WO2006039864A2

WO2006039864A2 - Abaque numerique mixte d'echelle numerique mixte et procede de construction numerique d'une ligne de report de retenue

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Publication number: WO2006039864A2
Application number: PCT/CN2005/001669
Authority: WO
Inventors: Zhizhong Li; Juyuan Xu
Original assignee: Zhizhong Li; Juyuan Xu
Priority date: 2004-10-17
Filing date: 2005-10-11
Publication date: 2006-04-20
Also published as: CN1614552A

Description

混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘技术领域

本发明涉及数字工程方法和算盘领域。

背景技术

本发明中 "数字工程"是专指 "数字计算系统工程" 。它是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。 "采用工具的数字计算" 历史上包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算系统工程也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算系统工程，简称为 "笔算工程" 。

当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能 "连减" 。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体一一有理数体中，四则运算情况并不满意。在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生 "隐患" 。以 "二数相加" 为例，算式如式一

123456+345678=469134。 [文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。】其中，十位上的和数 3, 解剖一下。其微程序操作是： ®个位上来的进位； © 十位上 5、 7二数字与低位进位相加，即（ 5+7+1 )。取其和的个位； ©上列（ 5+7+1 ) 和的进位送到高位。其余各位，情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二 78+297+259=634。上述情况更为加重。显然，存在下列缺点： a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表 456789 时就更烦人；若以 "." 符写在数字间，则易与小数点混淆且表示 4δ6789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算,. 则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。 b.—般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。 c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中 "连减" ，必须断开。特别在加減联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加減乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。

另一方面，在电子计算机数字工程中，这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现 "多重运算" 。所谓 "多重运算" ，是指多于二个数同时进行加减。在采用其他普通 Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。【Q为自然数。 1

此外，在算盘数字工程中，这些数一般采用普通二进制与普通五进制的 "联合 Q进制" 数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。

发明内容

本发明提出一种新的数字工程方法，显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在 "笔算工程" 中，大大降低笔算的出错率。

本发明同时提出了，采用上述 "混数进制、进位行方法" 的混数算盘，显著提高运算速度，显著筒化结构。运算采用混数进制中的混 Q进制、或增 Q 进制、或偏 Q进制， Q为自然数。筒写为 "混 /增 /偏 Q进制"。

根据本发明的一个方面，提供一种混数进制、进位行数字工程方法，采用 "混数进制" 数，以 "混数进制、进位行方法"运算。混数进制运算可为下列方案之一；方案一：（适于计算机、笔算工程中）①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数； ②混数进制运算（ "对冲" 、 "划 Q" 、 "累加" ）； ③ 混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；方案二：（适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；）①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为 "编码全一进制数" ； ② "编码全一进制"运算（ "对冲，，、 "划 Q" 、 "累加，，）； ③ "编码全一进制数" 译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；方案三：（适于计算机中）①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为 {0， ± 1} 二进制（其特况为普通二进制）数； ② {0， ± 1}二进制运算（ "对冲，，、 "划 Q" 、 "累加" ：）； ③ {0， ± 1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；方案四：（适于计算机中）①普通 Q 进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为 "编码 {0, ± 1}二进制数" ； ② "编码 {0， ± 1}二进制，，运算（ "对冲" 、 "划 Q" 、 "累加" ）； ③ "编码 {0， ± 1}二进制数，，译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。

"混数进制、进位行方法" 包括以下第一种步骤：第 1步，设 K个普通 Q 进制数参予加减运算， 1^为> 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K 个混数进制数；（本发明中，均采用 2K个混数进制数来展示 )；

第 2步，对 K或 2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用 "对冲，，、 "划 Q" 、累加，得到这二个数该位 "按位加" 和数；将此和数记入下一运算层，作为 "部份和" 数；同时所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

第 3步，在上述某位的相邻高位上，重复第 2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数^：同时进行第 2 步及第

³步运算，则本步可跳越过去；

第 4步，取 K或 2K个数中的另二个数，进行第 2步及第 3步运算；如此反复，直至 K或 2K个数或运算层中^数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为 "部份和" 数；

第 5步，在下一个运算层中，将上迷 "按位和"数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 K个普通 Q进制减运算结果；

或者，采用以下第二种步骤：第 1步，设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个混数进制数； (本发明中，均采用 2K个混数进制数来展示）；

第 2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数、 K或 2K个数同时相加；采用 "对冲" 、 "划 Q" 、累加；即在二数时，得到二个数该位 "按位加" 和数；将此和数记入下一运算层，作为 "部份和" 数；同时所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

第 3步，在上述某位上，取 K或 2K个数中的另二个数，重复第 2步的运算；如此反复，直至 K或 2K个数或运算层中 4^数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为 "部份和" 数;

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第 2步及第 3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对 n个和为 0的数先进行 "对冲" ；然后，对 n个和为 mQ的数进行 "划 Q" ； n为 > 2的整数， m为整数；所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；同一位上，余下各数进行 "累加" ，或者直接移至下一运算层；累加采用 > 2的 "多数累加" ；当采用普通二数 "累加，，时，则顺序串行累加；第 4步，在上述某位的相邻高位上，重复第 2步及第 3步的运算；如此反复，直至 K或 2K个数最高位也已运算为止；

第 5步，在下一个运算层中，对上述 "按位和" 数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 Κ个普通 Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第三种步骤：第 1步，设 Κ个普通 Q进制数参予加减运算， Κ为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 Κ或 2Κ个混数进制数； (本发明中，均采用 2Κ个混数进制数来展示）；

第 2步，采用所谓 "二^ έ算" ；即，在 Κ或 2Κ个数的上，同时进行运算；并且同时对每一位上， η个和为 0的数进行 "对冲"； 11为> 2的整数；第 3步，采用所谓 "二维运算" ；即，在 Κ或 2Κ个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上， η个和为 mQ的数进行 "划 Q" ； n为 2的整数， m为整数；所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

第 4步，采用所谓 "二维运算" ；即，在 K或 2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行 "累加，，，或者直接移至下一运算层；累加采用> 2 的 "多数累加" ；当采用普通二数 "累加，，时，则顺序串行累加；

笫 5步，在下一个运算层中，将上述 "按位和"数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 K个普通 Q进制 »减运算结果。

混数进制、进位行数字工程方法，其中混数进制为混 Q进制、或增 Q进制、或偏 Q进制。运算采用 "进位行方法" ；即在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位 "进位行" 中，然后与 "按位和" 一起进行运算。

对 K个数中的 n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中 n个运算数的按位加和为零，但产生进位 m (与 n个数的和数符号一致）； n为 > 2的整数， m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；然后，将 n个运算数的某位均以逻辑方式置 "0" , 不再参加以后的运算；这称为 "划 Q" ； "划 Q" 中 m = 0时，称为 "对冲" ；或者，不采用 "对冲" 及 "划 Q" 。

所述混数进制数可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数 S, 都以 |S|个 1 从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为 0, 总位数则为 Q、或（Q-1 )、或 Q/2、或（Q+1 ) 12位；同时，将 S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符（参见第三部分增 Q进制及全一码）；当采用全一码来编码混数进制数时， n个数加法仅为 n个数中 1或 T的不重复排列，称为 "排 1" ；其全一码编译可以定码长或变码长。

根据本发明的另一个方面，提供一种混数进制的混 Q进制、或增 Q进制、或偏 Q进制算盘，即"混数算盘"。当 Q=10 时，即为 "混十算盘"。混数进制运算可为前述方案二来展示；设 K个普通 Q进制数参予加减运算， 1^为> 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个混数进制数；算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步骤。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠沿竖档上下移动，采用 "对冲，，、 "划 Q" 、累加来进行计算。在上下框之间采用 15档竖档，或多于 15档，或少于 15档。竖档呈直线型；或者呈 "― "型，分为长度相等的上中下三段。每段长度约为全档算珠的厚度，其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动。每根竖档上贯穿有 Q、或（Q-1 ) 、或 Q/2、或（Q+1 ) 12只算珠；当 Q=10时，有 10只或 9只或 5只算珠。在每根竖档（7 )上下各增加一个可上下移动的算珠，以横梁隔开；或者，在上框的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档，均有可转动的转换标示。转换标示为正三角柱体、正方柱体、圆柱体、球体或算珠体等，二值 {0, 5 }或三值 {0, ± 5 }状态元器件；或者，不增加。上框的水平中线位置上有上框小槽。小槽中有游标一只，或者一只以上，或者没有。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。

混数算盘中运算数为混数进制数，筒称 "混数数"。混数进制为混 Q进制，或增 Q进制，或偏 Q进制。 Q=10时是 "混十数" 。采用全一码及正负码编码。本发明混数算盘中，其编译码采用定码长来展示。

附图说明：

图 1为混 Q算盘的 W结构示意图（Q = 10 )。图中标有： 1.算珠， 2.左框， 3.游标 1 , 4.游标 2， 5.上框， 6.上框小槽， 7.竖档， 8.右框， 9.下框。

图 2为增 /偏 Q算盘的机械结构示意图（Q = 10 )。图中标有： 1.算珠， 2. 左框， 3.游标 p 4.游标 ₂ , 5.上框， 6.上框小槽， 7.竖档， 8.右框， 9.下框， 10.

"转换标示" 。

图 3为 "转换标示" 10。具体实施方式

第一部分混数进制、进位行数字工程方法

1.《进位行方法》

1.1进位与《进位行方法》

在电子计算机等数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于 "进位"。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。 "进位" 就是争 "速度"。在笔算工程中，还直接影响到 "出错率"。本部分以笔算工程为例。所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进^ ^放在参予运算与 "按位和" 数同等的位置上，然后与 "按位和" 一起进行运算。通常同运算层中二数相加时，将各位上的进位排列成一行，称为 "进位行"。（运算层的概念，见下节。）举例如下，设二普通十进制数求和，算式如式三 1²³⁴⁵⁶+³⁴⁵⁶⁷⁸=⁴⁶91³⁴。个位运算（6+8 ) =14，其进位 1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为 "按位加 θ"。其和称为 "按位和"。按位和的数据行，称为 "㊉行"。㊉行与进位行组成 "运算层"。

1.2《进位行方法》分析

1.2.1二数求和的分析

采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：

① 二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难； ②验算十分方便。

[引理一】二数相加时，任意位上要么有进位记为 1 , 要么无进位记为 0;

[引理二 1 二数相加时，任意位上的 @和可为 0 ~ 9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的㊉和只能为 0 ~ 8之一，而不能为 9。

由 [引理一】和 [引理二 I可得：

【定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的㊉和才可能出现 9。

1.2.2层次概念及运算层

设二数求和。算式为式四 ⁵84³029+4746979=1059000⁸。由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项筒单运算。这就是运算的 "层次"概念。

"层次" 概念是数学中的基 ^念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含 "层次" 概念。因此，《进位行方法》中的 "层次" , 从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了 "层次，，，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。

1.2.3唯一的运算层

二数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。

【引理三】二数相加时，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。（由引理一、 D

[引理四】二数相加时，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。（由引理一、二得）

[定理二 1二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。（由引理三、四得）

[推论 1 二数相加时，可以将全部各层进位行合并为一个进位行；除第 0 运算层（初始运算式）外，可以将各运算层合并为一个运算层。

1.2.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为 ²³1+⁷⁸⁶+⁹⁸⁹=²006 (式五）。又，设六数求和。算式为 786+666+575+321+699+999=4046 (式六）。操作要点：

① "划 Q" 的运用；所谓 "划 Q" ，即 Q进制的 η个数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位 m (与 η个数的和数符号一致）。 η为 > 2 的整数， m为整数。进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；同时在某位上，该 n个数均不再参加运算。即，同一位上 n个数和为 mQ时，可将 n个数均划去，然后在高位上的空位或 0位处补 m。在十进制时 Q=10，划 Q即为 "划十" 。

②多个数相加，可出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数,同一位上的同一运算层空位或 0位中，进位及和数可以任意占位；一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

③尽量减少运算层。 a、较小的数，直接合并算； b、尽量在 "配对，，中进位； c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。

④同一位上，进行 "累加，， , 或者直接移至下一运算层；累加采用> 2 的 "多数累加" ；当采用普通二数 "累加" 时，则顺序串行累加； "相同数" 、 "连续数" 等，可直接得 "部分和" 。 2.混数及混数进制

2.1《数制理论 SZI 》

2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为 "记数系统的制度" 。筒称为 "数制" 。《数制理论 SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论、群论、集合论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、 Walsh函数、《狭义及广义模随论 MSL》等^ 近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基理论之一。数学科学，即 "数" 的科学。 "数" 的基本为 "数制" 。因此，《数制理论 SZLL》是 "数论" 的基础，是 "核心数学" 的 "核心，，之一。

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的 "数符" 来表示。 "数符，，又称 "数字" 。数字通常从右向左水平排列。对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值（又称 "位值" ），其值由低（小）到高（大）。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为 "位值制数制" 。我们以下讨论的数制，都是 "位值制数制" 。在不致误解时，也直接筒称为 "数制" 。

2.1.3数制的三大要素：数位 I，数元集 Zi和权 Li。

a、数位 I表示数制中数的^ 数字的位置。 I为序数，从右自左示。即， i=l，2，3，…表示该数的第 1, 2, 3, ... 位。

b、数元集 Zi，表示第 I位上的 "数元" 组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为 "数的元素" 。筒称为 "数元" 。因此，该数符集称为 "数元集 Z" 。数元集 Zi可以随着 i的取值不同而不同，也可以相同。当名^上的 ¾均为相同的 Z时，相应的数制称为 "单一集数制" 或 "单一数制" ；当各位上的 Zi 不全相同时，相应的数制称为 "联合集数制" 或 "联合数制" 。

数元集 Zi 中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以来表示数元 ( a ^as,…：）， j为自然数。以 i 表示第 i位上数元。约定， ¾=-Α ( A为复数）时，可表示为 = 。数元集 Zi以集合来表示，即，... }; 或者，以文字表明其特征。为便于计算，通常取数元 ¾ 为整数，以阿拉伯数字来表示。

数元集 Zi的基数 Pi ( Pi为自然数），表示了集的元素总数。恩格思指出：它 "不但决定它自己的盾，而且也决定其他一切数的质。 " Pi的取值不同，标示了数元集 Zi的变化。各位上的 Pi为相同的 P, 则称为 "单一基数" ；否则，称为 "联合基数" 。

在《数制理论》的 "位值制数制" 中，定义数中的 "空位，，表示 "无" ，其位值为 0, 称为 "空位 0" 。 "空位 0" 是 0的一种，是 0的一种表达形式，是一种隐含的 0。通常不加以标明；在数元集中， "空位，，是一种特殊的数元，称为 "空位元" 。筒称为 "空元" 。 "空元" 是每一个 "位值制数制" 数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为 "空位" 。通常不加以标明。 "空元" 是数元集中，唯一通常不计入数元，也不计个数，即个数为 0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为 1。

c、权 Li, 表示第 i位上的位值大小。特称此位值为 "权 Li" 。 Li为实数。为便于计算，通常取权 Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的 Li，就决定了不同的位值。在 "编码理论" 中， "编码" 的主要特征就在于权 Li。

实际中常见的权 Li釆用所谓 "幂权" 。即，令 Li-Qi ^A为实数。为便于计算，通常取（¾为自然数。（¾可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位 Li均为幂权，而且成等比 Q的数制。 Q称为数制幂权的 "底数" 或数制的 "底数" 。底数 Q的不同，决定了不同的 Li, 从而决定了不同的位值。 Qi可以随着 i的取值不同而不同，也可以相同。当名上的数制幂权 Qi, 其底数均为相同的 Q时，相应的数制称为 "单一 Q进制" 。简称为 "Q 进制" 或 "进制" 。当各位上的数制幂权 Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为 "联合 Q进制" 。另一种常用的权 Li采用 "等权" ，即各位上的权 L相同。

根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及混数进制

当数元集 Zi中，含数元 0时，该相应数制被称为 "含 0数制" 。对于进制，则称为 "含 0进制" ；当数元集 Zi中，不含数元 0时，该相应数制被称为 "不含 0数制" 。对于进制，则称为 "不含 0进制" 。

当数元集 Zi 中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为 "混数数制" 。对于进制，则称为 "混数进制" ；混数数制中的数，称为 "混数" 。 "混数" 中既有正数元又有负数元的数，称 "纯混数" 。当数元集 Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为 "对称数制" 。对于进制，则称为 "对称进制" 。

当数元集 Zi 中，全部数元为连续整数成为 "整数段" 时，该相应数制被称为 "整数段数制" 。对于进制，则称为 "整数段进制" 恩格斯指出： "零比其他一切数都有更丰富的内容。 " 鉴于 "0" 的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含 0整数段去掉 0时，仍作为一种特殊的整数段。

在《数制理论》中建立了 "代数数制系统"。一个数制的名称采用 "Zi Li" 。对 Q进制，则为 ZiQi; 单一数制时，则为 ZLi; 单一数制中联合 Q进制时，则为 ZQi。单一数制中 Q进制时，则为 ZQ。其中， Q以中文小写数来表示。

对于含 0的普通 Q进制， Z={0, 1, ..· , ( Q-l ) }。故 ZQ={0， 1, ... , ( Q-l ) }Q, Q为 > 1的整数，称为 "含 0普通 Q进制" 。符号表示为 {含 0， Q}; 对于不含 0的 {1, 2, …， Q}Q, Q为自然数，称为 "不含 0普通 Q进制" 。符号表示为 {不含 0， Q}。含 0和不含 0的普通 Q进制，合起来统称为 "普通 Q进制" ， Q为自然数。符号表示为 {Q}。当不致误解时， "含 0普通 Q进制" 亦可称为 "普通 Q进制" ，亦以符号 {Q} 示。故可以符号 {二}及 {十}^ 示普通二进制及普通十进制。

在任一个具有整数段数元集的 Q进制数制中，当 P=Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为 "连续数制" ，又称 "普通数制" ；

当 P > Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为 "重复数制" ，或 "增强数制" 。对于 Q进制，又称为 "增强 Q进制" , 筒称为 "增 Q进制" ；当 P < Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为 "断续数制" ，或 "减弱数制" 。对于 Q进制，又称为 "减弱 Q进制" ，简称为 "减 Q进制" 。

本文中的混数进制主要为以下几类：

对于含 0的 {0， ± 1， …，土（Q-1 ) }Q进制， Q为 > 1的整数，称为 "含 0混 Q进制" 。符号表示为 {含0， Q*}; 对于不含 0的 { ± 1 , ± 2, …，士 Q}Q 进制， Q为自然数，称为 "不含 0混 Q进制" 。符号表示为 {不含 0， Q^A}。含 0和不含 0的混 Q进制，合起来统称为 "混 Q进制" ， Q为自然数。符号表示为 {Q'}。当不致误解时， "含 0混 Q进制" 亦可称为 "混 Q进制" ，亦以符号 {Q*}来表示。故可以符号 {十*}及{二*}来表示 "混十进制" 及 "混二进制" 。在《数制理论》中， {十的名称是： "单一基数 P=19，含 0, 整数段，对称的十进制" 。可写为 {十九，含 0, 整数段，对称 }十进制，或者写为 {0， ± 1 , ± ², …， ± 9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为 {十* } , 称为 "混十进制" ； {二*}的名称是： "单一基数 P=3, 含 0，整数段，对称的二进制" 。可写为 {三，含 0，整数段，对称 }二进制，或者写为 {0, ± 1 }二进制。一般情况下，进一步符号表示为 ί二 *}，称为 "混二进制" ；

增 Q进制中，特别重要的是！》 = 0+1>()的一种。 Q为自然数。本文中，仅指这一种。增 Q进制中，含 0整数段、对称增 Q进制称为 "含 0对称增 Q 进制" 。当不致误解时，简称为 "含 0增 Q进制" ，符号表示为 {含0, Q^A}；不含 0整数段、对称增 Q进制称为 "不含 0对称增 Q进制" 。当不致误解时，简称为 "不含 0增 Q进制" ，符号表示为 {不含 0, Q^A}。含 0和不含 0整数段、对称增 Q进制，合起来称为 "对称增 Q进制" ，又筒称为 "增 Q进制" 。当不致误解时， "含 0增 Q进制" , 亦筒称为《增 Q进制" ，符号亦表示为 {Q^A}。鉴于增 Q进制的特别重要性，进一步表述如下。

对于含 0的 {0, ±1, ..·, ±Q/2}Q进制， Q为正偶数，称为 "含 0增 Q 进制" 。符号表示为 {含0, Q^A]；对于不含 0的 {±1, ±2, …，士（Q+1)/2}Q 进制， Q为正奇数，称为 "不含 0增 Q进制" 。符号表示为 {不含 0, (Τ}。含 0和不含 0的增 Q进制，合起来统称为 "增 Q进制" ， Q为自然数。符号表示为 {Q 。当不致误解时， "含 0增 Q进制" 亦可称为 "增 Q进制" ，亦以符号 {<^}来表示。故可以符号 {十及{二来表示 "增十进制" 及 "增二进制" 。在《数制理论》中， {十的名称是： "单一基数 Ρ=Π, 含 0, 整数段，对称的十进制" 。可写为 {十一，含 0, 整数段，对称 }十进制，或者写为 {0, 土 1, ±2, ..·, ±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为 { + ^Δ} , 称为 "增十进制" ； {二的名称是： "单一基数 Ρ=3, 含 0，整数段，对称的二进制" 。可写为 {三，含 0，整数段，对称 }二进制，或者写为 {0, +1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为 {二 } , 称为 "增二进制" ；

对于含 0的 {0， ±1, 士（Q/2-1) , Q/2}Q进制， Q为正偶数，称为

"含 0偏 Q进制" 。符号表示为 {含0， Q， }; 对于不含 0的 {±1, ±2， ...，士（Q-1) /2， (Q+l) /2}Q, Q为正奇数，称为 "不含 0偏 Q进制" 。符号表示为 {不含 0, Q， }。含 0和不含 0的偏 Q进制， ^^来统称为 "偏 Q进制" , Q为自然数。符号表示为 {Q， }。当不致误解时， "含 0偏 Q进制" 亦可称为

"偏 Q进制" ，亦以符号 {Q， }来表示。故可以符号 {十， }及{二， }来表示 "偏十进制" 及 "偏二进制" 。在《数制理论》中， {十， }的名称是： "单一基数 P=10, 含 0，整数段，偏对称的十进制" 。可写为 {十，含 0，整数段，偏对称}十进制，或者写为 {0, ±1, ±2， ..·， ±4，⁵)十进制。一般情况下，进一步符号表示为 {十， } , 称为《偏十进制》； {二， }的名称是： "单一基数 P=2, 含 0, 整数段，偏对称的二进制" 。可写为 {二，含 0, 整数段，偏对称 }

n 二进制，或者写为 {0, 1 >二进制。一般情况下，进一步符号表示为 {二， } , 称为《偏二进制》。

2.3混数编码

以混数来编码的方法，称为 "混数编码" 。

当 A进制数元以 B进制数等来编码时， A进制数排列成相应的 B进制数等。这称为 "以 B进制数等编码的 A进制数" ，筒称为 "B编码的 A数" ，或 "编码 B数，，，或 "编码数" 。例， {十} 328= {二} 101001000; 其 "编码 {二}数，，为 0011, 0010, 1000。如上述 "编码 {0， ± 1 }二进制数，，，即指以 {0， ± 1 }二进制（其特况为普通二进制）数来编码的 "编码数，，。所谓 "编码 B数" 的运算，即为 "编码 B进制"运算。这时， A进制数的位与位间为 A进制运算，但每位中则为 B进制运算。 A进制数元以 B进制数等来编码时，所需 B进制数的最多位数，称为 "码长" 。固定的 "码长" ，称为 "定码长" ；如最高位 0不加以标明，使之成为 "空位 0" 时，相应 "码长" 是变化的，称为 "变码长" 。

混数进制、进位行数字工程方法，所述运算混数进制数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增 Q进制数的每一位数 S, 都以 |S|个 1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为 0，总位数则为 Q、或（Q-1 ) 、或 Q/2、或（Q+1 ) /2位；同时，将 S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增 Q进制数时， n个数加法仅为 n个数中 1或 T的不重复排列，称为 "排 1" ；其全一码编译可以定码长或变码长。

3.《混进方法 HJF》四则运算。

采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，筒称为《混进方法 HJF》。采用混 Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混 Q进制、进位行方法》；当不致误解时，亦可简称为《混进方法 HJF》。设 K个普通 Q进制数参予加减运算， 1^为> 2 的整数， Q为自然数；将这些普通 Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去，即成为混 Q进制数；

采用增 Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增 Q 进制、进位行方法》；筒称为《增进方法 ZJF》。设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个增 Q进制数； (一）以含 0的 {Q}→{Q^A}数转换为例：

{Q}={0， 1, ..·, (Q-l) }Q, 0为 >1的整数……①

{Q^A}={0, ±1, 士 Q/2}Q。 Q为正偶数……②

由①及②可知， 0为>2的偶数。

VQ 2, 2Q>2+Q, Q Q/2+l, --. (Q-l ) >Q/2

当 Q=2时，（Q-l) =Q/2，即以绝对值而言， {二}最大数元所表示 {二}数，等于 {二 }最大数元所表示 {二}数；当 Q为>2 的偶数时，（Q-l) >Q/2, 即以绝对值而言， {Q}最大数元所表示 {Q}数，总是大于 {(? 最大数元所表示 {Q}数。这时 {Q}数元（Q-1) ={(Τ}1Ϊ。即， {Q}数元（Q-U转换成相应的 {(Τ}数，为两位数 1Ϊ。其中，高位实质是 "进位" 。

由此可知，一个 {Q}数转换成相应的 {Q^A}数，当 Q=2时，仍为一个 {Q^A}数; 当 0为>2的偶数时，可统一成为二个 {Q^A}¾之和。其中一个 {Q^A}数，即为 "进位行"数。 K个 {Q}数转换成相应的 {Q^A}数，当 Q=2时，仍为 K个 {Q 数；当 Q为>2的偶数时，可统一成为 2K个 {(^}数。

(=)对于不含 0的情况， Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。

〇如已经将一个 {Q}数，另行转换为一个 {Q^A}数，则 K个 {Q}数转换为 K 个 {(T}数。

本发明中，均采用 2K个增 Q进制数来展示；

采用偏 Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《偏 Q 进制、进位行方法》，简称为《偏进方法 PJF》。设 K 通 Q进制数参予加减运算， 1：为>2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个偏 Q进制数。

(一）以含 0的 {Q}→{Q， }数转换为例：

{Q}={0, 1， ...， (Q-l) }Q, Q为 >1的整数……①

{Q， }={0, ±1, …，土 (Q/2-1) , Q/2}Q。 Q为正偶数……② 由①及②可知， Q为 >2的偶数。

Q 2, 2Q>2+Q, Q>Q/2+l, 人 (Q-l) >Q/2

当 Q=2时， (Q-l) =Q/2，即以绝对值而言， {二}最大数元所表示 {二}数, 等于 {二' }最大数元所表示 {二}数；当 Q为>2的偶数时，（Q-l) >Q/2，即以绝对值而言， {Q}最大数元所表示 {Q}数，总是大于 {Q， }最大数元所表示 {Q}数。这时 {Q}数元（ Q-l ) ={Q， }1ϊ。即， {Q}数元（Q-l)转换成相应的 {Q， }数, 为两位数 1Ϊ。其中，高位实质是 "进位" 。由此可知，一个 {Q}数转换成相应的 {Q， }数，当 Q=2 时，仍为一个 {Q， } 数；当 Q为>2的偶数时，可统一成为二个 {Q， }数之和。其中一个 {Q， }数，即为 "进位行"数。 K个 {Q}数转换成相应的 {Q' }数,当 Q=2时，仍为 K个 {Q， } 数；当 0为>2的偶数时，可统一成为 2K个 {Q， }数之和。

Θ如已经将一个 {Q}数，另行转换为一个 {Q， }数，则 K个 {Q}数转换为 K个 {Q， }数。

本发明中，均采用 2K个偏 Q进制数来展示。

混数进制运算可为前述方案之一；本发明中，《混进方法 HJ 》采用方案一，以笔算工程来展示；可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤。

3.1{十的加法

例： 123+456=427 (式七）

式中求得和为 5Ϋ 。当需要转化为普通十进制 {十}数时，和为 427。一般来说，所求和不必转化（特别是作为计算过程中间结果时）。确需转化时，方法见 4.1转换法则。

3.2{十的减法

例 1§3— 4^=1 +356= 9

例 112+56-32-85+67-46=72 (式八）

3.3{十^¾}的乘法

例 238X89=12502 (式九）

3.4{十^¾}的除法

例 5728 ÷ 23=249... ...1 (式十）

3.5 {十的加法

例： 1 +344=433 (式七）

式中求得和为 3。当需要转化为普通十进制 {十}数时，和为 427。一般来说，所求和 ⁴ 不必转化（特别是作为计算过程中间结果时）。确需转化时，方法见 4.1转换法则。

3.6 {十 }的減法

例 1 3—344=123+ 333二

例 112+1 $-32-1 +133-53=1 (式八）

3.7 {十 }的乘法例 2 X 131=11502 (式九）

3.8 {十 }的除法

例 1^32 ·÷- 23=251…… 1 (式十）

3.9 {十， }的加法

例： 123+344=433 (式七）

式中求得和为 ⁴ 。当需要转化为普通十进制 {十}数时，和为 ⁴²⁷。一般来说，所求和不必转化（特别是作为计算过程中间结果时）。确需转化时，方法见 4.1转换法则。

3.10 {十， }的减法

例 123—344=1 3+ 333=34ϊ

例 112+1 ?5-32-125+133-54=132 (式八）

3.11 {十， }的乘法

例 2 Χ 131=11502 (式九）

3.12 {十， }的除法

例 1 32 + 23=251…… 1 (式十）

3.13四则运算的特点

①加减法合并为加法。首先减法化为加法来运算。这一来实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难。这是由于混数的特性所决定。这样就产生了 "约混" 技术。这是指同一位上的 η个数求和时，若和数为零，则这 n个数可以消去。 "约混" 也可称为 "对消" 或 "对冲"。即， "划 Q" 中 m = 0时，称为 "对冲"。在算式中，该位上的这 n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先 "对冲"、后 "划 Q，，、再 "累加，，来获得混 Q数的结果。

②乘除方法简单。由于采用混数可使除法中的 "减"过程变为 "加"过程。为了去掉 "减" 过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个 "减" 过程完全变成 "加" 过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，我们的除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

同时，除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。

③四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。

② 加强运算正确性的保障，在 "笔算工程" 中，大大降低笔算的出错率。

4.《混十进制》 {十'}与《普通十进制》 {十}的关系。 4.1{十'}与 {十}数的转换法

这里指整数的情况，例如 {十*}3^25 6= {十} 221716(式十一)。 {十}数本身即为 {十*}数的一种特况，故 {十}数不经转换即为 {十* }数，只要将这些普通 Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。

{十*}数转换成 {十}数。方法有几种：一种是将 {十* }数变为一正一负的二个 {十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该 {十3数中各正数字位及 0位作为一正 {十}数，而将各负数字位作为一负 {十}数。例 {十 3822 96 = {十} 302006 - 80290 = 221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对 10取 "补" 数，同时在相邻的高位减 1 (即加 τ ) 。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字（或 0 )的数字段照写不变。如 3 x 2 X X 6。但，当其不在 {十*}数末尾（个位）时，则最低位加 T ; 连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对取《补" 数，如>< 1 >< ⁷0 。然后，在其最低位加 1。这样，求得结果为 2²Π1⁶, 即为相应 {十}数。

当需转换的 {十数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成 {十}数，然后取此 {十}数的符号为负即可。

表一

4.2 {十⁴}与 {十}对照表及其说明（见表一）

说明：

① 表一中 0 + 0-分别为从正负方向趋近于 0所获得的 0。

②表一中 0表示形式为 "连续非负整数个 9" 的全体的缩写。即 , 可为 0 个 9, 可为 1个 9, 可为 99, 可为 999， …等形式。这种形式表示的集合，称为 "连集" 。显然， "连集" 为无限集。设 E为整数，则 έ为 E的 "连集" ，筒称为 "连 Ε" 。读作 "Ε点，，。以 "连集" 形式表示的一组无穷个数，称为 "连集数组" 或 "连集组数" 。

③ ο = δ = ά , 由数 10的二种表达形式可知。因此 δ = ο = ά = S 。

④ 在 {十*}数系统中， "连集" 形式有且仅有 ( 0 , 6, 9 , 9 )四种。由于 ά = δ , 故 "连集" 形式有且仅有 ( 6, 9 , 9 )三种，亦可写为（ ά , 土 )三种。

4.3 {十 }与 {十}关系分析

4.3.1 {十}数是 {十数的一部分， {十}数集是 {十* }数集的真子集；

{十数〕 {十}数，即 {十^¾}数对 {十}数有真包含关系。

4.3.2 {十}数与 {十^数的关系是 "一多对应" 关系，而不是 "——对应" 关系。正由于此， {十* }就获得了多样处理的灵活性。这是 {十* }运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说， {十* }具有较强的功能。

{十}中 P=Q，因而在该数制中，自然 Μ连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。 {十^¾ }中 P>Q , 因而在该数制中自然数会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以筒便快捷。也可以说{十*}是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法 HJF》，才有了 "笔算工程" 的新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机新技术方案。

4.3.3 {十数转换为 {十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为， {十数可经 {十}数加减直接获得，而 {十}数加减运算后的结果是唯一的。反之， {十}数也只能化为相应唯一的一组 {十3 "连集组数" 。所以，这种 {十}数的 "一" 与{十^¾} "连集组数" 的 "一" 组，二者是 "一一对应" 关系。

由此，可建立一种 {十*}数与 {十}数的互为映射关系。

由于变换是集到自身上的对应，所以 {十}与 {十^¾ }数是 "一一变换" 。对于运算系统来说， {十}与 {十⁴ }数系统是 "自同构" 。相应 {十}数的各种运算性质，亦在 {十数系统中成立。

4.3.4应当指出，显然，上对{十}与{十的分析，完全相应于 {Q}与 {Q*} 的分析，因为 {十}与 {Q}是同构的。由此可知： ① {Q}数是 { }数的一部份， {Q} 数集是 {Q*}数集的真子集。 {<T}数 ^ Q}数，即 {Q⁴}数对于 {Q}数有真包含关系。 ② {Q}数与数的关系是 "一多对应" ，而不是 "一一对应" 。 ③同时， {Q} 中的 "一" 个数与相应的中的 "一" 组 "连集组数" ，二者之间是 "—— 对应" 关系。 ④ {Q}与 {Q⁴}数系统是 "自同构" 。相应 {Q}数系统的各种运算性质，亦在 {(^}数系统中成立。

【以下为增 Q进制的情况】

4.《增十进制》 {十与《普通十进制》 {十}的关系。

4.1 {十"与 {十}数的转换法

这里指整数的情况，例如 {十 222324= {十} 221716 (式十一)。 {十} 数需经表一转换成为 {十 }数。

{十数转换成 {十}数。方法有几种：一种是将 {十 }数变为一正一负的二个 {十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该 {十 }数中各正数字位及 0位作为一正 {十}数，而将各负数字位作为一负 {十}数。例 {十 ^Δ } 222324 = {十} 222020-304 = 221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对 10取 "补" 数，同时在相邻的高位减 1 (即加 ϊ ) 。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字（或 0 )的数字段照写不变。如 222 χ 2 χ。但，当其不在 {十 }数末尾（个位）时，则最低位加 Ϊ ; 连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对 9取 "补" 数，如 _{Χ Χ Χ} 6 χ 5。然后，在其最低位加 1。

这样，求得结果为 221716, 即为相应 {十}数。当需转换的 {十 }数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成 {十}数，然后取此 {十} 数的符号为负即可。

4.2 {十 }与 {十}对照表及其说明（见表一）

说明：

② {十}数相应的{十数可有重复数，也可没有；

③ 凡 Η"^Δ}数中有数字 5 (正或负）出现时，则相应的 {十}数有重复的 {十 ^Δ}数。此时，该相应的 {十}数中可有数字 5, 也可没有。 Η"^Δ}数对 {十}数的重复数，以 5=15及 =Ϊ5为 "主重复" ，即其余重复数均可由此推出。

④ 实质上，由于 {十的数元集中既含有 5, 又含有才产生相应的重复数。换句话说，只要 {十^的数元集中去掉 5或 5，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的数制，称为 Q=10的偏 Q进制 { Q，}。 -10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10- {+}

— ϊο Ϊ 1 12 13 14 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 14 13 12 11 10- - {十

15 15 表一 {十^与{十}数对照表

4.3 {十与 {十}关系分析

{十}数与 {十 }数的关系是部分 "一多对应" 关系，而不是 "一一对应" 关系。正由于此， {十就获得了部分多样处理的灵活性。这是 {十 } 运算中部分多样性、快速性的原因。从这一点来说， {十 }具有较强的功能。

{十"数转换为 {十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为， {十 ^Δ >数可经 {十}数加减直接获得，而 {十}数加减运算后的结果是唯一的。反之， {十}数也只能化为相应唯一的一组{十 }数。所以，这种 {十}数的 "一" 与{十 }数的 "一" 组，二者是 "一一对应" 关系。

由此，可建立一种 {十 }数与 {十}数的互为映射关系。对于运算系统来说， {十}与 {十数系统 "同构" 。相应 {十}数的各种基算性质，亦在 {十数系统中成立。

{十中 P>Q，因而在该数制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说 {十 "是以部分多样性来换取了部分灵活性。 {十}中 P=Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

应当指出，显然，上 {十}与{十^的分析，完全相应于 {Q}与的分析，因为 {十}与 {Q}是同构的。由此可知： ① {Q}数与 {(^}数的关系是部分 "一多对应" ，而不是 "一一对应" 。 ②同时， {Q}中的 "一" 个数与相应的 {Q^A } 中的 "一"组数，二者之间是 "一一对应"关系。 ③ {Q}与数系统 "同构" 。相应 {Q}数系统的各种基;^算性质，亦在 {(3 数系统中成立。

【以下为偏 Q进制的情况】

4.《偏十进制》 {十， }与《普通十进制》 {十}的关系。

4.1 {十， }与 {十}数的转换法

这里指整数的情况，例如 {十' } 222324= {十} 221716 (式十一)。 {十} 数需经表一转换成为 {十' }数。

{十， }数转换成 {十}数。方法有几种：一种是将 {十， }数变为一正一负的二个 {十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该 {十， }数中各正数字位及 0位作为一正 {十}数，而将各负数字位作为一负 {十}数。例

{十， } 222324 = {十} 222020 - 304 = 221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对 10取 "补"数，同时在相邻的高位减 1 (即加

T )。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字（或 0 )的数字段照写不变。如 222 χ 2 χ。但，当其不在 {十， }数末尾（个位）时，则最低位加连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对取 "补" 数，如 X X χ 6 x 5。然后，在其最低位加 1。

这样，求得结果为 221716, 即为相应 {十}数。当需转换的 {十' }数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成 {十}数，然后取此 {十} 数的符号为负即可。

4.2 {十， }与 {十}对照表及其说明（见表一）

"'I 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10- 出

—10 1 1 12 13 14 15 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 14 13 12 11 10- 表一 {十， }与{十}数对照表

说明：表一中相应这种无重复数的数制，称为偏 Q进制 { Q，}， Q = 10的情况。

4.3 {十' }与 {十}关系分析

{十' }数与 {十}数的关系是"一一对应"关系。 {十' }数转换为 {十} 数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为， {十， }数可经 {十}数加减直接获得，而 {十}数加减运算后的结果是唯一的。反之， {十}数也只能化为相应唯一的 {十， }数。由此，可建立一种 {十， }数与 {十}数的互为映射关系。对于运算系统来说， {十}与 {十， }数系统 "同构" 。相应 {十}数的各种基本运算性质，亦在 {十， }数系统中成立。 {十， }中 P=Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。

应当指出，显然，上述对 {十}与 {十' }的分析，完全相应于 {Q}与 {Q， }的分析，因为 {十}与 {Q}同构。由此可知： ① {Q}数与 {Q， }数的关系是 "一一对应" 。 ② {Q}与 {Q' }数系统 "同构" 。相应 {(¾数系统的各种基^ ^算性质，亦在 {Q， }数系统中成立。

【以上分別为混 Q进制、增 Q进制、偏 Q进制的情况】 5.综合上述，可有如下筒明结论：

混数进制、《混进方法 HJF》在数字工程中，可¾^提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学箄 4 ^ "直接应用的工程技术" 。这种 " 与数字计算工程紧密结合的方法，称为 "混数进制、进位行数字工程方法" 。第二部分混数算盘

混数算盘有混 Q算盘和增 /偏 Q算盘两类。

图 1为混 Q算盘机械结构示意图（Q = 10 )。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠 1沿竖档 7上下移动，采用 "对冲，，、 "划 Q" 、累加来进行计算；竖档 7为 15档。竖档 7上有 Q或（ Q-1 )只算珠 1; 当 Q=10 时，为 9只或 10只算珠 1。算珠 1的初始位置，均在竖档 7的中央部分，而竖档 7的上下二端均为空位。游标 1 3在上框小槽 6中滑动到指定的被加数小数点位置。

本发明混 Q算盘中，其编译码采用定码长来展示。混数进制运算可为前述方案二来展示；设 K个普通 Q进制数参予加减运算， 1：为> 2的整数， Q为自然数；在运算过程中，首先将普通 Q进制数化为混 Q进制数一般形式。将这些普通 Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；然后进行混 Q 进制、进位行 "混进方法 HJF"的求和运算。运算结果为"混 Q进制"的"混 Q数"。当最终需要时，再将"混 Q数"转换为普通 Q进制数；或者普通十进制数。参加运算的数为混 Q进制数，简称 "混 Q数" 。当 Q=10时，则为混十进制数，筒称为 "混十数" 。该数采用全一码及正负码编码，采用定码长来展示。

图 2为增 /偏 Q算盘结构示意图（Q = 10 )。混数进制运算可为前述方案二来展示；在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠 1 沿竖档 7上下移动，采用 "对冲，，、 "划 Q" 、累加来进行计算。在上下框之间采用 15档竖档 7。竖档 7呈直线型。每根竖档 7上贯穿有 Q/2或（ Q+1 ) 12只算珠 1; 当 Q=10时，有 5只算珠 1。在上框 5的上方具有一才黄轴，横轴上相应每根竖档 7，均有可转动的转换标示 10。转换标示 10为正三角柱体三值 {0， ± 5 }状态元器件。上框 5的水平中线位置上有上框小槽 6。小槽中有游标 ^、游标 ₂4。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。

算珠的初始位置，均在竖档的中央部分，而竖档的上下二端均为空位。以四则运算的加法为例，被加数布珠 1在竖档 7上，其个位在右边为被加数小数点的竖档 7。竖档 7上有 Q/2或（Q+1 ) /2只算珠 1; 当 Q=10时，为 5只算珠 1。游标在上框小槽 6中滑动到指定的被加数小数点位置。设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K 个混数进制数；（本发明中，均采用 2 个混数进制数来展示）；参加运算的数为增 /偏 Q进制数，简称 "增 /偏 Q数"。当 Q=10时，筒称为 "增 /偏十数"。该数采用全一码及正负码编码，采用定码长来展示。

算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步驟。特点为

< 1〉在加法运算时，依加法口诀执行。设该加数的某位为正数，则将位于竖档 7中央的算珠 1 (称为 "中珠" 或 "零珠" ) , 上拨依次紧靠上框 ⁶ (称为 "上珠，，或 "正珠" )；某位为负数时，则将位于竖档 7 中央的算珠 1 , 下拨依次紧靠下框 9 (称为 "下珠，，或 "负珠" )。布珠及运算照口诀。和数以混数数呈现于竖档 7上。在运算过程中，当算珠从下位移到中位，或从中位移到上位，则为 "加" ；反之，当算珠从上位移到中位，或从中位移到下位，则为 "减" 或 "加" 负值。运算中可充分运用 "对冲" 及 "划 Q" , 用来提高运算速度。

运算口诀如下： ①加法、乘法珠算口诀

一下九上一，二下八上一，三下七上一，四下六上一，五下五上一，六下四上一，七下三上一，八下二上一，九下一上一，五下下上一。

(其中： 9=8和 1， 7和 2， 6和 3, 5和 4; 8=7和 1 , 6和 2, 5和 3, 4和

4; 7=6和 1， 5和 2, 4和 3，； 6=5和 1 , 4和 2， 3和^ 5= 和 1 , 3 ^ 2; 4=3 和 1, 2和 2; 3=2和 1; 2=1和 1; )

②加 "负数" 时：

将上述口诀变为首数为负， "上" 与 "下" 互相替换。例如， "^上四下一。这里，由于口诀与上述 "对称" ，故未增加复杂性。

运算格式如下：

被加数被减数部分积试商 1被除数部分幂 ₂ 底数（和积商余数分幂、

部分.— 4 ~部分幂 3

<2〉运算中及运算结束时，常采用 "对冲" 及 "划 Q" 。

< 3 > 当最终结杲需要转换为普通十进制数时，则照前述转换法则即可： ①该数为正数时，固定该正数的正数元不变。 ②该正数的负数元采用前负数的口诀。其中， "上" 变为 "转" 即可。也就是使负数元归 0, 然后替换为对 Q取补的相应正数元。 ③该数为负数时，则将该数变号，即各位变为相反数，然后再转换；或者，采用与上述口诀对称的相反口诀，转换成各位均为 "下珠"。

增 /偏 Q算盘中，当 Q=10时，需要表示 ± ⁶、 ± ⁷、 ± ⁸、 ± ⁹，则配以表示值为二值 {0, 5}或三值 {0， ± 5}中的 5 "转换标示" 10。

增 /偏 Q算盘中，当 Q=10时，可以另一种转换方式：正数时口诀为 "双推转下一" ；负数时口诀为 "双推转上一" „ 这里所谓 "双推" ，对负数元是，以手指一次性同时将下珠 (负珠）及中珠（零珠）上推一档。即，将^ 下珠推为中珠，同时将全部中珠推为上珠（正珠）；对正数元是，以手指一次性同时将^上珠（正珠）及中珠（零珠）下推一档。即，将^上珠推为中珠，同时将^中珠推为下珠（负珠）。这里所谓 "转" ，对负数元是将 {0, ± 5}三态的 "转换标示" 设为 5; 对正数元是将 {0, ± 5}三态的 "转换标示"设为这里所谓 "上下一" , 与前述口诀中一样，为将相邻高位上的一只算珠上推一档或下推一档。

具体说，这另一种转换方式为： ①当需转换的混数进制数，首位为正时，表示该数为正数。这时将该数中的负数元归 0; 然后，替换为此负数元的绝对值对 Q取补的相应正数元；再在相邻高位下一。当 Q=10时，即对此负数元 "双推转下一" 。 ②当需转换的混数进制数，首位为负时，表示该数为负数。这时将该数中的正数元归 0; 然后，替换为此正数 Q取补的相应负数元；再在相邻高位上一。当 Q=10时，即对此正数元 "双推转上一" 。 ③这样转换结果即为所求 {十}数。相应该数是正数时，全部算珠为上珠和中珠，同时配以 {0, 5} 转换标示；相应该数是负数时， ^算珠为下珠和中珠，同时配以 {0, }转换标示；相应该数是 0时，全部算珠为中珠，同时配以 {0}转换标示。

需要指出的是，对于偏 Q算盘中的偏十算盘，则上述^运算中不使用 "负

5" 。

图 3为正三角柱体 "转换标示" 10。其中心有孔，贯穿在横轴上可转动。正三角柱体的三面可以不同颜色来表示 {0， ± 5 }。当需要把运算结果混十进制数转换为普通十进制数时，以此作为 { 0, ± 5}的 "转换标示" 。第三部分增 Q进制及全一码

1.增 Q进制

1.1 定义在一个 Q进制数制中，凡 P > Q的进制，特别是 P = Q+1>Q的进制，称为 "增强 Q进制"。 Q为自然数。筒称为 "增 Q进制" 。其中，含 0整数段、不对称增 Q进制称为 "含 0不对称增 Q进制" 。

增 Q进制中，当 Q = l时，即为 "增一进制" 。增一进制中，主要有二种。其一是 {0， 1}一进制，它可表示非负整数。其元器件为二态器件。其二是 {T, 1}一进制，它可表示全部整数。其元器件亦为二态器件。本文下面所称 "增一进制" ，除特别注明外，均指 {0, 1}—进制。

1.2 {0, 1}一进制与 {Q}的关系。

1.2.1 {0, 1}—进制数与 {Q}数的转换法。

{0, 1}—进制数转换成 {Q}数，可以将 {0, 1}—进制数中的各位数字 1, 以 {Q}计数即可。所得 {Q>计数和，即为相应的 {Q}数。这就是说， {0, 1}一进制数中有几个 1, 则相应的 {Q}数即为几。显然，这是十分筒单的法则 (见表二)； {Q}数转换成 {0， 1}一进制数，可将 {Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的 1，分别在所要表达的 {0, 1}—进制数位置上，以不重复的方式列出即可。这就是说， {Q}数为几，则 {0， 1}一进制数中就有几个 1。显然，这也是十分简单的法则。（见表三）

1.2.2 {0， 1}一进制数与 {Q}数对照粗其说明

¾1} {0.1}

一进制 (二 }{+} (十 Κ二 } 一进制

咖 0 0

001 ί 1 0 000 ϋ' -οοοοοϋοο = ό = 0

C10 1 1 1 001 "00000001 = L = 10

011 10 2 2 010 0· "Οΰθθΰθΐι = 11= 110= 101=1010=-

100 1 1 3 011 "ο麵 m = ι=ιιιί ιίπ=ιι(·):ιό

101 10 1 4 100 0- ■-00001111

no 10 2 5 101 ο' "00011111 = 111]1=1ΠΠ6=11Π0ΐ=111ΐ"θ10=-

111 11 3 6 110 "00111111 = 111111=1Π1110=1111101=11111ΰΐ6="'

：： 7 111 ϋ' -01111111 = ιπιιη=ιιιιιιι6=ιιιιιιόι=ιιιιιιιο=^

说明： ① {0， 1}一进制数可表示 (Q>数

②有较多的重复数，以 4位 {0, 1}—进制数为例，除 0及 4唯一外，其余均有重复数。其中， 1有 4个； 2有 6个； 3有 4个。于是，从 0~4的重复数分别为 1, 4, 6, 4， 1个。这与二项式展开系数 CKn是一致的。位数 n为自然数， K为 0~n。 ③表中 ό表示形式为 "连续非负整数个 ο" 的全体的缩写。即 "ir ，可为

0个 0, 可为 1个 0，可为 00, 可为 000， …等形式。这种形式表示的集合，称为 "连集" 。显然， "连集" 为无限集。设 E为整数，则 έ为 E的 "连集" ，筒称为 "连 Ε" 。读作 "Ε点，，。以 "连集" 形式表示的一组无穷个数，称为 "连集数组" 或 "连集组数" 。

1.2.3 {0, 1}一进制与 {Q}关系分析。

( 1 ) Q〕 1，Q为自然数； 1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。

Q真包含 1，这使得相应的 {Q}与 {0, 1}—进制之间存在自然的联系。

( 2 ) {Q}数与 {0， 1}一进制数的关系是 "一多对应" 关系，而不是 "一一对应" 关系。 {0， 1}一进制中？ = <)+1 Q, 因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在。也可以说， {0， 1}一进制是以多样性来换取了灵活性。 {(?}中？ = 0, 因而在该类数中，自然连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

( 3 ) {0, 1}一进制数转换为 {Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为， {0， 1}一进制数可经 {Q>数加減直接获得，而 {Q}妙减运算后的结果是唯一的。反之， {Q}数也只能化为相应唯一的一组 {0， 1}一进制 "连集组数" 。所以，这种 {Q }数的 "一" 与 {0, 1}—进制 "连集组数" 的 "一" 组，二者是 "一一对应" 关系。由此，可建立一种 {0, 1}—进制数与 {Q }数的互为映射关系。对于运算系统来说， {Q}与 {0, 1}—进制数系统 "同构" 。相应 {Q}数的各种基^算性质，亦在 {0， 1}一进制数系统中成立。

1.3 {0, 1}一进制的应用

{0, 1}一进制由于以么元 1配以 0构造数，而且权为 1, 故其 "运算" 常以 "传送" 来实现。这是 {0， 1}一进制数运算快速原因之一。 {0， 1}一进制数运算中的 "进位" ，也以二数当前位的按位加和为 0, 而进位为 Q的 "划 Q" 逻辑实现。这种 "传送"及 "划 Q"的逻辑实现，结构筒单，速度却快。这是 {0， 1}一进制数运算快速原因之二。当 {0, 1}—进制数与各种混数进制数结合运算时，又补充了 "对冲" 这一结构更为筒单、速度更为快速的逻辑。这是 {0, 1} 一进制数运算快速原因之三。

上述 {0, 1}—进制与各种混数进制相结合，使得功能更加增强。考虑到 {0， 1}一进制" { Q} ~>各种混数进制，这其中有着内在的联系。显然，这一切均在预料之中。

2.全一进制及全一编码 2.1全一进制和全一数

{0, 1}一进制数的多样性就获得了多样处理的灵活性。但是，由于 {0, 1} 一进制数 "连集" 形式有且仅有一种 " " ；而且具有极端的多样，在同一个数中可出现一次以上的 "连集" 形式。由此造成同一个数的形式过于多样，难以把握，不便于控制，势必增加设备并且影响运算速度。因此，在一般情况下，有必要对 {0, 1}—进制数加以某种约束条件。这就产生了 "全一进制" 。

在 {0, 1}—进制的正整数中，限定每一组 "连集组数" 只选取自个位开始，从右向左连续排列么元 1 的唯一的一种形态表达；高位上均为 0, 或以空位表示。例如： {十}数 3 ={0, 1}—进制数 Ι11/Ι1ΐί)/1101Λ.. ( "/，，表 "或者" ），限定为 {十} 3 = {0， 1}一进制 111。这样，每一组 "连集组数" 中的重复数均被删除，只剩下一个全是 1 的唯一形态，我们称为 "全一数" 。表达 "全一数" 的进制称之为 "全一进制" 。表三中， {0， 1}一进制数最左边的形态，即为 "全一进制" 数。因此， "全一进制" 可以是加特定约束条件的 {0, 1}—进制。

在《数制理论 SZLL》的 "位值制数制" 中，定义数中的空位表示具有隐含的 "空位 0"；在其数元集中， "空位"是一种特殊的数元，称为 "空位元" 。筒称为 "空元" 。因此， "全一进制" 可以从不含 0普通 Q进制 {不含 0, Q} 中的 {1}一进制获得；故可以定义 "全一进制"为 {1}一进制，以符号示。当考虑到正负整数时，可以将该全一进制数的正负符号，分配到该数的上去，从而构造各位均带相同符号的全一进制数。本发明中除特别注明外，均指此种 "全一进制" ，亦以符号 {一}来表示。

"全一进制" 也可以从不含 0混 Q进制 {不含 0 , Q*}中的 "{! , 1}一进制" ，加约束条件获得。约束条件为该进制数，必须各位上符号均相同；还可以从不含 0增一进制中的 "{T , 1}一进制" ，加上述同样约束获得；此外，还可以从其它混数进制获得。

2.2全一码

全一进制显然具有如下优缺点。优点： ①运算速度快。 "传送"代替了 "翻转" 。 ②多重运算时，不需要二二求和，只需要先 "对冲" 后 "划 Q" 即可得结果。这就大大加快了总体运算速度。 ③与 {Q}转换方便；缺点： ① "字长" 太长，位数多。（当取可变字长时，其平均字长仅为一半。） ②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制数来编码各种混数进制数是合适的。以 "全一进制" 数来编码，称为 "全一编码" 。 "全一编码" 中采用的 "全一数" ，称为 "全一码" 。全一码一位编码的 {二}数，即为 {二}数本身。全一码九位编码的 {十}数，码长增加至 9倍。（当取可变码长时，其平均码长仅为 5倍。）例如： {十} 23 =全一码 =≡。

2.3全一码的计算。

全一码的计算非常筒单。 n个数加法仅为 n个数中 1或 T的不重复排列，称为 "排 1" 。以二数加法为例，如 11+111=11111。特别是，在各种混数进制的数字工程中，仅仅只需先 "对冲" 后 "划 Q" , 就能获得各种混数进制数的运算结果。当最终结果需要输出时，才将以全一码编码的各种混数进制数，转换成 { Q }或 {十}数输出。

2.4全一码的应用。

全一码主要应用于对 {Q }数及各种混数进制数进行编码。特別是，

①采用全一码九位编码 {十}数，可以实现普通十进制 {十}、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。

②采用全一码九位编码 {十* }数，可以实现混十进制 {十3、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。

③釆用全一码编码各种混数进制数，可以实现各种混数进制、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。第四部分正负码

以正数、负数或正数、 0、负数的 "正负数对" ，来对数制的数元进行编码的方法，称为 "正负码编码" 。相应的码称为 "正负码" 。 {Q* }中时， {十*}数元人为构造如下正负码。即，将混十进制数的数元 s, 以三个特定值之和来编码。其中例如，一位正值，一位 0值，一位负值。设， s为 {十 } 整数， r={十 }0, 1， 2, 3， 4, 5; {Q^A}/ {Q' }中 Q = 10时， {十 / {十， } 数元人为构造如下正负码。即，将增 /偏十进制数的数元 s, 以三个特定值之和来编码。其中例如，一位正值，一位 0值，一位负值。设， s为 Η" ^Δ}/ {十， } 整数， r ={-h}0, 1， 2。则有

。

采用正负码编码的优点：原数与正负码是 " 一多对应" 关系。由此产生了新的重复数，增强了数据表达形式的多样性；而且可充分运用 "对冲" ，从而提高了运算速度。

采用正负码编码的缺点：正负码编码二位或三位，使操作的复杂性增加。因而，它仅适用于算盘；在电子计算机及笔算工程中，不宜采用。

Claims

权利要求

1.一种混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，采用 Q进制数，以 Q 进制运算；其特征在于，采用 "混数进制" 数，以 "混数进制、进位行方法" 运算。

2.如权利要求 1混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于， "混数进制、进位行方法"运算可为下列方案之一；方案一：（适于计算机、笔算工程中）①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数； ②混数进制运算 ( "对冲" 、 "划 Q" 、 "累加" ）； ③混数进制数译码或另行转换为普通 Q 进制数；方案二：（适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；） ①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为 "编码全一进制数，，； ② "编码全一进制数" 运算（ "对冲" 、 "划 Q" 、 "累加，，）； ③ "编码全一进制数"译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；方案三：（适于计算机中）①普通 Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为 {0, ± 1}二进制数（其特况为 "普通二进制数" )； ② {0, 士 1}二进制运算（ "对冲" 、 "划 Q" 、 "累加" ；）； ③ {0，土 1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；方案四：（适于计算机中）①普通 Q进制数编码或另行转换为. 混数进制数；混数进制数编码或另行转换为 "编码 {0, ± 1}二进制数" （其特况为 "编码普通二进制数，， )； ② "编码 {0, ± 1}二进制数，，运算（ "对冲，，、 "划 Q" 、 "累加，，）； ③ "编码 {0, ± 1}二进制数"译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通 Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。

3.如权利要求 1-2混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于， "混数进制、进位行方法" 包括以下第一种步骤：

第 1步，设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个混数进制数；（本发明中 , 均采用 2K个混数进制数来展示 )；

第 2步，对 K或 2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用 "对冲" 、 "划 Q" 、累加，得到这二个数该位 "按位加" 和数；将此和数记入下一运算层，作为 "部份和" 数；同时所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；第 3步，在上述某位的相邻高位上，重复第 2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第 2 步及第 3步运算，则本步可跳越过去；

笫 4步，取 K或 2K个数中的另二个数，进行第 2步及第 3步运算；如此反复，直至 K或 2K个数或运算层中^数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为 "部份和" 数；

第 5步，在下一个运算层中，将上述 "按位和" 数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后«得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 K个普通 Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第二种步骤：

第 1步，设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个混数进制数；（本发明中，均采用 2 个混数进制数来展示）；

第 2步，从最低位开始，即在某一位上， ^数、 K或 2K个数同时相加；采用 "对冲，，、 "划 Q" 、累加；即在二数时，得到二个数该位 "按位加" 和数；将此和数记入下一运算层，作为 "部份和" 数；同时所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

第 3步，在上述某位上，取 K或 2K个数中的另二个数，重复第 2步的运算；如此反复，直至 K或 2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为 "部份和" 数；

当采用同一位上同时运算时，同时进行第 2步及第 3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对 n个和为 0的进行 "对冲" ；然后，对 n个和为 mQ的数进行 "划 Q" ； n为 2的整数， m为整数；所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；同一位上，余下各数进行 "累加" ，或者直接移至下一运算层；累加采用》 2的 "多数累加" ；当采用普通二数 "累加" 时，则顺序串行累加；第 4步，在上述某位的相邻高位上，重复第 2步及第 3步的运算；如此反复，直至 K或 ²K个数最高位也已运算为止；

第 5步，在下一个运算层中，对上述 "按位和"数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 K个普通 Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第三种步驟：

第 1步，设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 2K个混数进制数；（本发明中，均采用 2K个混数进制数来展示 )；

第 2步，采用所谓 "二维运算" ；即，在 K或 ²K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上， η个和为 0的数进行 "对冲" ； η为 2的整数；第 3步，采用所谓 "二维运算" ；即，在 Κ或 2Κ个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上， n个和为 mQ的数进行 "划 Q" ； n为> 2的整数， m为整数；所得 "混数进位" ，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；

第 4步，采用所谓 "二维运算" ；即，在 K或 2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行 "累加" ，或者直接移至下一运算层；累加采用> 2 的 "多数累加" ；当采用普通二数 "累加" 时，则顺序串行累加；

第 5步，在下一个运算层中，将上述 "按位和"数及 "进位" 数进行前述第 2步、第 3步、第 4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求 K个普通 Q进制数加减运算结果。

4.如权利要求 1-3混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于， "混数进制、进位行方法" 对 K个数中的 n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中 n个运算数的按位加和为零，但产生进位 m (与 n个数的和数符号一致）； n为 2 的整数， m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或 0位处；然后，将 n个运算数的某位均以逻辑方式置 "0" ，不再参加以后的运算；这称为 "划 Q" ； "划 Q" 中 m = 0时，称为 "对冲" ；或者，不采用 "对冲，，及 "划 Q" 。

5.如权利要求 1-4混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于， "混数进制、进位行方法" 其中所述运算数是混数进制的混 Q进制、或增 Q进制、或偏 Q进制数， Q为自然数；可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数 S，都以 |S|个 1 从最低位顺序至高位列来对应，其余高位均为 0，总位数则为 Q、或（Q-1)、或 Q/2、或（Q+1) 12位；同时，将 S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用码来编码混数进制数时， n个数加法仅为 n个数中 1或 T的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

6.如权利要求 1-5混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘采用 "混数进制、进位行方法"运算；设 K个普通 Q进制数参予加减运算， K为 > 2的整数， Q为自然数；将这些数转换成 K或 ²K个混数进制数；混数进制运算可为前述方案二；算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步骤；在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠（1)沿竖档（7)上下移动，采用 "对冲" 、 "划 Q" 、累加来进行计算；具有竖档 (7) , 其上有可垂直移动的一些算珠（ 1 ) 。

7.如权利要求 1-6混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘竖档 (7)呈直线型；或者呈 " V "型，分为长度相等的上中下三段；每段长度约为全档算珠的厚度，其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动；竖档（7)可以为 15档，或 15档以上，或 15档以下。

8.如权利要求 1-7混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘每根竖档（7)上有 Q、或（Q-1)、或 Q/2、或（Q+1) /2只算珠（1) 。

9.如权利要求 1-8混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘可在每根竖档（7)上下各增加一个可上下移动的算珠，以横梁隔开；或者，在上框 (5)的上方具有一«轴，横轴上相应每根竖档 (7) , 均有可转动的转换标示（10)； "转换标示" （10)为正三角柱体、正方柱体、圆柱体、球体或算珠体等，二值 {0, 5}或三值 {0, ±5}状态元器件；或者，不增加。

10.如权利要求 1-9混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘所述运算混数进制的混 Q进制、或增 Q进制、或偏 Q进制数， Q为自然数；运算数用 4^码及正负码编码来表示；本发明混数算盘中，采用定码长来展示。