WO2004044790A1 - Procede pour evaluer une grandeur physique representative d'une interaction entre une onde et un obstacle - Google Patents

Procede pour evaluer une grandeur physique representative d'une interaction entre une onde et un obstacle Download PDF

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WO2004044790A1
WO2004044790A1 PCT/FR2003/003323 FR0303323W WO2004044790A1 WO 2004044790 A1 WO2004044790 A1 WO 2004044790A1 FR 0303323 W FR0303323 W FR 0303323W WO 2004044790 A1 WO2004044790 A1 WO 2004044790A1
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wave
obstacle
matrix
sources
values
Prior art date
Application number
PCT/FR2003/003323
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English (en)
Inventor
Dominique Placko
Nicolas Liebeaux
Tribikram Kundu
Original Assignee
Centre National De La Recherche Scientifique -Cnrs-
Universite Paris Sud (Paris 11)
University Of Arizona
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Filing date
Publication date
Application filed by Centre National De La Recherche Scientifique -Cnrs-, Universite Paris Sud (Paris 11), University Of Arizona filed Critical Centre National De La Recherche Scientifique -Cnrs-
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Priority to AU2003290161A priority patent/AU2003290161A1/en
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/23—Design optimisation, verification or simulation using finite element methods [FEM] or finite difference methods [FDM]

Definitions

  • the invention relates to the modeling of the interactions between an incident wave and an obstacle of this wave, in particular in the field of non-destructive testing.
  • a so-called "finite element” modeling method which consists in applying a tiling of the three-dimensional space surrounding the obstacle and in evaluating the aforementioned interactions for all the tiles in space.
  • the finite element calculation methods provide a solution to a problem posed in the form of partial differential equations. They are based on a representation of the study space by an assembly of finite elements, within which approximation functions are determined in terms of nodal values of the physical quantity sought.
  • the continuous physical problem therefore becomes a discrete finite element problem where the nodal quantities are the new unknowns. Such methods therefore seek to approach the global solution, rather than the original partial spatial derivative equations.
  • the discretization of the space taken into account ensures that the latter is entirely covered by finite elements (lines, surfaces ⁇ > ⁇ volume-), this operation is called “mesh" in two-dimensional space (2D) or of "paving" in three-dimensional (3D) space.
  • the elements involved are either rectangular or triangular in 2D, or parallelepipedic or tetrahedral in 3D. They can be of different sizes, distributed evenly over the surface or not.
  • the physical quantity sought such as an electrostatic potential or a pressure value
  • This border can be fictitious. Boundary conditions are imposed there. The potential is therefore unknown within the same domain.
  • a node as being a vertex of an element. The unknowns of the problem are therefore the values of the potential at each node of the whole domain.
  • FIG. 6 of the prior art represents an example of a surface, constituted by two materials Ml and M2, of different electromagnetic properties, and meshed by triangular elements each comprising three nodes Ai, Bi and Ci. L whole area is bounded by an F border.
  • the present invention improves the situation. To this end, it proposes a method for evaluating a physical quantity associated with an interaction between a wave and an obstacle, in a region of three-dimensional space, in which: a) a plurality of surface samples is determined by mesh at least part of which represents the surface of an obstacle receiving a main wave and emitting, in response, a secondary wave, and each surface sample is assigned at least one source emitting an elementary wave representing a contribution to said wave secondary, b) a matrix system is formed comprising: an interaction matrix, invertible, applied to a given region of space and comprising a number of columns corresponding to a total number of sources, a first column matrix of which each coefficient is associated with a source and characterizes the elementary wave which it emits, and a second column matrix, obtained by a multiplication of the first mat rice column by the interaction matrix and whose coefficients are values of a physical quantity representative of the wave emitted by all the sources in said given region, c) to estimate the coefficients of the first column matrix,
  • the meshing step a) relates to only one or more surfaces, while the modeling method of the "finite element" type requires paving of the whole space in the vicinity of the obstacle, which makes it possible to reduce, in the implementation of the method according to the invention, the memory resources and the calculation times required.
  • the method according to the invention applies both to a main wave emitted by a distant source and to a main wave emitted in the near field.
  • a plurality of surface samples are also determined, by mesh, representing together an active surface of the element radiating the main wave, and each sample of the active surface is assigned at least one source emitting a wave elementary representing a contribution to said main wave,
  • radioactive element are understood to mean both a transmitter of the main wave, such as a wave generator, and a receiver of the main wave, such as a sensor of this wave.
  • the physical quantity to be evaluated is a scalar quantity and, in step a), a unique source is assigned to each surface sample.
  • the physical quantity to be evaluated is a vector quantity expressed by its three coordinates in three-dimensional space, and three sources are assigned, in step a), to each surface sample.
  • the values of physical quantity chosen in step c) are a function of a predetermined coefficient of reflection and / or transmission of the main wave by each surface sample of the obstacle.
  • step c) finally corresponds to a determination of the boundary conditions at the surface of the obstacle, as an interface between two distinct environments, in particular in a heterostructure.
  • a reflection or transmission coefficient chosen is assigned to all the predetermined points on the surface of the target, and a simulation obtained by the implementation of the process within the meaning of the invention with an experimental measurement.
  • the points on the surface of the target which, in the experimental measurement, do not verify the simulation correspond to inhomogeneities or to impurities on the surface of the target.
  • the overall properties of the obstacle are known, in particular in transmission and / or in reflection.
  • this sensor being intended to analyze a target forming an obstacle of the main wave.
  • a plurality of values of the physical quantity estimated in step d) of the method within the meaning of the invention are compared, obtained for a plurality of regions of space, to select a region candidate for the arrangement of a radiating element intended to interact with the obstacle.
  • the term "radiating element” means both a sensor and a wave generator. It will thus be understood that the optimization of the position of the radiating element can also be applied to the optimization of the arrangement or of the shape of a wave generator. For example, the present invention also finds an advantageous application for the provision of loudspeakers in a closed volume delimited by obstacles, such as for example the passenger compartment of a motor vehicle.
  • FIG. 1A schematically represents the respective surfaces of a radiating element ER emitting a wave and of an obstacle OBS receiving this wave, meshed in order to evaluate a scalar quantity representative of the wave at a point M of three-dimensional space
  • FIG. 1B represents in detail a surface sample dSi corresponding to a mesh of FIG. 1A, as well as a source S ⁇ associated with the surface sample dSi;
  • FIG. 1A schematically represents the respective surfaces of a radiating element ER emitting a wave and of an obstacle OBS receiving this wave, meshed in order to evaluate a scalar quantity representative of the wave at a point M of three-dimensional space
  • FIG. 1B represents in detail a surface sample dSi corresponding to a mesh of FIG. 1A, as well as a source S ⁇ associated with the surface sample dSi
  • FIG. 1A schematically represents the respective surfaces of a radiating element ER emitting a wave and of an obstacle OBS receiving this wave, meshed
  • FIG. 2A schematically represents the respective surfaces of a radiating element ER emitting a wave and of an obstacle OBS receiving this wave, meshed in order to evaluate a vector quantity representative of the wave at a point M of three-dimensional space ;
  • FIG. 2B represents in detail a surface sample dSi corresponding to a mesh of FIG. 2A, as well as three associated sources SAi, SBi and SCi;
  • FIG. 2C represents, in front view, a mesh surface of which each surface sample comprises three sources SAj., SBi and SCi, for the estimation of a vector quantity;
  • FIG. 3A represents, by way of illustration, the armatures of a capacitor, of respective electrical potentials VI and V2, for the estimation of an electrical potential at point M of the three-dimensional space, at each surface sample dSi of the FIG. 3A being associated with a single source Si;
  • FIG. 3B represents, by way of illustration, the armatures of a capacitor, of respective electric potentials VI and V2, for the estimation of an electric field E (M), at point M of the three-dimensional space, at each sample dSi surface of Figure 3B being associated three sources SAi, SBi and SCi; / 044790
  • FIG. 4A represents, like FIGS. 1A and 2A, an interaction between a radiating element ER and an obstacle OBS, to evaluate a physical quantity
  • FIG. 4B complementary to FIG.
  • FIG. 4A represents a transmission by the obstacle OBS of the wave emitted by the radiating element ER, at a point M of a half-space delimited by the plane formed by the surface of the OBS obstacle;
  • - Figure 5A schematically shows an obstacle OBS, of finite dimensions, with sources associated with the surface samples arranged to estimate a quantity representative of a reflection of the wave on one obstacle;
  • - Figure 5B in addition to Figure 5A, schematically shows an obstacle OBS, of finite dimensions, with the sources associated with the surface samples arranged to estimate a quantity representative of the transmission of the wave by the obstacle;
  • - Figure 5C shows a simulation of an ultrasonic wave emitted by a radiating element ER and propagating towards an obstacle OBS;
  • FIG. 6 represents a mesh of three-dimensional media, for the application of a calculation method by "finite elements", within the meaning of the state of the art
  • FIG. 7A shows in detail a surface element and an observation point M, the relative positions of which are identified by an angle ⁇ ;
  • FIG. 7B schematically represents a surface to be meshed with a complex shape, in particular with an observation point M located in a gray area with respect to certain sources of the surface.
  • FIG. 1A on which the surface of an obstacle OBS, receiving a wave, is meshed according to a plurality of surface samples dSi to dS, in accordance with step a) above.
  • each surface sample dSi is associated with a hemisphere HEMi, tangent to the surface sample dSi at a contact point Pi.
  • this contact point Pi corresponds to the top of the hemisphere HEMi.
  • a scalar physical quantity at point M such as an electrostatic potential, an acoustic pressure or the like
  • a single source Si is associated with the surface sample dSi.
  • the hemisphere HE i is constructed as described below.
  • the surface of the obstacle OBS is evaluated, on the one hand, and, on the other hand, a number of surface samples dSi is chosen according to the desired precision of the estimation. of the physical quantity at point M.
  • the surface of a sample dSi is given by S D / N, where S Q corresponds to the total surface of the obstacle and N corresponds to the chosen number of surface samples dSi.
  • the HEM hemisphere has the same area as the dSi sample.
  • the radius Ri of the hemisphere is deduced from the expression:
  • Each mesh represented by a surface sample dSi has, in the example described, a form of parallelogram, of center Pi corresponding to the point of intersection of the diagonals of this parallelogram.
  • the hemisphere HE i is tangent to the surface sample dSi at this point Pi.
  • the meshes can be of different shape, triangular or other. It is indicated in a general way that the point Pi corresponds to the barycenter of the mesh.
  • the surface of a radiating element ER corresponding for example to a wave generator, is further meshed.
  • the surface of a radiating element ER corresponding for example to a wave generator
  • step b) The matrix system that is shaped in step b) above corresponds to:
  • the interaction matrix F comprises coefficients Ci, j whose general expression is given by:
  • the coefficients of the matrix F are interaction coefficients which depend on the distance separating each point of space i from a source Sj associated with a mesh dSj.
  • ⁇ 0 is a dielectric constant
  • MjS j is a distance measured in algebraic value
  • - qj corresponds to an electric charge characterizing a source Sj
  • - Ui corresponds to an electric potential at point Mi.
  • - ⁇ 0 corresponds to the magnetic peimédbiiic ⁇ of the medium where the point Mi is located, - ⁇ j corresponds to the magnetic flux associated with the source s 3 ; ⁇ corresponds to the magnetic potential at point i.
  • ⁇ is the pulsation of the sound wave
  • - p is the density of the medium in which point i is located
  • the vector V j corresponds to the sound speed coming from the source Sj
  • k corresponds to the wave vector of the sound wave
  • Pi corresponds to the sound pressure generated by the propagation of the ultrasonic wave at point Mi.
  • the term dSj corresponds to the surface of the sample associated with the source Sj.
  • the coefficients of the interaction matrix F are expressed by with the indices i and j correspond respectively to the i th row and the j th column of the interaction matrix F.
  • This interaction matrix comprises, for the determination of the values associated with the sources Vj, N rows and N columns, by recalling that N is the total number of meshes on the surface of the obstacle; the points i correspond to the top of the hemispheres HEMi of FIG. 1B.
  • step c) of the method within the meaning of the present invention corresponds to calculating a boundary condition for the points Pi, of known properties, as will be seen below.
  • the matrix system of equation [6] then becomes
  • F "1 corresponds to the inverse of the interaction matrix F; and the values V (Pi) are predetermined, as a function of the abovementioned boundary conditions.
  • the source values Vj are thus determined.
  • the interaction matrix F can have only one line of coefficients Cj, with:
  • the radiating element ER acts, itself, as an active surface re-emitting a secondary wave (for example by reflection).
  • Each source Si represents a contribution to the emission of this secondary wave.
  • F ' is the interaction matrix between the surface of the radiating element and the point M;
  • the coefficients of the matrix F ' are also a function of the distance MS'j, where S'j are the sources assigned to each surface sample dS'j of the radiating element.
  • the values of the sources of the obstacle Vj are determined according to the values of the sources of the radiating element Vj, which are themselves calculated as will be seen below with reference to FIGS. 4 ⁇ , 413, 5A and 53.
  • FIG. 2A in which three sources are assigned to each surface sample dS, with a view to estimating a vector physical physical quantity N (M), at a point M of three-dimensional space.
  • the matrix F "1 of the relation [7] must comprise three times more rows than previously.
  • the interaction matrix F must, itself, comprise three times more columns than previously and, for this purpose, one advantageously provides for three sources per mesh when it is a question of determining the coordinates in one three-dimensional space of a vector N (M).
  • the three sources SAi, SBi, SCi, allocated to a surface sample dS are of respective positions determined as indicated below.
  • the three sources SAi, SBi, SCi are coplanar and the plane comprising these three sources also comprises the base of the hemisphere HEMi.
  • the hemisphere HEMi is constructed as indicated above (of the same surface as the surface of the mesh), with however the center of the hemisphere which here corresponds to the barycenter of the three sources SAi, SBi and SCi.
  • center of the hemisphere is meant the center of the disc which constitutes the base of the hemisphere.
  • the three sources which are attributed to the surface sample dSi are arranged at the vertices of an equilateral triangle whose barycenter Gi corresponds to the center of the hemisphere.
  • each source SAi, SBi and SCi is arranged on the middle of a radius Ri of the hemisphere.
  • the lines which connect the barycenter Gi to each source are angularly spaced by 120 °.
  • the angular orientation of the triangles formed by the source triplets is chosen randomly, from one surface sample to another.
  • this avoids overperiodicity artifacts in the estimation of the vector quantity at point M, which could result from the choice of the same angular orientation of these triangles.
  • the vector quantity N (M) to be estimated can be:
  • the matrix system is shaped according to the following relationship:
  • interaction matrix Fy is of dimensions 3Nx3N, where N is the total number of surface samples.
  • the interaction matrix is expressed here by the relation:
  • the values v ⁇ j associated with each source S ⁇ j are thus determined, by applying boundary conditions to the values of the vector N at points Pi. These boundary conditions impose a value of the vector V, according to its three coordinates V x (P ⁇ ), V y (Pi) and V z (Pi).
  • N (M) N x (M) x + N y (M) y + N 2 (M) z [14]
  • V Z (M) ⁇ f_ [ ⁇ d (M, S ⁇ j ))].
  • x, y and z correspond to unit vectors carried by the x, y and z axes of three-dimensional space.
  • the interaction matrix Fy when applied to any point M in space, ultimately comprises only three lines each associated with a coordinate of space x, y or z.
  • the values of the sources v ⁇ j are, as before, an electric charge for an electric wave, a magnetic flux for a magnetic wave, a speed of sound for an ultrasonic wave.
  • V (M) being the scalar quantity previously calculated by equation [8].
  • N the coefficients of the interaction matrix F are there inversely proportional to the square of a distance separating each source from point M
  • V the coefficients of the interaction matrix F are simply inversely proportional to this distance.
  • Each distance implies one of the sources of a triplet of a surface sample and a point M in space.
  • the interaction matrix Fy then has 3 ⁇ columns when it is a question of taking three sources per surface sample, while the interaction matrix F for the estimation of the scalar quantity only had N columns since only one source per surface sample was required.
  • step a) first consists of meshing the respective surfaces of the two reinforcements. In the example shown in figuxe 3A, only two meshes have been shown for each frame, simply by way of illustration.
  • step b) consists in formatting the matrix system involving the interaction matrix F and the column vector comprising the values of the sources Si to S 4 .
  • the multiplication of these two matrices makes it possible to obtain a column vector comprising the values of the potential at one or more points M in space.
  • step c) of the method according to the invention consists in applying the matrix system to the contact points of the hemispheres Pi to P 4 , of each surface sample dSi to dS 4 .
  • the boundary condition requires that the value of the potential at the contact points P_ and P 2 corresponds to the potential VI of the first armature.
  • the electrical potential at the contact points P 3 and P 4 corresponds to the electrical potential of the second armature V2.
  • the electric wave is totally reflected by the surface of an obstacle (for example one of the two reinforcements)
  • the electric field at a contact point Pi is normal to the surface dSi and its components E x and E y are zero.
  • the surface of the reinforcement were only represented by a single surface sample with three sources, the values of its sources vA, vB and vC would all be equal to each other at the same value + q. 29
  • the reflection coefficient is practically zero at the surface dS ⁇
  • the component of the electric field E z at the point Pi is zero, which corresponds well to the case where the field is substantially tangent to the surface dSi.
  • the values of its sources vA, vB and vC would be respectively, for example, + q, + q and -2q.
  • the magnetic fluxes of the three sources associated with this surface sample would be + ⁇ , + ⁇ and -2 ⁇ .
  • this approach assumes that the reflection coefficient R of an obstacle is known beforehand.
  • a matrix R which is representative of the reflection coefficient at each point Pi.
  • F (P) is the interaction matrix of the OBS obstacle applied to the points Pi of the surface of the OBS obstacle;
  • F (P ') is the interaction matrix of the obstacle OBS applied to the points P'i of the surface of the radiating element ER;
  • F '(P) corresponds to the interaction matrix of the radiating element ER applied to the points Pi of the surface of the obstacle OBS;
  • F '(P') corresponds to the interaction matrix of the radiating element ER applied to the points Pi of the surface of the radiating element ER; - v 'corresponds to the column vector comprising the values of the sources S' i of the radiating element ER; and v corresponds to the column vector containing the values of the sources Si of the obstacle OBS.
  • the contribution of the wave emitted by the radiating element ER is expressed by:
  • V (P) F (P) .v [20]
  • the secondary wave simply corresponds to a reflection of the main wave. What is expressed by the relationship:
  • R corresponds to a reflection matrix each coefficient of which represents the contribution to the emission, by reflection, of the secondary wave, by each source Si (or S ⁇ i, within the framework of an estimation of a vector quantity) of the OBS obstacle.
  • V T (P) ' , [F (P) Y 1 . R. [F '(P)] + F' (P) ') .v' [10]
  • the coefficients of the reflection matrix are determined as in the example “ ⁇ given below for an ultrasonic wave; - as a function of boundary conditions on the radiating element (whose behavior is generally known for a given problem), the values of the vector V ⁇ (P r ) are determined at the points P'i of the surface of the radiating element and the values of the sources S'i of the radiating element are deduced therefrom by inversion of the relation [10]; the values of the sources S of the obstacle are also deduced therefrom by application of the relation [22];
  • the obstacle OBS simply represents an interface between two media Ml and M2, thus forming a diopter which can be plane, as represented in the example of FIG. 4A, but also curved or of any general shape.
  • the reflection coefficients Ri associated with each point Pi depend, within the framework of the propagation of an ultrasonic or electromagnetic wave of high frequency, on the angle of incidence ⁇ i of the ray coming from the source Si, at the point of the three-dimensional space M. 4/044790
  • Ci is the speed of sound in the medium Mi
  • c 2 is the speed of sound in the medium M 2 ;
  • the wave received by point M is a wave transmitted by the obstacle OBS.
  • the sources of the radiating element ER are no longer active, due to the occultation of the radiating element ER by the obstacle OBS.
  • the reasoning applies as before with a boundary condition imposed on points Pi by the values of the transmission coefficients Ti associated with each point Pi.
  • each transmission coefficient Ti is given by the relation:
  • cos ⁇ i can be determined as a function of the respective coordinates of the sources Si and of the point M.
  • each coefficient Ti, j or Ri, j of the matrix T or of the matrix R (where i corresponds to the i th row and j corresponds to the j th column) is expressed as a function of an angle? i j between a normal to the surface of the obstacle at point Pi and a passing line by the point Pi and by a source S j .
  • the hemispheres HEMi are oriented towards the outside of the obstacle (figure 4A); - for a transmission of the main wave in the obstacle, the HEMi hemispheres are oriented towards the interior of the obstacle ( Figure 4B).
  • FIG. 5A we now refer to FIG. 5A to describe the case of a plane obstacle OBS of finite dimensions, excited by a radiating element ER, inclined at a predetermined angle relative to the obstacle OBS.
  • the inclination of the radiating element will be taken into account to calculate the contribution of the wave emitted by the radiating element at point M.
  • a surface which includes the surface of the obstacle FIG. 5A.
  • sources S 'i of the radiating element ER sources SOi, which return the secondary wave, by reflection from the obstacle OBS, as a function of a certain reflection coefficient R of the obstacle; and - sources SSi, which do not return a secondary wave and to which a zero reflection coefficient can be assigned if the obstacle separates two media of identical indices.
  • these sources SSi are considered as "extinct" in the section of the aforementioned space and are not taken into account in the calculations of the physical quantity at point M in FIG. 5A.
  • these sources SSi can be active by reflection of the main wave if the obstacle OBS separates two media of different indices.
  • the three-dimensional space can thus be divided by interfaces delimiting environments of distinct properties, each interface representing an obstacle within the meaning of the present invention.
  • the above method can be applied for successive sections of space by considering two interfaces: one representing a "radiating element" in the sense of FIGS. 4A and 5A, for example by transmission of a received wave, and the other representing an obstacle receiving the transmitted wave.
  • account is taken, for each slice of the space, of the contributions of all the interfaces as expressed by the relations [10] and [22].
  • the scalar product SM.r is tested at each iteration with respect to a source S, for example in the form:
  • r is the vector connecting the source S to the point of contact P of the half sphere with the surface element dS considered, in the case where only one source is provided per hemisphere.
  • the base of the vector r is preferably located at the barycenter of the three sources SI, S2, S3.
  • the calculation of the scalar product concerns each source Si of the triplet SI, S2, S3.
  • the test relates to a quantity of the type: S .r
  • this approach advantageously makes it possible to systematize any configuration of the sources relative to the observation point M, by simply introducing an additional test step, at each iteration on a source S, of the position of this source S relative to the point M, as indicated above.
  • This approach proves to be particularly advantageous for surfaces to be meshed which are relatively complex, in particular when the observation point M is likely to be located in a gray area with respect to certain sources, as shown in FIG. 7B.
  • the half-spheres associated with the sources in the shadow zone of the observation point M have been represented in dotted lines, and for which, therefore, the contribution is fixed as being zero in the estimated interaction .
  • a second test determines whether the vector SM crosses a sampled surface or not. In if so, this source is considered to be inactive specifically for the point M region.
  • the method within the meaning of the invention preferably provides at least one additional step, for each surface sample, of testing the value of a scalar product between:
  • the aforementioned predetermined threshold is of course the value 0 and we simply distinguish the cases where the dot product is positive or negative.
  • the simulation of FIG. 5C corresponds, for an ultrasonic wave, to the situation of FIGS. 5A and 5B taking into account: the contribution of the emission of the main wave by the radiating element ER; the contribution of the reflection of this main wave by the obstacle; and the contribution of the main wave transmission by the obstacle.
  • the level lines in FIG. 5C correspond to different levels of sound pressure.
  • the radiating element ER is placed 10 mm from the obstacle OBS and inclined by 20 ° relative to the latter. We notice in particular interference fringes in a zone between the obstacle OBS and the radiating element ER.
  • Such a simulation can advantageously indicate an ideal position for an ultrasonic sensor.
  • These ultrasonic sensors usually include a transducer as an active radiating element and a detector for measuring the ultrasonic waves received.
  • the simulation of FIG. 5C can thus also indicate the ideal shape of an ultrasonic sensor, according to the desired applications, for a given shape of obstacle.
  • the simulation of FIG. 5C was carried out by means of a matrix calculation programmed using the calculation software.
  • the total number of meshes chosen for the obstacle and for the radiating element (here, a few hundred in all) is then optimized: on the one hand, to limit the duration of the calculations; and on the other hand, so that the size of the meshes remains lower than half a wavelength, so as to check the criterion of Rayleigh.
  • the present invention can thus be manifested by the implementation of a succession of instructions for a computer program product stored in the memory of a hard disk or on a removable medium and taking place as follows: choice of a mesh pitch in particular as a function of the wavelength of the main wave;
  • the present invention also relates to such a computer program product, stored in a central unit memory or on a removable medium suitable for cooperating with a reader of this central unit, and comprising in particular instructions for setting up implements the method according to the invention.
  • the present invention is not limited to an application for non-destructive testing, but to any type of application, in particular in medical imaging, for example for the study of microsystems implementing acoustic microscopy with movable mirrors.
  • the present invention applies to an interaction with several obstacles. To this end, it is simply necessary to mesh the surfaces of these obstacles and to add their contribution for the estimation of a vector or scalar quantity at any point in space.
  • the surface of the obstacle OBS can be flat, or even curved, or of any complex shape.
  • a simulation equivalent to that shown in FIG. 5C would make it possible to position sensors and / or radiating elements as a function of the configuration of these obstacles, in particular for an application to determining the position of loudspeakers in a partitioned passenger compartment, such as a passenger compartment of a motor vehicle.
  • the three-dimensional space can be divided into a plurality of regions, as described above with reference in Figures 4A, 4B, 5A and 5B.
  • the incidence of the main wave on this surface must preferably remain lower or equal to 90 °.

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Abstract

L'invention concerne la modélisation des interactions entre une onde incidente et un obstacle, notamment dans le domaine du contrôle non destructif. Selon l'invention, on maille la surface de l'obstacle et l'on attribue au moins une source (Si) à chaque élément de surface (dSi). On calcule ensuite des conditions aux limites en chaque maille de l'obstacle et l'on en déduit des valeurs de source. A partir d'une matrice d'interaction et de ces valeurs de sources, on estime une grandeur physique représentative de l'interaction entre l'onde et l'obstacle, en tout point de l'espace.

Description

Procédé pour évaluer une grandeur physique représentative d'une interaction entre une onde et un obstacle
L'invention concerne la modélisation des interactions entre une onde incidente et un obstacle de cette onde, notamment dans le domaine du contrôle non destructif.
La modélisation des interactions entre une onde et un obstacle recevant cette onde, tel qu'une cible placée dans la zone sensible d'un capteur, trouve une application avantageuse en contrôle non destructif .
On connaît un procédé de modélisation dit "par éléments finis" consistant à appliquer un pavage de l'espace tridimensionnel entourant l'obstacle et à évaluer les interactions précitées pour tous les pavés de l'espace.
Les procédés de calcul par "éléments finis" apportent une résolution à un problème posé sous forme d'équations différentielles partielles. Ils se fondent sur une représentation de l'espace d'étude par un assemblage d'éléments finis, à l'intérieur desquels des fonctions d'approximations sont déterminées en termes de valeurs nodales de la grandeur physique recherchée. Le problème physique continu devient donc un problème discret aux éléments finis où les grandeurs nodales sont les nouvelles inconnues. De tels procédés cherchent donc à approcher la solution globale, plutôt que les équations aux dérivées spatiales partielles de départ. La discrétisation de l'espace pris en compte assure que ce dernier soit entièrement recouvert par des éléments finis (lignes, surfaces <~>π volume-) , cette opération porte le nom de "maillage" dans l'espace bidimensionnel (2D) ou de "pavage" dans l'espace tridimensionnel (3D) . Les éléments mis en jeu sont soit rectangulaires ou triangulaires en 2D, soit parallélépipédiques ou tétraédriques en 3D. Ils peuvent être de tailles différentes, répartis uniformément sur la surface ou non.
En général, la grandeur physique recherchée, telle qu'un potentiel électrostatique ou une valeur de pression, est connue sur la frontière du domaine. Cette frontière peut être fictive. On y impose des conditions aux limites. Le potentiel est donc inconnu à l'intérieur du même domaine. On définit alors un nœud comme étant un sommet d'un élément . Les inconnues du problème sont donc les valeurs du potentiel en chaque nœud de l'ensemble du domaine.
A titre d'illustration, la figure 6 de l'art antérieur représente un exemple de surface, constituée par deux matériaux Ml et M2, de propriétés électromagnétiques différentes, et maillée par des éléments triangulaires comportant chacun trois nœuds Ai, Bi et Ci. L'ensemble du domaine est délimité par une frontière F.
Une fois le maillage défini, plusieurs approches existent pour transformer la formulation physique du problème en une modélisation discrète aux éléments finis . Si le problème est formulé par des équations différentielles et consiste à minimiser une fonctionnelle, on applique généralement une méthode variationnelle. Cette transformation aboutit à une formulation matricielle dont la résolution donne les solutions nodales, les solutions aux points non nodaux étant obtenues par interpolation linéaire.
Néanmoins, de tels calculs, en trois dimensions, requièrent des ressources informatiques importantes et génèrent des temps de calcul très longs, en dépit de l'accroissement des performances de logiciels permettant d' implémenter ces calculs.
Certes, les problèmes 2D, souvent simplifiés par des conditions de symétrie avantageuses pour ne modéliser qu'une partie de la géométrie, se résolvent rapidement. Mais il n'en est rien pour les problèmes 3D, qui sont les plus fréquents . La figure 6 montre combien la finesse du maillage, c'est à dire le rapport entre la taille d'un élément et celle du plus petit détail du domaine, fait croître le nombre de nœuds.
En conséquence, la quantité d'équations et d'inconnues augmente proportionnellement, et, de là, le temps de calcul nécessaire à la résolution du problême. Il est important de préciser que la génération du maillage, à savoir la discrétisation de l'espace de travail, et la génération de la liste des nœuds consomme un temps de calcul supérieur à celui nécessaire à la résolution du problème .
La présente invention vient améliorer la situation. Elle propose à cet effet un procédé pour évaluer une grandeur physique associée à une interaction encre une onde et un obstacle, dans une région de l'espace tridimensionnel, dans lequel : a) on détermine, par maillage, une pluralité d'échantillons de surface dont une partie au moins représente la surface d'un obstacle recevant une onde principale et émettant, en réponse, une onde secondaire, et l'on attribue à chaque échantillon de surface au moins une source émettant une onde élémentaire représentant une contribution à ladite onde secondaire, b) on forme un système matriciel comportant : une matrice d'interaction, inversible, appliquée à une région donnée de 1 ' espace et comportant un nombre de colonnes correspondant à un nombre total de sources, une première matrice colonne dont chaque coefficient est associé à une source et caractérise l'onde élémentaire qu'elle émet, et une seconde matrice colonne, obtenue par une multiplication de la première matrice colonne par la matrice d'interaction et dont les coefficients sont des valeurs d'une grandeur physique représentative de l'onde émise par l'ensemble des sources en ladite région donnée, c) pour estimer les coefficients de la première matrice colonne, on affecte des valeurs de grandeur physique choisies à des points prédéterminés, associés chacun à un échantillon de surface, lesdites valeurs choisies étant rangées dans la seconde matrice colonne, et l'on multiplie cette seconde matrice colonne par 1 ' inverse de la matrice d'interaction appliquée auxdits points prédéterminés, d) pour évaluer la^"1' te grandeur physique représentant l'onde émise par l'ensemble des sources dans une région donnée de l'espace tridimensionnel, on applique la matrice d'interaction à ladite région donnée et on multiplie cette matrice d'interaction par la première matrice colonne comportant les coefficients estimés à l'étape c) .
Ainsi, selon l'un des avantages que procure la présente invention, l'étape de maillage a) ne concerne qu'une ou plusieurs surfaces, tandis que le procédé de modélisation de type "par éléments finis" nécessite un pavage de tout l'espace avoisinant l'obstacle, ce qui permet de réduire, dans la mise en œuvre du procédé selon l'invention, les ressources mémoires et les temps de calcul nécessaires.
Le procédé selon l'invention s'applique aussi bien à une onde principale émise par une source lointaine qu'à une onde principale émise en champ proche.
Avantageusement, pour évaluer une grandeur physique représentative d'une interaction entre un élément rayonnant une onde principale en champ proche et un obstacle recevant cette onde principale,
- à l'étape a), on détermine en outre, par maillage, une pluralité d'échantillons de surface représentant ensemble une surface active de l'élément rayonnant l'onde principale, et l'on attribue à chaque échantillon de la surface active au moins une source émettant une onde élémentaire représentant une contribution à ladite onde principale,
- on applique les étapes b) , c) et d) aux échantillons de la surface active, et - on évalue ladite grandeur physique représentant l'interaction entre l'élément rayonnant et l'obstacle dans une région donnée de l'espace tridimensionnel, en prenant en compte la contribution, en ladite région donnée, de l'onde principale émise par l'ensemble des sources de la surface active et la contribution de l'onde secondaire émise par l'ensemble des sources de la surface de
1 ' obstacle.
On entend par les termes "élément rayonnant" aussi bien un émetteur de l'onde principale, tel qu'un générateur d'ondes, qu'un récepteur de l'onde principale, tel qu'un capteur de cette onde .
Dans un premier mode de réalisation, la grandeur physique à évaluer est une grandeur scalaire et, à l'étape a), on attribue une source unique à chaque échantillon de surface.
Dans un second mode de réalisation, la grandeur physique à évaluer est une grandeur vectorielle exprimée par ses trois coordonnées dans l'espace tridimensionnel, et on attribue, à l'étape a), trois sources à chaque échantillon de surface.
Dans une réalisation avantageuse, pour estimer, à l'étape d) , la contribution de l'onde secondaire dans la région donnée de l'espace, les valeurs de grandeur physique choisies à l'étape c) sont fonction d'un coefficient prédéterminé de réflexion et/ou de transmission de l'onde principale par chaque échantillon de surface de l'obstacle.
Ainsi, on comprendra que l'onde secondaire peut aussi bien correspondre à une réflexion de l'onde principale, qu'à une transmission de l'onde principale, ou encore à une diffraction de l'onde principale. Dans cette réalisation avantageuse, l'étape c) correspond finalement à une détermination des conditions aux limites à la surface de l'obstacle, en tant qu'interface entre deux milieux distincts notamment dans une hétérostructure.
Par ailleurs, pour un contrôle non destructif d'une cible formant un obstacle d'une onde principale, on attribue un coefficient de réflexion ou de transmission choisi à tous les points prédéterminés de la surface de la cible, et on compare une simulation obtenue par la mise en œuvre du procédé au sens de 1 ' invention avec une mesure expérimentale. Ainsi, les points de la surface de la cible qui, dans la mesure expérimentale, ne vérifient pas la simulation correspondent à des inhomogénéités ou à des impuretés sur la surface de la cible.
Dans une autre approche, on connaît les propriétés globales de l'obstacle, notamment en transmission et/ou en réflexion. Par la mise en œuvre du procédé de l'invention, on optimise alors la position dans l'espace d'un capteur ou même la forme de ce capteur, pour une application à un 4/044790
contrôle non destructif, ce capteur étant destiné à analyser une cible formant un obstacle de l'onde principale.
A cet effet, dans une réalisation avantageuse, on compare une pluralité de valeurs de la grandeur physique estimée à l'étape d) du procédé au sens de l'invention, obtenues pour une pluralité de régions de l'espace, pour sélectionner une région candidate pour la disposition d'un élément rayonnant destiné à interagir avec l'obstacle.
Comme indiqué ci-avant, on entend par les termes "élément rayonnant" aussi bien un capteur qu'un générateur de l'onde. On comprendra ainsi que l'optimisation de la position de l'élément rayonnant peut s'appliquer aussi à l'optimisation de la disposition ou de la forme d'un générateur d'ondes. Par exemple, la présente invention trouve encore une application avantageuse à la disposition de haut-parleurs dans un volume fermé, délimité par des obstacles, comme par exemple l'habitacle d'un véhicule automobile.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'examen de la description détaillée ci- après, et des dessins annexés sur lesquels : la figure 1A représente schématiquement les surfaces respectives d'un élément rayonnant ER émettant une onde et d'un obstacle OBS recevant cette onde, maillées en vue d'évaluer une grandeur scalaire représentative de l'onde en un point M de l'espace tridimensionnel ; la figure 1B représente en détail un échantillon de surface dSi correspondant à une maille de la figure 1A, ainsi qu'une source S± associée l'échantillon de surface dSi ; la figure 2A représente schématiquement les surfaces respectives d'un élément rayonnant ER émettant une onde et d'un obstacle OBS recevant cette onde, maillées en vue d'évaluer une grandeur vectorielle représentative de l'onde en un point M de l'espace tridimensionnel ; la figure 2B représente en détail un échantillon de surface dSi correspondant à une maille de la figure 2A, ainsi que trois sources associées SAi, SBi et SCi ; la figure 2C représente, en vue de face, une surface maillée dont chaque échantillon de surface comporte trois sources SAj., SBi et SCi, pour l'estimation d'une grandeur vectorielle ; la figure 3A représente, à titre illustratif, les armatures d'un condensateur, de potentiels électriques respectifs VI et V2, pour l'estimation d'un potentiel électrique au point M de l'espace tridimensionnel, à chaque échantillon de surface dSi de la figure 3A étant associée une unique source Si ; la figure 3B représente, à titre illustratif, les armatures d'un condensateur, de potentiels électriques respectifs VI et V2, pour l'estimation d'un champ électrique E(M) , au point M de l'espace tridimensionnel, à chaque échantillon de surface dSi de la figure 3B étant associée trois sources SAi, SBi et SCi ; /044790
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la figure 4A représente, comme les figures 1A et 2A, une interaction entre un élément rayonnant ER et un obstacle OBS, pour évalue une grandeur physique
(scalaire ou vectorielle) en un point M dans une portion de l'espace délimitée par la surface de l'élément rayonnant et la surface de l'obstacle, ce point de l'espace M recevant à la fois l'onde émise par l'élément rayonnant et l'onde réfléchie par 1 ' obstacle ; - la figure 4B, complémentaire de la figure 4A, représente une transmission par l'obstacle OBS de l'onde émise par l'élément rayonnant ER, en un point M d'un demi-espace délimité par le plan que forme la surface de l'obstacle OBS ; - la figure 5A représente schématiquement un obstacle OBS, de dimensions finies, avec des sources associées aux échantillons de surface agencées pour estimer une grandeur représentative d'une réflexion de l'onde sur 1 ' obstacle ; - la figure 5B, en complément de la figure 5A, représente schématiquement un obstacle OBS, de dimensions finies, avec les sources associées aux échantillons de surface disposées pour estimer une grandeur représentative de la transmission de l'onde par l'obstacle ; - la figure 5C représente une simulation d'une onde ultrasonore émise par un élément rayonnant ER et se propageant vers un obstacle OBS ; la figure 6 représente un maillage de milieux tridimensionnels, pour l'application d'un procédé de calcul par "éléments finis", au sens de l'état de la technique ; la figure 7A représente en détail un élément de surface et un point d'observation M dont les positions relative.s sont repérée- par un angle θ ; et la figure 7B représente schématiquement une surface à mailler de forme complexe, en particulier avec un point d'observation M se situant dans une zone d'ombre par rapport à certaines sources de la surface.
On se réfère tout d'abord à la figure 1A, sur laquelle la surface d'un obstacle OBS, recevant une onde, est maillée selon une pluralité d'échantillons de surface dSi à dS , conformément à l'étape a) précitée.
En se référant à la figure 1B, à chaque échantillon de surface dSi est associé un hémisphère HEMi, tangent à l'échantillon de surface dSi en un point de contact Pi.
Préferentiellement, ce point de contact Pi correspond au sommet de l'hémisphère HEMi. Pour l'estimation d'une grandeur physique scalaire au point M (tels qu'un potentiel électrostatique, une pression acoustique ou autre), une source unique Si est associée à l'échantillon de surface dSi. Comme on le verra plus loin, dans le cas de l'estimation d'une grandeur vectorielle dans un point de l'espace M, on affectera plutôt trois sources à chaque échantillon de surface dSi.
Préferentiellement, l'hémisphère HE i est construit comme décrit ci-après. Pendant l'étape de maillage a) précitée, on évalue, d'une part, la surface de l'obstacle OBS et, d'autre part, on choisit un nombre d'échantillons de surface dSi selon la précision souhaitée de l'estimation de la grandeur physique au point M. Ainsi, la surface d'un échantillon dSi est donnée par SD/N, où SQ correspond à la surface totale de l'obstacle et N correspond au nombre choisi d'échantillons de surface dSi.
L'hémisphère HEM est de même surface que l'échantillon dSi. Ainsi, le rayon Ri de l'hémisphère se déduit de l'expression :
2aR? = ^o
1 N
Chaque maille que représente un échantillon de surface dSi présente, dans l'exemple décrit, une forme de parallélogramme, de centre Pi correspondant au point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme. L'hémisphère HE i est tangent à l'échantillon de surface dSi en ce point Pi. Bien entendu, les mailles peuvent être de forme différente, triangulaire ou autre. On indique de façon générale que le point Pi correspond au barycentre de la maille.
On définit ainsi la position de la source Si (située au centre de l'hémisphère HEMi). La distance séparant la source S du point de contact Pi correspond au rayon Ri de l'hémisphère HEMi et la droite qui passe par les points Pi et S est orthogonale à la maille dSi.
Dans l'exemple représenté sur la figure 1A, on maille en outre la surface d'un élément rayonnant ER, correspondant par exemple à un générateur d'ondes. A chaque maille de la 4/044
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surface de l'élément rayonnant est associé un échantillon de surface dS'i, comme on le verra plus loin.
Le système matriciel que l'on met en forme à l'étape b) précitée correspond à :
Figure imgf000015_0001
ou les coefficients Vj (avec j=l,2,...,N) de la première matrice colonne correspondent à des valeurs associées chacune à une source, telle qu'une charge électrique (dans le cas de l'estimation d'un potentiel électrique) , ou encore à un flux magnétique (dans le cas de l'estimation d'un potentiel magnétique), ou encore à une vitesse sonore (dans le cas de l'estimation d'une pression acoustique liée à la propagation d'une onde sonore) ; les coefficients V(Mi) (avec i=l,2,...,N) de la seconde matrice colonne correspondent chacun à une valeur de la grandeur physique (un potentiel électrique ou magnétique ou une pression) à estimer en un point Mi de 1 ' espace ; la matrice d'interaction F comporte des coefficients Ci,j dont l'expression générale est donnée par :
Figure imgf000015_0002
On comprendra ainsi que les coefficients de la matrice F sont des coefficients d'interaction qui dépendent de la distance séparant chaque point de l'espace i d'une source Sj associée à une maille dSj .
Dans le cas de la propagation d'une onde électrique, les coefficients Ci,j, Vj et V(Mι) , respectivement de la matrice d'interaction de la première et de la seconde matrice colonne, sont donnés par :
Figure imgf000016_0001
Vj --- qj [3 ]
Figure imgf000016_0002
où : ε0 est une constante diélectrique,
MjSj est une distance mesurée en valeur algébrique, - qj correspond à une charge électrique caractérisant une source Sj, et - Ui correspond à un potentiel électrique au point Mi.
Dans le cas de la propagation d'une onde magnétique, l'expression de ces coefficients est la suivante :
Figure imgf000016_0003
[4]
N(Mi) = 0i OU :
- μ0 correspond à la peimédbiiicë magnétique du milieu où se situe le point Mi, - ψj correspond au flux magnétique associé à la source s3 ; θ correspond au potentiel magnétique au point i.
Dans le cadre de la propagation d'une onde ultrasonore, ces coefficients sont donnés par :
Figure imgf000017_0001
[5]
VJ = VJ
V(Mi) =Pi
dans laquelle : - i2=-l. ω est la pulsation de l'onde sonore ; - p est la densité du milieu dans lequel se situe le point i ; le vecteur Vj correspond à la vitesse sonore issue de la source Sj ; k correspond au vecteur d'onde de l'onde sonore ; et
Pi correspond à la pression acoustique générée par la propagation de l'onde ultrasonore au point Mi. Dans l'expression des coefficients cι,j. le terme dSj correspond à la surface de l'échantillon associé à la source Sj . De préférence, le maillage d'une surface au sens de l'étape a) du procédé selon l'invention, est choisi de sorte que chaque maille comporte une même surface dS=dS1=dS2=...=dSj .
On remarque en particulier dans l'expression des coefficients cι,j qu'ils dépendent du produit scalaire entre le vecteur d'onde et le vecteur MjSj . Ainsi, pour des ondes ultrasonores, on tient compte d'un déphasage entre les chemins qui lient chaque source Sj à un point de l'espace tridimensionnel M, ce déphasage étant dû à une différence de marche entre les rayons partant de chaque source et arrivant au point M (comme le montre la figure 4A) . En particulier, on comprendra que l'angle d'incidence d'un tel rayon est pris en compte dans l'expression des coefficients de la matrice d'interaction F.
Bien entendu, dans le cadre de la propagation d'une onde électromagnétique de fréquence élevée, donc de longueur d'onde courte, qui diffère du cadre électrostatique ou magnétostatique ci-avant, on tient compte du terme de propagation expîk.rj dans l'expression de la matrice d'interaction, par rapport à la géométrie du problème à résoudre, comme dans le cadre de la propagation d'une onde ultrasonore ci-avant (relation [5] ) .
Ainsi, le système matriciel de l'équation [1] permet d'estimer, à partir d'une matrice d'interaction F et d'un 17
vecteur comportant les valeurs V associées aux sources Sj , les coefficients d'un vecteur (matrice colonne) comportant les valeυrs de grandeur physique V(Mi) aux points de l'espace Mi.
Pour déterminer les valeurs des sources Vj , on applique le système matriciel suivant :
Figure imgf000019_0001
OU : les coefficients de la matrice d'interaction F s ' expriment par avec
Figure imgf000019_0002
les indices i et j correspondent respectivement à la ieme ligne et la jeme colonne de la matrice d'interaction F. Cette matrice d'interaction comporte, pour la détermination des valeurs associées aux sources Vj, N lignes et N colonnes, en rappelant que N est le nombre total de mailles à la surface de l'obstacle ; les points i correspondent au sommet des hémisphères HEMi de la figure 1B.
La mise en œuvre de l'étape c) du procédé au sens de la présente invention correspond à calculer une condition aux limites pour les points Pi, de propriétés connues, comme on le verra plus loin. Le système matriciel de l'équation [6] devient alors
Figure imgf000020_0001
OU :
F"1 correspond à l'inverse de la matrice d'interaction F ; et les valeurs V(Pi) sont prédéterminées, en fonction des conditions aux limites précitées.
On détermine ainsi les valeurs de source Vj .
A partir de l'estimation de ces valeurs de source Vj , on peut calculer la grandeur physique scalaire en un point M quelconque de l'espace tridimensionnel, à partir de la relation :
Figure imgf000020_0002
Pour obtenir cette expression de la grandeur scalaire V(M), la matrice d'interaction F peut ne comporter qu'une ligne de coefficients Cj , avec :
Cj = f(MSj) , mais comporte toujours N colonnes.
En se référant à nouveau à la figure 1A, on comprendra que la surface de l'obstacle OBS recevant l'onde qu'émet 4/044790
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l'élément rayonnant ER agit, elle-même, comme une surface active ré-émettant une onde secondaire (par exemple par réflexion) . Chaque source Si représente une contribution à l'émission de cette onde secondaire.
En outre, pour tenir compte à la fois de la présence de l'onde principale et de la présence de l'onde secondaire au point M, on estime la contribution de l'onde principale et la contribution de l'onde secondaire au point M par le système matriciel :
Figure imgf000021_0001
ou
F' est la matrice d'interaction entre la surface de 1 ' élément rayonnant et le point M ; v'j (avec j=l, 2, 3 ,...,N' ) est la valeur des sources attribuées à chaque échantillon de surface dS'j de l'élément rayonnant, N' étant le nombre total de mailles choisi pour la surface active de l'élément rayonnant ER.
Les coefficients de la matrice F' sont encore fonction de la distance MS'j, où S'j sont les sources affectées à chaque échantillon de surface dS'j de l'élément rayonnant.
Selon une caractéristique avantageuse, les valeurs des sources de l'obstacle Vj sont déterminées en fonction des valeurs des sources de l'élément rayonnant Vj, lesquelles sont elles-mêmes calculées comme on le verra plus loin en référence aux figures 4Λ, 413, 5A et 53.
On se réfère maintenant à la figure 2A, dans laquelle on affecte trois sources à chaque échantillon de surface dS , en vue d'estimer une grandeur physique vectorielle N(M) , en un point M de l'espace tridimensionnel.
En effet, on comprendra que pour estimer la grandeur vectorielle, par ses trois coordonnées dans l'espace x, y et z, le nombre d'équations à résoudre par rapport au système matriciel précédent doit être multiplié par trois. Ainsi, la matrice F"1 de la relation [7] doit comporter trois fois plus de lignes que précédemment. La matrice d'interaction F doit, elle-même, comporter trois fois plus de colonnes que précédemment et, à cet effet, on prévoit avantageusement trois sources par maille lorsqu'il s'agit de déterminer les coordonnées dans 1 ' espace tridimensionnel d'un vecteur N(M) .
En se référant à la figure 2B, les trois sources SAi, SBi, SCi, attribuées à un échantillon de surface dS sont de positions respectives déterminées comme on l'indique ci- après. Telles que représentées sur la figure 2B, les trois sources SAi, SBi, SCi sont coplanaires et le plan comportant ces trois sources comporte en outre la base de l'hémisphère HEMi. L'hémisphère HEMi est construit comme indiqué ci-avant (de même surface que la surface de la maille), avec toutefois le centre de l'hémisphère qui correspond ici au barycentre des trois sources SAi, SBi et SCi.
On entend par "centre de l'hémisphère" le centre du disque qui constitue la base de l'hémisphère.
Les trois sources qui sont attribuées à l'échantillon de surface dSi sont disposées aux sommets d'un triangle équilatéral dont le barycentre Gi correspond au centre de l'hémisphère. De préférence, chaque source SAi, SBi et SCi est disposée sur le milieu d'un rayon Ri de l'hémisphère. Ainsi, les droites qui relient le barycentre Gi à chaque source sont écartées angulairement de 120°.
En se référant à la figure 2C, l'orientation angulaire des triangles que forment les triplets de sources est choisie aléatoirement, d'un échantillon de surface à l'autre. Avantageusement, on évite ainsi des artefacts de surpériodicité, dans l'estimation de la grandeur vectorielle au point M, qui pourraient résulter du choix d'une même orientation angulaire de ces triangles.
En référence avec les différents types d'ondes indiqués précédemment, la grandeur vectorielle N(M) à estimer peut être :
- un champ électrique, dans le cadre de la propagation d'une onde électrique ;
- un champ magnétique, dans le cadre de la propagation d'une onde magnétique ; et - une vitesse du son au point M, dans le cadre de la propagation d'ondes ultrasonores. Pour déterminer les valeurs associées à chaque source SAi, SBi, SCi, on met en forme le .système matriciel selon la relation suivante :
Figure imgf000024_0001
Figure imgf000024_0003
On remarque, en particulier, que la matrice d'interaction Fy est de dimensions 3Nx3N, où N est le nombre total d'échantillons de surface. La matrice d'interaction s'exprime ici par la relation :
Figure imgf000024_0002
Les coefficients de cette matrice s'expriment par
^σV'J ~ - uï " J ;!L J j [13] avec σ = A, B , c i = 1 , 2 , ..., N j = 1. 2 , ... , N u = x, y. z .
et sont encore fonction d'une distance séparant le point de contact Pi de l'une des sources Sσj (σ = A, B ou C) d'un triplet associé à un échantillon de surface dSj .
Par inversion de la matrice d'interaction Fy , on détermine ainsi les valeurs vσj associées à chaque source Sσj, en appliquant des conditions aux limites sur les valeurs du vecteur N aux points Pi. Ces conditions aux limites imposent une valeur du vecteur V , selon ses trois coordonnées Vx(Pι), Vy(Pi) et Vz(Pi).
Une fois que ces valeurs de sources v j sont ainsi déterminées, on calcule facilement l'expression du vecteur
N en un point quelconque M de l'espace, par la relation :
N(M) = Nx(M) x + Ny(M) y + N2(M) z [14]
VχW) ≈ ∑fx[(d{M,Sσj)J. vσj
J=1,..,N σ=A,B,C
Figure imgf000026_0001
σ=A,B,C
VZ(M) = ∑f_ [{d(M,Sσj))]. vσj j=l N σ=A,B,C
x , y et z correspondent à des vecteurs unitaires portés par les axes x, y et z de l'espace tridimensionnel.
Ainsi, la matrice d'interaction Fy , lorsqu'elle est appliquée à un point quelconque M de l'espace, ne comporte finalement que trois lignes associées chacune à une coordonnée de l'espace x, y ou z.
Pour différents types d'ondes, les valeurs des sources vσj sont, comme précédemment, une charge électrique pour une onde électrique, un flux magnétique pour une onde magnétique, une vitesse du son pour une onde ultrasonore.
Plus précisément, les coefficients de la matrice d'interaction Fy se déterminent à partir des relations [3] , [4] et [5] précédentes en précisant toutefois que :
N(M) = -grâd[N(M)] [15]
V(M) étant la grandeur scalaire calculée précédemment par l 'équation [8] . Ainsi, pour l'estimation d'une grandeur vectorielle N au point M et pour les types d'onde cités ci-avant à titre d'exemple (électrique, magnétique et ultrasonore), les coefficients de la matrice d'interaction Fy sont inversement proportionnels au carré d'une distance séparant chaque source du point M, alors que pour l'estimation d'une grandeur scalaire V en un point M de l'espace, les coefficients de la matrice d'interaction F sont simplement inversement proportionnels à cette distance. Chaque distance implique l'une des sources d'un triplet d'un échantillon de surface et un point M de l'espace. La matrice d'interaction Fy comporte alors 3Ν colonnes lorsqu'il s'agit de prendre trois sources par échantillon de surface, alors que la matrice d'interaction F pour l'estimation de la grandeur scalaire ne comportait que N colonnes puisque seule une source par échantillon de surface était nécessaire.
Plus généralement, on attribue une source par échantillon lorsque l'on connaît des conditions aux limites pour une grandeur scalaire et trois sources par échantillon lorsque l'on connaît plutôt des conditions aux limites pour une grandeur vectorielle.
On se réfère maintenant à la figure 3A pour décrire, à titre illustratif, une application du procédé selon l'invention à l'estimation d'un potentiel électrique en un point M de l'espace tridimensionnel, situé entre deux armatures d'un condensateur. Les armatures de ce condensateur sont portées à des potentiels respectifs VI et V2. La mise en œuvre de l'étape a) consiste d'abord à mailler les surfaces respectives des deux armatures. Dans l'exemple représente sur la figuxe 3A, on n'a représenté que deux mailles pour chaque armature, simplement à titre illustratif.
L'application de l'étape b) consiste à mettre en forme le système matriciel impliquant la matrice d'interaction F et le vecteur colonne comportant les valeurs des sources Si à S4. La multiplication de ces deux matrices permet d'obtenir un vecteur colonne comportant les valeurs du potentiel en un ou plusieurs points M de l'espace.
La mise en œuvre de l'étape c) du procédé selon l'invention consiste à appliquer le système matriciel aux points de contact des hémisphères Pi à P4, de chaque échantillon de surface dSi à dS4. Il en résulte la relation suivante :
[16]
Figure imgf000028_0001
avec V ( Pι ) = V ( P2 ) = Vi V ( P3 ) = V ( P4 ) ≈ V2 Vi = qi , v2 ≈ q2 , v3 = q3 , v4 q Ici, la condition aux limites impose que la valeur du potentiel aux points de contact P_ et P2 correspond au potentiel VI de la première armature. De même, le potentiel électrique aux points de contact P3 et P4 correspond au potentiel électrique de la seconde armature V2. Par inversion de la matrice d'interaction appliquée au point de contact Pi, on détermine les valeurs des sources Vi qui correspondent, comme exprimé dans la relation [16] , à des charges électriques qi.
Les coefficients de la matrice d'interaction sont
2^0 pisj parfaitement connus, puisque les positions des sources Sj et les positions des points de contact P sont déterminées au préalable, comme représenté sur la figure 1B.
L'expression du potentiel électrique V(M) au point M entre les deux armatures est finalement donnée par l'expression :
Figure imgf000029_0001
On se réfère maintenant à la figure 3B sur laquelle on a représenté les mêmes armatures que sur la figure 3A, avec sensiblement un même maillage, mais dans le but, ici, d'estimer une grandeur vectorielle correspondant au champ électrique E(M) , au point M de l'espace tridimensionnel, On peut appliquer les relations [11] à [15] pour estimer la valeur du champ électrique au point M, avec, dans la relation [13] :
Figure imgf000030_0001
avec σ = A, B, C u = x, y, z i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4.
Toutefois, les valeurs du champ électrique au point de contact Pi restent à déterminer dans la relation [11] .
On introduit alors une loi générale prédéterminée du comportement du champ (en réflexion, en transmission, ou autre) au niveau de la surface de l'obstacle (des armatures dans l'exemple du condensateur précité), pour connaître les valeurs des sources Vσj .
Par exemple, si l'onde électrique est totalement réfléchie par la surface d'un obstacle (par exemple l'une des deux armatures) , le champ électrique en un point de contact Pi est normal à la surface dSi et ses composantes Ex et Ey sont nulles. A titre illustratif, si la surface de l'armature n'était représentée que par un seul échantillon de surface à trois sources, les valeurs de ses sources vA, vB et vC seraient toutes égales entre elles à une même valeur +q. 29
Au contraire, si le coefficient de réflexion est pratiquement nul à la surface dSα, la composante du champ électrique Ez au point Pi est nulle, ce qui correspond bien au cas où le champ est sensiblement tangent à la surface dSi. Ainsi, à titre illustratif, si la surface de l'armature n'était représentée que par un seul échantillon de surface à trois sources, les valeurs de ses sources vA, vB et vC seraient respectivement, par exemple, +q, +q et -2q. Par exemple, dans le cadre de la propagation d'une onde magnétique, si la surface d'un capteur à courants de Foucault (avec une composante normale du champ magnétique nulle) était représentée par un unique échantillon de surface, les flux magnétiques des trois sources associées à cet échantillon de surface seraient +φ, +φ et -2φ.
On comprend ainsi qu'avec les trois sources par échantillon dSi, on peut définir, par exemple en fonction de la pondération de chaque source, une orientation quelconque du champ à la surface de l'obstacle.
Bien entendu, cette démarche suppose que le coefficient de réflexion R d'un obstacle soit connu auparavant. En particulier, il peut être avantageux de comparer une simulation et une mesure expérimentale pour détecter, à la surface d'un obstacle, des inhomogénéités ou des impuretés qui correspondent à des points de la surface de cet obstacle qui ne vérifient pas les valeurs du coefficient de réflexion R imposées à chaque point prédéterminé Pi de l'obstacle. On peut affecter ainsi une valeur prédéterminée du coefficient de réflexion à chaque point Pi de la surface de l'obstacle. A cet effet, on introduit une matrice R qui est représentative du coefficient de réflexion en chaque point Pi. Pour une interaction entre un élément rayonnant et un obstacle, on peut ainsi exprimer le système matriciel de la relation [9] autrement, c'est-à-dire en donnant une expression unique de toutes les sources du système (à la fois de l'obstacle et de l'élément rayonnant), comme indiqué ci-après.
Dans ce qui suit, on indique que :
F(P) est la matrice d'interaction de l'obstacle OBS appliquée aux points Pi de la surface de l'obstacle OBS ;
F(P') est la matrice d'interaction de l'obstacle OBS appliquée aux points P'i de la surface de l'élément rayonnant ER;
F' (P) correspond à la matrice d'interaction de l'élément rayonnant ER appliquée aux points Pi de la surface de l'obstacle OBS ;
F'(P') correspond à la matrice d'interaction de l'élément rayonnant ER appliquée aux points Pi de la surface de 1 ' élément rayonnant ER ; - v' correspond au vecteur colonne comportant les valeurs des sources S ' i de 1 ' élément rayonnant ER ; et v correspond au vecteur colonne comportant les valeurs des sources Si de l'obstacle OBS. Sur l'obstacle, la contribution de l'onde émise par l'élément rayonnant ER s'exprime par :
N'(P) = F(P).v' [19]
La contribution de l'onde secondaire renvoyée par l'obstacle OBS s'exprime, par définition, par la relation :
V(P) =F(P).v [20]
Or, dans l'exemple représenté sur la figure 4A, l'onde secondaire correspond simplement à une réflexion de l'onde principale. Ce qui s'exprime par la relation :
N(P) = R N'(P) [21]
où R correspond à une matrice de réflexion dont chaque coefficient représente la contribution à l'émission, par réflexion, de l'onde secondaire, par chaque source Si (ou Sσi, dans le cadre d'une estimation d'une grandeur vectorielle) de l'obstacle OBS.
Des trois relations [19] , [20] et [21] , on déduit l'expression du vecteur colonne v comportant les valeurs des sources de l'obstacle, à partir du vecteur colonne v comportant les valeurs des sources de l'élément rayonnant, par la relation :
v = [F (P)]~ 1 . R . [F < (P)]. v < [22] Par ailleurs, pour une estimation fine des grandeurs scalaires ou vectorielles au point H, notamment pour tenir compte de réflexions multiples, il est avantageux de tenir compte de la contribution du rayonnement par l'obstacle, au niveau de la surface de l'élément rayonnant ER. A cet effet, on tient compte, dans l'estimation des conditions aux limites à la surface de l'élément rayonnant ER (aux points PT) de la contribution du rayonnement des sources ST de l'élément rayonnant et de la contribution de l'émission de l'onde secondaire par les sources Si de l'obstacle, par la relation :
VTCP ≈ FCD V + FCP V' [23 ]
On peut ainsi ajuster, grâce à la relation [23] , les valeurs de sources S'i de l'élément rayonnant ER, en tenant compte de la réflexion de l'obstacle OBS, selon la relation suivante :
VT (P)' =
Figure imgf000034_0001
, [F(P) Y 1 . R . [F'(P) ] + F'(P)' ).v ' [10]
Ainsi, on impose simplement des conditions aux limites pour l'élément rayonnant, pour en déduire les valeurs des sources v'i. En pratique, on procédera préferentiellement comme suit :
- après maillage des surfaces, on détermine la position des points P et P'i et des sources Si et ST;
- en fonction du type d'onde en jeu, on détermine les coefficients des matrices F(P), F' (P) , F(P') et F'(P'); /044790
33
- en fonction d'une loi de réflexion de l'obstacle, on détermine les coefficients de la matrice de réflexion comme dans 1 ' exempl «≈ donné plus loin pour une onde ultrasonore; - en fonction de conditions aux limites sur l'élément rayonnant (dont le comportement est généralement connu pour un problème donné) , on détermine les valeurs du vecteur Vτ(Pr) aux points P'i de la surface de l'élément rayonnant et on en déduit les valeurs des sources S'i de l'élément rayonnant par inversion de la relation [10]; on en déduit aussi les valeurs des sources S de l'obstacle par application de la relation [22];
- une fois les valeurs de toutes les sources Si et S'i déterminées, on peut appliquer le système matriciel donné par la relation [9] à tout point M de l'espace, en appliquant à ce point M les matrices d'interaction F et F ' (impliquant la position du point M et les positions des sources respectives Si et S'i).
En se référant à nouveau à la figure 4A, on considère que l'obstacle OBS représente simplement une interface entre deux milieux Ml et M2, formant ainsi un dioptre qui peut être plan, tel que représenté dans l'exemple de la figure 4A, mais aussi incurvé ou de forme générale quelconque. Les coefficients de réflexion Ri associés à chaque point Pi dépendent, dans le cadre de la propagation d'une onde ultrasonore ou électromagnétique de haute fréquence, de l'angle d'incidence βi du rayon issu de la source Si, au point de l'espace tridimensionnel M. 4/044790
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Pour une onde ultrasonore, l'expression des coefficients de réflexion Ri est donnée par :
Figure imgf000036_0001
OU :
Ci est la vitesse du son dans le milieu Mi ; c2 est la vitesse du son dans le milieu M2 ;
- px est la densité du milieu Mi ;
- p2 est la densité du milieu M2.
Dans cette expression [24] , le terme cosβi peut simplement être estimé en fonction des coordonnées dans l'espace du point M et du point représentant la source Si.
En se référant maintenant à la figure 4B, la même estimation peut être menée pour un point M situé dans le milieu M2. Dans ce cas, l'onde que reçoit le point M est une onde transmise par l'obstacle OBS. En particulier, on remarque que les sources de l'élément rayonnant ER ne sont plus actives, du fait de l'occultation de l'élément rayonnant ER par l'obstacle OBS. En transmission, le raisonnement s'applique comme précédemment avec une condition aux limites imposée aux points Pi par les valeurs des coefficients de transmission Ti associés à chaque point Pi. Dans le cadre de la propagation d'une onde ultrasonore, chaque coefficient de transmission Ti est donné par la relation :
Figure imgf000037_0001
Comme indiqué précédemment, les termes cosβi peuvent être déterminés en fonction des coordonnées respectives des sources Si et du point M.
Pour estimer les valeurs de sources Si de l'obstacle OBS, on applique la relation [22] en remplaçant toutefois la matrice de réflexion R par la matrice de transmission T :
v = [F(P)]-1τ[F(P)]v' [26]
Dans le cadre de la propagation d'une onde ultrasonore, les coefficients des matrices R et T s'estiment pour chaque source Si et pour chaque point Pi. En particulier, chaque coefficient Ti,j ou Ri,j de la matrice T ou de la matrice R (où i correspond à la ieme ligne et j correspond à la jeme colonne) s'exprime en fonction d'un angle ?ij entre une normale à la surface de l'obstacle au point Pi et une droite passant par le point Pi et par une source Sj . On peut écrire ainsi, de manière générale, les deux relations exprimant les valeurs des coefficients des matrices T et R par les relations respectives suivantes :
Figure imgf000037_0002
Ry = fr (cos ?ij) [28]
où ft est donné par la relation [25] et fr est donné par la relation [24] .
De façon plus générale, en référence aux figures 4A et 4B, on indique que, si l'on considère l'obstacle comme un matériau plein représentant un milieu M2 distinct d'un milieu Ml dans lequel se propageait initialement l'onde principale :
- pour une réflexion de l'onde principale sur l'obstacle en tant que milieu M2 (la surface de l'obstacle formant dioptre entre les milieux Ml et M2) , les hémisphères HEMi sont orientés vers l'extérieur de l'obstacle (figure 4A) ; - pour une transmission de l'onde principale dans l'obstacle, les hémisphères HEMi sont orientés vers l'intérieur de l'obstacle (figure 4B) .
On se réfère maintenant à la figure 5A pour décrire le cas d'un l'obstacle plan OBS de dimensions finies, excité par un élément rayonnant ER, incliné d'un angle prédéterminé par rapport à l'obstacle OBS. Comme indiqué précédemment, pour une onde ultrasonore, on prendra en compte l'inclinaison de l'élément rayonnant pour calculer la contribution de l'onde émise par l'élément rayonnant au point M. Par ailleurs, de façon particulièrement avantageuse, on maille une surface qui englobe la surface de l'obstacle (figure 5A) . Pour une tranche de l'espace délimitée par l'élément rayonnant, d'une part, et l'obstacle, d'autre part (figure 5A) , on peut considérer trois types de sources : - les sources S ' i de l'élément rayonnant ER, des sources SOi, qui renvoient l'onde secondaire, par réflexion de l'obstacle OBS, en fonction d'un certain coefficient de réflexion R de l'obstacle ; et - des sources SSi, qui ne renvoient pas d'onde secondaire et auxquelles un coefficient de réflexion nul peut être attribué si l'obstacle sépare deux milieux d'indices identiques. Dans ce cas, ces sources SSi sont considérées comme "éteintes" dans la tranche de l'espace précitée et ne sont pas prises en compte dans les calculs de la grandeur physique au point M de la figure 5A. En revanche, ces sources SSi peuvent être actives par réflexion de l'onde principale si l'obstacle OBS sépare deux milieux d'indices différents.
Par ailleurs, pour estimer les grandeurs scalaires ou vectorielles associées à un point M d'un demi-espace délimité par la surface englobant l'obstacle OBS (à droite de la figure 5B) , on considère : les sources SOT de l'obstacle, actives par transmission de l'onde principale, et les sources SSi, auxquelles on affecte maintenant un coefficient de transmission égal à 1 si l'obstacle sépare deux milieux de mêmes indices. Ces sources SSi se comportent finalement (aux angles d'incidence près) comme les sources S'i de l'élément rayonnant ER. Les sources S'i de 1 ' élément rayonnant peuvent alors être "éteintes" pour le calcul des grandeurs physiques dans ce demi-espace. Pour calculer les valeurs v' des sources S'i de l'élément rayonnant (desquelles sont déduites les valeurs v des sources de l'obstacle selon les xelations [22] et [26J ) , on appliquera simplement des conditions aux limites aux points de la surface active de l'élément rayonnant ER. Par exemple, pour une propagation d'onde ultrasonore, on peut indiquer que les vitesses sonores aux points de la surface de l'élément rayonnant ER sont perpendiculaires à cette surface et de modules v0 égaux entre eux.
De manière générale, on indique que l'espace tridimensionnel peut être ainsi découpé par des interfaces délimitant des milieux de propriétés distinctes, chaque interface représentant un obstacle au sens de la présente invention. On calcule alors les grandeurs physiques dans chaque tranche de l'espace. Par exemple, dans le cadre de l'étude d'une hétérostructure (à plusieurs interfaces), on peut appliquer le procédé ci-avant pour des tranches successives de l'espace en considérant deux interfaces : l'une représentant un "élément rayonnant" au sens des figures 4A et 5A, par exemple par transmission d'une onde reçue, et l'autre représentant un obstacle recevant l'onde transmise. Avantageusement, on tient compte, pour chaque tranche de l'espace, des contributions de toutes les interfaces comme exprimé par les relations [10] et [22] .
Toutefois, dans une réalisation pratique préférée, en particulier pour programmer la simulation d'une interaction, on considérera avantageusement tous les obstacles de tout l'espace autour d'un point M et l'on imposera une condition sur la position du point M par rapport à chaque source présente dans 1 ' espace .
Préferentiellement, en référence à la figure 7A, on teste le produit scalaire SM.r à chaque itération par rapport à une source S, par exemple sous la forme :
Figure imgf000041_0001
où r est le vecteur reliant la source S au point de contact P de la demie sphère avec 1 ' élément de surface dS considéré, dans le cas où l'on prévoit une seule source par hémisphère. Dans le cas où l'on prévoit plutôt un triplet de sources SI, S2, S3, la base du vecteur r est préférentiellement située au barycentre des trois sources SI, S2, S3. D'ailleurs, dans le cas de trois sources par échantillon de surface, le calcul du produit scalaire concerne chaque source Si du triplet SI, S2, S3.
Typiquement, si cos# est positif, on tient compte de la contribution de cette source S dans l'estimation de 1 ' interaction.
En revanche, si cos# est négatif, on affecte une valeur (scalaire ou vectorielle) nulle à cette source S dans l'estimation de l'interaction.
En variante du calcul du produit scalaire ci-avant, on peut calculer une "altitude" du point M. Dans ce cas, le test porte sur une grandeur du type : S .r
Bien entendu, d'autres types de tests sont possibles. Par exemple, dans le cas d'un calcul par rapport à l'angle θ , on peut choisir cet angle dans un cône d'ouverture choisie, ou autre.
Finalement, cette démarche permet avantageusement de systématiser une configuration quelconque des sources par rapport au point d'observation M, en introduisant simplement une étape supplémentaire de test, à chaque itération sur une source S, de la position de cette source S par rapport au point M, comme indiqué ci-avant.
Cette démarche s'avère particulièrement avantageuse pour des surfaces à mailler qui sont relativement complexes, notamment lorsque le point d'observation M est susceptible de se situer dans une zone d'ombre par rapport à certaines sources, comme le montre la figure 7B. Sur cette figure 7B, on a représenté en traits pointillés les demi-sphères associées aux sources dans la zone d'ombre du point d'observation M, et pour lesquelles, par conséquent, la contribution est fixée comme étant nulle dans l'interaction estimée. Bien entendu, dans le cas où une source est ecrantée par une surface échantillonnée, bien que le produit scalaire SM.r associé à cette source reste positif, un second test détermine si le vecteur SM traverse ou non une surface échantillonnée. Dans l'affirmative, cette source est considérée comme inactive spécifiquement pour la région du point M.
Ainsi, en termes plus généraux, le procédé au sens de 1 ' invention prévoit préferentiellement au moins une étape supplémentaire, pour chaque échantillon de surface, de test de la valeur d'un produit scalaire entre :
- un premier vecteur r normal à l'échantillon de surface et dirigé vers le sommet P de l'hémisphère, tel que représenté sur la figure 7A, et
- un second vecteur SM tiré entre une source S associée à cet hémisphère et le point M qui se situe dans la région d' observation, en distinguant, en particulier : - le cas où ce produit scalaire est inférieur à un seuil prédéterminé et la contribution de cette source n'est pas prise en compte, et le cas où ce produit scalaire est supérieur à un seuil prédéterminé et la contribution de cette source est effectivement prise en compte.
Dans l'exemple ci-avant où l'on considère l'angle θ entre ces deux vecteurs, le seuil prédéterminé précité est bien entendu la valeur 0 et l'on distingue simplement les cas où le produit scalaire est positif ou négatif.
Bien entendu, ce choix n'est pas limitatif de sorte que pour une hétérostructure à plusieurs dioptres parallèles, on pourra encore considérer, de façon avantageuse, des semi-espaces successifs, comme décrit ci-avant en référence aux figures 4A et 4B.
La simulation de la figure 5C correspond, pour une onde ultrasonore, à la situation des figures 5A et 5B en tenant compte : de la contribution de l'émission de l'onde principale par 1 ' élément rayonnant ER ; de la contribution de la réflexion de cette onde principale par l'obstacle ; et de la contribution de la transmission de l'onde principale par l'obstacle.
Les lignes de niveau de la figure 5C correspondent à différents paliers de pression acoustique. L'élément rayonnant ER est disposé à 10 mm de l'obstacle OBS et incliné de 20° par rapport à ce dernier. On remarque en particulier des franges d'interférences dans une zone entre l'obstacle OBS et l'élément rayonnant ER. Une telle simulation peut avantageusement indiquer une position idéale d'un capteur ultrasonore. Ces capteurs ultrasonores comportent habituellement un transducteur comme élément rayonnant actif et un détecteur pour mesurer les ondes ultrasonores reçues. La simulation de la figure 5C peut ainsi indiquer en outre la forme idéale d'un capteur ultrasonore, selon les applications souhaitées, pour une forme d'obstacle donnée.
La simulation de la figure 5C a été effectuée grâce à un calcul matriciel programmé à 1 ' aide du logiciel de calcul
MATLAB©. Le nombre de mailles total choisi pour l'obstacle et pour l'élément rayonnant (ici, quelques centaines en tout) est alors optimisé : d'une part, pour limiter la durée des calculs ; et d'autre part, pour que la taille des mailles reste inférieure à une demie longueur d'onde, de manière à vérifier le critère de Rayleigh.
On indique toutefois que, comme les éléments à mailler dans la mise en œuvre du procédé selon l'invention sont simplement des surfaces, les temps de calcul sont bien moins longs que ceux nécessaires dans la mise en œuvre d'un procédé de calcul de type "par éléments finis" .
La présente invention peut ainsi se manifester par la mise en œuvre d'une succession d'instructions d'un produit programme d'ordinateur stocké dans la mémoire d'un disque dur ou sur un support amovible et se déroulant comme suit : choix d'un pas de maillage notamment en fonction de la longueur d'onde de l'onde principale ;
- détermination des coordonnées des sources Si et/ou S'i et des points de contact Pi et/ou PT ; choix d'un type d'onde en jeu et calcul des coefficients des matrices d'interaction appliquées aux points Pi et/ou PT par la mise en œuvre d'un logiciel de calcul matriciel ; choix d'une loi de réflexion et/ou de transmission de la surface de l'obstacle et calcul des coefficients des matrices de réflexion et/ou de transmission ; - calcul des valeurs des sources Si et/ou S'i ; et calcul des grandeurs scalaires ou vectorielles en tout point de l'espace tridimensionnel.
A ce titre, la présente invention vise aussi un tel produit programme d'ordinateur, stocké dans une mémoire d'unité centrale ou sur un support amovible propre à coopérer avec un lecteur de cette unité centrale, et comportant en particulier des instructions pour mettre en œuvre le procédé selon l'invention.
Bien entendu, la présente invention ne se limite pas à la forme de réalisation décrite ci-avant à titre d'exemple ; elle s'étend à d'autres variantes.
Ainsi, on comprendra que, même si dans les figures commentées ci-avant on représente à la fois la surface d'un obstacle et la surface d'un élément rayonnant, la présente invention s'applique aussi à l'estimation de grandeurs physiques dans le cadre d'une onde interagissant avec un obstacle et émise en champ lointain. Dans ce contexte, il n'est pas nécessaire de matérialiser la surface d'un élément rayonnant à mailler et les relations
[8] et [14] ci-avant suffisent à déterminer l'interaction entre cette onde et l'obstacle.
On a indiqué ci-avant des équations permettant de calculer les grandeurs scalaires ou vectorielles en un point M de l'espace, pour des ondes électromagnétiques, ou encore acoustiques. Bien entendu, ces grandeurs peuvent être estimées pour d'autres types d'ondes, notamment pour des ondes thermiques, des ondes électromagnétiques impliquant des antennes radiofréquences, ou autres.
Bien entendu, la présente invention ne se limite pas à une application au contrôle non destructif, mais à tout type d'application, notamment en imagerie médicale, par exemple pour 1 ' étude de microsystèmes mettant en œuvre une microscopie acoustique à miroirs mobiles.
On a décrit ci-avant des interactions entre une onde et un obstacle unique. Bien entendu, la présente invention s'applique à une interaction avec plusieurs obstacles. A cet effet, il convient simplement de mailler les surfaces de ces obstacles et d'additionner leur contribution pour l'estimation d'une grandeur vectorielle ou scalaire en un point quelconque de l'espace. De même, comme indiqué ci- avant, la surface de l'obstacle OBS peut être plane, ou encore incurvée, ou encore de forme complexe quelconque.
Ainsi, dans le cadre d'une onde interagissant avec plusieurs obstacles dans l'espace, une simulation équivalente à celle représentée sur la figure 5C permettrait de positionner des capteurs et/ou des éléments rayonnants en fonction de la configuration de ces obstacles, notamment pour une application à la détermination de la position de hauts-parleurs dans un habitacle cloisonné, tel qu'un habitacle de véhicule automobile .
L'espace tridimensionnel peut être découpé en une pluralité de régions, comme décrit ci-avant en référence aux figures 4A, 4B, 5A et 5B. Toutefois, pour qu'une surface de l'une desdites régions soit considérée comme un obstacle d'une onde principale, devenant actif par émission d'une onde secondaire, l'incidence de l'onde principale sur cette surface doit préferentiellement rester inférieure ou égale à 90°.

Claims

Revendications
1. Procédé pour évaluer une grandeur physique associée a une interaction entre une onde et un obstacle, dans une région de l'espace tridimensionnel, dans lequel : a) on détermine, par maillage, une pluralité d'échantillons de surface (dSi) dont une partie au moins représente la surface d'un obstacle recevant une onde principale et émettant, en réponse, une onde secondaire, et l'on attribue à chaque échantillon de surface au moins une source (Si) émettant une onde élémentaire représentant une contribution à ladite onde secondaire, b) on forme un système matriciel comportant : une matrice d'interaction (F (M)), inversible, appliquée à une région donnée (M) de 1 ' espace et comportant un nombre de colonnes correspondant à un nombre total de sources, une première matrice colonne dont chaque coefficient (v^.) est associé à une source (Si) et caractérise l'onde élémentaire qu'elle émet, et une seconde matrice colonne, obtenue par une multiplication de la première matrice colonne par la matrice d'interaction et dont les coefficients sont des valeurs d'une grandeur physique (V(M)) représentative de l'onde émise par l'ensemble des sources en ladite région donnée (M) , c) pour estimer les coefficients de la première matrice colonne (v^) , on affecte des valeurs de grandeur physique choisies (V(Pi)) à des points prédéterminés (Pi), associés chacun à un échantillon de surface (dSi) , lesdites valeurs choisies (V(Pi)) étant rangées dans la seconde matrice colonne, et l'on multiplie cette seconde matrice colonne par l'inverse de la matrice d'interaction appliquée auxdits points prédéterminés (Fi) , d) pour évaluer ladite grandeur physique (V(M)) représentant l'onde émise par l'ensemble des sources dans une région donnée (M) de l'espace tridimensionnel, on applique la matrice d'interaction à ladite région donnée (M) et on multiplie cette matrice d' interaction par la première matrice colonne comportant les coefficients estimés à l'étape c) .
2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel, pour évaluer une grandeur physique représentative d'une interaction entre un élément rayonnant une onde principale et un obstacle recevant cette onde principale,
- à l'étape a), on détermine en outre, par maillage, une pluralité d'échantillons de surface (dS'i) représentant ensemble une surface active de 1 ' élément rayonnant 1 ' onde principale, et l'on attribue à chaque échantillon de la surface active au moins une source (S'i) émettant une onde élémentaire représentant une contribution à ladite onde principale,
- on applique en outre les étapes b) , c) et d) aux échantillons de la surface active, et - on évalue ladite grandeur physique (V(M)) représentant l'interaction entre l'élément rayonnant et l'obstacle dans une région donnée (M) de l'espace tridimensionnel, en prenant en compte la contribution, en ladite région donnée
(M), de l'onde principale émise par l'ensemble des sources de la surface active et la contribution de l'onde secondaire émise par 1 ' ensemble des sources de la sύrface de l'obstacle.
3. Procédé selon l'une des revendications 1 et 2, dans lequel chaque coefficient de la matrice d'interaction, appliquée à une région donnée de l'espace, est représentatif d'une interaction entre une source et ladite région donnée et la valeur de chaque coefficient est fonction d'une distance entre une source et ladite région donnée .
4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, dans lequel la matrice d'interaction appliquée, à l'étape c) , auxdits points prédéterminés (Pi) , comporte un nombre de lignes correspondant à un nombre total de points prédéterminés (Pi) .
5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 4, dans lequel la grandeur physique à évaluer est une grandeur scalaire (V(Pi)) et, à l'étape a), on attribue une source unique à chaque échantillon de surface.
6. Procédé selon la revendication 5, dans lequel la matrice d'interaction (F (M)) appliquée, à l'étape d) , à une région de l'espace (M), comporte une ligne.
7. Procédé selon l'une des revendications 5 et 6, dans lequel chaque point prédéterminé (Pi) associé à un échantillon de surface (dSi) correspond à un point de contact entre cet échantillon de surface (dSi) et un hémisphère dont la surface est égale à la surface de cet échantillon de surface, et de centre correspondant à une position de la source (Si) qui est attribuée à cet échantillon de surface.
8. Procédé selon l'une des revendications 5 à 7, dans lequel :
- l'onde principale est une onde électrique,
- les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de charge électrique associées chacune à une source, et
- les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de potentiel électrique.
9. Procédé selon l'une des revendications 5 à 7, dans lequel :
- l'onde principale est une onde magnétique,
- les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de flux magnétique associées chacune à une source, et - les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de potentiel magnétique.
10. Procédé selon l'une des revendications 5 à 7, dans lequel : - l'onde principale est une onde sonore,
- les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de vitesse de son associées chacune à une source, et
- les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de pression acoustique.
11. Procédé selon l'une des revendications 1 à 4, dans lequel la grandeur physique à évaluer est une grandeur vectorielle (V(Pi)) exprimée par ses trois coordonnées dans l'espace tridimensionnel, et l'on attribue, à l'étape a), trois sources (SAi, SBi, SCi) à chaque échantillon de surface (dSi) .
12. Procédé selon la revendication 11, dans lequel la matrice d'interaction (Fγ(M)) appliquée, à l'étape d) , à une région de l'espace (M), comporte une ligne pour chaque coordonnée (X,Y,Z) de l'espace.
13. Procédé selon l'une des revendications 11 et 12, dans lequel : - les trois sources attribuées à chaque échantillon de surface sont sensiblement dans un même plan et - chaque point prédéterminé (Pi) associé à un échantillon de surface (dSi) correspond à un point de contact entre cet échantillon et un hémisphère dont la surface est égale à la surface de cet échantillon, et de centre correspondant à la position d'un barycentre des trois sources.
14. Procédé selon la revendication 13 , dans lequel les trois sources d'un même échantillon de surface forment sensiblement un triangle équilatéral, et les triangles des échantillons de surface sont orientés sensiblement aléatoirement les uns par rapport aux autres .
15. Procédé selon l'une des revendications 11 à 14, dans lequel : - l'onde principale est une onde électrique,
- les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de charge électrique associées chacune à une source, et - les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de coordonnées d'un champ électrique.
16. Procédé selon l'une des revendications 11 à 14, dans lequel : - l'onde principale est une onde magnétique,
- les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de flux magnétique associées chacune à une source, et
- les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de coordonnées d'un champ magnétique.
17. Procédé selon l'une des revendications 11 à 14, dans lequel :
- l'onde principale est une onde sonore, - les coefficients de la première matrice colonne sont des valeurs de vitesse de son associées chacune à une source, et
- les coefficients de la seconde matrice colonne sont des valeurs de coordonnées d'une vitesse acoustique.
18. Procédé selon l'une des revendications précédentes, dans lequel, pour estimer la contribution de l'onde secondaire en ladite région donnée à 1 ' étape d) , lesdites valeurs de grandeur physique (V(Pi)) choisies à l'étape c) sont fonction d'un coefficient prédéterminé de réflexion et/ou de transmission de l'onde principale par chaque échantillon de surface de l'obstacle.
19. Procédé selon la revendication 18, prise en combinaison avec l'une des revendications 6 et 12, dans lequel l'onde secondaire correspond à une réflexion de l'onde principale sur l'obstacle et l'hémisphère est orienté vers l'extérieur de l'obstacle.
20. Procédé selon la revendication 18, prise en combinaison avec l'une des revendications 6 et 12, dans lequel l'onde secondaire correspond à une transmission de l'onde principale dans l'obstacle et l'hémisphère est orienté vers l'intérieur de l'obstacle.
21. Procédé selon l'une des revendications 19 et 20, dans lequel, à l'étape c) , on détermine les valeurs (v'i) associées aux sources (S'i) de l'élément rayonnant (ER) et on met en forme au moins : - une première matrice d'interaction (F(P)) représentant la contribution des sources de l'obstacle aux points prédéterminés de la surface de l'obstacle (Pi),
- une seconde matrice d'interaction (F'(P)) représentant la contribution des sources de l'élément rayonnant aux points prédéterminés de la surface de l'obstacle (Pi),
- une matrice de réflexion (R) ou de transmission (T) , dont les coefficients représentent des coefficients de réflexion ou de transmission en chaque point prédéterminé (Pi) de l'obstacle, pour déterminer les valeurs des sources de l'obstacle (Vi) en fonction des valeurs des sources de 1 ' élément rayonnant (v'i) et d'une multiplication des première et seconde matrices d'interaction et de la matrice de réflexion ou de transmission.
22. Procédé selon la revendication 21, dans lequel, à l'étape c) , on détermine les valeurs (v'i) associées aux sources (S'i) de l'élément rayonnant (ER) en tenant compte de la réception de l'onde secondaire par l'élément rayonnant (ER) et en mettant en forme en outre : - une troisième matrice d'interaction (F(P')) représentant la contribution des sources de l'obstacle aux points prédéterminés de la surface de l'élément rayonnant (P'i), et une quatrième matrice d'interaction (F'(P')) représentant la contribution des sources de 1 ' élément rayonnant aux points prédéterminés de la surface de l'élément rayonnant (P'i).
23. Procédé selon l'une des revendications 19 à 22, dans lequel la surface de 1 ' obstacle correspond à une interface entre deux milieux distincts d'une hétérostructure.
24. Procédé selon l'une des revendications précédentes, dans lequel l'onde principale est une onde sonore et les coefficients de la matrice d'interaction sont chacun fonction d'un angle d'incidence d'une onde élémentaire issue d'une source en ladite région donnée (M) .
25. Procédé selon l'une des revendications 7 et 13, dans lequel, pour chaque échantillon de surface, on teste la valeur d'un produit scalaire entre : - un premier vecteur ( r ) normal à l'échantillon de surface et dirigé vers le sommet (P) de l'hémisphère (fig. 7A) , et
- un second vecteur ( SM ) tiré entre une source (S) associée à cet hémisphère et ladite région donnée (M) , en distinguant : le cas où ce produit scalaire est inférieur à un seuil prédéterminé et la contribution de cette source n'est pas prise en compte, et le cas où ce produit scalaire est supérieur à un seuil prédéterminé et la contribution de cette source est effectivement prise en compte.
26. Procédé selon l'une des revendications précédentes, dans lequel l'onde principale est une onde sonore et, à l'étape a), on choisit un nombre total d'échantillons de surface (dSi) sensiblement en fonction d'une longueur d'onde de l'onde sonore pour vérifier le critère de Rayleigh.
27. Procédé selon l'une des revendications précédentes, dans lequel on compare une pluralité de valeurs de la grandeur physique estimée à l'étape d) , obtenues pour une pluralité de régions de l'espace, pour sélectionner une région candidate pour la disposition d'un élément rayonnant destiné à interagir avec l'obstacle.
28. Procédé selon l'une des revendications 2 à 27, dans lequel l'élément rayonnant est un capteur, pour un contrôle non destructif, destiné à analyser un objet formant un obstacle de l'onde principale.
29. Produit programme d'ordinateur, stocké dans une mémoire d'unité centrale ou sur un support amovible propre à coopérer avec n lecteur do cette unité centrale, caractérisé en ce qu'il comporte des instructions pour mettre en œuvre le procédé selon l'une des revendications précédentes .
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