DE102004029907A1

DE102004029907A1 - Verfahren und Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators und Computerprogramm

Info

Publication number: DE102004029907A1
Application number: DE102004029907A
Authority: DE
Inventors: Dirk Dr. Baranowski
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Continental Automotive GmbH
Priority date: 2004-06-21
Filing date: 2004-06-21
Publication date: 2006-02-02
Also published as: WO2005124375A2; WO2005124375A3

Abstract

Eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators hat einen Differentialgleichungslöser, der ausgebildet ist zum Lösen einer Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (1) des Stapels der Piezoelemente vorgegebene Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) und die Differentialgleichungen für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente abgeleitet sind von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent (F¶el¶) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (F¶el¶) und der durch das Stellglied auf den Stapel der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist und der Stapel der Piezoelemente als Punktmasse an dem zweiten freien Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt ist, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Längungsverhalten aufweist, und das Lagerelement als Punktmasse mit seiner dynamischen Masse an dem freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit (k¶b¶) des Lagerelements berücksichtigt ist. Ferner sind Mittel vorgesehen zum Ansteuern eines Datensichtgeräts zum ...

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators und ein Computerprogramm. Piezo-Aktuatoren, die einen Stapel Piezoelemente und ein Lagerelement umfassen, das an einem freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente mit dem Lagerelement mechanisch gekoppelt ist. Das Lagerelement ist in einem Lager gelagert. Das andere freie axiale Ende des Stapels ist dazu vorgesehen, auf ein Stellglied einzuwirken. Derartige Piezo-Aktuatoren zeichnen sich aus durch sehr kurze Ansprechzeiten auf elektrische Stellsignale. Sie werden als sehr schnell schaltende Hub-Aktuatoren eingesetzt.

Zunehmend werden Piezo-Aktuatoren in Einspritzventilen für Kraftfahrzeuge eingesetzt. Sie ermöglichen dort ein extrem schnelles Schalten des Ventils und ermöglichen so beispielsweise mehrere Einspritzvorgänge während eines Arbeitszyklusses eines Zylinders einer Brennkraftmaschine. Sie werden bevorzugt eingesetzt für Einspritzventile, denen Kraftstoff unter sehr hohem Druck zugeführt wird und die den Kraftstoff direkt in den jeweiligen Brennraum des Zylinders der Brennkraftmaschine zumessen. Die Drücke betragen bei Diesel-Anwendungen beispielsweise bis zu 2.000 bar. Je nach Anwendungsfall wirkt der Piezo-Aktuator direkt auf eine Düsennadel des Einspritzventils ein oder auch nur mittelbar über ein Servoventil.

Das Ansprechverhalten des Piezo-Aktuators auf Stellsignale, mit denen er beaufschlagt wird, bestimmt wesentlich die Güte der Zumessung des Kraftstoffs. Aufgrund des begrenzten Bauraums in dem Einspritzventil sind jedoch verschiedene charakteristische Parameter des Piezo-Aktuators oder auch des Stapels der Piezoelemente in dem Einspritzventil einer direkten Messung nicht zugänglich. Aus diesem Grund ist es notwendig, das Verhalten des Piezo-Aktuators zu simulieren, um daraus die geeigneten Stellsignale zum Ansteuern des Piezo-Aktuators in dem Einspritzventil abzuleiten.

Die Aufgabe der Erfindung ist es, ein Verfahren und eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators zu schaffen, das bzw. die präzise ist. Es ist ferner die Aufgabe der Erfindung, ein Computerprogramm zu schaffen, das bei seiner Durchführung auf einem Computer ein präzises Simulieren eines Piezo-Aktuators ermöglicht.

Die Erfindung zeichnet sich aus durch ein Verfahren zum Simulieren eines Piezo-Aktuators, eine entsprechende Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren des Piezo-Aktuators und ein entsprechendes Computerprogramm aus. Der Piezo-Aktuator hat einen Stapel Piezoelemente und ein Lagerelement, das an einem freien axialen Ende des Stapels mit diesem mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist. Das andere freie axiale Ende des Stapels ist dazu vorgesehen, auf ein Stellglied einzuwirken. Eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente wird rechnergestützt mittels eines Differentialgleichungslösers gelöst und zwar für vorgegebene Randwerte, Startwerte oder Endwerte. Unter Randwerten, Startwerten oder Endwerten werden in diesem Zusammenhang Werte von Parametern der Differentialgleichung verstanden. Die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente ist abgeleitet von Euler-Lagrange- Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels der Piezoelemente. Eine erste Euler-Lagrange-Gleichung für das erste freie axiale Ende des Stapels der Piezoelemente ist gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent gesetzt. Eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung für das zweite freie axiale Ende des Stapels der Piezoelemente ist gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent und der durch das Stellglied auf den Stapel der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt. Der Stapel der Piezoelemente ist als Punktmasse an dem zweiten freien Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Längungsverhalten aufweist. Das Lagerelement ist als Punktmasse mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit des Lagerelements berücksichtigt.

Die Erfindung beruht auf der Erkenntnis, dass der dynamische Einfluss des Lagerelements sich stark auf das axiale Längungsverhalten des Stapels der Piezoelemente auswirkt. Ferner beruht sie auf der Erkenntnis, dass die endliche Federsteifigkeit des Lagerelements zur Folge hat, das die elektrische Kraft zu dem mechanischen Teil des Stapels in einem beweglichen Bezugssystem gekoppelt ist. Ferner beruht sie auf der Erkenntnis, dass die Verteilung der Massen im Lagerelement und im Stapel der Piezoelemente die Dynamik des Längungsverhaltens stark beeinflusst. Dies wird auf einfache Weise korrekt durch die Euler-Lagrange-Gleichungen berücksichtigt. Bevorzugt ist ein Datensichtgerät vorgesehen, das angesteuert wird zum Darstellen von zeitlichen Verläufen verschiedener Größen, die das Verhalten des Piezo-Aktuators charakterisieren.

Die dynamische Masse des Lagerelements kann bei homogener Massenverteilung und unter der Annahme eines elastischen Verhaltens als ein Drittel der Masse des Lagerelements angesetzt werden. Ist die Massenverteilung nicht homogen, so lässt sich die dynamische Masse so anpassen, dass die Eigenfrequenz des Lagerelements korrekt wiedergegeben wird.

Die Erfindung nutzt so die Erkenntnis, dass bei der Dynamik des Piezo-Aktuators die Massenverteilung in dem Stapel der Piezoelemente und in dem Lagerelement eine Rolle spielt. Sie vermeidet es, dass es notwendig ist für jedes einzelne Piezoelement die Euler-Lagrange-Gleichung aufzustellen. Sie vermeidet es ferner, dass für das Lagerelement eine geeignete Diskretisierung in finite Elemente durchgeführt werden muss. Dies hätte einen immensen Rechenaufwand zur Folge.

Mit der Annahme der vorgegebenen, insbesondere homogenen, Massenverteilung und einer vorgegebenen, insbesondere homogenen, Längung des Aktors sind nur die Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels der Piezoelemente notwendig. Dies ermöglicht dann ein sehr schnelles rechnergestütztes Lösen der Differentialgleichung mittels des Differentialgleichungslösers. Durch das erfindungsgemäße Vorgehen kann die niedrigste Eigenschwingung des Stapels der Piezoelemente korrekt simuliert werden.

In einer vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird ferner eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Hubs des Stapels der Piezoelemente hin in Richtung zu dem Lagerelement rechnergestützt mittels des Differentialgleichungslösers gelöst für die vorgegebenen Randwerte oder Startwerte oder Endwerte. So kann einfach ein zum Betätigen des Ventilglieds nicht nutzbarer Anteil der jeweiligen Längenänderung des Stapels der Piezoelemente ermittelt werden.

Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die potentielle Energie des Stapels der Piezoelemente ermittelt abhängig von einer mechanischen Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente und seiner Längenänderung. Dies ist besonders einfach.

Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die potentielle Energie des Lagerelements ermittelt abhängig von seiner Federsteifigkeit und seiner Längenänderung. Dies ist besonders einfach.

Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird die mechanische Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente abhängig von einer Querschnittsfläche des Stapels der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels der Piezoelemente, einem Kompressionsmodul des Stapels der Piezoelemente und der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente ermittelt. Da die Längenänderung während des Betriebs des Stapels der Piezoelemente sehr klein ist im Verhältnis zu der Länge, kann sie hierbei vernachlässigt werden. Dies ist besonders präzise.

Es ist ferner vorteilhaft, wenn ein Übertragerelement, mittels dessen der Stapel der Piezoelemente mit dem Stellglied koppelbar ist, als Punktmasse an dem zweiten freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt ist. So wird einfach der Einfluss des Übertragerelements auf das dynamische Verhalten des Piezo-Aktuators berücksichtigt.

Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird eine elektrische Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente abhängig von der mechanischen Federsteifigkeit des Stapels der Piezoelemente, einer Piezoelektrizitätskon stanten, einer Dielektrizitätskonstanten und dem Kompressionsmodul des Stapels der Piezoelemente ermittelt. Das elektrische Kraftäquivalent wird ermittelt abhängig von der elektrischen Federsteifigkeit, der Änderung der Länge des Stapels der Piezoelemente, der dem Stapel der Piezoelemente zugeführten elektrischen Ladung, dem elektrischen Widerstand des Stapels der Piezoelemente und einer elektromechanischen Kopplungskonstanten. Auf diese Weise kann das elektrische Kraftäquivalent sehr präzise ermittelt werden.

Ausführungsbeispiele der Erfindung sind im Folgenden anhand der schematischen Zeichnungen erläutert. Es zeigen:
1 eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators,
2 ein Einspritzventil mit dem Piezo-Aktuator,
3 ein Modell des Piezo-Aktuators,
4 ein einfaches äquivalentes mechanisches Modell des Piezo-Aktuators und
5 ein Kraft – Nutzhubdiagramm.
Ein Einspritzventil (2) hat ein Injektorgehäuse 1, das eine Ausnehmung 2 des Injektorgehäuses 1 aufweist. In die Ausnehmung 2 ist ein Piezo-Aktuator eingesetzt, der mit einem Übertrager 6 gekoppelt ist. Der Übertrager 6 ist in einem Leckageraum 8 angeordnet. Ein Schaltventil 10, das bevorzugt als Servoventil ausgebildet ist, ist so angeordnet, dass es abhängig von seiner Schaltstellung ein Leckagefluid, das in dieser Ausführungsform bevorzugt der Kraftstoff ist, absteuert. Das Schaltventil ist über den Übertrager 6 mit dem Pie zoaktuator gekoppelt und wird von ihm angetrieben, das heißt die Schaltstellung des Schaltventils 10 wird mittels des Piezoaktuators eingestellt. Das Schaltventil ist somit ein Stellglied, auf das der Piezoaktuator einwirkt.
Das Schaltventil 10 ist in einer Ventilplatte 12 angeordnet. Das Einspritzventil umfasst ferner einen Nadelführungskörper 14 und einen Düsenkörper 16. Die Ventilplatte 12, der Nadelführungskörper 14 und der Düsenkörper 16 bilden eine Düsenbaugruppe, die mittels einer Düsenspannmutter 18 an dem Injektorgehäuse 1 befestigt ist.
Der Nadelführungskörper 14 hat eine Ausnehmung, die als Ausnehmung des Düsenkörpers 16 in dem Düsenkörper 16 fortgesetzt ist und in der eine Düsennadel 24 angeordnet ist. Die Düsennadel 24 ist in den Nadelführungskörper 14 geführt. Eine Düsenfeder 26 spannt die Düsennadel 24 in eine Schließposition vor, in der sie einen Kraftstofffluss durch eine Einspritzdüse 28 unterbindet.
An dem axialen Ende der Düsennadel 24, das hingewandt ist zu der Ventilplatte 12, ist ein Steuerraum 30 ausgebildet, der über eine Zulaufdrossel mit einer Hochdruckbohrung 32 hydraulisch gekoppelt ist. Befindet sich das Schaltventil 10 in seiner Schließstellung, so ist der Steuerraum 30 hydraulisch entkoppelt von dem Leckageraum 8. Dies hat zur Folge, dass sich nach einem Schließen des Schaltventils 10 der Druck in dem Steuerraum 30 dem Druck in der Hochdruckbohrung 32 angleicht. Die Hochdruckbohrung 32 ist beim Einsatz des Einspritzventils in einer Brennkraftmaschine mit einem Kraftstoffhochdruckspeicher hydraulisch gekoppelt und wird so mit Kraftstoff unter einem Druck von beispielsweise bis zu 2000 bar versorgt.
Über den Steuerraum 30 wird aufgrund des Fluiddrucks in dem Steuerraum 30 die Position der Düsennadel 24 eingestellt.
Der Piezoaktuator umfasst einen Stapel 34 Piezoelemente, zum Beispiel 200 piezoelektrische Elemente, und ein Ausgleichselement 36, das bevorzugt als ein Block aus Aluminium oder einer Aluminiumlegierung ausgebildet ist. Der Stapel Piezoelemente 34 und das Ausgleichselement 36 sind in eine Rohrfeder eingebracht. Alternativ kann das Ausgleichselement 36 auch außerhalb der Rohrfeder angeordnet sein. Die Rohrfeder ist an ihrem einen freien Ende mit einer ersten Kappe verschweißt, die gegebenenfalls als der Übertrager 6 ausgebildet sein kann. An ihrem anderen axialen Ende ist die Rohrfeder mit einem Fixierelement 38 verschweißt. Das Fixierelement 38 ist in der Ausnehmung 2 des Injektorgehäuses 1 starr fixiert, insbesondere verstemmt.
Das Ausgleichselement 36 hat einen thermischen Ausdehnungskoeffizienten und eine axiale Länge, die so gewählt sind, dass bei einer gleichen Temperatur des thermischen Ausgleichselements 36 und des Injektorgehäuses 1 sich die axiale Ausdehnung des Piezo-Aktuators 4 bei Temperaturänderungen genauso verhält wie die axiale Ausdehnung des Injektorgehäuses 1.
Eine genaue dynamische Simulation des Piezo-Aktuators ist wesentlich zum geeigneten Einstellen der entsprechenden Stellsignale im Hinblick auf deren zeitliche Erzeugung und einer zuzuführenden oder abzuführenden elektrischen Ladung. Ein Element, das das dynamische Verhalten des Piezo-Aktuators stark beeinflusst, ist das Lagerelement, das durch das Ausgleichselement 36, das Fixierelement 38 und das Injektorgehäuse 1 gebildet wird. Die Referenzebene, die die steife Ein spannung des Lagerelements darstellt, wird durch die Ventilplatte 12 gebildet.
Das Lagerelement hat eine eigene Steifigkeit und Masse und beeinflusst so eine Kraft, die zur Verfügung steht zum Betätigen des Stellglieds, also beispielsweise des Schaltventils 10. Ferner wird so auch das dynamische Antwortverhalten des Stapels der Piezoelemente auf elektrische Stellsignale beeinflusst. Es hat sich gezeigt, dass dies sich besonders stark auswirkt bei Anwendungen für Einspritzventile, die mit sehr hohen Drücken des Fluids betrieben werden und bei denen die Lade- und Entladezeiten des Piezo-Aktuators sehr gering sind, so z.B. im Bereich von 100 μs, was zu beachtlichen Trägheitskräften führt. Das Lagerelement lediglich zu berücksichtigen im Hinblick auf ein statisches Kräftegleichgewicht reicht hierfür nicht aus.
Dies ermöglicht lediglich die dadurch auftretende Verringerung der tatsächlichen Blockierkraft zu ermitteln. Unter der Blockierkraft wird diejenige Kraft verstanden, bei der unter keinen Umständen eine Ausdehnung des Stapels der Piezoelemente möglich ist.
Der dynamische Einfluss des Lagerelements ist jedoch von großer Bedeutung. Dies beeinflusst im Falle eines Einspritzventils die Dynamik des Veränderns der Position des Stellglieds, also insbesondere des Schaltventils, was zu einer Veränderung der Totzeiten des Einspritzventils führen kann. Das Ableiten eines geeigneten Simulationsmodells für den Piezo-Aktuator ist erschwert durch die Tatsache, dass ein elektrisches Kraftäquivalent gekoppelt ist zu der Mechanik des Stapels der Piezoelemente im Sinne eines beweglichen Bezugssystems, das durch das Lagerelement vorgegeben ist.
Im Folgenden sind geeignete dynamische Beziehungen für den Piezo-Aktuator mit einem endlich steifen Lagerelement hergeleitet. Die so resultierenden Differentialgleichungen sind dann in einem Computer gespeichert und können mittels eines geeigneten Differentialgleichungslösers für vorgebbare Start- und/oder Endwerte und/oder Randwerte gelöst werden. Der Differentialgleichungslöser löst dann die Differentialgleichungen numerisch durch entsprechende Rechenoperationen in dem Computer.
Piezoelektrizität kann besonders einfach durch die zwei folgenden Formeln beschrieben werden.
Dabei bezeichnen

l: eine axiale Länge des Stapels 34 der Piezoelemente für F=0, U=0, Q=0,
Δl: eine Längenänderung des Stapels 34 der Piezoelemente,
Δl/l: eine relative Längenänderung des Stapels 34 der Piezoelemente,
s₃₃: ein inverses Kompressionsmodul, das auch als Kompressibilität bezeichnet werden kann,
F: eine externe Lastkraft, also die durch das Stellglied auf den Stapel 34 der Piezoelemente ausgeübte Kraft,
A: eine Querschnittsfläche des Stapels der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels 34 der Piezoelemente,
d: eine axiale Erstreckung eines einzelnen Piezoelements,
U: eine elektrische Spannung,
d₃₃: eine Piezoelektrizitätskonstante,
Q: eine elektrische Ladung,
N: eine Anzahl der Piezoelemente, und
ε₃₃: eine Dielektrizitätskonstante.

In den Gleichungen F1, F2 sind vier Größen gekoppelt, die Spannung U, die Ladung Q, die externe Lastkraft F und die Längenänderung Δl, die ein Vier-Pol-Element definieren. Die Gleichungen F1, F2 können eingesetzt werden zum Darstellen des statischen eingeschwungenen Zustands des Piezo-Aktuators.
Falls der Piezo-Aktuator elektrisch entkoppelt ist von seiner Umgebung, so ist kein Ladungstransfer mit der Umgebung möglich. Die Änderung der Ladung Q ist somit null. In diesem Fall besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der elektrischen Spannung U und der externen Lastkraft F, der sogenannte Sensoreffekt.
Dabei bezeichnen ΔU eine Spannungsänderung und ΔF_load eine Lastkraftänderung.
Im Fall einer konstanten elektrischen Spannung U besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Kraft und der Ausdehnung des Piezos. In dem vollkommen blockierten Fall des Stapels 34 der Piezoelemente, in dem keine Ausdehnung des Stapels 34 der Piezoelemente möglich ist, und somit Δl gleich 0 ist, ist eine Blockierkraft F_block gegeben durch die folgende Gleichung
Ohne irgendein Einwirken von äußeren Kräften auf den Stapel 34 der Piezoelemente (F = 0) ist die Längenänderung Δl gegeben durch
wobei k_mech eine mechanische Federsteifigkeit des Stapels 34 der Piezoelemente bezeichnet.
Die mechanische Federsteifigkeit k_mech des Stapels 34 der Piezoelemente ist gegeben durch
Die Arbeitspunkte des Piezo-Aktuators im statischen Gleichgewicht sind linear interpoliert zwischen den zwei Extremfällen, die durch die Gleichungen F4 und F5 gegeben sind. Beim Einsatz des Piezo-Aktuators als Stellantrieb ist ein Nutzhub x_a allein relevant für sein Einwirken auf das Stellglied. Seine Längenänderung Δl setzt sich zusammen aus Δl = xa – xb (F7),wobei x_b eine Lagerelementauslenkung bezeichnet.
In einem einseitig blockierten Fall, d.h. der Nutzhub x_a ist immer 0, gilt Δl = –xb = F/kb (F8)wobei k_b eine Federsteifigkeit des Lagerelements ist. Die Blockierkraft ist in diesem Fall gegeben durch
In 5 ist die externe Lastkraft F aufgetragen über den Nutzhub x_a. Die durchgezogene Linie bezieht sich auf einen Fall, in dem das Lagerelement eine unendlich hohe Steifigkeit hat. Die gestrichelte Linie bezieht sich auf den typischen Fall endlicher Federsteifigkeit kb des Lagerelements. Der Arbeitsbereich des Piezo-Aktuators ist eingegrenzt durch diese Linien.
Bei der Gestaltung des Piezo-Aktuators, also der axialen Länge l des Stapels 34 der Piezoelemente, der Art des Lagerelements und der Geometrie des Stellglieds, das mittels des Piezo-Aktuators betätigt wird, und der Kraft-Hubcharakteristik des Stellglieds, also beispielsweise des Schaltventils, müssen die so vorgegebenen Grenzen dieser statischen Analyse eingehalten sein. Alle Aspekte des dynamischen Verhaltens des Stapels der piezoelektrischen Elemente, wie zeitweilige Kraftverluste aufgrund der Massenträgheit während Laständerungen sind so nicht berücksichtigt.
Eine Simulation des dynamischen Verhaltens des Piezo-Aktuators mit einem Lagerelement mit einer endlichen Federsteifigkeit kb des Lagerelements geht aus von der Modelldarstellung der 3. Die kontinuierliche Massenverteilung des Piezo-Aktuators wird auf zwei Punktmassen vereinfacht. Eine erste Punktmasse M'_b ist die des Lagerelements, die bevorzugt unter Annahme einer absolut steifen Lagerung des Lagerelements mit einem Drittel der tatsächlichen Masse des Lagerelements angesetzt ist. Eine zweite Punktmasse M'_P ist für die Masse des Stapels 34 der Piezoelemente angesetzt, wobei es sich hierbei um eine bewegte Masse handelt. Gegebenenfalls kann bei der zweiten Punktmasse auch noch die Masse M_PN des Übertragers 6 berücksichtigt sein.
Die Punktmasse M'_b des Lagerelements ist einem ersten freien axialen Ende des Stapels 34 der Piezoelemente zugeordnet, das sich hingewandt zu dem Lagerelement befindet. Die Punktmasse M'_b des Stapels 34 der Piezoelemente und gegebenenfalls die Masse M_PN des Übertragers 6 sind einem zweiten freien axialen Ende des Stapels 34 der Piezoelemente zugeordnet, der hingewandt ist zu dem Stellglied.
Bewegungsgleichungen für diese beiden Punktmassen sind im Folgenden aufzustellen, um so zwei Freiheitsgrade zur Verfügung zu haben, von denen einer die Lagerelementauslenkung x_b und der andere der Nutzhub x_a ist. Folgende Annahmen werden dazu gemacht: Der Stapel 34 der piezoelektrischen Elemente hat eine homogene Massenverteilung. Somit gilt: ρ = Mp/l (F10),wobei ρ die Dichte der Piezoelemente ist, M_P eine Masse des Stapels 34 der Piezoelemente ist. Die Längenänderung Δl = x_a – x_b nimmt linear in dem Stapel 34 der Piezoelemente zu, mit der Folge, dass ein differentielles Massenelement dm in einer Entfernung s von dem Lagerelement eine differentielle Auslenkung ds gemäß der folgenden Beziehung erfolgt:
Ferner werden die Gleichungen F1 und F2 derart umgeformt, dass die internen Kräfte des Stapels 34 der Piezoelemente aufgeteilt in eine konservative mechanische Kraft, die beiträgt zu der potentiellen Energie des Stapels 34 der Piezoelemente, und einen elektrischen Teil, der als externe Kraft, ein elektrisches Kraftäquivalent, betrachtet wird. Dies erfolgt durch Eliminieren der elektrischen Spannung U. Somit ergeben sich die folgenden Gleichungen
wobei F_mech eine mechanische Kraft des Stapels 34 der Piezoelemente, F_el ein elektrisches Kraftäquivalent, k_el eine elektrische Federsteifigkeit des Stapels 34 der Piezoelemente und α eine elektromechanische Kopplungskonstante bezeichnet. Die elektrische Federkonstante k_el ist gegeben durch
Die elektromechanische Kopplungskonstante ist gegeben durch die Formel F16
4 repräsentiert eine graphische Darstellung des durch die Formeln F12 bis F14 dargestellten Sachverhalts. Als Lagrange-Gleichung kann dann angesetzt werden
wobei die Geschwindigkeiten v_b und v_a gegeben sind durch
unter der Berücksichtigung der Gleichung F7, der Gleichungen F18 und F19 kann das Integral der Lagrange-Funktion, der Gleichung F17 ausgewertet werden zu
unter der weiteren Annahme, dass das gleiche elektrische Feld auf jede des einzelne Piezoelement des Stapels 34 der Piezoelemente einwirkt, ist das elektrische Kraftäquivalent F_el abgesehen von seinem Vorzeichen das gleiche für die beiden Massen M'_P und M'_b. Eine erste Bewegungsgleichung, eine erste Euler-Lagrange-Differentialgleichung ist
und eine zweite Bewegungsgleichung, eine zweite Euler-Lagrange-Differentialgleichung ist
durch entsprechendes Umformen der Gleichungen F22 und F24 mit dem Ziel, d²l/dt² und v ._b allein zu stellen und des vorteilhaft zusätzlichen Ansetzens von geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräften, um elektrischen Verluste und mechanische Reibung Rechnung zu tragen, ergeben sich dann die folgenden Gleichungen:
wobei mit A, B, C, D Massenkoeffizienten bezeichnet sind, die gegeben sind durch
Eine Kapazität C ist gegeben durch
In 1 ist eine Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren des Piezo-Aktuators dargestellt. Die Datenverarbeitungsvorrichtung hat in einem ersten Block B1 eine Eingabeeinheit, über die Randwerte RW, Startwerte SW und/oder Endwerte EW eingegeben werden können. Ferner ist die Eingabeeinheit dazu ausgebildet, auch beliebige andere Parameter, die zur konkreten Lösung der Differentialgleichungen notwendig sind, einzugeben, wie z.B. das inverse Kompressionsmodul s₃₃, die Piezoelektrizitätskonstante d₃₃, die Dielektrizitätskonstante ε₃₃, die Federsteifigkeit kb des Lagerelements, die Dichte ρ, die elektromechanische Kopplungskonstante α oder auch die elektrische Federsteifigkeit des Stapels k_el. Die Randwerte, Startwerte, Endwerte können der Nutzhub x_a und/oder die Lagerelementauslenkung x_b und/oder die Längenänderung Δl und/oder die externe Lastkraft F und/oder die elektrische Ladung Q beispielsweise sein. Die mittels der Eingabeeinheit des Blocks B1 erfassten Werte werden einem Block B2 zugeleitet.
Der Block B2 umfasst eine Recheneinheit, die einen Differentialgleichungslöser aufweist und in der die Gleichungen F26 bis F30 gespeichert sind und während des Betriebs entsprechend geladen werden. Der Differentialgleichungslöser ist ausgebildet zum Lösen der Gleichungen F26 bis F30 für die von der Eingabeeinheit des Blocks B1 übermittelten Werte. Der Differentialgleichungslöser löst mittels eines numerischen Verfahrens die Differentialgleichungen und erzeugt dann ein oder mehrere Signale, die den zeitlichen Verlauf einer oder eines oder mehrerer Parameter der Gleichungen F26 bis F30 darstellen und die eingesetzt werden zum Ansteuern eines Datensichtgeräts, das in dem Block B3 umfasst ist.
Es kann somit auf dem Datensichtgerät beispielsweise der zeitliche Verlauf der axialen Länge l des Stapels dargestellt werden, der zeitliche Verlauf des Nutzhubes x_a, der zeitliche Verlauf der Lagerauslenkung x_b, der Geschwindigkeiten, mit denen dies erfolgt oder auch entsprechende Kraftverläufe dargestellt werden.
Der Differentialgleichungslöser ist bevorzugt ein Computerprogramm, das ausgebildet ist zum Lösen von Differentialgleichungen mittels eines oder mehrerer bekannter numerischer Verfahren. Das Computerprogramm umfasst dann ein Modul, in dem die Gleichungen F26 bis F30 geeignet gespeichert sind.
Das Computerprogramm kann beispielsweise auf einem Computer lesbaren Medium enthalten sein, das z.B. eine CD-ROM, eine DVD, eine Speicherkarte oder ein sonstiges geeignetes Medium sein kann. Das Computerprogramm kann jedoch auch auf einem beliebigen Server abgespeichert sein und dann von dort aus mittels geeigneter Datenübertragungsmittel von einem anderen Computer abgerufen werden.

Claims

Verfahren zum Simulieren eines Piezo-Aktuators mit einem Stapel (34) Piezoelemente und einem Lagerelement, das an einem freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit diesem mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist, wobei das andere freie Ende des Stapels (34) der Piezoelemente dazu vorgesehen ist, auf ein Stellglied einzuwirken, bei dem – eine Differentialgleichung (F26) für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (l) des Stapels (34) der Piezoelemente rechnergestützt mittels eines Differentialgleichungslösers gelöst wird für vorgegebene Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) und – die Differentialgleichung (F26) für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge des Stapels der Piezoelemente abgeleitet ist von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung (F22) für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent (F_el) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung (F24) für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (F_el) und der durch das Stellglied auf dem Stapel (34) der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist und der Stapel (34) der Piezoelemente als Punktmasse (M'_P) an dem zweiten freien Ende des Stapels (34) der Piezoelemente berücksichtigt ist, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Längungsverhalten aufweist, und das Lagerelement als Punktmasse (M'_b) mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit (kb) des Lagerelements berücksichtigt ist.
Verfahren nach Anspruch 1, bei dem eine Differentialgleichung (F27) für einen zeitlichen Verlauf eines Hubs des Stapels (34) der Piezoelemente hin in Richtung zu dem Lagerelement abgeleitet ist von den Euler-Lagrange-Gleichungen (F22, F24) für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, – die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Hubs des Stapels (34) der Piezoelemente hin in Richtung zu dem Lagerelement rechnergestützt mittels des Differentialgleichungslösers gelöst wird für die vorgegebenen Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW).
Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem die potentielle Energie des Stapels (34) der Piezoelemente ermittelt wird abhängig von einer mechanischen Federsteifigkeit (k_mech) des Stapels (34) der Piezoelemente und seiner Längenänderung (Δl).
Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem die potentielle Energie des Lagerelements (36) ermittelt wird abhängig von seiner Federsteifigkeit (kb) und seiner Längenänderung (Δl).
Verfahren nach einem der Ansprüche 3 oder 4, bei dem die mechanische Federsteifigkeit (k_mech) des Stapels (34) der Piezoelemente abhängig von einer Querschnittsfläche (A) des Stapels (34) der Piezoelemente, die senkrecht steht auf einer Längsachse des Stapels (34) der Piezoelemente, einem inversen Kompressionsmodul (s₃₃) des Stapels (34) der Piezoelemente und der axialen Länge (1) ermittelt wird.
Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem ein Übertrager (6), mittels dessen der Stapel (34) der Piezoelemente mit dem Stellglied koppelbar ist, als Punktmasse (M_PN) an dem zweiten freien axialen Ende des Stapels der Piezoelemente berücksichtigt ist.
Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, bei dem eine elektrische Federsteifigkeit (k_el) des Stapels (34) der Piezoelemente abhängig von der mechanischen Steifigkeit (k_mech) des Stapels der Piezoelemente, einer Piezoelektrizitätskonstanten (d₃₃) einer Dielektrizitätskonstanten (ε₃₃) und dem inversen Kompressionsmodul (s₃₃) des Stapels der Piezoelemente ermittelt wird und das elektrische Kraftäquivalent (F_el) ermittelt wird abhängig von der elektrischen Federsteifigkeit (k_el), der Änderung (Δl) der Länge des Stapels (34) der Piezoelemente, der dem Stapel (34) der Piezoelemente zugeführten elektrischen Ladung (Q), dem elektrischen Widerstand (R) des Stapels (34) der Piezoelemente und einer elektromechanischen Kopplungskonstanten.
Datenverarbeitungsvorrichtung zum Simulieren eines Piezo-Aktuators mit einem Stapel (34) Piezoelemente und einem Lagerelement, das an einem freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit diesen mechanisch gekoppelt ist und das in einem Lager gelagert ist, wobei das andere freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente dazu vorgesehen ist, auf ein Stellglied einzuwirken, wobei die Datenverarbeitungsvorrichtung aufweist – einen Differentialgleichungslöser, der ausgebildet ist zum Lösen einer Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der axialen Länge (l) des Stapels (34) der Piezoelemente vorgegebene Randwerte (RW) und/oder Startwerte (SW) und/oder Endwerte (EW) und die Differentialgleichung für den zeitli chen Verlauf der axialen Länge (l) des Stapels (34) der Piezoelemente abgeleitet ist von Euler-Lagrange-Gleichungen für die freien axialen Enden des Stapels (34) der Piezoelemente, wobei eine erste Euler-Lagrange-Gleichung (F22) für das erste freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich einem negativen elektrischen Kraftäquivalent (F_el) gesetzt ist und eine zweite Euler-Lagrange-Gleichung (F24) für das zweite freie axiale Ende des Stapels (34) der Piezoelemente gleich dem positiven elektrischen Kraftäquivalent (F_el) und der durch das Stellglied auf den Stapel (34) der Piezoelemente ausgeübten Kraft gesetzt ist und der Stapel (34) der Piezoelemente als Punktmasse (M'_P) an dem zweiten freien Ende des Stapels (34) der Piezoelemente berücksichtigt ist, die eine vorgegebene Massenverteilung repräsentiert und ein vorgegebenes Längungsverhalten aufweist, und das Lagerelement als Punktmasse (M'_b) mit seiner dynamischen Masse an dem ersten freien axialen Ende des Stapels (34) der Piezoelemente mit einer vorgegebenen Federsteifigkeit (kb) des Lagerelements berücksichtigt ist, – und ferner Mittel aufweist zum Ansteuern eines Datensichtgeräts zum Darstellen eines zeitlichen Verlaufs der axialen Länge (1) des Stapels (34) der Piezoelemente.
Computerprogramm, das Computerprogramm-Code-Mittel umfasst, die für die Ausführung der Schritte einer der Ansprüche 1 bis 7 geeignet sind, wenn das Programm auf einem Computer durchgeführt wird.
Computerprogramm nach Anspruch 9, das auf einem computerlesbaren Medium enthalten ist.