WO2021014482A1

WO2021014482A1 - 蓄電池診断装置および充放電パターン設定方法

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Publication number: WO2021014482A1
Application number: PCT/JP2019/028394
Authority: WO
Inventors: 敏裕和田
Original assignee: 三菱電機株式会社
Priority date: 2019-07-19
Filing date: 2019-07-19
Publication date: 2021-01-28
Also published as: JPWO2021014482A1

Abstract

内部抵抗（ｒ）について設定された第１の分布Ｐに基づき、評価関数（Ｅ）が最小となる充放電パターン（ｕ_０：ｔｆ）を生成し、事後分布（Ｑ）を近似する第２の分布（Ｒ_ｔ）を生成する充放電パターン生成部（１４）、蓄電池（９００）に対する測定結果から算出される、時刻ごとの第３の分布（Ｓ_ｔ）を生成する蓄電池診断部（１６）、および第３の分布の分散（Ｖ_Ｓｔ［ｒ］）が第２の分布の分散（Ｖ_Ｒｔ［ｒ］）より大きな場合は、充放電の大きさ（ｕ）の絶対値を増加させ、小さな場合は、絶対値を減少させる充放電パターン調整部（１７）、を備える。

Description

蓄電池診断装置および充放電パターン設定方法

　本願は、蓄電池診断装置および充放電パターン設定方法に関するものである。

　蓄電池は、使用状況、環境等の影響を受けて性能が劣化するため、交換時期を判断するために、蓄電池の内部抵抗、容量等の健全度を診断することが求められる。その際、診断用の充放電に伴う電力ロスを低減するため、組電池のうち、内部抵抗が最も高い電池をサンプル電池として選定し、サンプル電池のみに充放電試験を行う蓄電池診断装置（例えば、特許文献１参照。）が提案されている。あるいは、本来、緩和時間を長く設けて端子開放電圧を測定すべきところ、鉄道車両の運行パターンの特徴を利用して、短時間の緩和時間で充電率を算出する鉄道車両用特電池制御システム（例えば、特許文献２参照。）が提案されている。

特開２００７－２４６４０号公報（段落００１６～００６９、図１～図７）特開２０１２－７８０９５号公報（段落００２１～００４０、図１～図５）

　しかしながら、健全度を所望の精度で推定するために、どのような測定パターン、あるいは運用パターンを用いればよいかについては、いずれの文献でも検討されておらず、特許文献２に開示された技術では、運用パターンが不規則な態様には適用すらできない。つまり、診断に伴うロスを抑制するとともに、必要な精度で蓄電池の健全性を診断することは困難であった。

　本願は、上記のような課題を解決するための技術を開示するものであり、診断に伴うロスを抑制し、必要な精度で蓄電池の健全性を診断できる蓄電池診断装置、あるいは充放電パターン設定方法を得ることを目的とする。

　本願に開示される蓄電池診断装置は、充放電の大きさが時系列で変化する充放電パターンを用いて、蓄電池に充放電させた際の電圧降下から前記蓄電池の内部抵抗を診断する蓄電池診断装置であって、確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、前記内部抵抗の確率分布における事前分布として設定された第１の分布に基づき、前記内部抵抗の推定精度と前記充放電に伴うコストの和を示す評価関数が最小となるよう前記充放電パターンを生成し、かつ、前記充放電パターンによって得られる前記第１の分布の事後分布を近似する第２の分布を生成する充放電パターン生成部、前記充放電パターンを用いた前記蓄電池に対する充放電での測定結果から推定される、前記内部抵抗の第３の分布を生成する蓄電池診断部、および前記時系列における時刻ごとに、前記第３の分布の分散と前記第２の分布の分散とを比較し、前記第３の分布の分散が前記第２の分布の分散より大きな場合は、前記充放電の大きさの絶対値を増加させ、小さな場合は、前記絶対値を減少させる充放電パターン調整部、を備えたことを特徴とする。

　本願に開示される充放電パターン設定方法は、蓄電池に充放電させた際の電圧降下から前記蓄電池の内部抵抗を診断するための、前記充放電の大きさが時系列で変化する充放電パターンを設定する方法であって、確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、前記内部抵抗の確率分布における事前分布として設定された第１の分布に基づき、前記内部抵抗の推定精度と前記充放電に伴うコストの和を示す評価関数が最小となるよう前記充放電パターンを生成する充放電パターン生成ステップ、前記充放電パターンによって得られる前記第１の分布の事後分布を近似する前記第１の分布と同一の分布族に属する第２の分布を生成する第２の分布生成ステップ、前記充放電パターンを用いた前記蓄電池に対する充放電での測定結果から推定される、前記内部抵抗の第３の分布を生成する第３の分布生成ステップ、および前記時系列における時刻ごとに、前記第３の分布の分散と前記第２の分布の分散とを比較し、前記第３の分布の分散が前記第２の分布の分散より大きな場合は、前記充放電の大きさの絶対値を増加させ、小さな場合は、前記絶対値を減少させる充放電パターン調整ステップ、を含むことを特徴とする。

　本願に開示される蓄電池診断装置あるいは充放電パターン設定方法によれば、診断に伴うロスを抑制し、必要な精度で蓄電池の健全性を診断できる。

実施の形態１にかかる蓄電池診断装置の構成を説明するためのブロック図である。実施の形態１にかかる蓄電池診断装置の動作、あるいは充放電パターン設定方法を示すフローチャートである。実施の形態１にかかる蓄電池診断装置の演算処理を実行する部分の構成例を示すブロック図である。実施の形態２にかかる蓄電池診断装置の充放電パターン調整部の詳細を説明するためのブロック図である。実施の形態２にかかる蓄電池診断装置の充放電パターン生成部が生成する疑似コードを示す図である。

実施の形態１．
　図１～図３は、実施の形態１にかかる蓄電池診断装置の構成と動作、あるいは充放電パターン設定方法について説明するためのものであり、図１は蓄電池診断装置の全体構成を示すブロック図、図２は蓄電池診断装置の充放電パターンを設定する動作を説明するためのフローチャート、図３は蓄電池診断装置の演算処理を実行する部分の構成例を示すブロック図である。

　本実施の形態にかかる蓄電池診断装置の構成、あるいは充放電パターン設定方法の詳細についての説明の前に、蓄電池の診断で実施する充放電パターンの調整に関する本願特有の考え方について、内部抵抗の診断を例にとって説明する。内部抵抗ｒは、蓄電池を流れる電流をｕ、その時の電圧降下の観測値をｙとして、オーム（Ohm）の法則（ｙ＝ｒｕ＋ｗ）によって推定できる。ただし、ｗは電圧の観測ノイズである。

　ここで、ノイズｗが分散σ^２のガウスノイズであるとすると、内部抵抗ｒの推定精度の上界はクラメール・ラオ（Cramer-Rao）の不等式（式（１））によって評価できる。
　　V[r]≧(-∂²/(∂r²)Logｐ(y│r))^-1＝σ²/u²　・・・（１）
　ただし、Ｖ［ｒ］は内部抵抗ｒの分散、ｐ（ｙ│ｒ)は、内部抵抗がrであるときの電圧降下ｙの条件付き分布の確率密度を表す。

　これにより電流ｕの絶対値が大きければ分散Ｖ［ｒ］が小さい、つまり高精度の推定が可能であり、電流ｕの絶対値が小さければ内部抵抗ｒの推定精度は低くならざるを得ないことが示される。さて、電池に電流を流すということは、内部抵抗ｒによるジュール（Joule）損失ｒｕ^２が発生することを意味する。従って、内部抵抗ｒの推定精度を高めるためには、大きな消費電力、すなわちコストを要することがわかる。

　ここで、内部抵抗ｒの推定精度と、推定に要するコストのトレードオフをとることを考える。すなわち、αを所定の定数として、ｒｕ^２とαＶ［ｒ］の和を最小化するような電流ｕを求めたい。ただし、今、内部抵抗ｒは未知であり、分散Ｖ［ｒ］は未知の観測値ｙに依存するため、これらの事前分布に関する期待値をとったもの（式（２））を最小にするような電流ｕを求めればよい。

　ここで、分散は内部抵抗の推定値ハットｒの分散であり、期待値は電圧降下の観測値ｙに関する期待値であることに注意する。

　式（２）のＳ_１（ｕ）を詳細に解析する。まず抵抗の事前分布をＰとすると、ベイズ(Bayes)の定理より、推定値ハットｒの分布（以下では事後分布と呼ぶ）Ｑは式（３）で与えられる。
　　dQ(r│y)=(p(y│r)dP(r))/(∫p(y│r)dP(r))　・・・（３）
　ただし、ｄＰ、ｄＱはそれぞれ事前分布Ｐ、事後分布Ｑの確率密度である。

　Ｓ_１（ｕ）の最適化のためには、事後分布Ｑの分散（すなわちＶ［ハットｒ］のことであるが、明確さのため、以下ではＶ_Ｑ［ｒ］のように書く）を、観測値ｙおよび電流ｕの関数として表現する必要がある。しかし、分母の積分評価は一般に難しく、また事前分布Ｐと事後分布Ｑは異なる分布族に属するため、事後分布Ｑを新たな事前分布として推定を繰り返すことができないという課題がある。

　そこで、本願の各実施の形態にかかる蓄電池診断装置では、事前分布Ｐと同一の分布族に属する分布Ｒを用いて、分布間距離を示す、式（４）で定義されるカルバック・ライブラー（Kullback-Leibler）情報量を最小化することで、事後分布Ｑを近似する。

　ただし、ｌｎは、自然対数を表す。例えば、事前分布Ｐとして対数平均μ、対数分散ω^２の対数正規分布をとると、式（５）のようになり、分布Ｒの対数平均をν、対数分散をη^２とすると、式（６）を最小にするようなν、ηを求める。

　ただし、Ｅ_Ｒとは分布Ｒに関する期待値を意味する。ここで期待値をとる関数はｌｎｒとｒの２次式であるから、式群（７）に示す対数正規分布の性質を用いれば、Ｄ_ＫＬ（Ｒ||Ｑ）は、解析的に式（８）と表すことができる。

　したがって、Ｄ_ＫＬ（Ｒ||Ｑ）を最小にするν、ηは、数値的に容易に求めることができる。さらに、分布Ｒの観測値ｙ、電流ｕに関する偏微分を求めることができる。

　今、時刻tにおける推定の事前分布をＲ_ｔ（ただし、Ｒ_０＝Ｐとする）とおき、事前分布Ｒ_ｔのもとでの事後分布をＱ_ｔとおくと、時刻ｔ＋１における事前分布Ｒ_ｔ＋１は、Ｄ_ＫＬ（Ｒ||Ｑ）を最小にする分布Ｒである。ここで、事前分布Ｒ_ｔ＋１は、事前分布Ｒ_ｔ、電流ｕ_ｔ、および観測値ｙ_ｔの関数であるから、これを、式（９）と表す。
　　R_t+1＝F(R_t,u_t,y_t)　・・・（９）
　これは、確率分布を状態変数とする離散時間確率システムを示す。

　本願の各実施の形態にかかる蓄電池診断装置は、この離散時間確率システムにおいて、評価関数Ｅ（式（１０））を最小にするような充放電パターンｕ_0：ｔｆを生成する。

　ただし、ｕ_0：ｔｆとは、ｕ_ｔをｔ＝０からｔ_ｆ－１までまとめたものである。関数Ｓ、Ｌは、例えば内部抵抗ｒの診断においては、式群（１１）のように定義される。

　さらに、実際の診断実行時において、時刻（または、時系列上の時点）ｔにおける診断結果が電流パターン生成時の分布とずれたときに、時刻ｔ＋１における電流ｕを動的に決定するためのフィードバック係数βを、同時に生成する。

　これにより、本願の各実施の形態にかかる蓄電池診断装置１は、診断に要するコストを考慮して必要十分な精度で診断を行うことができる。さらに、実施の形態１において例示するように、診断実行時において、ある時刻ｔでの診断結果に応じて次の時刻ｔ＋１における電流を動的に決定することが可能となる効果を奏する。

　実施の形態１にかかる蓄電池診断装置１は、図１に示すように、診断のための蓄電池９００への充放電を制御する充放電制御部１８と、充放電中の計測値に基づいて蓄電池９００を診断する蓄電池診断部１６と、診断結果表示用の診断結果表示部１９を備えている。さらに、充放電パターンｕ_0：ｔｆを生成する充放電パターン生成部１４と、生成された充放電パターンｕ_0：ｔｆを調整する充放電パターン調整部１７、および演算に必要なデータを格納する事前分布格納部１３と推定分布格納部１５を備えている。以下、詳細に説明する。

　事前分布格納部１３は、蓄電池９００の健全度に関する内部抵抗ｒの事前分布である第１の分布Ｐを格納する。事前分布格納部１３は、後述する計算機ないしマイクロコントローラのメモリとして実現されてもよい。あるいは変更の必要がなければ電子的な回路として実現されてもよい。また、推定分布格納部１５は、推定開始時点において、上述した第１の分布Ｐを格納し、後述する計算機ないしマイクロコントローラのメモリとして実現されてもよい。

＜充放電パターン生成部＞
　充放電パターン生成部１４は、事前分布格納部１３に格納された内部抵抗ｒの事前分布である第１の分布Ｐから、評価関数Ｅが最小となる充放電パターンｕ_0：ｔｆを生成する。そして、生成した充放電パターンｕ_0：ｔｆによって得られる蓄電池９００の健全度に関する事後分布Ｑを近似する第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆを生成する。

　さらに、後述する蓄電池診断部１６から出力された診断結果Ｓ_ｔが、第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆ中の当該時刻ｔの分布Ｒ_ｔとずれた場合に、次の時刻の充放電パターンｕ_ｔ＋１をどのように修正すべきかを表すフィードバック係数βを生成する。そして、生成した充放電パターンｕ_0：ｔｆ、第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆのうちの時刻ｔにおける分布Ｒ_ｔ、およびフィードバック係数βを充放電パターン調整部１７に出力する。

＜蓄電池診断部＞
　蓄電池診断部１６は、推定分布格納部１５に格納された分布と、計測された蓄電池９００の電流または電圧、あるいはその双方から、蓄電池９００の診断結果から得られた健全度に関する分布である第３の分布Ｓ_ｔを推定する。推定した第３の分布Ｓ_ｔは、充放電パターン調整部１７に出力されるとともに、推定分布格納部１５に出力され、推定分布格納部１５内の格納内容を更新する。

＜充放電パターン調整部＞
　充放電パターン調整部１７は、健全度に関する第３の分布Ｓ_ｔと、充放電パターンｕ_0：ｔｆと、時刻ｔにおける分布Ｒ_ｔと、フィードバック係数βを受信し、次の時刻ｔ＋１における充放電パターンｕ_0：ｔｆの修正値ν_ｔを計算する。充放電制御部１８は、充放電パターン調整部１７が計算した充放電パターンｕ_0：ｔｆにおける次の時刻ｔ＋１の充放電の大きさｕ_ｔ＋１の修正値ν_ｔにもとづき、蓄電池９００の充放電を行う。もちろん、修正値ν_ｔが生成されない場合は、充放電パターン調整部１７を介して受信した充放電パターンｕ_0：ｔｆで設定されたｕ_ｔ＋１にもとづき、蓄電池９００の充放電を行う。

　ここで、充放電パターンは、上述した蓄電池９００の充放電電流ｕを時系列（ｔ＝０，１，・・・，ｔｆ－１）上で変化させたものであってよい。あるいは、蓄電池９００の充放電電力の時系列上の変化であってもよい。また、定電圧操作をする場合は、電圧値の時系列上の変化であってもよい。さらに、電流ｕまたは電力と、蓄電池９００の環境温度の組の時系列上の変化であってよい。

　健全度とは、少なくとも蓄電池９００の内部抵抗ｒを対象とするが、蓄電池９００の等価回路に含まれる容量（capacitance）、蓄電池９００の蓄電容量（charge capacity）のいずれか、またはその組み合わせが含まれていてもよい。また、蓄電池９００の健全度に関する分布（第３の分布Ｓ_ｔ）は、例えば半無限区間［０，∞）を台とする分布であってよい。さらに具体的には指数分布、対数正規分布、対数ロジスティック分布、あるいはそれらの混合分布、それらに従う確率変数の和の分布であってよい。

　上記構成を前提に、図２のフローチャートを参考にして、動作について説明する。
　はじめに、事前分布格納部１３は、第１の分布Ｐの母数を記憶する。母数とは、例えば第１の分布Ｐが対数正規分布の場合、対数平均と、対数分散の組、あるいはそれに可逆な変換をかけた値であってよい。

　充放電パターン生成部１４は、評価関数ＥのＪ（ｕ_0：ｔｆ)を最小にする充放電パターンｕ_0：ｔｆを生成する（ステップＳ１００）。評価関数Ｅにおいて、Ｊ（ｕ_0：ｔｆ)の定義は期待値を含んでいるが、この最小化は、例えば、式（１２）に示す分布に独立に従うｙ_０：ｔｆを、疑似乱数を用いて生成し、確率的最急降下法を用いることで実行できる。
　　O(y_t)＝∫p(y_t│r)dP(r)　・・・（１２）

　さらに、式（９）より、充放電パターンｕ_0：ｔｆ、およびＲ_０（＝Ｐ）から、健全度に関する事後分布Ｑを近似する第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆを計算する（ステップＳ１１０）。一方、実際の診断時に得られた第３の分布Ｓ_ｔが、第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆに含まれる当該時刻ｔの第２の分布Ｒ_ｔとずれた場合に、どのように充放電パターンｕ_ｔ＋１を修正すべきかを表すフィードバック係数βについても計算する。フィードバック係数βは、本実施の形態においては、例えば所定の定数であってよい。

　充放電パターンｕ_０：ｔｆ、第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆ、およびフィードバック係数βは充放電パターン調整部１７に出力される。ここで、図示しない充放電開始指令を受けると、充放電制御部１８は、充放電パターン調整部１７が保持している充放電パターンｕ_0：ｔｆにしたがい、蓄電池９００に対して充放電試験を実施する（ステップＳ１２０）。

　蓄電池診断部１６は、計測前の第３の分布Ｓ_ｔを事前分布として測定結果が得られた時の事後分布を計算し、事後分布との分布間距離（Ｄ_ＫＬ（Ｓ_ｔ＋１||Ｗ_ｔ））が最小となる、事前分布と同一の分布族に属する分布を、新たな第３の分布として更新する。つまり、充放電パターン生成部１４と同様に、事後分布Ｑを近似することで推定を繰りかえす。具体的には、例えば計測された電圧降下ｙ_ｔに関し、分布間距離Ｄ_ＫＬ（Ｓ_ｔ＋１||Ｗ_ｔ）を最小にするような、第３の分布Ｓ_ｔ＋１を求める（ステップＳ１３０）。ただし、dW_t(r│y)は、式（１３）のとおりである。
　　dW_t(r│y)＝(p(y│r)dS_t(r))/(∫p(y│r)dS_t(r))　・・・（１３）

　推定分布格納部１５は、第３の分布Ｓ_ｔの母数を記憶する。母数とは、例えば、第３の分布Ｓ_ｔが対数正規分布の場合、対数平均と、対数分散の組、あるいはそれに可逆な変換をかけた値であってよい。

　充放電パターン調整部１７は、例えば、抵抗推定の場合、Ｖ_Ｓｔ［ｒ］／Ｖ_Ｒｔ［ｒ］を計算し、フィードバック係数βを用いて、充放電パターンｕ_0：ｔｆの当該時刻ｔの次の時刻ｔ＋１における電流ｕ_ｔ＋１の修正値ν_ｔを計算する。このとき、推定分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］がＶ_Ｒｔ［ｒ］より小さければ（ステップＳ１４０で「＜１」）、修正値ν_ｔの絶対値を減少させる（ステップＳ１６０）。一方、推定分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］がＶ_Ｒｔ［ｒ］より大きければ（ステップＳ１４０で「＞１」）修正値ν_ｔの絶対値を増大させる（ステップＳ１５０）。

　その際、例えば、式（１４）のように修正値ν_ｔを定義し、フィードバック係数βとして、正の実数を設定する。すると、上述したステップＳ１４０～Ｓ１６０のように、場合分け工程を設けなくても、一つの工程で、推定分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］／Ｖ_Ｒｔ［ｒ］の大小に応じて、自動的に修正値ν_ｔの増大と減少を切り替えることができる。
　　ν_t＝((V_St[r]／V_Rt[r]))^βｕ_ｔ＋１　・・・（１４）

　修正値ν_ｔが計算されると、時刻ｔ＋１における充放電のため、ｕ_ｔ＋１として、充放電制御部１８に出力される。さらに、時刻ｔ＋１における充放電での診断結果に基づく推定分散Ｖ_Ｓｔ＋１［ｒ］とＶ_Ｒｔ＋１［ｒ］とを比較するため、修正値ν_ｔは、充放電パターン生成部１４にも出力される。充放電パターン生成部１４では、修正値ν_ｔにより、時刻ｔ＋１における第２の分布Ｒ_ｔ＋１が更新され、更新された第２の分布Ｒ_ｔ＋１が充放電パターン調整部１７に返される（ステップＳ１７０）。これらの動作が、ひとつの充放電パターンｕ_0：ｔｆによる充放電が完了するまで（ｔ＝ｔ_ｆ－１になるまで）繰り返される（ステップＳ１８０）。

　なお、充放電パターン生成部１４、蓄電池診断部１６、充放電パターン調整部１７は、例えば計算機またはマイクロコントローラのプログラムとして実現されてよい。あるいは特化された集積回路として実現されてもよい。その場合、例えば、診断結果表示部１９と充放電制御部１８を除いた演算処理を行う部分（事前分布格納部１３～充放電パターン調整部１７）は、図３に示すように、プロセッサ１０１と記憶装置１０２を備えた一つのハードウェア１０によって構成することが考えられる。

　事前分布格納部１３と推定分布格納部１５を記憶装置１０２とすると、図示していないが、ランダムアクセスメモリ等の揮発性記憶装置と、フラッシュメモリ等の不揮発性の補助記憶装置とを具備する。また、フラッシュメモリの代わりにハードディスクの補助記憶装置を具備してもよい。プロセッサ１０１は、記憶装置１０２から入力されたプログラムを実行する。この場合、補助記憶装置から揮発性記憶装置を介してプロセッサ１０１にプログラムが入力される。また、プロセッサ１０１は、演算結果等のデータを記憶装置１０２の揮発性記憶装置に出力してもよいし、揮発性記憶装置を介して補助記憶装置にデータを保存してもよい。

実施の形態２．
　本実施の形態２においては、分布Ｒがリーマン多様体とみなせる場合の充放電パターン調整部の構成、および充放電パターン設定方法について説明する。図４と図５は、本実施の形態２にかかる蓄電池診断装置および充放電パターン設定方法について説明するためのもので、図４は充放電パターン調整部の詳細を説明するためのブロック図、図５は充放電パターン生成部が生成する疑似コードを示す図である。なお、本実施の形態２にかかる蓄電池診断装置の充放電パターン調整部以外の構成、あるいは充放電パターンの調整以外の動作については、実施の形態１の説明に用いた図１と同様であるため、構成の詳細な説明は繰り返さない。

　実施の形態２にかかる蓄電池診断装置１の充放電パターン調整部１７は、図４に示すように、対数変換部１７１と乗算部１７２と指数変換部１７３に細分化される。ただし、その説明の前に、本実施の形態２にかかる蓄電池診断装置１あるいは充放電パターン設定方法にて扱う、分布Ｒについて説明する。

　分布Ｒは、その母数を局所座標とすることで、多様体とみなすことができる。さらに、指数分布、対数正規分布、あるいは対数ロジスティック分布のように局所座標がベクトル空間の部分集合であるような分布の場合、可微分多様体となる。さらに、その接空間の内積を例えば、フィッシャー（Fisher）計量とすることで、分布Ｒをリーマン多様体（Riemannian manifold）とみなすことができる。

　実施の形態１で説明した評価関数Ｅにおいて、Ｊ（ｕ_0：ｔｆ)がＪ（ｕ_0：ｔｆ)＝Ｊ_０（Ｒ_０,ｕ_0：ｔｆ)であれば、部分和をとることで、式群（１５）のように再帰的に展開できる。
　　J_t(R_t,u_t:tf):＝E[L(R_t,u_t)+J_t+1(R_t+1,u_t+1:tf)│R_t]，
　 J_tf(R_tf):＝S(R_tf)　　　　　　　　　　　　・・・（１５）
　ここで、動的計画法を適用すると、Ｊ（ｕ_0：ｔｆ)の最小化は、式群（１６）のように展開できる。

　ここで、Ｇ（Ｒ,ｕ,μ,ｗ）:＝Ｆ（Ｒ,ｕ,ｅ^μｕ＋ｗ）とおき、写像Ｇと写像Ｖ_ｔ＋１の合成写像Ｈ_ｔを点（Ｒバー,ｕバー,μバー,０）のまわりで展開すると、式（１７）を得る。

　ここで、Ｅｘｐ_ＲバーＸ、Ｅｘｐ_ｕバーＵは指数写像であり、∇_ＸＨ_ｔ等はＨ_ｔの勾配、∇_Ｘ，ＸＨ_ｔ等はヘッシアン（Hessian）である。ここから、式（１８）のようになる。

　ただし、ν（Ｒ）とは、分布Ｒの対数分散を表す。
　さらに、式（１９）とおくと、点（Ｒバー，ｕバー）の周りでの、式（２０）に示す２次近似を得る。

　ただし、Γ_ｉｊ ^ｋを分布のなす多様体の接続係数として、式群（２１）のようになる。

　このように、Ｑ_ｔの勾配およびヘッシアンは、Ｖ_ｔ＋１の勾配およびヘッシアンを用いて計算できる。また、Ｑ_ｔ（Ｒ，ｕ）の最小を与えるｕは、近似的に式（２２）で与えられる。

　ただし、Ｌｏｇ_ＲバーＲは対数写像である。

　さらに、Ｖ_ｔはＱ_ｔの最小値であることから、Ｖ_ｔの勾配とヘッシアンは、式群（２３）のようになる。
　 ∇_i´V_t＝∇_i´Q_t-∇_kQ_t・∇^klQ_t・∇_i´lQ_t,
　 ∇_i´j´V_t＝∇_i´j´Q_t-∇_ki´Q_t・∇^klQ_t・∇_i´lQ_t　・・・（２３）
　これは、Ｑ_ｔの勾配とヘッシアンから求められる。ここで、Ｖ_ｔｆ＝Ｓに注意すると、Ｑ_ｔの勾配とヘッシアンを時刻ｔ_ｆから再帰的に求められることがわかる。

　従って、任意の充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（ｋ）があったとき、その充放電パターンによる分布Ｒ_０：ｔｆ ^（ｋ）を計算し、充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（ｋ）と得られたＲ_０：ｔｆ ^（ｋ）からＱ_ｔの勾配とヘッシアンを計算する。そして、それを用いて新たな充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^{（ｋ＋１）}を計算することで、評価関数ＥにおけるＪ（ｕ_0：ｔｆ)を最小化する充放電パターンを求めることができる。

　上述した事項を前提とし、充放電パターン生成部１４が生成する擬似コードについて図５を用いて説明する。１行目において、任意の初期充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（０）を用意する。２行目から５行目にかけて、初期充放電パターンに対応する第２の分布の時系列を計算する。ただし、Ｅ_Ｎはノイズｗに関する期待値を表す。８行目から１１行目では、Ｑ_ｔの勾配とヘッシアンを再帰的に計算する。１２行目から１８行目にかけて、Ｑ_ｔの勾配とヘッシアンをもとに充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（ｋ）を更新する。以上をＱ_ｔのＵに関する勾配が十分に小さくなるまで繰り返す。

　アルゴリズムが終了したとき、充放電パターン生成部１４は充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（ｋ）、そのときの第２の分布の時系列Ｒ_０：ｔｆ ^（ｋ）、および式（２４）で表されるＫ_ｔによるフィードバック係数の時系列Ｋ_０：ｔｆを出力する。
　　K_t＝-(∇_U,UQ_t ^(k))^-1∇_U,XQ_t ^(k)　・・・（２４）

　これらを踏まえ、図４に示す充放電パターン調整部１７について説明する。対数変換部１７１は、蓄電池診断部１６が実際の診断によって算出した第３の分布Ｓ_ｔと、充放電パターン生成部１４が生成した第２の分布Ｒ_ｔから、第１の接ベクトルＸ＝Ｌｏｇ_ＲｔＳ_ｔを計算する。乗算部１７２は充放電パターン生成部１４が生成したフィードバック係数Ｋ_ｔと、対数変換部１７１が計算した第１の接ベクトルの値Ｘから、第２の接ベクトルＵ＝Ｋ_ｔ・Ｘを計算する。指数変換部１７３は、乗算部１７２が計算した第２の接ベクトルＵと、充放電パターン生成部１４が生成した充放電パターンｕ_ｔから、指数写像ν_ｔ＝Ｅｘｐ_ｕｔＵを計算する。

　充放電制御部１８は、指数変換部１７３から出力された指数写像ν_ｔを、次の充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^{（ｋ＋１）}の修正値として、蓄電池９００を充放電する。このように構成することで、蓄電池９００の健全度の推定精度と、推定に要するコストと重み付け和を最小にするように蓄電池９００を診断することができる。さらに実際の診断時において、蓄電池９００の健全度に関する分布が、計画時と異なる場合においても、重み付け和を最小にするように充放電パターンを修正することができる。

実施の形態３．
　本実施の形態３においては、上記実施の形態２と同じ構成である。しかし、充放電パターンがユークリッド空間の元である場合を想定し、実施の形態２での説明よりも指数写像を容易に計算する例について説明する。

　上述したように、充放電パターンｕ_ｔがユークリッド空間の元であるとき、指数写像は、Ｅｘｐ_ｕＵ＝ｕ＋Ｕにより、容易に計算できる。一方、分布Ｒはユークリッド空間ではないため、その対数写像は容易に計算できるとは限らない。実際、対数正規分布においては、指数写像の解析的な式は存在するが、その逆関数である対数写像は反復演算によって求めることになる。

　そこで、実施の形態３にかかる蓄電池診断装置１では、Ｒのなすリーマン多様体の接続を、通常のレヴィ・チヴィタ（Levi-Civita）接続に代えて、双対平坦接続（∇,∇_＊）を用いる。このとき、関数ｆ（Ｒ）のヘッシアンは、接続∇_＊の接続係数Δ_ｉｊ ^ｋを用いて式（２５）となり、実施の形態２で示した式群（２１）のΓ_ｉｊ ^ｋもまた、Δ_ｉｊ ^ｋによって置き換えられる。
　　∇_ijf＝∂_ijf-Δ_ij ^k∂_kf　・・・（２５）

　このとき、対数写像が式（２６）のように容易に計算できる。
　　Log_RS＝(ξ-ν,ζ²-η²)　・・・（２６）
　ここで、ξとζ^２は、それぞれＳの対数平均と対数分散を表す。本実施の形態３のように、充放電パターンｕ_ｔがユークリッド空間の元であることに着目することで、計算量の削減が達成される。

　なお、本願は、様々な例示的な実施の形態および実施例が記載されているが、１つ、または複数の実施の形態に記載された様々な特徴、態様、および機能は特定の実施の形態の適用に限られるのではなく、単独で、または様々な組み合わせで実施の形態に適用可能である。従って、例示されていない無数の変形例が、本願明細書に開示される技術の範囲内において想定される。例えば、少なくとも１つの構成要素を変形する場合、追加する場合または省略する場合、さらには、少なくとも１つの構成要素を抽出し、他の実施の形態の構成要素と組み合わせる場合が含まれるものとする。

　例えば、充放電パターンｕ_０：ｔｆと第２の分布Ｒ_ｔの双方を充放電パターン生成部１４で生成する例を示したが、これに限ることはなく、別々の部位で生成してもよい。また、フィードバック係数βについては、充放電パターン生成部１４で設定する例を挙げたが、これに限ることはなく、例えば、充放電パターン調整部１７で設定してもよい。さらには、修正値ν_ｔ（充放電パターンｕ_ｔ＋１）に対する第２の分布Ｒ_ｔ＋１の更新は、充放電パターン調整部１７で行うようにしてもよい。

　また、上述した蓄電池診断装置１あるいは充放電パターン設定方法において、ある時刻ｔにおける第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］と第２の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］との比較結果による調整対象として、以下のような対象が考えられる。例えば、実施の形態１で示すように、充放電パターンｕ_０：ｔｆにおける次の時刻ｔ＋１の充放電の大きさｕ_ｔ＋１を対象とすれば、動的な調整が可能となる。あるいは、実施の形態２で示すように、今回の充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^（ｋ）に対して、新たな充放電パターンｕ_０：ｔｆ ^{（ｋ＋１）}における同じ時刻ｔの充放電の大きさｕ_ｔ ^{（ｋ＋１）}を対象とすれば、次回の充放電において、系統的に好適な充放電が行える。しかしこれに限ることはなく、その時刻ｔに関連する充放電の大きさｕを調整対象とすればよい。

　以上のように、各実施の形態にかかる蓄電池診断装置１によれば、充放電の大きさｕが時系列で変化する充放電パターンｕ_０：ｔｆを用いて、蓄電池９００に充放電させた際の電圧降下ｙから蓄電池９００の内部抵抗ｒを診断する蓄電池診断装置１であって、確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、内部抵抗ｒの確率分布における事前分布として設定された第１の分布Ｐに基づき、内部抵抗ｒの推定精度と充放電に伴うコストの和を示す評価関数Ｅが最小となるよう充放電パターンｕ_０：ｔｆを生成し、かつ、充放電パターンｕ_０：ｔｆによって得られる第１の分布Ｐの事後分布Ｑを近似する第２の分布Ｒ_ｔを生成する充放電パターン生成部１４、充放電パターンｕ_０：ｔｆを用いた蓄電池９００に対する充放電での測定結果から推定される、内部抵抗ｒの第３の分布Ｓ_ｔを生成する蓄電池診断部１６、および時系列における時刻ｔごとに、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］と第２の分布の分散Ｖ_Ｒｔ［ｒ］とを比較し、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］が第２の分布の分散Ｖ_Ｒｔ［ｒ］より大きな場合は、充放電の大きさｕの絶対値を増加させ、小さな場合は、絶対値を減少させる充放電パターン調整部１７、を備えるように構成したので、診断に伴うロスを抑制し、必要な精度で蓄電池９００の健全性を診断することができる。

　とくに、充放電パターン調整部１７は、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］を第２の分布の分散Ｖ_Ｒｔ［ｒ］で除した商を底とする正の実数（フィードバック係数β）のべき乗（（(V_St[r]／V_Rt[r]))^β）を、充放電パターンｕ_０：ｔｆにおける次の時刻ｔ＋１の充放電の大きさｕ_ｔ＋１に乗じる（式（１４））ようにすれば、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］と第２の分布の分散Ｖ_Ｒｔ［ｒ］の比に応じて自動的に充放電の大きさｕ_ｔ＋１の絶対値を増減させることができる。

　また、第１の分布Ｐ、第２の分布Ｒ_ｔ、および第３の分布Ｓ_ｔは、対数正規分布、または対数ロジスティック分布であれば、可微分多様体となり、フィッシャー軽量で分布Ｒをリーマン多様体とみなすことができるので、Ｑ_ｔの勾配とヘッシアンを時刻ｔ_ｆから再帰的に求めることができる。

　蓄電池診断部１６は、測定結果が得られる前に推定または算出された第３の分布Ｓ_ｔを事前分布として測定結果が得られた時の事後分布を計算し、事後分布との分布間距離（Ｄ_ＫＬ（Ｓ_ｔ＋１||Ｗ_ｔ））が最小となる、事前分布Ｒと同一の分布族に属する分布を、新たな第３の分布として更新するように構成すれば、分布Ｓｔが対数正規分布の場合、事前分布として、対数平均と対数分散の組、あるいはそれに可逆な変換をかけた値を母数として、記憶しておけばよい。

　充放電パターン調整部１７には、当該時刻ｔにおける第２の分布Ｒ_ｔと、蓄電池診断部１６によって更新された第３の分布Ｓ_ｔから、対数写像の値である第１の接ベクトルＸ＝Ｌｏｇ_ＲｔＳ_ｔを計算する対数変換部１７１、対数変換部１７１によって計算された第１の接ベクトルＸに係数Ｋ_ｔを乗じ、接空間における修正値である第２の接ベクトルＵを計算する乗算部１７２、および乗算部１７２によって計算された第２の接ベクトルＵと、充放電パターン生成部１４によって生成された充放電パターンｕ_０：ｔｆの指数写像の値Ｅｘｐ_ｕｔＵを充放電パターンの修正値ν_ｔとして計算する指数変換部１７３、が設けられているように構成すれば、測定結果で得られた第３の分布が計画時と異なっている場合においても、容易に評価関数Ｅを最小化し、診断に伴うロスを抑制し、必要な精度で蓄電池９００の健全性を診断することができる。

　分布間距離として、カルバック・ライブラー情報量を用いるようにすれば、事前分布Ｐと事後分布Ｑが異なる分布族に属しており、推定の繰り返しが困難であっても、事前分布Ｐと同一の分布族に属するＲを用いて、事後分布Ｑを近似することで、推定の繰り返しが可能となる。

　また、各実施の形態にかかる充放電パターン設定方法によれば、蓄電池９００に充放電させた際の電圧降下ｙから蓄電池９００の内部抵抗ｒを診断するための、充放電の大きさｕが時系列で変化する充放電パターンｕ_０：ｔｆを設定する方法であって、確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、内部抵抗ｒの確率分布における事前分布として設定された第１の分布Ｐに基づき、内部抵抗ｒの推定精度と充放電に伴うコストの和を示す評価関数Ｅが最小となるよう充放電パターンｕ_０：ｔｆを生成する充放電パターン生成ステップ（ステップＳ１００）、充放電パターンｕ_０：ｔｆによって得られる第１の分布Ｐの事後分布Ｑを近似する第１の分布Ｐと同一の分布族に属する第２の分布Ｒ_ｔを生成する第２の分布生成ステップ（ステップＳ１１０）、充放電パターンｕ_０：ｔｆを用いた蓄電池９００に対する充放電での測定結果から推定される、内部抵抗ｒの第３の分布Ｓ_ｔを生成する第３の分布生成ステップ（ステップＳ１２０、ステップＳ１３０）、および時系列における時刻ｔごとに、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］と第２の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］とを比較し、第３の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］が第２の分布の分散Ｖ_Ｓｔ［ｒ］より大きな場合は、充放電の大きさｕの絶対値を増加させ、小さな場合は、絶対値を減少させる充放電パターン調整ステップ（ステップＳ１４０～Ｓ１６０）、を含むように構成したので、診断に伴うロスを抑制し、必要な精度で蓄電池９００の健全性を診断することができる。

　１：蓄電池診断装置、　１３：事前分布格納部、　１４：充放電パターン生成部、　１５：推定分布格納部、　１６：蓄電池診断部、　１７：充放電パターン調整部、　１７１：対数変換部、　１７２：乗算部、　１７３：指数変換部、　９００：蓄電池、　Ｄ_ＫＬ（Ｒ||Ｑ）：分布間距離、　Ｄ_ＫＬ（Ｓ_ｔ＋１||Ｗ_ｔ）：分布間距離、　Ｅ：評価関数、　Ｐ：事前分布（第１の分布）、　ｒ：内部抵抗、　Ｒ_ｔ：第２の分布、　Ｓ_ｔ：診断結果（第３の分布）、　ｕ：充放電の大きさ、　ｕ_０：ｔｆ：充放電パターン、　ｙ：電圧降下。

Claims

　充放電の大きさが時系列で変化する充放電パターンを用いて、蓄電池に充放電させた際の電圧降下から前記蓄電池の内部抵抗を診断する蓄電池診断装置であって、
　確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、前記内部抵抗の確率分布における事前分布として設定された第１の分布に基づき、前記内部抵抗の推定精度と前記充放電に伴うコストの和を示す評価関数が最小となるよう前記充放電パターンを生成し、かつ、前記充放電パターンによって得られる前記第１の分布の事後分布を近似する第２の分布を生成する充放電パターン生成部、
　前記充放電パターンを用いた前記蓄電池に対する充放電での測定結果から推定される、前記内部抵抗の第３の分布を生成する蓄電池診断部、および
　前記時系列における時刻ごとに、前記第３の分布の分散と前記第２の分布の分散とを比較し、前記第３の分布の分散が前記第２の分布の分散より大きな場合は、前記充放電の大きさの絶対値を増加させ、小さな場合は、前記絶対値を減少させる充放電パターン調整部、
　を備えたことを特徴とする蓄電池診断装置。
　前記充放電パターン調整部は、前記第３の分布の分散を前記第２の分布の分散で除した商を底とする正の実数のべき乗を、前記充放電の大きさに乗じることを特徴とする請求項１に記載の蓄電池診断装置。
　前記第１の分布、前記第２の分布、および前記第３の分布は、対数正規分布、または対数ロジスティック分布であることを特徴とする請求項１または２に記載の蓄電池診断装置。
　前記蓄電池診断部は、前記測定結果が得られる前に推定または算出された前記第３の分布を事前分布として前記測定結果が得られた時の事後分布を計算し、前記事後分布との分布間距離が最小となる、前記事前分布と同一の分布族に属する分布を、新たな第３の分布として更新することを特徴とする請求項１から３のいずれか１項に記載の蓄電池診断装置。
　前記充放電パターン調整部には、
　当該時刻における前記第２の分布と、前記蓄電池診断部によって更新された前記第３の分布から、対数写像の値である第１の接ベクトルを計算する対数変換部、
　前記対数変換部によって計算された第１の接ベクトルに係数を乗じ、接空間における修正値である第２の接ベクトルを計算する乗算部、および
　前記乗算部によって計算された第２の接ベクトルと、前記充放電パターン生成部によって生成された充放電パターンの指数写像の値を前記充放電パターンの修正値として計算する指数変換部、
　が設けられていることを特徴とする請求項４に記載の蓄電池診断装置。
　前記分布間距離として、カルバック・ライブラー情報量を用いることを特徴とする請求項４に記載の蓄電池診断装置。
　蓄電池に充放電させた際の電圧降下から前記蓄電池の内部抵抗を診断するための、前記充放電の大きさが時系列で変化する充放電パターンを設定する方法であって、
　確率分布を状態変数とする離散時間確率システムにおいて、前記内部抵抗の確率分布における事前分布として設定された第１の分布に基づき、前記内部抵抗の推定精度と前記充放電に伴うコストの和を示す評価関数が最小となるよう前記充放電パターンを生成する充放電パターン生成ステップ、
　前記充放電パターンによって得られる前記第１の分布の事後分布を近似する前記第１の分布と同一の分布族に属する第２の分布を生成する第２の分布生成ステップ、
　前記充放電パターンを用いた前記蓄電池に対する充放電での測定結果から推定される、前記内部抵抗の第３の分布を生成する第３の分布生成ステップ、および
　前記時系列における時刻ごとに、前記第３の分布の分散と前記第２の分布の分散とを比較し、前記第３の分布の分散が前記第２の分布の分散より大きな場合は、前記充放電の大きさの絶対値を増加させ、小さな場合は、前記絶対値を減少させる充放電パターン調整ステップ、
　を含むことを特徴とする充放電パターン設定方法。