WO2022153978A1

WO2022153978A1 - ミラーの設計方法、および該設計方法における設計式が成り立つ反射面を備えた非点収差制御ミラー

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Publication number: WO2022153978A1
Application number: PCT/JP2022/000568
Authority: WO
Inventors: 陽子竹尾; 秀和三村
Original assignee: 国立大学法人東京大学
Priority date: 2021-01-12
Filing date: 2022-01-11
Publication date: 2022-07-21
Also published as: CN116802527A; EP4266106A1; US20240069331A1; JP2022108209A

Abstract

【課題】単一のミラーであって、鉛直方向と水平方向とで独立して光源位置及び集光位置を設定でき、これにより非点収差の自由な変換が可能であり、また、集光サイズをより小さく抑えてＸ線領域のビームにも対応することができ、設計式も単純で、応用の幅も広く、鉛直方向と水平方向とで特性が異なるビームを取り扱う光学系として好適に用いることができるミラーを作製できる、ミラーの設計方法を提供せんとする。【解決手段】反射面上の任意の点をＭとして、サジタル光源線とＭ点への入射光線との交点、及びメリディオナル光源線とＭ点への入射光線との交点の各座標を、前記Ｌ１ｓ、Ｌ１ｍを用いて表わし、且つ、同じ前記Ｍ点からの出射光線とサジタル集光線との交点、及びＭ点からの出射光線とメリディオナル集光線との交点の各座標を、前記Ｌ２ｓ、Ｌ２ｍを用いて表わし、これら座標、及びサジタル方向の集光及びメリディオナル方向の集光についてそれぞれ反射面上の任意の点に関して光源位置から集光位置までの光路長が一定であること、に基づき導かれる反射面の設計式を用いてミラーを設計する。

Description

ミラーの設計方法、および該設計方法における設計式が成り立つ反射面を備えた非点収差制御ミラー

　本発明は、板材表面に反射面を形成して作製されるミラーの設計方法、および該設計方法における設計式が成り立つ反射面を備えた非点収差制御ミラーに関する。

　放射光軟Ｘ線ビームは、鉛直方向と水平方向とで特性が異なるという特徴がある。ビームサイズは、水平方向に比べて鉛直方向が小さくなる傾向にある。コヒーレント幅は、水平方向に比べて鉛直方向が大きくなる。さらに、軟Ｘ線ビームラインに広く普及している回折格子を用いた分光システムでは、ビームの鉛直方向の発散角が増大してしまう。また、使用される回折格子を含む分光器は、分光方向にのみ軟Ｘ線を集光させるため、光源位置が分光方向と集光させない方向とで異なる「非点収差」が生じる。

　従来、このような鉛直方向と水平方向とで特性の異なるビームを取り扱う光学系の手法としては、たとえば鉛直方向・水平方向の各方向を扱う２枚のミラーを配置した二段階集光光学系とし、鉛直方向と水平方向とで光源点を独立に設定して集光点を一致させる手法が用いられている。具体的には、２枚の楕円筒ミラーを鉛直・水平に配置する手法や、２枚のベントミラー（機械曲げ円筒ミラー）を配置することで近似形状を成立させる手法、ベントミラーとサジタルシリンダーミラーの２枚をいずれも水平方向に対向して配置する手法などが知られている。しかしながら、このような２枚のミラーを組み合わせる手法の場合、機構が複雑になるうえ、チャンバーが増えるのでコストアップとなり、調整も難しくなる。

　単一のミラーによって非点収差を除去できる可能性のあるものとしては、トロイダルミラーがある（非特許文献１）。しかしながら、トロイダルミラーは、既存の回転楕円ミラーを近似し、反射面の長手方向、短手方向それぞれに一様な曲率半径を設定することで作製を容易にしたミラーであり、非点収差を除去できたとしても、原理的に集光サイズが増大してしまうという欠点がある。

　トロイダルミラーよりも集光サイズを小さくでき、かつ鉛直・水平で独立した光源・集光点を設定可能なミラーとして、Astigmatic off-axis mirror（AOミラー）も提案されている（非特許文献２）。このミラーは、一点から発散するビームを別の点に集光させるためには楕円曲線を、一点から発散するビームを平行化するためには放物線を、一点に向かって集光するビームを別の点に向かって集光するビームに変換するためには双曲線を、それぞれ反射面の稜線として適用するとの原則のもと、長手方向と短手方向で異なる円錐曲線を設定し，それらを滑らかにつなぐ曲面を求める形状としたものである。

　しかし、このＡＯミラーは、曲面を得るために長手方向の円錐曲線プロファイルを短手方向の円錐曲線の焦点を結ぶ直線（長軸）を中心に回転させることで定義されるミラーであり、反射面を軸対称形状に近似していることから、当該近似に起因して集光サイズの抑制に限界が生じる。波長の長いテラヘルツ領域のビームであれば問題ないが、Ｘ線領域のビームには対応できない。また、設計式が座標変換を数回含むなど、非常に複雑であり、パラメータも複雑で理解しにくく使いにくい。

William A.Rense,T.Violett,「Method of Increasing the Speed of a Grazing-Incidence Spectrograph」,JOURNAL OF THE OPTICAL SOCIETY OF AMERICA,Vol.49,No2,1959年2月,p139-p141 A. Wagner-Gentner , U.U. Graf, M. Philipp, D. Rabanus、「A simple method to design astigmatic off-axis mirrors」、Infrared Physics & Technology 50、 2007年、p42-p46

　そこで、本発明が前述の状況に鑑み、解決しようとするところは、単一のミラーであって、鉛直方向と水平方向とで独立して光源位置及び集光位置を設定でき、これにより非点収差の自由な変換が可能であり、また、集光サイズをより小さく抑えてＸ線領域のビームにも対応することができ、設計式も単純で、応用の幅も広く、鉛直方向と水平方向とで特性が異なるビームを取り扱う光学系として好適に用いることができるミラーを作製できる、ミラーの設計方法を提供する点にある。

　本発明者は、かかる現況に鑑み、鋭意検討した結果、非点収差をもつビームの性質を幾何光学的に表現する方法として、サジタル方向の集光とメリディオナル方向の集光それぞれについて「光源線」および「集光線」を新たに定義し、ミラーの反射面を経由するすべての入射光線は鉛直方向および水平方向の各「光源線」を通り、ミラーの反射面から放たれるすべての出射光線が鉛直方向および水平方向の「集光線」を通るとし、これに光源位置から集光位置までの「光路長」が一定であるFermatの原理を適用することで、上記課題を解決できるミラーの設計方法を提供できることを見出し、本発明を完成するに至った。

　すなわち本発明は、以下の発明を包含する。
　（１）　板材表面に反射面を形成して作製されるミラーの設計方法であって、ミラーへの入射ビームの光軸をｚ_１軸、これに直交する断面をｘ_１ｙ_１平面とし、ミラーの出射ビームの光軸をｚ_２軸、これに直交する断面をｘ_２ｙ_２平面とし、ｘ_１軸及びｘ_２軸を反射面のサジタル方向と平行であるとし、入射ビームが、ｚ_１軸上のｚ_１軸とｚ_２軸との反射面上の交点Ｍ_０からｚ_１軸方向に沿ってＬ_１ｓ変位した位置に、サジタル方向の集光についての光源をもち、かつ前記ｚ_１軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_１軸方向に沿ってＬ_１ｍ変位した位置に、メリディオナル方向の集光についての光源をもち、出射ビームが、サジタル方向の集光について前記ｚ_２軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_２軸方向に沿ってＬ_２ｓ変位した位置に集光し、かつメリディオナル方向の集光について前記ｚ_２軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_２軸方向に沿ってＬ_２ｍ変位した位置に集光し、ミラーを経由するすべての入射光線が、前記サジタル方向の集光における前記光源の位置を通りｘ_１軸とｚ_１軸の双方に直交する方向に延びるサジタル光源線、及びメリディオナル方向の集光における前記光源の位置を通りｙ_１軸とｚ_１軸の双方に直交する方向に延びるメリディオナル光源線を通過し、ミラーから放たれるすべての出射光線が、サジタル方向の集光における前記集光する位置を通りｘ_２軸とｚ_２軸の双方に直交する方向に延びるサジタル集光線、及びメリディオナル方向の集光における前記集光する位置を通り該ｙ_２軸とｚ_２軸の双方に直交する方向に延びるメリディオナル集光線を通過するとし、ミラーの反射面上の任意の点をＭとして、サジタル光源線とＭ点への入射光線との交点、及びメリディオナル光源線とＭ点への入射光線との交点の各座標を、前記Ｌ_１ｓ、Ｌ_１ｍを用いて表わし、且つ、同じ前記Ｍ点からの出射光線とサジタル集光線との交点、及びＭ点からの出射光線とメリディオナル集光線との交点の各座標を、前記Ｌ_２ｓ、Ｌ_２ｍを用いて表わし、これら座標、及びサジタル方向の集光及びメリディオナル方向の集光についてそれぞれ反射面上の任意の点に関して光源位置から集光位置までの光路長が一定であること、に基づき導かれる反射面の設計式を用いてミラーを設計することを特徴とする、ミラーの設計方法。

　（２）　前記サジタル光源線、前記メリディオナル光源線を、それぞれｙ_１軸方向に延びる直線Ｓ_ｓ、ｘ_１軸方向に延びる直線Ｓ_ｍとし、前記サジタル集光線、前記メリディオナル集光線を、それぞれｙ_２軸方向に延びる直線Ｆ_ｓ、ｘ_２軸方向に延びる直線Ｆ_ｍとし、前記サジタル方向の集光についての光源位置からＭ点までの入射長は、前記メリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を中心とし且つサジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を通ってｘ_１軸に直交する方向に延びる円弧を、サジタル光源線Ｓ_ｓを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_１ｓとして、前記入射光線と該等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、サジタル方向の集光についてのＭ点から集光位置までの出射長は、前記メリディオナル集光線Ｆ_ｍとｚ_２軸との交点Ｑ_ｍ０を中心とし且つサジタル集光線Ｆ_ｓとｚ_２軸との交点Ｑ_ｓ０を通ってｘ_２軸に直交する方向に延びる円弧を、サジタル集光線Ｆ_ｓを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_２ｓとして、前記出射光線と該等位相面Ａ_２ｓとの２つの交点のうちメリディオナル集光線Ｆ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、前記メリディオナル方向の集光についての光源位置からＭ点までの入射長は、前記サジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を中心とし且つメリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を通ってｙ_１軸に直交する方向に延びる円弧を、メリディオナル光源線Ｓ_ｍを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_１ｍとして、前記入射光線と該等位相面Ａ_１ｍとの２つの交点のうちサジタル光源線Ｓ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、メリディオナル方向の集光についてのＭ点から集光位置までの出射長は、前記サジタル集光線Ｆ_ｓとｚ_２軸との交点Ｑ_ｓ０を中心とし且つメリディオナル集光線Ｆ_ｍとｚ_２軸との交点Ｑ_ｍ０を通ってｙ_２軸に直交する方向に延びる円弧を、メリディオナル集光線Ｆ_ｍを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_２ｍとして、前記出射光線と該等位相面Ａ_２ｍとの２つの交点のうちサジタル集光線Ｆ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、これにより前記サジタル方向の集光及びメリディオナル方向の集光について光路長を算出してなる、（１）記載のミラーの設計方法。

　（３）　前記入射光線と等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記入射光線と前記サジタル光源線Ｓ_ｓとの交点Ｐ_ｓから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｐ_ｓから前記等位相面Ａ_１ｓを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、前記出射光線と等位相面Ａ_２ｓとの２つの交点のうちメリディオナル集光線Ｆ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記出射光線と前記サジタル集光線Ｆ_ｓとの交点Ｑ_ｓから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｑ_ｓから前記等位相面Ａ_２ｓを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、前記入射光線と等位相面Ａ_１ｍとの２つの交点のうちサジタル光源線Ｓ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記入射光線と前記メリディオナル光源線Ｓ_ｍとの交点Ｐ_ｍから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｐ_ｍから前記等位相面Ａ_１ｍを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、前記出射光線と等位相面Ａ_２ｍとの２つの交点のうちサジタル集光線Ｆ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記出射光線と前記メリディオナル集光線Ｆ_ｍとの交点Ｑ_ｍから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｑ_ｍから前記等位相面Ａ_２ｍを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求める、（２）記載のミラーの設計方法。

　（４）　ｚ_１軸とｚ_２軸の反射面上の交点Ｍ_０を含み、該反射面に接する面をｕｖ平面とし、ｕｖ平面の前記Ｍ_０を通る法線の方向をｗ軸とし、ｖ軸をｚ_１軸およびｚ_２軸の双方に直交する方向、ｕ軸をｖ軸およびｗ軸の双方に直交する方向とし、交点Ｍ_０を原点、ｕｖ平面と光軸ｚ_１との成す斜入射角をθ_０とした、ミラーを基準とした直交座標系を定義し、前記座標を前記入射ビームの光軸を基準としたｘ_１ｙ_１ｚ_１座標系、出射ビームの光軸を基準としたｘ_２ｙ_２ｚ_２座標系にそれぞれ変換し、前記設計式をｕｖｗ座標系で表してなる、（１）～（３）の何れかに記載のミラーの設計方法。

　（５）　前記設計式が、前記サジタル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第１の式ｆ_ｓ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０と、前記メリディオナル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第２の式ｆ_ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０とを重みづけした、下記式(1)からなる、請求項４記載のミラーの設計方法。

　（６）　（１）～（５）の何れかに記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、前記Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値が異なり、且つ前記Ｌ_２ｓとＬ_２ｍの値が一致しており、非点収差をもつ入射ビームから一点に集光する出射ビームが得られる、非点収差制御ミラー。

　（７）　（１）～（５）の何れかに記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、前記Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値が一致し、且つ前記Ｌ_２ｓとＬ_２ｍの値が異なっており、一点から発散する入射ビームから非点収差をもつ出射ビームが得られる、非点収差制御ミラー。

　（８）　（１）～（５）の何れかに記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、前記Ｌ_１ｍとＬ_２ｍの値が正または負の無限大であり、且つ前記Ｌ_１ｓとＬ_２ｓが所定値（但し、Ｌ_１ｓ＋Ｌ_２ｓ≠０）をもち、サジタル方向のみ集光性能を有する、非点収差制御ミラー。

　本発明に係るミラーの設計方法によれば、単一のミラーであって、鉛直方向と水平方向とで独立して光源位置及び集光位置を設定でき、これにより非点収差の自由な変換が可能なミラーを作製できる。また、集光サイズをより小さく抑えてＸ線領域のビームにも対応することができる。さらに、設計式も単純で、応用の幅も広く、鉛直方向と水平方向とで特性が異なるビームを取り扱う光学系として好適に用いることができるミラーを作製できる。

本発明にかかる設計方法で設計されるミラーの概念図。入射ビームを基準とした座標系を示す概念図。出射ビームを基準とした座標系を示す概念図。サジタル光源線Ｓ_ｓ上の交点Ｐ_ｓ近傍の等位相面Ａ_１ｓを示す概念図。メリディオナル光源線Ｓ_ｍ上の交点Ｐ_ｍ近傍の等位相面Ａ_１ｍを示す概念図。実施例１のミラーの光学系配置を示す模式図。実施例１の計算されたミラー反射面の形状を示し、（ａ）は横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときのミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布、（ｂ）は（ａ）中の一点鎖線で示した短手方向断面プロファイル、（ｃ）は（ａ）中の破線で示した長手方向断面プロファイルを示す。実施例１の集光性能のシミュレーション結果を示し、（ａ）は幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果、（ｂ）は３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して波動光学に基づいて計算された集光面における強度分布を示す。実施例２のミラーの光学系配置を示す模式図。実施例２の計算されたミラー反射面の形状を示し、（ａ）は横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときのミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布、（ｂ）は（ａ）中の一点鎖線で示した短手方向断面プロファイル、（ｃ）は（ａ）中の破線で示した長手方向断面プロファイルを示す。実施例２の集光性能のシミュレーション結果を示し、（ａ）は幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果、（ｂ）は３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して波動光学に基づいて計算された集光面における強度分布を示す。実施例３のミラーの光学系配置を示す模式図。実施例３の計算されたミラー反射面の形状を示し、（ａ）は横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときのミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布、（ｂ）は（ａ）中の一点鎖線で示した短手方向断面プロファイル、（ｃ）は（ａ）中の破線で示した長手方向断面プロファイルを示す。実施例３の集光性能のシミュレーション結果を示し、（ａ）は鉛直（メリディオナル）方向集光面における幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果、（ｂ）は同集光面における３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して計算された集光面における強度分布、（ｃ）は水平（サジタル）方向集光面における幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果、（ｄ）は同集光面における３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して計算された集光面における強度分布を示す。実施例４のミラーの光学系配置を示す模式図。実施例４の計算されたミラー反射面の形状を示し、（ａ）は横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときのミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布、（ｂ）は（ａ）中の一点鎖線で示した短手方向断面プロファイル、（ｃ）は（ａ）中の破線で示した長手方向断面プロファイルを示す。実施例４のミラー形状の円錐台からの差分を示す図。実施例４のサジタル方向の集光性能のシミュレーション結果を示し、（ａ）は幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果、（ｂ）は３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して波動光学に基づいて計算された集光面における強度分布を示す。実施例１、比較例１、２の各ミラーの反射面の高さ分布を示す図。比較例２のミラーの高さ分布から実施例１のミラーの高さ分布を差し引いた結果を示す図。集光性能のシミュレーション結果を示し、（ａ）は比較例１（トロイダルミラー）の光線のばらつき、（ｂ）は比較例１の波動光学に基づいて計算された３００ｅＶにおける二次元強度分布、（ｃ）は比較例２（astigmatic off-axis mirror）の光線のばらつき、（ｄ）は比較例２の波動光学に基づいて計算された３００ｅＶにおける二次元強度分布、（ｅ）は実施例１（本発明に係る非点収差制御ミラー）の光線のばらつき、（ｆ）は実施例１の波動光学に基づいて計算された３００ｅＶにおける二次元強度分布。

　本発明のミラーの設計方法は、板材表面に反射面を形成して作製されるミラーの設計方法である。以下、本発明にかかるミラーの設計方法を、代表的な実施形態を挙げながら説明する。

　本発明は、非点収差の自由な変換を目的とし，『光は光学的距離が最短となる経路を通る』というFermatの原理に基づいて，より精度の高いミラーの設計を行う。Fermatの原理は、集光（あるいは拡散）ミラーに限定した場合、『ミラー表面（反射面）の任意の点に関して，光源点からの距離と集光点までの距離の和は一定である』という表現に変換することが可能である。入射ビーム又は出射ビームが非点収差を持つ場合、光路長一定の法則を直ちに適用することはできなくなる。なぜならば，非点収差を持つビームはその名の通り単一の光源点あるいは集光点を持たないためである。本発明では、「光源線」と「集光線」を新たに定義することを着想し、非点収差を持つビームの性質を幾何光学的に表現することを可能にすることで実現した設計手法である。

　図１は、「光源線」、「集光線」を示す概念図である。サジタル方向の集光については、入射ビームは、入射光の光軸ｚ_１上におけるｚ_１軸とｚ_２軸との反射面上の交点である交点Ｍ_０からＬ_１ｓ変位した位置に光源をもち、出射ビームは、出射光の光軸ｚ_２上の前記交点Ｍ_０から光軸に沿ってＬ_２ｓ変位した位置に集光するものとする。また、メリディオナル方向の集光については、入射ビームは、入射光の光軸ｚ_１上の前記交点Ｍ_０からＬ_１ｍ変位した位置に光源をもち、出射ビームは、出射光の光軸ｚ_２上の前記交点Ｍ_０からＬ_２ｍ変位した位置に集光するとする。

　そして、ミラーを経由するすべての入射光線は、サジタル方向の集光における前記光源の位置を通り入射光の光軸ｚ_１とサジタル方向の双方に直交する方向（後述のｙ_１軸方向）に延びるサジタル光源線（Ｓ_ｓ）、及びメリディオナル方向の集光における前記光源の位置を通りサジタル方向（後述のｘ_１軸方向）に延びるメリディオナル光源線（Ｓ_ｍ）を通過すると考える。このようにサジタル光源線（Ｓ_ｓ）、メリディオナル光源線（Ｓ_ｍ）を定義する。

　また、ミラーから放たれるすべての出射光線は、サジタル方向の集光における前記集光する位置を通り出射光の光軸ｚ_２とサジタル方向の双方に直交する方向（後述のｙ_２軸方向）に延びるサジタル集光線（Ｆ_ｓ）、及びメリディオナル方向の集光における前記集光する位置を通りサジタル方向（後述のｘ_２軸方向）に延びるメリディオナル集光線（Ｆ_ｍ）を通過すると考える。このようにサジタル集光線（Ｆ_ｓ）、メリディオナル集光線（Ｆ_ｍ）を定義する。

　なお、本例では、サジタル光源線（Ｓ_ｓ）、メリディオナル光源線（Ｓ_ｍ）、サジタル集光線（Ｆ_ｓ）、メリディオナル集光線（Ｆ_ｍ）をそれぞれ直線としているが、曲線であってもよい。また、図１では、Ｌ_１ｓ＞Ｌ_１ｍ＞０、かつＬ_２ｓ＞Ｌ_２ｍ＞０の場合を示しているが、これら定数が負の値をとることも可能である。Ｌ_１ｓまたはＬ_１ｍが負の値をとる場合、入射ビームは下流に向かって集光する途中でミラーの反射面によって反射される。Ｌ_２ｓまたはＬ_２ｍが負の値をとる場合、出射ビームはミラーよりも上流の位置から発散してきたような波面を持つ。

　上記のように「光源線」及び「集光線」を定義することで、ミラーの反射面の任意の点について、その点を通る入射光線及び出射光線を定義することができる。すなわち、ミラーの反射面上の任意の点をＭとし、サジタル光源線（Ｓ_ｓ）とＭ点への入射光線との交点（Ｐ_s）、及びメリディオナル光源線（Ｓ_ｍ）とＭ点への入射光線との交点（Ｐ_m）の各座標を、前記した変位Ｌ_１s、Ｌ_１mを用いて式で表し、同様に、前記Ｍ点からの出射光線とサジタル集光線（Ｆ_ｓ）との交点（Ｑ_ｓ）、及びＭ点からの出射光線とメリディオナル集光線（Ｆ_ｍ）との交点（Ｑ_ｍ）の各座標を、前記した変位Ｌ_２ｓ、Ｌ_２ｍを用いて式で表わすことができる。

　そして、これらＰ_ｓ、Ｐ_ｍ、Ｑ_ｓ、Ｑ_ｍの各座標、及び前記サジタル方向の集光及び前記メリディオナル方向の集光についてそれぞれ反射面上の任意の点に関して光源位置から集光位置までの光路長（入射長と出射長の和）が一定であることに基づき、反射面の設計式を導くことができる。

ミラーの反射面上の任意の点Ｍは、ミラーを基準としたｕｖｗ直交座標系を定義してＭ（u，ｖ，ｗ）で表すことができる。すなわち、入射光と出射光の反射面上の交点Ｍ_０を含み、該反射面に接する面をｕｖ平面とし、ｕｖ平面の前記Ｍ_０を通る法線の方向をｗ軸とし、ｖ軸を入射光軸および出射光軸の双方に直交する方向、ｕ軸をｖ軸およびｗ軸の双方に直交する方向とし、交点Ｍ_０を原点、ｕｖ平面と光軸ｚ_１との成す斜入射角をθ_０とした。

ただし、図１において，サジタル光源線（Ｓ_ｓ）及びメリディオナル光源線（Ｓ_ｍ）がu軸ではなく入射ビーム光軸ｚ_１に直交することに注意しなければならない。同様に、サジタル集光線（Ｆ_ｓ）及びメリディオナル集光線（Ｆ_ｍ）は出射ビーム光軸ｚ_２に直交する。ｕｖｗ座標系に対して斜めに設定されている光源線と集光線から直接的に光路長を計算することもできるが煩雑である。そのため、本実施形態では、入射ビーム光軸、出射ビーム光軸のそれぞれを基準とした座標系に変換してから光路長を計算し、非点収差制御ミラーの設計式に代入する。

　入射ビーム光軸を基準とした座標系への変換は、次のとおりである。図２に変換後の座標系の模式図を示す。入射ビームの光軸をｚ_１軸、これに直交する断面をｘ_１ｙ_１平面とする。ミラー上の点M（ｘ_１，ｙ_１，ｚ_１）の各座標は、式(2)で与えられる。

点Mを通る入射光線とサジタル光源線S_ｓとの交点P_ｓの座標、および同じく入射光線とメリディオナル光源線S_ｍとの交点P_ｍの座標は、それぞれｘ_１ｙ_１ｚ_１座標系において、前記した変位Ｌ_１ｓ、Ｌ_１ｍを用いて下記式(3)式(4)で表すことができる。

　同様に、出射ビーム光軸を基準とした座標系への変換は、次のとおりである。図３に変換後の座標系の模式図を示す。出射ビームの光軸をｚ_２軸、これに直交する断面をｘ_２ｙ_２平面とする。ミラー上の点M（ｘ₂，ｙ₂，ｚ₂）の各座標は、式(5)で与えられる。

　点Mを通る出射光線とサジタル集光線Ｆ_ｓとの交点Ｑ_ｓの座標、および同じく出射光線とメリディオナル集光線Ｆ_ｍとの交点Ｑ_ｍの座標は、それぞれｘ_２ｙ_２ｚ_２座標系において、前記した変位Ｌ_２ｓ、Ｌ_２ｍを用いて下記式(6)式(7)で表すことができる。

　そして、上記のとおり、これらＰ_ｓ、Ｐ_ｍ、Ｑ_ｓ、Ｑ_ｍの各座標、前記サジタル方向の集光及び前記メリディオナル方向の集光についてそれぞれ反射面上の任意の点に関して光源位置から集光位置までの光路長（入射長と出射長の和）が一定であることに基づき、反射面の設計式を導く。

　本実施形態では、上記した光源線、集光線上の各交点Ｐ_ｓ、Ｐ_ｍ、Ｑ_ｓ、Ｑ_ｍと反射面上の任意の点Ｍとの距離をそのまま入射長または出射長とするのではなく、直線で定義した光源線、集光線の上記交点の座標を用いつつ、より正確な設計式が得られるように次のような光路長の補償を行っている。

（光路長の補償）
　通常の光源点と集光点が定義できる場合のFermatの原理を考える。光源点近傍の等位相面は光源点を中心とした球面であり、集光点近傍の等位相面は集光点を中心とした球面である。光線は常に等位相面に対して直交することを念頭に置くと、光路長一定の法則とは、光源点近傍の特定の等位相面上の任意の点と、それに対応する集光点近傍の特定の等位相面上の点を結ぶ光線の光学距離が一定であることと言い換えられる。本発明のような入射ビームに非点収差が含まれる場合にも、等位相面を考慮した補償を行うことで、より正確な設計式を導くことができる。

　まず、入射側について、サジタル光源線Ｓ_ｓ上の上記した交点Ｐ_ｓに対応する近傍の等位相面を考える。サジタル光源線Ｓ_ｓでは、メリディオナル光源線S_ｍに向けて収束する波面が観察されるはずである。このような仮定のもとサジタル光源線Ｓ_ｓ上の位相を定義することは厳密にはできないが、ここではＳ_ｍとｚ_１軸との交点をＰ_ｍ０とおき、Ｓ_ｓ上にはＰ_ｍ０からの距離に応じた位相分布が存在するもの、すなわち、ミラー（反射面）に入射する前のビームは、ｙ_１軸方向にはメリディオナル光源線Ｓ_ｍに集約する波面を持つとする。この考えに基づき、図４に示すように、メリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を中心とし且つサジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を通ってｘ_１軸に直交する方向に延びる円弧Ｂ_１ｓを、サジタル光源線Ｓ_ｓを軸に回転させることで構成される回転円弧面を等位相面Ａ_１ｓとする。サジタル方向の光源位置からＭ点までの入射長は、入射光線と該等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離として求めることがより正確である。

　ここでは、この入射光線と等位相面Ａ_１ｓとの交点からミラーの反射面上のＭ点までの距離は、まず入射光線と前記サジタル光源線Ｓ_ｓとの交点Ｐ_ｓからＭ点までの距離を求めるとともに、該距離に、交点Ｐ_ｓから前記等位相面Ａ_１ｓを定義している前記円弧Ｂ_１ｓまでの距離、つまりＰ_ｓから円弧Ｂ_１ｓに下した垂線の足をＨ_１ｓとしてＰ_ｓＨ_１ｓ間の距離を加算又は減算（本図の例では減算）して求めている。すなわち、入射長ｆ_１ｓは式(8)で表される。この式が近似である理由は，点Ｈ_１ｓが直線Ｐ_ｓＭ上に存在する保証がないためである。ただし、このような近似式以外の計算で求めるようにしても勿論よい。本例では、上記のようにＰ_ｓから円弧Ｂ_１ｓに下した垂線の足をＨ_１ｓとしてＰ_ｓＨ_１ｓ間の距離を加算／減算して近似的に求めているが、円弧Ｂ_１ｓに下した垂線ではなく、Ｐ_ｓから、入射光線と該等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点までの距離を用いて、より正確に算出するようにしてもよい。

　これにｔ’_１ｘ（式（10））、ｔ’_１ｙ（式（11））を導入することで、以下の式(9)ように変形できる。

　続いて、同じく入射側について、メリディオナル光源線Ｓ_ｍ上の上記した交点Ｐ_ｍに対応する近傍の等位相面を考える。メリディオナル光源線Ｓ_ｍでは、サジタル光源線Ｓ_ｓから発散してきた波面が観察されるはずである。このような仮定のもとＳ_ｍ上の位相を定義することは厳密にはできないが、ここではＳ_ｓとｚ_１軸との交点をＰ_ｓ０とおき、Ｓ_ｍ上にはＰ_ｓ０からの距離に応じた位相分布が存在するもの、すなわち、ミラー（反射面）に入射する前のビームは、ｘ_１軸方向にはサジタル光源線Ｓ_ｓから発散する波面を持つとする。この考え方に基づき、図５に示すように、サジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を中心とし且つメリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を通ってｙ_１軸に直交する方向に延びる円弧Ｂ_１ｍを、メリディオナル光源線Ｓ_ｍを軸に回転させることにより構成される回転円弧面を、等位相面Ａ_１ｍとする。ｙ_１軸方向の光源位置からＭ点までの入射長は、入射光線と該等位相面Ａ_１ｍとの２つの交点のうちサジタル光源線Ｓ_ｓに近い側の交点からミラーの反射面上のＭ点までの距離として求まる。

　入射光線と等位相面Ａ_１ｍとの交点からＭ点までの距離は、まず入射光線と前記メリディオナル光源線Ｓ_ｍとの交点Ｐ_ｍからＭ点までの距離を求めるとともに、該距離に、交点Ｐ_ｍから前記等位相面Ａ_１ｍを定義している前記円弧Ｂ_１ｍまでの距離、つまりＰ_ｍから円弧Ｂ_１ｍに下した垂線の足をＨ_１ｍとしてＰ_ｍＨ_１ｍ間の距離を加算又は減算（本例では加算）して求める。すなわち、入射長ｆ_１ｍは式（12）で表される。

　これにｔ’_１ｘ、ｔ’_１ｙを導入することで、以下の式(13)ように変形できる。

　出射側についても、入射側と同様、サジタル集光線Ｆ_ｓ上の上記交点Ｑ_ｓに対応する近傍の等位相面、およびメリディオナル集光線Ｆ_ｍ上の上記交点Ｑ_ｍに対応する近傍の等位相面をそれぞれ考える。サジタル集光線Ｆ_sでは、メリディオナル集光線Ｆ_ｍから発散する波面が観察されるはずである。このような仮定のもとＦ_s上の位相を定義することは厳密にはできないが、ここではＦ_ｍと出射光軸ｚ_２の交点をＱ_ｍ０とおき，Ｆ_s上にはＱ_ｍ０からの距離に応じた位相分布が存在するものとみなす。また、メリディオナル集光線Ｆ_ｍでは、サジタル集光線Ｆ_ｓに向けて収束する波面が観察されるはずである．このような仮定のもとＦ_ｍ上の位相を定義することは厳密にはできないが，ここではＦ_ｓと出射光軸ｚ_２の交点をＱ_ｓ０とおき、Ｆ_ｍ上にはＱ_ｓ０からの距離に応じた位相分布が存在するものとみなす。

　これらの考えに基づき、入射側と同様、より正確な出射長を求める。具体的には、図示は省略するが、上記と同様に交点Ｑ_ｓから等位相面を定義する円弧Ｂ_２ｓまでの距離、つまりＱ_sから円弧Ｂ_２ｓに下した垂線の足をＨ_２ｓとしたＨ_２ｓＱ_ｓ間の距離や、交点Ｑ_ｍから等位相面を定義する円弧Ｂ_２ｍまでの距離、つまりＱ_mから円弧Ｂ_２ｍに下した垂線の足をＨ_２ｍとしたＱ_ｍＨ_２ｍ間の距離を用いて加算または減算して補償を行い、式(14)、式(15)のように、サジタル方向の集光の出射長ｆ_２ｓ、メリディオナル方向の集光の出射長ｆ_２ｍについて、各々より正確な出射長を求めることができる。

ｆ_２ｓは、ｔ’_２ｘ、ｔ’_２ｙを導入することで、以下の式(16)～式(18)ように変形できる。

ｆ_２ｍは、ｔ’_２ｘ、ｔ’_２ｙを導入することで、以下の式(19)ように変形できる。

（光路長の計算）
　このようにして求めた入射長、出射長を用いて、サジタル方向、メリディオナル方向の各方向の集光についての光路長の計算を行う。サジタル方向の集光における光源点から集光点までの基準光路長をＬ_ｓ＝Ｌ_１ｓ＋Ｌ_２ｓとすると、サジタル方向の集光に必要な条件式が、次の式(20)のように導かれる。

　同様に、メリディオナル方向の集光における光源点から集光点までの基準光路長をＬ_ｍ＝Ｌ_１ｍ＋Ｌ_２ｍとすると、メリディオナル方向の集光に必要な条件式が、次の式(21)のように導かれる。

　理想的には、式(20)のサジタル方向の集光条件と、式(21)のメリディオナル方向の集光条件とを同時に満たす点（ｕ，ｖ，ｗ）の集合が、求めるミラーの反射面の形状となるが、このような連立方程式の解を設計式とすると、「Ｌ_１ｓ=Ｌ_１ｍかつＬ_２ｓ=Ｌ_２ｍ」のような特殊な条件下のものとなってしまう。他の条件下でも成り立ち得る、より一般化した反射面の形状を表わす設計式を得るために、本発明者は、式(20)と式(21)を重みづけし、式(22)に示す新たな式ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０を設計式とした。

（設計式）
　すなわち、設計式は、サジタル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第１の式（サジタル方向集光条件の式）であるｆ_ｓ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０（式(20)）と、メリディオナル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第２の式（メリディオナル方向集光条件の式）であるｆ_ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０（式(21)）とを、α、βを用いて、下記式(22)のように重みづけした式ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０である。αは、メリディオナル方向の集光に対する重みづけ係数、βは、サジタル方向の集光に対する重みづけ係数である。

　式(22) がミラーの設計式である。式中のｔ’_１ｘ，ｔ’_１ｙ，ｔ’_２ｘ，ｔ’_２ｙをｕｖｗ座標系に基づいて書き直すと，以下の式(23)～式(26)のようになる

　式(22) から分かるように、サジタル方向の集光、メリディオナル方向の集光に対して対称性の良い方程式が得られたことを確認できる。これまでの導出で『Ｌ_１ｓ＞Ｌ_１ｍ＞０かつＬ_２ｓ＞Ｌ_２ｍ＞０』を仮定してきたが，この仮定がなくとも、すなわち大小関係の逆転やそれぞれの設定値が負の値をとったとしても式(22)に示す同じ方程式（設計式）が導かれる。ただし、Ｌ_１ｍ、Ｌ_１ｓ、Ｌ_２ｍ、Ｌ_２ｓの４定数はいずれも、正か負の値であって、0にすることはできない。

（設計できるミラーの例）
　式(22)の条件設定において、Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値を異なる値に設定し、且つＬ_２ｓとＬ_２ｍの値を一致する値（同じ値）に設定することで、非点収差をもつ入射ビームから一点に集光する出射ビームが得られる反射面を備える非点収差制御ミラーを設計することができる。逆に、Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値を一致する値に設定し、且つＬ_２ｓとＬ_２ｍの値を異なる値に設定することで、一点から発散する入射ビームから非点収差をもつ出射ビームが得られる反射面を備える非点収差制御ミラーを設計することができる。また、Ｌ_１ｍとＬ_２ｍの値を正または負の無限大に設定し、且つＬ_１ｓとＬ_２ｓを所定値（但し、Ｌ_１ｓ＋Ｌ_２ｓ≠０）に設定することで、サジタル方向のみ集光性能を有する非点収差制御ミラーを設計することもできる。

　また、設計式(22)を用いることで、サジタル方向の集光、メリディオナル方向の集光の双方の光源・集光位置が一致する反射面を備えるミラーも設計できる。たとえば設計式(22)にＬ_１ｓ＝Ｌ_１ｍ＝Ｌ_１、且つＬ_２ｓ＝Ｌ_２ｍ＝Ｌ_２を代入することで、次の式(27)を得る。

　式 (27) で設計される反射面は、Ｌ_１、Ｌ_２の正負、大小関係により、回転楕円面、回転双曲面、回転放物面、平面のいずれかの形状となる。表１にその分類を示す。特に着目すべき点は、凹面鏡だけでなく凸面鏡や平面が同一の式で設計されることである。

　また、ミラーの集光作用をメリディオナル方向に限定したとき、すなわち、Ｌ_１ｓ＝ +∞、かつＬ_２ｓ＝+∞のとき、式(22)は次の式(28)のように簡略化される。

　式 (28) は楕円、放物線、双曲線または直線の柱体を表している。式(27)と同様に、Ｌ_１ｍ及びＬ_２ｍの正負や大小関係によって、凹面、平面、凸面などの異なる形状が表現される。

　このように、本発明にかかる平面型非点収差制御ミラーの設計式は、既存の回転楕円面ミラー、回転双曲面ミラー、回転放物面ミラー、一次元楕円面ミラー（K-Bミラーの一方）、一次元双曲面ミラー、一次元放物面ミラー、および平面ミラーを包含する汎用性の高い（応用性の幅のある）設計式であることが分かる。

　以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明はこうした実施例に何ら限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲において種々なる形態で実施し得ることは勿論である。本実施形態では、光源線、集光線を直線として、直線とその近傍の等位相面間の距離を補償したが、このような補償は必ずしも必要ではない。また、円弧線やその他の曲線を光源線、集光線として、補償なしまたは上記補償以外の補償方法または近似方法で求めることも好ましい。反射面の設計式の原点の位置は異なる位置でもよい。座標変換しても勿論よい。

　次に、上記した本発明にかかる非点収差制御ミラーの設計例として、非点収差の解消を目的としたミラー（実施例１、２）と、非点収差の付加を目的としたミラー（実施例３）、サジタル方向のみの集光を目的としたミラー（実施例４）の４つのミラーの設計を行い、各ミラーについて幾何光学、波動光学の双方を用いてシミュレーションにより性能を確認した結果、ならびに実施例１のミラーと従来のミラーとの比較を行った結果について説明する。

（シミュレーション手法）
　鉛直上向きにビームを反射するようにミラーを設定した。すなわち、ミラー（反射面）の長手（メリディオナル）方向は鉛直集光を、短手（サジタル）方向は水平集光をそれぞれ担当する。幾何光学に基づく光線追跡計算では、図１～図３に示したメリディオナル方向・サジタル方向の各集光についての光源線を通る光線群を定義し、ミラーの反射面に入射させる。このとき、光源線の太さ、すなわち光源の大きさは0とする。反射面の有効範囲全体に均一に光線を出射する。

　ミラーの反射面上の各位置における法線ベクトルｎ（ｘ，ｙ，ｚ）は、式(22)で定義された関数ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）の勾配ベクトルから、勾配ベクトルに対して平行な単位ベクトルである数値解として求めることができる(式(29)）。図１に示すように、入射光線はミラーの反射面の法線ベクトルに対称に反射し、集光面にまで伝搬する。このようにして、集光面における光線のばらつきが評価される。

　波動光学に基づく回折積分計算では、まず、ミラーの反射面上にｕ方向，ｖ方向に等間隔に格子点を配置したうえで、各点の座標Ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）を式(2)に基づいて入射光軸を基準とした座標系Ｍ（ｘ_１，ｙ_１，ｚ_１）に変換する。続いて、ミラーの反射面に入射するビームの波面のｘ_１，ｙ_１方向の曲率中心を、それぞれサジタル方向集光の光源Ｓ_ｓ、メリディオナル方向集光の光源Ｓ_ｍに一致させる。太さの存在しない線光源を仮定し、反射面の有効領域全体に一様な強度をもってビームが入射するものとする。ｘ_１ｙ_１ｚ_１座標系において表現された、ミラー上の点Ｍ（ｘ_１，ｙ_１，ｚ_１）の波動場Ｕ_Ｍ（ｘ_１，ｙ_１，ｚ_１）は次の式(30)、式(31)になる。

　式(30)においてλはビームの波長を表す任意の定数、Ｉ_０は入射強度を表す任意の定数である。ｘ_１ｙ_１ｚ_１座標系で表現されたミラーの反射面上の複素波動場Ｕ_Ｍ（ｘ_１，ｙ_１，ｚ_１）を、式(32)のようにｘ_２ｙ_２ｚ_２座標系に変換し、Ｕ_Ｍ（ｘ_２，ｙ_２，ｚ_２）として表現する。

　さらに、式(33)、式(34)に従って、波動場Ｕ_Ｍ（ｘ_２，ｙ_２，ｚ_２）を、ｘ_２ｙ_２ｚ_２座標系において定義した集光面上の点Ｑ（ｘ_Ｑ，ｙ_Ｑ，ｚ_Ｑ）まで伝搬させる。

　式(33)において、ｄＳは反射面上の微小面積を表し、θ（ｘ_２，ｙ_２，ｚ_２）は反射面上の各位置における斜入射角を表す。出力するのは、Q上の複素波動場Ｕ_Ｑ（ｘ_Ｑ，ｙ_Ｑ，ｚ_Ｑ）の絶対値の二乗である強度分布である（式(35））。以上の手順により波動光学に基づいて集光面における強度分布が計算される。

（実施例１のミラー設計）
　表２に実施例１のミラー設計に用いた定数の一覧を示す。入射長は鉛直と水平で異なる正の値を持ち、出射長は鉛直と水平で同一の正の値を持つ。光学系配置の模式図を図６に示す。

（実施例１の反射面の形状）
　計算されたミラーの反射面の形状を図７に示す。図７（ａ）は、横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときの、ミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布である。また、図７（ａ）中において一点鎖線で示した短手方向断面プロファイルを図７（ｂ）に示し、同じく図７（ａ）中において破線で示した長手方向断面プロファイルを図７（ｃ）に示す。実施例１のミラーの反射面は、長手方向と短手方向で異なる曲率を持つ凹面である。

（実施例１の集光性能のシミュレーション結果）
　集光性能のシミュレーション結果を図８に示す。図８（ａ）は、幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算した結果を示している。全光線が水平・鉛直共に10 nm 以下の領域に集約されていることが確認できた。

　また、図８（ｂ）は、３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して波動光学に基づいて計算された、集光面における強度分布である。ビームは水平１６０ｎｍ× 鉛直４４０ｎｍ（FWHM）の領域に集光されている。水平方向の開口数が大きいため、集光ビームのスポットサイズがより小さくなった。

（実施例２のミラー設計）
　表３に実施例２のミラー設計に用いた定数の一覧を示す。鉛直（メリディオナル）集光入射長は正の値を持つのに対して、水平（サジタル）集光入射長は負の値を持っている。言い換えれば、入射ビームは、鉛直方向にはミラーよりも上流側に光源点を持つ一方で、水平方向にはミラーよりも下流の一点に向かって集光するような性質を持っている。出射長は、鉛直と水平で同一の正の値を持つ。光学系配置の模式図を図９に示す。このミラーは、曲率の正負が反転する極端な非点収差の解消を目的としたミラーである。

（実施例２の反射面の形状）
　計算されたミラーの反射面の形状を図１０に示す。図１０（ａ）は，横軸をｕ座標，縦軸をｖ座標に設定したときの、ミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布である。図１０（ａ）中において一点鎖線で示した短手方向断面プロファイルを図１０（ｂ）に示し、同じく図１０（ａ）中において破線で示した長手方向断面プロファイルを図１０（ｃ）に示す。実施例２のミラーの反射面は、長手方向には凹のプロファイルを持ち、かつ短手方向には凸のプロファイルを持つ鞍形状である。

（実施例２の集光性能のシミュレーション結果）
　集光性能のシミュレーション結果を図１１に示す。図１１（ａ）は、幾何光学に基づいて集光面における光線のばらつきを計算し、図示したものである。全光線が水平・鉛直ともに１０ｎｍ以下の領域に集約されていることが確認できた。

　また、図１１（ｂ）は、３００ｅＶの軟Ｘ線を想定して計算された、集光面における強度分布である。ビームは、水平１６０ｎｍ×鉛直３２０ｎｍ（FWHM）の領域に集光された。これにより、実施例２のミラーによって一方は集光し他方は発散するような極端な非点収差を持つ入射ビームの収差をも解消できることがシミュレーション上で示された。

（実施例３のミラー設計）
　表４に実施例３のミラー設計に用いた定数の一覧を示す。入射長は鉛直と水平で同一の正の値を持ち、出射長は鉛直と水平で異なる正の値を持つ。光学系配置の模式図を図１２に示す。

（実施例３の反射面の形状）
　計算されたミラーの反射面の形状を図１３に示す。図１３（ａ）は、横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときの、ミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布である。また、図１３（ａ）中において一点鎖線で示した短手方向断面プロファイルを図１３（ｂ）に示し、同じく図１３（ａ）中において破線で示した長手方向断面プロファイルを図１３（ｃ）に示す。実施例３のミラーの反射面は、長手方向と短手方向で異なる曲率を持つ凹面である。

（実施例３の集光性能のシミュレーション結果）
　集光性能のシミュレーション結果を図１４に示す。図１４（ａ）は、幾何光学に基づいて鉛直方向集光面（ｚ_２＝Ｌ_２ｍ）における光線のばらつきを計算した結果を示している。全光線が鉛直方向幅６０ｎｍの領域に集約されていることが確認できた。

　また、図１４（ｂ）は、波動光学に基づいて計算された、３００ｅＶの軟Ｘ線ビームに対する、鉛直方向集光面における強度分布である。ビームが FWHM３９μｍの幅に集光されている。同様に、水平方向集光面（ｚ_２＝Ｌ_２ｓ）における集光性能をシミュレーションにより評価した。結果を図１４（ｃ）（ｄ）に示す。水平集光の集光幅は、幾何光学では４０ｎｍ、波動光学では７．７μｍ（FWHM）であった。

（実施例４のミラー設計）
　表５に実施例４のミラー設計に用いた定数の一覧を示す。鉛直集光に関して、入射長及び出射長は正の無限大の値を持つ。このことは、ミラーがメリディオナル方向に集光性能を持たないことを示している。これに対して、水平集光の入射長及び出射長はいずれも正の値を持つ。光学系配置の模式図を図１５に示す。

（実施例４の反射面の形状）
　計算されたミラーの反射面の形状を図１６に示す。図１６（ａ）は、横軸をｕ座標、縦軸をｖ座標に設定したときの、ミラー原点に対する高さｗ（ｕ，ｖ）の分布である。また、図１６（ａ）中において一点鎖線で示した短手方向断面プロファイルを図１６ｔ（ｂ）に示し、同じく図１６（ａ）中において破線で示した長手方向断面プロファイルを図１６（ｃ）に示す。図１６（ｃ）から、実施例４のミラーの反射面は、長手方向には完全に直線状のプロファイルを持つことが読み取れる。

　また、ミラー形状の円錐台からの差分を図１７に示す。差分の RMS 値は７７ｎｍであった。サジタル方向のみに集光性能を持つミラーの形状は，円錐台で良く近似できることがわかる。

（実施例４の集光性能のシミュレーション結果）
　次に、集光性能のシミュレーション結果を図１８に示す。図１８（ａ）は、幾何光学に基づいて鉛直向集光面（ｚ_２＝Ｌ_２ｓ）における光線のばらつきを計算した結果を示している。全光線が幅１０ｎｍ以下の領域に集約されていることが確認できた。

　また、図１８（ｂ）は、波動光学に基づいて計算された、３００ｅＶの軟Ｘ線ビームに対する、鉛直方向集光面における強度分布である。ビームが幅７７０ｎｍ（FWHM）の領域に集光された。

（各種ミラーとの比較）
　続いて、表２に示した実施例１の設計条件と同じ条件に設定された、非点収差の解消を目的とした既存のトロイダルミラー（比較例１）及び astigmatic off-axis mirror （比較例２）との比較を行う。

（反射面形状の比較）
　実施例１、比較例１、２の各ミラーの反射面の形状を図１９に示す。これらミラーは、図１９（ｂ）（ｃ）から読み取れるように，比較例２と実施例１とはほぼ形状が等しい。しかし、比較例２のミラーの高さ分布から実施例１のミラーの高さ分布を差し引いた結果を示す図２０から分かるように、互いの形状にはμm オーダーの違いが存在する。

（集光性能の比較）
　集光性能のシミュレーション結果を図２１に示す。図２１左列に示す光線のばらつきは、比較例１（トロイダルミラー）で２ｍｍ、比較例２（astigmatic off-axis mirror ）で２０μｍ、実施例１（本発明に係る非点収差制御ミラー）で２ｎｍであった。

　３００ｅＶの軟Ｘ線ビームに対する集光性能を波動光学に基づいて計算した結果を図２１右列に示す。比較例１のトロイダルミラーはもはや集光していない。比較例２のastigmatic off-axismirror は集光しているものの、水平方向に大きく広がったメインピークを持つ。実施例１の非点収差制御ミラーは、メリディオナル方向、サジタル方向ともに回折限界サイズまで集光した。軟Ｘ線領域で回折限界集光を可能とするのは，３つのミラーの中で実施例１（非点収差制御ミラー）のみである。

Claims

　板材表面に反射面を形成して作製されるミラーの設計方法であって、
　ミラーへの入射ビームの光軸をｚ_１軸、これに直交する断面をｘ_１ｙ_１平面とし、
　ミラーの出射ビームの光軸をｚ_２軸、これに直交する断面をｘ_２ｙ_２平面とし、
　ｘ_１軸及びｘ_２軸を反射面のサジタル方向と平行であるとし、
　入射ビームが、ｚ_１軸上のｚ_１軸とｚ_２軸との反射面上の交点Ｍ_０からｚ_１軸方向に沿ってＬ_１ｓ変位した位置に、サジタル方向の集光についての光源をもち、かつ前記ｚ_１軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_１軸方向に沿ってＬ_１ｍ変位した位置に、メリディオナル方向の集光についての光源をもち、
　出射ビームが、サジタル方向の集光について前記ｚ_２軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_２軸方向に沿ってＬ_２ｓ変位した位置に集光し、かつメリディオナル方向の集光について前記ｚ_２軸上の前記交点Ｍ_０からｚ_２軸方向に沿ってＬ_２ｍ変位した位置に集光し、
　ミラーを経由するすべての入射光線が、前記サジタル方向の集光における前記光源の位置を通りｘ_１軸とｚ_１軸の双方に直交する方向に延びるサジタル光源線、及びメリディオナル方向の集光における前記光源の位置を通りｙ_１軸とｚ_１軸の双方に直交する方向に延びるメリディオナル光源線を通過し、
　ミラーから放たれるすべての出射光線が、サジタル方向の集光における前記集光する位置を通りｘ_２軸とｚ_２軸の双方に直交する方向に延びるサジタル集光線、及びメリディオナル方向の集光における前記集光する位置を通り該ｙ_２軸とｚ_２軸の双方に直交する方向に延びるメリディオナル集光線を通過するとし、
　ミラーの反射面上の任意の点をＭとして、サジタル光源線とＭ点への入射光線との交点、及びメリディオナル光源線とＭ点への入射光線との交点の各座標を、前記Ｌ_１ｓ、Ｌ_１ｍを用いて表わし、且つ、同じ前記Ｍ点からの出射光線とサジタル集光線との交点、及びＭ点からの出射光線とメリディオナル集光線との交点の各座標を、前記Ｌ_２ｓ、Ｌ_２ｍを用いて表わし、
　これら座標、及びサジタル方向の集光及びメリディオナル方向の集光についてそれぞれ反射面上の任意の点に関して光源位置から集光位置までの光路長が一定であること、に基づき導かれる反射面の設計式を用いてミラーを設計することを特徴とする、ミラーの設計方法。
　前記サジタル光源線、前記メリディオナル光源線を、それぞれｙ_１軸方向に延びる直線Ｓ_ｓ、ｘ_１軸方向に延びる直線Ｓ_ｍとし、
　前記サジタル集光線、前記メリディオナル集光線を、それぞれｙ_２軸方向に延びる直線Ｆ_ｓ、ｘ_２軸方向に延びる直線Ｆ_ｍとし、
　前記サジタル方向の集光についての光源位置からＭ点までの入射長は、前記メリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を中心とし且つサジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を通ってｘ_１軸に直交する方向に延びる円弧を、サジタル光源線Ｓ_ｓを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_１ｓとして、前記入射光線と該等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、
　サジタル方向の集光についてのＭ点から集光位置までの出射長は、前記メリディオナル集光線Ｆ_ｍとｚ_２軸との交点Ｑ_ｍ０を中心とし且つサジタル集光線Ｆ_ｓとｚ_２軸との交点Ｑ_ｓ０を通ってｘ_２軸に直交する方向に延びる円弧を、サジタル集光線Ｆ_ｓを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_２ｓとして、前記出射光線と該等位相面Ａ_２ｓとの２つの交点のうちメリディオナル集光線Ｆ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、
　前記メリディオナル方向の集光についての光源位置からＭ点までの入射長は、前記サジタル光源線Ｓ_ｓとｚ_１軸との交点Ｐ_ｓ０を中心とし且つメリディオナル光源線Ｓ_ｍとｚ_１軸との交点Ｐ_ｍ０を通ってｙ_１軸に直交する方向に延びる円弧を、メリディオナル光源線Ｓ_ｍを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_１ｍとして、前記入射光線と該等位相面Ａ_１ｍとの２つの交点のうちサジタル光源線Ｓ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、
　メリディオナル方向の集光についてのＭ点から集光位置までの出射長は、前記サジタル集光線Ｆ_ｓとｚ_２軸との交点Ｑ_ｓ０を中心とし且つメリディオナル集光線Ｆ_ｍとｚ_２軸との交点Ｑ_ｍ０を通ってｙ_２軸に直交する方向に延びる円弧を、メリディオナル集光線Ｆ_ｍを軸に回転させた回転円弧面を等位相面Ａ_２ｍとして、前記出射光線と該等位相面Ａ_２ｍとの２つの交点のうちサジタル集光線Ｆ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離として求め、
　これにより前記サジタル方向の集光及びメリディオナル方向の集光について光路長を算出してなる、
　請求項１記載のミラーの設計方法。
　前記入射光線と等位相面Ａ_１ｓとの２つの交点のうちメリディオナル光源線Ｓ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記入射光線と前記サジタル光源線Ｓ_ｓとの交点Ｐ_ｓから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｐ_ｓから前記等位相面Ａ_１ｓを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、
　前記出射光線と等位相面Ａ_２ｓとの２つの交点のうちメリディオナル集光線Ｆ_ｍに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記出射光線と前記サジタル集光線Ｆ_ｓとの交点Ｑ_ｓから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｑ_ｓから前記等位相面Ａ_２ｓを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、
　前記入射光線と等位相面Ａ_１ｍとの２つの交点のうちサジタル光源線Ｓ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記入射光線と前記メリディオナル光源線Ｓ_ｍとの交点Ｐ_ｍから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｐ_ｍから前記等位相面Ａ_１ｍを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求め、
　前記出射光線と等位相面Ａ_２ｍとの２つの交点のうちサジタル集光線Ｆ_ｓに近い側の交点からＭ点までの距離は、前記出射光線と前記メリディオナル集光線Ｆ_ｍとの交点Ｑ_ｍから前記Ｍ点までの距離を求めるとともに、該距離に、前記交点Ｑ_ｍから前記等位相面Ａ_２ｍを定義している前記円弧までの距離を加算又は減算して求める、
　請求項２記載のミラーの設計方法。
　ｚ_１軸とｚ_２軸の反射面上の交点Ｍ_０を含み、該反射面に接する面をｕｖ平面とし、
　ｕｖ平面の前記Ｍ_０を通る法線の方向をｗ軸とし、
　ｖ軸をｚ_１軸およびｚ_２軸の双方に直交する方向、ｕ軸をｖ軸およびｗ軸の双方に直交する方向とし、
　交点Ｍ_０を原点、ｕｖ平面と光軸ｚ_１との成す斜入射角をθ_０とした、ミラーを基準とした直交座標系を定義し、
　前記座標を前記入射ビームの光軸を基準としたｘ_１ｙ_１ｚ_１座標系、出射ビームの光軸を基準としたｘ_２ｙ_２ｚ_２座標系にそれぞれ変換し、
　前記設計式をｕｖｗ座標系で表してなる、
　請求項１～３の何れか１項に記載のミラーの設計方法。
　前記設計式が、
　前記サジタル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第１の式ｆ_ｓ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０と、前記メリディオナル方向の集光について光源点から集光点までの光路長が一定であることから導かれる第２の式ｆ_ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）＝０とを重みづけした、下記式(1)からなる、請求項４記載のミラーの設計方法。
　請求項１～５の何れか１項に記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、
　前記Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値が異なり、且つ前記Ｌ_２ｓとＬ_２ｍの値が一致しており、
　非点収差をもつ入射ビームから一点に集光する出射ビームが得られる、非点収差制御ミラー。
　請求項１～５の何れか１項に記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、
　前記Ｌ_１ｓとＬ_１ｍの値が一致し、且つ前記Ｌ_２ｓとＬ_２ｍの値が異なっており、
　一点から発散する入射ビームから非点収差をもつ出射ビームが得られる、非点収差制御ミラー。
　請求項１～５の何れか１項に記載の前記設計式が成り立つ反射面を有するミラーであって、
　前記Ｌ_１ｍとＬ_２ｍの値が正または負の無限大であり、且つ前記Ｌ_１ｓとＬ_２ｓが所定値（但し、Ｌ_１ｓ＋Ｌ_２ｓ≠０）をもち、
　サジタル方向のみ集光性能を有する、非点収差制御ミラー。