WO2021162328A1 - 임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치 - Google Patents

임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치 Download PDF

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WO2021162328A1
WO2021162328A1 PCT/KR2021/001410 KR2021001410W WO2021162328A1 WO 2021162328 A1 WO2021162328 A1 WO 2021162328A1 KR 2021001410 W KR2021001410 W KR 2021001410W WO 2021162328 A1 WO2021162328 A1 WO 2021162328A1
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한정현
김승욱
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고려대학교 산학협력단
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  • the magnetic body consists of a polyhedron that can be expressed as a 3D mesh, and assuming that M, the magnetization inside the polyhedron, is uniform, the magnetic force is calculated by a simple algebraic calculation instead of a triple integral. point can be seen.

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Abstract

본 발명은 임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치를 개시한다. 본 발명에 따르면, 프로세서; 및 상기 프로세서에 연결되는 메모리를 포함하되, 상기 메모리는, 복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받고, 상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하고, 상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하도록, 상기 프로세서에 의해 실행 가능한 프로그램 명령어들을 저장하는 자성체 시뮬레이션 장치가 제공된다.

Description

임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치
본 발명은 임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치에 관한 것으로서, 컴퓨터 그래픽스의 물리 시뮬레이션 방법 및 장치에 관한 것이다.
자석은 가정의 냉장고, 사무실의 푸시핀 자석, 과학 수업 등 일상 생활에서 자주 사용된다.
컴퓨터 그래픽 분야에서 Thomaszewski 등 이후 자성체 시뮬레이션이 본격적으로 연구되었다.
최근 연구들은 강성 자석 시뮬레이션 및 자기 유체 시뮬레이션 결과를 제시하고 있다.
자성체는 자기장을 생성하고, 다른 자성체의 자기장에 의해 자화될 수 있고, 자화와 자기장은 자기력과 자기 토크를 결정하여 자성체가 움직이도록 한다.
자성체 시뮬레이션에서의 종래기술로 2008년 국제학회인 SIGGRAPH Asia에서 발표된 “Magnets in Motion” 논문의 기술이 대표적이다.
종래기술은 자성체의 자기력을 계산하기 위해 자성체 내부에 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)를 샘플링하는 Equivalent Dipole Method(EDM)를 채택하였다.
EDM에서 주변 자기 쌍극자 모멘트들 m에 대하여 자기장의 요소 중 하나인 자속밀도(magnetic flux density) B는 다음과 같다:
Figure PCTKR2021001410-appb-M000001
여기서, r은 임의의 한 점,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000001
는 진공에서의 투자율로 상수이며,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000002
는
Figure PCTKR2021001410-appb-I000003
에서
Figure PCTKR2021001410-appb-I000004
까지의 벡터이다.
이로 인한 자기력(magnetic forces) F와 자기 토크 T는 다음과 같이 정의될 수 있다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000002
Figure PCTKR2021001410-appb-M000003
수학식 2와 3은 수학식 1과 통합하여 다음과 같이 m에 대한 식으로 표현이 가능하다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000004
Figure PCTKR2021001410-appb-M000005
시뮬레이션에 의해 자성체간 관통이 발생했을 때,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000005
는 매우 짧아지게 되고, 이로 인해 B, F, T가 발산하는 문제가 발생한다.
따라서, EDM을 활용하는 종래기술에서는 자기 쌍극자 모멘트 간에 발생하는 자속밀도(B)와 함께 과도한 자기력 및 자기 토크가 발산하는 문제가 있다.
또한, 자기력과 자기 토크 계산의 시간 복잡도는 자성체 내 자기 쌍극자 모멘트 샘플링 비율에 매우 종속적이라는 한계를 가지고 있다.
상기한 종래기술의 문제점을 해결하기 위해, 본 발명은 자성체 간 관통에 강건하여 자속밀도와 자기력 및 자기 토크가 발산하지 않으며, 시간 복잡도를 줄일 수 있는 임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치를 제안하고자 한다.
상기한 바와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명의 일 실시예에 따르면, 자성체 시뮬레이션 장치로서, 프로세서; 및 상기 프로세서에 연결되는 메모리를 포함하되, 상기 메모리는, 복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받고, 상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하고, 상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하도록, 상기 프로세서에 의해 실행 가능한 프로그램 명령어들을 저장하는 자성체 시뮬레이션 장치가 제공된다.
상기 자기 벡터 포텐셜은 다음의 수학식에 의해 계산될 수 있다.
[수학식]
Figure PCTKR2021001410-appb-I000006
여기서, r은 임의의 점이고, V는 자성체 부피,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000007
는 V의 표면이고, p는 다면체 표면의 다각형,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000008
는 p의 법선벡터(normal vector)이고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000009
는 진공에서의 투자율이며,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000010
이고,
여기서,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000011
는 p의 테두리인
Figure PCTKR2021001410-appb-I000012
의 선분,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000013
와
Figure PCTKR2021001410-appb-I000014
는 각각
Figure PCTKR2021001410-appb-I000015
와 p의 임의의 점이고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000016
는
Figure PCTKR2021001410-appb-I000017
를 따르는 단위 벡터(unit vector)이고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000018
임
상기 자속밀도는 다음의 수학식에 의해 계산될 수 있다.
[수학식]
Figure PCTKR2021001410-appb-I000019
여기서,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000020
임
상기 제2 자성체에 대한 자기력은 다음의 수학식에 의해 계산될 수 있다.
[수학식]
Figure PCTKR2021001410-appb-I000021
상기 제2 자성체에 대한 자기 토크는 다음의 수학식에 의해 계산될 수 있다.
[수학식]
Figure PCTKR2021001410-appb-I000022
상기 제2 자성체에 대한 기계적 토크는 다음의 수학식에 의해 계산될 수 있다.
[수학식]
Figure PCTKR2021001410-appb-I000023
본 발명의 다른 측면에 따르면, 프로세서 및 메모리를 포함하는 장치에서 자성체를 시뮬레이션 하는 방법으로서, 복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받는 단계; 상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하는 단계; 및 상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하는 단계를 포함하는 자성체 시뮬레이션 방법이 제공된다.
본 발명에 따르면, 두 자성체가 근접하거나 서로 관통하더라도 자속밀도, 자기력 및 토크가 발산하지 않는 장점이 있다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 자성체 시뮬레이션 장치의 구성을 도시한 도면이다.
도 2는 본 실시예에 따른 시뮬레이션과 종래의 EDM을 비교한 도면이다.
본 발명은 다양한 변경을 가할 수 있고 여러 가지 실시예를 가질 수 있는 바, 특정 실시예들을 도면에 예시하고 상세하게 설명하고자 한다.
그러나, 이는 본 발명을 특정한 실시 형태에 대해 한정하려는 것이 아니며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다.
본 발명은 임의 형태의 자성체 시뮬레이션에 관한 것으로서, 시뮬레이션하는 자성체는 일반적으로 3D 메쉬(mesh)로 표현 가능한 복수의 다면체로 이루어져 있으며, 다면체 내부의 자화(magnetization) 세기인 M은 균일하다고 가정한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 자성체 시뮬레이션 장치를 도시한 도면이다.
도 1에 도시된 바와 같이, 본 실시예에 따른 자성체 시뮬레이션 장치는 프로세서(100) 및 메모리(102)를 포함할 수 있다.
프로세서(100)는 컴퓨터 프로그램을 실행할 수 있는 CPU(central processing unit)나 그밖에 가상 머신 등을 포함할 수 있다.
메모리(102)는 고정식 하드 드라이브나 착탈식 저장 장치와 같은 불휘발성 저장 장치를 포함할 수 있다. 착탈식 저장 장치는 컴팩트 플래시 유닛, USB 메모리 스틱 등을 포함할 수 있다. 메모리(102)는 각종 랜덤 액세스 메모리와 같은 휘발성 메모리도 포함할 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 메모리(102)에는 복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받고, 상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하고, 상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하는 프로그램 명령어들이 저장된다.
여기서, 자성체의 지오메트리는 다면체인 3D 폴리곤 메쉬(3D polygon mesh)로 표현 가능하며, 메쉬는 점들과 그 점들의 연결로 만들어진 다각형(p)들의 정보로 이루어진다. 메쉬의 모든 다각형들을 합한 것은 자성체의 표면이라 할 수 있으며 자성체의 부피를 V라 할 때
Figure PCTKR2021001410-appb-I000024
로 표현할 수 있다.
이하에서는 본 실시예에 따른 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도 계산 및 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크 계산에 관한 내용을 상세하게 설명한다.
자성체의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)인 A는 다음과 같이 표현될 수 있다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000006
A와 자속밀도(magnetic flux density) B는
Figure PCTKR2021001410-appb-I000025
와 같이 컬(curl) 연산자를 통해 관련되며, 전술한 바와 같이, M이 자성체 부피에 대해 균일한 경우, 자속밀도(magnetic flux density) B는 수학식 6의 컬 연산자를 적용하여 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000007
여기서, r은 임의의 점이고, V는 자성체 부피,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000026
는 V의 표면이고, p는 다면체 표면의 다각형,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000027
는 p의 법선벡터(normal vector)이다. 그리고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000028
와
Figure PCTKR2021001410-appb-I000029
는 다음과 같다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000008
Figure PCTKR2021001410-appb-M000009
여기서, e는 p의 테두리인
Figure PCTKR2021001410-appb-I000030
의 선분,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000031
와
Figure PCTKR2021001410-appb-I000032
는 각각 e와 p의 임의의 점이다.
그리고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000033
는 e를 따르는 단위 벡터(unit vector)이고, 다음을 만족한다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000010
Figure PCTKR2021001410-appb-M000011
수학식 11에서,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000034
는 p에 대해 부호를 갖는 입체각이고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000035
과
Figure PCTKR2021001410-appb-I000036
는 각각 e의 양 끝점을 나타내고, t는 p를 구성하는 삼각형 중 하나이고,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000037
과
Figure PCTKR2021001410-appb-I000038
,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000039
는 t의 꼭지점이다.
이를 통해 계산한 B는 자성체 내부에서 발산하지 않는다.
도 2는 본 실시예에 따른 시뮬레이션과 종래의 EDM을 비교한 도면이다.
도 2a는 본 실시에에 따른 자성체 시뮬레이션 결과이고, 도 2b는 EDM의 결과이다.
도 2를 살펴보면, 본 실시예에 따른 시뮬레이션에서는 EDM과 달리 자성체 내부에서 발산이 일어나지 않는다.
상기한 바와 같이 계산한 A와 B를 이용하여 자기력(F)과 자기 토크(T) 및 기계적 토크(mechanical torque,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000040
)를 다음과 같이 부피적분(삼중적분)을 표면적분(이중적분)으로 변환하여 계산한다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000012
수학식 12에서 두번째 라인은 수학식 2를 통해 구해지고, 세번째 라인은 가우스 정리를 다른 형태를 통해 구해지며, 마지막 라인은 자기력이 다면체 표면에 대해 적분되어 도출된다.
수학식 12을 살펴보면, 자성체가 3D 메쉬(mesh)로 표현 가능한 다면체로 이루어지져 있으며, 다면체 내부의 자화(magnetization)인 M이 균일하다고 가정할 때 삼중적분이 아닌 간단한 대수적인 계산으로 자기력이 계산되는 점을 알 수 있다.
이는 아래의 자기 토크 및 기계적 토크에서도 마찬가지이다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000013
수학식 13에서 두번째 라인은 수학식 3을 통해 구해지고, 네번째 라인은
Figure PCTKR2021001410-appb-I000041
의 정의를 통해 구해지고, 다섯번째 라인은 Arfken andWeber [2005]에 의해 도입된 가우스 정리의 다른 대체 형태를 통해 구해지고, 마지막 라인은 토크가 다면체 표면에 대해 적분되어 도출된다.
Figure PCTKR2021001410-appb-M000014
여기서,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000042
는 자성체의 질량 중심을 나타내며, 세번째 라인은 수학식 2를 통해 구해지고, 네번째 라인은
Figure PCTKR2021001410-appb-I000043
(여기서,
Figure PCTKR2021001410-appb-I000044
는 스칼라, v는 벡터)와 같은 벡터 동일성을 통해 구해진다.
다섯번째 라인은 수학식 13에서 사용된 가우스 정리의 다른 형태를 통해 얻어지며, 마지막 라인은 다면체 표면에 대해 적분되어 도출된다.
본 실시예에 따르면, 전술한 바와 같이 다각형 메쉬로 표현된 자성체를 다룬다. 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)인 A와 자속밀도(magnetic flux density) B를 이용하면 다면체 표면에 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크가 다면체 표면에 대해 적분된다.
이러한 의미에서 본 실시예에 따른 자성체 시뮬레이션 방법을 다면체 표면 방법(Polyhedral Surface Method)으로 정의한다.
수학식 6과 7에서 샘플링을 요구되지 않으며 O(1) 시간에 계산된다.
수학식 12 내지 14에서 삼중적분은 이중적분으로 감소되고, 기존 EDM에서 시간 복잡성인
Figure PCTKR2021001410-appb-I000045
에 비해
Figure PCTKR2021001410-appb-I000046
로 한층 줄어든다.
상기한 본 발명의 실시예는 예시의 목적을 위해 개시된 것이고, 본 발명에 대한 통상의 지식을 가지는 당업자라면 본 발명의 사상과 범위 안에서 다양한 수정, 변경, 부가가 가능할 것이며, 이러한 수정, 변경 및 부가는 하기의 특허청구범위에 속하는 것으로 보아야 할 것이다.

Claims (7)

  1. 자성체 시뮬레이션 장치로서,
    프로세서; 및
    상기 프로세서에 연결되는 메모리를 포함하되,
    상기 메모리는,
    복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받고,
    상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하고,
    상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하도록,
    상기 프로세서에 의해 실행 가능한 프로그램 명령어들을 저장하는 자성체 시뮬레이션 장치.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 자기 벡터 포텐셜은 다음의 수학식에 의해 결정되는 자성체 시뮬레이션 장치.
    [수학식]
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000047
    여기서, r은 임의의 점이고, V는 자성체 부피,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000048
    는 V의 표면이고, p는 다면체 표면의 다각형,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000049
    는 p의 법선벡터(normal vector)이고,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000050
    는 진공에서의 투자율이며,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000051
    이고,
    여기서,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000052
    는 p의 테두리인
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000053
    의 선분,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000054
    와
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000055
    는 각각
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000056
    와 p의 임의의 점이고,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000057
    는
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000058
    를 따르는 단위 벡터(unit vector)이고,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000059
    임
  3. 제2항에 있어서,
    [수학식]
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000060
    여기서,
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000061
    임
  4. 제3항에 있어서,
    상기 제2 자성체에 대한 자기력은 다음의 수학식에 의해 계산되는 자성체 시뮬레이션 장치.
    [수학식]
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000062
  5. 제3항에 있어서,
    상기 제2 자성체에 대한 자기 토크는 다음의 수학식에 의해 계산되는 자성체 시뮬레이션 장치.
    [수학식]
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000063
  6. 제3항에 있어서,
    상기 제2 자성체에 대한 기계적 토크는 다음의 수학식에 의해 계산되는 자성체 시뮬레이션 장치.
    [수학식]
    Figure PCTKR2021001410-appb-I000064
  7. 프로세서 및 메모리를 포함하는 장치에서 자성체를 시뮬레이션 하는 방법으로서,
    복수의 다면체로 구성되며 다면체 내부의 자화(magnetization)가 균일한 제1 자성체 및 제2 자성체에 대한 지오메트리, 포즈 및 자화 세기를 포함하는 정보를 입력 받는 단계;
    상기 입력된 정보를 이용하여 상기 제1 자성체가 임의의 점에 가하는 자기 벡터 포텐셜 및 자속밀도를 계산하는 단계; 및
    상기 계산된 자기 벡터 포텐셜 및 자속 밀도를 이용하여 상기 제1 자성체에 의해 상기 제2 자성체가 받는 자기력, 자기 토크 및 기계적 토크을 계산하는 단계를 포함하는 자성체 시뮬레이션 방법.
PCT/KR2021/001410 2020-02-14 2021-02-03 임의 형태의 자성체 시뮬레이션 방법 및 장치 WO2021162328A1 (ko)

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