WO2005124375A2 - Verfahren und datenverarbeitungsvorrichtung zum simulieren eines piezo-aktuators und computerprogramm - Google Patents

Verfahren und datenverarbeitungsvorrichtung zum simulieren eines piezo-aktuators und computerprogramm Download PDF

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    • F02M63/0026—Valves characterised by the valve actuating means electrical, e.g. using solenoid using piezoelectric or magnetostrictive actuators

Definitions

  • the invention relates to a method and a data processing device for simulating a piezo actuator and a computer program.
  • Piezo actuators which comprise a stack of piezo elements and a bearing element which is mechanically coupled to the bearing element at a free axial end of the stack of the piezo elements.
  • the bearing element is stored in a warehouse.
  • the other free axial end of the stack is intended to act on an actuator.
  • Piezo actuators of this type are distinguished by very short response times to electrical control signals. They are used as very fast switching stroke actuators.
  • Piezo actuators are increasingly being used in injection valves for motor vehicles. There they enable extremely fast switching of the valve and thus enable, for example, several injection processes during one work cycle of a cylinder of an internal combustion engine. They are preferably used for injection valves to which fuel is supplied under very high pressure and which meter the fuel directly into the respective combustion chamber of the cylinder of the internal combustion engine. In diesel applications, for example, the pressures are up to 2,000 bar. Depending on the application, the piezo actuator acts directly on a nozzle needle of the injection valve or only indirectly via a servo valve.
  • the response behavior of the piezo actuator to actuating signals with which it is applied essentially determines the quality the metering of the fuel. Because of the limited installation space in the injection valve, however, various characteristic parameters of the piezo actuator or the stack of the piezo elements in the injection valve are not accessible for direct measurement. For this reason, it is necessary to simulate the behavior of the piezo actuator in order to derive from it the suitable control signals for controlling the piezo actuator in the injection valve.
  • the object of the invention is to provide a method and a data processing device for simulating a piezo actuator that is precise. It is also the object of the invention to create a computer program which, when it is executed on a computer, has a precise simulation.
  • a differential equation for the temporal course of the axial length of the stack of the piezo elements is solved with the aid of a computer using a differential equation solver, namely for predetermined boundary values, start values or end values. Under boundary values, start values or
  • the stack of piezo elements is taken into account as a point mass at the second free end of the stack of piezo elements, which represents a predetermined mass distribution and has a predetermined elongation behavior.
  • the bearing element is considered as a point mass with its dynamic mass at the first free axial end of the stack of piezo elements with a predetermined spring stiffness of the bearing element.
  • the invention thus uses the knowledge that the mass distribution in the stack of piezo elements and in the bearing element plays a role in the dynamics of the piezo actuator. It avoids the need to set up the Euler-Lagrange equation for each individual piezo element. It also avoids the need for a suitable discretization into finite elements for the bearing element. This would result in an immense computing effort.
  • the mechanical spring stiffness of the stack of piezo elements is dependent on a cross-sectional area of the stack of piezo elements that is perpendicular to a longitudinal axis of the stack of piezo elements, a compression module of the stack of piezo elements, and the axial length of the stack Piezo elements determined. Since the change in length selects -. rend the operation of the stack of piezo elements is very small in relation to the length, it can be neglected here. This is particularly precise.
  • the electrical force equivalent is determined depending on the electrical spring stiffness, the change in the length of the stack of piezo elements, the electrical charge supplied to the stack of piezo elements, the electrical resistance of the stack of piezo elements and an electromechanical coupling constant. In this way, the electrical force equivalent can be determined very precisely.
  • FIG. 1 shows a data processing device for simulating a piezo actuator
  • FIG. 2 shows an injection valve with the piezo actuator
  • FIG. 3 shows a model of the piezo actuator
  • Figure 4 is a simple equivalent mechanical model of the piezo actuator
  • Figure 5 is a force - useful stroke diagram.
  • An injection valve (FIG. 2) has an injector housing 1 which has a recess 2 in the injector housing 1.
  • a piezo actuator which is coupled to a transmitter 6, is inserted into the recess 2.
  • the transmitter 6 is arranged in a leakage space 8.
  • the switching valve is connected via the transformer 6 with the zoaktuator coupled and is driven by it, that is, the switching position of the switching valve 10 is set by means of the piezo actuator.
  • the switching valve is thus an actuator on which the piezo actuator acts.
  • the switching valve 10 is arranged in a valve plate 12.
  • the injection valve further comprises a needle guide body 14 and a nozzle body 16.
  • the valve plate 12, the needle guide body 14 and the nozzle body 16 form a nozzle assembly which is fastened to the injector housing 1 by means of a nozzle clamping nut 18.
  • the needle guide body 14 has a recess which is continued as a recess of the nozzle body 16 in the nozzle body 16 and in which a nozzle needle 24 is arranged.
  • the nozzle needle 24 is guided into the needle guide body 14.
  • a nozzle spring 26 biases the nozzle needle 24 into a closed position in which it prevents fuel flow through an injection nozzle 28.
  • a control chamber 30 is formed, which is hydraulically coupled to a high-pressure bore 32 via an inlet throttle. If the switching valve 10 is in its closed position, the control chamber 30 is hydraulically decoupled from the leakage chamber 8. This has the consequence that after the switching valve 10 is closed, the pressure in the control chamber 30 adjusts to the pressure in the high-pressure bore 32.
  • the high-pressure bore 32 is hydraulically coupled to a high-pressure fuel reservoir and is thus supplied with fuel under a pressure of, for example, up to 2000 bar.
  • the position of the nozzle needle 24 is set via the control chamber 30 on the basis of the fluid pressure in the control chamber 30.
  • the piezo actuator comprises a stack 34 of piezo elements, for example 200 piezoelectric elements, and a compensation element 36, which is preferably designed as a block made of aluminum or an aluminum alloy.
  • the stack of piezo elements 34 and the compensating element 36 are introduced into a tube spring.
  • the compensating element 36 can also be arranged outside the tubular spring.
  • the tube spring is welded at its one free end to a first cap, which can optionally be designed as the transmitter 6.
  • the tubular spring is welded to a fixing element 38.
  • the fixing element 38 is rigidly fixed, in particular caulked, in the recess 2 of the injector housing 1.
  • the compensating element 36 has a coefficient of thermal expansion and an axial length, which are chosen such that, at a same temperature of the thermal compensating element 36 and the injector housing 1, the axial expansion of the piezo actuator 4 behaves in the same way with temperature changes as the axial expansion of the Injector housing 1.
  • a precise dynamic simulation of the piezo actuator is essential for suitably setting the corresponding control signals with regard to their temporal generation and an electrical charge to be supplied or removed.
  • One element that strongly influences the dynamic behavior of the piezo actuator is the bearing element, which is formed by the compensating element 36, the fixing element 38 and the injector housing 1.
  • the reference plane that the stiff input Tension of the bearing element is formed by the valve plate 12.
  • the bearing element has its own rigidity and mass and thus influences a force that is available for actuating the actuator, for example the switching valve 10. Furthermore, the dynamic response behavior of the stack of piezo elements to electrical actuating signals is also influenced. It has been shown that this has a particularly strong effect in applications for injection valves which are operated at very high pressures of the fluid and in which the charging and discharging times of the piezo actuator are very short, for example in the range of 100 ⁇ s, which leads to considerable inertial forces. Simply considering the bearing element with regard to a static balance of forces is not sufficient for this.
  • the blocking force is understood to mean the force at which under no circumstances is it possible to expand the stack of the piezo elements.
  • a force equivalent is coupled to the mechanics of the stack of piezo elements in the sense of a movable reference system, which is predetermined by the bearing element.
  • suitable dynamic relationships for the piezo actuator with a finally rigid bearing element are derived.
  • the resulting differential equations are then stored in a computer and can be solved by means of a suitable differential equation solver for predeterminable start and / or end values and / or boundary values.
  • the differential equation solver then solves the differential equations numerically by corresponding arithmetic operations in the computer.
  • ⁇ l a change in length of the stack 34 of the piezo elements, a relative change in length of the stack 34 of the piezo elements, s 33 an inverse compression module, which can also be referred to as compressibility,
  • A is a cross-sectional area of the stack of piezo elements, which is perpendicular to a longitudinal axis of stack 34 of piezo elements, d is an axial extension of a single piezo element, U is an electrical voltage, d 33 is a piezoelectricity constant,
  • N is a number of the piezo elements and ⁇ 33 is a dielectric constant.
  • the equations F1, F2 can be used to represent the static steady state of the piezo actuator.
  • ⁇ U denotes a change in voltage and ⁇ F ⁇ oad a change in load force.
  • the external load force F is plotted over the useful stroke x a .
  • the solid line refers to a case in which the bearing element has an infinitely high rigidity.
  • the dashed line refers to the typical Case of finite spring stiffness k of the bearing element. The work area of the piezo actuator is limited by these lines.
  • the piezo actuator i.e. the axial length 1 of the stack 34 of the piezo elements, the type of bearing element and the geometry of the actuator which is actuated by means of the piezo actuator, and the force-stroke characteristic of the actuator, for example the switching valve
  • the limits of this static analysis must be adhered to. All aspects of the dynamic behavior of the stack of piezoelectric elements, such as temporary loss of force due to the inertia during load changes, are not taken into account.
  • a simulation of the dynamic behavior of the piezo actuator with a bearing element with a finite spring stiffness k b of the bearing element is based on the model representation in FIG. 3.
  • the continuous mass distribution of the piezo actuator is simplified to two point masses. A first one
  • FIG. 1 shows a data processing device for simulating the piezo actuator.
  • the data processing device has an input unit via which boundary values RW, start values SW and / or end values EW can be entered.
  • the input unit is designed to also input any other parameters that are necessary for the specific solution of the differential equations, such as, for example, the inverse compression module s 33 , the piezoelectricity constant d 33 , the dielectric constant ⁇ 33 , the spring stiffness k b of the bearing element, the density p, the electromechanical coupling constant ⁇ or the electrical spring stiffness of the stack k e ⁇ -
  • the boundary values, start values, end values can be the useful stroke x a and / or the bearing element deflection x b and / or the change in length ⁇ l and / or the external load force F and / or the electric charge Q, for example.
  • the values recorded by means of the input unit of block B1 are fed to block B2.
  • the block B2 comprises a computing unit which has a differential equation solver and in which the equations F26 to F30 are saved and loaded accordingly during operation.
  • the differential equation solver is designed to solve equations F26 to F30 for the values transmitted by the input unit of block B1.
  • the differential equation solver solves the differential equations by means of a numerical method and then generates one or more signals which represent the temporal course of one or one or more parameters of equations F26 to F30 and which are used to control a data viewing device which comprises in block B3 is.
  • the time profile of the axial length 1 of the stack, the time profile of the useful stroke x a , the time profile of the bearing deflection x b , the speeds with which this takes place or corresponding force profiles can be displayed on the data display device.
  • the differential equation solver is preferably a computer program which is designed to solve differential equations by means of one or more known numerical methods.
  • the computer program then comprises a module in which the equations F26 to F30 are suitably stored.
  • the computer program can, for example, be contained on a computer-readable medium which e.g. a CD-ROM, DVD, memory card or any other suitable medium.
  • a computer-readable medium e.g. a CD-ROM, DVD, memory card or any other suitable medium.
  • the computer program can also be stored on any server and can then be called up from there by means of suitable data transmission means from another computer.

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Abstract

Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo- Aktuators mit einem Differentialgleichungslöser, der ausgebildet ist zum Lösen des zeitlichen Verlaufs der axialen Länge (l) des Stapels der Piezoelemente. Die Differentialgleichungen für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (l) des Stapels (34) der Piezoelemente abgeleitet sind abgeleitet von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent (Fel) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (Fel) und der durch das Stellglied auf den Stapel der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist. Der Stapel der Piezoelemente als Punktmasse und das Lagerelement werden als Punktmassen modelliert.

Description

Verfahren und Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators und Computerprogramm
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators und ein Computerprogramm. Piezo-Aktuatoren, die einen Stapel Piezoelemente und ein Lagerelement umfassen, das an einem freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente mit dem Lagerelement mechanisch gekoppelt ist. Das Lagerelement ist in einem Lager gelagert. Das andere freie axiale Ende des Stapels ist dazu vorgesehen, auf ein Stellglied einzuwirken. Derartige Piezo-Aktuatoren zeichnen sich aus durch sehr kurze Ansprech- Zeiten auf elektrische Stellsignale. Sie werden als sehr schnell schaltende Hub-Aktuatoren eingesetzt.
Zunehmend werden Piezo-Aktuatoren in Einspritzventilen für Kraftfahrzeuge eingesetzt. Sie ermöglichen dort ein extrem schnelles Schalten des Ventils und ermöglichen so beispielsweise mehrere Einspritzvorgänge während eines Arbeitszyklus- ses eines Zylinders einer Brennkraftmaschine. Sie werden bevorzugt eingesetzt für Einspritzventile, denen Kraftstoff unter sehr hohem Druck zugeführt wird und die den Kraftstoff direkt in den jeweiligen Brennraum des Zylinders der Brennkraftmaschine zumessen. Die Drücke betragen bei Diesel- Anwendungen beispielsweise bis zu 2.000 bar. Je nach Anwendungsfall wirkt der Piezo-Aktuator direkt auf eine Düsennadel des Einspritzventils ein oder auch nur mittelbar über ein Servoventil.
Das Ansprechverhalten des Piezo-Aktuators auf Stellsignale, mit denen er beaufschlagt wird, bestimmt wesentlich die Güte der Zumessung des Kraftstoffs. Aufgrund des begrenzten Bauraums in dem Einspritzventil sind jedoch verschiedene charakteristische Parameter des Piezo-Aktuators oder auch des Stapels der Piezoelemente in dem Einspritzventil einer direkten 5 Messung nicht zugänglich. Aus diesem Grund ist es notwendig, das Verhalten des Piezo-Aktuators zu simulieren, um daraus die geeigneten Stellsignale zum Ansteuern des Piezo-Aktuators in dem Einspritzventil abzuleiten.
10 Die Aufgabe der Erfindung ist es, ein Verfahren und eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators zu schaffen, das bzw. die präzise ist. Es ist ferner die Aufgabe der Erfindung, ein Computerprogramm zu schaffen, das bei seiner Durchführung auf einem Computer ein präzises Simu-
15 lieren eines Piezo-Aktuators ermöglicht.
Die Erfindung zeichnet sich aus durch ein Verfahren zum Simulieren eines Piezo-Aktuators, eine entsprechende Datenverar- >a beitungsvorrichtung zum Simulieren des Piezo-Aktuators und
20 ein entsprechendes Computerprogramm aus. Der Piezo-Aktuator hat einen Stapel Piezoelemente und ein Lagerelement, das an einem freien axialen Ende des Stapels mit diesem mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist. Das andere freie axiale Ende des Stapels ist dazu vorgesehen, auf ein
25. Stellglied einzuwirken. Eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente wird rechnergestützt mittels eines Differentialglei- chungslösers gelöst und zwar für vorgegebene Randwerte, Startwerte oder Endwerte. Unter Randwerten, Startwerten oder
30 Endwerten werden in diesem Zusammenhang Werte von Parametern der Differentialgleichung verstanden. Die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente ist abgeleitet von Euler-Lagrange- Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels der Piezoelemente. Eine erste Euler-Lagrange-Gleichung für das erste freie axiale Ende des Stapels der Piezoelemente ist gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent gesetzt. Eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung für das zweite freie axiale Ende des Stapels der Piezoelemente ist gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent und der durch das Stellglied auf den Stapel der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt. Der Stapel der Piezoelemente ist als Punktmasse an dem zweiten freien Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Langungsverhalten aufweist. Das Lagerelement ist als Punktmasse mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit des Lagerelements berücksichtigt.
Die Erfindung beruht auf der Erkenntnis, dass der dynamische Einfluss des Lagerelements sich stark auf das axiale Län- gungsverhalten des Stapels der Piezoelemente auswirkt. Ferner beruht sie auf der Erkenntnis, dass die endliche Federstei- figkeit des Lagerelements zur Folge hat, das die elektrische Kraft zu dem mechanischen Teil des Stapels in einem beweglichen Bezugssystem gekoppelt ist. Ferner beruht sie auf der Erkenntnis, dass die Verteilung der Massen im Lagerelement und im Stapel der Piezoelemente die Dynamik des Längungs- verhaltens stark beeinflusst. Dies wird auf einfache Weise korrekt durch die Euler-Lagrange-Gleichungen berücksichtigt. Bevorzugt ist ein Datensichtgerät vorgesehen, das angesteuert wird zum Darstellen von zeitlichen Verläufen verschiedener Größen, die das Verhalten des Piezo-Aktuators charakterisieren. Die dynamische Masse des Lagerelements kann bei homogener Massenverteilung und unter der Annahme eines elastischen Verhaltens als ein Drittel der Masse des Lagerelements angesetzt werden. Ist die Massenverteilung nicht homogen, so lässt sich die dynamische Masse so anpassen, dass die Eigenfrequenz des Lagerelements korrekt wiedergegeben wird.
Die Erfindung nutzt so die Erkenntnis, dass bei der Dynamik des Piezo-Aktuators die Massenverteilung in dem Stapel der Piezoelemente und in dem Lagerelement eine Rolle spielt. Sie vermeidet es, dass es notwendig ist für jedes einzelne Piezo- element die Euler-Lagrange-Gleichung aufzustellen. Sie vermeidet es ferner, dass für das Lagerelement eine geeignete Diskretisierung in finite Elemente durchgeführt werden muss. Dies hätte einen immensen Rechenaufwand zur Folge.
Mit der Annahme der vorgegebenen, insbesondere homogenen, Massenverteilung und einer vorgegebenen, insbesondere homogenen, Längung des Aktors sind nur die Euler-Lagrange- Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels der Pie- zoelemente notwendig. Dies ermöglicht dann ein sehr schnelles rechnergestütztes Lösen der Differentialgleichung mittels des Differentialgleichungslösers . Durch das erfindungsgemäße Vorgehen kann die niedrigste Eigenschwingung des Stapels der Piezoelemente korrekt simuliert werden.
In einer vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird ferner eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Hubs des Stapels der Piezoelemente hin in Richtung zu dem La- gerelement rechnergestützt mittels des Differentialgleichungslösers gelöst für die vorgegebenen Randwerte oder Startwerte oder Endwerte. So kann einfach ein zum Betätigen des Ventilglieds nicht nutzbarer Anteil der jeweiligen Längenänderung des Stapels der Piezoelemente ermittelt werden. Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die potentielle Energie des Stapels der Piezoelemente ermittelt abhängig von einer mechanischen Federsteifig- keit des Stapels der Piezoelemente und seiner Längenänderung. Dies ist besonders einfach.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die potentielle Energie des Lagerelements ermittelt abhängig von seiner Federsteifigkeit und seiner Längenände- rung. Dies ist besonders einfach.
Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die mechanische Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente abhängig von einer Querschnittsfläche des Sta- pels der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels der Piezoelemente, einem Kompressionsmodul des Stapels der Piezoelemente und der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente ermittelt. Da die Längenänderung wäh- ,-. rend des Betriebs des Stapels der Piezoelemente sehr klein ist im Verhältnis zu der Länge, kann sie hierbei vernachlässigt werden. Dies ist besonders präzise.
Es ist ferner vorteilhaft, wenn ein Übertragerelement, mittels dessen der Stapel der Piezoelemente mit dem Stellglied koppelbar ist, als Punktmasse an dem zweiten freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt ist. So wird einfach der Einfluss des Übertragerelements auf das dynamische Verhalten des Piezo-Aktuators berücksichtigt. Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird eine elektrische Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente abhängig von der mechanischen Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente, einer Piezoelektrizitätskon- stanten, einer Dielektrizitätskonstanten und dem Kompressionsmodul des Stapels der Piezoelemente ermittelt. Das elektrische Kraftäquivalent wird ermittelt abhängig von der elektrischen Federsteifigkeit, der Änderung der Länge des Stapels der Piezoelemente, der dem Stapel der Piezoelemente zugeführten elektrischen Ladung, dem elektrischen Widerstand des Stapels der Piezoelemente und einer elektromechanischen Kopplungskonstanten. Auf diese Weise kann das elektrische Kraftäquivalent sehr präzise ermittelt werden.
Ausführungsbeispiele der Erfindung sind im Folgenden anhand der schematischen Zeichnungen erläutert. Es zeigen:
Figur 1 eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators,
Figur 2 ein Einspritzventil mit dem Piezo-Aktuator,
Figur 3 ein Modell des Piezo-Aktuators ,
Figur 4 ein einfaches äquivalentes mechanisches Modell des Piezo-Aktuators und
Figur 5 ein Kraft - Nutzhubdiagramm.
Ein Einspritzventil (Figur 2) hat ein Injektorgehäuse 1, das eine Ausnehmung 2 des Injektorgehäuses 1 aufweist. In die Ausnehmung 2 ist ein Piezo-Aktuator eingesetzt, der mit einem Übertrager 6 gekoppelt ist. Der Übertrager 6 ist in einem Leckageraum 8 angeordnet. Ein Schaltventil 10, das bevorzugt als Servoventil ausgebildet ist, ist so angeordnet, dass es abhängig von seiner Schaltstellung ein Leckagefluid, das in dieser Ausführungsform bevorzugt der Kraftstoff ist, absteuert. Das Schaltventil ist über den Übertrager 6 mit dem Pie- zoaktuator gekoppelt und wird von ihm angetrieben, das heißt die Schaltstellung des Schaltventils 10 wird mittels des Pie- zoaktuators eingestellt. Das Schaltventil ist somit ein Stellglied, auf das der Piezoaktuator einwirkt .
Das Schaltventil 10 ist in einer Ventilplatte 12 angeordnet. Das Einspritzventil umfasst ferner einen Nadelführungskörper 14 und einen Düsenkörper 16. Die Ventilplatte 12, der Nadelführungskörper 14 und der Düsenkörper 16 bilden eine Düsen- baugruppe, die mittels einer Düsenspannmutter 18 an dem Injektorgehäuse 1 befestigt ist.
Der Nadelführungskörper 14 hat eine Ausnehmung, die als Ausnehmung des Düsenkörpers 16 in dem Düsenkörper 16 fortgesetzt ist und in der eine Düsennadel 24 angeordnet ist. Die Düsennadel 24 ist in den Nadelführungskörper 14 geführt. Eine Düsenfeder 26 spannt die Düsennadel 24 in eine Schließposition vor, in der sie einen Kraftstofffluss durch eine Einspritzdüse 28 unterbindet.
An dem axialen Ende der Düsennadel 24, das hingewandt ist zu der Ventilplatte 12, ist ein Steuerraum 30 ausgebildet, der über eine Zulaufdrossel mit einer Hochdruckbohrung 32 hydraulisch gekoppelt ist. Befindet sich das Schaltventil 10 in seiner Schließstellung, so ist der Steuerraum 30 hydraulisch entkoppelt von dem Leckageraum 8. Dies hat zur Folge, dass sich nach einem Schließen des Schaltventils 10 der Druck in dem Steuerraum 30 dem Druck in der Hochdruckbohrung 32 angleicht. Die Hochdruckbohrung 32 ist beim Einsatz des Ein- spritzventils in einer Brennkraftmaschine mit einem Kraft- stoffhochdruckspeicher hydraulisch gekoppelt und wird so mit Kraftstoff unter einem Druck von beispielsweise bis zu 2000 bar versorgt. Über den Steuerraum 30 wird aufgrund des Fluiddrucks in dem Steuerraum 30 die Position der Düsennadel 24 eingestellt.
Der Piezoaktuator umfasst einen Stapel 34 Piezoelemente, zum Beispiel 200 piezoelektrische Elemente, und ein Ausgleichselement 36, das bevorzugt als ein Block aus Aluminium oder einer Aluminiumlegierung ausgebildet ist. Der Stapel Piezoelemente 34 und das Ausgleichselement 36 sind in eine Rohrfe- der eingebracht. Alternativ kann das Ausgleichselement 36 auch außerhalb der Rohrfeder angeordnet sein. Die Rohrfeder ist an ihrem einen freien Ende mit einer ersten Kappe verschweißt, die gegebenenfalls als der Übertrager 6 ausgebildet sein kann. An ihrem anderen axialen Ende ist die Rohrfeder mit einem Fixierelement 38 verschweißt. Das Fixierelement 38 ist in der Ausnehmung 2 des Injektorgehäuses 1 starr fixiert, insbesondere verstemmt.
Das Ausgleichselement 36 hat einen thermischen Ausdehnungsko- effizienten und eine axiale Länge, die so gewählt sind, dass bei einer gleichen Temperatur des thermischen Ausgleichselements 36 und des Injektorgehäuses 1 sich die axiale Ausdehnung des Piezo-Aktuators 4 bei Temperaturänderungen genauso verhält wie die axiale Ausdehnung des Injektorgehäuses 1.
Eine genaue dynamische Simulation des Piezo-Aktuators ist wesentlich zum geeigneten Einstellen der entsprechenden Stellsignale im Hinblick auf deren zeitliche Erzeugung und einer zuzuführenden oder abzuführenden elektrischen Ladung. Ein E- lement, das das dynamische Verhalten des Piezo-Aktuators stark beeinflusst, ist das Lagerelement, das durch das Ausgleichselement 36, das Fixierelement 38 und das Injektorgehäuse 1 gebildet wird. Die Referenzebene, die die steife Ein- Spannung des Lagerelements darstellt, wird durch die Ventilplatte 12 gebildet.
Das Lagerelement hat eine eigene Steifigkeit und Masse und beeinflusst so eine Kraft, die zur Verfügung steht zum Betätigen des Stellglieds, also beispielsweise des Schaltventils 10. Ferner wird so auch das dynamische Antwortverhalten des Stapels der Piezoelemente auf elektrische Stellsignale beeinflusst. Es hat sich gezeigt, dass dies sich besonders stark auswirkt bei Anwendungen für Einspritzventile, die mit sehr hohen Drücken des Fluids betrieben werden und bei denen die Lade- und Entladezeiten des Piezo-Aktuators sehr gering sind, so z.B. im Bereich von 100 μs, was zu beachtlichen Trägheitskräften führt. Das Lagerelement lediglich zu berücksichtigen im Hinblick auf ein statisches Kräftegleichgewicht reicht hierfür nicht aus.
Dies ermöglicht lediglich die dadurch auftretende Verringerung der tatsächlichen Blockierkraft zu ermitteln. Unter der Blockierkraft wird diejenige Kraft verstanden, bei der unter keinen Umständen eine Ausdehnung des Stapels der Piezoelemente möglich ist.
Der dynamische Einfluss des Lagerelements ist jedoch von gro- ßer Bedeutung. Dies beeinflusst im Falle eines Einspritzventils die Dynamik des Veränderns der Position des Stellglieds, also insbesondere des Schaltventils, was zu einer Veränderung der Totzeiten des Einspritzventils führen kann. Das Ableiten eines geeigneten Simulationsmodells für den Piezo-Aktuator ist erschwert durch die Tatsache, dass ein elektrisches
Kraftäquivalent gekoppelt ist zu der Mechanik des Stapels der Piezoelemente im Sinne eines beweglichen Bezugssystems, das durch das Lagerelement vorgegeben ist. Im Folgenden sind geeignete dynamische Beziehungen für den Piezo-Aktuator mit einem endlich steifen Lagerelement hergeleitet. Die so resultierenden Differentialgleichungen sind dann in einem Computer gespeichert und können mittels eines geeigneten Differentialgleichungslösers für vorgebbare Start- und/oder Endwerte und/oder Randwerte gelöst werden. Der Dif- ferentialgleichungslöser löst dann die Differentialgleichungen numerisch durch entsprechende Rechenoperationen in dem Computer.
Piezoelektrizität kann besonders einfach durch die zwei folgenden Formeln beschrieben' werden.
Figure imgf000012_0001
Ö = -d33 - — + ε33 -—(F2) A -,N " A " d
Dabei bezeichnen
1 eine 'axiale Länge des Stapels 34 der Piezoelemente für
F=0, U=0, Q=0,
Δl eine Längenänderung des Stapels 34 der Piezoelemente, eine relative Längenänderung des Stapels 34 der Piezoelemente, s33 ein inverses Kompressionsmodul, das auch als Kompressibilität bezeichnet werden kann,
F eine externe Lastkraft, also die durch das Stellglied auf den Stapel 34 der Piezoelemente ausgeübte Kraft,
A eine Querschnittsfläche des Stapels der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels 34 der Piezoelemente, d eine axiale Erstreckung eines einzelnen Piezoelements, U eine elektrische Spannung, d33 eine Piezoelektrizitätskonstante,
Q eine elektrische Ladung, N eine Anzahl der Piezoelemente, und ε33 eine Dielektrizitätskonstante.
In den Gleichungen Fl, F2 sind vier Größen gekoppelt, die Spannung U, die Ladung Q, die externe Lastkraft F und die Längenanderung Δl, die ein Vier-Pol-Element definieren. Die Gleichungen Fl, F2 können eingesetzt werden zum Darstellen des statischen eingeschwungenen Zustands des Piezo-Aktuators.
Falls der Piezo-Aktuator elektrisch entkoppelt ist von seiner Umgebung, so ist kein Ladungstransfer mit der Umgebung möglich. Die Änderung der Ladung Q ist somit null. In diesem Fall besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der elektrischen Spannung U und der externen Lastkraft F, der sogenannte Sensoreffekt. ' d„ d Δ o-S-.τΔFlβ- (F3) ^33 A
Dabei bezeichnen ΔU eine Spannungsanderung und ΔFιoad eine Lastkraftänderung.
Im Fall einer konstanten elektrischen Spannung U besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Kraft und der Ausdehnung des Piezos. In dem vollkommen blockierten Fall des Stapels 34 der Piezoelemente, in dem keine Ausdehnung des Stapels 34 der Piezoelemente möglich ist, und somit Δl gleich 0 ist, ist eine Blockierkraft Fbιock gegeben durch die folgende Gleichung
Fh^ = — 33 - -- U (F4) *3 d
Ohne irgendein Einwirken von äußeren Kräften auf den Stapel 34 der Piezoelemente (F = 0) ist die Längenänderung Δl gegeben durch l ^ d^ -^- U ^ F^ '/k^ (F5) wobei kmech eine mechanische Federsteifigkeit des Stapels 34 der Piezoelemente bezeichnet.
Die mechanische Federsteifigkeit kmeoh des Stapels 34 der Piezoelemente ist gegeben durch
Figure imgf000014_0001
Die Arbeitspunkte des Piezo-Aktuators im statischen Gleichgewicht sind linear interpoliert zwischen den zwei Extremfällen, die durch die Gleichungen F4 und F5 gegeben sind. Beim Einsatz des Piezo-Aktuators als Stellantrieb ist ein Nutzhub xa allein relevant für sein Einwirken auf das Stellglied. Seine Längenänderung Δl setzt sich zusammen aus
Al = xa -xb (F7),
wobei X eine Lagerelementauslenkung bezeichnet.
In einem einseitig blockierten Fall, d.h. der Nutzhub xa ist immer 0, gilt
Figure imgf000014_0002
wobei kb eine Federsteifigkeit des Lagerelements ist. Die Blockierkraft ist in diesem Fall gegeben durch
Figure imgf000014_0003
In Figur 5 ist die externe Lastkraft F aufgetragen über den Nutzhub xa. Die durchgezogene Linie bezieht sich auf einen Fall, in dem das Lagerelement eine unendlich hohe Steifigkeit hat. Die gestrichelte Linie bezieht sich auf den typischen Fall endlicher Federsteifigkeit k des Lagerelements . Der Arbeitsbereich des Piezo-Aktuators ist eingegrenzt durch diese Linien.
Bei der Gestaltung des Piezo-Aktuators, also der axialen Länge 1 des Stapels 34 der Piezoelemente, der Art des Lagerelements und der Geometrie des Stellglieds, das mittels des Piezo-Aktuators betätigt wird, und der Kraft-Hubcharakteristik des Stellglieds, also beispielsweise des Schaltventils, müs- sen die so vorgegebenen Grenzen dieser statischen Analyse eingehalten sein. Alle Aspekte des dynamischen Verhaltens des Stapels der piezoelektrischen Elemente, wie zeitweilige Kraftverluste aufgrund der Massenträgheit während Laständerungen sind so nicht berücksichtigt.
Eine Simulation des dynamischen Verhaltens des Piezo-Aktuators mit einem Lagerelement mit einer endlichen Federsteifigkeit kb des Lagerelements geht aus von der Modelldarstellung der Figur 3. Die kontinuierliche Massenverteilung des Piezo- Aktuators wird auf zwei Punktmassen vereinfacht. Eine erste
Punktmasse M'b ist die des Lagerelements, die bevorzugt unter Annahme einer absolut steifen Lagerung des Lagerelements mit einem Drittel der tatsächlichen Masse des Lagerelements angesetzt ist. Eine zweite Punktmasse M' P ist für die Masse des Stapels 34 der Piezoelemente angesetzt, wobei es sich hierbei um eine bewegte Masse handelt. Gegebenenfalls kann bei der zweiten Punktmasse auch noch die Masse MPN des Übertragers 6 berücksichtigt sein.
Die Punktmasse M'b des Lagerelements ist einem ersten freien axialen Ende des Stapels 34 der Piezoelemente zugeordnet, das sich hingewandt zu dem Lagerelement befindet. Die Punktmasse M'b des Stapels 34 der Piezoelemente und gegebenenfalls die Masse MPN des Übertragers 6 sind einem zweiten freien axialen Ende des Stapels 34 der Piezoelemente zugeordnet, der hingewandt ist zu dem Stellglied. Bewegungsgleichungen für diese beiden Punktmassen sind im Folgenden aufzustellen, um so zwei Freiheitsgrade zur Verfügung zu haben, von denen einer die Lagerelementauslenkung xb und der andere der Nutzhub xa ist. Folgende Annahmen werden dazu gemacht: Der Stapel 34 der piezoelektrischen Elemente hat eine homogene Massenverteilung. Somit gilt:
p = Mp ll (F10),
wobei p die Dichte der Piezoelemente ist, MP eine Masse des Stapels 34 der Piezoelemente ist. Die Längenänderung Δl = xa - Xb nimmt linear in dem Stapel 34 der Piezoelemente zu, mit der Folge, dass ein differentielles Massenelement dm in einer Entfernung s von dem Lagerelement eine differentielle Auslen- kung ds gemäß der folgenden Beziehung erfolgt:
ds = s ~ (Fll)
Ferner werden die Gleichungen Fl und F2 derart umgeformt, dass die internen Kräfte des Stapels 34 der Piezoelemente aufgeteilt in eine konservative mechanische Kraft, die beiträgt zu der potentiellen Energie des Stapels 34 der Piezoelemente, und einen elektrischen Teil, der als externe Kraft, ein elektrisches Kraftäquivalent, betrachtet wird. Dies er- folgt durch Eliminieren der elektrischen Spannung U. Somit ergeben sich die folgenden Gleichungen
Figure imgf000016_0001
wobei FmeCh eine mechanische Kraft des Stapels 34 der Piezoelemente, Feι ein elektrisches Kraftäquivalent, keι eine e- lektrische Federsteifigkeit des Stapels 34 der Piezoelemente und α eine elektromechanische Kopplungskonstante bezeichnet. Die elektrische Federkonstante keι ist gegeben durch
Figure imgf000017_0001
Die elektromechanische Kopplungskonstante ist gegeben durch die Formel F16 A- d33 (F16) a = — x d • 5'.-
Figur 4 repräsentiert eine graphische Darstellung des durch die Formeln F12 bis F14 dargestellten Sachverhalts. Als Lagrange-Gleichung kann dann angesetzt werden
2 l
Figure imgf000017_0002
wobei die Geschwindigkeiten vb und va gegeben sind durch dxb v b = - (F18) dt
und dx. dt
unter der Berücksichtigung der Gleichung F7, der Gleichungen F18 und F19 kann das Integral der Lagrange-Funktion, der Gleichung F17 ausgewertet werden zu
Figure imgf000017_0003
unter der weiteren Annahme, dass das gleiche elektrische Feld auf jede des einzelne Piezoelement des Stapels 34 der Piezoelemente einwirkt, ist das elektrische Kraftaquivalent FeX abgesehen von seinem Vorzeichen das gleiche für die beiden Massen M' P und M'b . Eine erste Bewegungsgleichung, eine erste Euler-Lagrange-Differentialgleichung ist d dL dL dt dvb = -^ = dx. (F22 ) 1 d2l Mb' + - , v* + = -k„ • xb + kmech - Al - Fe, (I) 6 P dt2
und eine zweite Bewegungsgleichung, eine zweite Euler- Lagrange-Differentialgleichung ist
Figure imgf000018_0001
durch entsprechendes Umformen der Gleichungen F22 und F24 mit dem Ziel, d2lldt2 und vb allein zu stellen und des vorteilhaft zusatzlichen Ansetzens von geschwindigkeitsabhangige Damp- fungskraften, um elektrischen Verluste und mechanische Reibung Rechnung zu tragen, ergeben sich dann die folgenden Gleichungen:
Figure imgf000018_0002
wobei mit A, B, C, D Massenkoeffizienten bezeichnet sind, die gegeben sind durch
Figure imgf000019_0001
B = ~MP(F32), ' ' 6
C = MPN +--MP(F33)
D = Mm .+ -• Af , = B + C(F34)
Eine Kapazität C ist gegeben durch = ε33 -~ <F35) d
In Figur 1 ist eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren des Piezo-Aktuators dargestellt. Die Datenverarbeitungsvorrichtung hat in einem ersten Block Bl eine Eingabeeinheit, über die Randwerte RW, Startwerte SW und/oder Endwerte EW eingegeben werden können. Ferner ist die Eingabeein- heit dazu ausgebildet, auch beliebige andere Parameter, die zur konkreten Lösung der Differentialgleichungen notwendig sind, einzugeben, wie z.B. das inverse Kompressionsmodul s33, die Piezoelektrizitätskonstante d33, die Dielektrizitätskonstante ε33, die Federsteifigkeit kb des Lagerelements, die Dichte p, die elektromechanische Kopplungskonstante α oder auch die elektrische Federsteifigkeit des Stapels keι- Die Randwerte, Startwerte, Endwerte können der Nutzhub xa und/oder die Lagerelementauslenkung xb und/oder die Längenänderung Δl und/oder die externe Lastkraft F und/oder die e- lektrische Ladung Q beispielsweise sein. Die mittels der Eingabeeinheit des Blocks Bl erfassten Werte werden einem Block B2 zugeleitet.
Der Block B2 umfasst eine Recheneinheit, die einen Differen- tialgleichungslöser aufweist und in der die Gleichungen F26 bis F30 gespeichert sind und während des Betriebs entsprechend geladen werden. Der Differentialgleichungslöser ist ausgebildet zum Lösen der Gleichungen F26 bis F30 für die von der Eingabeeinheit des Blocks Bl übermittelten Werte. Der Differentialgleichungslöser löst mittels eines numerischen Verfahrens die Differentialgleichungen und erzeugt dann ein oder mehrere Signale, die den zeitlichen Verlauf einer oder eines oder mehrerer Parameter der Gleichungen F26 bis F30 darstellen und die eingesetzt werden zum Ansteuern eines Da- tensichtgeräts, das in dem Block B3 umfasst ist.
Es kann somit auf dem Datensichtgerät beispielsweise der zeitliche Verlauf der axialen Länge 1 des Stapels dargestellt werden, der zeitliche Verlauf des Nutzhubes xa, der zeitliche Verlauf der Lagerauslenkung xb, der Geschwindigkeiten, mit denen dies erfolgt oder auch entsprechende Kraftverläufe dargestellt werden.
Der Differentialgleichungslöser ist bevorzugt ein Computer- programm, das ausgebildet ist zum Lösen von Differentialgleichungen mittels eines oder mehrerer bekannter numerischer Verfahren. Das Computerprogramm umfasst dann ein Modul, in dem die Gleichungen F26 bis F30 geeignet gespeichert sind.
Das Computerprogramm kan'n beispielsweise auf einem Computer lesbaren Medium enthalten sein, das z.B. eine CD-ROM, eine DVD, eine Speicherkarte oder ein sonstiges geeignetes Medium sein kann. Das Computerprogramm kann jedoch auch auf einem beliebigen Server abgespeichert sein und dann von dort aus mittels geeigneter Datenübertragungsmittel von einem anderen Computer abgerufen werden.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zum Simulieren eines Piezo-Aktuators mit einem Stapel (34) Piezoelemente und einem Lagerelement, das an ei- nem freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit diesem mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist, wobei das andere freie Ende des Stapels (34) der Piezoelemente dazu vorgesehen ist, auf ein Stellglied einzuwirken, bei dem - eine Differentialgleichung (F26) für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente rechnergestützt mittels eines Differentialgleichungslösers gelöst wird für vorgegebene Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) und - die Differentialgleichung (F26) für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente abgeleitet ist von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung (F22) für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen e- lektrischen Kraftäquivalent (Feι) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung (F24) für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (Feι) und der durch das Stell- glied auf dem Stapel (34) der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist und der Stapel (34) der Piezoelemente als Punktmasse (M' P) an dem zweiten freien Ende des Stapels (34) der Piezoelemente berücksichtigt ist, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Längungs- verhalten aufweist, und das Lagerelement als Punktmasse (M'b) mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit (kb) des Lagerelements berücksichtigt ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem eine Differentialgleichung (F27) für einen zeitlichen Verlauf eines Hubs des Stapels (34) der Piezoelemente hin in Richtung zu dem Lagerelement abgeleitet ist von den Euler- Lagrange-Gleichungen (F22, F24) für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente,
- die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Hubs des Stapels (34) der Piezoelemente hin in Richtung zu dem Lagerelement rechnergestützt mittels des Differentialgleichungslösers gelöst wird für die vorgegebenen Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) .
3. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem die potentielle Energie des Stapels (34) der Piezoelemente ermittelt wird abhängig von einer mechanischen Federsteifigkeit (kmeCh) des Stapels (34) der Piezoelemente und seiner Längenänderung (Δl) . '-
4. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem die potentielle Energie des Lagerelements (36) ermittelt wird abhängig von seiner Federsteifigkeit (kb) und seiner Längenänderung (Δl) .
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 3 oder 4, bei dem die mechanische Federsteifigkeit (kraeCh) des Stapels (34) der Piezoelemente abhängig von einer Querschnittsfläche (A) des Stapels (34) der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels (34) der Piezoelemente, einem inversen Kompressionsmodul (s33) des Stapels (34) der Piezoelemente und der axialen Länge (1) ermittelt wird.
6. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem ein Übertrager (6) , mittels dessen der Stapel (34) der Piezoelemente mit dem Stellglied koppelbar ist, als Punktmasse (MPN) an dem zweiten freien axialen Ende des Sta- pels der Piezoelemente berücksichtigt ist.
7. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem eine elektrische Federsteifigkeit (keι) des Stapels (34) der Piezoelemente abhängig von der mechanischen Steifig- keit (kmeCh) des Stapels der Piezoelemente, einer Piezoelektrizitätskonstanten (d33) einer Dielektrizitätskonstanten (ε33) und dem inversen Kompressionsmodul (s33) des Stapels der Piezoelemente ermittelt wird und das elektrische Kraftäquivalent (Fel) ermittelt wird abhängig von der elektrischen Federstei- figkeit (keι) , der Änderung (Δl) der Länge des Stapels (34) der Piezoelemente, der dem Stapel (34) der Piezoelemente zugeführten elektrischen Ladung (Q) , dem elektrischen Widerstand (R) des Stapels (34) der Piezoelemente und einer elekt- romechariischen Kopplungskonstanten.
8. Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo- Aktuators mit einem Stapel (34) Piezoelemente und einem Lagerelement, das an einem freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit diesen mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist, wobei das andere freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente dazu vorgesehen ist, auf ein Stellglied einzuwirken, wobei die Datenverarbeitungsvorrichtung aufweist - einen Differentialgleichungslöser, der ausgebildet ist zum Lösen einer Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente vorgegebene Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) und die Differentialgleichung für den zeitli- chen Verlauf der axialen Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente abgeleitet ist von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung (F22) für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent (Feι) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung (F24) für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (Feι) und der durch das Stellglied auf den Stapel (34) der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist und der Stapel (34) der Piezoelemente als Punktmasse (M' P) an dem zweiten freien Ende des Stapels (34) der Piezoelemente berücksichtigt ist, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vor- gegebenes Langungsverhalten aufweist, und das Lagerelement als Punktmasse (M'b) mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit (kb) des Lagerelements berücksichtigt ist, ^ - und ferner Mittel aufweist zum Ansteuern eines Datensichtgeräts zum Darstellen eines zeitlichen Verlaufs der axialen <• Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente.
9. Computerprogramm, das Computerprogramm-Code-Mittel um- fasst, die für die Ausführung der Schritte einer der Ansprüche 1 bis 7 geeignet sind, wenn das Programm auf einem Computer durchgeführt wird.
10. Computerprogramm nach Anspruch 9, das auf einem computerlesbaren Medium enthalten ist.
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