WO2005057434A1

WO2005057434A1 - 電磁界解析装置、電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体

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Publication number: WO2005057434A1
Application number: PCT/JP2004/016434
Authority: WO
Inventors: Tsutomu Okada
Original assignee: Murata Manufacturing Co., Ltd.
Priority date: 2003-12-10
Filing date: 2004-11-05
Publication date: 2005-06-23
Also published as: JPWO2005057434A1; EP1713013A4; JP4215056B2; EP1713013A1; US7158921B2; US20060009953A1

Abstract

　要素分割部（２２）は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とに分割する。Prolongation行列作成部（２５）は、要素分割部（２２）によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付けるProlongation行列を作成する。そして、近似値演算部（２８）および近似解修正部（２９）は、Prolongation行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算する。したがって、Non-nested　Meshを使用したMultigrid法を用いて電磁界解析を高速に行なうことが可能となる。

Description

明細書

電磁界解析装置、電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体

技術分野

[0001] 本発明は、多層商品、ギガフィルタ、 EMI (Electro-Magnetic Interference)除去フィルタなどの高周波商品の開発や設計に使用する電磁界シミュレーション技術に関し、特に、シミュレーション時間の短縮を可能にした電磁界解析装置、電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体に関する。

背景技術

[0002] 近年、高周波商品の開発や設計が盛んに行なわれており、高周波商品の電磁界解析を行なうのに電磁界シミュレーションソフトが広く使用されるようになってきている。一般に、電磁界解析には有限要素法が利用される場合が多い。この有限要素法を用いた電磁界シミュレーションにおいては、連立 1次方程式を解くのに長い時間がかかるため、高速な解法が望まれている。特に、電磁界解析の分野では、ガウスの消去法と呼ばれる直接法しか使えないため、計算時間が長くなるという問題は一層深刻である。

[0003] ところが、 1999年に発表された Hiptmairの論文（R.Hiptmair, "Multigrid method for Maxwell s equations, SIAM Journal of Numenalc Analysis, vol.36, no.l, pp.204-225, 1999)により、 Multigridという解法が電磁界解析でも使えることが証明され、直接法に比べて劇的にスピードアップする解法として注目されている。

[0004] Multigrid法は、解析対象を細かな要素と粗!、要素との 2種類に分割し、 ft 、要素の解を利用して細かな要素の解を求めるものである。

[0005] ガウスの消去法を使用して連立 1次方程式を計算する場合、一般に計算時間は行列の次元の 3乗に比例する。次元の大きさは要素の数に相当するので、たとえば要素の数が 2倍になれば計算時間は 8倍、要素の数が 10倍になれば計算時間が 100 0倍となる。そこで、粗い要素に対してのみガウスの直接法を適用し、細かな要素に対しては粗!、要素の解を利用して近似解を求め、ガウスの消去法を使用しな、ようにすれば細かな要素に対する計算時間を 1Z8、 ΐΖΐοοοに短縮できる。実際には、付カ卩的な計算時間が加算されるため、これほどの短縮にはならないものの、大幅に計算時間を短縮できることには間違、な、。

[0006] Multigrid法は、 Nested Meshを使用する方法と、 Non- Nested Meshを使用する方法とに分類される。しかしながら、後述するようにプロロンゲーシヨン（Prolongation)行列が未完成のため、 Nested Meshを使用せざるを得ない。

[0007] 図 12A— 12Bは、 Nested Meshによる要素の分割を説明するための図である。図 1 2Aは、 2次元解析の場合の Nested Meshによる要素の分割を示しており、粗い三角形要素を均等に分割して 4つの細かな三角形要素を作成する。また、図 12Bは、 3次元解析の場合の Nested Meshによる要素の分割を示しており、粗い四面体要素を均等に分割して 8つの細かな四面体要素を作成する。図 12A— 12B力も分力るように、 Nested Meshにおいては、粗い要素と細かな要素との間に幾何学的な制約がある。非特許文献 1 : R.Hiptmair, "Multigrid method for Maxwell's equations," SIAM Journal of Numerical Analysis, vol.36, no.l, pp.204-225, 1999

特許文献 2 : D.Dibben and T.Yamada, "Non-nested multigrid and automatic mesh coarsening for high frequency electromagnetic problems, 電気学会研究会資料， SA-02-34, pp.71- 75, 2002

発明の開示

発明が解決しょうとする課題

[0008] 図 13A— 13Cは、 Nested Meshの第 1の問題点を説明するための図である。図 13

Aは、円を Nested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示している。また、図 13Bは、粗い要素を Nested Meshによって細かな要素に分割したところを示している。図 13Aおよび図 13Bから分かるように、 Nested Meshの幾何学的な制約によって曲面を正確に表現することができない。

[0009] また、図 13Cは、円を Non-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示している。図 13Cから分かるように、幾何学的な制約がないため、曲面を正確に表現することができる。

[0010] 図 14A— 14Cは、 Nested Meshの第 2の問題点を説明するための図である。図 14 Aは、正方形を Nested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示している。また、図 14Bは、粗い要素を Nested Meshによって細かな要素に分割したところを示している。図 14Aおよび図 14Bから分かるように、 Nested Meshの幾何学的な制約によって部分的に細力べすることができない。

[0011] また、図 14Cは、正方形を Non-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示している。図 14C力も分力るように、幾何学的な制約がないため、部分的に細力べすることができる。

[0012] 工業製品のほとんどは円柱や球などの曲面があり、また部分的に細かなところも必ずある。したがって、 Nested Meshを工業製品などに用いることは困難である。一方、 Non-Nested Meshには幾何学的制約が一切ないため、細かな要素を自由に作成することができる。し力しながら、位置関係に規則性がないため、粗い要素と細かな要素との間の電磁界の関連付けが難しい。この粗い要素と細かな要素との関連付けを行なうのが Prolongation行列である力正確な Prolongation行列は発見されて!ヽなヽ。このことは、 Mulitigrid法が実用的に使用できないことを意味しており、電磁界解析にお V、てはガウスの直接法と、う計算時間の力かる方法を用いざるを得な!/、。

[0013] 本発明は、上記問題点を解決するためになされたものであり、その目的は、

Non-nested Meshを使用した Multigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能な電磁界解析装置、電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体を提供することである。

[0014] 他の目的は、電磁界解析に要する時間を大幅に短縮することが可能な電磁界解析装置、電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体を提供することである。

課題を解決するための手段

[0015] 本発明のある局面に従えば、電磁界解析装置は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とに分割するための分割手段と、分割手段によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するための作成手段と、作成手段によって作成された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するための演算手段とを含む。

[0016] 好ましくは、作成手段は、細かな要素の辺における電磁界ベクトルを、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成する。

[0017] さらに好ましくは、細かな要素の辺 1の長さを I、細かな要素の辺 1の位置 Xにおける電磁界と粗い要素の辺 jにおける電磁界との関係を示す補間関数を N ^e (x)、細かな要素の辺 1の接線ベクトルを tとすると、作成手段は後述する式（14)によって行列 Pを作成する。

[0018] さらに好ましくは、演算手段は、連立 1次方程式の定常的な反復解法を適用して細力な要素の電磁界ベクトルの近似解に含まれる高周波成分を除去し、作成手段によつて作成された行列を用いて細かな要素における残差を粗い要素における残差に写像し、連立 1次方程式の直接法または非定常的な反復解法を適用して粗い要素に対する修正ベクトルを作成し、作成手段によって作成された行列を用いて粗ヽ要素に対する修正ベクトルを細かな要素における修正ベクトルを求めることによって、細力な要素の近似解の精度を上げる。

[0019] 本発明の別の局面に従えば、解析対象の電磁界を解析する電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのコンピュータ 'プログラムであって、コンピュータは、分割した要素を記憶する第 1の記憶手段と、行列を記憶する第 2の記憶手段とを含み、電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗!ヽ要素と細かな要素とに分割して第 1の記憶手段に記憶するステップと、第 1の記憶手段に記憶された粗!、要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して第 2の記憶部に記憶するステップと、第 2の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含む。

[0020] 本発明のさらに別の局面に従えば、解析対象の電磁界を解析する電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータで読取り可會な記録媒体であって、コンピュータは、分割した要素を記憶する第 1の記憶手段と、行列を記憶する第 2の記憶手段とを含み、電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とに分割して第 1の記憶手段に記憶するステップと、第 1の記憶手段に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界べタトルとを関連付ける行列を作成して第 2の記憶部に記憶するステップと、第 2の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含む。

発明の効果

[0021] 本発明のある局面によれば、作成手段が、分割手段によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するので、 Non-nested Meshを使用した Multigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能となった。また、演算手段が、作成手段によって作成された行列を参照しながら細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するので、細かな要素の電磁界ベクトルを直接法を用いて計算する必要がなくなり、電磁界解析に要する時間を大幅に短縮することが可能となった。

[0022] また、作成手段が、細かな要素の辺における電磁界ベクトルの要素を、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成するので、行列を容易に作成することが可能となった。

[0023] また、作成手段は、後述する式（14)によって行列 Pを作成するので、行列をさらに容易に作成することが可能となった。

[0024] また、演算手段が、作成手段によって作成された行列を用いて細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を修正するようにしたので、細かな要素の近似解の精度を上げる処理を高速に行なうことが可能となった。

図面の簡単な説明

[0025] [図 1]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の外観例を示す図である。

[図 2]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の構成例を示すブロック図である。

[図 3]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の機能的構成を示すブロック図である。

[図 4]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の処理手順を説明するためのフローチャートである。圆 5A]マイクロストリップラインを大きい要素に分割したところを示す図である。

圆 5B]図 5Aに示す大きい要素で解析を行ない、誤差を評価して細分化したところを示す図である。

[図 6]四面体における電磁界 uの辺に接する成分を示す図である。

[図 7] Ω ^Fにおける電磁界ベクトル I /と Ω ^eにおける電磁界ベクトル u^eとの関係を示す図である。

圆 8]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象である方形導波管の一例を示す図である。

[図 9]図 8に示す方形導波管を 2. 45GHzの TE10モードで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。

圆 10]本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象であるパッチアンテナの一例を示す図である。

[図 11]図 10に示すパッチアンテナを 7. OGHzで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。

[図 12A]2次元解析の場合の Nested Meshによる要素の分割を示す図である。

[図 12B]3次元解析の場合の Nested Meshによる要素の分割を示す図である。

[図 13A]円を Nested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示す図である。

[図 13B]粗い要素を Nested Meshによって細かな要素に分割したところを示す図である。

[図 13C]円を Non-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示す図である。

[図 14A]正方形を Nested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示す図である。

[図 14B]粗い要素を Nested Meshによって細かな要素に分割したところを示す図である。 [図 14C]正方形を Non-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示す図である。

符号の説明

[0026] 1 コンピュータ本体、 2 ディスプレイ装置、 3 FDドライブ、 4 FD、 5 キーボード、 6 マウス、 7 CD— ROM装置、 8 CD-ROM, 9 ネットワーク通信装置、 10 CP U、 11 ROM, 12 RAM, 13 ハードディスク、 21 形状データ記憶部、 22 要素分割部、 23 要素記憶部、 24 ベクトル '行列作成部、 25 Prolongation行列作成部、 26 ベクトル '行列記憶部、 27 Prolongation行列記憶部、 28 近似値演算部、 29 近似解修正部、 30 電磁界ベクトル記憶部。

発明を実施するための最良の形態

[0027] 図 1は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の外観例を示す図である。

この電磁界解析装置は、コンピュータ本体 1、ディスプレイ装置 2、 FD (Flexible Disk ) 4が装着される FDドライブ 3、キーボード 5、マウス 6、 CD-ROM (Compact Disc-Read Only Memory) 8が装着される CD— ROM装置 7、およびネットワーク通信装置 9を含む。電磁界解析プログラムは、 FD4または CD— ROM8等の記録媒体によって供給される。電磁界解析プログラムがコンピュータ本体 1によって実行されること〖こよって、電磁界解析が行なわれる。また、電磁界解析プログラムは他のコンビュータよりネットワーク通信装置 9を経由し、コンピュータ本体 1に供給されてもよい。

[0028] 図 2は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の構成例を示すブロック図である。図 1に示すコンピュータ本体 1は、 CPU (Central Processing Unit) 10、 RO M (Read Only Memory) 11、 RAM (Random Access Memory) 12およびノヽードデイスク 13を含む。 CPU10は、ディスプレイ装置 2、 FDドライブ 3、キーボード 5、マウス 6、 CD— ROM装置 7、ネットワーク通信装置 9、 ROMl l、 RAM12またはハードディスク 13との間でデータを入出力しながら処理を行う。 FD4または CD— ROM8に記録された電磁界解析プログラムは、 CPU10により FDドライブ 3または CD— ROM装置 7 を介してハードディスク 13に格納される。 CPU10は、ハードディスク 13から適宜電磁界解析プログラムを RAM12にロードして実行することによって、電磁界解析が行なわれる。 [0029] 図 3は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の機能的構成を示すブロック図である。電磁界解析装置は、解析対象の形状データを記憶する形状データ記憶部 21と、形状データを要素の大きさを変えて分割する要素分割部 22と、要素分割部 22によって分割された要素を記憶する要素記憶部 23と、連立 1次方程式におけるべタトルおよび行列を作成するベクトル ·行列作成部 24と、 Prolongation行列を作成する Prolongation行列作成部 25と、ベクトル '行列作成部 24によって作成されたべタトルおよび行列を記憶するベクトル ·行列記憶部 26と、 Prolongation行列作成部 25〖こよって作成された Prolongation行列を記憶する Prolongation行列記憶部 27と、電磁界ベクトルの近似値を演算する近似値演算部 28と、近似値演算部 28によって演算された近似解を修正する近似解修正部 29と、近似解修正部 29によって修正された後の近似解を電磁界ベクトルとして記憶する電磁界ベクトル記憶部 30とを含む。

[0030] なお、形状データ記憶部 21、要素記憶部 23、ベクトル '行列記憶部 26、

Prolongation行列記憶部 27および電磁界べクトル記憶部 30は、図 2の RAM 12またはハードディスク 13内の所定領域に設けられる。また、要素分割部 22、ベクトル '行列作成部 24、 Prolongation行列作成部 25、近似値演算部 28および近似解修正部² 9のそれぞれの機能は、図 2に示す CPU10が RAM12にロードされた電磁界解析プログラムを実行すること〖こよって実現される。

[0031] 図 4は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の処理手順を説明するためのフローチャートである。まず、要素分割部 22は、形状データ記憶部 21に記憶される解析対象の形状データを読取り、形状データを要素に分割し、分割した後の要素を要素記憶部 23に保存する（S l l)。要素分割部 22は、 2次元解析の場合には形状データを三角形または四角形の要素に分割し、 3次元解析の場合には形状データを四面体、三角柱または四角柱に分割する。

[0032] 要素分割部 22は、形状データを要素の大きさを変えて分割する。ここでは説明を簡単にするために、 2種類の大きさの要素を作成するものとし、大きい方の (粗い）要素の集合を Ω ^εとし、小さい方の（細かな）要素の集合を Q ^Fとする。なお、添え字まし oarse 表し、 Fは Fine 表してヽる。

[0033] Ω ^eと Ω ^Fとを独立に作成してもよ!/、が、まず Ω ^cを作成し、それを細分化して Ω ^Fを作成した方が処理時間を短縮できる。細分ィ匕の方法には、体積の大きな要素を再分割する方法と、 Ω。を用いて解析を行ない、誤差の大きい要素を再分割する方法とがある。いずれを使用してもよいが、誤差を評価する方法の方が計算精度は良い。なお、誤差を評価する方法は、文献 1 (神谷紀生他、 "コンビユートロール、特集 Ζソフトゥェァの誤差評価とァダプティブ要素， "Νο.42,コロナ社， 1993)を参照されたい。

[0034] 図 5Α— 5Βは、マイクロストリップラインにおける要素分割の一例を示す図である。

図 5Αは、マイクロストリップラインを大きい要素に分割したところを示している。また、図 5Βは、図 5Αに示す大きい要素で解析を行ない、誤差を評価して細分化したところを示している。電極の端に電磁界が集中するため、その部分が細力べ再分割されている。

[0035] 次に、ベクトル.行列作成部 24は、要素記憶部 23に記憶される要素 Ω ^εと Q ^Fとを読込み、 Maxwell方程式に有限要素法を適用してそれらを要素で離散化し、連立 1次方程式における行列および列ベクトルを作成する（S 12)。ここで、対象にしている Maxwell方程式は次式によって表される。

[0036] [数 1]

W x H = (& + ]ωέ)Ε ■■■(!)

ν Ε = -]ωμΗ 〜(2)

ここで、 Ε ：電界、 Η ：磁界、 ^ ：誘電率、 β ：透磁率、 ά ：導電率、 α? ：角周波数、マは微分演算子（3/&，3/¾ ,5/ &)、 Xは外積、ブは虚数を意味する。

[0037] これらの式から、次の微分方程式が得られる。

[0038] [数 2]

wは電界、磁界、ベクトルポテンシャルなどを表わし、とは誘電率や透磁率の物性値を表わす。たとえば、式（2 ) を式（ 1 ) に代入して Hを削除して式 ( 3 ) を作成した場合は、 Wは電界、は透磁率の逆数、は誘電率になる。

[0039] 以上の前工程で作成した要素 Vに対して有限要素法を適用すると次式が得られる

[0040] [数 3] (V x N_kl)p N_klqudV = (N_kl x pV x "). ndS

…(

[0041] ここで、 3 Vは Vの表面であり、 nはその外向き単位法線ベクトルである。 N は補

k k ki 間関数 (形状関数、内挿関数、基底関数などとも呼ばれる。）である。四面体要素で 1 次式を使用した場合、補間関数は次式によって与えられる。

[0042] 画

lfe^v - ^V

Nw = V ） ... (₅)

[0043] ここで、 L

1一 Lは体積座標系、

4 1 I一

6 Iは辺 1の長さである。なお、体積座標 i

系の詳細については、文献 2 (T.Itoh, G.Pelosi and P.P.silvester, "Finite Element Software for Microwave Engineering, John Wiley & Sons, pplOl-125, 1996)を参照されたい。

[0044] 図 6は、四面体における電磁界 uの辺に接する成分を示す図である。電磁界 uの成分は 6つの辺に配置され、それぞれ u— uで表される。要素 Vの内部の点 Xにおけ

1 6 k

る電磁界は、式（5)と 6つの電磁界成分とを使って次式で表すことができる。

[0045] [数 5] u(x) =

[0046] 式 (6)を式 (4)に代入し、 Q ^Fの全ての要素に適用すると次の連立 1次方程式が得られる。

[0047] [数 6] A^Fu^F ^ b^F ■(7)

[0048] ここで、 uは辺に配置した電磁界を並べたベクトルであり、その次元はおよそ辺の数に等しい。行列 A^Fの成分は、次式によって作成する。

[0049] [数 7]

[0050] また、ベクトル b^Fは、次式によって作成する。

[0051] [数 8] … ）

[0052] ここで、 N^Fは Ω ^Fにある要素の数である。

[0053] ベクトル '行列作成部 24は、同様の手順で Ω ^Cに対する行列 A^eも作成し、 A^F, b^Fおよび A^eをベクトル '行列記憶部 26に保存する。式（7)の連立 1次方程式を計算して u Fを求めれば、式（6)により電磁界分布を計算でき、式（1)、（2)の Maxwell方程式が解けたことになる。

[0054] 次に、 Prolongation行列作成部 25は、前工程で作成した要素 Ω ^Fと Ω ^eとを要素記憶部 23から読込み、その幾何学情報を元に、 Q ^Fにおける電磁界ベクトル u^Fと、 Q ^c における電磁界ベクトル u^eとを関連付ける Prolongation行列 Pを作成する（S13)。この Prolongation行列によって、次式に示すように一方のベクトルから他方のベクトルを求めることができる。

[0055] [数 9] u^F = Pu^C - (10)

U^C = P^lii^F …（川

[0056] ここで、 tは転置行列を意味する。

[0057] 図 7は、 Q ^Fにおける電磁界ベクトル u^Fとにおける電磁界ベクトル u^eとの関係を示す図である。列ベクトル u^Gの j成分 u^Gは、 Ω ^ϋの要素の辺に配置されており、 Ω ¹*における位置 Xでの電磁界 u (X)は、 Ω ^cにおける補間関数 N^cを用いて次式で表すことができる。

[0058] [数 10]

=∑ N ） w^C (12)

ゾ

[0059] u^Fの i成分 u ^Fは、それが配置された辺 1における電磁界の平均値とする。すなわち、

I /の i成分 u ^Fは次式によって表される。

[0060] [数 11] u = ~ \ (x)- dl 〜（13)

[0061] ここで、 tは辺 1の単位接線ベクトルである。式（12)を式（13)に代入し、式（10)と比較すると、 Prolongation行列 Pの ij成分 Pは次式で与えられる。

[0062] [数 12]

P^-^ l N^x t.dl - 04)

[0063] Prolongation行列作成部 25は、式（14)を用いて Prolongation行列を作成して

Prolongation行列記憶部 27に保存する。

[0064] 次に、近似値演算部 28は、マルチグリッド法による連立 1次方程式を用いて電磁界ベクトル I /を計算するために、 u^Fに対する適当な初期値 V ^Fを設定する（S14)。この初期値 v ^Fは、 0であってもよい。なお、マルチグリッド法による連立 1次方程式の計算の詳細は、文献 3 (W.Briggs, V.Henson and S.McCormick, "A Multigrid Tutorial," SIAM)を参照された!、。

[0065] 次に、近似値演算部 28は、式（7)に Jacobi法、 Gauss- Seidel法または SOR法などの連立 1次方程式の定常的な反復解法を適用して、 V ^Fに含まれる誤差の高周波成分を除去する（S 15)。なお、この反復解法の詳細については、文献 4 (長谷川里美、長谷川秀彦、藤野清次訳、 "反復法 Templates,"朝倉書店， 1996)を参照されたい。

[0066] 次に、近似値演算部 28は、低周波成分を除去するために、次式を用いて Q^Fにおける残差/を Ω ^eの残差 r^eに写像する（S16)。

[0067] [数 13] r^F = b^F - A^Fv^F - 05)

尸 - (16)

[0068] 次に、近似値演算部 28は、次式（17)の連立 1次方程式を解き、修正ベクトル e^eを計算する (S 17)。

[0069] [数 14]

A^ce^c = r^c …（）

[0070] この式（17)は、 Gaussの消去法による直接法、 CG法、 GMRES法など非定常的な反復解法が使用されるが、式 (7)に比べて小さな行列なので短時間で計算することができる。なお、この反復解法の詳細については、上記文献 4を参照されたい。

[0071] 次に、近似解修正部 29は、次式（18)、（19)を用いて Ω ^εの修正ベクトルを Ω ^Ρの修正ベクトルに戻し、近似解の精度を上げる（S18)。

[0072] [数 15] e^F = Pe^c …

v^F = v^F + e^F …(

[0073] 近似解修正部 29は、再度ステップ S 15に示すスムージング（Smoothing)を数回適用して高周波成分を減衰させる（S 19)。

[0074] 以上のステップ S 15— S 19の処理がマルチグリッド法の基本的なアルゴリズムである力収束が遅い場合があるので、必要に応じて連立 1次方程式の別の反復解法を併用して収束を早める（S20)。具体的には、以上の処理を CG法、 GMRES法、 GC R法などの非定常解法の前処理として使用するか、または残差切除法などによりカロ速する。なお、残差切除法の詳細については、文献 5 (菊池他、日本機械学会論文集、 62- 604, B編， pp4076- , 1996- 12)を参照されたい。

[0075] 次に、近似解修正部 29は、式（15)の残差を評価する（S21)。残差が大きな値であれば（S21, No)、電磁界ベクトルが収束していないとして、ステップ S15に戻って以降の処理を繰返す。また、残差が十分小さな値であれば (S21, Yes)、電磁界べタトルが収束しているとして、近似解 V ^Fを電磁界ベクトル記憶部 30に保存して（S22 )、処理を終了する。

[0076] 図 8は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象である方形導波管の一例を示す図である。この方形導波管の寸法は図 8に示す通りであり、内部は空気によって満たされている。この方形導波管の電磁界解析は、四面体 1次要素を使用して行なわれる。

[0077] 図 9は、図 8に示す方形導波管を 2. 45GHzの TE10モードで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。図 9から分力るように、要素数が多くなるにしたがって、本実施の形態における電磁界解析装置を用いた場合の効果が顕著となり、要素数が 206 , 266の場合には従来の直接法に比べて約 17倍の速度となっている。

[0078] 図 10は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象であるパッチアンテナの一例を示す図である。このパッチアンテナの寸法は図 10に示す通りであり、厚み 0. 794mmで比誘電率 2. 2の誘電体基板上に形成されている。このパッチァンテナの電磁界解析は、四面体 1次要素を使用して行なわれる。

[0079] 図 11は、図 10に示すパッチアンテナを 7. 0GHzで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。図 11から分力るように、要素数が多くなるにしたがって、本実施の形態における電磁界解析装置を用いた場合の効果が顕著となり、要素数が 88, 445の場合には従来の直接法に比べて約 15倍の速度となっている。

[0080] 以上説明したように、本実施の形態における電磁界解析装置によれば、 Q ^Fにおける電磁界ベクトル u^Fと、 Ω ^cにおける電磁界ベクトル u^eとを関連付ける Prolongation行列 Pを作成し、この Prolongation行列を用いて電磁界ベクトルを計算するようにしたので、 Non-nested Meshを使用した Multigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能となった。

[0081] また、 Non-Nested Meshを使用した Multigrid法を用いて電磁界解析ができるようになったことにより、直接法を用いた電磁界解析と比較して、解析に要する時間を大幅に短縮することが可能となった。

[0082] 今回開示された実施の形態は、すべての点で例示であって制限的なものではな!/ヽと考えられるべきである。本発明の範囲は上記した説明ではなくて請求の範囲によつて示され、請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

Claims

請求の範囲

[1] 解析対象の形状データを粗い要素と細力な要素とに分割するための分割手段（22 )と、

前記分割手段（22)によって分割された粗!、要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するための作成手段（25)と、

前記作成手段（25)によって作成された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するための演算手段 (28, 29)とを含む電磁界解析装置。

[2] 前記作成手段（25)は、前記細かな要素の辺における電磁界ベクトルの要素を、前記粗い要素における補間関数を用いて表すことによって前記行列を作成する、請求項 1記載の電磁界解析装置。

[3] 前記細かな要素の辺 1の長さを I 1 I、前記細かな要素の辺 1の位置 Xにおける電磁界と前記粗い要素の辺 jにおける電磁界との関係を示す補間関数を N ^e (x)、前記細かな要素の辺 1の接線ベクトルを tとすると、前記作成手段（25)は次式によって前記行列 Pを作成する、請求項 2記載の電磁界解析装置。

[数 1]

[4] 前記演算手段（28, 29)は、連立 1次方程式の定常的な反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解に含まれる高周波成分を除去し、前記作成手段（25)によって作成された行列を用いて前記細かな要素における残差を前記粗い要素における残差に写像し、連立 1次方程式の直接法または非定常的な反復解法を適用して前記粗い要素に対する修正ベクトルを作成し、前記作成手段（25)によつて作成された行列を用いて前記粗、要素に対する修正ベクトルを前記細かな要素における修正ベクトルを求めることによって、前記細かな要素の近似解の精度を上げる、請求項 1一 3のいずれかに記載の電磁界解析装置。

[5] 解析対象の電磁界を解析する電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのコンピュータ ·プログラムであって、

前記コンピュータは、分割した要素を記憶する第 1の記憶手段（23)と、行列を記憶する第 2の記憶手段（27)とを含み、

前記電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とに分割して前記第 1の記憶手段（23)に記憶するステップと、

前記第 1の記憶手段（23)に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して前記第 2の記憶手段（27)に記憶するステップと、

前記第 2の記憶手段（27)に記憶された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含む、コンピュータ 'プログラム。

解析対象の電磁界を解析する電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータで読取り可能な記録媒体であって、

前記第 2の記憶手段（27)に記憶された行列を参照しながら、連立 1次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含む、コンピュータで読取り可能な記録媒体。