WO2010072963A1 - Decomposition polyphase d ' un banc de filtres pour ofdm surechantillonne - Google Patents

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Pierre Siohan
Didier Pinchon
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    • H04L27/2644—Modulators with oversampling

Definitions

  • the field of the invention is that of the transmission of digital signals based on multicarrier modulations.
  • the invention relates to the modulation and demodulation of Oversampled Orthogonal Frequency Division Multiplexing (Quadrature Amplitude Modulation) signals.
  • the invention applies to wireless or wired communications.
  • oversampled OFDM is still called FMT (Filtered MultiTone).
  • FMT Frtered MultiTone
  • the invention finds particular applications in DVB-type broadcasting systems or in VDSL type transmissions (in English "Very-high-bit-rate Digital Subscriber Line", in French “digital subscriber line very high speed ").
  • Multi-carrier transmission techniques for example of the OFDM type, are used for wireless (DVB-T, WiFi, WiMax) or wired (xDSL, PLC) communications. They make it possible in particular to improve the spectral efficiency in so-called frequency selective transmission channels. Indeed, with these techniques, the spectrum is divided into sub-channels and the signal is transmitted on several subcarriers. These techniques can in particular be combined with multiple access techniques, which increase the number of users who can access a resource at any time.
  • the OFDM signal is written in baseband in the following form: with: or :
  • M is the number of carriers on which we want to transmit complex symbols of data c mn , with and n ⁇ Z;
  • O is an integrable square function, also called a prototype function
  • Appendix A which is an integral part of the description, recalls the main characteristics of OFDM modulations.
  • Over-sampled OFDM compared to conventional FOFDM, presents the possibility of introducing an optimized waveform with appropriate criteria for a given transmission channel.
  • This specific waveform is produced by an exponential modulation of a filter, called a prototype filter.
  • Appendix B which is also an integral part of the description, recalls the main features of oversampled TOFDM.
  • the discrete signal of oversampled OFDM making it possible to transmit M data symbols on JV samples, with N greater than M, can be expressed in the form: with: or :
  • - D is a parameter related to the delay of treatment introduced by the system of transmission; - ⁇ mn is a phase term.
  • Equations (4) and (5) can be rewritten by revealing a bank of synthesis filters with M sub-bands having an expansion factor equal to N consisting of m filters F m (z) of impulse responses f m [ k].
  • Such a system also called a transmultiplexer, is illustrated in FIG. 1, and in particular described in the European patent EP 1 354 453 (reference [3] in Appendix G) in the name of the same applicant.
  • Appendix C which is an integral part of the description, recalls its main features. It should be remembered that to realize in the form of a transmultiplexer a so-called oversampled OFDM system or FMT, a synthesis bank is placed on the transmission (modulation side) and an analysis bench on the reception side (demodulation side), including a necessary delay. to the realization of a causal system. In a dual manner, to produce a so-called sub-band coding system, an input signal is processed by a modulation-side analysis bank and the signal x (n) is reconstructed on reception (demodulation side) by a bank. of synthesis.
  • the above-mentioned document [4] proposes a decomposition theorem that splits the initial transmission system of the perfect reconstruction equations into small equation independent subsystems, which can be solved by means of appropriate angular parameterizations.
  • the technique presented in this document [4] provides, in the end, an algorithm for obtaining oversampled transmultiplexers for rational oversampling ratios 3/2, 4/3 and 5/4 and arbitrarily large prototype filter lengths.
  • the complexity of the technique does not allow to consider oversampling ratios of less than 5/4.
  • solution is understood to mean a technique for implementing the transmultiplexer that will guarantee that the coefficients of the prototype filter and the overall implementation of the modulator and the demodulator will make it possible to verify the orthogonality conditions.
  • a device for demodulating an oversampled multicarrier signal comprises ⁇ stages, ⁇ being an integer greater than or equal to 1, powered by received data representative of source data, each of said stages comprising an analysis filter bank having N 0 branches and a factor of decimation equal to M Q , with N 0 and M Q prime between them and M 0 > 1.
  • an analysis filter bank includes a decomposition matrix
  • the decomposition matrix is a para-unitary matrix, some coefficients of which are forced to zero according to a predetermined criterion taking into account the decimation factor M Q and the number of branches N 0 , so as to allow a perfect reconstruction of the source data.
  • the invention thus proposes a new technique of demodulation with perfect reconstruction, making it possible to ensure the orthogonality of the carriers of an oversampled multicarrier signal (M 0 ⁇ N 0 ), and in particular of an oversampled OFDM / QAM signal.
  • the prototype filter of the demodulator thus constructed allows multicarrier transmissions using up-to-date oversampling ratios, and in particular ratios close to unity. Indeed, it is recalled that over oversampling is low and close to unity, plus the spectral efficiency of the multicarrier signal is important, which is desirable.
  • the proposed technique makes it possible to obtain oversampled multicarrier systems for linear or nonlinear phase prototype filters, because of the use of a number of stages that can be arbitrary.
  • non-linear phase prototype filter has several advantages, such as obtaining regular structures with a minimum of rotation angles for the implementation of the prototype filter as described below, or a higher attenuation for the prototype filter for a given prototype length and oversampling ratio.
  • M is an integer greater than or equal to 1
  • the decomposition matrix consists of m identical matrices B, each matrix B consisting of at least one rotation and at least one offset, m being greater than or equal to 1.
  • the different rotations of a matrix B are independent. In other words, a rotation being defined by an angle of rotation, there are no dependencies between the different angles of rotation. According to another particular aspect, the number of branches N 0 is equal to M 0 + 1.
  • the oversampling ratio is then close to unity.
  • the number of rotations of a matrix B is equal to M Q.
  • the decomposition matrix V ⁇ '(z) consists of m identical matrices B, the total number of rotations is T ⁇ M Q , which ensures a minimum dimension of the solution.
  • the number of stages ⁇ is an even integer, greater than or equal to 2. Indeed, if the prototype filter is a linear phase filter, it is necessary that the number of stages ⁇ be an integer pair for symmetry reasons.
  • the stages supply first permutation means PT comprising ⁇ N 0 inputs and AN Q outputs, feeding N 0 Fourier matrices F ⁇ , which themselves feed second permutation means P.
  • the invention in another embodiment, relates to a method for demodulating an oversampled multicarrier signal.
  • a method for demodulating an oversampled multicarrier signal implements ⁇ stages fed by received data representative of source data, each of said stages implementing an analysis filter having No branches and a decimation factor equal to M 0 , with N 0 and M 0 prime between them and M Q > 1, comprising the following steps: - multiplication by a decomposition matrix V l '(z) and multiplication by a Fourier matrix F ⁇ 0 .
  • the decomposition matrix is a para-unitary matrix, some coefficients of which are forced to zero according to a predetermined criterion taking into account the decimation factor M Q and the number of branches N 0 , so as to allow a perfect reconstruction of the data. source.
  • a demodulation device as described above. This method may of course include the various characteristics relating to the demodulation device according to the invention.
  • the decomposition matrix consists of m identical matrices B, each matrix B consisting of at least one rotation and at least one offset, m being greater than or equal to 1, and the method comprises a preliminary phase of determination of the matrices B, so that the matrices B are written in the following form: where Z ⁇ 0 is a diagonal square matrix providing an offset and R 1 n + 1 a rotation matrix.
  • the invention furthermore relates to a device for modulating an oversampled multicarrier signal.
  • such a device comprises ⁇ stages, fed by data source, each stage comprising a synthesis filterbank having N 0 branches and an expansion factor equal to M 0, N is 0 and M 0 first between them and M 0 > 1, a synthesis filter bank comprising a conjugate Fourier matrix FyV 0 and a conjugated decomposition matrix
  • the conjugate decomposition matrix is a para-unitary matrix, some coefficients of which are forced to zero according to a predetermined criterion taking into account the expansion factor M 0 and the number of branches N 0 , so as to allow a perfect reconstruction. source data.
  • Such a modulation device is able to modulate a signal intended to be received by the demodulation device described above.
  • this modulation device The characteristics and advantages of this modulation device are the same as those of the demodulation device. Therefore, they are not detailed further. Indeed, it is noted that the modulator and the demodulator operate symmetrically, to allow a perfect reconstruction of the source data. Thus, the decomposition and Fourier matrices used on the modulation side correspond to the conjugates of the decomposition and Fourier matrices used on the demodulation side.
  • the invention in another embodiment, relates to a method of modulating an oversampled multicarrier signal.
  • a method of modulating an oversampled multicarrier signal implements ⁇ stages powered by the source data, each stage employing a synthesis filter having N branches 0 and an expansion factor equal to M 0, N is 0 and M 0 between themselves and M Q > 1, comprising the following steps: multiplication by a conjugate Fourier matrix F ⁇ 0 , multiplication by a conjugated decomposition matrix V ⁇ (z).
  • the conjugated decomposition matrix is a para-unitary matrix, some coefficients of which are forced to zero according to a predetermined criterion taking into account the expansion factor M Q and the number of branches N 0 , so as to allow perfect reconstruction. source data.
  • the invention also relates to a computer program comprising instructions for implementing the modulation method and / or the demodulation method as described above when the program is executed by a processor.
  • the invention also relates to a system for transmitting an oversampled multicarrier signal, comprising a modulation device and a demodulation device as described above, so as to allow a perfect reconstruction of said source data.
  • FIG. 1 presents a conventional transmultiplexer, associated with OFDM modulations oversampled with N> M
  • FIGS. 2A and 2B illustrate an analysis bench and its equivalent diagram for an oversampled system of N / M ratio, with N> M
  • Figure 3 shows a modulated bench for oversampled report analysis
  • FIG. 4 shows an oversampled synthesis modulated bench of N / M ratio, with N ⁇ M, modulator side, in decomposed form;
  • Figures 6A and 6B provide two equivalent representations of a matrix operation;
  • FIG. 7 illustrates an embodiment diagram of a matrix of decomposition V ⁇ Cz);
  • FIGS. 8A and 8B illustrate an example of a prototype filter, with its impulse response and its frequency response.
  • the invention proposes a new modulation / demodulation technique making it possible to determine different structures for producing the prototype filter used to shape the carriers of an oversampled multicarrier signal, in a transmultiplexer type system or, in a dual mode, in a subband system.
  • the use of the prototype filter thus determined makes it possible to ensure orthogonality of the carriers, that is to say to maintain the distances between the multicarrier symbols transmitted at the output of the modulator, which makes it possible to optimize the transmission performance.
  • the transmission channel is the ideal channel
  • the data reconstructed at the output of the demodulator will be identical to the source data input of the modulator.
  • AWGN white Gaussian noise
  • the invention proposes to determine the most appropriate implementation structures for the implementation of the prototype filter P (z) in its so-called polyphase form, by decomposing the matrix H (z) representative of the polyphase components of the prototype filter.
  • solutions are written in the form of matrix products, which translate for implantation in the modulator or the demodulator by cascades of rotation and shift cells. It will be recalled that a solution here corresponds to obtaining a perfectly orthogonal filter bank because of its production structure.
  • the proposed technique makes it possible to preserve the orthogonality of the carriers because of the independence of the parameters, even if the angles of the rotations are changed.
  • the prototype filter can be implemented in its polyphase form, by means of a polyphase matrix H (z).
  • the invention proposes, according to this particular embodiment, to break down the polyphase matrix in the form of matrix products.
  • polyphase matrix H (z) can be factored into the form:
  • the operator X of FIG. 3 corresponds to the matrix D.
  • a demodulator comprises ⁇ stages powered by received data.
  • Received data feeding the first stage undergo a decimation according to a decimation factor ⁇
  • the received data supplying the second stage undergo a delay z and a decimation according to the factor ⁇
  • the received data supplying the ⁇ th stage suffer ( ⁇ - 1) delays z "1 and a decimation according to the factor ⁇
  • Each stage comprises an analysis filter bank having N 0 subbands or branches and a decimation factor equal to M Q , with N 0 and M Q prime between them.
  • analysis includes a decomposition matrix F ⁇ 0 in size
  • the permutation matrices P, P take the form
  • the first interleaving is provided by the outputs of the decomposition matrices
  • FIG. 4 illustrates the decomposition of the polyphase matrix H (z) on the modulator side, implemented symmetrically with the demodulator. More precisely, a modulator according to this decomposition comprises ⁇ stages fed by source data after an inverse Fourier transform. Each stage comprises a synthesis filterbank having N branches 0 and an expansion factor equal to M Q, where N is 0 and M 0 coprime 0 and N> 0 M> 1.
  • a synthesis filterbank comprises a conjugated Fourier matrix F ⁇ Q , of size N 0 XN Q , and a conjugated decomposition matrix V ⁇ (z), of size M 0 x No, with / ranging from 0 to ⁇ - 1.
  • motifs also called “pattems”, defining the set of possible solutions for the decomposition matrices, again denoted S MQtNQ> m .
  • the set S ⁇ 0 ⁇ 0 m thus corresponds to the union of a set of solutions, each solution being a set of para- unitary decomposition matrices. , for / ranging from 0 to ⁇ -1.
  • Para-unitary matrices correspond to a product of at least one rotation and / or shift.
  • FIG. 8A illustrates the impulse response h (n) of the prototype filter, making it possible to determine the value of its coefficients
  • FIG. 8B illustrates the amplitude of the filter (in dB) as a function of the frequency (frequency response).
  • Appendix E paragraph 5.8, presents the number of solutions obtained, for different triplets of parameters (M 0 , N 0 , m).
  • Appendix E presents a complete set of solutions such that no solution is contained in another and each solution is defined with a minimum number of angular parameters (called dimension of this solution), for some values of the triplet ( M 0 , N Q , m).
  • Minimum number of parameters therefore means that in each embodiment structure the necessary number of rotations used can no longer be reduced.
  • the invention makes it possible: to obtain the parametric angular solutions allowing the structural realization, at the level of the modulator and the demodulator, of the perfect reconstruction condition; - the adequacy of the proposed solutions to the use of the method of compact representation (as recalled in Annex E, paragraph 5.6) to determine the angular parameters of the prototype structure or function, and thus to the optimization of arbitrary-sized modulation / demodulation systems, even for a high ⁇ number;
  • an OFDM-type multicarrier transmission system having a spectral efficiency comparable to that of a cyclic prefixed OFDM system (CP) of reduced value, that is to say less than 25%;
  • CP cyclic prefixed OFDM system
  • each solution is described using a minimum number of independent angular parameters
  • any para-unitary matrix, solution of the problem posed belongs to at least one solution.
  • a modulator and / or a demodulator in which the ⁇ stages (or sub-blocks of polyphase filtering of the modulated banks DFT are made using a minimum number of independent angular parameters.
  • the invention also allows the realization of a uniform filter bank with N sub-bands and rational oversampling
  • (/ m, n ) (m , n) ei x z constitutes a family of Gabor.
  • the goal is to find the symbols C ⁇ n from the signal s (t). This is possible if and only if (/ m , n ) (m, n ) ei ⁇ z constitutes a free family.
  • the density d ⁇ ⁇ must be less than or equal to 1 to be able to demodulate the signal.
  • the spectral efficiency ⁇ which measures the bit rate per unit of time and frequency, is related to the density by the relation ⁇ ⁇ bd.
  • the functions f m , n are orthogonal (or the pair f m ⁇ n , 9 m , n is biorthogonal);
  • the function / is well localized in time and in frequency (or the functions / and g are both well localized in time and in frequency);
  • OFDM / OQAM which, by releasing the orthogonality constraint by limiting it to the real body by the Offset-QAM technique (OQAM), allows the introduction of waveforms well localized in time and frequency, all maintaining maximum spectral efficiency;
  • ⁇ ⁇ m, n is a phase term that will also allow us to describe the detail of a causal realization of an oversampled OFDM modem (or modulator-modulator).
  • any system modulated by Gabor functions defined by a triplet (Z, T 0 , FQ) is an OFDM system.
  • the discrete time OFDM / QAM modem can therefore be realized using a transmultiplexer as described in FIG. 1.
  • Type I polyphase decompositions of transmission and reception prototypes are also used:
  • the choice of the optimization criterion of the prototype filters generally depends on the type of application envisaged. In the case of a transmission system in a static channel such as that of the ADSL ("Asymmetric Digital Subscriber Line"), a common choice is to minimize the out-of-band energy.
  • the model of modeling corresponds to a filter varying in time, the channel is then dispersive in time and frequency. In this case, where the temporal and frequency dimension are equally important, the time-frequency localization criterion is currently the reference criterion. This is for example the case in [Ij, referenced in Appendix G.
  • the polyphase matrix of the analysis filter bank is a matrix of size N x M having the elements H ⁇ (z).
  • N x M having the elements H ⁇ (z).
  • the processing produced by the analysis bench corresponds to the matrix product H (z) X (z) where X (z) ) is a column matrix M x I such that
  • the matrix of I N contains Mo copies concatenated horizontally and that of IM contains N 0 vertically concatenated copies.
  • the problem to be solved is to determine the most appropriate realization structures for the implementation of the matrix H (z) in the case of the exponential modulation and for different values of M 0 , N 0 , ⁇ and m.
  • the principle of resolution is based on equivalences between the paraunitarity of polyphase matrices and the perfect reconstruction condition. The demonstration is therefore linked to the identification of specific properties which are then used to produce new implementation schemes for oversampled filter banks.
  • the matrix Vp (z) of size N 0 x M 0 is defined by and the matrix Up (z) of size N 0 x M 0 is defined by
  • T 1 ( ⁇ ) the square diagonal matrix of size N 0 whose (k + l) -th element is z - i ( kf ) + a (k) N 0 ⁇ Q ⁇ k ⁇ N 0 and by T 2 (z) the square diagonal matrix of size M 0 with for (Z + 1) -th element 0 ⁇ I ⁇ M 0 .
  • FIG. 2B then produces the diagram represented in FIG. 3, where each of the ⁇ -polyphase components of the prototype filter P (z) intervenes in this diagram to define a modulated sub-band at iV 0 with a decimation factor equal to Note that in this diagram:
  • a (z) is a matrix with N rows and M columns whose elements are filters
  • ⁇ (z) the matrix with M rows and N columns whose elements are given by
  • a paraunitary matrix is a matrix A (z), with M ⁇ N, satisfying where IM is the unit matrix of dimension M.
  • Reference [4] gives a set of parametric representations of the particular class of paraunitary matrices that occurs for modulated transmultiplexers
  • T $ (z) the square diagonal matrix of size NQ with (A; + 1) - th element z ( ⁇ ( *, o ) + " (JV b- i - fc , o ) + " ) / ⁇ iV b- (*) - ⁇ ( ⁇ b i - f c)) g ⁇ that ⁇ a I t r ice T 4 (z), also 5 square diagonal but with size M 0 to (7 + l) -th element z ( ⁇ i) + q (p, o M i - i) + i - u) / N Q) ⁇
  • R 1 ⁇ The set of rotations [R 1 ⁇ (O), ⁇ € R ⁇ is denoted R 1 ⁇ .
  • R 3 the representation of a direct rotation using Euler angles corresponds to the identity
  • N 2T / ] J
  • J z ⁇ ⁇ if i £ / and 0 if not. If A (z) is a paraunitary matrix with N rows and M columns with
  • M 0 and NQ with Mo ⁇ No, M 0 and No first between them.
  • UM O N O the set of paraunitary matrices at N 0 rows and Mo columns.
  • ⁇ M0 , N 0 , m with m> 0 denotes the subset of UM O , N O matrices whose elements are of degree in z ⁇ x less than or equal to m.
  • UM O , N O , O is the set of paraunitary matrices of dimension JV 0 x Mo constants.
  • a matrix A (z) of U M0 , N 0 , m can be represented as a polynomial in z ⁇ ⁇ with constant matrix coefficients:
  • a matrix of UM O , N O constant whose elements are in the set ⁇ 0, 1, -1 ⁇ is said elementary.
  • Such a matrix necessarily has Mo non-zero values, equal to 1 or -1, so that two non-zero elements are neither on the same column nor on the same line.
  • An elementary matrix U containing only 0s or 1s has an element equal to 1 in each column, without having two elements equal to 1 on the same line.
  • T for i - 1,. . . k is either an offset Zi with / G ⁇ 1,. . . , No ⁇ , or a set of elementary rotations of the form R 1J with 1 ⁇ i, j ⁇ N 0 , ⁇ ⁇ j.
  • An element of S is a function of n independent angular parameters where n is the number of elementary rotations in the sequence Ti,. . . , T ⁇ .
  • the set S MO , NO , TTI consists of paraunitary matrices A (z) of dimensions TVo x M 0 where the constant matrices Ao and A m of dimensions No x Mo have preassigned null elements:)) for 0 ⁇ k ⁇ N 0 - 1, 0 ⁇ I ⁇ M 0 - 1.
  • Aooo m B_ The subset of paraunitary matrices of degree m in AoooB_ is denoted Aooo m B_ and consistent with the previous convention A ooo m ⁇ ⁇ A ooo m _ 1 5.
  • the sets A ooo m H and i ooo ⁇ are called paraunitary patterns.
  • R ⁇ , j ( ⁇ ) be a rotation of any angle ⁇ as defined in paragraph 5.7.1 and A an orthogonal pattern. Then since the rotation acts on lines i and j, if M € A 000 H the constant element of line 1 or j and column /,! ⁇ / ⁇ M 0 of the matrix R 1 ⁇ (O) M is not zero if (i, j) GA or (j, I) G A.
  • a parity pattern A 000 B is rotatable if there are two indices i and j, i ⁇ j such that the two lines i and j of the pattern are identical with at least one element non-zero (i, k) GA and a non-zero element (i, I) G B.
  • a ooo B_ is reducible in degree if for any index i between 1 and N 0 the line i of A has all its null elements, or the line 30 i of B_.
  • a ooo m B_ Z ⁇ Aiooo m _ x B ⁇ where A '- ⁇ (i, j), (i, j) GA or i G / ⁇ and B' - ⁇ ( ⁇ , j), (i , j) GB or i $ / ⁇ , and it is said that it is a paraunitary shift.
  • a oOo 0 B Z 1 AL
  • a ' ⁇ (i, j), (hj) £ A , ii 1 ⁇ U ⁇ (t, j), (i, j) GB, i G / ⁇ and it is said that it is an orthogonal shift.
  • a ooo B_ is cleavable if its matrices A and B_ io satisfy the previous property.
  • a ooo B_ in the form where K> 2, A k CA, B k CB, 1 ⁇ k ⁇ K and where each pattern A_ k _ ooo B j1 is no longer cleavable.
  • This decomposition of the pattern A ooo B_ is called its total splitting and the A k ooo B k the splitting components.
  • the column vectors of an orthogonal matrix are orthogonal.
  • a quasi-basic orthogonal pattern is called a pattern A such that for every line i, there exists at most one column k such that (i, k) E A.
  • STAP designates a Suite of Transformations Applied to a Pattern.
  • An STAP consists of a sequence Ti, T 2 , T k of transformations, possibly empty, each T % being a rotation R 10 with 1 ⁇ i ⁇ j ⁇ N 0 or an offset Z 1 with / C ⁇ 1 ,. . . , N 0 ] and a paraunitary pattern Aooo ⁇ or orthogonal A
  • This second type of STAP is called an STAP solution.
  • the STAP is said to be reducible in degree and one defines its shift with a paraunitary pattern by] where A ', B' are defined in paragraph 5.8.1. Its offset with an orthogonal pattern ⁇ is defined by where A 'is defined in 5.8.1.
  • the pattern of an STAP is cleavable, then we can write it as equivalent to a set of STAP whose patterns are the components of the cleavage, and we say that the STAP is cleavable and that we performed the splitting of STAP.
  • the SQ set consists of STAPs which are all reducible in degree.
  • the set S Q is the set of paraunit offsets of the elements of SQ.
  • T is replaced by S Q and SQ by S ⁇ and so on.
  • the STAP sets O n , n> 1 are the STAPs obtained from the STAPs of E n - ⁇ by shifting their reducible patterns in degrees to orthogonal patterns. We then apply the following algorithm to transform O n into a set of quasi-elementary STAPs, then a set S n of STAP solutions.
  • One solution may be contained in another, that is, the set S n is redundant.
  • a solution may depend on a number of rotations strictly greater than its dimension.
  • the next step is to start from S n to build a set of solutions no longer presenting these two disadvantages.
  • the application ⁇ ⁇ s can be considered as an application of H n in JR, ⁇ 0 M ° and the maximum dimension of the tangent space in ⁇ ( ⁇ , ..., ⁇ n ) is reached almost everywhere on IR ". This maximum dimension is called the dimension of the solution and we denote dim (S '). We always have (Um (S) ⁇ n
  • D and E are two solutions of ⁇ S 2 , 3 , m of dimension 2m, unsymmetrical null supports
  • the solution S M0 defined by is a solution of S M0 , N 0 , m- This solution is symmetrical and of dimension T ⁇ ⁇ NQ / 2) 2 .
  • Zjv 0 is the diagonal square matrix of dimensions JVo x JV 0 whose diagonal terms are equal to 1 except on the last line whose term is z ⁇ x .
  • Ti (Z) is the diagonal matrix 5 x 5, non-causal, having as diagonal elements 1, z, z 2 , z 3 , z A , z ⁇ x and T 2 (z) the diagonal matrix 4x4 of diagonal elements 1, z ⁇ ⁇ , z ⁇ 2 , z ⁇ 3 .
  • B denotes a matrix dand B for which the angles have been fixed.
  • the matrix B (z) defined by wherein the angles of rotation matrices R I, M0 + I are not indicated.
  • FIGS. 8A and 8B An example of such a prototype filter optimized for out-of-band energy, in the case of a non-linear phase, is shown in FIGS. 8A and 8B.

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Abstract

L'invention concerne un dispositif de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné. Selon l'invention, un tel dispositif comprend ? étages, ? étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données reçues représentatives de données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres d'analyse présentant N 0 branches et un facteur de décimation égal à M 0 , avec N 0 et M 0 premiers entre eux et M 0 > 1, un banc de filtres d'analyse comprenant une matrice de décomposition V (i) (z)et une matrice de Fourier F N0 . La matrice de décomposition est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur de décimation M 0 et du nombre de branches N 0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source.

Description

DECOMPOSITION POLYPHASE D ' UN BANC DE FILTRES POUR OFDM SURECHANTILLONNE
1. Domaine de l'invention Le domaine de l'invention est celui de la transmission de signaux numériques basés sur des modulations multiporteuses.
Plus précisément, l'invention concerne la modulation et la démodulation de signaux de type OFDM/QAM suréchantillonné (en anglais « Oversampled Orthogonal Frequency Division Multiplexing / Quadrature Amplitude Modulation »).
L'invention s'applique aux communications sans fil ou filaire. Dans le cas d'une transmission filaire, l'OFDM suréchantillonné est encore appelé FMT (en anglais « Filtered MultiTone »). L'invention trouve notamment des applications dans les systèmes de diffusion de type DVB ou dans les transmissions de type VDSL (en anglais « Very-high-bit-rate Digital Subscriber Line », en français « ligne d'abonné numérique à très haut débit »).
2. Art antérieur
Les techniques de transmission multiporteuses, par exemple de type OFDM, sont utilisées pour les communications sans fil (DVB-T, WiFi, WiMax) ou filaires (xDSL, PLC). Elles permettent notamment d'améliorer l'efficacité spectrale dans des canaux de transmission dits sélectifs en fréquence. En effet, avec ces techniques, le spectre est divisé en sous-canaux et le signal est transmis sur plusieurs sous-porteuses. Ces techniques peuvent notamment être combinées à des techniques d'accès multiple, qui permettent d'accroître le nombre d'usagers pouvant accéder à une ressource à n'importe quel instant.
Classiquement, le signal OFDM s'écrit en bande de base sous la forme suivante :
Figure imgf000003_0001
avec : où :
Figure imgf000004_0001
- M est le nombre de porteuses sur lesquelles on veut transmettre des symboles complexes de données cm n , avec et
Figure imgf000004_0004
n ε Z ;
- /(O est une fonction de carré intégrable, encore appelée fonction prototype ;
- T0 est la durée symbole ;
- F0 est l'espacement entre deux porteuses successives ; et - j2 = -1.
L'annexe A, qui fait partie intégrante de la description, rappelle les principales caractéristiques des modulations OFDM.
L'OFDM suréchantillonné, par rapport à FOFDM conventionnel, présente la possibilité d'introduire une forme d'onde optimisée avec des critères appropriés pour un canal de transmission donné. Cette forme d'onde spécifique est réalisée par une modulation exponentielle d'un filtre, dit filtre prototype.
L'annexe B, qui fait également partie intégrante de la description, rappelle les principales caractéristiques de TOFDM suréchantillonné.
Plus précisément, le signal discret de l'OFDM suréchantillonné, permettant de transmettre M symboles de données sur JV échantillons, avec N supérieur à M, peut s'exprimer sous la forme :
Figure imgf000004_0002
avec :
Figure imgf000004_0003
où :
- k est l'indice des échantillons du signal discret ;
- J[k] représente le filtre prototype que l'on supposera à réponse impulsionnelle finie (RIF) de longueur L ;
- D est un paramètre lié au retard de traitement introduit par le système de transmission ; - ψm n est un terme de phase.
Les équations (4) et (5) peuvent se réécrire en faisant apparaître un banc de filtres de synthèse à M sous-bandes ayant un facteur d'expansion égal à N constitué de m filtres Fm(z) de réponses impulsionnelles fm [k] .
Un tel système, encore appelé transmultiplexeur, est illustré en figure 1, et notamment décrit dans le brevet européen EP 1 354 453 (référence [3] dans l'annexe G) au nom du même demandeur. L'annexe C, qui fait partie intégrante de la description, en rappelle les principales caractéristiques. On rappelle que pour réaliser sous forme de transmultiplexeur un système dit OFDM suréchantillonné ou FMT, on place un banc de synthèse à l'émission (côté modulation) et un banc d'analyse à la réception (côté démodulation) en incluant un retard approprié nécessaire à la réalisation d'un système causal. De manière duale, pour réaliser un système dit de codage en sous-bande, on traite un signal d'entrée par un banc d'analyse côté modulation et on reconstruit à la réception (côté démodulation) le signal x(n) par un banc de synthèse.
Les avancées les plus significatives sur la théorie des bancs de filtres modulés suréchantillonnés concernaient des dispositifs prévus pour du codage en sous-bande. Le document « Oversampled modulated filter banks and tight Gabor frames in I2 (Z) », Z. CVETKOVIC, en constitue un exemple. Toutefois les auteurs n'y présentent que des exemples "jouets", inutilisables dans une application de transmission, et ne fournissent aucune règle générique de construction.
Les conditions de reconstruction parfaite, ainsi que les critères d'optimisation associés, sont également décrits dans le document [3] précité. De plus, le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » (référence [4] dans l'annexe G) précise les conditions de reconstruction parfaite dans le cas orthogonal, et les informations nécessaires pour obtenir des schémas de réalisation efficaces et rapides à base de Transformée de Fourrier rapide (FFT). L'annexe D, qui fait partie intégrante de la description, en rappelle les principaux aspects.
De plus, le document [4] précité propose un théorème de décomposition scindant le système de transmission initial des équations de reconstruction parfaite en de petits sous-systèmes indépendants d'équations, qui peuvent être résolus grâce à des paramétrisations angulaires appropriées. La technique présentée dans ce document [4] fournit, au final, un algorithme d'obtention de transmultiplexeurs suréchantillonnés pour les rapports de suréchantillonnage rationnels 3/2, 4/3 et 5/4 et des longueurs de filtres prototypes arbitrairement grandes.
Ainsi, la technique décrite dans ce document [4] garantit l'obtention de solutions à reconstruction parfaite (RP), c'est-à-dire parfaitement orthogonales, et permet, grâce à l'utilisation d'une représentation paramétrique sous forme angulaire, que cette orthogonalité soit structurellement vérifiée. Elle présente néanmoins quelques inconvénients, et notamment :
— les représentations paramétriques ne font pas apparaître de structures de réalisation régulières. Ceci ne permet pas d'en déduire des solutions pour les composantes polyphasés d'un filtre prototype de degré élevé ;
— certaines solutions à reconstruction parfaite peuvent être contenues dans d'autres solutions. Autrement dit, la technique décrite peut aboutir à des représentations paramétriques a priori différentes, mais qui après analyse s'avèrent être équivalentes ;
— la complexité de la technique ne permet pas de considérer des rapports de suréchantillonnage inférieurs à 5/4.
On entend ici « solution » une technique d'implémentation du transmultiplexeur qui va garantir que les coefficients du filtre prototype et l'implémentation globale du modulateur et du démodulateur vont permettre de vérifier les conditions d'orthogonalité. 3. Exposé de l'invention
L'invention propose une solution nouvelle qui ne présente pas l'ensemble de ces inconvénients de l'art antérieur, sous la forme d'un dispositif de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné. Selon l'invention, un tel dispositif comprend Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données reçues représentatives de données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres d'analyse présentant N0 branches et un facteur de décimation égal à MQ , avec N0 et MQ premiers entre eux et M0 > 1.
Plus précisément, un banc de filtres d'analyse comprend une matrice de décomposition
Figure imgf000007_0001
, et la matrice de décomposition est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte du facteur de décimation MQ et du nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite des données source.
L'invention propose ainsi une nouvelle technique de démodulation à reconstruction parfaite, permettant d'assurer l'orthogonalité des porteuses d'un signal multiporteuse suréchantillonné ( M0 < N0 ), et notamment d'un signal OFDM/QAM suréchantillonné.
En particulier, le filtre prototype du démodulateur ainsi construit permet des transmissions multiporteuses utilisant des rapports de suréchantillonnage non traités jusqu'à présent, et notamment des rapports proches de l'unité. En effet, on rappelle que plus le suréchantillonnage est faible et proche de l'unité, plus l'efficacité spectrale du signal multiporteuse est importante, ce qui est souhaitable.
La technique proposée permet l'obtention de systèmes multiporteuses suréchantillonnés pour des filtres prototypes à phase linéaire ou non linéaire, du fait de l'utilisation d'un nombre d'étages Δ pouvant être quelconque.
L'utilisation d'un filtre prototype à phase non linéaire présente plusieurs intérêts, comme l'obtention de structures régulières avec un minimum d'angles de rotation pour l'implémentation du filtre prototype comme décrit ci-après, ou une atténuation plus élevée pour le filtre prototype pour une longueur de prototype et un rapport de suréchantillonnage donnés.
L'annexe E, paragraphe 5.8, rappelle la définition des matrices para- unitaires. Par exemple, le critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition V (z) de taille NQ X MQ , selon les équations suivantes :
Figure imgf000008_0002
avec :
— m un entier supérieur ou égal à 1 ;
'entiers telle que UM0 — vN0 = 1 , avec |υ| < N0
Figure imgf000008_0001
avec O ≤ k ≤ N0 - 1 et 0 ≤ l ≤ M0 - 1 et τem(a,b) un opérateur définissant le reste de la division des entiers a par b. Les démonstrations associées à la détermination de ce critère sont présentées plus en détail dans les annexes, et notamment l'annexe E, paragraphes
5.2 et 5.8.1.
Selon une caractéristique particulière, la matrice de décomposition est constituée de m matrices identiques B , chaque matrice B étant constituée d'au moins une rotation et d'au moins un décalage, m étant supérieur ou égal à 1.
On peut noter que les différentes rotations d'une matrice B sont indépendantes. En d'autres termes, une rotation étant définie par un angle de rotation, il n'y a pas de dépendances entre les différents angles de rotation. Selon un autre aspect particulier, le nombre de branches N0 est égal à M0 + l .
Le rapport de suréchantillonnage est alors proche de l'unité.
En particulier, le nombre de rotations d'une matrice B est égal à MQ . De cette façon, si la matrice de décomposition V^'(z) est constituée de m matrices identiques B , le nombre de rotations total est de TΠMQ , ce qui assure une dimension minimale de la solution.
Selon une autre caractéristique particulière, le nombre d'étages Δ est un entier pair, supérieur ou égal à 2. En effet, si le filtre prototype est un filtre à phase linéaire, il est nécessaire que le nombre d'étages Δ soit un entier pair pour des raisons de symétrie.
Selon un autre aspect particulier, les étages alimentent des premiers moyens de permutation P T comprenant ΔN0 entrées et ANQ sorties, alimentant N0 matrices de Fourier FΔ , qui alimentent elles-mêmes des seconds moyens de permutation P.
Il est ainsi possible de décomposer l'opération de transformée de Fourier effectuée au niveau du démodulateur.
Dans un autre mode de réalisation, l'invention concerne un procédé de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné. Selon l'invention, un tel procédé met en œuvre Δ étages alimentés par des données reçues représentatives de données source, chacun desdits étages mettant en oeuvre un filtrage d'analyse présentant No branches et un facteur de décimation égal à M0 , avec N0 et M0 premiers entre eux et MQ > 1 , comprenant les étapes suivantes : - multiplication par une matrice de décomposition V l' (z) et multiplication par une matrice de Fourier F^0 .
En particulier, la matrice de décomposition est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte du facteur de décimation MQ et du nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite des données source. Un tel procédé peut être mis en œuvre par un dispositif de démodulation tel que décrit précédemment. Ce procédé pourra bien sûr comporter les différentes caractéristiques relatives au dispositif de démodulation selon l'invention.
En particulier, la matrice de décomposition est constituée de m matrices identiques B , chaque matrice B étant constituée d'au moins une rotation et d'au moins un décalage, m étant supérieur ou égal à 1, et le procédé comprend une phase préalable de détermination des matrices B , de façon que les matrices B s'écrivent sous la forme suivante :
Figure imgf000010_0002
où Z^0 est une matrice carrée diagonale assurant un décalage et R1 ^n+1 une matrice de rotation.
L'invention concerne par ailleurs un dispositif de modulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné.
Selon l'invention, un tel dispositif comprend Δ étages, alimentés par des données source, chacun des étages comprenant un banc de filtres de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à M0 , avec N0 et M0 premiers entre eux et M0 > 1 , un banc de filtres de synthèse comprenant une matrice de Fourier conjuguée FyV0 et une matrice de décomposition conjuguée
≠'}*(z). En particulier, la matrice de décomposition conjuguée est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte du facteur d'expansion M0 et du nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite des données source.
Par exemple, le critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition conjuguée V^* (z) de taille M0 x N0 , selon les équations suivantes :
Figure imgf000010_0001
, où T correspond à l'opération de transposition, avec : - m un entier supérieur ou égal à 1 ;
Figure imgf000011_0001
- (M,V) une paire d'entiers telle que wM0 - VN0 = 1 , avec |M| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 < /c < N0 - 1 et 0 < / ≤ M0 - 1 et rem(α,/3) un opérateur définissant le reste de la division de a par b.
Un tel dispositif de modulation est apte à moduler un signal destiné à être reçu par le dispositif de démodulation décrit précédemment.
Les caractéristiques et avantages de ce dispositif de modulation sont les mêmes que ceux du dispositif de démodulation. Par conséquent, ils ne sont pas détaillés plus amplement. En effet, on note que le modulateur et le démodulateur fonctionnent de manière symétrique, afin de permettre une reconstruction parfaite des données sources. Ainsi, les matrices de décomposition et de Fourier utilisées côté modulation correspondent aux conjuguées des matrices de décomposition et de Fourier utilisées côté démodulation.
Dans un autre mode de réalisation, l'invention concerne un procédé de modulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné. Selon l'invention, un tel procédé met en œuvre Δ étages alimentés par des données source, chacun des étages mettant en oeuvre un filtrage de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à M0 , avec N0 et M0 premiers entre eux et MQ > 1 , comprenant les étapes suivantes : multiplication par une matrice de Fourier conjuguée F^0 , multiplication par une matrice de décomposition conjuguée V^ (z) .
En particulier, la matrice de décomposition conjuguée est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte du facteur d'expansion MQ et du nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite des données source.
L'invention concerne également un programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre du procédé de modulation et/ou du procédé de démodulation tels que décrits précédemment lorsque le programme est exécuté par un processeur. L'invention concerne encore un système de transmission d'un signal multiporteuse suréchantillonné, comprenant un dispositif de modulation et un dispositif de démodulation tels que décrits précédemment, de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source.
4. Liste des figures D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante d'un mode de réalisation particulier, donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés, parmi lesquels : la figure 1 présente un transmultiplexeur classique, associé aux modulations OFDM suréchantillonnées avec N > M ; les figures 2A et 2B illustrent un banc d'analyse et son schéma équivalent pour un système suréchantillonné de rapport N /M , avec N > M ; la figure 3 présente un banc modulé d'analyse suréchantillonné de rapport
N/ M , avec N ≥ M , côté démodulateur, sous forme décomposée ; - la figure 4 présente un banc modulé de synthèse suréchantillonné de rapport N/M , avec N ≥ M , côté modulateur, sous forme décomposée ; la figure 5 représente une rotation, avec NQ = 6, k - 2, I = 5 ; les figures 6A et 6B proposent deux représentations équivalentes d'une opération matricielle ; - la figure 7 illustre un schéma de réalisation d'une matrice de décomposition V^Çz) ; les figures 8A et 8B illustrent un exemple de filtre prototype, avec sa réponse impulsionnelle et sa réponse fréquentielle.
5. Description d'un mode de réalisation de l'invention 5.1 Principe général
L'invention propose une nouvelle technique de modulation/démodulation permettant de déterminer différentes structures pour la réalisation du filtre prototype utilisé pour mettre en forme les porteuses d'un signal multiporteuse suréchantillonné, dans un système de type transmultiplexeur ou, de manière duale, dans un système en sous-bandes.
L'utilisation du filtre prototype ainsi déterminé permet d'assurer une orthogonalité des porteuses, c'est-à-dire de conserver les distances entre les symboles multiporteuses transmis en sortie du modulateur, ce qui permet d'optimiser les performances de transmission. En d'autres termes, si le canal de transmission est le canal idéal, les données reconstruites en sortie du démodulateur seront identiques aux données source en entrée du modulateur. Dans le cas d'un canal à bruit blanc gaussien (AWGN), du fait de la parfaite orthogonalité du système de modulation multiporteuse, les probabilités d'erreur symbole (ou bit) seront minimales. En particulier, l'invention propose de déterminer les structures de réalisation les plus appropriées pour l'implémentation du filtre prototype P(z) sous sa forme dite polyphasé, en décomposant la matrice H(z) représentative des composantes polyphasés du filtre prototype.
Les solutions s'écrivent sous forme de produits de matrices, qui se traduisent pour l'implantation dans le modulateur ou le démodulateur par des cascades de cellules de rotation et de décalage. On rappelle qu'une solution correspond ici à l'obtention d'un banc de filtre parfaitement orthogonal du fait de sa structure de réalisation.
En particulier, la technique proposée permet de préserver l' orthogonalité des porteuses du fait de l'indépendance des paramètres, même si les angles des rotations sont modifiés.
5.2 Mode de réalisation particulier
Comme illustré en figures 2A et 2B, et démontré en annexe E, paragraphe 5.1, qui fait partie intégrante de la description, le filtre prototype peut être implémenté sous sa forme polyphasé, au moyen d'une matrice polyphasé H(z) .
L'invention propose, selon ce mode de réalisation particulier, de décomposer la matrice polyphasé sous la forme de produits de matrice.
La décomposition de la matrice polyphasé H(z) côté démodulateur est illustrée en figure 3.
Plus précisément, comme expliqué en annexe E, la matrice polyphasé H(z) peut se factoriser sous la forme :
H(z) = FNV(z) (31) où FN est une matrice de Fourier de dimension N x N et la matrice V(z) de dimension N x M est le produit :
Figure imgf000014_0001
En notant Δ le plus grand diviseur commun entre M et N, avec M = ΔM0 , N0 > M0 > 1 , N = ΔN0 , et Δ > 1 , on peut décomposer la matrice de Fourier FN comme décrit en annexe E, paragraphe 5.3, sous la forme suivante :
D est la matrice diagonale dont l'élément de ligne et colonne i+1 est oflr si i = qA + r, on ω désigne la racine Ν-ième de l'unité. L'opérateur X de la figure 3 correspond à la matrice D.
Plus précisément, un démodulateur selon cette décomposition comprend Δ étages alimentés par des données reçues. Les données reçues alimentant le premier étage subissent une décimation selon un facteur de décimation Δ, les données reçues alimentant le deuxième étage subissent un retard z et une décimation selon le facteur Δ, les données reçues alimentant le Δème étage subissent (Δ - 1) retards z"1 et une décimation selon le facteur Δ. Chaque étage comprend un banc de filtres d'analyse présentant N0 sous- bandes ou branches et un facteur de décimation égal à MQ , avec N0 et MQ premiers entre eux. Un tel banc de filtres d'analyse comprend une matrice de décomposition
Figure imgf000015_0001
F^0 de taille
N0 x N0 , avec / allant de 0 à Δ - 1. Selon la figure 3, les matrices de permutations P , P prennent la forme
T d'un entrelaceur π , II respectivement. Le premier entrelacement est assuré par les sorties des matrices de décomposition
Figure imgf000015_0002
La figure 4 illustre quant à elle la décomposition de la matrice polyphasé H(z) côté modulateur, mise en œuvre de façon symétrique au démodulateur. Plus précisément, un modulateur selon cette décomposition comprend Δ étages, alimentés par des données source après une transformée de Fourier inverse. Chaque étage comprend un banc de filtres de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à MQ , avec N0 et M0 premiers entre eux et N0 > M0 > 1. Un banc de filtres de synthèse comprend une matrice de Fourier conjuguée FχQ , de taille N0 X NQ , et une matrice de décomposition conjuguée V^ (z) , de taille M0 x No , avec / allant de 0 à Δ - 1.
On cherche alors à définir les différentes structures de réalisation des matrices de décomposition
Figure imgf000015_0003
(z) , en fonction des valeurs des paramètres No et M0. Pour se faire, on considère des matrices de décomposition, V^1' (z) côté démodulation et V^'' (z) côté modulation, para-unitaires, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte du facteur de décimation MQ et du nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite des données source. Un tel critère est plus précisément défini en annexe E, paragraphes 5.2 et 5.8.1.
On définit de cette façon des motifs, encore appelés « pattems », définissant l'ensemble de solutions possibles pour les matrices de décomposition , encore noté SMQtNQ>m . L'ensemble S^0 ^0 m correspond donc à l'union d'un ensemble de solutions, chaque solution étant un ensemble de matrices de décomposition para- unitaires
Figure imgf000016_0001
, pour / allant de 0 à Δ- l . Les matrices para-unitaires
Figure imgf000016_0002
correspondent à un produit d'au moins une rotation et/ou décalage.
La valeur m est définie en fonction de la longueur L du filtre prototype : L = mAM0N0.
Par exemple, dans le cas où N0 = M0 + 1 , comme illustré en figures 5, 6A, 6B et 7 pour M0 = 5 , une matrice de décomposition
Figure imgf000016_0003
est obtenue par le produit de m matrices para-unitaires élémentaires identiques B{z) . Comme démontré en annexe F, qui fait partie intégrante de la description, on peut en effet écrire V{t) (z) = Bm (z)U0.
Les matrices élémentaires B s'écrivent par exemple sous la forme suivante :
Figure imgf000016_0004
où ZNçj = Z^0+1 est une matrice carrée diagonale assurant un décalage et ^i, Af o+i une matrice de rotations, tel que décrit en annexe F. On note que les rotations de la matrice de rotations R^Mn+i sont indépendantes les unes des autres, ce qui signifie que le fait de modifier l'une des rotations dans la matrice R1 ,MQ +1 n'entraîne pas de modification des autres rotations dans la matrice
Rι,Mo+l • Comme décrit en annexe E, paragraphe 5.4, il est possible d'utiliser une représentation paramétrique des matrices para-unitaires, permettant de représenter ces matrices au moyen d'angles et de décalages. Du fait de l'indépendance des angles et des paramètres, le modulateur et le démodulateur ainsi construits permettent une reconstruction parfaite des données source ( x(n) = x(n)), y compris dans le cas où les angles de rotations sont quantifiés. En d'autres termes, le modulateur et le démodulateur ainsi construits permettent de préserver l'orthogonalité des porteuses, même si les angles des rotations sont modifiés.
Les figures 8A et 8B illustrent un exemple de filtre prototype à réponse impulsionnelle finie obtenu selon ce mode de réalisation, optimisé pour minimiser l'énergie hors-bande, pour un système de taille M = 60 et N = 72 , avec M le nombre de porteuses et N le facteur d'expansion, et les paramètres suivants
M0 = 5 , N0 = 6 , Δ = 12, et m = 4.
La figure 8A illustre la réponse impulsionnelle h(n) du filtre prototype, permettant de déterminer la valeur de ses coefficients, et la figure 8B illustre l'amplitude du filtre (en dB) en fonction de la fréquence (réponse fréquentielle).
Finalement, l'annexe E, paragraphe 5.8, présente le nombre de solutions obtenues, pour différents triplets de paramètres (M0, N0, m) .
Par exemple, pour le triplet (4,5,2) , on obtient un ensemble de 61 solutions pour l'implémentation des matrices de décomposition, dont sept solutions présentent une dimension égale à 12, et quatre solutions présentent une dimension égale à 4.
Ainsi, l'annexe E présente un ensemble exhaustif de solutions tel qu'aucune solution n'est contenue dans une autre et chaque solution est définie avec un nombre minimal de paramètres angulaires (appelé dimension de cette solution), pour quelques valeurs du triplet (M0, NQ, m) .
« Nombre minimal de paramètres » signifie donc que dans chaque structure de réalisation le nombre de rotations nécessaire mis en oeuvre ne peut plus être réduit 5.3 Autres caractéristiques et avantages de l'invention
Selon au moins un mode de réalisation, l'invention permet : - d'obtenir les solutions angulaires paramétriques permettant la réalisation structurelle, au niveau du modulateur et du démodulateur, de la condition de reconstruction parfaite ; - l'adéquation des solutions proposées à l'utilisation de la méthode de représentation compacte (telle que rappelée en annexe E, paragraphe 5.6) pour déterminer les paramètres angulaires de la structure ou de la fonction prototype, et partant à l'optimisation de systèmes de modulation/démodulation de taille arbitraire, même pour un nombre Δ élevé ;
- l'obtention de structures régulières qui fournissent des solutions pour toutes les valeurs des paramètres (MQ, NQ, m) ;
- d'obtenir un système de transmission multiporteuse de type OFDM ayant une efficacité spectrale comparable à celle d'un système OFDM à préfixe cyclique (CP) de valeur réduite c'est-à-dire inférieure à 25% ;
- de travailler en temps discret, ce qui permet l'application directe des filtres ainsi construits dans les modulateurs/démodulateurs, notamment sous forme numérique ;
- une interprétation matricielle des systèmes à reconstruction parfaite permettant de déduire directement des structures de réalisation génériques et régulières ;
- d'obtenir, pour toute valeur du triplet (Mo,NQ,m), des familles de solutions de dimension minimale ou maximale ;
- d'obtenir un ensemble de solutions vérifiant les propriétés suivantes : - chaque solution est décrite à l'aide d'un nombre minimal de paramètres angulaires indépendants ;
- aucune solution n'est contenue dans une autre, et en particulier deux solutions différentes ne sont pas équivalentes ; - toute matrice para-unitaire, solution du problème posé, appartient à une solution au moins.
Ainsi, il est possible d'obtenir selon un mode de réalisation de l'invention un modulateur et/ou un démodulateur dans lequel les Δ étages (ou sous-blocs de filtrage polyphasé des bancs modulés DFT sont réalisés à l'aide d'un nombre minimal de paramètres angulaires indépendants. Par exemple, pour N0 = MQ + 1 , il est possible d'obtenir l'ensemble des solutions pour des longueurs de filtre prototype L = IΠANQMQ incluant les cas suivants :
- m = 1,...,5 pour M0 = 2 ; - m = 1,...,4 pour M0 = 3 ;
- m = l,...,3 pour M0 = 4 ;
- m = 1,2 pour M0 = 5 ;
- m = 1 pour M0 = 6.
En particulier, pour des valeurs de paramètres M0 = 2 , N0 = 3 et un filtre prototype de longueur L = 6mΔ , on obtient un ensemble de 3m - 1 solutions.
Pour M0 impair, N0 = M0 + 1 et un filtre prototype de longueur L = MANQMQ , on obtient la solution de dimension maximale. Pour M0 pair quelconque,
N0 = M0 + 1 et un filtre prototype de longueur L = mΔN0M0 , on obtient les m — 1 solutions de dimension maximale. Pour tout M0 , N0 = M0 + 1 et m quelconque, on construit une solution à dimension minimale mM0.
Selon un autre mode de réalisation, par dualité, l'invention permet également la réalisation d'un banc de filtres uniforme à N sous bandes et suréchantillonnage rationnel
Figure imgf000019_0001
1 ANNEXE A : La modulation OFDM
Pour une modulation OFDM sur M porteuses on veut transmettre des symboles complexes de données C^n (m € I = {0, • • • , M — 1} et n € Z). Les représentations usuelles pour ces symboles correspondent aux alphabets utilisés pour les modulations d'amplitude 5 comme la QAM (en anglais "Quadrature Amplitude Modulation") ou encore la PSK (en anglais "Phase Shift Keying") et sa variante en codage différentiel la DPSK. Le signal OFDM s'écrit en bande de base :
Figure imgf000020_0003
0 n O n o avec
Figure imgf000020_0001
et 10 - f(t) une fonction de carré intégrable appelée en général fonction prototype ;
- To durée symbole ;
- Fo espacement entre deux porteuses successives ; - J2 = -1.
Ainsi définie, (/m,n)(m,n)eixz constitue une famille de Gabor. Le but est de retrouver les is symboles C^n à partir du signal s(t). Ceci est possible si et seulement si (/m,n)(m,n)eiχz constitue une famille libre. Ainsi, la densité d = ψγ~ doit être inférieure ou égale à 1 pour pouvoir démoduler le signal. Or l'efficacité spectrale η, qui mesure le débit binaire par unité de temps et de fréquence, est liée à la densité par la relation η ≈ bd.
On en déduit que l'efficacité spectrale est maximale lorsque d = 1, i.e. Fo = 1/TQ. 20 Dans ce cas, le théorème de Balian-Low indique que f(t) est une fonction nécessairement mal localisée dans le plan temps-fréquence, c'est pourquoi on peut être amené à réduire l'efficacité spectrale en prenant d < 1. On dit alors que le système est à densité sous- critique.
Pour reprendre la convention d'écriture de [1], référencé en Annexe G, on peut repré- 25 senter un système OFDM par le triplet (/, T0, FQ) et on dira qu'un système OFDM est orthogonal si
Figure imgf000020_0002
La condition d'orthogonalité n'est pas indispensable pour retrouver exactement les symboles de données cmιTl après démodulation. Ainsi dans le cas d'un système dit biortho- gonal une famille de fonctions de Gabor différente de celle de l'émission peut être utilisée à
M la réception. Dans ce cas il faut déterminer un couple de fonctions de Gabor, par exemple fm,n et gmtn qui vérifie la condition (3). Par contre en présence d'un bruit blanc additif gaussien (AWGN) c'est la solution orthogonale qui assure que le taux d'erreur sera minimal.
Par le théorème de Balian-Low on sait qu'il est impossible de trouver un triplet (/, T0, Fo), ou un quadruplet (f, g, T0, F0) dans le cas biorthogonal, qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :
1. Les fonctions fm,n sont orthogonales (ou la paire fmηn, 9m,n est biorthogonale) ;
2. La fonction / est bien localisée en temps et en fréquence (ou les fonctions / et g sont toutes deux bien localisées en temps et en fréquence) ;
3. T0F0 = 1.
Ainsi dans le cas de l'OFDM de base, ToFo = 1 mais la fonction prototype est alors une fonction porte mal localisée en fréquence.
De ce fait les deux seules alternatives de type OFDM sont
- L'OFDM/OQAM qui, en relâchant la contrainte d'orthogonalité en la limitant au corps des réels par la technique Offset-QAM (OQAM), permet l'introduction de formes d'ondes bien localisées en temps et en fréquence, tout en conservant une efficacité spectrale maximale ;
- L'OFDM à densité sous critique qui introduit une perte d'efficacité spectrale pro- prortionnelle à 1/d.
2 ANNEXE B : L'OFDM suréchantillonné
Pour obtenir un système de modulation numérique à partir des expressions mathématiques du signal (1, 2), on peut soit procéder par un simple échantillonnage, soit utiliser directement la théorie des familles de Weyl-Heisenberg. Le lien entre les formulations s temps-continu et temps-discret, peut se faire en choisissant une période d'échantillonnage telle que la densité s'écrive d = jψ. De ce fait N > M si bien que pour transmettre M symboles de données N échantillons sont nécessaires, on parlera donc de système OFDM suréchantillonné. Au final le signal discret de l'OFDM suréchantillonné s'exprime sous la forme
Figure imgf000022_0001
îo avec
Figure imgf000022_0003
Dans cette dernière expression
- f[k] représente le filtre prototype que l'on supposera L rόponse impulsionnelle finie (RIF) de longueur L ;
- D est un paramètre lié au retard de traitement introduit par le système. Dans le « cas orthogonal D = L - I.
~ Ψm,n est un terme de phase qui va également nous permettre de décrire le détail d'une réalisation causale d'un modem (ou modulateur-dόmodulateur) OFDM suréchantillonné.
La condition d'orthogonalité s'écrit alors sous la forme
Figure imgf000022_0004
20 Si cette condition est réalisée à la démodulation nous obtenons
Figure imgf000022_0002
Notons à ce stade que le terme de phase φm<n n'a pas d'influence sur la condition d'orthogonalité (6). Deux remarques s'imposent également pour ce qui concerne la terminologie.
- Si on se réfère à [1], référencé en Annexe G, tout système modulé par des fonctions 25 de Gabor défini par un triplet (Z, T0, FQ) est un système OFDM.
- Dans la version à temps-discret, la notion de suréchantillonnage apparaît explicitement et l'on parle alors d'OFDM suréchantillonné. Toutefois un risque de confusion est toujours possible car le terme OFDM suréchantillonné est également utilisé pour des systèmes OFDM (ou CP-OFDM) où le signal modulé est obtenu pour N = M (avec éventuellement l'ajout d'un préfixe cyclique ou CP) et où l'opération de suréchantillonnage s'effectue sur le signal modulé ou sur le signal reçu.
3 ANNEXE C : Transmultiplexeur de l'OFDM suréchantillonné
3.1 Rappels
Les équations (4) et (5) peuvent se réécrire en faisant apparaître un banc de filtres s de synthèse à M sous-bandes ayant un facteur d'expansion égal à N constitué des filtres Fm(z) de réponses impulsionnelles :
Figure imgf000024_0003
à condition d'imposer que φm,n — —jjm-nN, et en appliquant les entrées cmtTl au banc ainsi formé. On obtient alors
+oo M-I
Figure imgf000024_0001
Considérons maintenant la démodulation. Elle est donnée par l'équation (7). Comme io on a posé φm<n = —jjmnN, la démodulation s'écrit
Figure imgf000024_0002
k oo
Pour gérer le délai de traitement D, on définit les entiers a et b, a > l et O < b < N — 1 par
Figure imgf000024_0004
Ainsi
Figure imgf000024_0005
D. En supposant que la famille {fm,n} constitue une base de l'espace qu'elle engendre, l'équation (10) se réécrit alors
Figure imgf000024_0006
is En rapprochant cette équation de la relation d'entrée sortie d'un banc d'analyse, on en conclut que la démodulation peut être effectuée avec un retard de a échantillons à l'aide d'un banc d'analyse à M sous-bandes, avec un facteur de décimation égal & N et constitué des filtres d'analyse Hm(z) de réponses impulsionnelles
Figure imgf000024_0007
à condition de poser h[k] = f*[D — k] et d'appliquer l'entrée s[k — b] au banc ainsi M constitué. Le modem OFDM/QAM à temps discret peut donc être réalisé à l'aide d'un transmultiplexeur ainsi que le décrit la figure 1. Les transmultiplexeurs de type OFDM suréchantillonnés ont été introduits dans [2], référencé en Annexe G, en tant que systèmes duaux des bancs de filtres suréchantillonnées. Dans le brevet [3], au nom du même Demandeur, les conditions de causalité, qui se traduisent par les paramètres a et b dans la figure 1, sont également introduites.
3.2 Schéma de réalisation efficace
La réalisation directe du modem OFDM/QAM à l'aide du transmultiplexeur de la figure 1 serait très coûteuse en termes de calculs. En effet, à l'émission et à la réception, elle fait intervenir M filtres de longueur L. De plus, ces filtrages sont effectués à une cadence TV fois plus grande que la cadence d'émission des symboles C77^n, d'où l'idée d'employer un filtrage polyphasé pour réduire le coût opératoire du modem. Dans le brevet [3], il a été montré comment obtenir des schémas à base de transformation rapide pour du BFDM. Comme il s'agit d'un cas particulier, on redonne simplement ici les grandes lignes permettant d'aboutir à ce type de schéma.
On définit tout d'abord les entiers N0 et M0 par :
Figure imgf000025_0001
avec lcm le plus petit multiple commun.
On utilise aussi les décompositions polyphasés de type I des prototypes d'émission et de réception :
avec :
Figure imgf000025_0002
Après quelques calculs, on obtient ainsi les schémas du modulateur et du démodulateur illustrés dans les figures du brevet [3]. Plusieurs variantes ont alors été proposées utilisant soit FFT ou IFFT à l'émission et à la réception.
Dans ces schémas, entrées et sorties sont notées dans le domaine transformé en z, tandis que II correspond à un bloc de permutation. 4 ANNEXE D : Reconstruction
4.1 Les conditions de reconstruction parfaite
Les conditions de reconstruction parfaite du système OFDM/QAM, ont été déjà démontrées dans le brevet [3] dans le cas BFDM. Ensuite sur la base d'un théorème dit de décomposition, elles ont été précisées pour le cas orthogonal dans [4]. Pour les exprimer, nous définissons tout d'abord l'expression
Figure imgf000026_0002
Nous notons ensuite par Δ le PGCD ("Plus Grand Commun Diviseur") de N et de
M, i.e N = AN0, M = AMo- Nous notons GιtP(z) = Gι&+P(z). Pour un filtre prototype de
B longueur L = mN0M = TnAN0Mo, nous pouvons alors montrer, par un théorème dit de décomposition [4], que les conditions de reconstruction parfaite se ramènent à Δ systèmes indépendants, tels que
Figure imgf000026_0003
où = GιtP(z) et où T désigne le paraconjugué d'une expression en z, ce qui dans le cas d'une fonction polynomiale à coefficients réels se traduit par exemple par l'égalité
Figure imgf000026_0001
4.2 Les critères d'optimisation
Le choix du critère d'optimisation des filtres prototypes dépend en général du type d'application envisagé. Dans le cas d'un système de transmission dans un canal statique comme celui de l'ADSL ("Asymmetric Digital Subscriber Line"), un choix usuel est des minimiser l'énergie hors-bande. Pour les canaux de type radio-mobile le modèle de modélisation correspond à un filtre variant dans le temps, le canal est alors dispersif en temps et fréquence. Dans ce cas, où la dimension temporelle et fréquentielle sont également importantes, le critère de localisation temps-fréquence est actuellement le critère de référence. C'est par exemple le cas dans [Ij, référencé en Annexe G.
4.2.1 La localisation temps- fréquence
Pour un signal discret x, nous utilisons une mesure de localisation discrète, notée ξ telle que
Figure imgf000027_0002
où les quantités π^z) et Tt2(x) correspondent repectivement aux moments d'ordre 2 temporels et fréquentiels tels que les a défini Doroslovacki [5].
4.2.2 La minimisation de l'énergie hors-bande
Le second critère que nous considérons est celui de la minimisation de la norme pondé- rée de l'erreur, notée E(u), en fréquence. Pour une fonction de pondération, notée W(u), la fonction objectif s'écrit
Figure imgf000027_0001
Dans le cas présent nous choisissons une fonction de pondération constante dans chaque intervalle définissant les bandes, passe-bas et passe-haut, du filtre passe-bas prototype. Pour un filtre prototype p, dont la transformée de Fourier est P(v), la fonction à minimiser s'écrit alors
Figure imgf000027_0003
où a et p sont deux nombres réels compris entre 0 et 1, avec a le paramètre de pondération et p le facteur de retombée ("roll-off"), qui détermine en partie les limites des bandes passante, fp, et atténuée, /s. Ainsi pour un système comportant 2M porteuses (ou sous- bandes), nous avons
Figure imgf000027_0004
Comme l'effet de la contrainte de reconstruction parfaite favorise un bon comportement dans la bande passante, nous choisissons de prendre a = 1.
5 ANNEXE E : Démonstrations
5.1 Principe de résolution
Notons par P(z) le filtre à réponse impulsionnelle finie FIR appelé filtre prototype. Pour une modulation exponentielle, le banc d'analyse à N sous-bandes et à facteur de dé- s cimation M, représenté à la figure 2A, comprend N filtres d'analyse Ht(z), i = 0, . . . , N— 1 tels que
Figure imgf000028_0002
où ω est la racine iV-ième de l'unité, ω = e~^ , connectés à N décimateurs d'ordre M. Les composantes polyphasé d'ordre MiVo de P(z) sont notées par Vt(z), i = 0, . . . , MNQ
Figure imgf000028_0003
et pour i = 0, . . . , N — 1 les composantes polyphasé d'ordre M de Ht(z) sont notées HtJ(z)o avec
Figure imgf000028_0004
En utilisant les équations (26, (27), (28) et la relation MN0 = JVM0, nous en déduisons que
Figure imgf000028_0005
La matrice polyphasé du banc de filtres d'analyse est une matrice de taille N x M ayant pour éléments les Hυ(z). Comme le montre la figure 2B, pour un signal x(n), de5 transformée en z notée X(z), le traitement produit par le banc d'analyse correspond au produit matriciel H(z)X(z) où X(z) est une matrice colonne M x I telle que
Figure imgf000028_0001
Comme l'a déjà montré Rima Hleiss [2], la matrice H(z) sa factorise sous la forme
Figure imgf000028_0006
où FN est la matrice de Fourier de dimensions N x N et la matrice V(z) de dimensions N x M est le produit
V(z) (32)
Figure imgf000029_0001
où In désigne la matrice identité de taille n. La matrice des IN contient Mo exemplaires concaténés horizontalement et celle des IM contient N0 exemplaires concaténés verticalement. Le problème à résoudre est de déterminer les structures de réalisation les plus appropriées pour l'implémentation de la matrice H(z) dans le cas de la modulation exponentielle et pour différentes valeurs de M0, N0, Δ et m. Le principe de résolution se base sur des équivalences entre la paraunitarité de matrices polyphasé et la condition de reconstruction parfaite. La démonstration est donc liée à la mise en évidence de proprités spécifiques qui sont ensuite utilsées pour produire de nouveaux schémas de réalisation pour les bancs de filtres suréchantillonnés.
5.2 Matrices associées au filtre prototype pour Δ = 1
Le problème de la reconstruction parfaite (RP) peut se ramener à Δ systèmes indépendants. On étudie plus particulièrement un système élémentaire dans le cas où Δ = 1. Soit M0 > 1, N0 > MQ et gcd(Mo, N0) = 1, pour chaque a tel que 0 < a < M0N0 — 1, nous pouvons déterminer par division euclidienne des entiers uniques k et p tels que
ou encore
Figure imgf000029_0002
(avec gcd le "greatest common divisor" ou plus grand diviseur commun). Puisque Mo et N0 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bezout, il existe une unique paire d'entiers (u, v) telle que :
Figure imgf000029_0003
A nouveau par division euclidienne, il est également possible de montrer que étant donné k et / avec 0 < k < N0, 0 < I < M0, il existe des entiers uniques p(k, l), q(k, I) et a{k, I) tels que
Figure imgf000029_0004
où rem(«, υ) correspond au reste de la division de u par v. Nous définissons également l'entier β(k, I) tel que
Figure imgf000030_0004
et l'entier a(k) tel que a(k) = 0 si Mo divise A; et 1 autrement. Nous pouvons de ce fait introduire un entier ε(k, I) tel que ε(k, I) = a(k) —β(k, I) prend s ses valeurs dans {0, 1}. Dans le cas où N0 = M0 + 1, cas particulier d'intérêt pratique important, on peut montrer que :
Figure imgf000030_0005
avec b un entier quelconque.
Toutes ces notations nous permettent d'exprimer la décomposition polyphasé du prototype P(z), correspondant au cas où Δ = 1, de la manière suivante io Les paramètres M0, N0 sont tels que Mo < N0, gcd(M0, No) = 1, et le filtre prototype P(z) est supposé FIR. Nous notons par Pa(z), a = 0, . . . , M0Nc, — 1 les composantes polyphasé d'ordre M0AO de P(z), i.e.
Figure imgf000030_0006
La matrice Vp(z) de taille N0 x M0 est définie par
Figure imgf000030_0001
et la matrice Up(z) de taille N0 x M0 est définie par
Figure imgf000030_0007
X5 On note par T1(^) la matrice diagonale carrée de taille N0 dont le (k+ l)-ième élément est z-i(kfi)+a(k)N 0 ^ Q < k < N0 et par T2(z) la matrice diagonale carrée de taille M0 avec pour (Z+l)-ième élément
Figure imgf000030_0002
0 < I < M0. A partir de la relation (39) et de la définition de la fonction ε(k, l), on peut montrer que
Figure imgf000030_0003
5.3 Structure de réalisation utilisant la décomposition
M Dans le cas général Δ > 1 et le filtre prototype va s'écrire sous la forme
Figure imgf000030_0008
avec pour tout i = 0, . . . , Δ — 1,
Figure imgf000031_0004
La relation (44) peut se généraliser de la manière qui suit
Figure imgf000031_0001
De manière à rendre contigues les lignes et les colonnes de V(z) dont les indices ont même reste dans la division euclidienne par Δ, on introduit la permutation σ/v sur l'ensemble {0, . . . , N — 1} définie par
Figure imgf000031_0005
et la permutation σu sur l'ensemble {0, . . . , M — 1} définie par
Figure imgf000031_0006
On note alors P la matrice de permutation de dimension N correspondant à σ^ définie par
Figure imgf000031_0007
Puisque N = ANo, la matrice de Fourier FN admet une décomposition tenant compte de la nature composite de TV.
Figure imgf000031_0002
où la matrice diagonale de blocs FNo en contient Δ, celle de blocs FA en contient NQ et D est la matrice diagonale dont l'élément de ligne et colonne i + 1 est ωqr si i = qA + r. La figure 2B produit alors le schéma représenté à la figure 3 où chacune des composantes Δ-polyphase du filtre prototype P(z) intervient dans ce diagramme pour définir un banc modulé à iV0 sous-bandes avec un facteur de décimation égal à Mo- A noter que dans ce schéma :
~ La matrice P est notée II ;
- L'impact de la dernière matrice P dans l'expression (51) est prise implicitement en compte dans le ré-ordonnancement des blocs matriciels
Figure imgf000031_0003
De la manière on peut déduire le banc de synthèse représenté à la figure 4. 5.4 Quelques caractéristiques des solutions obtenues
Dans toute cette étude, on considère des filtres réels à réponse impulsionnelle finie (FIR), c'est-à-dire les polynômes réels en la variable z~ι .
Si A(z) est un matrice à N lignes et M colonnes dont les éléments sont des filtres, on 5 note Â(z) la matrice à M lignes et N colonnes dont les éléments sont donnés par
Figure imgf000032_0001
Une matrice paraunitaire est une matrice A(z), avec M < N, vérifiant
Figure imgf000032_0002
où IM est la matrice unité de dimension M.
La théorie des bancs de filtres modulés suréchantillonnés à reconstruction parfaite et celle des transmultiplexeurs OFDM/QAM suréchantillonnés possédant la propriété de io reconstruction parfaite conduisent toutes deux à l'utilisation de matrices paraunitaires avec M et N premiers entre eux. Le théorème de décomposition est le résultat de base dans cette réduction.
Lorsqu'il s'agit d'utiliser des matrices paraunitaires et par exemple de faire une optimisation sur l'ensemble de ces matrices, on peut choisir de représenter ces matrices par leurs
15 coefficients. Mais on doit dans ce cas imposer aux coefficients de vérifier les contraintes résultant de l'équation matricielle (53). Il est préférable d'utiliser une représentation paramétrique de l'ensemble des matrices paraunitaires à l'aide d'un ensemble de paramètres indépendants, représentation qui implique automatiquement que l'équation(53) est vérifiée. Par exemple, une matrice paraunitaire constante avec M = N est simplement
2o une matrice orthogonale et l'on sait bien représenter ces matrices à l'aide de M(M — l)/2 angles et d'un paramètre discret qui est le signe du déterminant (généralisation des angles d'Euler).
La référence [4] donne un ensemble de représentations paramétriques de la classe particulière de matrices paraunitaires qui intervient pour les transmultiplexeurs modulés
2s OFDM/QAM à reconstruction parfaite. Cette méthode repose sur une analyse du système d'équations algébriques obtenu à partir de l'équation (53).
5.5 Reconstruction parfaite sous forme matricielle
Par rapport à [4] la réécriture des équations de reconstruction parfaite (RP) avec des équivalences sous forme matricielle est un élément important dans l'élaboration des M solutions décrites par la suite.
Pour un filtre prototype P(z) donné, les conditions suivantes sont équivalentes : (a) La matrice V[z) est paraunitaire.
(b) Les matrices V^ (z) sont paraunitaires pour i = 0, . . . , Δ — 1.
(c) Les matrices
Figure imgf000033_0001
sont paraunitaires pour i = 0, . . . , Δ — 1.
(d) Les relations suivantes sont vérifiées par les composantes MiV0-polyphases V1 (z) s du filtre P(z)
d\M0
Figure imgf000033_0002
1 = 0, . . . , M0 - I, A = 1, . . . , M0 (54) avec nιt\ =
Figure imgf000033_0009
et où dmn est le symbole de congraence.
A noter dans ces équivalences que les matrices
Figure imgf000033_0003
se déduisent des relations (42) et (43) décrites dans le cas Δ = 1 et que dans le cas général ces matrices sont liées par la relation (47) . Aussi différemennt de [3, 4] les symboles U et V sont utiliséso au lieu de K et G pour noter les composantes polyphasés ce qui explique la différence entre (54) et (21).
5.6 Symétrie et filtre prototype à phase linéaire
Rappelons que les composantes MΛO-polyphases du filtre prototype sont de degré m — 1 avec m > 1. Le filtre P[z) est alors de longueur L = MoNoAm et de degré L - I5 en z'1.
Le symétrique du filtre prototype P{z) pour les paramères (Mo, N0, Δ, m) est noté par définition σχ,(P)(z). Ses composantes polyphasé d'ordre MN0, notées Wt{z), i = 0, . . . , MN0 — 1, sont reliées aux composantes polyphasé Vt(z) d'ordre MΛO-polyphase de P(z) par les équations
Figure imgf000033_0004
De la même façon, les composantes Δ-polyphase Q1[Z), i — 0, . . . , Δ — 1 de σι[P)[z) sont données par
Figure imgf000033_0006
où les Pt[z), i = 0, . . . , Δ — 1 sont les composantes Δ-polyphase de P[z).
Pour n > 0, nous introduisons Jn comme étant la matrice nxn définie par
Figure imgf000033_0005
= 1, k = 1, . . . , n et 0 ailleurs. On peut alors montrer que les matrices sont reliées par l'équation
Figure imgf000033_0007
Figure imgf000033_0008
On peut mettre en évidence une relation similaire entre les matrices
Figure imgf000034_0004
i = 0, . . . , Δ — 1, mais ceci nécessite l'introduction de deux nouvelles matrices diagonales.
On définit ainsi T$(z) comme la matrice diagonale carrée de taille NQ avec pour (A;+ 1)- ième élément z (β(*,o)+«(JVb-i-fc,o)+«)/iVb-α(*)-β(Λb-i-fc) ) g^ que \a matrice T4 (z), également 5 diagonale carrée, mais de taille M0 avec pour (7+l)-ième élément z (Φ,i)+q(p,Mo-i-i)+i-u)/N Q ) ^
Les matrices sont reliées par l'équation :
Figure imgf000034_0005
Figure imgf000034_0001
JM0 T4(Z). (58)
Des résultats précédents (57), (58), ainsi que du théorème de décomposition (cf. Annexe, section IV.1), on peut déduire qu'un filtre prototype P(z) a la propriété PR pour les paramètres (Mo, NQ, Δ, m) si et seulement si le filtre prototype symétrique σ^_i(P)(z) io a la même propriété.
Quand Δ est pair, les mêmes arguments permettent de construire un filtre prototype symétrique, i.e. P(z) = <7£_i(P)(z), en choisissant les premières Δ/2 composantes Δ- polyphase telles que Pt(z), i = 0, . . . , j — 1 avec la propriété PR et enfin d'obtenir les composantes polyphasés restantes par
Figure imgf000034_0006
« 5.7 Paramétrisation angulaire et notion de solution 5.7.1 Les rotations élémentaires
Pour N > 2 et l < i, j < N, i φ j, on appelle rotation élémentaire de coordonnées i, j et d'angle θ, la rotation de HN dont la matrice R = Rι,j(θ) est donnée par
Figure imgf000034_0002
L'ensemble des rotations [R1^(O), θ € R} est noté R1^.
20 Cette notation est étendue au produit de rotations élémentaires en convenant que les angles qui apparaissent dans les diverses rotations sont des paramètres indépendants. Ainsi par exemple
Figure imgf000034_0003
Le groupe des rotations directes dans R^ est désigné par SON (R) : ses éléments correspondent aux matrices réelles R de dimension TV vérifiant RRT = I^ et det(ft) ≈ 1. Dans R3, la représentation d'une rotation directe à l'aide des angles d'Euler correspond à l'identité
Figure imgf000035_0001
Cette factorisation multiplicative d'une rotation de H3 à l'aide de rotations élémentaires se généralise à R
Figure imgf000035_0002
s ce qui permet d'exprimer toute rotation directe de ΕlN comme produit de 2 ~ ' rotations élémentaires.
Dans toute la suite, on utilisera la notation Rιlt...ttk avec k < N pour désigner dans SO JV (R) le sous-groupe des rotations qui laissent invariantes les j'-ème coordonnées avec
Figure imgf000035_0003
o Un produit de rotations élémentaires peut parfois être simplifié. Par exemple le produit -Ri,2-R2,3-Ri,2-Ri,3 est égal à -Ri ,2^2,3 -Ri, 2 puisque ce dernier produit représente, à l'aide des angles d'Euler une rotation directe quelconque de R3.
Pour N = 2, le résultat est trivial grâce à l'identité
Figure imgf000035_0004
Pour N = 3, le représentation par les angles d'Euler est généralisée par le résultat5 suivant. On a
Figure imgf000035_0005
5.7.2 Les décalages
Soit N > 2, I un sous-ensemble d'indices compris entre 1 et TV et Zi la matrice0 diagonale de dimension N dont les éléments diagonaux sont donnés par [2T/]J,J = z~ι si i £ / et 0 sinon. Si A(z) est une matrice paraunitaire à N lignes et M colonnes avec
M < N, alors ZjA(z) également. On note Zj la transformation définie par la matrice
Zi, que l'on appelle un décalage.
5.7.3 Définitions Soit M0 et NQ avec Mo < No, M0 et No premiers entre eux. On note UMO,NO l'ensemble des matrices paraunitaires à N0 lignes et Mo colonnes. ^M0,N0,m avec m > 0 désigne le sous-ensemble de UMO,NO des matrices dont les éléments sont de degré en z~x inférieur ou égal à m. En particulier UMO,NO,O est l'ensemble des matrices paraunitaires de dimension JV0 x Mo constantes.
Une matrice A(z) de UM0,N0,m peut se représenter comme polynôme en z~ι à coefficients matriciels constants :
Figure imgf000036_0001
Les matrices de UM0,N0,m vérifiant la propriété suivante : pour 0 < k < N0 — 1 et
0 < / < M0 - 1, si a(k, M0) - ε(k, l) = 1 alors [A0]fc+1)(+i = 0, sinon [A]m]k+lti+1 = 0 forment un sous-ensemble noté SM0,N0,m- Ces matrices paraunitaires ont la forme des matrices U^' (z) considérées dans le paragraphe 5.2.
Une matrice de UMO,NO constante dont les éléments sont dans l'ensemble {0, 1, —1} est dite élémentaire. Une telle matrice possède nécessairement Mo valeurs non nulles, égales à 1 ou -1, de telle façon que deux éléments non nuls ne soient ni sur la même colonne ni sur la même ligne. Notation.- Une matrice élémentaire U ne contenant que des 0 ou des 1 possède un élément égal à 1 dans chaque colonne, sans avoir deux éléments égaux à 1 sur la même ligne. Pour la colonne I avec 1 < / < Mo, on note k{l) l'indice de ligne compris entre
1 et N0 tel que Uk(I)1I = 1. On convient alors de noter U sous la forme plus compacte U0[Ar(O) k(l) . . . AT(M0 — 1)]. Par exemple la matrice
Figure imgf000036_0002
est notée U0[A 3 2 5], le nombre de lignes de cette matrice étant fixé par le contexte.
Une solution S de SM0,N0,m est un sous-ensemble de la forme S = TiT2 . . . TkU0 où
T, pour i — 1, . . . , k est soit un décalage Zi avec / G {1, . . . , No}, soit un ensemble de rotations élémentaires de la forme R1J avec 1 < i,j < N0 , ι φ j. Un élément de S est fonction de n paramètres angulaires indépendants où n est le nombre de rotations élémentaires dans la suite Ti, . . . , T^.
Deux solutions S = T1T2 . . . TkU0 et S' ≈ T[Tl1 . . . Tk',U'o sont équivalentes si S = S' de façon ensembliste. On dit que S est une solution injective s'il n'existe pas de solu- tion équivalente avec un nombre strictement inférieur de rotations dans la suite de ses transformations. La notion de dimension qui sera introduite ultérieurement permet d'établir qu'une solution est injective si son nombre de paramètres angulaires est égal à sa dimension.
5.7.4 Solutions symétriques
Avec la définition du paragraphe précédent, on dit qu'une solution S est symétrique si φm(S) = S.
Pour MQ > 2 et iV0 = Mo -+- 1, si No et m sont impairs, il n'existe aucune solution symétrique.
5.8 Description générale de l'ensemble des familles de solutions 5.8.1 Algorithme général de résolution
Pour Mo, N0, m fixé, nous donnons un algorithme général permettant d'exprimer l'ensemble SM0,N0,m sous forme de l'union d'un ensemble de solutions, chaque solution étant un ensemble de matrices paraunitaires obtenues comme produit par une suite de rotations et de décalage d'une matrice paraunitaire élémentaire.
Définition des motifs, encore appelés "patterns" :
L'ensemble SMO,NO,TTI est constitué des matrices paraunitaires A(z) de dimensions TVo x M0
Figure imgf000037_0001
où les matrices constantes Ao et Am de dimensions No x Mo possèdent des éléments nuls préassignés : ) )
Figure imgf000037_0002
pour 0 < k < N0 - 1, 0 < I < M0 - 1.
On introduit alors la notion plus générale de motifs ou pattern qui correspond à l'ensemble des matrices paraunitaires de la forme (69) pour lesquelles les matrices AQ et Am possèdent des éléments nuls préassignés. Soit A un sous-ensemble de S = [1, . . . , N0] x [1, . . . , Mo]. Nous notons par M. A l'ensemble des matrices réelles M de dimensions No x Λ/o telles que Mτj — 0 for (ι,j) $. A. A tout sous-ensemble A of S est associé un tableau de dimensions No X MO, noté A, dont les éléments sont dans {0, x } tel que A%J = x si (i, j) G S et 0 ailleurs.
La même notation A est utilisée pour l'ensemble UMa,N0,m H MA qui est appelé un pattern orthogonal, c'est-à-dire l'ensemble des matrices orthogonales No χ M> avec des zéros préassignés pour les indices dans S \ A.
Pour A et 5 ^ 0 deux sous-ensembles de 5, nous désignons par i ooo β le sous- ensemble des matrices M dans UMO,NO telles que Mo € Λ^A et Mm € MB OÙ m est le degré de M avec m > 0.
Par convention A ooo 0 ≡ A ooo S_.
Le sous-ensemble des matrices paraunitaires de degré m dans AoooB_ est noté AooomB_ et de façon cohérente avec la précédente convention A ooom φ ≡ A ooom_1 5.
Les ensembles A ooom H et i ooo β sont appelés des patterns paraunitaires.
Pour M0 > 2, N0 > M0, gcd(M0, No) = 1, définissons
Figure imgf000038_0001
alors
Figure imgf000038_0002
d'après les équations (70) at (71) et
Figure imgf000038_0003
est l'ensemble des matrices paraunitaires à renconstruction parfaite.
Exemple.- Pour MQ = 4, No = 5 et avec la notation utilisant des tableaux
Figure imgf000038_0004
II est immédiat de vérifier que si A\ C A2 and B\ C B2 alors A1 000 H1 c A2 000 H2.
Action des rotations sur les patterns : Soit Rι,j(θ) une rotation d'angle quelconque θ comme définie au paragraphe 5.7.1 et A un pattern orthogonal. Alors puisque la rotation agit sur les lignes i et j, si M € A 000 H l'élément constant de ligne 1 ou j et de colonne /, ! < / < M0 de la matrice R1^(O)M est non nul si (i,j) G A ou (j, I) G A. En notant  l'ensemble des (k, I) tels que (k, I) € A si k φ i et k φ j ou k = i ou k = j avec (i, k) G A ou (j, k) G A, on a donc avec la notation ensembliste pour la rotation Rt j A C A.
De la même façon on définit l'action d'une rotation R13 sur un pattern paraunitaire s A 000 B et l'on établit que R1^A 000 B c i 000 B_.
Remarquons que les lignes i et j des patterns obtenus après action d'une rotation R13 sont identiques.
Inversement, on dit qu'un pattern paraunitaire A 000 B est piυotable ("rotatable") s'il existe deux indices i et j, i φ j tels que les deux lignes i et j du pattern sont identiques 10 avec au moins un élément non nul (i, k) G A et un élément non nul (i, I) G B. Dans ce cas, il existe deux possibilités. Si les colonnes A; de A et I de H ont les seuls éléments communs de lignes i et j non nuls, on pose A' = A — {(j, k)}, B' = B — {(i, l)}, et sinon A' = A, B' ≈ B - {(i, l)}.
On a alors A ooo B_ = R,i3A' 000 B'. xδ De même on dit qu'un pattern orthogonal A est pivotable i et j, i φ j tels que les deux lignes i et j du pattern sont identiques avec au moins deux éléments non nul (i, k) et (i, I) dans A. Dans ce cas, on distingue deux cas. Si les colonnes k et I de A ont les seuls éléments de lignes i et j non nuls communs, on pose A' = A — {(j, k), (i, l)}, et sinon A' = A - {(i, l)}.
20 On a alors A = R1 3A'.
Action des décalages sur les patterns :
Soit I un sous-ensemble non vide d'indices compris entre 1 et N0 et Z1 le décalage défini dans le paragraphe 5.7.2. Si M G Aooom_1B_ est un pattern paraunitaire avec m > 1, alors Z1M G À ooom £? où les ensembles  et B sont définis par ^4 = {(i, k), (i, k) G A, k g /}, 25 B = {(i, k), (i, k) E B, k e I}.
De la même façon, pour un pattern orthogonal, on a ZiA C i o o o0 β où i =
{(t, k), (z, k) e A, k ^ i}, É = {(1, k), (i, k) e Ay k e i}.
Inversement, on dit qu'un pattern paraunitaire A ooo B_ est réductible en degré si pour tout indice i compris entre 1 et N0 la ligne i de A a tous ses éléments nuls, ou bien la ligne 30 i de B_. On note / l'ensemble des indices pour lesquelles la ligne i de A a tous ses éléments nuls. On peut alors écrire A ooom B_ = ZιAiooom_x B^ où A' — {(i,j), (i,j) G A ou i G /} et B' — {(ι,j), (i,j) G B ou i $ /}, et l'on dit qu'il s'agit d'un décalage paraunitaire. On a aussi A oOo0 B = Z1AL où A' = {(i, j), (hj) £ A, i i 1} U {(t, j), (i, j) G B, i G /} et l'on dit qu'il s'agit d'un décalage orthogonal.
L'opération de scindage :
Si la matrice donnée par l'équation (69) est paraunitaire, alors en particulier on a la relation A^nAo = 0, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de AQ sont orthogonaux aux 5 vecteurs colonnes de Am. Si une colonne d'indice k de Ao et une colonne I de Am sont telles que [Ao]1A; = 0 ou [Am],/ = 0 sauf pour i = i$ avec 1 < io < NQ, alors la relation d'orthogonalité entre les vecteurs colonnes k de A0 et I de An s'écrit [Ao],^^]^ = 0 et donc soit [Ao]ιok = 0, soit [Am}%ol = 0.
On dit alors qu'un pattern paraunitaire A ooo B_ est scindable si ses matrices A et B_ io vérifient la propriété précédente. On peut alors écrire
Figure imgf000040_0001
où A! et B' sont définis par A' = A - {(i0, k)}, B' = B - {(iQ, l)}.
Cependant les patterns paraunitaires ^ooo β ou i ooo β^ peuvent eux-mêmes être encore scindables. On peut donc recommencer l'opération de scindage tant que cela est possible et nous pouvons démontrer que quelque soit l'ordre choisi pour les scindages s'il
15 existe des possibilités de choix, on obtient une décomposition unique du pattern scindable
A ooo B_ sous la forme
Figure imgf000040_0002
où K > 2 , Ak C A, Bk C B, 1 < k < K et où chaque pattern A_k_ ooo Bj1 n'est plus scindable. Cette décomposition du pattern A ooo B_ est appelée son scindage total et les Ak ooo Bk les composantes du scindage.
M Patterns orthogonaux quasi-élémentaires :
Les vecteurs colonnes d'une matrice orthogonale sont orthogonaux. On appelle pattern orthogonal quasi- élémentaire un pattern A tel que pour toute ligne i, il existe au plus une colonne k telle que (i, k) E A. Pour 1 < k < MQ1 on note alors Ik l'ensemble des lignes i telles que (i, k) 6 A.
.s Comme les vecteurs colonnes d'une matrice orthogonale sont également unitaires, deux possibilités se présentent.
Soit il existe un indice de colonne tel que Ik est vide et dans ce cas A = 0, soit tous les Ik, 1 < k < MQ sont non vides et l'on peut noter /& = {^,1, ^,2, - - • , ik,ck}, où c^ > 1 est le nombre d'éléments de Ik- II est alors facile de montrer que A peut s'écrire sous la forme
Figure imgf000041_0003
où *2,i> - • • ' *M),i] es* une matrice orthogonale élémentaire comme définie en 7.3. On voit alors qu'un pattern quasi-élémentaire est vide ou bien est de la forme d'une solution.
s Définition des STAP :
On suppose toujours dans ce paragraphe que M0 > 1 et N0 > M0 avec gcd(Mo, N0) = 1 sont donnés.
L'acronyme STAP désigne une Suite de Transformations Appliquées à un Pattern. Un STAP est constitué d'une suite Ti, T2, Tk de transformations, éventuellement vide, chaque 10 T% étant une rotation R10 avec 1 < i < j < N0 ou bien un décalage Z1 avec / C {1, . . . , N0] et d'un pattern paraunitaire Aooo β ou orthogonal A
Exemples. Une liste vide de transformation et le pattern paraunitaire à reconstruction parfaite constitue ce qu'on appelle le STAP à reconstruction parfaite. A une solution
S = T1T2 . . . TkU0 peut être associé le STAP constitué de la suite [Tx, T2, . . . , Tk) et du χ5 pattern orthogonal A défini par A = {[i, j), [Uo]t3 = 1} où U0 est une matrice paraunitaire élémentaire. Ce second type de STAP est appelé un STAP solution.
Si le pattern d'un STAP est pivotable par la rotation R1^ alors on dit que le STAP est pivotable. On définit la rotation sur le STAP par
Figure imgf000041_0004
où A', B' sont définis dans le paragraphe 5.8.1, et
Figure imgf000041_0005
20 où A' est défini dans le paragraphe 5.8.1.
De même si le pattern d'un STAP est réductible en degré avec un ensemble d'indices /, le STAP est dit réductible en degré et l'on définit son décalage avec un pattern paraunitaire par ]
Figure imgf000041_0001
où A', B' sont définis dans le paragraphe 5.8.1. Son décalage avec un pattern orthogonal ∞ est défini par
Figure imgf000041_0002
où A' est défini en 5.8.1.
Si le pattern d'un STAP est scindable, alors on peut l'écrire comme équivalent à un ensemble de STAP dont les patterns sont les composantes du scindage, et l'on dit que le STAP est scindable et que l'on a effectué le scindage du STAP. Enfin si le pattern A d'un STAP E est un pattern orthogonal quasi-élémentaire, qui est vide ou s'écrit sous la forme
Figure imgf000042_0003
est une matrice orthogonale élémentaire, alors le STAP représente un ensemble vide ou égal au STAP note QE[E)
Figure imgf000042_0002
défini par A' — {(i,j),
Figure imgf000042_0001
= 1} qui est donc un STAP solution.
Première étape de l'algorithme général : Pour des valeurs fixées de MQ, NQ, m, on part de l'ensemble I constitué par le STAP à reconstruction parfaite et l'on construit l'ensemble de STAP SQ par l'algorithme suivant
ToDo = I
£o = 0 tant que Todo φ 0 faire { x = first(ToDo) ToDo = Todo - {x} si x scindable alors ToDo — ToDo U scindage(x) sinon si x pivotable alors ToDo = ToDo U {rotation(a;)} sinon si x réductible en degré alors SQ = EQ U {X} sinon erreur "STAP non transformable"
} retourner SQ
Dans cet algorithme x = fιτst(ToDo) signifie que l'on choisit un élément x dans ToDo, le plus petit pour un ordre quelconque sur ToDo, par exemple le premier si ToDo est représenté par une liste. L'ensemble SQ est constitué de STAP qui sont tous réductibles en degré. L'ensemble SQ est l'ensemble des décalés paraunitaires des éléments de SQ. On construit alors l'ensemble S\ en utilisant le même algorithme où T est remplacé par SQ et SQ par S\ et ainsi de suite. La construction de S1, i = 0, . . . , k est donc donné par l'algorithme suivant. de i = 0 à k faire { si i = 0 alors ToDo = 1 sinon ToDo — {décalage(:r), x G £t_i}
tant que Todo φ 0 faire { x = first(ToDo) ToDo = Todo - {x} si x scindable alors ToDo = ToDo U scindage(x) sinon si x pivotable alors ToDo = ToDoU {rotation(a;)} sinon si x réductible en degré alors E1 — E% U {x} sinon erreur "STAP non transformable"
} } retourner {Eo, . . . , Sk)
Les ensembles de STAP On, n > 1 sont les STAP obtenus à partir des STAP de En-\ par décalage de leurs patterns réductibles en degré vers des patterns orthogonaux. On applique alors l'algorithme suivant pour transformer On en un ensemble de STAP quasi-élémentaires, puis un ensemble Sn de STAP solutions.
ToDo = On
<S« = 0 tant que Todo φ 0 faire { x = first{ToDo) ToDo ≈ Todo - {x} si x scindable alors ToDo = ToDo U scindage(x) sinon si x pivotable alors ToDo = ToDo U {rotation(x)} sinon si x quasi-élémentaire alors Sn = EQ U {QE(X) } sinon erreur "STAP non transformable"
} retourner Sn A l'ensemble Sn correspond un ensemble de solutions dont l'union est SM0,N0,m, c'est-à- dire exhaustif. Mais, après cette première étape de l'algorithme, cet ensemble de solutions présentent les inconvénients suivants :
- Une solution peut être contenue dans une autre, c'est-à-dire que l'ensemble Sn est s redondant.
- Une solution peut dépendre d'un nombre de rotations strictement supérieur à sa dimension.
L'étape suivante consiste à partir de Sn à construire un ensemble de solutions ne présentant plus ces deux inconvénients.
ιo Seconde étape de l'algorithme général :
Considérons une solution S = Ti, T2, . . . ,TkUo, dépendant de n rotations R11 Jx, . . . FL1n^n l'application φs : (9χ, . . . , θn) → M(θχ, . . . , θn) où M(θχ, . . . , θn) est la matrice N0 x JW0 réelles obtenues en affectant les angles θt, ι = 1, . . . , n à celles des tranformations T1 qui sont des rotations est appelée représentation paramétrique de la solution. L'application îβ φs peut être considérée comme une application de Hn dans JR,^0 M° et la dimension maximale de l'espace tangent en φ(θχ, . . . , θn) est atteinte presque partout sur IR". On appelle cette dimension maximale la dimension de la solution et on la note dim(S'). On a toujours (Um(S) < n
On peut alors montrer qu'il est possible de conserver la même solution en supprimant 20 n — dim (S) rotations parmi les n contenues dans la solution initiale. L'algorithme pour obtenir cette réduction du nombre de rotations est le suivant : en calculant successivement TkUo, Tk-χTkUo, . . . , Tχ . . . TkUo, on supprime les transformations T1 qui sont des rotations et n'augmentent pas de 1 la dimension.
Étant données deux solutions Sx : Ti . . . TkU0 et S2 : Ux . . . Ui VQ, avec dim (Si) = k < 25 I = dim(S2) et φs1, φs2 leurs représentations paramétriques respectives, il est possible de démontrer que l'un des cas suivants est vérifié :
1. soit φs1(Εik) est contenu dans φs2(1Rι), autrement dit Sx C S2,
2. soit φg*(φSl(Rk) n φs2ÇB!)) est de mesure nulle dans H*.
Pour montrer que 5i C 52, on choisit donc une valeur aléatoire θ = (#i, . . . , #&) des
M paramètres de Sx et on cherche à minimiser la distance δ = minα
Figure imgf000044_0001
lorsque a — (ax, . . . , ai) € H . Dans la cas 1, J = O tandis que dans le cas 2, δ > 0. Un logiciel numérique d'optimisation globale est utilisé pour calculé la valeur de δ et l'optimisation est lancée avec plusieurs valeurs initiales pour a. 5.8.2 Application directe au cas NQ = M0 + 1
L'algorithme de résolution, avec ses deux étapes, conduit aux ensembles de solutions dont les propriétés sont décrites dans le tableau 1 dans le cas de quelques valeurs de (M0, N0, m) avec N0 = M0 + 1.
Les 2 solutions du cas Mo = 2, No — 3, m — 1 sont, à titre d'exemple, fournies au tableau 2.
Cependant, l'algorithme général peut être utilisé également dans des cas où NQ > MQ + 1. Par exemple pour M0 = 3, No = 5, m = 1 on obtient que £3,5,1 est constitué de 4 solutions données dans le tableau 3.
L'algorithme présenté ici constitue une considérable amélioration de celui qui était proposé dans [4] puisque, par exemple, l'ensemble £4,5,2 est décrit par 61 solutions, nombre qui ne peut être réduit, alors qu'il l'était à l'aide de 13502 solutions.
5.8.3 Enumération exhaustive des solutions pour le cas Mo = 2 et TV0 = 3 L'ensemble des solutions obtenues dans ce cas peut se caractériser de la manière qui suit.
Soit m > 1. Les m — 1 sous-ensembles A01, a = 0, . . . , m — 2 de U2,3,m définis par
Figure imgf000045_0001
sont m — 1 solutions distinctes de <S2,3,m de dimension 2m et de support nul symétrique
{dl,0, <74,m-l} .
Ils vérifient les relations de symétrie φm^\{Aa) = ^4m_2-α, a — 0, . . . , m — 2. Si m est pair, ^l(m_2)/2 ^t donc une solution symétrique de £2,3,™ de dimension 2m. Pour m > 1 et a = 0, . . . , m — 2, on pose, pour a < m — 3
Figure imgf000045_0002
Figure imgf000046_0001
Figure imgf000047_0001
TABLE 2 - Solutions pour M0 = 2, N0 ≈ 3, m = 1.
Figure imgf000047_0002
TABLE 3 - Solutions pour MQ = 3, N0 ≈ 5, m = l.
et
Figure imgf000047_0003
Les sont m — 1 solutions distinctes de de dimension 2m
Figure imgf000047_0007
Figure imgf000047_0008
et de support nul non symétrique
Figure imgf000047_0009
Les sont m — 1 solutions distinctes de <S2,3,"> de dimension 2m et
Figure imgf000047_0006
de support nul non symétrique
Figure imgf000047_0010
Les relations de symétrie suivantes sont vérifiées :
Figure imgf000047_0005
2.
On pose enfin
et
Figure imgf000047_0004
Alors D et E sont deux solutions de <S2,3,m de dimension 2m, de supports nuls non symétriques
Figure imgf000048_0006
5.8.4 Obtention des solutions de dimension maximale pour Mo impair et
Figure imgf000048_0007
Pour MQ < 2, on définit la matrice unitaire élémentaire UM0 de dimensions M0 x (M0 + 1) par :
- Si MQ est pair, MQ = 2mo :
Figure imgf000048_0001
- Si MQ est impair, M0 = 2mo + 1
Figure imgf000048_0004
Exemples.
Figure imgf000048_0002
Soit
Soit les matrices NQ X NQ définies, pour MQ impair, par
Figure imgf000048_0005
Figure imgf000048_0003
Figure imgf000049_0001
La solution SM0 définie par
Figure imgf000049_0002
est une solution de SM0,N0,m- Cette solution est symétrique et de dimension TΠ{NQ/2)2.
On conjecture que la solution SM0 du théorème précédent est l'unique solution de s SM0,No,m de dimension maximale m(No/2)2 pour Mo impair.
5.8.5 Obtention des solutions de dimension maximale pour Mo pair et N0 =
M0 + 1
Soit les
Figure imgf000049_0008
matrices NQ X JV0 définies, pour Mo pair, par
10
Pour e
Figure imgf000049_0003
« Alors les
Figure imgf000049_0004
solutions distinctes de
Figure imgf000049_0005
et de même support nul. Les relations suivantes de symétrie sont vérifiées
Figure imgf000049_0007
Figure imgf000049_0006
On conjecture que les solutions Ano,α>
Figure imgf000049_0009
du théorème 2 sont de dimension maximale
Figure imgf000049_0010
et lorsque m est pair,
Figure imgf000049_0011
est l'unique solution symétrique » de dimension maximale dans SM0,N0,m- Si m est impair, il n'existe aucune solution symétrique de dimension maximale. 5.8.6 Obtention des solutions de dimension minimale pour tout Mo pair et
Figure imgf000050_0004
Pour Mo > 1 and No = Mo+ 1, on définit la matrice UQ rectangulaire unitaire NQ X MO par [Uo]ij = 1 si i = j et [UQ]^J = 0 $i i φ j. L'ensemble des matrices B est défini par
Figure imgf000050_0001
Alors, pour m > 1, l'ensemble des matrices
Figure imgf000050_0003
défini par
Figure imgf000050_0002
est une solution dans SM0,N0,m de dimension mMo- Nous conjecturons que cette dimension mMo est la dimension minimale des solutions dans «SMO.MO+I,™ lorsque cet ensemble est décrit comme union d'un ensemble irréductible de solutions.
6 ANNEXE F : Exemples
Dans ce qui suit nous détaillons le cas particulier d'un système de banc de filtres pour les valeurs de paramètres Mo = 5, JV0 = 6, Δ = 12, m = 4. Ce calcul correspond donc à celui nécessaire pour un système OFDM suréchantillonné dans un rapport 6/5 s et comprenant 60 sous-porteuses, ce qui se traduit par un filtre prototype de longueur
L = 1440.
Dans le cas de cet exemple, il nous suffit d'appliquer la méthode qui suit Pour k, I avec 1 < k < I < JV0, on définit la matrice de rotation Rki(θ) de dimension JV0 x JVo et d'angle θ dans le plan (k, I) par
Figure imgf000051_0001
,j io Dans les schémas de réalisation, une rotation Rkι(θ) sera représentée comme dans la figure 5.
Enfin Zjv0 est la matrice carrée diagonale de dimensions JVo x JV0 dont les termes diagonaux sont égaux à 1 sauf sur la dernière ligne dont le terme est z~x.
Pour MQ > 1 e£ JV0 = Mo+1, nous définissons la matrice unitaire UQ de taille NQ X MQ 15 par [t7o]»,j = 1 si i = j et [Uo]ij = 0 si i φ j. L'ensemble des matrices B est défini par
Figure imgf000051_0002
Pour cette égalité ensembliste les rotations reçoivent toutes les valeurs possibles pour les angles.
Alors, d'après 5.8.6, pour m > 1, l'ensemble des matrices S^0 m défini par
Figure imgf000051_0003
est une solution de dimension IUMQ. M Ceci veut dire que pour toute valeur de Δ un prototype P(z) défini par
Figure imgf000051_0004
et si pour tout i = 0, . . . , Δ — 1,
Figure imgf000051_0005
où les matrices Vw (z), i = 0, . . . , Δ - 1
Figure imgf000052_0001
vérifient l'équation (47)
Figure imgf000052_0002
où les matrices U^ (z), i = 0, . . . , Δ — 1 appartiennent à la solution S^n, alors P(z) est à reconstruction parfaite.
Ici Ti(Z) est la matrice diagonale 5 x 5, non causale, ayant pour éléments diagonaux 1, z, z2, z3, zA, z~x et T2(z) la matrice diagonale 4x4 d'éléments diagonaux 1, z~ι, z~2, z~3. Puisque, pour i fixé, £/w(z) est dans S$o m, on a d'après (111) et (105), B désignant une matrice dand B pour laquelle les angles ont été fixés.
Figure imgf000052_0003
On introduit alors la matrice B(z) définie par
Figure imgf000052_0004
où les angles des matrices de rotation RÏ,M0+I ne sont pas indiqués. Les égalités
permettent alors d'écrire
Figure imgf000052_0005
L'égalité (114) est montrée dans les schémas de réalisation des figures 6 A et 6B et le schéma de réalisation des blocs V^ (z) de la figure 3 est donné dans la figure 7. Les mM0 = 20 rotations présentes dans le schéma de la figure 7 correspondent à 20 angles différents. Par conséquent dans la figure 3 sont présents mM0A = 240 angles.
Un exemple d'un tel filtre prototype optimisé pour l'énergie hors-bande, dans le cas d'une phase non linéaire, est représenté aux figures 8A et 8B. 7 ANNEXE G : Bibliographie
Références
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[5] M. I. Doroslovacki. Product of second moments in time and frequency for discrete-time signais and the uncertainty limit. Signal Processing, 67(1), May 1998.

Claims

REVENDICATIONS
1. Dispositif de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné, caractérisé en ce qu'il comprend Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données reçues représentatives de données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres d'analyse présentant No branches et un facteur de décimation égal à MQ , avec N0 et M0 premiers entre eux et MQ > 1 , un banc de filtres d'analyse comprenant une matrice de décomposition V^(z)et une matrice de Fourier F^0 , et en ce que ladite matrice de décomposition associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur de décimation M0 et dudit nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source, et en ce que ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition V^ \z) de taille N0 x M0 , selon les équations suivantes :
Figure imgf000054_0001
avec :
- m un entier supérieur ou égal à 1 ;
Figure imgf000054_0002
( ) ( ) β( )
- β(k,l) un entier tel que :
Figure imgf000054_0003
- (u,v) une paire d'entiers telle que UMQ - VN0 ≈ 1 , avec |«| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 ≤ k ≤ N0 - 1 et 0 ≤ / ≤ M0 - l et τem(a,b) un opérateur définissant le reste de la division des entiers a par b.
2. Dispositif de démodulation selon la revendication 1 caractérisé en ce que ladite matrice de décomposition est constituée de m matrices identiques B , chaque matrice B étant constituée d'au moins une rotation et d'au moins un décalage, m étant supérieur ou égal à 1.
3. Dispositif de démodulation selon la revendication 1, caractérisé en ce que N0 est égal à M0 + 1.
4. Dispositif de démodulation selon la revendication 3, caractérisé en ce que le nombre de rotations d'une matrice B est égal à MQ .
5. Dispositif de démodulation selon la revendication 1, caractérisé en ce que le nombre d'étages Δ est un entier pair, supérieur ou égal à 2.
6. Dispositif de démodulation selon la revendication 1, caractérisé en ce que
T lesdits étages alimentent des premiers moyens de permutation P comprenant ΔNQ entrées et ΔNo sorties, alimentant N0 matrices de Fourier F^ , qui alimentent elles-mêmes des seconds moyens de permutation P.
7. Procédé de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné, caractérisé en ce qu'il met en œuvre Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1 , alimentés par des données reçues, représentatives de données source, chacun desdits étages mettant en oeuvre un filtrage d'analyse présentant N0 branches et un facteur de décimation égal à MQ , avec N0 et MQ premiers entre eux et MQ > 1 , comprenant les étapes suivantes : multiplication par une matrice de décomposition V (z) et multiplication par une matrice de Fourier F^ , et en ce que ladite matrice de décomposition associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur de décimation MQ et dudit nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source, et en ce que ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition V ι\z) de taille N0 x M0 , selon les équations suivantes :
avec :
Figure imgf000055_0001
- m un entier supérieur ou égal à 1 ;
Figure imgf000056_0002
β - β( kj) un entier tel que :
Figure imgf000056_0003
- (w,v) une paire d'entiers telle que UMQ - VN0 » 1 , avec |«| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 ≤ k ≤ N0 - I et 0 ≤ / ≤ M0 - l et rem(α,è) un opérateur définissant le reste de la division des entiers a par b.
8. Procédé de démodulation selon la revendication 7, caractérisé en ce que ladite matrice de décomposition est constituée de m matrices identiques B , chaque matrice B étant constituée d'au moins une rotation et d'au moins un décalage, m étant supérieur ou égal à 1, et en ce que ledit procédé comprend une phase préalable de détermination desdites matrices B , de façon que lesdites matrices B s'écrivent sous la forme suivante :
Figure imgf000056_0001
où Z H0 est une matrice carrée diagonale assurant un décalage et /?, Λ/O +I une matrice de rotation.
9. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre du procédé de démodulation selon la revendication 7 lorsque ledit programme est exécuté par un processeur.
10. Dispositif de modulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné, caractérisé en ce qu'il comprend Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à MQ , avec N0 et M0 premiers entre eux et M0 > 1 , un banc de filtres de synthèse comprenant une matrice de Fourier conjuguée FχQ et une matrice de décomposition conjuguée V^ (z) , et en ce que ladite matrice de décomposition conjuguée associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur d'expansion M0 et dudit nombre de branches N0 , de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source, et en ce que ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition conjuguée V (z) de taille M0 X No , selon les équations suivantes :
Figure imgf000057_0001
avec
Figure imgf000057_0002
où T correspond à l'opération de transposition, avec :
- m un entier supérieur ou égal à 1 ; f w*l
Figure imgf000057_0003
- β(k,l) un entier tel que :
- (M,V) une paire d'entiers telle que «Mo - VN0 = 1 , avec |w| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 ≤ £ ≤ N0 - l et 0 ≤ / ≤ M0 - l et τem(a,b) un opérateur définissant le reste de la division de a par b.
11. Procédé de modulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné, caractérisé en ce qu'il met en œuvre Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données source, chacun desdits étages mettant en oeuvre un filtrage de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à M0 , avec N0 et M0 premiers entre eux et MQ > 1 , comprenant les étapes suivantes : multiplication par une matrice de Fourier conjuguée F^0 , - multiplication par une matrice de décomposition conjuguée V^ (z) ; et en ce que ladite matrice de décomposition conjuguée associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur d'expansion MQ et dudit nombre de branches NQ , de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source, et en ce que ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition conjuguée V^'' (z) de taille M0 x No » selon les équations suivantes :
Figure imgf000058_0001
où T correspond à l'opération de transposition, avec :
- m un entier supérieur ou égal à 1 ;
- k) - β(k,l) ;
Figure imgf000058_0002
- β(k,l) un entier tel que : ;
Figure imgf000058_0003
- (M, V) une paire d'entiers telle que κM0 - VN0 ≈ 1 , avec |w| < N0 et |v| < MQ ; avec 0 ≤ k ≤ NQ - I et O ≤ l ≤ MQ - I et rem(α,è) un opérateur définissant le reste de la division de a par b.
12. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre du procédé de modulation selon la revendication 11 lorsque ledit programme est exécuté par un processeur.
13. Système de transmission d'un signal multiporteuse suréchantillonné, caractérisé en ce qu'il comprend :
- un dispositif de modulation comprenant Δ étages, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres de synthèse présentant N0 branches et un facteur d'expansion égal à M0 , avec N0 et M0 premiers entre eux et M0 > 1 , un banc de filtres de synthèse comprenant une matrice de Fourier conjuguée F#o et une matrice de décomposition conjuguée V (z) , ladite matrice de décomposition conjuguée associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur d'expansion MQ et dudit nombre de branches NQ , ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition conjuguée V^1' (z) de taille M0 x No > selon les équations suivantes :
Figure imgf000059_0001
z~m , où T correspond à l'opération de transposition, avec :
- m un entier supérieur ou égal à 1 ;
Figure imgf000059_0002
- (M,V) une paire d'entiers telle que UMQ - VN0 = 1 , avec |«| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 ≤ k ≤ N0 - 1 et 0 ≤ / ≤ M0 - l et τem(a,b) un opérateur définissant le reste de la division de a par b, et - un dispositif de démodulation comprenant Δ étages, alimentés par des données reçues, représentatives des données source, chacun desdits étages comprenant un banc de filtres d'analyse présentant N0 branches et un facteur de décimation égal à MQ , un banc de filtres d'analyse comprenant une matrice de décomposition V^''(z) et une matrice de Fourier F^ , et en ce que ladite matrice de décomposition associée à un banc de filtres d'analyse est une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur de décimation M0 et dudit nombre de branches N0 , ledit critère prédéterminé force à zéro les coefficients de la matrice de décomposition conjuguée V^ (z) de taille M0 x No > selon les équations suivantes :
Figure imgf000060_0003
où T correspond à l'opération de transposition, avec : - m un entier supérieur ou égal à 1 ;
Figure imgf000060_0001
- β(k,l) un entier tel que :
Figure imgf000060_0002
- (w,v) une paire d'entiers telle que UMQ - VN0 =• 1 , avec |«| < N0 et |v| < M0 ; avec 0 ≤ k ≤ NQ - 1 et O s / ≤ MQ - I et τem(a,b) un opérateur définissant le reste de la division de a par b, de façon à permettre une reconstruction parfaite desdites données source.
14. Dispositif de démodulation d'un signal multiporteuse suréchantillonné, mettant en œuvre un filtre prototype implémenté sous sa forme polyphasé, caractérisé en ce qu'il comprend :
- Δ bancs de filtres d'analyse, Δ étant un entier supérieur ou égal à 1, alimentés par des données reçues représentatives de données source après décimation selon un facteur de décimation Δ et application d'un retard, chacun desdits bancs de filtres d'analyse présentant N0 branches, un facteur de décimation égal à MQ , avec No et MQ premiers entre eux et MQ > 1 , une matrice de décomposition
Figure imgf000061_0001
de taille No x MQ et une matrice de Fourier F^n de taille No x No . ladite matrice de décomposition associée à un banc de filtres d'analyse étant une matrice para-unitaire, dont certains coefficients sont forcés à zéro selon un critère prédéterminé tenant compte dudit facteur de décimation MQ et dudit nombre de branches N0 ,
- des moyens de permutation des données obtenues en sortie desdits bancs de filtres d'analyse, délivrant des données permutées, - No matrices de Fourier F^ de taille Δ x Δ , transformant lesdites données permutées en données transformées,
- des moyens de permutation desdites données transformées, délivrant des données démodulées permettant une reconstruction parfaite desdites données source.
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