WO2007022927A1 - Mehrzielfähiges distanzmessverfahren nach dem phasenmessprinzip - Google Patents

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WO2007022927A1
WO2007022927A1 PCT/EP2006/008184 EP2006008184W WO2007022927A1 WO 2007022927 A1 WO2007022927 A1 WO 2007022927A1 EP 2006008184 W EP2006008184 W EP 2006008184W WO 2007022927 A1 WO2007022927 A1 WO 2007022927A1
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matrix
distance measuring
signal
measuring method
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PCT/EP2006/008184
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Jürg WEILENMANN
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Leica Geosystems Ag
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Publication date
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    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01S—RADIO DIRECTION-FINDING; RADIO NAVIGATION; DETERMINING DISTANCE OR VELOCITY BY USE OF RADIO WAVES; LOCATING OR PRESENCE-DETECTING BY USE OF THE REFLECTION OR RERADIATION OF RADIO WAVES; ANALOGOUS ARRANGEMENTS USING OTHER WAVES
    • G01S17/00—Systems using the reflection or reradiation of electromagnetic waves other than radio waves, e.g. lidar systems
    • G01S17/02—Systems using the reflection of electromagnetic waves other than radio waves
    • G01S17/06—Systems determining position data of a target
    • G01S17/08—Systems determining position data of a target for measuring distance only
    • G01S17/32—Systems determining position data of a target for measuring distance only using transmission of continuous waves, whether amplitude-, frequency-, or phase-modulated, or unmodulated
    • G01S17/36—Systems determining position data of a target for measuring distance only using transmission of continuous waves, whether amplitude-, frequency-, or phase-modulated, or unmodulated with phase comparison between the received signal and the contemporaneously transmitted signal
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01S—RADIO DIRECTION-FINDING; RADIO NAVIGATION; DETERMINING DISTANCE OR VELOCITY BY USE OF RADIO WAVES; LOCATING OR PRESENCE-DETECTING BY USE OF THE REFLECTION OR RERADIATION OF RADIO WAVES; ANALOGOUS ARRANGEMENTS USING OTHER WAVES
    • G01S17/00—Systems using the reflection or reradiation of electromagnetic waves other than radio waves, e.g. lidar systems
    • G01S17/006—Theoretical aspects

Definitions

  • the invention relates to a multi-target Distanzinessbacter according to the phase measurement principle according to the preamble of claim 1 and a computer program product.
  • the operation of these devices is to transmit modulated electromagnetic radiation, eg, intensity modulated light, to the targets to be measured, and subsequently receive one or more echoes from the backscattering objects, which are ideally just the targets to be surveyed.
  • modulated electromagnetic radiation eg, intensity modulated light
  • the signal evaluation of the received echoes is a standard technical task for which a multiplicity of solutions, in particular also using optical systems, has been realized.
  • more and more total stations have become established in recent years, equipped with reflectorless distance measuring devices. The reflectorless distance measurement often leads to situations in which the measuring beam emitted by the rangefinder simultaneously illuminates several objects.
  • a conventional phase meter that outputs a single distance usually provides a false measurement, i. a distance measurement that is subject to an error that is far outside the specified measurement accuracy.
  • Time-of-flight meters can more easily identify and handle multi-target situations, provided the targets are so far apart or the transmit pulses are short enough to allow their echoes to be detected and kept apart.
  • runtime meters have a greater range, since their pulses can have a higher intensity than the continuously transmitted signals of the phase meter, without violating eye safety regulations.
  • runtime meters are the most common tachymeters with phase meters because they can only achieve the required distance measuring accuracy in the mm- or even sub-mm range with an effort that is justifiable for field-suitable applications.
  • the reliability of these devices would be substantially increased if their phase meters were multi-targeting.
  • a hybrid system for deriving geodetic range information is known in which a light signal is transmitted to one or more targets.
  • device components such as transmitters and receivers are modeled along with the goals as a linear time-invariant system, which is excited by a signal and its system response is recorded.
  • the distance information is derived both from the time shift and from the signal form of the system response.
  • phase meters which is not realized technically or only with great effort in hybrid systems, turns out, with only phase meters providing the accuracy required for many applications with reasonable effort.
  • phase meters One main reason for this situation is the view widespread in professional circles and explicitly expressed in EP 1 450 128, for example, pure or exclusive phase meters, ie those which do not use time signals, are fundamentally not capable of multiple targets.
  • the object of the present invention is therefore to provide a simplified field suitable Measurement method with high accuracy, which is multi-target capable.
  • Another object of the present invention is to provide a pure phase measurement method which has inherent multi-objective capability.
  • the signals received by the phase meter can be processed in such a way that simultaneous distance measurements to a plurality of targets with the high accuracy characteristic of phase meters become possible, the number of these targets being known or unknown in advance. In the latter case, it is also the task of the signal processing to determine the number of simultaneously measured targets or, if appropriate, to deny the existence of a measurable target.
  • the subject matter of the present invention is a mathematical-algorithmic method for the simultaneous measurement of the distances to a plurality of spatially separated targets by means of a phase meter, which can be embodied as an electro-optical phase meter by way of example.
  • a phase meter which can be embodied as an electro-optical phase meter by way of example.
  • a simple example of such a multi-target situation is the distance measurement to a house wall through a window pane, at the same time measuring the distances to the house wall and the window pane.
  • a formal problem access via a mathematical signal model is selected which quantitatively links the digital signal data generated by the phase meter with the unknown target distances.
  • the construction of this signal model is not guided by intuition, but by the logical requirements arising from the desire to determine the target distances from the signal data clearly and with reasonable computational effort.
  • the unknown target distances are interpreted as parameters of this signal model which, together with all other unknown model parameters, is to be estimated "optimally" from the signal data.
  • the upcoming measurement task is thus formulated and solved as a statistical parameter estimation problem.
  • the signal model underlying the signal model is formulated, explained and progressively supplemented or further specified.
  • the distance measurement task is formulated as a maximum likelihood parameter estimation problem and, in accordance with the invention, it is reduced to a maximization problem in such a way that its solution also includes, in particular, online signal identification.
  • This non-linear and non-concave maximization problem can be efficiently solved numerically according to the invention.
  • the formulation, explanation and further processing of the signal model requires standard notation and terminology of applied mathematics and particularly numerical linear algebra, such as those described in the standard work "GH Golub & CF Van Loan: Matrix Computations, 3rd Edition, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996 ".
  • the mathematical symbols used in this specification and the associated terminology will be explained below.
  • Amount of complex numbers with imaginary unit /, ⁇ '2 -1, in which the arithmetic operations +, -, -, / and - except in ff - the order relations ⁇ , ⁇ are defined in the usual way.
  • Edge a and right edge b are identical to Edge a and right edge b.
  • M ⁇ M
  • M ⁇ M
  • M ' s M mym has identical elements along each of its diagonals
  • M Toeplitz matrix
  • MeM mxm has the special shape this is called M circulating matrix.
  • Diagonal matrix with diagonal z and all other elements 0.
  • R denotes the m-dimensional Euclidean vector space with the scalar product
  • the K being known or unknown at the same time are known to be different distances from each other Transmitters / receivers become sequential in time with NeM periodic signals of known half wavelengths
  • nth signal reflected from some or all of the K targets is detected, electrically converted, filtered, and sampled equitemporally by the receiver, which is structurally close to or immediately adjacent to the transmitter, for each one period M ⁇ N times per period apart / "digital samples to the digital distance signal data s TM e R can be averaged, l ⁇ m ⁇ M, l ⁇ n ⁇ N.
  • nth signal twice continuously differentiable periodic function of the period 1, l ⁇ n ⁇ N,
  • Amplitude of the n-th signal reflected by the & th target l ⁇ k ⁇ K, l ⁇ n ⁇ N, DC component of the nth signal, l ⁇ n ⁇ N, noise content of s TM e R, l ⁇ m ⁇ M , l ⁇ n ⁇ N.
  • the task of the signal processing is, from the MN numbers s TM eM, l ⁇ m ⁇ M, l ⁇ n ⁇ N, the unknown distances
  • Calibration signal data s ⁇ TM eR are averaged, l ⁇ m ⁇ M, l ⁇ n ⁇ N, where the subscript _ identifies pre-calibration (before measurement) and subscript + post-calibration (after measurement).
  • a ⁇ is the intensity of the rt-th signal reflected by the lth target, l ⁇ k ⁇ K, l ⁇ n ⁇ N, measured in dimensionless multiples of the amplitude of the internal target.
  • Equations (1-11) and (1-12) are therefore only optional additions to the measurement signal model (1-6).
  • Calibration signal data S ⁇ eE MxN can be determined if d ° e R is known, which can be assumed as a model, since a device-internal reference distance or a device-internal target can be realized device side and precisely measured. If only one (pre- or post-) calibration is performed, then there is none - 1 -
  • phase drift model is the ordinary differential equation of the first order
  • ne ( ⁇ , ---, N ⁇ , and since calibration measurements serve, inter alia, to gain knowledge about the phase positions ye R N via y ⁇ e R N implies (1-18) that the variables v, ⁇ _, ⁇ + ⁇ R + must be assumed to be known according to the model. This is not unrealistic, since the times ⁇ ⁇ eüf can be measured, and VeI + can be determined from special measurements in which the internal target is measured instead of external targets, so the internal target is measured three times in succession.
  • Equations (1-6) and (1-21) are components of
  • Probability density n R, 3MxN ⁇ R + , which is presumed to be known, except for a few parameters characterizing it.
  • the modeling of the noise as a random matrix and the specification of its probability density n: R iMxN ⁇ ⁇ + ⁇ is a (1-6) and (1- 21) complementary component of the signal model.
  • Model hypothesis (1-23) in particular postulates the uncorrelation of the distance and calibration signal data of different received signals; It reflects the fact that signals of different half-wavelengths as well as distance and calibration measuring signals are transmitted and received separately in time.
  • the unknown scaling factor ⁇ e M + makes it clear that only the relative noise ratios, but not the absolute ones, are assumed to be known. From (1-23) results the probability density
  • the ML estimates are independent of the scaling parameter ⁇ € M + , indicating that the ML estimates are independent of the mean noise level, which of course is not true for their quality.
  • the noise of the 17th receive channel is modeled as a mean-free stationary Gauss process, and it is assumed, which corresponds to usual technical practice, that M times equi-temporal sampling per signal period of the i-th receive signal occurs in an uninterrupted time sequence during / e Signal periods, as a probabilistic calculation shows that the covariance matrices symmetric Toeplitz matrices are, which for sufficiently short correlation time of the - -
  • the circulant matrices Ze (T MxM are exactly the ones containing the discrete Fourier transform J M e ( EM M x * M M in d, ie the complex valued unitary and symmetric matrix with elements
  • Covariance matrices C (M) , C ⁇ (n) e ⁇ > M * M are represented as follows:
  • Each of the matrices C (n) , Cl n) e M mM can thus be specified by [M / 2] positive parameters. It will turn out that the ML estimates are only from the 3-Z Parameters ⁇ _ n , ⁇ n ⁇ , ⁇ + n ⁇ M + , l ⁇ l ⁇ L, whose values can be learned by means of a suitable noise identification method and are therefore assumed to be known according to the model.
  • the ML estimation of the unknown parameters of the signal model from the distance and calibration signal data S, S ⁇ e M MxN and the minimization of (2-0) is a complex and extremely computationally intensive enterprise, not least because the signal model contains numerous parameters whose values do not interest. It is therefore advisable to analytically eliminate as many of the model parameters of no interest as possible from the minimization.
  • the second alternative is preferred.
  • phase drift model (1-14) allows for individual phases to have any number of periods in the period between pre- and post-calibration " wander "; but with only two calibration measurements, these can not be determined. It therefore makes sense
  • phase drifts should be so small that phase ambiguities are excluded. This is a requirement for the hardware, which is logically indispensable with only two calibration measurements, but which can also be implemented technically. Because of
  • the maximization of £ KL instead of the minimization of (2-0) thus includes in particular an online identification of the transmission signals. This preference is paid with the high nonlinearity of the £ KJL feature, which is in the set
  • ⁇ n : M ⁇ M is selected, l ⁇ n ⁇ N, and if ⁇ "S ⁇ R ⁇ and A (:, n) eR ⁇ take values ⁇ n e R ⁇ and A n SlR ?, for which
  • J ⁇ ⁇ 0, ⁇ KNxKN are the minimal parts of the vector standard square
  • the starting point of this method is to choose the half-wavelengths (1-0) so that they are in rational proportions, so that
  • GGT coefficient vector for Pen N ie gcd (/?) can be the components of PEN as a linear combination with
  • the vector norm square on the right in (7-7) thus has a full-ranked coefficient matrix, and its minimum position e '(J) eZ ⁇ ⁇ N - ⁇ ) can be calculated efficiently for any J ⁇ ⁇ 0, l ⁇ KNxKN , for example by means of LAMBDA method or a related method. If necessary, that will integer quadratic balance problem (7-7) solved for each of the permutation matrices (6-13); the smallest of these
  • Equation (7-9) illustrates the // periodicity of the starting value ⁇ e R ⁇ , which is a consequence of the // periodicity of the function i ⁇ > ⁇ defined in (4-5) in the case of (7-2).
  • Equation (7-10) shows that the starting values calculated according to (6-14) ( ⁇ , ⁇ ) eR N xR KxN do not depend on the range limits (7-11).
  • (6-18) or (7-7) can be made zero, which shows that the minimization of the vector norm square (7-7) for noise-free signals is the "true parameter values" ⁇ R ⁇ , ⁇ R N , A ⁇ R K x N supplies.
  • (6-18) or (7-7) can be made zero, which shows that the minimization of the vector norm square (7-7) for noise-free signals is the "true parameter values" ⁇ R ⁇ , ⁇ R N , A ⁇ R K x N supplies.
  • Representations (6-3) and via formula (8-10) can be calculated, if it succeeds, the ML estimate J ⁇ ⁇ 0, l ⁇ KNxKN for to get the assignment ambiguity.
  • Fig.l the conditions for a distance measurement in the multi-target case are shown schematically. From a transmitter in a geodetic device 1, which is exemplified here as a total station, a signal is transmitted, which is now at several targets, which are exemplarily embodied by reflectors as the first target object 2a and second target object 2b, a reflection that from a receiver in the device 1 is detected.
  • the portions of the two target objects 2a and 2b are superimposed in the receiver so that it receives only a single signal with a phase which has portions of both individual phases.
  • portions of a reflection may still occur on the wall of the house 2c shown in the background, which also contribute to the received signal.
  • the distance measurement method according to the invention can be used for other target types as well as for larger numbers of target objects.
  • FIG. 2 shows the schematic representation of the phases for this multi-target case with two target objects 2a and 2b.
  • the uppermost illustration shows how emitted radiation 3 strikes a reflector as the first target object 2 a, from which a first radiation component 4 reflects back becomes.
  • the remaining part of the emitted radiation 3 eg after transmission through a transparent target or shading in the case of the illustrated first target object 2a, strikes the second target object 2b as a second radiation component 3a, which is shown here as an identical reflector .
  • the third radiation component 5a which is reflected back from this second target object 2b, finally hits the receiver again as a fourth radiation component 5, possibly after further shading by the first target object 2a.
  • N 2 periodic, electromagnetic signals 7, for example, laser light, with the two half-wavelengths ⁇ 1 > ⁇ 2 > 0 emitted by the device 1 time separated.
  • a statistical parameter estimation problem based on a mathematical signal model is solved such that the inequalities D ⁇ ⁇ D ⁇ D 2 ⁇ D + .
  • the number of target objects 2a and 2b can either be determined when determining the distances from the sampled values or can also be specified as known.
  • FIG. 4 schematically illustrates the phases for the multi-target case using the second harmonic as the lowest higher harmonic in accordance with FIG. 2. Similar conditions now apply for a radiation 8 emitted according to the second harmonic with double frequency. The higher-harmonic radiation 8 likewise impinges on the first target object 2a, from which a first higher-harmonic radiation component 9 is reflected back. The remaining part reaches the second target object 2b as the second higher-harmonic radiation fraction 8a.
  • the third higher-harmonic radiation component 10a which is reflected back from this second target object 2b, finally strikes the receiver as the fourth higher-harmonic radiation component 10, possibly after further shading by the first target object 2a.
  • the latter also registers the superimposed first and fourth higher harmonic radiation components 9 and 10 with a common higher harmonic multi-objective phase 11.

Abstract

In einem Distanzmessverfahren nach dem Phasenmessprinzip mit einem zeitlich getrennten Aussenden von periodischen Signalen (7) und einem Abtasten empfangener Signale zur Erzeugung und gegebenenfalls Speicherung von Abtastwerten, wobei die Signale von Zielen (2a, 2b) reflektierte und überlagerte Signalanteile aufweisen, werden Distanzen zu den Zielen (2a, 2b) simultan bestimmt. Hierbei wird ein auf einem mathematischen Signalmodell basierendes statistisches Parameterschätzproblem so gelöst, dass die Zahl der Ziele (2a, 2b) für mehr als ein Ziel (2a, 2b) vorgegeben oder grundsätzlich die Zielanzahl durch das Verfahren bestimmt wird und wobei die Ungleichungen D-≤ Dk < D+ und 1 ≤ k ≤ K Gültigkeit besitzen, wobei vorgegebene Distanzen D-∈ IR und D+∈ IR mit D- < D+ den Messbereich des Distanzmessgerätes festlegen.

Description

Mehrzielfähiges Distanzmessverfahren nach dem
Phasenmessprinzip
Die Erfindung betrifft ein mehrzielfähiges Distanzinessverfahren nach dem Phasenmessprinzip nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1 und ein Computerprogrammprodukt .
Im Bereich der berührungslosen Distanzmessung sind verschiedene Messprinzipien und -verfahren bekannt, die beispielsweise in den Fachbüchern "J. M. Rüeger: Electronic Distance Measurement, 4th Edition; Springer, Berlin, 1996" und "R. Joeckel & M. Stober: Elektronische Entfernungs- und Richtungsmessung, 4. Auflage; Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart, 1999" dargestellt sind. Handelsübliche elektrooptische Distanzmessgeräte arbeiten vornehmlich nach dem Prinzip der Phasenmessung oder dem der Impuls- Laufzeitmessung; siehe z.B. Joeckel & Stober, Kapitel" 13.
Die Arbeitsweise dieser Geräte besteht darin, modulierte elektromagnetische Strahlung, z.B. intensitätsmoduliertes Licht, auf die zu vermessenden Ziele auszusenden und nachfolgend ein oder mehrere Echos von den rückstreuenden Objekten, bei denen es sich idealerweise ausschliesslich um die zu vermessenden Ziele handelt, zu empfangen. Die Signalauswertung der empfangenen Echos ist eine technische Standardaufgabe, für die eine Vielzahl von Lösungen, insbesondere auch unter Verwendung von optischen Systemen, realisiert wurde. In Geodäsie und Bauindustrie haben sich in den letzten Jahren immer mehr Tachymeter durchgesetzt, die mit reflektorlos messenden Distanzmessern ausgerüstet sind. Die reflektorlose Distanzmessung führt oft zu Situationen, in denen der vom Entfernungsmesser emittierte Messstrahl gleichzeitig mehrere Objekte anstrahlt. Das passiert z.B. bei der Vermessung einer Kante; wird sie angemessen, so trifft ein Teil des Strahls das Objekt mit der Kante, während ein anderer Teil des Strahls ein dahinter liegendes Objekt oder den Boden beleuchtet. Ein weiteres Beispiel ist ein Retroreflektor, der sich in der Nähe eines schwach reflektierenden Zielobjektes befindet und Streulicht in den Empfänger des Distanzmessers leitet. Ähnliches passiert, wenn unbeabsichtigt und oft auch unbemerkt Objekte zwischen dem eigentlichen Messobjekt und dem Instrument angestrahlt werden, beispielsweise bei Distanzmessungen durch Fensterscheiben, Baumgeäst, Drahtzäune oder Drahtgitter hindurch.
In derartigen Mehrfachziel-Situationen liefert ein herkömmlicher Phasenmesser, der eine einzige Distanz ausgibt, zumeist eine Falschmessung, d.h. einen Distanzmesswert, der mit einem Fehler behaftet ist, der weit ausserhalb der spezifizierten Messgenauigkeit liegt. Laufzeitmesser können Mehrfachziel-Situationen leichter erkennen und handhaben, sofern die Ziele so weit voneinander entfernt sind bzw. die Sendeimpulse kurzzeitig genug sind, dass deren Echos detektiert und auseinandergehalten werden können. Zudem haben Laufzeitmesser eine grossere Reichweite, da ihre Pulse eine höhere Intensität aufweisen können als die kontinuierlich gesendeten Signale der Phasenmesser, ohne dass sie dabei Augensicherheits-Vorschriften verletzen.
Trotz dieser beiden Vorteile von Laufzeitmessern sind die meisten gebräuchlichen Tachymeter mit Phasenmessern ausgerüstet, weil sie nur so die geforderte Distanzmessgenauigkeit im mm- oder gar Sub-mm-Bereich mit einem für feldtaugliche Anwendungen vertretbarem Aufwand erreichen können. Die Zuverlässigkeit dieser Geräte würde substanziell erhöht, wenn ihre Phasenmesser mehrzielfähig würden.
Aus der WO 2004/074773 bzw. der EP 1 450 128 ist ein hybrides System zur Ableitung von geodätischen Entfernungsinformationen bekannt, bei dem ein Lichtsignal auf ein oder mehrere Ziele ausgesendet wird. Dabei werden Gerätekomponenten wie Sender und Empfänger zusammen mit den Zielen als ein lineares zeitinvariantes System modelliert, das durch ein Signal angeregt und dessen Systemantwort aufgenommen wird. Im Gegensatz zu reinen Laufzeit- oder Phasenmessern wird die Entfernungsinformation sowohl aus der zeitlichen Verschiebung als auch aus der Signalform der Systemantwort abgeleitet.
Damit stellt sich als ein wesentlicher Nachteil aller bisher bekannten Distanzmessprinzipien die technisch nicht oder nur mit grossem Aufwand in Hybridsystemen realisierte Mehrzielfähigkeit für Phasenmesser heraus, wobei wiederum nur Phasenmesser die für viele Anwendungen erforderliche Genauigkeit mit vertretbarem Aufwand bereitstellen. Ein Hauptgrund für diese Sachlage ist die in Fachkreisen weit verbreitete und beispielsweise in EP 1 450 128 explizit geäusserte Ansicht, reine bzw. ausschliessliche Phasenmesser, also solche, die keine Zeitsignale verwenden, seien grundsätzlich nicht mehrzielfähig.
Die Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht daher in der Bereitstellung eines vereinfachten feldtauglichen Messverfahrens mit hoher Genauigkeit, das mehrzielfähig ist.
Eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht in der Bereitstellung eines reinen Phasenmessverfahrens, welches eine inhärente Mehrzielfähigkeit aufweist.
Diese Aufgaben werden erfindungsgemäss durch die Merkmale des Anspruchs 1 bzw. durch die kennzeichnenden Merkmale der abhängigen Ansprüche gelöst oder die Lösungen fortgebildet.
Erfindungsgemäss können die vom Phasenmesser empfangenen Signale so verarbeitet werden, dass gleichzeitig Distanzmessungen zu mehreren Zielen mit der für Phasenmesser charakteristischen hohen Genauigkeit möglich werden, wobei die Anzahl dieser Ziele von vornherein bekannt oder unbekannt sein kann. Letzterenfalls ist es auch Aufgabe der Signalverarbeitung, die Anzahl der simultan vermessenen Ziele zu bestimmen oder gegebenenfalls das Vorhandensein eines vermessbaren Zieles zu verneinen.
Gegenstand der vorliegenden Erfindung ist ein mathematisch- algorithmisches Verfahren zur simultanen Messung der Distanzen zu mehreren räumlich getrennten Zielen mittels eines Phasenmessers, wobei dieser exemplarisch als ein elektrooptischer Phasenmesser ausgeführt sein kann. Ein einfaches Beispiel einer derartigen Mehrfachziel-Situation ist die Distanzmessung zu einer Hauswand durch eine Fensterscheibe hindurch, wobei gleichzeitig die Distanzen zur Hauswand und zur Fensterscheibe gemessen werden.
Das Vorurteil der Fachwelt, reine Phasenmesser seien nicht mehrzielfähig, wird dadurch gefördert, dass die Fachliteratur, auch die bereits zitierte, die Phasenmessprinzipien anhand eines einzigen Zieles und zumeist mittels sinusoidaler Messsignale darstellt und sich dabei stark auf die Anschauung stützt.
Erfindungsgemäss wird deshalb ein formaler Problemzugang über ein mathematisches Signalmodell gewählt, das die vom Phasenmesser erzeugten digitalen Signaldaten quantitativ mit den unbekannten Zieldistanzen verknüpft. Die Konstruktion dieses Signalmodells wird nicht von der Anschauung geleitet, sondern durch die logischen Erfordernisse, die sich aus dem Wunsch ergeben, die Zieldistanzen aus den Signaldaten eindeutig und mit vertretbarem Rechenaufwand bestimmen zu können. Die unbekannten Zieldistanzen werden als Parameter dieses Signalmodells interpretiert, die es - zusammen mit allen übrigen unbekannten Modellparametern - "optimal" aus den Signaldaten zu schätzen gilt. Die anstehende Messaufgabe wird also als statistisches Parameterschätzproblem formuliert und gelöst.
Im folgenden wird das der Signalverarbeitung zugrunde gelegte Signalmodell formuliert, erläutert und fortschreitend ergänzt bzw. weiter spezifiziert. Im Rahmen dieses Modells wird die Distanzmessaufgabe als Maximum- Likelihood-Parameterschätzproblem formuliert und dieses erfindungsgemäss dergestalt auf ein Maximierungsproblem reduziert, dass dessen Lösung insbesondere auch eine Online-Signalidentifikation umfasst. Dieses nichtlineare und nicht-konkave Maximierungsproblem kann erfindungsgemäss effizient numerisch gelöst werden. Die Formulierung, Erläuterung und weitere Bearbeitung des Signalmodells erfordert Standardnotation und -terminologie der angewandten Mathematik und insbesondere der Numerischen Linearen Algebra, wie sie beispielsweise im Standardwerk "G. H. Golub & C. F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd Edition; The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996" verwendet wird. Die in dieser Patentschrift verwendeten mathematischen Symbole und die dazugehörige Terminologie werden nachfolgend erläutert.
Das Symbol e steht für die mengentheoretische Relation "ist Element von". Allgegenwärtig sind die Mengen
Menge der ganzen Zahlen {•••,—2,—1,0,1,2,•••},
Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen, Menge der natürlichen Zahlen,
Menge der rationalen Zahlen,
Menge der reellen Zahlen,
Menge der nicht-negativen reellen
Zahlen,
Menge der positiven reellen Zahlen,
Menge der komplexen Zahlen mit
Figure imgf000008_0001
imaginärer Einheit /, ι'2=—1, in denen die Rechenoperationen +,-,-,/ und - ausser in ff - die Ordnungsrelationen <,< in üblicher Weise definiert sind.
Für a,b € R bezeichnen
]a,b[:= {x e R\a<x<b} das offene Intervall mit linkem Rand a und rechtem Rand b , ]a,b] := {x e R\ a<x≤b) das links halboffene Intervall mit linkem Rand a und rechtem Rand b , [a,b[ := {x e R\a≤x<b] das rechts halboffene Intervall mit linkem Rand a und rechtem Rand b , [a,b]:= {x e R\a≤x≤b} das abgeschlossene Intervall mit linkem
Rand a und rechtem Rand b .
Figure imgf000009_0001
Matrix. Genügt Me Mmym der Gleichung Mτ = M , so heisst M symmetrisch, hat M's Mmym entlang jeder ihrer Diagonalen identische Elemente, so heisst M Toeplitz-Matrix, und hat die Toeplitz-Matrix MeMmxm die spezielle Gestalt so heisst M zirkulante Matrix. Für eine
Figure imgf000010_0001
Funktion Φ: M→ JM' ist
Figure imgf000010_0002
MeM"1*"; insbesondere ist Φ(Mr)=[Φ(M)f . Ist -< eine in M definierte binäre Relation und M, M' e M" so ist M < M' gleichbedeutend mit μ}'< μ}" für alle l≤i≤m & l≤j≤n . Anstelle von MmΛ wird Mm geschrieben; Mm bezeichnet also
die Menge der (Spalten-) Vektoren
Figure imgf000010_0003
Figure imgf000010_0004
Figure imgf000010_0005
elementweisen Quotienten
Figure imgf000011_0001
l≤i≤m ) der Matrizen W und Z , wobei letzterer nur l ≤ j ≤ n definiert ist , wenn Z kein Matrixelement 0 enthält . Schliesslich bezeichnet für W e (Ekxl und Ze (Z""*"
Figure imgf000011_0002
Diagonalmatrix mit Diagonale z und allen übrigen Elementen 0.
Insbesondere bezeichnet R" den m -dimensionalen Euklidischen Vektorraum mit dem Skalarprodukt
Figure imgf000011_0003
bzw. 1 wird Nullvektor bzw. Einsvektor genannt. Die Matrix Omxne NQ X" mit allen Komponenten 0 wird mxn -Nullmatrix und die Matrix Ime Nmxm mit Diagonalelementen 1 'und allen übrigen Elementen 0 wird /nx/w-Identitätsmatrix genannt.
Für ZeK" [K= R oder K =(E bezeichnet den Wertebereich von Z,
Figure imgf000012_0001
Z+ e K"xm bezeichnet die Moore-Penrose Pseudo-Inverse von Z, wie beispielsweise in §111.1.1 des Buches "G. W. Stewart &
J-G. Sun: Matrix Perturbation Theory; Academic Press, Inc., Boston, 1990" erläutert, und P1 = ZZ+ e Kmxm bzw.
P1 = Im-PzeKmxm bezeichnen die orthogonalen Projektionen von Km auf S(Z) <= Km bzw. auf das orthogonale Komplement
[S(Z)]1 cz Km von Of(Z) in Km , wie beispielsweise in §111.1.2 des obengenannten Buches erläutert. Für Z e Kmxn bezeichnet Rang(Z) € W0 den Rang von Z, d.h. die Dimension des
Unterraumes CB(Z) c Km . Hat Z e Kmxm vollen Rang m, so ist Z invertierbar, und für ihre Inverse Z"1 gilt Z* = Z~ι .
Figure imgf000012_0003
Nachfolgend werden die physikalischen Verhältnisse des Signalempfangs eines Phasenmessers mathematisch modelliert.
Die gleichzeitig zu vermessenden wobei K bekannt oder unbekannt sein bekannten unterschiedlichen Distanzen vom
Figure imgf000012_0004
Sender/Empfänger werden zeitlich sequentiell mit NeM periodischen Signalen bekannter Halbwellenlängen
(1-0)
Figure imgf000012_0002
angestrahlt, bei denen es sich um intensitätsmodulierte Licht- oder Infrarotwellen, um Mikro-, Schall- oder Ultraschallwellen oder um andersartige Wellen handeln kann. Das von einigen oder allen K Zielen reflektierte n-te Signal wird vom baulich meist nahe oder unmittelbar neben dem Sender liegenden Empfänger detektiert, elektrisch gewandelt, gefiltert und während I"eN Perioden M≡N mal pro Periode äquitemporal abgetastet, wobei die je eine Periode auseinander liegenden /" digitalen Abtastwerte zu den digitalen Distanzsignaldaten s™ e R gemittelt werden können, l≤m≤M , l≤n≤N .
Für stationäre Ziele, deren Positionen, Lagen, Formen und Reflexionseigenschaften bezüglich des Sender/Empfängers während der Messung nicht ändern, sind die Gleichungen
(1-1)
Figure imgf000013_0001
ein zweckdienliches mathematisches Modell der Distanzsignaldaten s™ , wobei den in (1-1) auftretenden, noch nicht erklärten Symbolen folgende Bedeutung zukommt:
Signalform des n-ten Signals: zweimal stetig differenzierbare periodische Funktion der Periode 1, l≤n≤N,
Phasenlage des n-ten Signals, l≤n≤N,
Amplitude des vom &-ten Ziel reflektierten n-ten Signals, l≤k≤K , l≤n≤N, Gleichstromanteil des n-ten Signals, l≤n≤N, Rauschanteil von s™ e R , l≤m≤M, l≤n≤N.
Figure imgf000013_0002
Aufgabe der Signalverarbeitung ist es, aus den M-N Zahlen s™eM, l≤m≤M , l≤n≤N , die unbekannten Distanzen
D\ -,DκεM zu ermitteln. Damit sie dazu befähigt ist, muss sie das „Systemverhalten" kennen, d.h. von den in (1-1) auftretenden Variablen müssen einige als bekannt vorausgesetzt werden. Diesbezügliche Modellhypothesen lassen sich konziser formulieren, wenn die Gleichungen (1- 1) als Matrix-Gleichung geschrieben werden. Dazu werden die dimensionslosen Variablen
(1-2!
Figure imgf000014_0001
die Vektoren
( 1-3 )
Figure imgf000014_0002
die Matrizen
( 1-4 )
Figure imgf000014_0003
sowie die Funktion
Figure imgf000014_0005
( 1-5 )
Figure imgf000014_0004
eingeführt, mittels denen die M-N skalaren Gleichungen (1- 1) in der das Messsignal-Modell repräsentierenden Matrix- Gleichung
(1-6)
Figure imgf000015_0001
aufgehen.
Im folgenden werden die Voraussetzungen analysiert, unter denen Gleichung (1-6) für gegebene Distanzsignaldaten
S e MMxN nach der primär interessierenden Variablen d e Rκ aufgelöst werden kann. Modellgemäss sind die
Systemkonfigurationsparameter M,N≡N (und mithin x e [0,l[ ) und Ä≡R" bekannt, während die Parameter a ≡ RN , A e RKxN r 1 \[N und j/6 -■-,— unbekannt sind. Die Identität
(1-7)
Figure imgf000015_0002
verdeutlicht, dass d € Rκ unter günstigen Umständen dann eindeutig bestimmbar ist, wenn hinreichende Kenntnis über
Figure imgf000015_0003
geräteinternes Ziel im Abstand D° e R vom Sender zum Empfänger geführt, wo sie in gleicher Weise wie die Distanzmesssignale abgetastet und zu digitalen
Kalibriersignaldaten s±™eR gemittelt werden, l≤m≤M , l≤n≤N , wobei der Subskript _ die Präkalibrierung (vor der Messung) und der Subskript + die Postkalibrierung (nach der Messung) kennzeichnet. Die Kalibriersignaldaten werden deshalb auch gemäss (1-1) bzw. (1-6) modelliert, jedoch mit K =I und d = d°<=R,
(1-8)
Figure imgf000016_0001
Bei uniformer Sendeleistung des Phasenmessers während der gesamten Messung, die modellgemäss vorausgesetzt wird, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit
(1-9) •
Figure imgf000016_0002
gesetzt werden, sodass die Matrix-Gleichung
(1-10)
Figure imgf000016_0003
resultiert. Die Festsetzung (1-9) "normiert" die im Messsignal-Modell (1-6) auftretenden Zielamplituden: A^ ist die Intensität des vom £-ten Ziel reflektierten rt-ten Signals, l≤k≤K , l≤n≤N, gemessen in dimensionslosen Vielfachen der Amplitude des internen Zieles.
Die Voraussetzungen 'uniforme Sendeleistung' und 'stationäre Ziele' lassen es geboten erscheinen, die Zielamplituden als für alle Sendesignale gleich zu modellieren, also
(1-11)
Figure imgf000017_0001
zu fordern. Die Praxis zeigt jedoch, dass (1-11) der Realität häufig widerspricht, was plausibel ist, da das Medium, durch das Distanzen gemessen werden, typischerweise die Erdatmosphäre, während der Messung oft instationär ist. Realistischer ist die Annahme, die Zielamplituden unterschiedlicher Distanzmesssignale seien proportional zueinander, die durch die Forderung
(1-12)
Figure imgf000017_0002
ausgedrückt werden kann. Wegen Rang(Λ) < K ist (1-12) nur im Mehrzielfall K>\ eine Einschränkung, die in gewissen Situationen unrealistisch ist, etwa dann, wenn das Medium, durch das gemessen wird, hochgradig inhomogen und instationär ist. Die Gleichungen (1-11) und (1-12) sind daher lediglich optionale Ergänzungen des Messsignal- Modells (1-6) .
Die Identität (1-7), die auch für k=0 mit y± anstelle von
y gilt, zeigt, dass y± e r-—l>—iT bestenfalls dann aus den
Kalibriersignaldaten S±eEMxN bestimmt werden kann, wenn d° e R bekannt ist, was modellgemäss vorausgesetzt werden kann, da eine geräteinterne Referenzstrecke bzw. ein geräteinternes Ziel vorrichtungsseitig realisiert und präzise vermessen werden kann. Wird nur eine (Prä- oder Post-) Kalibrierung durchgeführt, so gibt es keine - 1 -
sinnvolle Alternative zur „stationären" Modellhypothese
(1-13) y = y_ bzw. y = y+ ,
die identische Phasenlagen von Distanz- und Kalibriermesssignalen postuliert. Dieses Postulat stipuliert Driftfreiheit der Empfangselektronik und ist mithin realitätsfern. Werden eine Prä- und eine Postkalibrierung durchgeführt, so kann ein die physikalischen Gegebenheiten realistischer beschreibender instationärer Zusammenhang zwischen den Phasen postuliert werden. Ein einfaches deterministisches Phasendrift-Modell ist die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
( 1-14 )
Figure imgf000018_0001
mit der Lösungsmenge
( 1-15 )
Figure imgf000018_0002
die so interpretiert wird: Die Phasen y e RN - da die
Signale modellgemäss 1-periodische Funktionen sind, kann
y € T-—i,—ll"" durch die Spezifikation y e RN ersetzt werden -
wurden, beispielsweise durch Schaltvorgänge, aus ihren modellgemäss unterstellten stationären Gleichgewichtslagen y∞e RN bewegt, in die sie nun mit Geschwindigkeiten zurückkehren, die proportional zu ihren Auslenkungen aus den Gleichgewichtslagen sind, wobei v e R+ als Proportionalitätsfaktoren eingeführt werden können. Bezeichnet r" e R+ bzw. τ" e R+ die mittlere Zeit, die zwischen der Präkalibriermessung und der Distanzmessung bzw. zwischen der Distanzmessung und der Postkalibriermessung mit dem n-ten Signal verstreicht, l≤n≤N, so ergeben sich aus (1-15) mit Hilfe der Vektoren
(1-16)
Figure imgf000019_0001
die Beziehungen
(1-17:
Figure imgf000019_0002
wenn in (1-15) für jede Komponente die Zeit-Skala individuell so gewählt wird, dass jede Distanzmessung zur Zeit 0 stattfindet. Aus (1-17) folgt weiter
: i-18 )
Figure imgf000019_0003
wobei im Falle v" = 0 die rechte Seite von ( 1-18 ) gemäss der L' Hδpital ' sehen Regel durch den Grenzwert
: i-i 9 :
Figure imgf000019_0004
ersetzt wird, n e{\,---,N} , und da Kalibriermessungen u.a. dem Zweck dienen, via y±e RN Kenntnis über die Phasenlagen y e RN zu erlangen, impliziert (1-18), dass die Variablen v,τ_,τ+≡ R+ modellgemäss als bekannt vorausgesetzt werden müssen. Das ist nicht unrealistisch, denn die Zeiten τ±eüf können gemessen werden, und VeI+ kann aus speziellen Messungen ermittelt werden, bei denen anstelle von externen Zielen das interne Ziel vermessen wird, das interne Ziel also dreimal hintereinander vermessen wird.
Aus ( 1-17 ) folgt
( 1-20 )
Figure imgf000020_0002
was in (1-10) eingesetzt die ein Kalibriersignal-Modell konstituierenden Matrix-Gleichungen
( 1-21 )
Figure imgf000020_0001
ergibt .
Die Gleichungen (1-6) und (1-21) sind Bestandteile des
(Gesamt-) Signalmodells, das optional durch die
Nebenbedingung (1-11) oder (1-12) ergänzt werden kann, und das der Signalverarbeitung zugrunde gelegt wird.
Die modellgemäss vorausgesetzte 1-Periodizität der Funktion
Σ:RMxN→RMxN und (1-6) implizieren, dass im Falle Ae^, in dem alle Komponenten von λ rationale Zahlen sind, unendlich viele d e Rκ dieselben Distanzsignaldaten S <= RMxN erzeugen. Da QN in RN dicht ist, d.h. jeder Vektor in RN beliebig genau durch einen Vektor aus @N approximiert werden kann, ist in der Praxis unendlichfache
Mehrdeutigkeit bzw. Ambiguität bezüglich d≡R allgegenwärtig; Eindeutigkeit kann nur durch zusätzliche Auflagen erzwungen werden. Üblicherweise wird
(1-22)
Figure imgf000021_0001
mit vorgegebenen Messbereichsgrenzen d < d+ bzw.
_ (1-2) _ (1-2)
D = Λ-d < D+ = Ä-d+ verlangt, wobei die Schranken </* € R bzw. D±e R so zu wählen sind, dass Eindeutigkeit garantiert ist.
Schliesslich sind auch die Rauschanteile W,W±e. RM*N der Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±s RMxN unbekannt.
Damit die Gleichungen (1-6) und (1-21) dennoch nach d ≡ Rκ "aufgelöst" werden können, muss das statistische Verhalten des Rauschens - zumindest strukturell - bekannt sein.
Deshalb wird als Zufallsmatrix mit
Figure imgf000021_0002
Wahrscheinlichkeitsdichte n: R ,3MxN → R+ modelliert, die - allenfalls bis auf einige sie charakterisierende Parameter - als bekannt vorausgesetzt wird. Die Modellierung des Rauschens als Zufallsmatrix und die Spezifizierung ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte n: RiMxN →Ε+ ~ ist ein (1-6) und (1- 21) ergänzender Bestandteil des Signalmodells.
Die mathematisch einfachste, wegen der Beschränktheit der Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±≡R ,MxxN" jedoch etwas realitätsferne Modellannahme betreffend n ist Normalverteilung mit
(1-23)
Figure imgf000022_0001
wobei C(n),C± (n) e MMxM symmetrische positiv-definite Matrizen bezeichnen, die als bekannt vorausgesetzt werden, l≤n≤N , δnl = \ ist, falls n= l , und £„/ = 0 andernfalls, und σ e JR+ einen unbekannten Skalierungsfaktor bezeichnet. Modellhypothese (1-23) postuliert insbesondere die Unkorreliertheit der Distanz- und Kalibriersignaldaten unterschiedlicher Empfangssignale; sie reflektiert den Sachverhalt, dass Signale unterschiedlicher Halbwellenlängen sowie Distanz- und Kalibriermesssignale zeitlich getrennt gesendet und empfangen werden. Der unbekannte Skalierungsfaktor σ e M+ macht deutlich, dass lediglich die relativen Rauschverhältnisse, nicht aber die absoluten, als bekannt vorausgesetzt werden. Aus (1-23) ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte
(1-24)
Figure imgf000022_0002
- 1 -
die der Signalverarbeitung zugrunde gelegt wird.
Es stellt sich die Frage, wie die Signalmodell-Gleichungen (1-6) und (1-21) nach d e [d~-lκ,d+ -lκ[ c Rκ "aufgelöst" werden sollen. Ein bewährter Ansatz ist, d e [d~-lκ,d+-lκ[ - und gezwungenermassen auch y,η € RN , a,a±≡ RN , A e R+ xN und die
∑: RMxN → RMxN kennzeichnenden Parameter - im Sinne maximaler Likelihood (ML) zu schätzen, wie beispielsweise im Kapitel 18 des Standardwerks "A. Stuart, J. K. Ord & S. Arnold: Kendalls's Advanced Theory of Statistics, Volume 2A, 6th Edition; Arnold, London, 1999", beschrieben, d.h. ihnen die
Werte de[d~-lκ,d+-lκ[ etc. zuzuordnen, welche die Wahrscheinlichkeitsdichte n(W_,W,W+) maximieren, wenn die Zufallsmatrizen W,W±eRMxN gemäss dem Signalmodell (1-6) und (1-21) durch die Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±e RMxN und die Modellparameter substituiert werden. Da die Kovarianzmatrizen Cw,C|n)6 RMxM , l≤n≤N , - was logisch nicht notwendig, aber praktisch sinnvoll ist - als bekannt vorausgesetzt werden, zeigt ein Standardargument der Schätztheorie, dass diese sog. ML-Schätzwerte de[d~-lκ,d+-lκ[, etc. für d e [d~-lκ,d+-lκ[ , etc. im Falle (1-24) charakterisiert sind als Minimalstelle der Summe
(2-0)
Figure imgf000023_0001
in der die Zufallsmatrizen W,W±≡ RMxN gemäss dem
Signalmodell (1-6) und (1-21) durch die Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±e RMxN und die Modellparameter - 2 -
substituiert werden. Insbesondere sind die ML-Schätzwerte unabhängig vom Skalierungsparameter σ € M+ , was zeigt, dass die ML-Schätzwerte unabhängig vom mittleren Rauschniveau sind, was für deren Güte natürlich nicht zutrifft.
Die vom Signalmodell (1-6) und (1-21) geforderte Kenntnis der Signalformen Σ: RMxN —> RMxN motiviert, diese möglichst einfach zu wählen. Herkömmliche (Einziel-) Phasenmesser verwenden typischerweise sinusoidale Signale unterschiedlicher Frequenzen. Diese klassische Wahl ist im Mehrzielfall unzweckmässig; zweckdienlicher sind Summen von sinusoidalen Grundharmonischen und einigen ihrer tiefsten Oberwellen. Praktisch können diese erzeugt werden, indem nicht-sinusoidale periodische Signale, die einen Grossteil ihrer Energie im niedrigfrequenten Teil ihres Spektrums haben, ausgesendet und ihre von den Zielen reflektierten Echos so Tiefpass-gefiltert werden, dass lediglich die LeN niedrigsten Harmonischen ihrer Fourier-Zerlegungen zu den Distanz- und Kalibriersignaldaten beitragen. Für solche Signalformen kann der Ansatz
:3-0)
Figure imgf000024_0001
- -
verwendet werden, wobei die Bedingung Im{B(l,:)} = O^ die irrelevanten Translations-Freiheitsgrade der Signalformen Σ„:R→R eliminiert, l≤n≤N .
Den 2,-M-N skalaren Signaldaten S,S±≡RMxN stehen dann - sofern weder (1-11) noch (1-12) beachtet wird - die K+(4+K+2-L-l)-N unbekannten reellen Parameter d ≡ Rκ , y,η<=RN, a,a±eMN, A e R«xN , RQ[B),ha{B} e RLxN gegenüber, sodass zumindest
(3-2)
Figure imgf000025_0001
sein sollte. In der Praxis wird die Anzahl M der Signal- Abtastungen pro Signalperiode viel grösser gewählt als von (3-2) gefordert; zweckdienlich ist die Wahl
(3-3;
Figure imgf000025_0002
die modellgemäss vorausgesetzt werden kann.
Wird nach gängiger Praxis das Rauschen des «-ten Empfangskanals als mittelwertfreier stationärer Gaussprozess modelliert, und wird angenommen, was üblicher technischer Praxis entspricht, das M -malige äquitemporale Abtasten pro Signalperiode des «-ten Empfangssignals erfolge in ununterbrochener zeitlicher Folge während /" e N Signalperioden, so zeigt eine wahrscheinlichkeitstheoretische Rechnung, dass die Kovarianzmatrizen
Figure imgf000025_0003
symmetrische Toeplitz- Matrizen sind, die für genügend kurze Korrelationszeit des - -
Gaussprozesses und für hinreichend grosses /" annähernd und im Limes /n->∞ sogar exakt zirkulant sind, l≤n≤N . Da 1000 eine typische Grössenordnung für /" ist, ist es nicht unrealistisch, die Kovarianzmatrizen Cw,C± (n} e EMxM als ergänzenden Bestandteil des Signalmodells zirkulant vorauszusetzen, l≤n≤N.
Die zirkulanten Matrizen Ze(T MxM sind genau die, welche die diskrete Fourier-Transformation JM e (E MMx*MM in d , d.h. die komplexwertige unitäre und symmetrische Matrix mit Elementen
Figure imgf000026_0001
unitär diagonalisiert , d.h. für die diagonal
Figure imgf000026_0003
ist. Dieser Sachverhalt gestattet, die symmetrischen, positiv definit und zirkulant vorausgesetzten
Kovarianzmatrizen C(M),C± (n) e ■>M*M so darzustellen:
(3-5)
Figure imgf000026_0002
Jede der Matrizen C(n),Cln)e MmM kann also durch [M/2] positive Parameter spezifiziert werden. Es wird sich herausstellen, dass die ML-Schätzwerte lediglich von den 3-Z Parametern σ_n,σn ι,σ+n≡ M+ , l≤l≤L , abhängen, deren Werte mittels eines geeigneten Rauschidentifikations-Verfahrens in Erfahrung gebracht werden können und deshalb modellgemäss als bekannt vorausgesetzt werden.
Die ML-Schätzung der unbekannten Parameter des Signalmodells aus den Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±e MMxN bzw. die Minimierung von (2-0) ist ein komplexes und äusserst rechenintensives Unterfangen, nicht zuletzt deshalb, weil das Signalmodell zahlreiche Parameter enthält, deren Werte gar nicht interessieren. Es ist deshalb angezeigt, möglichst viele der nicht interessierenden Modellparameter analytisch aus der Minimierung zu eliminieren.
Werden die Gleichungen (1-6), (1-21), (3-0) und (3-5) in die zu minimierende Summe (2-0) eingesetzt, so treten die nur noch in den Produkten und es ist zweckdienlich, deren
Figure imgf000027_0002
Elemente, soweit sie benötigt werden, in Polarform zu schreiben: Wegen S,S±e MMxN haben JM-S,JM-S±e(CM*N die eindeutigen Darstellungen
Figure imgf000027_0001
Unter Zuhilfenahme der Matrizen
(4-1)
Q,Q±,Q'eM+ - -
,
Figure imgf000028_0001
und der Vektoren
Figure imgf000028_0002
gesetzt, n ≡{1,-•-,N} ) , ergibt sich aus (3-0), (3-5) und (4-0) - (4.4), dass die Minimierung von (2-0) äquivalent ist zur Maximierung der gemäss
Figure imgf000028_0003
Aus (4-5) ist ersichtlich, dass im Falle λ e QN die Funktion £κ^:RκxRNxRKxN→ R+ bezüglich ihres ersten Argumentes periodisch ist; dies motivierte die Einschränkung (1-22). Aber auch das zweite Argument von £KL gibt Anlass zu Unbestimmtheit im ersten Argument, wie am einfachsten Spezialfall K=L=I dargelegt werden kann: Wegen
Figure imgf000029_0001
sind die Zahlen ς" ≡ R , £eZr Kandidaten für Maximalstellen von £u . Da gezeigt werden kann, dass die komplexen Zahlen
Figure imgf000029_0002
auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene (C dicht liegen, falls ß" e R+ irrational ist, ist also für beliebige δ e [δ~,δ+[ und A^1 e R+ das Supremum über ς" e R des w-ten Summanden von £1;1
: 4-8 :
Figure imgf000029_0003
- ein Ausdruck, der unabhängig von £ ist.
Die Schlussfolgerung aus obigem Befund ist, dass das Phasendrift-Modell (1-14) die eindeutige Bestimmbarkeit der
Distanzen δ e Rκ nicht garantieren kann. Es muss folglich durch ein restriktiveres Modell ersetzt oder weiter eingeschränkt werden. Da das Phasendrift-Modell (1-14) zusammen mit Modellansatz (3-5) die Elimination der
1 1 rN
Parameter y e -—,— und B e (C * aus der Schätzaufgabe und
damit eine substanzielle Reduktion der Problemkomplexität ermöglicht hat, wird die zweite Alternative bevorzugt.
Die obige Analyse von (4-5) im Spezialfall K = L = X legt die Ursache der unerwünschten Mehrdeutigkeit frei: Das Phasendrift-Modell (1-14) lässt zu, dass im Zeitraum zwischen Prä- und Postkalibrierung einzelne Phasen beliebig viele Perioden "durchwandern"; mit lediglich zwei Kalibriermessungen können diese aber nicht ermittelt werden. Es ist deshalb sinnvoll,
(4-9;
Figure imgf000030_0001
zu fordern: Zwischen Prä- und Postkalibrierung sollen die Phasendriften so klein sein, dass Phasen-Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen sind. Das ist eine Anforderung an die Hardware, die mit nur zwei Kalibriermessungen logisch unverzichtbar ist, sich technisch aber auch realisieren lässt. Wegen
(4-10)
Figure imgf000030_0002
und (4-4) ist (4-9) äquivalent mit
( 4 -11 )
Figure imgf000030_0003
die Maximierung von £KJj soll also modellgemäss unter Einhaltung von der Bedingung (4-11) erfolgen.
Die Reduktion der Minimierung von (2-0) auf die Maximierung der gemäss (4-5) definierten Funktion
Figure imgf000031_0003
in der Menge
; 5-0 )
Figure imgf000031_0001
hat den bereits erwähnten Vorteil, dass sie die Parameter
eliminiert, welche die Sendesignale
Figure imgf000031_0002
gemäss (3-0), (1-6) und (1-21) spezifizieren.
Die Maximierung von £KL anstelle der Minimierung von (2-0) beinhaltet somit insbesondere eine Online-Identifikation der Sendesignale. Dieser Vorzug wird mit der hohen Nichtlinearität der Funktion £KJL erkauft, die in der Menge
H viele lokale Maxima hat, was ihre Maximierung erheblich erschwert. Zwar existieren globale numerische Maximierungsverfahren, jedoch würden diese, angewendet auf die hochgradig nicht-konkave Funktion £κ^ , einen inakzeptablen Rechenaufwand erfordern. Mithin führen praktisch gangbare Wege zur Maximierung von £KL über iterative Maximierungsverfahren, die ausgehend von einem Startwert zu einer lokalen Maximalstelle
Figure imgf000031_0004
(δ,ς,A)e'B von £KL konvergieren, bei der es sich hoffentlich um eine globale Maximalstelle von £KL in U handelt.
Derartige iterative Maximierungen sind - allerdings nichttriviale - Routineaufgaben der numerischen Optimierung, für die zahlreiche bewährte Algorithmen bereitstehen. Da erste und zweite Ableitungen der gemäss (4-5) definierten Funktion £KJj analytisch berechnet werden können, sind effiziente Verfahren zur iterativen Maximierung von £KL in H einsetzbar.
Problematischer ist die Bereitstellung eines Startwertes (δ,ς,Ä)eRκxRNxRκ*N , der nahe bei einer globalen Maximalstelle von £KL in H liegt. Letzteres ist erforderlich, da iterative Maximierungsverfahren typischerweise so angelegt sind, dass sie zu einer am nächsten beim Startwert liegenden lokalen Maximalstelle konvergieren. Nachfolgend wird ein Verfahren angegeben, das einen derartigen Startwert berechnet.
Leitidee dieses Verfahrens ist, als Startwert
(δ,ς,A)eRκxRNχRκ*N einen Näherungswert einer globalen Maximalstelle der gemäss (4-5) definierten Funktion £KJC:RκxRNxRKxN → R+ zu wählen, also L = K zu wählen und die optionalen Randbedingungen (1-11) und (1-12) zu ignorieren. Ist K unbekannt, so wird K zunächst als maximale Anzahl simultan zu vermessender Ziele gewählt. Nachfolgend wird dargelegt, wie unter der Voraussetzung
(6-0)
Figure imgf000032_0001
ein solcher Startwert berechnet werden kann. Wie aus (4-0) und (4-1) ersichtlich ist, postuliert Annahme (6-0), dass alle Signale nicht-verschwindende harmonische Anteile der Ordnungen bis und mit K enthalten und jedes von den Zielen reflektierte Messsignal mindestens einen nicht- verschwindenden harmonischen Anteil der Ordnung ≤K enthält. Dieses Postulat ist mit einer hinreichend grossen Anzahl N von Signalen, von denen allenfalls einige von der Signalverarbeitung ausgeschlossen werden, oder mittels adaptiver Wahl der Halbwellenlängen (1-0) technisch leicht zu erfüllen.
Durch geeignete mathematische Umformung des n-ten äusseren Summanden
Figure imgf000033_0001
der gemäss (4-5) definierten Funktion £χjc lässt sich zeigen, dass diese Funktion genau dann ihr Maximum annimmt, wenn egen (4-11)
Figure imgf000033_0002
vorzugsweise betragsmässig kleinste - Maximalstelle ςneR der gemäss
(6-2)
Figure imgf000033_0003
definierten Funktionen χn: M→ M gewählt wird, l≤n≤N, und wenn λ"S ≡ Rκ und A(:,n)eRκ Werte εne Rκ und AnSlR? annehmen, für die
(6-3)
Figure imgf000033_0004
- -
gilt. Dass für jedes ne{l,---,N} die K Gleichungen (6-3) nach y '*"' Jf ε„≡ M und AnG]R+ aufgelöst werden können, ist ein nichttriviales Resultat, das durch ein Theorem von Constantin Caratheodory, publiziert im Artikel "C. Caratheodory: Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen; Rend. Circ. Mat. Palermo 32_ (1911), Seiten 193-217", etabliert wird. Die Darstellung links in (6- 3) wird deshalb - für festes n≡{\,---,N} - Caratheodory- Darstellung der K komplexen Zahlen rechts in (6-3) genannt. Im Fall K=I ist die linke Seite von (6-3) die Polardarstellung der komplexen Zahl rechts in (6-3); die Caratheodory-Darstellung mehrerer komplexer Zahlen ist also eine Verallgemeinerung der Polardarstellung einer (einzigen) komplexen Zahl.
Der von G. Szegö im §4.1 der Monografie "U. Grenander & G. Szegö: Toeplitz Forms and their Applications; University of alifornia Press, Berkely & Los Angeles, 1958" angegebene konstruktive Beweis des Satzes von Caratheodory zeigt wie die Caratheodory-Darstellung numerisch berechnet werden kann, und er zeigt auch, dass im Fall, in dem - für festes n≡{\,--;N} - nicht alle K Zahlen rechts in (6-3) verschwinden und eine gewisse im Laufe der Berechnungen auftretende Matrix vollen Rang K hat,
( 6-4 )
Figure imgf000034_0001
gilt . Voraussetzung ( 6-0 ) und die Spezifikation von ς" ≡ M als Maximalstelle von (6-2) garantieren, dass für jedes ne{\,---,N} alle Nenner und mindestens ein Zähler der K Zahlen rechts in (6-3) von Null verschieden sind, wodurch eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit von (6-4) erfüllt ist. Da für jedes n≡{\,---,N} als Bestandteil der numerischen Berechnung der Caratheodory-Darstellung über den Rang besagter Matrix entschieden werden muss, wird für jedes ne{\,--;N} entschieden, ob (6-4) zutrifft oder nicht. Wird für die meisten Signale Vollrangigkeit festgestellt, so können die übrigen Signale von der ML-Schätzung bzw. Signalverarbeitung ausgeschlossen werden, andernfalls kann K reduziert werden, sodass der erste Fall eintritt. Es kann also stets eine Situation herbeigeführt werden, in der (6- 4) gilt, was fortan vorausgesetzt wird.
Werden die Maximalstellen von (6-2) und die Caratheodory- Darstellungen (6-3) im Vektor bzw. in den Matrizen
[6-5)
Figure imgf000035_0001
zusammengefasst, so folgt aus den obigen Ausführungen, dass die gemäss
(6-6)
Figure imgf000035_0002
definierte Funktion £κ: RKxNx RNx RKxN → R+ für jede ganzzahlige Matrix EeZ KxN und beliebige Permutationsmatrizen J„e{0,l} KxK , ne{2,---,N}, in
,6-1)
Figure imgf000036_0001
ihr Maximum anniπunt . Da def initionsgemäss
Figure imgf000036_0002
gilt, ist also Maximierung von £KjC äquivalent mit Minimierung der Differenz
Figure imgf000036_0003
für (δ,ς,A)≡RKxRNxRKxN und für beliebige Matrizen E ≡ 7 KxN
und Permutationsmatrizen Jn≡ {0,1} KxK , n≡ {2,-•-,N)
Die gemäss (6-6) definierte Funktion £κ: RK*Nx RNx RKxN → R+ ist beliebig oft differenzierbar, und ihre ersten beiden Ableitungen
(6-10)
Figure imgf000036_0004
können analytisch berechnet werden. Bekannte Sätze der mathematischen Analysis besagen, dass £'κ bzw. die sog. Hessematrix £"κ evaluiert an den Maximalstellen (6-7) verschwindet bzw. symmetrisch und negativ semidefinit ist; zudem ist £"κ in den Maximalstellen (6-7) unabhängig von
EeZκ*N. Wird die Funktion rechts in (6-9) durch ihre Taylorreihe zweiter Ordnung um die Maximalstelle von £κ links in (6-9) ersetzt, so resultiert folgende quadratische Approximation der zu minimierenden Differenz (6-9) :
Figure imgf000037_0001
mit Permutationsmatrizen J„e{0,l} x in der Diagonale, n e{2,-•-,N} . Zudem impliziert (6-4) die positive Definitheit der gemäss (6-12) definierten Matrix X e ^(2^+1)^(2^+1)^ _ Die quadratische Funktion (6-11) wird also nie negativ, und somit kann eine Minimalstelle lelM, J e{0,\}KNxKN , (δ,ς,A) ≡ RKx RN x RKxN von (6-11) berechnet werden; (δ,ς,A) ist - 3 -
dann ein Näherungswert für eine Maximalstelle der gemäss (4-5) definierten Funktion £κ>κ , und er wird als Startwert für die iterative Maximierung von £KL gewählt.
Der Eingang der Matrix EeZKxN in die Startwertberechnung überrascht nicht: Ihre Komponenten parametrisieren die ganzzahligen Ambiguitäten, die auch für Einziel- Phasenmesser charakteristisch sind und die ihren Ursprung in der Unfähigkeit der Phasenmesser haben, mit einem einzigen Signal Distanzen messen zu können; diese ergeben sich erst rechnerisch aus dem Zusammenspiel mehrerer Messungen mit Signalen unterschiedlicher Halbwellenlängen. Überraschender ist das Auftreten der Permutationsmatrix (6- 13), die im Einzielfall (K=\) die Identitätsmatrix ist und deshalb bei herkömmlichen Einziel-Phasenmessern nicht in Erscheinung tritt. Sie erscheint, weil zwar jedes Empfangssignal mittels Caratheodory-Darstellung (6-3) entsprechend den Zielen zerlegt werden kann, die Signalanteile aber den Zielen nicht eindeutig zugeordnet werden können; diese Zuordnung kann wiederum nur aus dem Zusammenspiel mehrerer Messungen mit Signalen unterschiedlicher Halbwellenlängen ermittelt werden. Um diese beiden unterschiedlichen Mehrdeutigkeiten auseinanderzuhalten, werden die herkömmlichen, durch EeZKxN parametrisierten Ambiguitäten Distanz-Ambiguitäten genannt, während die neuen, durch %J e{0,l}κ'NxK'N parametrisierten Ambiguitäten Zuordnungs-Ambiguitäten genannt werden. Da die von den Caratheodory-Darstellungen
(6-3) gelieferten Amplituden ÄeR+ xN Masse für die Stärke der Echos der simultan vermessenen Ziele sind, kann in
Fällen, wo sich diese Amplituden konsistent und stark voneinander unterscheiden, die Zuordnungs-Ambiguität durch Ordnen dieser Amplituden aufgelöst werden. Trifft dies nicht zu, so kann eine Minimalstelle von (6-11) gefunden werden, indem alle (K\) N-I möglichen Zuordnungen durchgerechnet werden.
Die Minimierung der quadratischen Funktion (6-11) führt auf folgendes Resultat:
Figure imgf000039_0001
wobei R e RKN*KN der Rechts-Choleskyfaktor des Schur- Komplements von
Figure imgf000039_0003
die positive Definitheit von X erbt , also
: 6-16 )
,
Figure imgf000039_0002
ist; die in (6-14) und (6-15) auftretenden Matrizen EeZ 7 KxN
und J ≡{0,\}KNxKN sind die Minimalstellen des Vektornorm- Quadrates
(6-18)
Figure imgf000040_0001
Wegen der Ganzzahligkeits-Forderung £ e 2M handelt es sich bei der Minimierung von (6-18) - für jede Wahl von *Je{0,l} x gemäss (6-13) - um ein sog. ganzzahliges quadratisches Ausgleichsproblem. Nachfolgend wird dargelegt, wie es erfindungsgemäss effizient gelöst werden kann.
Ganzzahlige Ambiguitäten treten in vielen technischen Systemen auf; das bekannteste Beispiel ist GPS [Global
Positioning System] . Aus diesem Anwendungsbereich stammt denn auch ein effizientes Verfahren zur Lösung ganzzahliger quadratischer Ausgleichsprobleme, die sog. LAMBDA-Methode
[Least Squares Ambiguity Decorrelation Algorithm] ; beschrieben ist sie beispielsweise im § 8 des Buches "P. J.
G. Teunissen & A. Kleusberg (Eds.): GPS for Geodesy, 2nd
Edition; Springer, Berlin, 1998" und im Artikel "P. de
Jonge & C. Tiberius: The LAMBDA Method for Integer
Ambiguity Estimation: Implementation Aspects; LGR-Series, Publications of the Delft Geodetic Computing Centre, TU
Delft, January 1996".
Eine Voraussetzung für die Anwendbarkeit der LAMBDA-Methode oder eines verwandten Verfahrens ist die Vollrangigkeit der Koeffizientenmatrix des Ausgleichsproblems. Gerade diese ist jedoch im Falle (6-18) nicht erfüllt: Aus (6-17), (6- 16), (6-13) und (1-2) folgt nämlich [ 7-0 ) Rang(G(*J)) = K , J e {0,\}KNxKN gemäss ( 6-13 )
und somit
( 7-1 )
Figure imgf000041_0002
die Koeffizientenmatrix PrnG(.JTv) R e lRK'NxK'N in ( 6-18 ) hat also
Rangdefekt K .
Effiziente Lösungsverfahren für ganzzahlige quadratische Ausgleichsprobleme sind also nicht direkt auf (6-18) anwendbar, und das dargestellte Verfahren zur Startwertberechnung ist nur dann praxistauglich, wenn der Rangdefekt in (6-18) effizient behoben werden kann. Nachstehend wird ein Verfahren beschrieben, das dies leistet .
Ausgangspunkt dieses Verfahren ist, die Halbwellenlängen (1-0) so zu wählen, dass sie in rationalen Verhältnissen zueinander stehen, sodass also
Figure imgf000041_0001
gilt, wobei ggϊ(p) e N den grössten gemeinsamen Teiler der Komponenten von peNN bezeichnet.
Weiterer Bestandteil des Verfahrens ist die Wahl einer unimodularen Ergänzung von p≡N , d.h. einer Matrix FeZN<N-\) dergestalt^ dass
(7-3)
Figure imgf000042_0001
ist. In (7-3) bezeichnet ZN:= {Z e ZNxN ||det(Z)| = l} e ZNxN die
Menge der sog. unimodularen NxN -Matrizen, die bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist; ihre Elemente sind die Automorphismen von ZN . Aus (7-3) folgt
(7-3) (7-2) insbesondere q -p = 1 = ggT(j?) ; qeZ ist also ein sog. ggT- Koeffizientenvektor für peNN , d.h. ggT(/?) lässt sich als Linearkombination der Komponenten von peN mit
Koeffizienten aus qeZN schreiben. Ein Satz der elementaren
Zahlentheorie garantiert die Existenz unimodularer Ergänzungen (für N>2 gibt es sogar unendlich viele) von
Vektoren p≡N der Gestalt (7-2), und die numerische Zahlentheorie stellt Algorithmen bereit, die solche effizient berechnen. Beispielsweise kann Algorithm 3 im Artikel "G. Havas, B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction; Experimental Mathematics 7:2 (1998), Seiten 125 - 136", korrigiert in "G. Havas, B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction (addenda and errata) ; Experimental Mathematics 8:2 (1999), Seite 205", der zu p≡NN eine (7-3) erfüllende Matrix QGZN mit betragsmässig kleinen Elementen berechnet, so modifiziert werden, dass 'er statt Q deren Inverse P = [P',p] oder beide zusammen erzeugt. Weiterer Bestandteil des Verfahrens ist die
Variablentransformation
(7-4)
Figure imgf000043_0001
in Z 7 KN ; für sie gilt
(7-5)
Figure imgf000043_0002
und
Figure imgf000043_0003
Das Vektornorm-Quadrat rechts in (7-7) hat somit eine vollrangige Koeffizientenmatrix, und seine Minimalstelle e'(J)eZκ<N-ι) kann für beliebiges J ≡{0,l}KNxKN effizient berechnet werden, beispielsweise mittels der LAMBDA-Methode oder eines verwandten Verfahrens. Nötigenfalls wird das ganzzahlige quadratische Ausgleichsproblem (7-7) für jede der Permutationsmatrizen (6-13) gelöst; das kleinste dieser
(K\)N~ι Minima legt dann die Minimalstelle {j,eXJ))e{0,\}KN*KNxZK<N-l) fest, aus der EeZK*N gemäss (7-5) berechnet wird, wobei e"≡ Zκ beliebig gewählt werden kann. Dies ergibt
7-9)
Figure imgf000044_0001
und
(7-10)
Figure imgf000044_0002
Gleichung (7-9) verdeutlicht die //-Periodizität des Startwertes δ e Rκ , die eine Folge der //-Periodizität der gemäss (4-5) definierten Funktion iκ>κ im Falle (7-2) ist.
Die Bereichsgrenzen in (4-3) bzw. (1-22) sind also so zu wählen, dass
(7-11)
Figure imgf000044_0003
gilt, was e"eZ^ in (7-9) eindeutig festlegt. Gleichung (7- 10) zeigt, dass die gemäss (6-14) berechneten Startwerte (ς,Ä) eRNxRKxN nicht von den Bereichsgrenzen (7-11) abhängen.
Die vorstehend dargestellte Startwertberechnung erfordert einen beträchtlichen Rechenaufwand, und es ist wünschenswert, ein einfacheres Verfahren zur Verfügung zu haben, das allenfalls nur beschränkt anwendbar ist. Ein solches Verfahren wird nachfolgend beschrieben.
Um das Verfahren zu motivieren, wird der Idealfall rauschfreier Empfangssignale betrachtet: Wird
(8-0)
Figure imgf000045_0001
gesetzt, so sind die Distanz- und Kalibriersignaldaten
S,S±e RMxN durch die modellmässig unterstellten "wahren
Werte" der im Signalmodell auftretenden Parameter gemäss
(1-6) und (1-21) eindeutig festgelegt. Werden diese "wahren
Werte" von δe[δ~-lκ,δ+-lκ] , ς e RN und A e R*xN mit δ , ς und 1 bezeichnet, so zeigt eine Analyse der analytischen Reduktion der Minimierung von (2-0) auf die Maximierung von (4-5), dass (8-0) die Identitäten
/ ( o8_i1 x)
Figure imgf000045_0002
impliziert, und aus diesen folgt wegen (4-1), dass (δ,ς,A) Maximalstelle der gemäss (4-5) definierten Funktion £KL ist. Es gilt somit
( 8-2 )
Figure imgf000045_0003
was einem Verhalten entspricht, das von jedem respektablen Schätzer erwartet wird.
Wegen K≤L folgt aus (6-3), (8-1) und (4-1) auch
(8-3)
Figure imgf000046_0001
und daraus wegen (6-4)
(8-4)
Figure imgf000046_0002
für geeignet gewählte Permutationsmatrizen
Figure imgf000046_0004
\≤n<N , und ebenso
(8-5)
Figure imgf000046_0003
was wegen der Wahl von ς" e M als betragsmässig kleinste Maximalstelle der Funktion (6-2) für ne{l,---,N}
(8-6) ς=ς
impliziert .
Die Identitäten (8-4) besagen, dass bei geeignet gewählter Numerierung der Ziele Matrizen E e ZKxN und J ≡{0,\}KNxKN gemäss (6-13) existieren, für die ( V 8-7 ) /
Figure imgf000047_0001
gilt . Dies impli ziert
( 8-8 )
Figure imgf000047_0002
also kann (6-18) bzw. (7-7) zu Null gemacht werden, was zeigt, dass auch die Minimierung des Vektornorm-Quadrates (7-7) für rauschfreie Signale die "wahren Parameterwerte" δ≡Rκ, ς≡RN , A≡ RK xN liefert. Zudem gilt
(8.9)
Figure imgf000047_0003
was wegen p1≡N äquivalent ist mit
;8-10)
Figure imgf000047_0004
Die obigen Ausführungen zeigen, dass im Idealfall rauschfreier Signale der ML-Schätzwert (δ,ς,A) via Maximierungen der Funktionen (6-2), via Caratheodory-
Darstellungen (6-3) und via Formel (8-10) berechnet werden kann, sofern es gelingt, den ML-Schätzwert J≡{0,l}KNxKN für die Zuordnungs-Ambiguität in Erfahrung zu bringen. Wie bereits bemerkt, ist dies im Fall K=I trivial und im Fall von K>\ Zielen mit deutlich unterschiedlichen Echo-Stärken leicht möglich; andernfalls kann versucht werden, J e {0,\}KNxKN aus Formel (8-10) zu bestimmen, die auf viele verschiedene ggT-Koeffizientenvektoren q≡ZN von peNN angewendet wird.
Die vereinfachte Startwertberechnung besteht nun darin, das eben beschriebene Verfahren auf die realen rauschbehafteten
Distanz- und Kalibriersignaldaten S,S±e MMxN anzuwenden. Dabei tritt an die Stelle der Minimierung von (7-7) die einfachere Berechnung von ggT-Koeffizientenvektoren q≡ZN für peN , die vorzugsweise betragsmässig kleine Komponenten haben, und die in Formel (8-10) verwendet werden. Die Motivierung dieses vereinfachten Verfahrens macht es ratsam, es nur in Situationen rauscharmer Empfangssignale zu verwenden.
Das erfindungsgemässe mehrzielfähige Distanzmessverfahren nach dem Phasenmessprinzip wird nachfolgend anhand von in der Zeichnung schematisch dargestellten Ausführungsbeispielen rein beispielhaft näher erläutert. Im einzelnen zeigen
Fig.l die schematische Darstellung einer
Entfernungsmessung für den Mehrzielfall;
Fig.2 die schematische Darstellung der Phasen für den Mehrzielfall; Fig.3 die schematische Darstellung des Grundprinzips des erfindungsgemässen Distanzmessverfahrens und
Fig.4 die schematische Darstellung der Phasen für die Zerlegung der Einzelzielphasen bei Nutzung der zweiten Harmonischen.
In Fig.l werden die Verhältnisse für eine Entfernungsmessung im Mehrzielfall schematisch dargestellt. Von einem Sender in einem geodätischen Gerät 1, das hier exemplarisch als Totalstation dargestellt ist, wird ein Signal ausgesendet, das nun an mehreren Zielen, die hier exemplarisch durch Reflektoren als erstes Zielobjekt 2a und zweites Zielobjekt 2b verkörpert werden, eine Reflektion erfährt, die von einem Empfänger im Gerät 1 detektiert wird. Dabei überlagern sich die Anteile der beiden Zielobjekte 2a und 2b im Empfänger, sodass dieser nur ein einziges Signal mit einer Phase aufnimmt, das Anteile von beiden Einzelphasen aufweist. Im gezeigten Beispiel können unter Umständen noch Anteile einer Reflektion an der im Hintergrund gezeigten Hauswand 2c auftreten, welche ebenfalls zum empfangenen Signal beitragen. Aus Veranschaulichungsgründen werden in den Figuren lediglich zwei zu vermessende kooperative Zielobjekte 2a und 2b gezeigt. Das erfindungsgemässe Distanzmessverfahren ist jedoch sowohl für andere Zieltypen als auch für grossere Zahlen von Zielobjekten einsetzbar.
Fig.2 zeigt die schematische Darstellung der Phasen für diesen Mehrzielfall mit zwei Zielobjekten 2a und 2b. In der obersten Darstellung wird gezeigt, wie emittierte Strahlung 3 auf einen Reflektor als das erste Zielobjekt 2a trifft, von dem ein erster Strahlungsanteil 4 zurückreflektiert wird. Wie in der mittleren Darstellung gezeigt, trifft der restliche Teil der emittierte Strahlung 3, z.B. nach Transmission durch ein durchlässigen Ziel oder Abschattung im Falle des dargestellten ersten Zielobjekts 2a, als zweiter Strahlungsanteil 3a auf das zweite Zielobjekt 2b, das hier als identischer Reflektor dargestellt wird. Der von diesem zweiten Zielobjekt 2b zurückreflektierte dritte Strahlungsanteil 5a trifft, ggf. nach einer weiteren Abschattung durch das erste Zielobjekt 2a schliesslich wieder als vierter Strahlungsanteil 5 auf den Empfänger. Dieser registriert als zu empfangenes Signal 6 jedoch stets die überlagerten ersten und vierten Strahlungsanteile 4 und 5 mit einer gemeinsamen Mehrzielphase, d.h. die Reflektionen beider Zielobjekte 2a und 2b werden gemeinsam und ungetrennt erfasst.
Fig.3 erläutert die schematische Darstellung des Grundprinzips des erfindungsgemässen Distanzmessverfahrens. In diesem Beispiel werden von dem Gerät 1 N =2 periodische, elektromagnetische Signale 7, z.B. Laserlicht, mit den zwei Halbwellenlängen Λ1 > Λ2 > 0 zeitlich getrennt ausgesendet. Die Reflektionen an den K = 2 Zielobjekten 2a und 2b in den Entfernungen D\D2 werden als empfangene Signale mit äquitemporalen Abtastzeitpunkten zur Erzeugung und gegebenenfalls Speicherung von Abtastwerten abgetastet wobei das Abtasten pro Signalperiode M ≥ IK -mal erfolgt, d.h. im Einzielfall M ≥ 2 und im hier vorliegenden Beispiel mit zwei Zielen M≥A. Die Entfernungen Dλ,D2 liegen dabei in dem durch die vorgegebenen Distanzen D'eM und D+e R mit D~<D+ definierten Messbereich des Distanzmessgerätes im Gerät 1. Aus den Abtastwerten werden die Distanzen DX,D2 zu den K = I Zielen ausschliesslich nach dem Phasenmessprinzip simultan bestimmt. Hierbei wird ein auf einem mathematischen Signalmodell basierendes statistisches Parameterschätzproblem so gelöst, dass die Ungleichungen D~ ≤D\D2 < D+ gelten. Die Zahl der Zielobjekte 2a und 2b kann entweder beim Bestimmen der Distanzen aus den Abtastwerten ermittelt oder auch als bekannt vorgegeben werden.
Eine eindeutige Zerlegung der reflektierten Strahlung bzw. der empfangenen Signale ist möglich, wenn höhere harmonische Anteile beim Signalempfang und der Signalauswertung mitberücksichtigt werden. Fig.4 stellt die Phasen für den Mehrzielfall bei Nutzung der zweiten Harmonischen als tiefste Höherharmonische in Anlehnung an Fig.2 schematisch dar. Für eine entsprechend der zweiten Harmonischen mit doppelter Frequenz emittierte Strahlung 8 gelten nun ähnliche Bedingungen. Die höherharmonische Strahlung 8 trifft ebenfalls auf das erste Zielobjekt 2a, von dem ein erster höherharmonischer Strahlungsanteil 9 zurückreflektiert wird. Der restliche Teil erreicht als zweiter höherharmonischer Strahlungsanteil 8a das zweite Zielobjekt 2b. Der von diesem zweiten Zielobjekt 2b zurückreflektierte dritte höherharmonische Strahlungsanteil 10a trifft, ggf. nach einer weiteren Abschattung durch das erste Zielobjekt 2a schliesslich wieder als vierter höherharmonischer Strahlungsanteil 10 auf den Empfänger. Dieser registriert ebenfalls die überlagerten ersten und vierten höherharmonischen Strahlungsanteile 9 und 10 mit einer gemeinsamen höherharmonischen Mehrzielphase 11.

Claims

Patentansprüche
1. Distanzmessverfahren mit
• einem zeitlich getrennten Aussenden von N≥2 periodischen, insbesondere elektromagnetischen, Signalen (7) mit Halbwellenlängen Λ1 > ••• > AN > 0 ,
• einem Abtasten empfangener Signale mit äquitemporalen Abtastzeitpunkten zur Erzeugung und gegebenenfalls Speicherung von Abtastwerten, wobei die empfangenen Signale von K Zielen (2a, 2b, 2c) reflektierte und überlagerte Signalanteile aufweisen und das Abtasten pro Signalperiode M≥2 mal erfolgt,
• einem simultanen Bestimmen von Distanzen D ,---,D ≡R zu den K Zielen aus den Abtastwerten ausschliesslich nach dem Phasenmessprinzip, dadurch gekennzeichnet, dass beim Bestimmen der Distanzen die Zahl K
• für K≥2 vorgegeben oder • für K ≥ 0 aus den Abtastwerten ermittelt wird und ein auf einem mathematischen Signalmodell basierendes statistisches Parameterschätzproblem so gelöst wird, dass die Ungleichungen D~≤Dk<D+ für l≤k≤K gelten, wobei vorgegebene Distanzen D~eM und D+eR mit D~< D+ den Messbereich des Distanzmessgerätes festlegen.
2. Distanzmessverfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass • jedes der periodischen Signale (7) wenigstens LeN nichtverschwindende niedrigstfrequente harmonische - -
Anteile enthält und eine obere Schranke KeN der simultan zu bestimmenden Zieldistanzen, die Zahl L und die Anzahl MeN äquitemporaler Signalabtastungen dergestalt gewählt werden, dass die Ungleichung
— M
K ≤ L < — erfüllt ist. 2
Distanzmessverfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Signalmodell Distanzsignaldaten s™eIR aus den
Abtastwerten mit den unbekannten Zieldistanzen gemäss den M-N Gleichungen
Figure imgf000053_0001
ein Superskript Transposition von damit gekennzeichneten Vektoren bzw. Matrizen anzeigt,
A(k,:) e RUN den Ä;-ten Zeilenvektor einer Matrix - -
bezeichnet, deren Element A$ e R+
Figure imgf000054_0001
einen Zielamplitude genannten Anteil des vom &-ten Ziels reflektierten n-ten Signals bezeichnet, ein Symbol ° die Hadamard- oder elementweise Multiplikation der Matrizen links und rechts von ihm bezeichnet,
• eine Matrix der an den
evaluierten
Figure imgf000054_0002
Signalformen bezeichnet, wobei eine n-te Signalform Σ„ als zweimal stetig differenzierbare periodische
Funktion ∑n: R→R mit Periode 1 modelliert wird,
ein Vektor in Vielfachen der
Figure imgf000054_0003
Halbwellenlänge Λ e R+ gemessene Zieldistanzen d\---,dκ enthält,
• ein Vektor Reziprokwerte
Figure imgf000054_0004
\=λ<---<λ der in Vielfachen der Halbwellenlänge
A e R+ gemessenen Halbwellenlängen der Signale enthält,
Phasenlagen y" der Messsignale in einem Vektor
zusammengefasst sind,
Figure imgf000054_0005
- -
Figure imgf000055_0001
mittelwertfreie Zufallsvariablen w"≡R modellierten Rauschanteile der Distanzsignaldaten s™ bezeichnet.
4. Distanzmessverfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Zielamplituden A e M+ xN einer der Bedingungen • Rang(Λ) = 1 oder
•
Figure imgf000055_0002
genügen, wobei Rang(^4) den Rang und A(:,Y)≡IR den ersten
Spaltenvektor der Matrix A bezeichnen.
5. Distanzmessverfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass wenigstens eines der N periodischen Signale (7) zwecks Kalibrierung
• wenigstens einmal, insbesondere zweimal, über eine geräteinterne Referenzstrecke geführt,
• pro Signalperiode M mal äquitemporal abgetastet und
• zur Bestimmung der Distanzen D1,.DK bzw. d1,---,dκ verwendet wird.
6. Distanzmessverfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass - -
das Signalmodell
• Präkalibriersignaldaten s_™eR und
• Postkalibriersignaldaten s+™e R aus den Abtastwerten von zwei zeitlich getrennt ausgeführten Messungen durch die Matrix-Gleichungen
Figure imgf000056_0002
beschreibt, wobei
• ein Subskript - die Präkalibriersignaldaten und ein Subskript + die Postkalibriersignaldaten kennzeichnet,
• die Kalibriersignaldaten s±™elR in der Matrix
•
Figure imgf000056_0001
bezeichnet,
• Vektoren a±e RN den beobachtbaren Anteil des Phasendrift-Verhaltens des Empfängers beschreiben,
• ein Vektor η e RN den nicht beobachtbaren Anteil des Phasendrift-Verhaltens des Empfängers beschreibt, und
Figure imgf000057_0001
mittelwertfreie Zufallsvariablen w±™ e M modellierten Rauschanteile der Kalibriersignaldaten s^ bezeichnet.
Distanzmessverfahren nach den Ansprüchen 3 oder 4 und
5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, dass das Signalmodell die Kovarianzmatrizen C(n),C(n),C( n)e RMxM der Zufallsmatrizen W,W_,W+e MMxM als symmetrische positiv definite zirkulante Matrizen modelliert und gemäss
Figure imgf000057_0002
parametrisiert , wobei &M e (L MxxM eine diskrete Fourier- nM
Transformation in (L , also die Matrix mit den
Elementen
Figure imgf000057_0003
\≤m,m'≤M , bezeichnet.
8. Distanzmessverfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass
Variablen gemäss
•
Figure imgf000057_0004
- -
•
Figure imgf000058_0001
wobei ein Symbol -5- für die elementweise Division der Matrix links von -5- durch die gleichdimensionale Matrix rechts von -5- steht, eingeführt werden und
• die Schätzwerte δ,ς,A für unbekannte Zieldistanzen
Figure imgf000058_0002
9. Distanzmessverfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass die Maximalstelle (δ,ς,A) eB1 der Funktion £κχ:RκxRNxR™ →~R+ mittels eines lokal konvergierenden iterativen Maximierungsverfahrens berechnet wird, wobei als Startwert (δ,ς,A) ≡ RKx RN x RKxN insbesondere ein Näherungswert einer Maximalstelle der Funktion £κκ: Rκx RN* RKxN → R+ verwendet wird.
10. Distanzmessverfahren nach Anspruch 9, dadurch gekennzerichnet, dass die Maximierung der Funktion £κκ: Rκx RNx RKxN → R+ ersetzt wird durch die äquivalente Minimierung der Differenz ,
definiert ist,
• Jne{0,l}KxK eine beliebige KxK -Permutationsmatrix bezeichnet,
• EeZKxN eine beliebige ganzzahlige KxN -Matrix bezeichnet, •
Figure imgf000060_0001
genügen ,
11. Distanzmessverfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, dass
Figure imgf000060_0002
berechnet und (δ,ς,A) ≡ RKx RN x RKxN als Startwert für die iterative Maximierung der Funktion £KL verwendet wird, wobei
• ein Symbol ® das Kroneckerprodukt der Vektoren bzw. Matrizen links und rechts von ihm bezeichnet, - 5 -
• die
Figure imgf000061_0001
Blockdiagonalmatrix mit N KxK -Permutationsmatrizen J„e {0,\}κ*κ in der Diagonalen bezeichnet, wobei
Jλ:=Iκ als Identitätsmatrix Iκe {0,l}κ*κ gewählt wird,
A(:)eRKN einen Vektor bezeichnet, der durch Untereinanderschreiben der Spaltenvektoren von AeRKxN entsteht, und eine Matrix X e i^ ^ gemäss
Figure imgf000061_0002
definiert ist, mit Submatrizen J\x ,KNxKN
^1 e ^N+K-N)XK-N und ≡ R(N+K-N)x(N+K-N) ,
■
■
Figure imgf000061_0003
12. Distanzmessverfahren nach Anspruch 11, dadurch gekennzerichnet, dass
• die Halbwellenlängen Λ >Λ2 > ••• >ΛN > 0 in rationalen Verhältnissen gewählt werden,
• der Vektor λ≡R+ in der Form
Figure imgf000061_0004
dargestellt wird, wobei ggT(p) den grössten gemeinsamen Teiler der
Komponenten von peNN bezeichnet,
• eine unimodulare Matrix P := [P',p] elM mit P'eZNx{N~λ) und letztem Spaltenvektor peNN gewählt wird, und damit
• eine Variablentransformation
Figure imgf000062_0001
in ZK'N durchgeführt wird, wobei Q:=P~ιeZKN die Inverse der Matrix P e ZNxN bezeichnet, und
• die unimodulare Matrix PeZNxN so gewählt wird, dass ihre Inverse QeZNxN betragsmässig kleine Elemente hat .
13. Distanzmessverfahren nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, dass eine Minimalstelle e' EZ*<ΛM) , J e{0,\}KNxKN des
Vektornorm-Quadrates
Figure imgf000062_0002
für e'eZ*<ΛM) und J e{0,l}KNxK- berechnet wird, wobei
• |-|2 das Quadrat der Euklidischen Vektornorm ||-||2 bezeichnet,
• ReRKNxKN einen Rechts-Choleskyfaktor der Matrix
Mn
Figure imgf000062_0003
eRKNxKN bezeichnet, und • Po(t7) e ]RKNxKN die Normalprojektion des RKN auf seinen von den Spaltenvektoren der Matrix G(J) := R-J-[λ®Iκ] e RKNxK aufgespannten Unterraum bezeichnet, - -
und aus ? e Z*<AM) und J e{0,\}KNxKN durch Variablen- Rücktransformation
Figure imgf000063_0001
berechnet wird.
14. Distanzmessverfahren nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, dass eine Minimierung des Vektornorm-Quadrates
Figure imgf000063_0002
gemäss den Ansprüchen 12 und 13 erfolgt.
15. Distanzmessverfahren nach einem der Ansprüche 8 bis
14, dadurch gekennzeichnet, dass der Schätzwert δ e Rκ gemäss
Figure imgf000063_0003
wird, dass qτ-p = \ gilt.
16. Computerprogrammprodukt mit Programmcode, der auf einem maschinenlesbaren Träger gespeichert oder durch eine elektromagnetische Welle verkörpert ist, zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 15, insbesondere wenn das Programm in einem Computer ausgeführt wird.
PCT/EP2006/008184 2005-08-24 2006-08-18 Mehrzielfähiges distanzmessverfahren nach dem phasenmessprinzip WO2007022927A1 (de)

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