of gears have previously been made in which the thread of the screw and the teeth of the wheel are arranged parallel to the direction of relative displacement of the corresponding points on the "pitch surfaces" of the screw and of the wheel. the impeller. The pitch surface of the screw has been generally considered to be a surface between the inner and outer ends of the teeth or the thread of the screw, instead of being at the outer ends of these teeth, and the types have been limited to the case where the conjugate pitch surfaces of the wheel and the screw each have a simple mathematical shape, so that the direction of the relative displacement of these surfaces along their contact line describes a simple curve , for example a parabola.
The method according to the invention for manufacturing an oblique gear differs from those previously used in two points of view:
The outer surface of the thread of the screw, rather than an intermediate surface of the thread, is given the desired shape so that at each point the thread is arranged parallel to the relative movement between this point and the point of the wheel blank with which it comes in contact with. In this way, the process makes it possible to completely eliminate rounding.
It differs even more radically from the preceding methods in that it is not limited to the few special and often inconvenient cases in which simple mating pitch surfaces are chosen for the two elements of the gear.
If one chooses for the outer surface of the screw element of an oblique gear a convenient surface of revolution, it is possible to mathematically calculate the shape of the related surface of revolution around the axis of the l Another element of the gear, which will come into contact with the selected surface along a line, and also to calculate the position of that line of contact. By knowing the fixed gear ratio for which the gear is to operate, it is then possible to calculate
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two vectors giving the direction and the speed of the two surfaces appearing at any point of this contact line.
The veator which is the difference between these two vectors and which can be called a "relative velocity vector? Indicates the direction of the relative displacement of two related surfaces of revolution at a point on the contact line. The determination of this vector for each point of the contact line requires a rather complicated calculation because the absolute displacement of each, anoint of each related surface depends on the speed of rotation of the surface and the distance of the point from the axis of the surface , and the variation of the ratio of the distances to the two axes for points situated along the contact line does not follow a simple law.
A spiral running on the outer surface of the screw member intersects the line of contact of the screw and its related surface at successive points of that line of contact as the surfaces rotate. It has been found that there is one, and only one, of these spirals which is tangent to the relative velocity vector at each point where it intersects the line of contact. This spiral, which for convenience will be called a "relative velocity vector spiral", can be obtained in different ways. This can be most conveniently obtained in terms of pitch versus axial distance, but the mathematical expressions thus obtained are so complicated that a thread of the desired shape cannot be cut with any device. known mechanics.
With the present invention, it is possible to practically determine the shape of the thread necessary to avoid the formation of roundings by a method of cutting on a screw blank of a thread having a shape very close to that. of the "relative velocity vector spiral" which is theoretically necessary to avoid rounding and undercuts.
The method for achieving this is to use three separate devices to adjust the movement of a pruning tool relative to the rotation of the work, and to adjust these three separate devices so that the tool cuts on the work a thread of which the slope, curvature and rate of change of curvature are identical to the slope, curvature and rate of change of curvature of the "relative velocity vector coil" in a transverse plan of the structure.
Due to the adjustment of these three parameters, the thread which is cut on the structure is identical to the theoretical spiral in a transverse plane of the structure and it approximates very approximately the shape of the theoretical spiral over a considerable distance of each side of this plane.
According to the invention, the thread is cut by rotating the work and by giving the tool a displacement which is a sinusoidal function of the rotation of the work. In particular, the tool travels along the work at a speed which is proportional to the sine of an angle which is a fraction of the angle at which the work rotates. The pitch and the first and second derivative of the pitch of the thread cut on the work are determined by adjusting (1) the relation between the angle of which the work turns and the angle of which the sine is used, ( 2) the relation between the sine of this angle and the amplitude of the displacement of the tool and (3) the value of this angle when the tool engages with the work in a chosen intermediate transverse plane. of the book.
To facilitate understanding of the invention, a particular process for manufacturing an oblique gear according to the invention has been described in detail. At the same time as this description will be made, a particular gear according to the invention and a thread cutting machine for carrying out the particular method described will also be described.
This description is made with reference to the accompanying drawings,
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wherein
Figure 1 is a schematic of an oblique gear looking towards the axis of the wheel;
Figure 2 is a similar diagram looking in the direction of the axis of the screw;
Figures 3 and 4 are diagrams showing the operation of a machine cutting the thread of the screw;
Figures 5 to 10 show a particular thread cutting machine which can be used for carrying out the process, Figure 5 being a plan view, Figure 6 a section taken along line 6-6 of figure 5, figures 7 to 8 vertical sections along line 7-7 and 8-8 of figure 5, figure 9 a section along line 9-9 of figure 7 and figure 10 a horizontal section along line 10-10 in Figure 6.
In order for the description to be as simple as possible, an oblique gear, the manufacture of which will be described in detail, has been chosen a gear in which a conical surface has been chosen for the outer surface of the screw, the axis of this conical surface being perpendicular to that of the wheel. A gear of this kind is shown schematically in Figures 1 and 2. The diagrams show, in addition to: the wheel 10 and the screw 20, the axis 11 of the wheel, the axis 21 of the screw, a plane radial 12 of the wheel, perpendicular to the axis of the screw and the intersection 0 of this plane and of the axis 21.
The surface of revolution 13 around the axis 11 of the wheel, which is associated with the surface of revolution 23 of the screw, is calculated mathematically and the position of the contact line 30 of the associated surfaces is then determined mathematically. Using the ratio of transmissions K for which the gear is to operate, vectors 15 are calculated indicating the speed and direction of travel of the surface 13 at points along line 30, as well as vectors 25 indicating the speed and direction of movement of the conical surface 23 at corresponding points on line 30. The relative speed vectors 31 are then obtained by subtraction and the relative speed vector spiral 33 is calculated.
In the position of the screw shown in Figure 1, the coil 33 intersects the contact line 30 at two points 32 for each of which it is tangent to one of the relative velocity vectors 31 shown in Figure 1. The shape of the curve is such that when the cone turns so that the spiral intersects the contact line at other points, the spiral is tangent to the relative velocity vector at each of the points where it intersects the contact line 30. Thus, when the cone is rotated so that the spiral 33 intersects the contact line 30 at 32 ', it is tangent to the vector 31' at this point.
To calculate the spiral 33, it is necessary to use the constant K which is the gear ratio and constants indicating the shape of the conical surface 23 and its position with respect to the wheel 10. These constants are; the apex angle t of the conical surface 23, measured between its axis and a side of the distance C between the axis 11 of the wheel and the axis 21 of the screw, measured in the plane 12; and the distance a from plane 12 to apex 26 of the conical surface. Using these constants, we can establish the curve 33 in different ways, the most convenient of which is the form
1 = F (x) in which 1 represents the axial pitch of the curve in units of length
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by radians and x are the distances in units of length along the 21 axis, measured from point O.
The value of F (x) can be determined from the geometric arrangement of the gear shown in Figures 1 and 2. This gives the following formula for the pitch of the relative velocity vector spiral 33:
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Certain characteristics of the curve 33 emerge from the value of 1 as a function of x given by the above equation and from the derivatives of 1 with respect to x, which can be obtained from the equation below. above.
(l) Step 1 is the first order variable of curve 33.
Two curves having the same value 1 at a common point have the same slope or the same direction and are therefore tangent, but they do not necessarily have the same curvature or the same variables of a higher order.
(2) The first derivative dl of the pitch with respect to x is positive dx for the most practical forms of the gear. It follows that 1 for curve 33 increases as x increases. The first derivative is the second order variable of the curve. Two curves with the same 1 and d1 dx for a given value of x are closer than those showing agreement only for the first-order variable and, in general, they follow each other more closely than curves which are simply tangents.
(3) The second derivative d212 of the pitch: .- with respect to x is negative for most practical forms of gearing. It follows that the first derivative dl decreases as x increases. The second derivative is dx the third-order variable of curve 33. Curves having the same 1, d1 and d212 for a given value of x are much more analogous to dx dx than those that match only by variables of the first and of the second order.
In general, we can say that the variable of the first order, namely step 1, affects the direction (tangent) of the curve; the second-order variable d1 affects the curvature of the curve, and the third-order dx variable d212 indicates the rate of change of the curvature. In general, two curvatures having the same values for these three parameters at a given point (necessarily a point of tangency due to the equality of the slopes) agree with each other very closely on a -certai- distance on either side of the point.
Since it is evident that, even in the simple case chosen as an example, the formula of curve 33 is too complicated to allow an exact mechanical reproduction of the curve, the method relates to the size of the curve. a thread which closely approximates the curve, giving the pitch, curvature and rate of change of curvature of the thread values equal to that of curve 33 in a plane transverse of the thread.
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curve,
To facilitate the cutting of the thread of this shape, a thread cutting machine is used in which the movement of the tool is a sinusoidal function of the rotation of the work. This machine has been shown schematically in Figures 3 and 4.
The machine has two shafts or spindles 40 and 50 which are perpendicular to each other and are connected by a chain speed reducer (not shown) which makes it possible to change the gear ratio G between the two shafts.
The shaft 40 is powered by a motor and carries the blank 20 of the screw.
The shaft 50 actuates the tool and it carries an arm 60 including a lug
61 enters a groove 71 formed in a carriage 70 moving in a rectilinear fashion. In the form shown in Figure 3, the track 72 on which the carriage 70 moves is parallel to the axis of the structure
20. Since the groove 71 is perpendicular to the track 72, the movement given to the carriage by the arm is proportional to the sine of the angle alpha between the arm and the direction of movement of the carriage.
A slider 80 is mounted on the carriage 70 and is adjustable lengthwise on it by means of a screw and a handwheel 81. The slider
80 carries the rod 90 of the tool, mounted on a transverse slide 91.
For the sake of simplicity, this rod has been represented as carrying a lathe tool, but it is understood that it may be good in certain cases to use a rotating tool or a rotating grinding wheel.
Obviously, the slider 71 must be operated so as to keep the tool in contact with the work as the carriage moves and to advance it through the work as pruning is carried out. Nothing is shown on this subject in FIG. 3, but FIG. 4 shows a cover plate 92 in which an inclined slot 93 is formed which surrounds the shank 90 of the tool and causes it to move parallel. ment to the inclined side of the structure when the carriage 70 moves on its track. The tool can be advanced through the work by moving the cover plate and the slot sideways using a screw and handwheel 94.
The machine allows a number of separate individual adjustments which together determine the movement performed by the tool.
The gear ratio G between the spindle 40 of the tool and the shaft 50 can be changed by changing the toothed wheels in the transmission which unites them.
The effective length A of the arm 60 can be adjusted by changing the position of the lug 61 in this arm. This adjustment is indicated as having a series of holes in the arm of figure 3, but it is understood that a more precise adjustment of the distance A.
The third adjustment is effected by modifying the position of the slide 80 by means of the handwheel 81. This adjustment is used to place the arm 60 at a determined angle when the tool is engaged with the following work. - before an intermediate plan chosen from it.
We will now explain how we can make these three settings so that the pitch of the thread cut by the machine and the first two derivatives of this pitch are equal to the corresponding parameters of a spiral which we want to approximate.
The spiral drawn by the tool can be expressed in the same way as the relative velocity vector spiral, namely
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where m is the pitch of the thread cut by the tool in units of length per ra- dian and x, as before, represents the distance in same units along the axis of the conical blank, measured from the point at the distance a from the top of the cone.
The pitch m can be expressed more simply in terms of the angle alpha between the arm 60 and the direction of movement of the carriage 70.
The step m in terms of alpha is:
A m = G sin (2)
The relation between alpha and x is obvious from the geometry of the machine and is given by dx = A sin to d to (3)
The first and second derivatives of the pitch m with respect to x can be obtained from equations (2) and (3) and are as follows:
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The reason that the derivatives of the pitch of the spiral cut made by the machine can be expressed in such a simple form is due to the arrangement of the machine which makes the movement of the tool a sinusoidal function of the machine. the rotation of the work. The simplicity of these expressions allows them to be used to determine the machine settings giving a spiral of determined pitch, curvature and change in curvature.
It is evident from equations (2), (4) and (5) that for all values of alpha between 0 and 90, the pitch m and its first derivative dm are positive, while the second derivative is negative. Thus, the curve generated by the machine has the same general characteristics of variable pitch as the spiral of relative velocity vector.
We can evaluate the step m and its derivatives for any value of x. We choose a value x to determine the transverse plane of the structure for which the thread must correspond exactly to the spiral of the relative velocity vector. This plane must be an intermediate plane of the structure, preferably or midpoint between its two ends. Since alpha is a function of x, the value of alpha when x = x approaches 0.
To find the values of m and its derivatives in the transverse plane of the structure determined by x, it suffices to replace the variable alpha by the constant ao. in equations (2), (4) and (5) which become:
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EMI7.1
These three equations contain three values which can be changed by tuning the machine, namely ao, G and A.
By solving the equa-
EMI7.2
tions for these three values, we have 2 () o cos2ao -dz2 0 (6) 2) m o (ëlx o
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The necessary machine settings can now be obtained so that the thread cut by the machine corresponds approximately to the spiral 33 of the relative velocity vector by calculating from equation (1) the numerical values of the pitch m and its first two derivatives for the case where x = x and by replacing mo and its derivatives by these values in equations (6, (7) and (8).
This gives the values of A, G and ao for which the machine should be set. The speed change gear connecting the shafts 40 and 50 is changed so as to give, by the gear ratio between these shafts, the calculated value of G. The position of the lug 61 on the arm 60 is adjusted. so that its distance from the shaft 50 is equal to the calculated value of A. The arm 60 is adjusted so that it makes with the direction of movement of the carriage an angle equal to the calculated value of ao when the tool is placed in position to touch the work 20 in the chosen plane determined for the chosen value xo. To make this adjustment, it is necessary to adjust the relative longitudinal position of the work and of the tool without moving the arm 60. This can be done by adjusting the slide 80 by means of the handwheel 81.
If the tool engages with the work in this chosen plane, the slider 80 can be adjusted to move the carriage 70 and the arm 60 by bringing the latter to the desired angle. If preferred, the arm 60 can be first set to the desired angle and then the tool in the chosen plane of the work without moving the arm from its adjusted position. This is done by adjusting the slider 80. This can also be done without the slider 80, by adjusting the longitudinal position of the work on the spindle.
After having made the adjustments, the machine is operated so as to bring the tool to one end of the blank without changing the setting of the slide 80 and without changing the longitudinal position of the work on the spindle. The tool is then put in place by means of the handwheel 94 and oh actuates the machine in the ordinary manner to cut a thread on the blank of the screw and a milling cutter of the same shape. The net can be made by means of a single size or by means of successive sizes. In the latter case, the setting of the machine is not changed between successive sizes. The thread gets very close to the set relative velocity vector spiral
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by equation (1) a It coincides with this spiral in a transverse plane of the screw and it only differs from it. little in the other transverse planes.
The method of the invention is not limited to the manufacture of toothed wheels of the type described in this particular example, in which a conical screw is arranged perpendicular to the wheel. The process can be used to make gears in which the axis of the bevel screw is oblique with respect to the wheel. In this case, the equation of the pitch of the relative velocity vector spiral is more complicated than equation (1) but, after calculating the value of the pitch and its first two derivatives in an intermediate plane chosen from the screw, it is not difficult to apply the process which has been described to cut a thread which, in the chosen plane, has for the pitch and its first two derivatives values equal to those of the vector spiral relative speed.
The method can also be applied in the case of meshes in which the screw has a non-conical surface of revolution.
In the case of conoidal screws, the formula for the pitch of the relative velocity vector spiral is more complicated because the angle t, instead of being a constant, is a function of x, as is the position a Summit.
After having calculated the pitch of this curve and its first two derivatives for a chosen transverse plane, it is possible to cut by the method described, a thread whose pitch and its derivatives have the same values in this chosen plane. The only modification which is necessary to make to the machine in this case is the replacement of the cover plate 92 of FIG. 4 by a plate having a curved slot corresponding to the profile of the surface of revolution. of the screw.
To complete this description, we will describe in detail a particular machine for cutting a thread by approaching a given spiral on a cone of any angle, and we will give a numerical example of the adjustment of this. machine in the size of a screw approximating the relative speed vector spiral of a particular gear.
The machine shown in Figures 5 to 10 comprises a hollow frame 100 forming a table top 101.
The spindle 40 'of the book rotates in a headstock 41. The spindle 40' is actuated by a transmission from a shaft 42 connected, by an angle gear 43 and a vertical shaft 44, to a motor shaft 45 The headstock can pivot about the vertical axis 44 so as to place one side of the book 20 parallel to the length of the table. The angular position of the doll is indicated on a graduated circle 46 by a mark 47 on the doll.
The drive shaft 50 'is placed horizontally under the top of the table, at one end thereof. This shaft is connected to the motor shaft 45 which actuates the spindle of the work by gear change gears 51 and a shaft 52 carrying a worm 53 meshing with a side gear wheel 54 of the gear shaft. ordered.
The arm 60 'is attached to one end of the shaft 50' so that it can rotate from an inclined position to an upright position. The arm is provided with a slide on which moves the slide 62 which carries the axis 61 '. The position of the latter on the arm 60 'is adjusted by means of a screw 63 which can be rotated by means of a knob 64 mounted on its upper end.
The carriage 70 'moves in a slide 72', in the direction of the length of the top of the table. This carriage has a protrusion ho-
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rizontale 73 and a vertical part 74 containing a vertical slot 71 'in which circulates a roller 65 mounted on the axis 61'. It can be seen that the device for moving the carriage is similar to that of FIG. 3, except that the control shaft is in a horizontal plane and the arm and the slotted part of the carriage are in a vertical plane. As in FIG. 3, the movement of the carriage is proportional to the sine of the angle that the arm has with the direction of movement of the carriage. This angle can be read on a fixed graduation 66, by means of an index of the indicator 67 fixed on one side of the arm, near its upper end.
A transverse slide 91 'moves on the carriage 70' under the control of a screw and a handwheel 94 '. On this transverse slide is mounted a longitudinal slide 80 'controlled by a screw and a handwheel 81'.
The rod 90 'of the tool is mounted on the slide 80'.
From the above description, it can be seen that the machine operates like that of Figures 3 and 4, except that the tool shaft is first adjusted on its pivot to make the angle qu 'it makes with the track of the carriage, indicated on the graduation 46, equal to the angle at the top t of the blank.
The carriage is then moved parallel to the side of the blank instead of being parallel to its axis, as in figure 3. The displacement of the tool itself is the same as that given by the carriage of figure 3 and the cover plate with inclined slot of figure 4, but changes in the axial distance x, caused by displacements of the carriage, are not equal to the displacements of the carriage but to these displacements multiplied by the cosine of the angle at the apex t of the cone.
To represent the settings of this machine, it is therefore necessary to modify the equations slightly by introducing the constant cos t in equations (2), (3), (5) and (8), which become:
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We will now give a specific example of the adjustment of the machine of FIGS. 5 to 10 to cut a thread very close to the spiral of the relative speed vector of a particular gear of the type of FIGS. 1 and 2, in which the ratio gear K = 20 the angle at the top t = 10 the distance between axes C = 10.15 cm the distance a = 10.15 cm
The transverse plane along which the curve cut by the machine corresponds exactly to the relative speed vector spiral is the plane between the two ends of the screw, defined by the value:
xo = 7.92 cm
The numerical values, in this plane, of the step and of the first two
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derived from the pitch of the relative velocity vector spiral are obtained by replacing x by x in equation (1):
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To obtain the machine settings making the pitch of the tool-cut spiral and its first two derivatives identical to those of the relative velocity vector spiral, the above values for pitch 1 and its derivatives in the plane determined by x = x are taken as values for the pitch m and its derivatives in this plane.
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The above values of 1; dl) and ci21 are therefore \ dx dx 0 are therefore taken as values of mis (dm) and (d2m2 in equations (6), (7) d ... "! C 0 dx) 0 and (8 ' ), which gives the following results ao = 70.432
G = 43.158
A = 25.116 cm
This gives the machine settings necessary to cut a curve on the blank whose pitch and its first two derivatives are equal to those of the relative velocity vector spiral in the transverse plane. x = xo = 7.92 cm
The cut spiral closely approximates the relative velocity vector spiral along the length of the blank.
When the screw has a length of 3.8 cm, the spiral of the thread is identical to the relative velocity vector spiral in the intermediate plane which is 1.9 cm from the small end of the screw and it deviates from it. 'approximately 0.015 mm at the ends of the screw.
It is not difficult to adjust the effective length of the arm 60 'by adjusting the slider 62 by means of the knob 64 so as to place the axis 61' at a distance from the axis of the shaft 50 'equal to the calculated value of a, and to adjust the angular position of the arm 60 'indicated on the scale 66 according to the calculated value of ao, by adjusting the slide 80' after the tool has been placed in a corresponding plane at x = 7.92 cm.
But, unless you have a large number of replacement toothed wheels, it is difficult to make the ratio G exactly equal to the value calculated above. This difficulty can be remedied without the approximation with the relative velocity vector spiral being appreciably less.
The value of G is not critical because the values of A and ao can compensate for its errors in such a way that the machine cuts a spiral whose pitch and its first derivative exactly match those of the relative velocity vector spiral, while that its second derivative is very close to that of the resiré spiral.
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Corrected values of A and ao are obtained, in order to compensate for an error in G, as follows let G = G 'where G' is a practical approximation of the calculated value of G.
The corrected value of can be obtained by arranging equation (7) as follows: cot a 'o = G' (dm / dx). O (9) and the corrected value of A is obtained from equation (8 ') as follows:
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This gives a new set of G ', A' and a'o values for machine settings exactly reproducing the pitch and its first derivative. The quantity of the error resulting from the second derivative is obtained by calculating, from equation (6), the value of the second derivative (d2m / dx2) "corresponding to the corrected value a 'o and by comparing to the calculated value of the second deviation (d21 / d x2).
In the numerical example given, the transmission ratio G can be replaced by a ratio not containing the decimal part, so that
G '= 43 Equation 9 gives cot a'. = 0.8995 a '. = 70.498 sin a'o = 2.3942 so that, from equation (10)
A '= 25.014
This new series of values shows that the difference between (d2m / d x2) and (d21 / d x2) is only 0.00045 mm.
The effect of this small error in the tuning of the second derivative is negligible. Consequently, setting the machine according to the values a '., A' and G 'results in a screw having the characteristics already described for the spiral cut with the machine set for the values a., A and G.
The expression "relative speed vector" in an angle gear means the direction of the relative movement of the outer surface of the screw and the associated surface of revolution around the axis of the wheel at a point on the line of. conteact of these surfaces as they rotate at a determined speed ratio, and the "relative speed vector spiral" of the gear means the spiral curve drawn on the outer surface of the screw having the same direction than the relative velocity vector at each of the points where it intersects this contact line.
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