WO2021157008A1 - 最適化関数生成装置、最適化関数生成方法、プログラム - Google Patents

最適化関数生成装置、最適化関数生成方法、プログラム Download PDF

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和大 宮原
桂太郎 堀川
均也 富田
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日本電信電話株式会社
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    • H04L5/0058—Allocation criteria
    • H04L5/006—Quality of the received signal, e.g. BER, SNR, water filling

Definitions

  • the present invention relates to a technique for generating an optimization function for solving a combinatorial optimization problem with a quantum computer.
  • Non-Patent Documents 1, 2, 3, and 4 a method of designing a graph division problem, a graph creek problem, and a graph isomorphism problem as a QUBO objective function or an Ising Hamiltonian has been devised (see Non-Patent Documents 1, 2, 3, and 4).
  • Non-Patent Documents 1 to 4 only disclose QUBO's objective function and Ising Hamiltonian for solving a specific problem related to graphs, and regarding QUBO's objective function and Ising Hamiltonian related to the band allocation planning problem. Is not known.
  • the present invention provides a technique for generating an optimization function for a variable representing a quantum state for solving a bandwidth allocation planning problem for finding a bandwidth to be allocated to each route under various restrictions on the route to allocate the bandwidth. The purpose.
  • One aspect of the present invention is a set of paths including a set of paths Path, a set of edges Edge, a maximum bandwidth Max, a bandwidth p.bandwidth required by the path p ( ⁇ Path), and an edge e ( ⁇ Edge).
  • An input setting unit that is set as an input of a bandwidth allocation planning problem that generates a bandwidth allocation plan, and an optimization that uses the input to generate an optimization function for a variable representing a quantum state for solving the bandwidth allocation planning problem. Includes a function generator and.
  • It is a figure which shows an example of the input of a bandwidth allocation planning problem. It is a figure which shows an example of the relationship between a path and an edge. It is a figure which shows an example of the output of a bandwidth allocation planning problem. It is a figure which shows the state of x p, b -x p, bp . bandwidth when p. bandwidth 2. It is a block diagram which shows the structure of the optimization function generation apparatus 100. It is a flowchart which shows the operation of the optimization function generation apparatus 100. It is a figure which shows an example of the functional structure of the computer which realizes each apparatus in embodiment of this invention.
  • ⁇ (Caret) represents a superscript.
  • x y ⁇ z means that y z is a superscript for x
  • x y ⁇ z means that y z is a subscript for x
  • _ (underscore) represents a subscript.
  • x y_z means that y z is a superscript for x
  • x y_z means that y z is a subscript for x.
  • the combinatorial optimization problem dealt with in the embodiment of the present invention is to the route so as to satisfy the condition of minimizing the bandwidth allocated to the route as a whole (hereinafter referred to as the optimization condition) under a predetermined constraint condition.
  • the predetermined constraint condition is "edge duplication constraint”.
  • the “edge duplication constraint” will be described below.
  • the input of the bandwidth allocation planning problem is as follows. -A set of routes for which a plan is to be generated Path (hereinafter referred to as a route set) -A set of edges that make up the path Edge (hereinafter referred to as an edge set) -Value Max that the upper limit of the bandwidth allocated to the route (allocated bandwidth) must not be exceeded (hereinafter referred to as the maximum bandwidth. Max is a predetermined constant.)
  • the following values are input for each path p ⁇ Path.
  • bottom (p) shall satisfy the following conditions (a), (b), (c).
  • (a) Restriction of allocated bandwidth The constraint of allocated bandwidth is a condition that the upper limit of the bandwidth allocated to each route does not exceed the maximum bandwidth Max, and can be expressed as follows. bottom (p) + p.bandwidth-1 ⁇ Max
  • optimization condition is a condition that minimizes the bandwidth allocated to the path of the set path as a whole, and can be expressed as follows. minimize (
  • FIG. 1 shows an example of the input of the bandwidth allocation planning problem.
  • FIG. 2 shows the relationship between the path and the edge of FIG.
  • FIG. 3 shows an example of the output of the bandwidth allocation planning problem.
  • a qubit is a variable that represents a quantum state and takes 1 or 0 as a value. That is, in the bandwidth allocation planning problem targeted by the present invention, the qubits x p and b are defined as follows.
  • x p, b “1” indicates that the band b is equal to or greater than the lower limit of the band (allocated band) allocated to the route p, and “0” indicates that the band b is not.
  • p ⁇ Path, 1 ⁇ b ⁇ Max-p.bandwidth, and for b> Max-p.bandwidth, the constant "1".
  • an expression representing a certain constraint represents a state in which the constraint is satisfied when the value of the expression becomes 0, and represents a state in which the constraint is not satisfied when the value of the expression becomes a value larger than 0.
  • QUBO's objective function FlexGrid can be defined by the following equation.
  • Restriction is an expression that expresses a condition other than the minimization condition
  • Optimization is an expression that expresses the minimization condition
  • Penalty is a constant that expresses the weight of the expression Restriction.
  • OverBottom is an expression that expresses the constraint to define the meaning of qubits x p and b
  • Conflict is an expression that expresses the constraint of edge duplication.
  • Penalty may be, for example, 10000. Assuming that the Penalty value is extremely large compared to the value that the expression Optimization that expresses the minimization condition can take, the QUBO objective function FlexGrid is tuned so as to preferentially satisfy the expression Restriction.
  • Equation (3) will be described.
  • x p, b (1-x p, b + 1 )
  • x p, b is the band b
  • 1-x p, b + 1 is the band b +.
  • Expression Conflict is an expression that expresses the constraint of edge duplication.
  • Count (e, b) (Count (e, b) -1) is the value of Count (e, b) because it is "0" when the value of Count (e, b) is 0 or 1. If is 2 or more, it is a constraint violation. Therefore, the expression Conflict represents the constraint of edge duplication.
  • the formula Optimization is a formula that expresses "the total value of the bands to which one or more routes are assigned".
  • a b is an auxiliary qubit used only in the equation Optimization.
  • Auxiliary qubit a b formula a b + ⁇ (1-a b) x p, b a are those taking a value to a minimum, wherein a b + ⁇ (1-a b) x p, b is If there is an assigned route, it will be “1", otherwise it will be "0".
  • the function OverBottom of Eq. (3) uses the quantum bits x p, b , which are variables that represent one state as 1 and the other state as 0.
  • the function Conflict in equation (4) is defined as a function that takes 0 as a value when the constraints represented by each equation are satisfied, and takes a value greater than 0 in other cases
  • the function in equation (6) is defined as a function in which the smaller the total value of the bands to which one or more routes are assigned, the smaller the value.
  • QUBO's objective function FlexGrid is a function designed to take the minimum value when the constraint expressed by the expression OverBottom and the constraint expressed by the expression Conflict are satisfied and the expression Optimization takes the minimum value. ..
  • the objective function FlexGrid of this QUBO is a function that can be solved by a quantum annealing machine or an Ising machine.
  • the optimization function generator 100 generates an optimization function for a variable representing a quantum state for solving a bandwidth allocation planning problem.
  • the bandwidth allocation planning problem is a route to a route that satisfies the condition of minimizing the bandwidth allocated to the route of the set path as a whole (hereinafter referred to as an optimization condition) under a predetermined constraint condition. It is a problem of generating a bandwidth allocation plan.
  • the predetermined constraint condition is the constraint of edge duplication explained in the technical background, that is, for each band b and edge e ⁇ Edge up to the maximum band Max,
  • bottom (p) represents the lower limit of the bandwidth allocated to the route p) (hereinafter referred to as the first constraint condition).
  • ⁇ 1 (however, bottom (p) represents the lower limit of the bandwidth allocated to the route p) (hereinafter referred to as the first constraint condition).
  • a variable representing a quantum state a qubit that represents a certain state as 1 and a other state as 0 is used.
  • FIG. 5 is a block diagram showing the configuration of the optimization function generation device 100.
  • FIG. 6 is a flowchart showing the operation of the optimization function generation device 100.
  • the optimization function generation device 100 includes an input setting unit 110, an optimization function generation unit 120, and a recording unit 190.
  • the recording unit 190 is a component unit that appropriately records information necessary for processing of the optimization function generation device 100.
  • the input setting unit 110 includes a path set Path, an edge set Edge, a maximum bandwidth Max, a bandwidth p.bandwidth required by the route p ( ⁇ Path), and a route including the edge e ( ⁇ Edge).
  • the set e.paths ( ⁇ Path) of is input, and these data are set as the input of the bandwidth allocation planning problem.
  • the optimization function generation unit 120 takes the input of the bandwidth allocation planning problem set in S110 as an input, and uses the input to generate and output the optimization function for solving the bandwidth allocation planning problem.
  • the optimization function is a function defined using qubits x p, b , and specifically, a function expressing the meaning of qubits x p, b and the first constraint condition are expressed. It is the objective function of QUBO defined based on the function and the function expressing the optimization condition.
  • the objective function of QUBO is the function FlexGrid of equation (1).
  • the function expressing the meaning of the quantum bits x p and b , the function expressing the first constraint condition, and the function expressing the optimization condition are the function OverBottom in Eq. (3) and the function OverBottom in Eq. (3a), respectively. It is the function Conflict of Eq. (4) and the function Optimization of Eq. (6).
  • the function representing the meaning of the qubit x p, b a function defined as the value is the smallest when the qubit x p, the meaning of b is correctly represented, more specifically, It is a function that takes 0 as a value when the meaning of the qubit x p, b is correctly expressed, and takes a value larger than 0 in other cases.
  • the function expressing the first constraint condition is a function defined so that the value becomes the smallest when the first constraint condition is satisfied, and more specifically, when the first constraint condition is satisfied. It is a function that takes 0 as a value and otherwise takes a value greater than 0.
  • the function expressing the optimization condition is a function defined so that the smaller the total value of the bands to which one or more routes are assigned, the smaller the value.
  • the objective function FlexGrid of QUBO which is an optimization function, is a function designed to take the minimum value when the first constraint condition is satisfied.
  • the objective function FlexGrid of QUBO is a function defined based on the function Restriciton of Eq. (2) (that is, the function Overbottom expressing the meaning of the quantum bits x p and b and the function Conflict expressing the first constraint condition). It is defined as a weighted sum of the function Optimization that expresses Restriction) and optimization conditions. By making this weight Penalty a value larger than the value that the function Optimization can take, it is prioritized that the meaning of the qubits x p, b is correctly expressed and that the constraint of edge duplication is satisfied.
  • the objective function FlexGrid can be tuned.
  • the Ising Hamiltonian using spin may be used instead of using the QUBO objective function using qubits.
  • spin is a variable representing a quantum state that takes 1 or -1 as a value.
  • the spin s and the qubit x can be converted to each other by Eqs. (7) and (8).
  • the spin value is 1, and when the qubit value is 0, the spin value is -1.
  • a spin representing a certain state by 1 and another state by -1 is used as a variable representing a quantum state.
  • spins p and b defined so that the state in which the band b is equal to or greater than the lower limit of the band allocated to the path p is represented by the value 1 and the other states are represented by the value -1 are used.
  • the optimization function is a function defined using spins p, b , and specifically, a function expressing the meaning of spins p, b and a function expressing the first constraint condition.
  • the Ising Hamiltonian is a function obtained by applying the above change of variables to the function FlexGrid of equation (1).
  • the function expressing the meanings of spins p and b , the function expressing the first constraint condition, and the function expressing the optimization condition are the function OverBottom in Eq. (3) and the function OverBottom in Eq. (3a), respectively.
  • the function representing the meaning of b a function defined as the value is the smallest when the spin s p, the meaning of b is correctly represented, more specifically, the spin s It is a function that takes 0 as a value when the meanings of p and b are correctly expressed, and takes a value larger than 0 in other cases.
  • the function expressing the first constraint condition is a function defined so that the value becomes the smallest when the first constraint condition is satisfied, and more specifically, when the first constraint condition is satisfied. It is a function that takes 0 as a value and otherwise takes a value greater than 0.
  • the function expressing the optimization condition is a function defined so that the smaller the total value of the bands to which one or more routes are assigned, the smaller the value.
  • the Ising Hamiltonian which is an optimization function, is a function designed to take the minimum value when the first constraint condition is satisfied.
  • the optimization function which is the output of the optimization function generator 100, is, for example, an input of a quantum annealing machine or an Ising machine, and can be processed by these machines to obtain a solution to the band allocation planning problem. ..
  • FIG. 7 is a diagram showing an example of a functional configuration of a computer that realizes each of the above-mentioned devices.
  • the processing in each of the above-mentioned devices can be carried out by causing the recording unit 2020 to read a program for causing the computer to function as each of the above-mentioned devices, and operating the control unit 2010, the input unit 2030, the output unit 2040, and the like.
  • the device of the present invention is, for example, as a single hardware entity, an input unit to which a keyboard or the like can be connected, an output unit to which a liquid crystal display or the like can be connected, and a communication device (for example, a communication cable) capable of communicating outside the hardware entity.
  • Communication unit CPU (Central Processing Unit, cache memory, registers, etc.) to which can be connected, RAM and ROM as memory, external storage device as hard hardware, and input, output, and communication units of these.
  • CPU, RAM, ROM has a connecting bus so that data can be exchanged between external storage devices.
  • a device (drive) or the like capable of reading and writing a recording medium such as a CD-ROM may be provided in the hardware entity.
  • a physical entity equipped with such hardware resources includes a general-purpose computer and the like.
  • the external storage device of the hardware entity stores the program required to realize the above-mentioned functions and the data required for processing this program (not limited to the external storage device, for example, reading a program). It may be stored in a ROM, which is a dedicated storage device). Further, the data obtained by the processing of these programs is appropriately stored in a RAM, an external storage device, or the like.
  • each program stored in the external storage device (or ROM, etc.) and the data necessary for processing each program are read into the memory as needed, and are appropriately interpreted, executed, and processed by the CPU. ..
  • the CPU realizes a predetermined function (each component represented by the above, ..., ... Means, etc.).
  • the present invention is not limited to the above-described embodiment, and can be appropriately modified without departing from the spirit of the present invention. Further, the processes described in the above-described embodiment are not only executed in chronological order according to the order described, but may also be executed in parallel or individually as required by the processing capacity of the device that executes the processes. ..
  • the processing function in the hardware entity (device of the present invention) described in the above embodiment is realized by a computer
  • the processing content of the function that the hardware entity should have is described by a program.
  • the processing function in the above hardware entity is realized on the computer.
  • the program that describes this processing content can be recorded on a computer-readable recording medium.
  • the computer-readable recording medium may be, for example, a magnetic recording device, an optical disk, a photomagnetic recording medium, a semiconductor memory, or the like.
  • a hard disk device, a flexible disk, a magnetic tape, or the like as a magnetic recording device is used as an optical disk
  • a DVD (Digital Versatile Disc), a DVD-RAM (Random Access Memory), or a CD-ROM (Compact Disc Read Only) is used as an optical disk.
  • Memory CD-R (Recordable) / RW (ReWritable), etc.
  • MO Magnetto-Optical disc
  • EP-ROM Electroically Erasable and Programmable-Read Only Memory
  • semiconductor memory can be used.
  • the distribution of this program is carried out, for example, by selling, transferring, renting, etc., a portable recording medium such as a DVD or CD-ROM on which the program is recorded. Further, the program may be stored in the storage device of the server computer, and the program may be distributed by transferring the program from the server computer to another computer via a network.
  • a computer that executes such a program first stores, for example, a program recorded on a portable recording medium or a program transferred from a server computer in its own storage device. Then, when the process is executed, the computer reads the program stored in its own storage device and executes the process according to the read program. Further, as another execution form of this program, a computer may read the program directly from a portable recording medium and execute processing according to the program, and further, the program is transferred from the server computer to this computer. Each time, the processing according to the received program may be executed sequentially. In addition, the above processing is executed by a so-called ASP (Application Service Provider) type service that realizes the processing function only by the execution instruction and result acquisition without transferring the program from the server computer to this computer. May be.
  • the program in this embodiment includes information to be used for processing by a computer and equivalent to the program (data that is not a direct command to the computer but has a property of defining the processing of the computer, etc.).
  • the hardware entity is configured by executing a predetermined program on the computer, but at least a part of these processing contents may be realized in terms of hardware.

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Abstract

帯域を割り当てる経路に関する各種制約のもと、各経路に割り当てる帯域を求める帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する技術を提供する。経路の集合Pathと、エッジの集合Edgeと、最大帯域Maxと、経路pが要求する帯域p.bandwidthと、エッジeを含む経路の集合e.pathsとを、所定の制約条件のもと、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する帯域割当計画問題の入力として設定する入力設定部と、前記入力を用いて上記最適化関数を生成する最適化関数生成部と、を含む。

Description

最適化関数生成装置、最適化関数生成方法、プログラム
　本発明は、組合せ最適化問題を量子コンピュータで解くための最適化関数を生成する技術に関する。
　現在広く利用されているノイマン型コンピュータでは、組合せ最適化問題を効率的に解くことが難しいとされている。そこで、近年、組合せ最適化問題をノイマン型コンピュータよりも効率的に解くことが可能な計算機である、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの研究開発が進められている。
　これらの新たな計算機は、対象とする組合せ最適化問題をQUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization)の目的関数やイジングハミルトニアンとして表現した最適化関数を入力とすることにより、高速にその問題の解を計算することができる。
　従来、グラフ分割問題、グラフのクリーク問題、グラフ同型問題をQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンとして設計する手法が考案されている（非特許文献１、２、３、４参照）。
A. Lucas, "Ising formulations of many NP problems," frontiers in Physics (2014), ［online］，［令和２年１月１７日検索］，インターネット <URL: https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphy.2014.00005/full> D-Wave Systems Inc, "The D-Wave 2000QTM Quantum Computer Technology Overview,"［online］，［令和２年１月１７日検索］，インターネット<URL: https://www.dwavesys.com/sites/default/files/D-Wave%202000Q%20Tech%20Collateral_1029F.pdf> Takahiro Inagaki et al., "A coherent Ising machine for 2000-node optimization problems," Science, vol.354, Issue 6312, pp.603-606, 2016. N. Yoshimura, M. Tawada, S. Tanaka, J. Arai, S. Yagi, H. Uchiyama, and N. Togawa, "An efficient ising model mapping method to solve induced subgraph isomorphism problems using ising machines," Adiabatic Quantum Computing Conference 2019.
　帯域を割り当てる経路に関する各種制約のもと、各経路に割り当てる帯域を求める帯域割当計画問題は、組合せ最適化問題の１つであるため、量子アニーリングマシンやイジングマシンを用いることにより、高速にその解を求めることができると期待される。しかし、非特許文献１～４には、グラフに関する特定の問題を解くためのQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンが開示されているのみであり、上記帯域割当計画問題に関するQUBOの目的関数やイジングハミルトニアンについては知られていない。
　そこで本発明では、帯域を割り当てる経路に関する各種制約のもと、各経路に割り当てる帯域を求める帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する技術を提供することを目的とする。
　本発明の一態様は、経路の集合Pathと、エッジの集合Edgeと、最大帯域Maxと、経路p(∈Path)が要求する帯域p.bandwidthと、エッジe(∈Edge)を含む経路の集合e.paths(⊆Path)とを、所定の制約条件のもと、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件（以下、最適化条件という）を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する帯域割当計画問題の入力として設定する入力設定部と、前記入力を用いて、前記帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する最適化関数生成部と、を含む。
　本発明によれば、所定の制約条件が課された帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成することが可能となる。
帯域割当計画問題の入力の一例を示す図である。 経路とエッジの関係の一例を示す図である。 帯域割当計画問題の出力の一例を示す図である。 p.bandwidth=2のときのxp,b-xp,b-p.bandwidthの様子を示す図である。 最適化関数生成装置１００の構成を示すブロック図である。 最適化関数生成装置１００の動作を示すフローチャートである。 本発明の実施形態における各装置を実現するコンピュータの機能構成の一例を示す図である。
　以下、本発明の実施の形態について、詳細に説明する。なお、同じ機能を有する構成部には同じ番号を付し、重複説明を省略する。
　各実施形態の説明に先立って、この明細書における表記方法について説明する。
　^（キャレット）は上付き添字を表す。例えば、xy^zはyzがxに対する上付き添字であり、xy^zはyzがxに対する下付き添字であることを表す。また、_（アンダースコア）は下付き添字を表す。例えば、xy_zはyzがxに対する上付き添字であり、xy_zはyzがxに対する下付き添字であることを表す。
　ある文字xに対する^xや~xのような上付き添え字の”^”や”~”は、本来”x”の真上に記載されるべきであるが、明細書の記載表記の制約上、^xや~xと記載しているものである。
＜技術的背景＞
　本発明の実施形態で扱う組合せ最適化問題は、所定の制約条件のもと、経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件（以下、最適化条件という）を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する帯域割当計画問題である。ここで、所定の制約条件とは、“エッジ重複の制約”のことである。以下、“エッジ重複の制約”について説明する。
（１）エッジ重複の制約
　エッジ重複の制約とは、同一のエッジを含む経路同士は、同じ帯域を共有しないという条件である。
　次に、帯域割当計画問題の入力と出力について説明する。
（１）入力
　帯域割当計画問題の入力は、以下の通りである。
・計画生成対象となる経路の集合Path（以下、経路集合という。）
・経路を構成するエッジの集合Edge（以下、エッジ集合という。）
・経路に割り当てられる帯域（割当帯域）の上限が超えてはならない値Max（以下、最大帯域という。なお、Maxは所定の定数である。）
　また、各経路p∈Pathに対して、以下の値が入力される。
・経路pが要求する帯域（要求帯域）p.bandwidth∈N（ただし、Nは自然数の集合を表す。）
　また、各エッジe∈Edgeに対して、以下の値が入力される。
・エッジeを含む経路の集合e.paths⊆Path
　最大帯域Maxは、例えば、経路集合Pathに含まれるすべての経路の要求帯域の合計値とすればよい。このようにすると、帯域割当計画問題の解が存在しないということを防ぐことができる。
（２）出力
　帯域割当計画問題の出力は、以下の通りである。
・各経路p∈Pathの割当帯域の下限bottom(p)
　なお、各経路pに対して要求帯域p.bandwidthが与えられていることから、割当帯域の上限はbottom(p)+ p.bandwidth-1として求めることができる。
　ただし、bottom(p)は以下の条件(a), (b), (c)を満たすものとする。
(a)割当帯域の制約
　割当帯域の制約とは、各経路に割り当てられる帯域の上限は最大帯域Maxを超えないという条件であり、以下のように表現することができる。
　bottom(p)+p.bandwidth-1≦Max
(b)エッジ重複の制約
　エッジ重複の制約とは、上述した通り、同一のエッジを含む経路同士は、同じ帯域を共有しないという条件であり、以下のように表現することができる。
　1≦b≦Maxならば、|{p∈e.paths|bottom(p)≦b<bottom(p)+p.bandwidth}|≦1
（ただし、|S|は集合Sの要素の個数を表す）
(c)最適化条件
　最適化条件とは、上述した通り、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件であり、以下のように表現することができる。
　minimize(|{b∈N|帯域bに対して、bottom(p)≦b<bottom(p)+p.bandwidthを満たす経路p∈Pathが存在する。}|)
　図１は帯域割当計画問題の入力の一例を示したものである。図２は図１の経路とエッジの関係を示したものである。また、図３は帯域割当計画問題の出力の一例を示したものである。
　帯域割当計画問題を解くために用いる量子ビットについて説明する。ここで、量子ビットとは1か0を値として取る、量子状態を表す変数である。つまり、本発明で対象とする帯域割当計画問題では、量子ビットxp,bを以下のように定義する。
　xp,b：帯域bが経路pに割り当てられる帯域（割当帯域）の下限以上であることを”1”、そうでないことを”0”とする。ただし、p∈Path, 1≦b≦Max-p.bandwidthとし、b>Max-p.bandwidthについては定数”1”とする。
　b>Max-p.bandwidthについて定数”1”と定義することにより、割当帯域の制約は充足されることになる。なお、同値の記号⇔を用いると、量子ビットxp,bの定義を”xp,b=1⇔帯域bが経路pの割当帯域の下限以上である”と表すこともできる。
　上記のように定義した量子ビットxp,tを用いると、経路の割当帯域範囲を表現することができる。具体的には、経路の割当帯域範囲はxp,b-xp,b-p.bandwidthにより表現される。実際、
・xp,b-xp,b-p.bandwidth=1⇔帯域bが経路pの割当帯域範囲に含まれる。
となる。
　なお、b<1のとき、xp,b=0とする。このように、量子ビットxp,bに定数制約を組み込むことにすると、xp,b-p.widthの値が不定ということがなくなる。
　図４は、p.bandwidth=2のときのxp,b-xp,b-p.bandwidthの様子を示したものである。
　以上を踏まえて、以下、QUBOの目的関数について説明する。ここで、ある制約を表す式は、その式の値が0となるとき当該制約を満たす状態を、その式の値が0より大きい値となるとき当該制約を満たさない状態を表すものとする。
　QUBOの目的関数FlexGridは、次式により定義できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000002
　ここで、Restrictionは最小化条件以外の条件を表す式、Optimizationは最小化条件を表す式、Penaltyは式Restrictionの重みを表す定数である。また、OverBottomは量子ビットxp,bの意味を規定するため制約を表す式、Conflictはエッジ重複の制約を表す式である。
　Penaltyは例えば、10000とすればよい。このようにPenaltyの値を最小化条件を表す式Optimizationがとりうる値に比して極端に大きいものとすると、式Restrictionを優先的に満たすように、QUBOの目的関数FlexGridのチューニングがなされる。
　式OverBottomは、“量子ビットxp,bがある帯域で”1”になった場合、それ以上の帯域では量子ビットxp,bが”1”となる”という制約を表す式である。この制約により量子ビットxp,bが”0”から”1”になる帯域が経路pの割当帯域の下限を表すこととなる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
　式(3)について説明する。式xp,b(1-xp,b+1)のxp,bは帯域bで”xp,b=1”ならば”1”、1-xp,b+1は帯域b+1で”xp,b+1=0”ならば”1”となる。したがって、帯域bから帯域b+1になるときに量子ビットxp,bが”1”から”0””に変化すると制約違反となる。よって、式OverBottomは、“量子ビットxp,bがある帯域で”1”になった場合、それ以上の帯域において量子ビットxp,bが”1”となる”という制約を表すことになる。
（変形例）
　式(3)のOverBottomは、制約に違反する箇所、つまり、量子ビットxp,bが”1”から”0”に変化する箇所の個数のみでペナルティが決定されるため、制約違反とならないように誘導することができない。そこで、次式のように、式xp,b(1-xp,b+1)を重み付けすることで、式OverBottomを”制約違反なし”に近いほどペナルティを小さくするようにしてもよい。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
　式Conflictは、エッジ重複の制約を表す式である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000006
　ここで、Count(e, b)は帯域bにおいてエッジeを含む経路の数を表す。このことは、xp,b-xp,b-p.bandwidth=1が、帯域bが経路pの割当帯域範囲に含まれることを表すことからわかる。
　式(4)について説明する。式Count(e, b)(Count(e, b)-1)はCount(e, b)の値が0か1であるときに”0”となることから、Count(e, b)の値が2以上となると制約違反となる。したがって、式Conflictはエッジ重複の制約を表すことになる。
　式Optimizationは、“１つ以上の経路が割当られている帯域の合計値”を表現する式である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
　ここで、abは式Optimizationでのみ用いる補助量子ビットである。
　補助量子ビットabは式ab+Σ(1-ab)xp,bを最小とするための値をとるものであり、式ab+Σ(1-ab)xp,bは割り当てられた経路があれば”1”、なければ”0”となる。
　以上説明したように、ある状態であることを1、それ以外の状態であることを0で表す変数である量子ビットxp,bを用いて、式(3)の関数OverBottom（式(3a)の関数OverBottom）、式(4)の関数Conflictを各式が表す制約を満たす場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数として定義し、式(6)の関数Optimizationを１つ以上の経路が割り当てられている帯域の合計値が小さいほど値が小さくなるような関数として定義する。このようにすると、QUBOの目的関数FlexGridは、式OverBottomが表す制約と式Conflictが表す制約とが満たされ、式Optimizationが最小値をとるときに、最小値を取るように設計された関数となる。そして、このQUBOの目的関数FlexGridは、量子アニーリングマシンやイジングマシンにより求解可能な関数となる。
＜第１実施形態＞
　最適化関数生成装置１００は、帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する。ここで、帯域割当計画問題とは、所定の制約条件のもと、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件（以下、最適化条件という）を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する問題のことである。また、所定の制約条件とは、技術的背景において説明したエッジ重複の制約、すなわち、最大帯域Maxまでの各帯域b、エッジe∈Edgeに対して、|{p∈e.paths|bottom(p)≦b<bottom(p)+p.bandwidth}|≦1（ただし、bottom(p)は経路pに割り当てられる帯域の下限を表す）を満たすという条件（以下、第１制約条件という）のことである。また、ここでは、量子状態を表す変数として、ある状態であることを1、それ以外の状態であることを0で表す量子ビットを用いる。具体的には、帯域bが経路pに割り当てられる帯域の下限以上であるという状態を値1、それ以外の状態を値0で表すように定義される量子ビットxp,bを用いる。
　以下、図５～図６を参照して最適化関数生成装置１００を説明する。図５は、最適化関数生成装置１００の構成を示すブロック図である。図６は、最適化関数生成装置１００の動作を示すフローチャートである。図５に示すように最適化関数生成装置１００は、入力設定部１１０と、最適化関数生成部１２０と、記録部１９０を含む。記録部１９０は、最適化関数生成装置１００の処理に必要な情報を適宜記録する構成部である。
　図６に従い最適化関数生成装置１００の動作について説明する。
　Ｓ１１０において、入力設定部１１０は、経路の集合Pathと、エッジの集合Edgeと、最大帯域Maxと、経路p(∈Path)が要求する帯域p.bandwidthと、エッジe(∈Edge)を含む経路の集合e.paths(⊆Path)とを入力とし、これらのデータを帯域割当計画問題の入力として設定する。
　Ｓ１２０において、最適化関数生成部１２０は、Ｓ１１０において設定した帯域割当計画問題の入力を入力とし、当該入力を用いて、帯域割当計画問題を解くための最適化関数を生成し、出力する。ここで、最適化関数は、量子ビットxp,bを用いて定義される関数であり、具体的には、量子ビットxp,bの意味を表現した関数と、第１制約条件を表現した関数と、最適化条件を表現した関数とに基づいて定義されるQUBOの目的関数である。
　QUBOの目的関数とは、式(1)の関数FlexGridのことである。また、量子ビットxp,bの意味を表現した関数、第１制約条件を表現した関数、最適化条件を表現した関数は、それぞれ式(3)の関数OverBottomまたは式(3a)の関数OverBottom、式(4)の関数Conflict、式(6)の関数Optimizationのことである。
　量子ビットxp,bの意味を表現した関数は、量子ビットxp,bの意味が正しく表現されている場合に値が最も小さくなるように定義された関数であり、より具体的には、量子ビットxp,bの意味が正しく表現されている場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数となる。また、第１制約条件を表現した関数は、第１制約条件が満たされる場合に値が最も小さくなるように定義された関数であり、より具体的には、第１制約条件が満たされる場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数となる。さらに、最適化条件を表現した関数は、１つ以上の経路が割り当てられている帯域の合計値が小さいほど値が小さくなるように定義された関数となる。
　したがって、最適化関数であるQUBOの目的関数FlexGridは、第１制約条件を満たす場合に最小値を取るように設計された関数である。
　なお、QUBOの目的関数FlexGridは、式(2)の関数Restriciton（すなわち、量子ビットxp,bの意味を表現した関数Overbottomと第１制約条件を表現した関数Conflictとに基づいて定義される関数Restriction）と最適化条件を表現した関数Optimizationの重み付き和として定義されている。この重みPenaltyを関数Optimizationの取りうる値に比べて大きな値とすることにより、量子ビットxp,bの意味が正しく表現されることとエッジ重複の制約が満たされることが優先されるように、目的関数FlexGridをチューニングすることができる。
（変形例）
　最適化関数として、量子ビットを用いたQUBOの目的関数を用いる代わりに、スピンを用いたイジングハミルトニアンを用いてもよい。ここで、スピンとは、1か-1を値として取る、量子状態を表す変数である。スピンsと量子ビットxは、式(7)、式(8)により相互に変換することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000009
　つまり、量子ビットの値が1のとき、スピンの値は1となり、量子ビットの値が0のとき、スピンの値は-1となる。
　以下、量子状態を表す変数として、ある状態であることを1、それ以外の状態であることを-1で表すスピンを用いる。具体的には、帯域bが経路pに割り当てられる帯域の下限以上であるという状態を値1、それ以外の状態を値-1で表すように定義されるスピンsp,bを用いる。この場合、最適化関数は、スピンsp,bを用いて定義される関数であり、具体的には、スピンsp,bの意味を表現した関数と、第１制約条件を表現した関数と、最適化条件を表現した関数とに基づいて定義されるイジングハミルトニアンである。
　イジングハミルトニアンとは、式(1)の関数FlexGridに上記変数変換を適用して得られる関数のことである。また、スピンsp,bの意味を表現した関数、第１制約条件を表現した関数、最適化条件を表現した関数とは、それぞれ式(3)の関数OverBottomまたは式(3a)の関数OverBottomに上記変数変換を適用して得られる関数、式(4)の関数Conflictに上記変数変換を適用して得られる関数、式(6)の関数Optimizationに上記変数変換を適用して得られる関数のことである。
　スピンsp,bの意味を表現した関数は、スピンsp,bの意味が正しく表現されている場合に値が最も小さくなるように定義された関数であり、より具体的には、スピンsp,bの意味が正しく表現されている場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数となる。また、第１制約条件を表現した関数は、第１制約条件が満たされる場合に値が最も小さくなるように定義された関数であり、より具体的には、第１制約条件が満たされる場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数となる。さらに、最適化条件を表現した関数は、１つ以上の経路が割り当てられている帯域の合計値が小さいほど値が小さくなるように定義された関数となる。
　したがって、最適化関数であるイジングハミルトニアンは、第１制約条件を満たす場合に最小値を取るように設計された関数である。
　なお、最適化関数生成装置１００の出力である最適化関数は、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンの入力となり、これらのマシンにより処理されることにより、帯域割当計画問題の解を求めることができる。
　本発明の実施形態によれば、所定の制約条件が課された帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成することが可能となる。
＜補記＞
　図７は、上述の各装置を実現するコンピュータの機能構成の一例を示す図である。上述の各装置における処理は、記録部２０２０に、コンピュータを上述の各装置として機能させるためのプログラムを読み込ませ、制御部２０１０、入力部２０３０、出力部２０４０などに動作させることで実施できる。
　本発明の装置は、例えば単一のハードウェアエンティティとして、キーボードなどが接続可能な入力部、液晶ディスプレイなどが接続可能な出力部、ハードウェアエンティティの外部に通信可能な通信装置（例えば通信ケーブル）が接続可能な通信部、ＣＰＵ（Central Processing Unit、キャッシュメモリやレジスタなどを備えていてもよい）、メモリであるＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクである外部記憶装置並びにこれらの入力部、出力部、通信部、ＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭ、外部記憶装置の間のデータのやり取りが可能なように接続するバスを有している。また必要に応じて、ハードウェアエンティティに、ＣＤ－ＲＯＭなどの記録媒体を読み書きできる装置（ドライブ）などを設けることとしてもよい。このようなハードウェア資源を備えた物理的実体としては、汎用コンピュータなどがある。
　ハードウェアエンティティの外部記憶装置には、上述の機能を実現するために必要となるプログラムおよびこのプログラムの処理において必要となるデータなどが記憶されている（外部記憶装置に限らず、例えばプログラムを読み出し専用記憶装置であるＲＯＭに記憶させておくこととしてもよい）。また、これらのプログラムの処理によって得られるデータなどは、ＲＡＭや外部記憶装置などに適宜に記憶される。
　ハードウェアエンティティでは、外部記憶装置（あるいはＲＯＭなど）に記憶された各プログラムとこの各プログラムの処理に必要なデータが必要に応じてメモリに読み込まれて、適宜にＣＰＵで解釈実行・処理される。その結果、ＣＰＵが所定の機能（上記、…部、…手段などと表した各構成部）を実現する。
　本発明は上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。また、上記実施形態において説明した処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されるとしてもよい。
　既述のように、上記実施形態において説明したハードウェアエンティティ（本発明の装置）における処理機能をコンピュータによって実現する場合、ハードウェアエンティティが有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記ハードウェアエンティティにおける処理機能がコンピュータ上で実現される。
　この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ－ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ－Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ－ＲＯＭ（Electronically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。
　また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。
　このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
　また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、ハードウェアエンティティを構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
　上述の本発明の実施形態の記載は、例証と記載の目的で提示されたものである。網羅的であるという意思はなく、開示された厳密な形式に発明を限定する意思もない。変形やバリエーションは上述の教示から可能である。実施形態は、本発明の原理の最も良い例証を提供するために、そして、この分野の当業者が、熟考された実際の使用に適するように本発明を色々な実施形態で、また、色々な変形を付加して利用できるようにするために、選ばれて表現されたものである。すべてのそのような変形やバリエーションは、公正に合法的に公平に与えられる幅にしたがって解釈された添付の請求項によって定められた本発明のスコープ内である。

Claims (7)

  1. 　経路の集合Pathと、エッジの集合Edgeと、最大帯域Maxと、経路p(∈Path)が要求する帯域p.bandwidthと、エッジe(∈Edge)を含む経路の集合e.paths(⊆Path)とを、所定の制約条件のもと、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件（以下、最適化条件という）を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する帯域割当計画問題の入力として設定する入力設定部と、
    　前記入力を用いて、前記帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する最適化関数生成部と、
    　を含む最適化関数生成装置。
  2. 　請求項１に記載の最適化関数生成装置であって、
    　前記制約条件は、最大帯域Maxまでの各帯域b、エッジe∈Edgeに対して、|{p∈e.paths|bottom(p)≦b<bottom(p)+p.bandwidth}|≦1（ただし、bottom(p)は経路pに割り当てられる帯域の下限を表す）を満たすという条件（以下、第１制約条件という）であり、
    　前記最適化関数は、前記第１制約条件を満たす場合に最小値を取るように設計された関数である
    　ことを特徴とする最適化関数生成装置。
  3. 　請求項２に記載の最適化関数生成装置であって、
    　前記量子状態を表す変数は、ある状態であることを1、それ以外の状態であることを0で表す量子ビットであり、
    　前記最適化関数は、前記第１制約条件を表現した関数と前記最適化条件を表現した関数とに基づいて定義されるQUBOの目的関数であり、
    　前記第１制約条件を表現した関数は、前記第１制約条件が満たされる場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数であり、
    　前記最適化条件を表現した関数は、１つ以上の経路が割り当てられている帯域の合計値が小さいほど値が小さくなるように定義された関数である
    　ことを特徴とする最適化関数生成装置。
  4. 　請求項２に記載の最適化関数生成装置であって、
    　前記量子状態を表す変数は、ある状態であることを1、それ以外の状態であることを-1で表すスピンであり、
    　前記最適化関数は、前記第１制約条件を表現した関数と前記最適化条件を表現した関数とに基づいて定義されるイジングハミルトニアンであり、
    　前記第１制約条件を表現した関数は、前記第１制約条件が満たされる場合に0を値として取り、それ以外の場合に0より大きい値を取る関数であり、
    　前記最適化条件を表現した関数は、１つ以上の経路が割り当てられている帯域の合計値が小さいほど値が小さくなるように定義された関数である
    　ことを特徴とする最適化関数生成装置。
  5. 　請求項３または４に記載の最適化関数生成装置であって、
    　前記量子状態を表す変数は、帯域bが経路pに割り当てられる帯域の下限以上であるという状態を値1で表すように定義される変数である
    　ことを特徴とする最適化関数生成装置。
  6. 　最適化関数生成装置が、経路の集合Pathと、エッジの集合Edgeと、最大帯域Maxと、経路p(∈Path)が要求する帯域p.bandwidthと、エッジe(∈Edge)を含む経路の集合e.paths(⊆Path)とを、所定の制約条件のもと、集合Pathの経路に割り当てられる帯域を全体として最小化するという条件（以下、最適化条件という）を満たすような、経路への帯域割当計画を生成する帯域割当計画問題の入力として設定する入力設定ステップと、
    　前記最適化関数生成装置が、前記入力を用いて、前記帯域割当計画問題を解くための、量子状態を表す変数に関する最適化関数を生成する最適化関数生成ステップと、
    　を含む最適化関数生成方法。
  7. 　請求項１ないし５のいずれか１項に記載の最適化関数生成装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
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